（机械设计及理论专业论文）脉动流和支承运动联合激励作用下的管道振动特性分析.pdf

沈阳航空工业学院硕士学位论文 摘要 本文以两端铰支和两端固定输流管道为研究对象，研究了管道在脉动流和支承运动 联合作用下的参数共振问题。分析了各种参数，如流体流速、质量比、粘弹性阻尼系数， 管道预紧力等，对系统稳定性以及管道振动特性的影响。 采用多尺度法直接求解偏微分运动控制方程，得到了运动控制方程的零阶近似方程 和一阶近似方程。通过对零阶近似方程的摄动分析，得到了前两阶固有频率对流体平均 流速的依赖关系以及质量比、预紧力等参数对它们的影响。当流体脉动流频率接近某阶 固有频率两倍、支承运动频率接近于某阶固有频率一倍时，输流管道发生共振。通过对 运动控制方程的一阶近似方程进行摄动分析，根据可解性条件，得到了非零解的振幅响 应方程，绘制出了脉动流和支承运动联合作用下的输流管道共振响应曲线，并且分析了 零解的稳定性。将本文结果与脉动流作用下两端支承管道参数共振的结果相比较，可以 很明显的看出，管道从无支承激励到有支承激励后，管道振动的振幅响应范围有明显的 扩大。 利用伽辽金方法导出了运动控制方程的四阶离散化近似常微分方程组。运用数学软 件( m a t l a b ) 绘制了不同支承激励下的“位移速度相平面图”和“位移时间历程图”、 “速度时间历程图”，对理论结果进行了数值模拟验证。 关键词：输流管道；脉动流运动；支承激励；多尺度法；稳定性；数值模拟 沈阳航空工业学院硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rr e s e a r c h e st h ep a r a m e t r i cr e s o n a n c e so f p i n n e d - - p i n n e da n dc l a m p e d - c l a m p e d p i p e sc o n v e y i n gp u l s a t i n gf l u i dw i t hs u p p o r t i n gm o t i o ne x c i t a t i o n t h ee f f e c to fp a r a m e t e r s ， s u c ha st h em e a nf l u i dv e l o c i t y , d a m p i n g ，m a s sr a t i o ，e x t e r n a l a p p l i e dt e n s i o n ，o nt h e p a r a m e t r i ci n s t a b i l i t yr e g i o n sa n dt h en o n l i n e a rd y n a m i c so ft h es y s t e mi sa n a l y z e d i nt h e a n a l y s i s ，t h e o r e t i c a li n v e s t i g a t i o n sa r ep e r f o r m e df i r s t l y , a n dt h e nt h er e s u l t st h a ta r eo b t a i n e d f r o mt h et h e o r e t i c a le x a m i n a t i o na r ep r o v e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n dc a l c u l a t i o n s t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a lg o v e r n i n ge q u a t i o ni ss o l v e dd i r e c t l yb yt h em e t h o do fm u l t i p l e s c a l e s ( m m s ) ，a n dt h ec l o s e d - f o r me q u a t i o n sa r eo b t a i n e da to r d e rz e r oa n do r d e ro n e t h e n a t u r a lf r e q u e n c i e so ft h ef i r s tt w om o d e sa r ed e t e r m i n e da n a l y t i e a l l ya sf u n c t i o no ff l u i d v e l o c i t y ，m a s sr a t i oa n de x t e r n a la p p l i e dt e n s i o n w h e nt h ep u l s a t i n gf r e q u e n c yi sn e a r l y t w i c ea sb i ga san a t u r a lf r e q u e n c y ，a n