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练婷婷 时滞型积分鲐分包含的解及其性质 扬州大学学位论文原创性声明幂叠版权使用授权书 攀使论文原剖性声明 本人声明：所呈交的学使论文是在导师指导下独立迸季亍研究工络所敬 ! 导的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献翡个人和集体，均已在文中驭镶确方式标磺。 本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：京诲 签字日蒴：勘年f 胃害d 日 学位论文版权使用授权书 本入完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门域机构送交学位论文的复印伴和电子文档，允许论文被查阅和借阋。 本人授权扬州大学可以将学位论文的全部戴部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复锅| 手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中豳学位论文全文数据库，并道过网络向 社会公众提供信息服务。 学位论文作者繇拣q 丐 签字日期：谳年毒月i 扫日 导师签名： 箍字日期：渺年f 月季蛰日 吖 练婷婷时滞型积分微分包古的解及其性质 中文摘要 本文讨论了b a n a c h 空间中时滞型积分微分包含适度解的存在性和解的拓扑 牲厦闯题，共分鸯两章 在第一章中，我们研究了b a n a c h 空间中时滞型积分微分包含： 妄啪联。+ f 茁( f ，妒辑t 溉嘲删( ) 【= 妒c ( 卜碍，o 】；x ) ， 其中一是b a n a c h 空间中强连续有界线性算子半群r ( f ) ( f o ) 的无穷小生成元 鄹羽8 8 n a c h 空闻中线性算予半群理论，h a t i s d o r f f 非紧溅蠹理论帮不动点定理，在 半群r ( f ) 失去紧性的条件下我们得到了上述问题适度解的存在性， 在第二章中，我们主要讨论了b a n a c h 空间中对滞型积分微分包含解的拓扑性 质，首先考虑时滞型积分微分方程： 鲁删= 出m r 枷州( 眺川。 6 】 ( 而= 痧c f ( 【- 舔o 】；x ) ， 记s ( ，d = ，l 善为q ，的适度解 ： 形( 厶；z ) = f 7 | 舫力c ( 譬，o 】；幻x 上l ( f o ，6 】肼，为，的适廑解 ： ( 力= 缸( 毛；x ) | 善( o ) = 刃 本文证明了s ，) 是( ) 的一个收缩，即s 协f ) 匕缈( 庐) ，且存在连续映射 ，：矿搿) 呻取欢f ) ，使得任意并e s ( 戎d ，o ) = 苫 关键词：h a u s d 。r f f 紧瓣度；积分微分包含：q 一拳群：适度解：连绥多僮； 收缩 扬州丈学硕士学位论文 a b s n a e l i nt h i st h e s s ，w ed i s c u s st l l ee x i 妣n c eo ft i l em i i ds o l u t i o n 粕dm et o p o l o 百c a l p 琊p e n i e so fs o l u d 锄s e tl o 如l a yi n t e 鲫d i f l 鼬撤i a li n c l u s ；o n si nb a l l a c hs p a e e s 。i ti s o o n s i s 刚o f 似oc h 8 p t e r s | n 氇e 蠡r s t 妫带凇；w e n 姑d 嚣t h e 鼹i 整鞠c eo f 也e 糖i l d l u 蛀o nt od e i a v i n t e g f o d i 蔬f e n l i a lj n c l u s i 锄s ： 任颤。