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文档简介
代数系统与幺函子范畴 马自翥4 浙江大学数学系十 m a z i z h u y a h o o c o r n c r l 摘要 集合配上符合一定关系的运算即为代数,包括群、环、模、h o p f l 数、群表 示等。我们将代数结构认作是严格幺范畴,它可以由某个图生成的自由严格幺范畴 模去一些态射的关系得到。那么某些幺范畴,如( s e t ,+ ) 和( h t o p + a ,+ ) 上的 一个代数就是对应代数结构到它的一个幺函子,幺函子范畴也可被认为该代数类型 的代数系统。 目录 序 1 阜群 2 半群范畴 3 半群函子 4幺范畴 5幺半群 6 幺函子范畴 7 一般代数结构 参考文献 索引 跋 + 住址:浙江大学玉泉校区2 舍i i 0 1 十地址:杭州浙江大学1 2 3 1 信箱,3 1 0 0 2 7 0 0 0,加弛嵋m姐孔 a l g e b r a i cs y s t e m sa s m o n o i d a lf u n c t o rc a t e g o r i e s m a ,z i z h u d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s z h e j i a n gu n i v e r s i t y , c h i n a a b s t r a c t a na l g e b r a i cs y s t e m c o n s i s t s o f s e t s w i t h o p e r a t i o n ss a t i s f y i n g s o m e t e l a t i o n s t h i si sb r o a de n o u g ht oi n c l u d et h eu s a a ls y s t e m ss u c h a sg r o u p s ,r i n g s ,m o d u l e s ,g r o u pr e p r e s e n t a t i o n s ,e t c a n ya l g e b r a i c s t r u c t u r ec a nb er e g a r d e da sas t r i c ts m a l lm o n o i d a lc a r e g o r yg e n e r - a t e db yag r a p hw i t hs o m er e l a t i o n sb e t w e e na r r o w sa n da na l g e b r a i c s y s t e ma sac a t e g o r yi se q u i v a l e n tt ot h em o n o i d a lf u n c t o rc a t e g o r y f r o ms u c hs t r i c ts m a l lm o n o i d a ic a t e g o r yt oa n yu n d e r l 讲n gm o n o i d a l c a t e g o r ys u c ha s ( s e t , ) a n d ( h t o p a + ) 代数系统与幺函子范畴 2 序 我们一般认为代数就是具有若干运算的集合,而这些运算或多或少都满足某些运 算律,如结合律、交换律、分配律。若将这些运算与运算律抽象出来就是所谓的代数 类型,具有某个代数类型所有运算并满足要求的那些运算律的集合我们就称为该代数 类型的代数,蒙群、环、模等。一个代数类型上的全体代数配上保留这些运算的映 射就构成一个范畴,我们可以称之为“代数系统”。从某种意义上讲,整个抽象代数就 是研究运算与运算律的数学分支,也是现代数学的一个基石。在计算机中,工程师们 仅用晶体管模拟出了逻辑演绎中的“与、或、非”三个运算,就改变了人类生活如此之 深。我们甚至可想象,人类大脑的思维过程很有可能也是在不停地“运算”着的,只是 它的物质实现过程太复杂,其间“运算律”我们无法知道。 自g a l o i s 的群论被普遍接受后,数学家们就开始将之推广,从而有了的各种代数 理论,甚至集合也可以被认为是不具有任何代数结构的代数。今天很多的代数结构 单描述起来已经非常复杂,如a 。代数,很有必要将我们概念中的运算和运算律形式 化。2 0 世纪初发展出的“泛代数”理论就是讨论各种可能的代数结构以及这些结构之 间的关系,由于没能将“运算律”形式化,费了很多笔墨研究出的抽象理论很难被应 用。1 9 4 0 年代s a u n d e r sm a e l a n e 提出的范畴学倒是将各种代数系统统一起来成为不同 的范畴,甚至拓扑空间、微分流形也被囊括进来。