dt h ef r e q u e n c yo f s u p p o r t i n gm o t i o nn e a r l ye q u a l st h e n a t u r a lf r e q u e n c y , t h er e s o n a n c eo c c u r s w i t ht h es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n s ，w ec a ng e tt h e r e s p o n s ee q u a t i o no ft h ev i b r a t i o na m p l i t u d ea n dt h ec u r v e so fa m p l i t u d er e s p o n s e w i t ht h eg a l e r k i nm e t h o d ，t h eg o v e m i n ge q u a t i o ni st r u n c a t e di n t oas e to fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fo r d e rf o u r t h ep h a s ep l a n ep o r t r a i ta n dt i m e ( v e l o c i t y ) h i s t o r y p o r t r a i t sa r ei n v e s t i g a t e dr e s p e c t i v e l ya td i f f e r e n te x c i t i n gf r e q u e n c yt oc o n f i r mt h et h e o r e t i c a l r e s u l t s k e yw o r d s ：p i p e sc o n v e y i n gf l u i d ；s u b - h a r m o n i cp a r a m e t r i cr e s o n a n c e ；s t a b i l i t y ；s u p p o r t i n g m o t i o n 1 i 沈阳航空工业学院硕士学位论文 单位长度的流体质量 单位长度的管道质量 流体的截面面积 粘弹性阻尼系数 刚度系数 质量比 流体平均流速u 脉动流振幅 相位角a 。响应振幅 小量参数 主要符号表 m 单位长度的管道质量 管道的长度 彳管道的截面积 g 重力系数 p预紧力 固有频率 c o ，脉动流频率 1 7 调谐参数 纯振型函数 i v m u 彳 口 y m 见 s 沈阳航空工业学院硕士学位论文 第1 章绪论 在这一章节中，我们首先简要介绍本课题所涉及的理论研究背景及工程中的现实意 义，然后对这个领域国内外所进行研究的历史渊源和现状进行回顾，最后简单介绍本论 文所作的主要工作和论文内容的编排，以及论文的创新之处和存在的不足。 1 1 研究的目的和意义 随着现代科学技术的飞速发展，现代工程中越来越多地使用管道来输送流体。输流 管道在石油能源工业、航空宇航工程、动力工业、核能工业、化工工业等诸多的工业领 域内的应用也越来越广泛。例如，在飞机、火箭以及其他航空航天器中的燃料输送管道， 液压、气压管道，大型压力机器中的压力管道，城市供水系统中的长距离输送管道，大 型集中供热、供气系统，大型油田中的长距离输水、输油、输气管道，核电站中核反应 堆的水循环冷却系统等等。在我国，随着国家工业化进程的不断加快，目前输流管道的 应用范围也变得越来越广泛。比如，已经建成的“西气东输 工程管道，连接油田和炼 油厂、运油港口的输油管道，还有已经开通的从中亚的哈萨克斯坦到中国境内的原油输 送管道等。这些具有及其重大的政治意义和经济意义的跨国原油输送管道，对于缓解我 国现今的石油紧缺状况和保障我国未来能源安全都具有十分重要的意义。 我国对输流管道的关注和研究已经有很长一段时间的历史了。对输流管道失稳情况 的分析就是其中的重点之一。 已有的研究分析表明，输流管道系统是一种白激振动系统【卜2 1 ，本身具有非线性、 非保守和自治等动力学特性。因而在一定条件下，即使没有外在强迫力的作用时，结构 本身也可能发生不稳定的振动。当振动的强度达到一定程度，这种不稳定现象将导致机 构因疲劳而破坏【3 。5 】。所以说，管道振动是一种非常典型的流固耦合失稳现象，它的重 要特征就是在固一液介质交界面上发生相互作用 6 】，而这种相互作用将通过固体和液体 耦合面的平衡及协调关系引入到运动控制方程中。 在流体或外力激励的作用下，管道的失稳一般分为以下两种现象： 1 发散失稳，它属于一种由流体流动引起的静力屈曲，此时管道在偏离平衡位置的 新位置重新稳定下来。 沈阳航空工业学院硕士学位论文 2 颤振失稳，它属于一种振幅随时间增长的动态失稳，即通常所称的振动。此时管 道围绕平衡位置做小幅的往复运动。其运动形态可能是周期的、准周期的，混沌等不同 的运动形式。 例如，当管道内所输送流体的流速达到或超过某一临界值的时候，就可能会引起整 个管道系统的振动7 别。