辱叙鼢f 繇讯t 脚 胡) = 声e c 疆一窖 o 】；x ) ， w h e 糟一i st h ei n 伽i 慨i i n 8 呈g e 嘣o ro f a 船o n 每yc o n t i n q o u ss e m i g r o u po f b o u n d e d l i 艚a ro p e r m o r sr g ) + 霸比m a i nt l sa r e 也e 也e o f yo f 呷嚣a 泌rs 钳l l 豳u p 融b a n a e h s p 8 c e s ，t b ep l 叩硪i 髓o fh a l i s d o 蝴m e 鼬u r eo fn 伽c o m p a c 协e 髂粕dt 1 1 e 蠡x e dp o i n t t e c l i i l i q u e s x i s 嘲般0 fm i l d 沁t o n so ft l l e 娜l 鲥o n so fd i f 融锄tc a s ei so b t a i n e d w i 幽o u tm e 嬲s u m p t i 锄o f c o m p a c t l l e s so na s s o c j 删洲i g r o u p h lt h e ，o n d 馥a p 畴r ，、w 咖d ym e t o p 0 1 0 9 i c a lp r o p e r t i e so f s o h j t 两s e to f d e i a y m 咧i 船瞎眦i a l 妇l u s i o 耋l s f i 揪h ec 鲫s i d e ft h ed e l a y 讥t e 鲈d i 彘f 嗽l 粥n 越i o n s ： 任嘲= + f 讯溯城r 【o ，胡) k = 妒e q 卜蟊0 1 ；x ) ， w e d e f ；n es ( d = 8 ：i s 搬e s o l u t i o n o f ( q f ) ； 矽编；石) ； 一，：够力c ( f - 蟊。】；鄹x 叠( f o ，垤，善 i s 嘲e l u t o no f ( 弓，) ； 印) = 缸e 矿( ，2 ；爿) ：j ( o ) = 辨 、p f o v e 壤a ts ，f ) i sar e n 嬲o f 矽( 奶，幽a t i s ，s ( 织f ) c 搿) 蛐d 出e r ee x i s t s 毒 2 练婷婷 时滞型积分微分包吉的解及其性质 c o n 抽u o u sf i i n c t i o n ，s ht h a t ，工) = j f o r a n y 工s 织f ) k e yw o r d s ：h a u s d o f f rm e a s u 糟o fn o n e o m p 觚m 鹳s ；i n t e g r o d i f 凳r e r l t 滴i n e l u s j o n s ； c 0 一s e m i g r o u p ；m i l ds o l u t i 姐；c o n t l n u o u sm u l t i 缸n c t i o n ；蝴c i o n 3 扬州大学硕士学位论文 第一章b a n a c h 空间中时滞型多值积分微分包含 1 1 引言 ：十世纪九十年代以前，具有古典初值条件的微分方程适度解的存在性问题 被广泛讨论 卜3 ，1 9 9 1 年l b y s z 钾s k i 在文献 4 中最先研究了非局部c a u c h y 问 题，非局部c a u c h y 问题较经典c a u c h y 问题更能准确地描述自然现象，因此关于非 局部e 8 u c h y 问题的各种不同类型的方程已有不少人在研究 5 6 ，并基取褥了很 好的成果时滞型方程的研究始于2 0 世纪7 0 年代，t r a v i s 和w e b b 7 8 最早探讨 了一类时滞方程解的存在性和稳定性由于时滞方程能更真实地反映物理变化过 程，近年来受到诸多研究者的关注，他们从不同角度探讨了这一类方程 本文拟讨论b 8 n 8 c h 空间爿中时滞型积分微分包含 丢x ( f ) 芒出o ) + f 置( r ，洲岛) 幽 旭【o ，叭 ( 1 ) 而= 声ec ( 【q ，o 】；鄙， ( 2 ) 其中_ 是b a n a c h 空间石中线性算予半群 丁( ，) ：r o ) 的无穷小生成元。 