只是如此高度的概括丧失了很多代 数特有的细节,到了今天,作为代数学一个分支的范畴学在很多其他分支里只是作为 一个语言而已。5 0 年代末范畴学中还定义出“m o n a d ”1 概念,它可以对代数系统作进一 步的处理,并在很多数学分支和计算机科学中得到应用,但仍过粗略。 转机出现在7 0 年代,p e t e rm a y 在代数拓扑中提出“o p e r a d ”概念,本文权且将之 翻译作“算体”2 ,而m o n a d 译为“单体”。 定义o 1 令t 为范畴c 到自身的函子,如果存在两个自然变换? 7 :l c t 和 p :t 2 _ t 满足p t 肛= 肛肛t 和肛功= 肛- 叼t = 1 了1 ,则称( t ,肛,叩) 为c 上一个单 体 定义0 2 令 p ( 礼) ) n 为n 分次集合如果对自然数的任意有限序列 a ”,n 。) ,存在 1 单词“m o n a d ”源出希腊文“# o u d e ”,最早为毕达哥拉斯学派( p y t h a g o r e a n s ) 指作不可分割的对象。 后来被莱布尼兹( l e i b n i z ) 用来比喻人精神的独异性,国内的一些哲学家因此将之翻译作“单子”。在现代 英语中也指单细胞生物或单一体。 2 国内曾有人译作“操作数”,台湾为“运算元”。但“o p e r a d ”这个单词取“o p e r a t i o n ”与“m o n a d ”合 体,“操作数”显然不贴切。如果作“运算元”的话,那“m o n a d ”就应该翻译成“单元”,虽然意义上比较 接近,但容易让人误解。如果“m o n a d ”作“单子”,那“o p e r a d ”就成了“算子”,与“o p e r a t o r ”重复。 半群代数系统与幺函子范畴 3 映射k :o ( n ) xo ( a i ) xo ( a 。) 一o ( a l + + a 。) 满足交换图 。( n ) i i ( 。( n t ) 。( 嵋) ) 坚。( n ) 。( e 吗) i = 1 ,= 1i = 1 k x l il 4 n o t o ( 。) p ( 吗) 7 臼( 釜蟛) , i = 1j = 1 并且o ( 1 ) 中存在一个元素。对任意f 有一( 。,) = 一( ,。,。) = f ,那我们称( 0 ,k ,。) 为一个非对称集合算体 定义0 3 令( o k ,l ) 为一非对称集合算体,对于集合a ,如果对任意自然数凡存在映 射a :0 ( n ) a ”一a 满足交换图 p ( 佗) x 。( 。) a 2 。t 必。( 礼) 小 = ,j卜 o ( 2 a 。) xa “t 了一a 并且f l ( 。,a ) = a ,那我们称( a ,f ) 为一个0 代数 “算体”这个概念在提出后很长一段时间并没有受到关注,直到9 0 年代初一些数学 家发现目前理论物理中最热门的弦理论,经常涌现出的各式“理论”,具有一种类似算 体的结构,例如共形场论( c f t ) 、拓扑量子场论( t q f t ) 等。将这一切统一起来,有 助于对规范场和超弦等理论进行统一的数学描述,这也可以将不同的代数结构统一起 来。 巧合的是,无论范畴还是算体,都是从代数拓扑中提炼出来的概念。而代数拓扑 的本意是希望借助代数的工具研究几何。现在也算几何学对代数的一个反促进吧! 本文并未使用太多专门的代数知识,但假设读者已经熟悉范畴、万有性质、函 子、自然变换、伴随函子等概念,差不多相当于 1 1 中c h a p t e ri5 7 和c h a p t e r x 中关 于范畴学的介绍。由于很多概念提出不久,国内并无统一的译名,文末特意列了一份 中英文名词对照的索引。文中将要给出定义的概念第一次出现时我们还用黑体字强调 出来,假设读者已知定义本文不再赘述的用仿宋体,专有名词但非数学概念的用楷体 字。 1 半群 最简单的常用代数结构莫过于半群了,它般指具有一个满足结合律的二元运 半群代数系统与幺函子范畴 4 算的集合不妨令s 为一半群,对任意正整数n ,它都有一个n 元运算 s “_ s s nj 呻s l s 2 s n 这里s ”指n 个s 的卡氏积s s s 假如我们不再知道关于s 的其他信息, 也不想改变字母s ,s z ,s 。的次序,所有的多元运算仅能通过该二元运算迭代得到 了且由于结合律的成立,无论迭代的顺序如何,结果都一样,就是我们一股记成的 s 1 s 2 s n 多元运算仅考虑从酽到s 的映射,如果我对任意的正整数m 和n ,考察s m 到 铲可能的映射仍然在不改变字母s ,s 。,s 。次序的情况下,我们只能将之映射成 当我们把m 看成一个序数时, o - ,a 2 ,a 。) 是m 的一个分划,e a 。= m 且每个如 0 如果我们把仇和n 都看成序数,或者全序集 1 ,2 ,m ) 和 1 ,2 ,n ) , a 。,n 。,a 。 唯一地确定了m 到n 的个保序满射 ,:m _ n ih j , 当a l + - - + 一1 z 畴又叫2 阶范畴 定理5 5 如果c 是一个存在有限余积和一个始端。