如果这种振动持续的时间过长或者振动的幅度过大，就可能造 成管道的薄弱部分因疲劳而破坏，使管道输送的流体向外泄露，从而酿成重大事故。所 以说，这种振动所造成的危害是非常严重的。据统计，全世界范围内每年因管道振动破 坏造成的经济损失高达百亿美元。在我国，这类事故也有明显上升的趋势，并造成了多 起重大人员伤亡事故和巨大的经济损失。 由此可见，输流管道振动特性问题的研究不仅具有广泛的科学背景，而且也具有十 分重要的工程实际研究价值和意义。因此，对于输流管道的不稳定特性的研究以及如何 控制管道振动的问题，现在已经成为许多实际工程结构设计中亟待解决的科研课题之 1 2 国内外研究现状概述 在已有的对输流管道的振动特性所作的分析研究中，加拿大著名的管道问题专家 p a i d o u s s i s 和美籍华人科学家陈水生( s s c h e n ) 对此做出了突出贡献。他们取得的许多 成果至今仍被研究者所大量引用。根据p a i d o u s s i s 以及i s s i d 于1 9 7 4 年对这方面相关的 历史文献所进行的研列10 1 ，b o u r r i e r e s 在1 9 3 9 年就这一课题公开发表了第一篇论文，在 文献中他推导出了正确的输流管道系统的运动控制方程，并且得到了摆动失效的许多特 征。他还通过理论和实验两方面，对输送流体悬臂管道的动力不稳定性进行了检验。因 而，对于输流管道动力学特性和其动力稳定性的早期理论研究工作，人们通常都认为从 b o u r r i e r s e 在19 3 9 年的研究开始。 时隔十余年后，由于横跨阿拉伯地区石油输送管线的修建，人们逐渐开始关注由原 油和天然气输送所引起的输流管道的振动现象，并且还发现了管道存在油流和气流引起 的屈曲失稳现象。在1 9 6 6 年，g r e g o r y 又对此问题重新进行了系统理论和实践上的研究， 并发现了在足够高的流体流速作用下，悬臂管道将会发生颤振失稳。在此以后，以输流 管道的线性模型为对象的研究开始蓬勃发展起来。在1 9 7 3 年，d b m c l v e r 推导出了变 沈阳航空工业学院硕士学位论文 质量系统的h a m i l t o n 原理，为悬臂输流管道等非守恒系统的研究奠定了理论基础；1 9 7 4 年，p a i d o u s s i s 利用有限差分法和变分法研究了悬臂输流管道的稳定性问题【1 1 ；u l s o ye t a l 和w i c k e r t 、m o t e 分别在1 9 7 8 年和1 9 8 8 年对相关的理论和试验研究成果进行了回顾 总结；1 9 8 8 年，s s c h e n 也在其发表的专著中总结了此前许多研究者对于输流直管、输 流曲管以及输流壳体动力特性所作的研究成果；在1 9 9 1 年，p r a m i l a 和l a u k k a n e n 利用 有限元法考察了t i m o s h e n k o 管道的临界流速。 以往较早的研究中，研究者主要将目光集中在轴向运动速度和固有频率的依赖关 系，以及在临界流速处发散失稳的存在上。系统固有频率随着流体输送速度的增加而下 降，并且运动介质在临界流速处经历了发散失稳。由于运动方程中陀螺项的存在，特征 方程是复数的并且是与速度相关的。m i r a n k e r 首先研究了系统全部机械能的周期变化， 推导出了依赖时间的轴向速度运动方程。w i c k e r 和m o t e 1 2 】证明了在固定支承条件下， 轴向拉力和由速度产生的陀螺项引起了系统能量的变化。他们也利用复模态分析的方法 研究了管线的横向振动。w i c k e r 分析了一个轴向运动的、张紧的梁在超临界速度和次临 界速度范围内的非线性自由振动。p a k d e m i r l i 1 3 - 1 4 使用h a m i l t o n 原理重新推导了轴向加 速度运动弦的运动控制方程，并且运用f l o q u e t 理论数值地研究了响应的稳定性。 p a k d e m i r l i 和u l s o y 使用多尺度法得到了近似解析解，并且证明了相对于离散摄动 方法，对运动方程直接应用摄动方法将对更高阶展开产生更好的结果。因为直接摄动方 法并不需要对方程进行变换，也不需要选择正交性条件，所以更加简便。o z 1 5 - 1 7 运用直 接摄动法研究了轴向加速度运动弦任意两阶模态的主参数共振和组合共振。o z 也研究 了轴向加速度运动物质在从弦到梁变化的过程中所产生的力学行为，并且提出了非线性 固有频率的近似解析表达式，确定了稳定性边界，研究了主参数共振。后续研究者也逐 渐深化了对这个领域的认识，到目前为止已经作了相当多的理论和实验工作。 1 3 课题研究的内容、方法 这一课题所作的工作主要是分析和确定两端固定和两端铰支管道在管内脉动流和 支承运动联合作用下各个参数的变化对振动幅值的影响以及响应曲线特征，分析其解的 稳定性，之后对理论的结果进行数值模拟验证。 对于管道振动的问题，特别是非线性振动问题，一般从两个方面着手，一是根据力 沈阳航空工业学院硕士学位论文 学条件建立机械模型，通过实验研究各种参数变化对振动特性造成的影响，以及出现稳 定解的条件。