x ec ( 卜g ，6 】；x ) ：f ：【o ，川c ( 【_ 鼋，o 】；z ) _ 2 。是一个多值映射： 妒e c ( 卜g ，o 】；四；t ：卜尊，o 】哼x 满足薯( 国= 雄+ 卵：是：【o | 纠【0 ，胡一r + 是一个 给定的函数，毛碍为正常数 在本文中，笔者拟利用非紧测度工具，借助 9 ，c 1 0 ， 1 1 中的方法，研究无穷 维b a n a c h 空间石中，在半群仃( f ) ：r 及f 失去紧性条件下司题( 1 ) ，( 2 ) 适度解 的存在性，从而改进和推广一些已有的结果 1 2 4 练婷婷 时滞型积分微分包含的解及其性质 1 2 预备知识 本文总假定空间z 是一个b 锄a c h 空间，并赋予通常意义下的范数 朋c ( 飘胡；x ) 表示定义在区问k 6 】取值于石上的连续函数空间，按范数 删= s u p 肛( o j 【以町 构成b a n a c h 空间：d ( ) c 并专x 是工上强连续算予 半群 丁( f ) ：f 0 ) 的无穷小生成元可测函数x ：【4 ，6 】呻x 称为b o c 1 1 1 e r 可积，当且 仅当f 峥牿( f 翊是l e 沁s g u e 可积鸵，三l ( 【口，6 】；_ ) = 红：【口，越专x l 石b o c h n e r 可积) ， 其范数定义为睁峙= f 陋酗) 廊， 下面介绍一些多值映射的相关知识，具体可参见文献 1 3 _ 1 4 ， 若对任意善芒x ，g ( x ) 是凸阏的，则多值映射g ：石2 。称为凸闳值：如果对 任意有界集b c x ，g ( 丑) = u g ( 曲在工上有界，则称g 在有界子集上有界；若任 ，e 口 意x e 工，集合g ( 妨为z 中的非空闳子集，且任何包含g ( 砖的开集丑，总存在x 的 领域矿，使褥g ( 乃口，则g 在石上称为上半连续；若对任意有界集 口z ，g ( 占) 相对紧，称g 是全连续的：若g 全连续且有非空紧值，则g 上半连 续当且仅当g 的图像是闭的；若存在工z 使得工6 譬，则g 有不动点：本文审 m 。( x ) 表示j 中非空有晃闭凸子集的全体若对任意x e 爿，函数 y ：( o ，6 】呻矗，r ( f ) = 硪j ，g ( f ) ) = i n f ( | z 一：l ：善g o ) ) ，满足y e f ( 【o ，矗】，r ) ，则 g ： o ，川_ + 村 ( ) 称为是可铡的 定义1 1 设r 是实b 粕粒h 空间，四是】，中任一有界子集，令新( 艿) = i 1 1 f ， o ； 丑在j r 能被有限个半径不大于，的球所覆盖) ，称新( 嚣) 为口在j ，中的h a u s d 斌 非紧测度 引理1 1 1 5 设y ，z 是实b 锄a c h 空间，四，c 是r 中有界集，则有下列性质： 扬州大学硕士学位论文 1 ) 占是相对紧的营尻( 占) = o ； 2 ) 新( 口) = 新( 口) = 屁( 椰) ，其中脚枷分别是曰的闭包和凸包： 3 ) 若口g c j 而( 占) 新( c ) ： 4 ) 册( 曰+ o 所( 占) + 舰( o ，其中b + c = 扛+ y ；x 口，) ，c ； 5 ) 册( b u c ) m a x 研r ( 占) ，所( c ) ； 6 ) z r ( 乇口) = i 五l z r ( 回，喜e 中丑r ，z 占； 杌：。x e 丑) ； 7 ) 若映射g ：d ( q ) 】，一z 是l i p s c h 娩连续的，且l i p s c h 池常数为七，则对任意 有界集占d ( q ) ，有z z ( q 曰) 切，( 占) ； 8 ) 舰( 丑) = i n 趣以( 占，c ) ；c y 相对紧 = i n f 以( 占，c ) ；c 呈】，为有限值 ， 其中西( 丑，c ) 是曰，c 在】，中的h a u s d o r f r 度量距离 9 ) 若 既) 二是绅一个非空有界闭子集的递减序列，且满足l i m 。