的范畴,类似于例44 我们知道 ( c ,i i ,口) 是个幺范畴,那么c 中每一个对象有n r 有唯一的一个幺半群结构 证根据始端的定义,有唯一的一个态射i :d c 由余积的万有性质我们知道对任意 对象存在一个折叠映射厂:c uc c 并且下面两个图 ( c uc ) c 量c ( c c ) 二坚c uc 皿j c i io c c 掣lc o 册t 卜 g uc lo 交换所以任意对象c 有一个幺半群结构反之同样由余积的万有性质,欲使左上方的 图交换,:c i ic c 只能是唯一的折叠映射 口 定义5 6 令( ,n ,肛,叩) 为幺范畴( m ,o ,e ) 中一个幺半群,m 到朋中一个对象。上的一 个( 左) 幺作用是指满足如下交换图的( 左) 半群作用v :m o a , e o 里m on a 卜 、l 0 例57 ( a b ,0 ,z ) 中的幺半群,也就是含幺环的幺作用我们一般称2 _ 9 幺作用模而 对于交换含幺环r 上一个有幺元的代数,也可以被认为是( r - m o d , r ,r ) 中的一个幺 半群,它的表示一般指( r m o d , r ,r ) 中的一个幺作用 幺函子范畴 代数系统与幺函子范畴 1 5 6 幺函子范畴 定义6 1 令( m ,o ,e ,o ,a ,p ) 与( ,因,e 7 ,7 ,a 7 ,) 为幺范畴,( l ,r ) 为( m , ,d ) 到 ( ,囟,) 的半群函子如果存在态射f :e 一l ( e ) 使得图表 夕 彳涂 l ( n e )l ( e 血) , 对m 中任意对象a 交换,那我们称( l ,t ,2 ) 为( 朋,圆,e ) 到f :函,e ,) 的一个幺函子 例62幺函子在幺范畴中很普遍: 1 对任意幺范畴( 朋,o ,e ) ,不妨假定它局部小那么存在一个函子 h o m ( e 一1 :m - - - - - - 4s e t a h h o m ( e ,a ) 对m 中任意两个对象a 、b ,有 盯。,6 :h o m ( e ,o ) h o m ( e ,6 ) h o m ( e e ,o o6 ) 兰h o m ( e ,。ob ) 针对a ,b 自然,另外1 。还诱导态射i :$ 一h o m ( e ,e ) 可以验证( h o m ( e ,一) ,q j ) 就是一个幺函子 2 对任意交换含幺环r ,存在从整数加群z 到r 的一个群同态r ,如果r - m o d 指r 上全体幺作用模那么例33 中的半群函子( 阢r ) 也可以被认为是一个幺函子 ( 矿,lr ) 定义6 3 令( k ,r ,k ) 和( l ,t 7 ,f ) 为( m , ,e ) 到( ,因,e 7 ) 的幺函子如果( k ,t ) 到 ( l ,r 7 ) 的一个半群变换口满足以k = f ,那我们称r 为k 到l 的一个幺变换 跟半群范畴一样,任意两个幺范畴之间的全体幺函子和幺变换构成一个范畴,我 们称之为幺函子范畴,记作 ( m , ,e ) ,( ,因,e ,) 定理64 令( m : ,e ) 为一幺范畴,t :2 1 和i :0 1 是前面定义的a 中的 态射对任意从( ,+ ,o ) 到( m ,o ,e ) 的幺函子( m ,r ,1 ) ,( m ( 1 ) ,m ( t ) n ,l ,m ( i ) 2 ) 都是 ( m ,q ,e ) 中的一个幺半群反之对( m ,o ,e ) 中任意幺半群( m ,c ,”) ,存在一个幺函 幺函子范畴代数系统与幺函子范畴 1 6 子( l ,7 _ ,f ) :( ,+ ,0 ) 一( m , ,e ) 使得l ( t ) n ,1 = 弘,l ( i ) l = q 并且对全体自然数他 有l ( n ) 竺舻也就是说,( c ,圆) 中全体幺半群范畴m o n ( c , ,e ) 和半群函子范畴 ( ,- f ,o ) ,( e ,o ,e ) 】之间有一对函子 g :m o n ( c ,圆,e ) ( ,+ ,o ) ,( c , ,e ) :g 7 , 并且他们是伴随函子f f 7 证根据定理24 我们知道对幺函子( m ,t ,f ) ,( m o ) ,m ( t ) n ,1 ) 是( m ,o ) 中的半群并有 有交换图: m ( 1 ) m ( 1 ) 幽m ( 1 ) 。m ( o ) 2 生m ( 1 ) p e m ( i ) 。i l 、j r m ( o ) om ( 1 ) f 一m ( 1 ) 叫 e m 所以( m ( 1 ) ,m ( t ) r l ,1 ,m ( i ) f ) 是( 2 , 4 , ,e ) 中幺半群反之对( 朋, ,e ) 中幺半群( m ,p ,7 7 ) 我们就定义l ( o ) = e 并且l ( n ) = m “,对于中态射,:l 一礼对应了集合 1 ,f ) 的 分划 o ”,n 。) ,我们设定当a 。