实验研究不仅仅可以直接验证理论分析的正确性，而且对于一些复杂的振 动系统也能够直接得到规律性的结论，因此，也成为进一步发展理论的基础。与实验相 对应的是理论研究，这是振动问题研究中的一个主要方面，由于工程技术发展的迫切需 要，从上世纪二十年代起，各种线性和非线性振动理论得到了迅速的发展。其中线性理 论分析是基于理想条件进行的，而很多工程问题实际上是非线性的。基于非线性微分方 程的特点，在非线性振动理论中没有适应各种不同类型方程的通用的解析方法，目前只 有极少数的非线性振动方程可求得精确解。为了尽可能深入地了解系统的非线性振动特 性，已研究出不少有效的近似方法。例如：谐波平衡法、正规摄动法、李兹泰德一庞加 莱法、平均法、多尺度法、渐进法等等。这些方法都有它们各自的适用范围及优缺点。 在以往的研究文献中，对管道振动问题的分析多采用将运动控制方程进行离散化处 理以后，再利用平均法进行分析，达到对方程的简化，分析稳定性与解的分岔行为等目 的的方法。平均法的基本思想是，根据非线性振动解析方法的一次近似理论，把描述位 移与速度变化的微分方程转化为描述振动和初相角变化规律的微分方程，从而得到简化 方程。这种方法适用于求一次近似解，可以用来研究多种管、梁或弦模型，但在分析高 阶近似时，所涉及的数学变换比较复杂，显出了它的局限性。 平均法是利用两种不同的时间尺度，将系统的振动分为快变和慢变两个过程，来标 志系统振动的主要参数，再将振动振幅和相位角在快变过程的每一个周期内平均化，然 后着重讨论慢变过程。为了提高平均法的计算精度，可将时间尺度划分的更为精细，由 此发展为2 0 世纪6 0 年代的多尺度法。 1 9 5 7 年斯科罗特最早提出了多时间尺度的概念，6 0 年代奈弗( n a y f e h a h ) 将各 阶近似解设成t 、甜、占2 f 等多个自变量( 或多个时间尺度) 的函数，建立了多尺度法。 经过多人的完善和发展，形成了一种十分有效的近似计算方法。与摄动方法相比，多尺 度法的明显优点是不仅能计算周期运动，而且能计算耗散系统的衰减振动；不仅能计算 稳态响应，而且能计算非稳态过程；也可以分析稳态响应的稳定性，描绘非自治系统的 全局性运动行为【1 8 。多尺度法可以灵活地引入时间尺度或多个变量，因此求解过程可以 不受固定程式的约束。但是多尺度法也有它的不足，当非线性函数非常复杂时，应用多 4 沈阳航空工业学院硕士学位论文 尺度法就有一定的困难。 在本文中，我们将不对管道运动控制方程进行离散化处理，而直接采用多尺度法对 管道方程进行摄动分析。获得两端支承输流管道的振动特性，找到控制振动的方法。应 用定性与定量分析相结合的方法，分析系统参数的改变对解的变化范围影响，将得到的 结果与其他文献互相比较验证。 1 4 预期目标 通过本课题的研究，应用多尺度法直接分析各个参数对输流管道振动特性的影响， 得到它的响应方程，以及系统中的各物理参数对振动的剧烈程度及稳定性的影响。在脉 动流和支承运动同时存在的情况下，讨论了各物理参数的相互关系，并与只存在脉动流 的情况下的响应图相比较，从而得出控制管道危险振动的理论依据和方法。并能应用于 工程实际中，从而减小由于管道振动所造成的不必要的损失。 1 5 课题研究的突破与创新 本文所作的研究工作的突破与创新之处在于，直接将一种摄动分析方法一多尺度法 应用于有一定刚度和粘弹性的带有脉动流和支承运动的输流管道，并对其进行了较为详 细的理论分析，得到了特殊情况下两端支承输流管道振动的振幅的响应曲线。在以往的 论文中，大多都是单独存在支承运动或单独存在脉动流输流管道的研究，而本文是脉动 流与支承运动联合作用下输流管道的研究，这是在以往的工作中没有研究过的。 1 6 本课题研究存在的不足 1 本文所研究的理论模型，都是理想化的支承情况，而在工程实践中并没有完全意 义下的两端固定或两端铰支，都存在一定的误差，因此本文所得的结论与实际情况尚有 较大的差别。 2 本文在研究前为了方便起见，做了一系列的假设，这些假设并不符合实际情况， 因而它无疑也会影响到在实践中的应用。 3 由于脉动流与支承运动联合作用下输流管道的振动问题较复杂，目前这方面的研 究比较少见，在本论文中，研究的只是在支承激励n = 国。附近、流体脉动频率= 2 0 。附 沈阳航空工业学院硕士学位论文 近情况下输流管道的振动特性，并不适用于其它情况，因此，本论文的研究尚有一定的 局限性。 1 7 论文的基本结构 本论文的基本结构层次如下： 第一章 绪论】：介绍课题研究的目的、意义、国内外目前研究的状况、研究中所采用的 方法以及预期达到的效果，给出论文的结构层次，提出论文的突破创新之处及存在的不 足。 第二章【运动控制方程 ：建立脉动流与支承运动联合作用下两端铰支和两端固定输流管 道的运动控制方程。 第三章 运动方程的摄动分析 ：利用多尺度法直接对管道运动控制方程进行摄动分析， 得到运动控制方程的零阶和一阶近似方程。 第四章 输流管道的非线性振动特性】：分析脉动流和支承运动联合作用下输流管道的振 动特性。绘制输流管道响应曲线图。 