一筋( 形) = o ， 则n ：瓢是r 中非空紧集 定义1 2 设】，是实b 锄h 空间，r ：y 斗l ，连续有界，若存在正常数七 o 时等度连续，则称 半群等度连续 引理1 7 若半群r 0 ) 等度连续，叩三( 【o ，6 】；) ，则对任意f 【口，6 】，集合 i r o s ) ( 曲凼，陋( s ) 8 ，7 ( j ) ，a 卫5 【o ，6 】) 等度连续 定义1 6 如果x c ( 【一q ，6 】，x ) 满足 f 矿( f )，卜g ，o 】， m 卜( o ) + 肌叫脚，r ) g ( ，胎，f ( 0 6 】， 饵 其中g 品。= 占z ( o ，6 】；z ) ：g ( f ) e f 以) ，几乎所有的fe 【o ，6 】) ，则称工是问题 ( 1 ) ，( 2 ) 的适度解 扬州大学硕士学位论文 1 3 主要结果 本节利用h a u s d o r f f 非紧测度的方法给出微分包含问题( 1 ) ，( 2 ) 适度解的存在 性首先给出下列假设： 日。：是强连续半群r ( f ) o o ) 的无穷小生成元，r ( f ) 等度连续，且存在 ( 肘 1 ) ，使得l 丁( ，) 忙m 砟：1 ) f ：【o ，6 】c ( 【一日，o 】；j ) _ ( z ) ，( f “) 寸f ( f ，“) 满足：对任意 “c ( 【一g ，0 】，x ) 关于r 可测：对几乎所有的，【o ，6 】，关于甜上半连续；固定 “c ( 卜吼刎，x ) ，集合品，= g 苣z ( 【o ，6 】；z ) ：g ( f ) ，( f ，t ) ，几乎所有的f 【o ，6 】， 非空 2 ) 存在函数矗： o 明五+ _ 置+ 使得m ，力e 上( 【0 ，非) ( 协o ) ； 以) 对几 乎所有的r 【o ，川连续且递增：对几乎所有的f “0 ，6 】，任意甜c ( 【一g ，o 】；x ) 有 i l ，( f ，“) i | - 蛐p v i ：v ，( ，”) 砸，i “h ，o 】) ：任意正常数蜀，五：标量方程 m ( f ) = 五+ 垦f ( j ，册o ) ) 凼， fe 【o ，6 】 ( 6 ) 至少有一个解 3 ) 存在吁上( f o ，6 】；卫+ ) ，对几乎所有的，【o 川，任意d cc ( 卜g ，o 】；j ，) ，q 有界有 z ( ，o ，q ) ) s 叩o ) z ( o ) ) ，几乎所有的f 【o ，明 ( 7 ) 其中q ( 0 ) = 甜( o ) ：q z 1 ) 任意f 【o ，棚，k ( f ，在【o ，r 】上可测，且足( f ) = 跚s u p | 置( f ，s ) i ：o s r ) 在 【0 ，加上有界 2 ) 映射f 一五：【0 ，6 】斗三( 【o ，卅；r ) ，墨0 ) = x ( f ，s ) 连续 练婷婷 时滞型积分微分包含的解及其性质 引理1 8 1 7 j 若h f l ) 2 ) 满足，则对任意 x 。) = c d ( ) = 缸e c ( 卜g ，6 】；x ) ：x ( o ) = 庐( o ) ) ， g 。 篙c ( o ，6 】；x ) ，g 。s f 。，疗l ，当x 。 工，g 。- 乌g 时，g s f ， 定理1 1 若假设日。，日，1 ) 2 ) 3 ) ，日。1 ) 2 ) 都满足，则对任意妒c ( 【一q ，o 】；) ，问 题( 1 ) ，( 2 ) 至少有一个适度解 证明设置= s u p o 。mi 茁( f ) 1 定义函数m ：【一毋明斗r + 为 f f | | 妒【一。o 】， f 【一g ，o 】； 椰卜汹怫删+ 6 麟肌喇胁州0 ，6 】 定义多值映射r ：c ( 【一口，加；z ) 一c ( 【一g ，6 】；x ) 为 r ( 功= 姐c ( 【一目，6 】；z ) i j 占品，使得 f 庐( 0 ，f 卜g ，o 】； “归佛贼o ) + 胁叫f 踯，r ) g ( ，) 撕，r 【岘h j 电； z c ( 卜g ，6 】；x ) ：s u p 。自r | | “j ) l l 所( r ) ，v f 【o ，6 】) 则c c ( 【一窖，6 】；肖) 且有界凸定义= 丽，则形c c ( 【- g ，6 】；石) 是凸 闭的，且对任意并c ( 卜毋明；x ) 。