= 0 时1 a ,= q :e m ,当a 。o 时。为定理39 中 的肛。:m 。t m ,然后定义 l ( f ) = l a 1 o1 2 a 。:m 2 一m “ 使得三是个幺函子这样我们就定义了函子g 和g 7 ,同样可以看出g 7 g = 1 而g g ,到 l 有个自然变换使得g _ 1 g 7 是伴随函子口 针对幺作用,我们也可以构造一个严格幺范畴a 来描述这种代数结构,这次对象 就需要是自然数集的平方n 2 ,也就是复平面上的非负整点,态射是由下面的图 下2 3 i 2 i z p q 、,“ 一- 一 o 12 3 4 5 生成的自由严格幺范畴再模掉由 肛( 肛+ 厶) = p ( 厶+ ) ( 卢+ 厶) = v ( 1 1 + ) p ( 叩+ 1 1 ) = 厶= p ( ,l + 7 7 ) ( 7 7 + 厶) = 厶 一般代数结构 代数系统与幺函子范畴 1 7 生成的共轭关系一个关于态射的等价关系若对任意等价的a b 和c d 都有 o + c b + d ,并且如果o ,c 和b ,d 分别可以复合的话有a 。c b od ,那我们称之为一 个共轭关系类似定理6 4 对任意幺范畴( m ,o ,e ) 我们也有一个伴随函子 日:a c t ( m ,o ,e ) = ( a ,+ ,o ) ,( m ,o ,e ) :h 7 7 一般代数结构 定义7 1 一个严格幺范畴我们可以称之为一个代数结构 这样对于任意非对称集合算体( o ,一,。) ,我们构造一个代数类型0 ,它的对象是全 体自然数并且 h o m ( m ,n ) = u o ( a 1 ) o ( a 。) ,v m ,竹n e a i = r n 态射的复合可由定义02 中的一给出: h o m ( f ,m ) h o m ( m ,礼) = ( uo ( a 1 ) - - p ( n 。) ) ( up ( 6 - ) - 。( 6 。) ) e a l = e b j = m 羔uo ( o ) o ( n m ) o ( 6 ,) p ( 6 n ) e n f f e b j = m 星u ( o ( a t ) o ( a b 。) o ( b ) ) ( o ( a m “。+ ,) o ( ) o ( k ) ) e o ,= f e b j = m 三兰与u o ( 0 1 + + 。b 1 ) p ( 山。+ 1 + + ) + h o r n ( ,礼) e b j = m 而0 是个严格幺范畴同样是由自然数加法得到: + :0 0 叫0 ( m ,n ) h m + n , h o m ( k ,f ) h o m ( m ,礼) 一( u 。( 。t ) p ( 。z ) ) ( u o ( b ) e a l = k6 j = m 型uo ( 1 ) o ( 。f ) o ( b ) o ( b 。) o ,= k e b j = 1 h o m ( k + m ,z + 礼) 我们可以推广定义0 3 中0 代数的定义 参考文献代数系统与幺函子范畴1 8 定义72 令( m , ,e ) 为一幺范畴,( o ,k ,) 为非对称集合算体,对m 中任意对象a 可 以知道 h o m ( a “,o ) ) 也是一个非对称集合算体那么( 0 ,一,。) 到某含( h o m ( a “,n ) ) 的一 个算体态射,也就是例52 中( s e t “, ,) 上的一个幺半群同态我们称为( 朋,圆,e ) 中的 一个p 代数 把( o ,凡,。) 这个算体看成一个代数类型( o ,+ ,0 ) ,这样类似于半群幺半群的性质对 任意算体上的代数都有: 定理7 3 任意( o ,+ ,0 ) 到( m , ,e ) 的幺函子l ,l ( 1 ) 有个自然的。代数结构,反之任 意p 代数a 也会诱导( 0 ,+ ,0 ) 到( m , ,e ) 的一个幺函子也就是下面的伴随函子: f :0 一a l g ( m ,o ,e ) ( 0 ,+ ,o ) ,( 3 ,o ,e ) :g 前面我们讨论的都还都是相对简单的代数类型,对于交换半群、交换幺半群这类 的代数结构我们需要用到对称幺范畴另外群可以被看作集合中的h o p 玳数,而一个 h o p f f _ 数首先要是个双代数即便不要求它交换但对此代数结构也需用到对称幺范畴 但自从杨振宁发现物理中的我们原以为对称的东西却并非如此之后,人们又陆续发现 了很多不对称的现象,但这些也不是跟对称性一点关系都没有,而具有一种类似辫子 群的结构,我们可以认为是介于对称于不对称之间的一个状态同样幺范畴与对称幺 范畴之间也存在着一种辫幺范畴这一切最好站到一个更高的角度才可能看得清楚! 参考文献 。1 冯克勤、章璞、李尚志,群与代数表示引论,中国科学技术大学2 1 世纪教改 系列教材,合肥,2 0 0 3 为方便国内读者查阅,下面的的英文书籍国内凡有影印本出版的一律以国内出版 社名为识。 