（基础数学专业论文）一类p叶负系数解析函数族.pdf

中文摘要 摘要 本文分为三个部分，第一部分为预备知识，主要介绍一些基本概念并综述了关 于系数估计，凸半径，从属关系定义性质以及求极值的主要结论；第二部分是定义 一类新的函数族h p ( a ，p ) ，得到h p ( q ，p ) 的一些列关于系数估计，r t l 半径，哈达玛乘 积性质，以及对积分算子进行研究；第三部分是根据第二部分关于p ( q ，p ) 的性质 找小其极值点，并研究其积分平均值 关键词：p 一叶负系数解析函数；哈达玛乘积；偏差定理；系数估计；极值点 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ei sc o m p o s e do ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，i ti n t r o d u c e ss o m eb a s i c c o n c e p t sa n dm a i nr e s u l t sa b o u tc o e 硒c i e n te s t i m a t e s ，s t a r l i k er a d i u s ，c o n v e xr a d i u sa n d t h ep r o p e r t i e so fs u b o r d i n a t i o n ；i nt h es e c o n dp a r t ，i td e f i n e sac l a s so fc e r t a i np - v a l e n tf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t sh p ( o ，p ) ，w ed e r i v e ss e v e r a lp r o p e r t i e so f h a r d m a r dp r o d u c t ，c o e f f i c i e n te s t i m a t e s ，d i s t o r t i o nt h e o r e m sa n do fh p ( a ，p ) ；w ea l s o f u t h e r m o r ei n v e s t i g a t et h ei n t e g r a lo p e r a t o r so fh p ( o ，f 1 ) ；i nt h et h i r dp a r t ，i tf i n d so u t e x t r e m ep o i n t so fh p ( 口，p ) u s i n gs e v e r a lp r o p e r t i e so fh p ( o ，) ，i nt h em e a nw h i l e ，i t i n v e s t i g a t e st h ei n t e g r a lm e a n so fh p ( o t ，p ) k e yw o r d s ：p - v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i e n t s ；d i s t o r t i o nt h e o r e m s ；c o e f f i c i e n te s t i m a t e s ；e x t r e m ep o i n t i i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导卜独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文f i 包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者 签名日期 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完伞了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的日j 刷本和电了版本；学校有权保1 竽并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采刖影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文：在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名： 飙加p 1 口鬻嘉科日 签名日期：叩年j 月刃日 第一章引言及预备知识 1 