任意 r ( 砷有： 当f h ，o 】时，) | | ：j j 烈f ) 眦 】s m h 川： 当fe f o ，卅对， 肛删s 朋俐【- 。o 】+ w f f 和，) 扣( m ( ，) ) 抛， 埘1 眵4 ，o 】+ j l i x fr ( ，坍( r ) ) 触， ，胗耻，| o 】+ 6 朋k f o ，m o ) ) 出 所以f f 一吼o 】时，蛐p 。；。i “o ) 临m ( ，) ： fe 【o ，6 】时， s u p 一9 。i i “( s ) 临m 惮忆。o 】+ s u p - 叮。f ( ，m ( ，) 瑚， f 眵忆l + 6 埘x f o ，m ( j ) ) 凼， 9 扬州大学硕士学位论文 = j ，( f ) 由上可知，彬c ，彬有界由 ，( ，) ：r o ) 的等度连续性及引理1 7 可得啊在 【o ，卅上等度连续定义既+ = ，1 ：r 矿一= l ，2 ，) ，由上述证明过程可知 既) 二 是递减序列，在卜口，加上等度连续，且( 呒 ：是c ( 卜g ，6 】；朋中的非空有界闭凸集 对任意 l ，当r 【一g ，o 】时，z ( 形( ，) ) = o ；当f 【o ，6 】时，呒( ，) 和r 均为石 上有界子集所以任意占 0 ，存在序列 靠 嚣c 阮及“。n 。( 女= l ，2 ，) ，使得 z ( “o ) ) = z ( r ( f ) ) 2 z ( “t ( ，) ：。) + 占，亦即j g t s ，。，使得 双形+ ( 嘞蔓2 z ( i r ( f 一对f 足 力 既( r ) 笛d 磁f + 占 下面记= ( 坼) ，由引理1 1 ，1 4 ，1 5 及以3 ) 知： z ( 阡r 肿- ( 嘞2 z ( r k ( ，) ) ， 2 m f z ( f 茁( s ，) ( r ) ) 二毋) 幽+ f ， 4 肘fr l 铂k ，) k ( 繇( ，) ) 嚣渺协+ 占， 4 懈fr z 蝼( ，) 肭圮 s 4 嬲f z q 琊， 出幅 4 f 叩( s ) z ( ( o ) 弦+ s ， 4 勰f 覃o ) z ( ( d ) ：，) 出+ # s 蚰彻f 叩( j ) z ( 呒( 5 ) 涉+ 占 由占的任意性可知 z ( + ，( f ) ) 删x f 玎( s ) z ( ( s ) ) 凼 ( 9 ) 练蚌婷时滞型积分微分包含的解及其性质 定义函数鼻：卜野哼f q + 叫，满足z 9 ) = z ( 形( ，) ) ，当，卜9 ，0 】时，z ( ( f ) ) = o 当f o ，6 时，由( 9 ) 式知： z + 。( f ) = z ( 阡，肿j ( f ) ) 4 6 朋k z ( f 叮( s ) 上( ，胁) ( 1 0 ) 任意，卜吼棚，令，( f ) = i i m 。一 ( r ) ，因为k 单调递减，所以八f ) 存在，且当 f 【一g o 】时，( f ) = o ，在( 1 0 ) 式中令竹斗o 。，得 朋) 4 6 燃f 刁( s ) 厂( s ) 曲， f o ，6 】 ( 1 1 ) 由g r o 埘a l l 不等式知= o 从而任意，卜g ，6 有，( f ) = o 由引理1 3 可得 j 弧。蓉( ，= o 宙； 理i ，i 知= f 1 二吸c q 【可，6 l 0 是菲空紧凸集，且r c 矿，则多值映射r ：矿_ 2 ”为紧映射 任意x e ，显然h c 2 ”非空易证k c 2 ”是凸的，下证r 的图像是闭的 当，【一q ，0 】时，i ? x ( f ) = 妒( f ) ： 当f 【0 ，叼时r ( r ) = 扣：j g s f ，使得= 默r ) 矿( o ) + f ，o s ) r k ( 凡，) g ( ，) 毋西 ， 任意工。e c ( 【o ，明；工) ，n r x 叶j ，_ y 呻y ，即存在晶e & ，使得 y ，( ，) = r ( f ) ( o ) + j r ( ，一s ) r x ( b ，) g 。( ，) c 6 西，且有 z ( ( f ) j ：三) 玉z ( f ( r ，0 ) ) ，s 稚) z ( ( o ) j = o ， 所以( ( f ) = 在石中紧又s u p 。