第五章 数值模拟 ：采用伽辽金方法将偏微分控制方程离散化处理成常微分方程组后， 利用数学软件，m a t l a b 进行数值模拟分析比较。 结论】：对全文所作的研究工作进行总结。 沈阳航空工业学院硕士学位论文 第2 章运动控制方程 在这一章中，我们将建立边界条件为两端铰支和两端固支输流管道的运动控制微分 方程。在建立方程的过程中，考虑了脉动流与支承运动的影响，然后将管道运动控制方 程无量纲化。本章得到的无量纲化的运动控制方程是以后各章应用的基础。 2 1 运动控制方程的建立 我们研究的是边界条件为两端铰支与两端固定( 其理论模型分别如图2 1 与图2 2 所 示) 的输流管道，管道竖直放置，这使得研究时减少了重力加速度对管道横向运动的影 响4 m 4 1 。文中研究基于如下假设： ( 1 ) 管道的力学模型为欧拉一伯努利模型，不计轴向剪切力的影响； ( 2 ) 忽略管道外部运动阻尼； ( 3 ) 管道材料为粘弹性，且符合k e l v i n v o i g t 假定，即其应力一应变关系满足如下等式： 仃= h 昙卜 亿， 式( 2 1 ) 中，e 为材料的弹性模量，a 为粘弹性系数( 其值很小) 。 图2 1 两端铰支输流管模型图2 2 两端固定输流管模型 沈阳航空工业学院硕士学位论文 a p ， + a 一批 凹 图2 3 流体单元体受力图 图2 4 流体单元体加速度图 图中，各符号的意义为： m 一单位长度流体质量；u 一流体速度；p 一单位面积流体压力； s 一通流截面周长；f 一单位长度管壁对流体法向力； 毋一管壁对流体切向力；a 一通流截面面积。 加速度与惯性力的对应关系为：口。与腕相对应，表示流体单元沿管道的加速度； 口y 与m 窘出相对应，表示y 向运动廊的加速度；口。m u 2 窘出相对应，表示 由于流速方向的改变而造成的向心加速度；口t 与2 m u 曩羞出相对应，表示科氏加速度。 由于管道的变形转角为0 ( 其值较小) ，所以可以忽略高阶微量的影响，并利用近似 算式：c o s 目：l 与s i n 0 圭0 ：孚，根据流体单元受力图及其加速度图，可分别列出平衡 方程如下： x 方向的力平衡方程： ，罢一m o 一彳罢一秘+ m g ：o ( 2 2 ) y 方向的力平衡方程： m ( 扣跏邶t 砂x x 埘罢萨0 2 y + 4 蓑罢一。 亿3 ， 截取管道单元的长度为d x ，考虑管道单元所受的各种外部力和惯性力，其受力分析 沈阳航空工业学院硕士学位论文 图及加速度图分别如图2 5 与图2 6 所示( 坐标建立见图2 1 ) 。 m g d x 图2 5 管道单元体受力图图2 6 管道单元体加速度图 图中，各符号的意义为： 朋一首= i 苴早兀截回所承叟阴驾矩；q 一首遁早兀截回所承党明舅力； 丁一管道单元截面所承受的轴力；m 一单位长度管道质量。 加速度a t 与惯性力m 学出相对应，表示管道在y 方向的加速度。 o t 按照与流体单元作相同处理，可列出平衡方程如下： x 方向的力平衡方程： 掣一，孚+ o s + m g ：0( 2 4 ) o xo y 方向的力平衡方程： f + 署+ r 筹+ 罢罢邶罢一m 窘= 0 亿5 ， 缸锄2叙缸1 缸钟2 、 力矩的平衡： q ：一_ = o m 一* ( 2 6 ) 由材料力学的知识m + ：e i 馨，再结合应力一应变关系式( 2 1 ) ，我们可以得到： o x 。 沈阳航空工业学院硕士学位论文 q 一( ，+ 口- ) e 1 0 3 y - c 2 刀 由“( 2 3 ) 一( 2 5 ) ”，并将( 2 7 ) 代入其中，整理后得： ( m 昙) 厨害删训警“m u 姗0 2 y ，+ ( m u 2 _ t + a p ) 0 萨2 y + 么_ o p - = o y - 一i o t - = a y - + m u o 。y ：0 ( 2 8 ) 舐氖叙舭 缸 、7 r h “( 2 1 ) + ( 2 3 ) ”，得： 昙p 一彳p ) = m o 一( m + 聊) g ( 2 9 ) 对( 2 8 ) 式在区间 x ， 上积分，得： 、 ( r a p ) 。上；( 丁一彳p ) + 删一( m + m ) g ( 三一x )( 2 1 0 ) 假设在管道的最下端x = l 处，t = 于，流体所受的压力p a = 勘( 1 2 v 6 ) ，p 一为端 点处单位面积流体所受压力，一2 v d f f a 为内压引起的附加张力，v 为泊松比。当管道下 端运动受到限制时，万= 1 ；当管道下端自由时，万= 0 。从而，( 2 1 0 ) 式成为： ( 丁一a p ) = 于一a p 一( 1 2 v 6 ) + m u 一( m + m ) g 】( 一x )( 2 1 1 ) 两端支承( 铰支或固定) 的管道，会在振动时因其横向弯曲而导致管道中心轴线的伸长， 引起轴力的改变。因此，需要考虑附加的轴向力项，这个附加轴向力的计算如下： 取管道微段长度为出考虑其弯曲变形，如图2 7 所示。 图2 7 管道伸长示意图 沈阳航空工业学院硕士学位论文 微段的伸长量为：幽：防一1 皿，由泰勒级数展开并取一阶近似得凼= 丢y ：出。