1 引言 第一章引言及预备知识 对函数类进行研究一直以来都是复分析方向的研究内容之一在数学研究中 会遇到各种不同的极值问题及不等式，而根据泛函分析中的k r e i n m i l m a n 定理，许 多极值问题都可以利用极值点理沦得到解决单位圆盘内单叶解析多项式 ，( z ) = z + a 2 2 2 + a 3 2 3 + + a n z “+ 日d b i e b e r b a c h c o n j e c t u r e 猜想即可得到关丁：系数的估计i n i k ( k = 2 ，3 ) 关于各种类型的多项式的系数估计许多学者专家得到相应的结果，负 系数的单叶多项式及各子类的系数估计已经有许多结论e k 关于单叶负系数多 项式的系数估计，偏差定理及极值都有很好的确定；h a l i t o 关于只n ，a ，o t ，y ) 单 叶解析负系数函数族的系数估计，偏差定理及极值也有相应的研究m k a o u y 研 究了一类p 叶解析函数族 舻，= = 舢七 z _ 的子类p 国，口) = n ) ( ，( z ) a ( p ) 且关j ：，( z ) 的卷积性质 本文用s ( n ，p ) 表示所有的在单位开圆盘u = z ： ；) ( z u ) 湖北大学硕士学位论文 这里0 o t 0 ) ( z eu ) 这里0so f p ) ( z eu ) 重点解决了这类函数的哈达玛乘积，半径i 、口j 题及分式应用许多学者还就s ( n ，p ) 族 作过了极值点等其它领域方面的研究奉义丰要研究了函数族h p ( a ，p ) 的各种性 质，通过系数估计等价条件的推导，重点探讨了该函数族q u a s i 一哈达玛乘积的 具体形式，并给出了其极值点集的具体证明及结论。从1 9 7 0 年，泛函分析中凸技巧 应用到某些解析函数类中，由此产生了一般极值问题的研究 本文分为三个部分，第一部分为预备知识，定义一类新的函数族h p ( o t ，p ) ，主 要介绍一些基本概念并综述了关于系数估计，凸半径，从属关系定义性质以及求极 值的主要结论 第二部分是在得至i j h p ( a ，仞的一些列关十系数估计，凸半径，i 硷达玛乘积， 以及积分算了进行研究 第三部分足根据第二部分关，y h p ( o ，) 的性质找出其极值点，并研究其积分 平均值 1 2 预备知识 先介绍一些函数类的概念及记号：设u 表示单位圆盘z ：z 1 ) 用s ( 咒，p ) 表示所有的在单位开圆盘汐= z ： 1 内解析且具有形式 ，( 2 ) = z p - z 0 0 n 七名知( 奄。，礼，p = 1 ，2 ，) )(11)k = n + p 、7 的p 一叶负系数解析函数族 一2 一 第一章引言及预备知识 s ： f ( z ) ：f ( z ) 在u 内单叶解析且，( z ) ：z + 壹a k z k ， l k = 2 ， s + ( 口) = ，( z ) ：冗e 等等) q ，。q 称9 ( q ) 为q 阶星形函数作成 的类当o t = o 时，称厂( z ) 为星型函数记y ( z ) s + c ( q ) = k e 1 + 搿 q 。q 1 卜c ( 龌示q 阶凸函数作 成的类当o t = o 时，称，( z ) 为凸函数记y ( z ) c 死( p ，口) = ，( z ) ：，( 2 ) s ( n ，p ) ，f ( z ) s + ( q ) ，0 q 1 称t n ( p ，q ) 为q 星 形的 c n ( p , a ) = f ( z ) ：，( z ) s ( n ，p ) ，( z ) c ( q ) ，o q 1 称g 仞，q ) 为n 凸 的 定义1 2 i f 2 】对于区域d ，若对任意z ，y d ，有a z + ( 1 一入) y d ( 0 a 1 ) ，则称d 是凸域 定义1 2 2 1 2 1 设x 为线性拓扑空间，u 是x 的个非空子集，z o 是u 的一个元 素如果z o 不能表示成u 的两个不同元素的真线性凸组合，则称z o 为u 的一个极 值点记u 的极值点集为e u 引理1 2 1 f 2 】牡e u 的充分必要条件是着0 a q ， 1 一o 七 即k ( k c ￥) a k p ( p q )( 礼，p ) k = n + p 0 0 ( 充分性) 假设式ek ( k a ) a k p ( p q ) 成立，则 k = n + p 故冗e ( ，+ 令 鬻一p厂k ) ， 定义1 2 31 0 0 k ( k p ) z 七一p a k z 七呻 k = n + p g ( z 、= z p o o p 一k a k z 枉p k = n + p z k - p a k z 南( a 七o ，p ) ， b k z 知( b 七0 ，p ) ， ，i cg ( z ) = z p 一 q p q 称厂木g ( z ) 为i ( z ) 与9 ( z ) 的h a d a m a r d 乘积 定义1 2 4 【1 2 】 若，( z ) 与9 ( 名) 在u 卜解析，若存在，上的解析函数u ( 名) ，使 一5 p 一 七 一 p z l i z ， zb p 一 湖北大学硕士学位论文 得u ( o ) = 0 ，i u ( z ) i o ，且；+ 百1 = 1 贝。