恬。( r ) 忙矗( r ，小( 功，且 ( f ，m o ) ) 三( 【o 6 】；f ) ，从 而堙。二：是( o t 反z ) 孛半紧集，由引理i 6 知& j 争由引理1 ，8 知窖是， 从而y e h 即r 的图像闭，从而可得r 上半连续由引理1 2 知r 在矿中至少存 在一个不动点，其为问题( 1 ) ，( 2 ) 的适度解 注：本文中可用条件( 以) 2 ) 替换条件( 日，) 2 ) ，仍可得到上述结论， 扬州大学硕士学位论文 砟2 ) ：存在函数口e 三( 【0 ，卅；彤) 及递增函数 ：彤_ ，对任意的“c ( 卜g ，o j ；) ，凡乎所有的f e 【o ，叼有l ，( 材埔：= 翱利v l ：v f o ，材) ，蔓a ( ，) 硼“。】) 定理1 ，2 若假设够，坼1 ) 2 。) 3 ) ；1 ) 2 ) 都满足，且任意七 o 有 懈胁) 出磐竿l ( 1 2 ) 强q 对任意c “一窖，o 】；肖) ，问题( 1 ) ，( 2 ) 至少有一个逶度解 证明：类似于定理1 1 的证昵只要证明存在七 0 ，使得逸c 嘎。 反证：若任意i o ，啦旺毋，即存在以e 岛，【0 ，6 】，使得 j | i 限瓴翊茎材+ 鲋f f | 置p ，牡( ，) 丙律) 西落， s 叫脚+ 彻 ) lf 口( ，) 融， = 叫i 酬i + s 嬲，( t ) j 口( r ) 咖f 西， 茎硎硎+ 孙积诹女) f 口( 棚r 在上述不等式的两端同除以七，可得 挚+ 懈竽 不等式的两端令i 呻聊得 t 0 ，存在 j 0 ，任意x 巩( 粕，d ) 有f ( 而) c y i 如c y ，f ( 瑚 o ，存在j 0 ，任意x 巩( ，占) 有f ( 善) c y 仨m i 如 o ，f ( ) ) o ，任意弹 脾 有秘 一善 - 厶乳= 耻 一善毛 l 。+ 一无b g 从而可 知0 是上l ( ；z ) 中的拇西列，由工l ( ；x ) 的完备性知存在，上l 幔；x ) 使得 ! 堑哼，又i 版一九忙肛 ，一一，厶。，所以饿 为q 中柯西列，由n 完备知 存在q 使得丸一妒下证磊挫。苫 ， 1 x 五一，k = 肛t 厶一x 韭+ l 阮一爿b 。i i r o ) ( 丸( o ) 一烈o ) ) + f r o 一曲r k 。，r ) 旺( ，) 一厂( ，) ) 毋凼k + i 阮一州_ 茎8 球) 赫纯( 一伊( 8 + r i l r ( f 一曲8f 0 足( s 力雕工( ，) 一，( ，) | p 溉+ l 一，犯 扬州大学硕士学位论文 s 扩( f ) 磊( o ) 一妒( o ) + 鼠，f 。2 “k 2 “。 阮( ，) 一八，) i i 毋+ 阢一州l s i ( o ) 一矿( o ) i l + ( 胍2 脚扣+ 1 ) 0 一卅b 寸o ，得证 练婷婷时滞型积分微分包含的解及其性质 2 4 主要结果 若( 只) ( 珥) ( 胃；) 均满足，任取渺，力q x _ ( 厶；x ) ，x ，表示( 4 ，) 在厶上的 适度解，定义集合 u ( 妒，) = g _ ( ；x ) 1 9 ( f ) ，( f ，0 j ) ，a ef i ) ( 3 ) ，( 妒) = ，_ ( ；r ) 1 ，u ( 妒，) ) ( 4 ) ( 矿( ，2 ；x ) ，删，) 为( 1 ) ( 2 ) 定义的b a n a c h 空间任取矿q ，定义集合 矽( 加= 缸e ( ，2 ；j ) ix ( 0 ) = 辨， 则易见( 庐) 为( 厶；工) 中的非空凸闭子集，且满足s ( 庐，) c ( 妒) 引理2 1 ：设( 只。) ( 王) ( 正k ) 均满足，则( 3 ) 定义了一个多值映射u ：q f ( ；盖) 一q 证明：易知u ( 庐，厂) 是可分解的，由，闭值可知u ( 办，) 是f ( ，。；j ) 中的闭有界 子集，由k u r a t 0 w s k i 及r y n n a r d z e 鹳k i 定理 3 知集合u ( 办力非空，故 u 婶。