2 】ma g u i l a r ,s g i t l e ra n dc p r i e t o ,a l g e b r a i ct o p o l o g y 加mah o m o t o p i c a lv i e w p o i n t ,u n i v e r t e x t ,s p r i n g e r ,n e wy o r k ,2 0 0 2 3 m a r t i n ,a l g e b r a ,机械工业出版社,经典原版书库,北京,2 0 0 4 4 m f a t i y a ha n dig m a c d o n a l d ,i n t r o d u c t i o nt oc o m m u t a t i v ea l g e b r a ,a d d i s o n w e s l e ys e r i e si nm a t h e m a t i c s3 6 1 ,a d d i s o n w e s l e y , 1 9 6 9 5 dw b a r n e sa n dj m m a c k ,a na l g e b r a i ci n t r o d u c t i o nt om a t h e m a t i c a ll o g i c , g r a d u a t e st e x t si nm a t h e m a t i c s7 3 ,s p r i n g e r v e r l a g ,n e wy o r k ,1 9 7 4 参考戈献代数系统与幺函子范畴 1 9 6 r b r o w n ,g r o u p o i d sa n dc r o s s e do b j e c t si na l g e b r a i ct o p o l o g y , h o m o l o g y ,h o m o t o p ya n da p p l i c a t i o n sv 0 1 1 ( 1 9 9 9 ) ,n o1 ,1 7 8 ( 7 】b d a ya n drs t r e e t ,k a ne x t e n s i o n sm o n gp r o m o n o i d a lf u n c t o r s ,t h e o r ya n da p p l i e a t i o n so fc a t e g o r i e sv 0 1 1 ( 1 9 9 5 ) ,n o 4 ,7 2 7 7 8 j h a r r i s ,a l g e b r a i cg e o m e t r y :af i r s tc o u r s e ,g r a d u a t e st e x t si nm a t h e m a t i c s 1 3 3 ,世界图书出版公司,北京,1 9 9 5 9 】r h a r t s h o r n e ,a l g e b r a i cg e o m e t r y ,g r a d u a t e st e x t si nm a t h e m a t i c s5 2 ,世界图书 出版公司,北京,1 9 9 7 1 0 】p j h i l t o na n dus t a m m b a c h ,ac o u r s ei nh o m o l o g i c a la l g e b r a ,g r a d u a t e st e x t s i nm a t h e m a t i c s4 ,世界图书出版公司,北京,1 9 9 7 1 1 tw h u n g e r f o r d ,a l g e b r a ,g r a d u a t e st e x t si nm a t h e m a t i c s7 3 ,s p r i n g e r v e r l a g , n e wy o r k 1 9 7 4 1 2 n j a c o b s o n ,l e c t u r e si na b s t r a c ta l g e b r a - b a s i cc o n c e p t s ,g r a d u a t e st e x t si n m a t h e m a t i c s3 0 ,s p r i n g e r v e r l a g ,n e wy o r k ,1 9 5 3 1 3 】ck a s s e l ,q u a n t u mg r o u p s ,g r a d u a t e st e x t si nm a t h e m a t i c s1 5 5 ,世界图书出版 公司,北京,1 9 9 5 1 4 s ,
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