于 是，整个管道的伸长量为s = 丢ry 心d x , 平均应变为s = 兰= 上2 lf y 心出，由应力一应变 关系式( 2 1 ) ，得附加应力为： 盯= l + a0 e j 抄出 从而，可得知附加轴向力为： 、 如( - + 口昙) 篆如 亿 考虑附加轴向力后，( 2 1 1 ) 式变成为： ( t - a p ) ：于一a p 一( 1 - 2 v 6 ) + m r 2 一( m + m ) g 一x ) + ( ，1 + 口- g 一；- f f _ r 广出 ( 2 1 3 ) 将式( 2 1 3 ) 代入到式( 2 8 ) 中，整理后得到脉动流作用下的输流管道的运动微分方程 为： f 1 + 口旦o t 、) 口盟o x 4 + m u 2 一于+ 一p a ( 1 如矿k 训g 一埘kx ) ) 窘一 l l + a o e 曩i 出降c m 训窘u 嘉州训巷= o 亿 专承法动住田- f 的揄流管 首系统的王里诊f 力堂、糙型的建寺图28 和图29 所示： 图2 , 8 两端铰支的管道模型图2 9 两端固定的管道模型 沈阳航空工业学院硕士学位论文 当输流管道的支承自身也有一简谐运动： w = ds i n 研 ( 2 1 5 ) 式中，d 一支承运动的振幅，万一支承运动的固有频率。 此时，运动微分方程只需要在微分方程( 2 1 4 ) 式中增加支承运动项就可以了，但是， 需要指出运动微分方程( 2 1 4 ) 式中的y 为绝对位移，而在这里研究的是管道变形，应为 相对位移。其运动位移可写成： y = y y ( 2 1 6 ) 式中，罗表示管道变形位移：y 表示管道的绝对位移；罗表示支承的运动位移，其表达 式为夕= d s i n 万t 。将( 2 1 6 ) 式及歹代x , ( 2 , 1 4 ) 式，为分析问题的方便，把管道的变形仍然 记作y ，则运动微分方程成为： ( 1 + 口o ) e 10 4 y m u 2 一于+ 一p a ( 1 _ 2 v 矿k 训g 一腑k 圳) 丽0 2 y 一 ( 1 + 4 昙) 鲁却窘删圳警2 u 嚣2 + c m 圳g 罢 = ( m + m ) d 历- 2s i n 矾 2 2 运动控制方程的无量纲化 引入如下无量纲参数： 吒y 侉主，季= 警r = ( 熹) j 可t ，= ( 茜) 互砒 耻( 熹) ；，口：( 熹) 圭昙一百f l 2 ，n ：警俨筹 托：，竺坚 - 裾，d ：旦 肛【e ij 础，拈一l l ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 将( 2 1 8 ) 中的各式代入方程( 2 1 7 ) 0 7 ，得到无量纲化的微分方程为： 刁( 4 ) + 口力4 ) + 1 9 2 - - 1 1 + n ( 1 2 v 8 ) + ( m r u 一蚕) ( 1 一f ) 一y c ( 7 7 ) 2d 孝一2 a yj c 7 17 力7 d 善 7 7 ” 沈阳航空工业学院硕士学位论文 + 牙+ 2 m ，u o + 季刁= d n 2s i n ( n r ) ( 2 1 9 ) 式中，( ) 表示掣，( ) 表示掣。 o c o t 无量纲化两端铰支的边界条件为： 7 7 ( o ，f ) = 叩( 1 ，f ) = 0 ，r ”( 0 ，f ) = 刁”( 1 ，f ) = 0 ( 2 2 0 ) 无量纲化两端固支边界条件为： e ( 0 ，f ) = r ( 1 ，f ) = 0 ，r ( o ，f ) = 7 7 7 ( 1 ，彳) = 0( 2 2 1 ) 本文不考虑重力系数虿对脉动流输流管道的影响，这里取虿= 0 ，方程变为： 玎( 4 ) + 口吁4 ) + u 2 _ f + i - i ( 1 2 v 万) + m r f i ( 1 一善) 一7 f ( 7 7 ) 2d f 一2 c r y r 力d 孝 刁” + 移+ 2 m ，u o + 勋= d n 2s i n ( n r )( 2 2 2 ) 在这里我们设预紧力p = f i i ( 1 2 v 8 ) 。 考虑到输流管道的变形为小量，则运动方程的非线性为弱非线性，粘弹性系数也为 小量，做如下变换： r l = 而口= 町d = 占石d ( 2 2 3 ) 将( 2 2 3 ) 代x n ( 2 2 2 ) 0 0 方程变化为： + 2 m ，“厅7 + “2 一p + m ，t i ( 1 一掌) 】7 7 ”+ 叩4 1 = s ( a n 2s i n n r + 厂f 刁彪矿d 孝一卵) ( 2 2 4 ) 沈阳航空工业学院硕士学位论文 第3 章运动方程的摄动分析 本章将对输流管道的运动控制方程进行摄动分析。采用多尺度法直接求解偏微分运 动控制方程，得到运动控制方程的零阶近似方程和一阶近似方程。零阶近似方程是我们 计算管道固有频率的基础，一阶近似方程是我们计算管道振幅响应方程的基础。 我们通过对零阶近似方程的摄动分析，计算出管道在两端铰支和两端固支时的前两 阶固有频率，并且观察前两阶固有频率对流体平均流速的依赖关系以及质量比、预紧力 等参数对它们的影响。