n d e 引理2 2 ：若( 吼) ( 廓x 巩) 均满足，任意妒q 工e c ( l ；工) ，则x 是柯西问题 q ，的适度解当且仅当存在，f ( 妒) ，使得z = x “ 证明：由( q ，) 适度解的定义可得该结论 定理2 1 ：若( 也) ( 珥) ( 巩) 满足，令g = ，曲q 矿( ，2 ；z ) i q ，石e 形( ) 则存在一个连续函数丑：g 斗( 厶；石) 满足： 任意善e 矿( 钐， 置( 妒，x ) s ( 庐，) ( 5 ) 扬州大学硕士学位论文 任意工s ( 妒，f ) ， r ( ，x ) = x l 6 j 证明：设u 是引理( 2 1 ) 中定义的多值映鼽 第一步证明u 是h a u s d o r f f 连续的首先证明u 是h a u s d o r f f 上半连续的 反证：若【，不满足h a u s d o r f f 上半连续，即存在s o 及序列 ( ( 屯， ) ) cq x 口( ；x ) 满足( 丸，z ) 寸( 丸，矗) ，且存在 岛) u ( 九， ) 使得 d f ( g 。，u ( 九，o ) ) s ( 7 ) 任意”，定义m 。：呻置( 工) 满足： 中。o ) = f ( f ，石， ) n 占f ( g 。( f ) ，d j ( g 。( ，) ，( f ，寸 ) ) + 害_ ) ， z 口 由h i 衄e l b e r g 4 知垂是一个可测多值映射且存在中。的一个图象，其为 三。雪( 盖) 一可测的，由k u r a t 钾s k i 及r y l 卜n a r d z e 邪虹定理 3 知，存在 基u ( 丸， ) 满足对几乎所有f ，忙( r ) 一晶( ，) 噍( g ( 。，( l ) ) + 云， u ( 丸， ) 满足对几乎所有f ，i i g 。( r ) 一晶( ，) 噍( g ( o ，( f ，z ? 。，0 ) ) + 毫， 又对几乎所有的，晶( f ) f ，) ，从而 l l 岛一未k = l ，“i 晶c d 一未c r ) | 卜 蔓l l e - 2 州”叱( g ，f o ，廿囊) 瑚+ l e 2 驯。寺毋 i e 4 “p r ( ，n ) ，( f ，妒矗) ) 卉+ 三 由( 酬：) 知卜孔sp ( f ) 眇 卜三 由于，哼而o _ m ) ，所以存在n 。e ，任意”2 有i 岛一五扎 s ，从而对任 意玎有d ，( ，u ( 九，五) ) o ，定义多值映射中：寸盖( z ) ，满足 o o ) ：，( f ，彩山) n 巩( ( ，) ，如( g ，( f ) ，( f ，j ? ， ) ) + 与， 口 则中可测且存在g ：u ( 矿， ) 使得对几乎所有的f 五，满足 o g i ( f ) 一g z ( f ) 忙以( 晶( r ) ，( f ，z ，) ) + 三，又因为g - ( f ) f ( ，) ，从而 恬，一g z 峙i s - 2 “z k ( ，( f ，x ? “) ，f ( ，? 正) 矽+ ie 4 “m 三卉，由( 砟) ( 2 ) 知： i 旧一儿e 2 “o j ( ，) 忙一石，20 出+ 占， s r e 4 “办( ，) ( f 口 w 忻国一石( d 胁毋+ 占， = 趟尉z ( s ) 一正( s ) i l ( r 肫。2 舢j i ( f ) 啪凼+ 占， s 旅r 忧一石( 酬专2 删日凼+ 占， = 去鹾一删。+ 占 从而畋( g 】，u ( 妒，五) ) 专口匿一五j l j + f ，由舅的任意性可得： 。裂) 叱( g l ，u ( 以五) ) 考4 置恢一正虬+ s 又蜀，g ，位置等价，从而可得： 扬州太学硕士学位论文 2 2 。器，略国：，移触z ) ) 羔壶旗腑一磊如+ 占， 则纬( u ( 办z ) ，u ( 声，正) ) a 芷i 防一正儿+ 疗 由s 鲶任意牲知( 8 ) 式成立。 由b r e s s a n 1 知当多值映射盯满足第一步及第二步时，存在连续映射 妒：q x 量五；x ) 啼三l ( 五；x ) ，对 壬意q ，满足下刭性质： 任意，e f h ；x ) 经豢毫f 钐 矿( 妒，力璺，( 力 ( 1 0 ) 9 ( 农) = 歹 t 1 1 ， 任取( 九砷e g ，x 仨矿( 力，从而存在唯一的，e r “；z ) 使得x = x 7 为( e ，) 的适 度解，所以锻岭= 筑) ，令删，一，) ：五碎盖，满足 r ( 矿，x ，f ) = ? o ) 妒+ 联f 一曲p ( 丸，) o ) 出， 所以矗( 以7 ) 。一州“，易见孟：g 呻矿( 五；石) 有意义下证胄连续： 经敬( 磊，磊岂g ，鹾，4 ) g ，碱， ) 一辘， ) ，驭丽娩，五) 峥( 疙，磊) ， l 置( 碗，一) 一露( 庐。，一蕊) b s l 晨( 蛾， 矗) 一r ( 磊，工。 砸+ l 妒( 丸，正) 一妒( 魂，五) 1 b ， = l f ( f ) 盛+ f 联，一对f 是g ，s ) 鲈碱，五$ ) 西一f 馥) 磊一f z 譬一曲f 置。，曲碳蝣，五) 。) 凼0 + 胁( 霰，只) 一伊( 钰，五) k ， | i ，( o ( 丸一磊) l + f r ( f s ) r j ( 亿j ) i i 烈丸，工) ( 印一尹( 磊，二) o ) 8 幽 + i 妒峨，) 一烈岙，石) 如， 练婷婷时滞型积分微分包含的解及其性质 s 8 纯一磊8 + 反m 您2 “4 f z - 2 “4 p ( 杰，五) ( 订p ( 死，二x 曲出 + 0 妒( 丸，z ) 一妒( 如，工) 4 p ， 0 杰一蔬”( 捌w 勖2 “扭+ 1 ) f i 妒( 吨，五) 一缈( 唬，。) 扎 o 故震连续 任取庐g x 矽( ) ，则存在厂e r ( 印x ) 使得x = z ”，由( 1 0 ) 妒( 以力f ( 妒) ，由 引理2 2 知j 9 融7 e s ，f ) ，又矗( 氟x ，) = x 9 ，x = 工7 知足( 幺j ) e s ，d ，从 而( 5 ) 成立任取妒q ，z s ( 妒，) ，由引理2 2 知，存在，f ( ) 使得x = j 1 。，由 ( 1 1 ) 可知j = ，州，7 = 曼( 织，) = 胄。功，所以( 6 ) 得证从而定理2 1 锝证。 注：若定理2 1 满足，则s ( 丸f ) 是矿( 妒) 的一个收缩又因为形( ) 是b a n a c h 空 间矿编；) 中的凸子集，由b o r s u k 2 8 知s f ) 是一个绝对收缩，且其为 矿( l ；x ) 中的非空闭有界子集 堑型查兰堡主竺堡堡苎型 参考文献 【1 】k b a l a c h a n d r 扑，r s a l ( t h j v e l ，j p i d a ue r c o n 仃o l l 曲i m yo f n e u 仃a l 劬吐i o ni 1 1 t e g r o d i 位r 即t i a ls y s t e m si nb 锄a c hs p a c e s 【j 】c o m p u t 既m 劬a n a i s e l 2 0 0 0 ，3 9 ： 1 1 7 1 2 6 【2 】k b a l a c h a n d r a n ，r s a i ( t h i v e l e ) ( i s t 吼c co fs o l u t i o n so fn e u t r a lf h n c t i o n a i i n t e 乎o d i 腩r c n t i a ie q u a t i o n si nb 姐a c hs p a c e s 叨p r o c i n d i 锄a c a d s c i m a c h s c i 1 9 9 _ 9 1 0 9 ：3 2 5 - 3 3 2 【3 】j p d a u e l k b a l a c h a n d m e 采i s t e n c eo fs o i u t i o n so fn o n l i l l e 盯n e u t 随ln l n c t i o n a l i n t e g r o d i 腩r 血le q u a t i o n si nb 孤a c hs p a c e s 川j m a m a n a l a p p i 2 0 0 0 ，2 5