当管道流速的脉动流频率接近某阶固有频率两倍、支承运动频率 接近于某阶固有频率一倍时，输流管道发生共振。我们通过对一阶近似方程的摄动分析， 由可解性条件，得到一阶近似方程的简化形式。 3 1 零阶近似运动方程的摄动分析 由第2 章计算得到的管道运动控制微分方程为： l ：j i + 2 m ，u o + 甜2 一p + m ，西( 1 一善) 叩”+ 叩4 = c ( d n 2s i n n r + ye r 2 q ”蟛一聊4 )( 3 1 ) 在通常情况下，管内输送的流体是由活塞式泵或者离心式泵所提供的。在工作中， 这种泵的往复规律运动将为管道提供脉动形式的流体，即流体流速u 是随着时间规律变 化的。对于这种脉动流的流速，通常可将其表示为在流体平均流速基础之上再加上一个 随时间而变化的谐波成分。 流体流速u 以平均流速u 。为中心做简谐变化，又因为简谐变化速度的扰动量为小 量，所以这里写做： “= + 8 u lc o s ( o r ) ，u 2 = u ；+ 2 8 u o “1c o s ( 缈r ) ，z 2 = - - s u l 国s i n ( m r ) ( 3 2 ) 将( 3 2 ) 代入到( 3 1 ) 中，并省略了高阶s 项后得到， 巧+ 2 m , u o 毋+ 2 占m ，u le o s ( 功r ) o + “；+ 2 s u o u lc o s ( o ) l ) 一p s c o m ，“1s i n ( c o t ) ( 1 一孝) 矽+ 即4 = e ( d n 2s i nn r + ye 节心叩”j 孝一勿4 ) ( 3 3 ) 将( 3 3 ) 的近似解设为只取前两阶的形式： 1 4 沈阳航空工业学院硕士学位论文 ，7 ( f ，f ，s ) = 7 7 0 ( 孝，t o ，互) + s 7 7 1 ( f ，瓦，墨) 十d ( 9 2 ) ， ( 3 4 ) 在( 3 4 ) 中，r o = r ，互= 占f 分别表示由于系统某阶固有频率q 所引起的快时间尺度，以及 由管道材料粘弹性阻尼和流体脉动流速而造成振动振幅和相位慢变的慢时间尺度。对时 间变量f 的导数定义为 _ d - = d o + s d l + 万d 2 = d o ( 2 ) + 2 0 - d o 日+ ( 3 5 ) 这里d f = 面d ，将( 3 5 ) 按时间变量f 前两阶导数展开后得到： 孕= d 0 7 7 0 + 占d 0 7 7 1 + 占q 7 7 0 + 磐= 柏o + 2 占d o d t l o + s d 5 2 ) ” ( 3 6 ) 将( 3 6 ) 代入到( 3 3 ) 中，并省略了g 的高阶项后得到： d j 孙r o + 2 s d o d l + f 磁2 7 7 1 + 2 m ，“o ( d o 叩o + s d o l l + s d 佛l o ) + 2 洲，“lc o sc o r d o r o + ( “；+ 2 0 , - u o “lc o s0 9 z ) 一p e c o m ，“ls i n ( c o r ) ( 1 一孝) 】叩o ” + ( 2 一p ) s 研”+ 玩4 + s 7 7 ：4 ) - 占( d n 2s i n 疗”y 胁2 卵。”d 善一f d o t 9 4 ) ( 3 7 ) 将( 3 7 ) 按照s o ，s 1 阶展开后，得到零阶a ；u - - 阶的近似方程如下： s ( o ) ：晤孙r o + 2 m ，“o d o r o + ( “；一p ) 吼”+ 刁5 4 = 0 ( 3 8 ) s ( 1 ) ： 秭2 仇+ 2 m r d o t l , + ( “；一p ) r l , ”+ 掰4 = 如2s i n n r + y 姝2 n 涨一g d 滞一2 & d 1 v o 一2 m r u o d l e o l 一2 m ，u tc o s o p r d o n o f 一 2 u o u lc o sc o z 一g o m r u ls i n ( c a r ) ( 1 4 ) o o ”( 3 9 ) 其中，零阶近似方程( 3 8 ) 的解可以设为【1 6 】： 7 7 0 ( 善，t o ，互) = k ( f ) 以( 互) p 氓+ 霉( 乡) 互( 互) e 砌 ( 3 1 0 ) 式( 3 1 0 ) 中，等式右端符号上的一横表示前一项的复共轭项。k ( 孝) 表示与轴向位移有 关的模态函数，4 ( 五) 表示与慢变时间尺度互有关的振幅。 沈阳航空工业学院硕士学位论文 将( 3 1 0 ) 代入到( 3 8 ) 中， d o ( 2 【k ( f ) 4 l ( 正弦慨r o + ( 孝) 互( 石) p 一蛾 + 2 4 “。d o e ( o & ( t o e 蛾t o + 羲( 0 互何) 矿? 而 + 簖一竹( k ( 0 4 何) p 慨为+ 羲( 0 互( 石) 矿而) ” 嘏( 跳挣+ 写( 躯驴) ( 4 ) = o 展开后得到： 一簖( f ) 4 ( 写) p 慨一e ( f ) 互( 石) g 一帆+ 2 m , u 。 i r o n y ( f ) 以( 石) p 蛾霸 一f 反k 瓦( 孝) 互( 互) p 一蛾而】+ ；一p ) ( k ”( 孝) 以( 巧) e 蛾而+ z ( f ) ”互( 互) e 一氓而) + ( k ( 孝) h 4 ，( 互) e 概而+ e ( 孝) h 互( r o e 一蛾晶) = 0 整理以后，令包含模态函数k ( 孝) 的部分与包含其共轭函数茸( 孝) 的部分分别为零。 ( 孝) 4 4 ( 墨) p + ( 甜；一p ) k ”( f ) 4 l ( 互) p 蛾t o + 2 m ，u o i o ) n y n 7 ( 孝) 4 ( 五) p 而一r , ( 0 4 ( t 1 ) e = 0 ( 孝) 4 互( 墨) p r o + ( 甜；一p ) e ”( 孝) 互( 墨) e + 2 m ，“o f 鸭e ( 孝) 互，( t 1 ) e i r o 一2 w 八芎j 以d ( 巧) e 慨= 0 则模态函数满足方程： 匕h + ( “；一d 艺”+ 2 m , u o i o n y n 7 一l = 0 这个方程的解设为： 匕( 孝) = q 。p 幌n + c 2 。p 垃n 善+ c 3 。p 喝”亭+ c j 。e 池一) 将( 3 1 2 ) 代入到( 3 1 1 ) 中， c l 。 p 展 + c 2 。e 岛一+ c j 。e 岛 j - c 4 。e 反一善) 4 + ( “；- p ) c 1 。 p & n 。 + c 2 。e 设一f + c j ，e 蝎一f + c 4 。e 识n 5 ) ”2 m ，i o c 1 。e 设一掌+ c 2 ，p 渴n 。 + c 3 。e 洒n f + c 4 。e 倾n 手) 一c 1 。 e 幌n 手+ c 2 。e 如+ c 3 。e 谒n f + c 4 。e i a 善) = 0 整理后得到： 砘e 谒一f 一( “；一p ) 威e 瞩”f 一2 m r u o 届。e 碱一一2 届。e 调 + c 2 。缓4 。e 褫一f c 2 。 ；一尸) 肱e 裼n f c 2 。2 m ，u o o ) n 2 。e 拖n f 一岛。属。e 捣n f + c 3 。彪p 谄”一g 。( “；- p ) , b ；e 谄”一g 。2 m , , u o 属。e f q 。屈。e 诌h f ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 沈阳航空工业学院硕士学位论文 + c 4 。飕p 手一c 4 。 ；一p ) f 1 4 2 。e 弛 一c 4 。2 m ，屈，e i p 4 善_ c 4 。2 反。e 城”善= 0 包含层。，屐驴屈驴屈。的部分分别为零， 既g 谓 一( “；- p ) 3 ：, e 讽n f 一2 m ，u o c o 。p , 。e 城n 一程届。e 讽 喜= 0 厦4 。8 仍一( 甜；一p ) p l e 褫n 。一2 m ，u o 殷。e 惕 一q 2 ，履。e 惕n 。= 0 飕p 溺一一( “；一d 鹰，e 喝一f 一2 m ，u o ( 0 i ，属。e 谒一善一0 ) 。2 屈。e 洒一= 0 1 3 ：h e l n 一心蠢一p ) p l e i 鼠h 4 2 m - u ，回n b 4 ，e i 4 n 4 一| 3 e 1 玛n 4 = 0 得到： 露一( “；一p ) 威一2 m ，u 。玩一= 0 ( 3 1 3 ) 3 2 两端铰支管道的模态函数与固有频率 输流管道两端铰支时的边界条件如下： e ( o ) = o ；k ( 1 ) = o ；y , 7 ( o ) = o ；歇1 ) = 0 在式( 3 1 2 ) 中应用两端铰支边界条件后，得到如下方程组： q 。( 1 + c 2 。+ c 3 。+ c 4 。) = 0 c 1 。( 尾+ c 2 。舷+ c 3 。威十c 4 。彪) = 0 c 1 。( e 讽”+ c 2 。e 幌”+ c ：。e 岛一+ c 4 。e i p 4 , ) = 0 c l 。( 屈2 。e 帆+ c 2 。舷e 慨+ c 3 。r ，2 。e 饧”+ c 4 。成，e i l 4 , , ) = 0 ( 3 1 5 ) 将系数c f 驴i = 1 ，2 ，3 ，4 作为未知数，对方程组( 3 1 5 ) 进行加减消元后，可以求得两端铰支 时模态函数匕( x ) 的系数为： r ：一! 继二盛狴兰：二! 竺 ” ( 成，一尾，) ( e 坞一一p 裼”) c ：一篮二盔型竺：二丝：2 。3 ” ( 乞一五) ( e 岛一一p 洒”) c 4 。= - 1 - c 2 。一c 3 。 ( 3 1 6 ) 选堕塾窒三些堂堕堡主堂垡笙茎 _ _ 一一 一一 这里c 1 。取做1 将( 3 1 6 ) 带入到( 3 1 2 ) 中，则模态函数匕( x ) 可以表示为： ，：cx，：c。tp俩一x一丢妻豸黼e】faxi(万fli：2-二z黼2 i p z e 伤一+ h + 等2 淼2 蔗i 1 7 3 骞+ 万( p 2