称p 与口互为共轭指数对o p 。，若，( 名) 定义在单位圆盘上满足，记 。厂| | p ： j 0 2 丌i ，( 2 ) i p d p ) 吾 把满足| i 州p o o 的所有函数构成的集合称为l p 引理1 2 4 1 2 5 1 若p 与g 互为共轭指数，则 z 2 ” ，( z ) 夕( z ) i p d 毋 z 2 ”i ，( z ) l p d 毋) 吾 z 2 丌l 夕( z ) e d p ) j 即 i i f y l l l i i f l l p i l g l l 。( 1 2 ) 1 2 式称为h o l d e r 不等式 引理1 2 5 【2 5 】对于0 p q 0 0 l qcp 证明只需证明，( z ) l q ，则有f ( z ) 利用h o l d e r ) f g 等式可得到 z 2 霄l ，( z ) i p d p z 2 ”l ，c z ) l 。d p ) ； z 2 丌j 百与d 口) 孚 故f ( z ) 1 2 引理1 2 6 【12 】若，( z ) 与g ( 2 ) 住单位圆盘u 内解析，f ( z ) 0 ，及z = r e 徊( 0 p ( z u )( 1 ) 这里p n ，月p 2 ，0 q 1 ，0 p d ( o o t 1 ) ，则称，( z ) 为。阶凸形 第：章h p ( q ，p ) 的性质及极值点i 口j 题 定理2 2 1 若f ( z ) s ( n ，p ) h f ( z ) 日p ( q ，卢) ，则当 7 = n 叫车瑞等等警替黔嵩等瑞珊， ，( z ) 为7 阶凸形 证明由定理2 1 1 矢n f ( z ) h p ( c t ，p ) 当且仅当 后( 七一1 ) 1 + ( 1 一o ) ( 七一2 ) 嚣与面1 可1 习乒矿2 百毗 l ，p ( p 1 ) + ( 一q ) 扫一) 一p ) ”8 。工 由引理1 2 3 只需要 k ( k 一7 ) ，k ( k 一1 ) 1 + ( 1 7 ) ( 七一2 ) ) 一一 p ( p 一，y ) 一p ( p 一1 ) l + ( 1 一q ) ( p 一2 ) ) 一p 则得到 1 翌! 生二1 2 1 1 ! ! 二竺! ! 坌二1 2 1 二坌! 翌二! ! ! ! ! ! 二竺! ! 竺二1 2 1 二堡垒 一 ( k 1 ) 1 + ( 1 一n ) ( 七一2 ) ) 一p 一1 ) 1 + ( 1 一q ) ( p 一2 ) ) + p 其中 定理2 2 2 若f ( z ) h p ( a ，p ) ，则当o i z i 7 1 时， 证明因为 化) i ，。p + o 七 却 ( 2 8 ) k = n + p ，( z ) i t n 驴1 + k a k r 帅 ( 2 9 ) k = n + p 。七当筹若瓣 七 z口 p 一 一 p z = z f ， 湖北大学硕士学位论文 则可得到 其中 而由丁 则可得到 m ) l r p + a k r i 。 k = n + p 。o r p + 口七p 押， k = n + p 。知器尚赭 蚪1 + 。七r 肿p 1 k = n + p 其中 当等错 注：对于n 詹可视为 的级数。凶为 f 0 ， 【口七， k n + p ； k 礼+ p 醛器器觜， 0 0 由正项级数比较原则有a k 收敛 一 七 z口 一 詹七 p 一 七 一 一 p z p = z ，j p +n o后 p 一 + 升 ” 1 ) ，则当a b c 时， 督= n 十p ，= 1 我们有r ( z ) h p ( a ，7 m ) ，这里 a = p ( p 一1 ) 1 + ( 1 0 1 ) ( p 一2 ) 】 ( n4 - p ) ( 礼+ p 一1 ) 14 - ( 1 一q ) ( 凡+ p 一2 ) 】 一1 ， b = m p ( p 一1 ) 【1 + ( 1 一q ) ( p 一2 ) 】一p 7 ，p = m i n l j s m 岛 ， c = p ( p 一1 ) 14 - ( 1 一c 0 ( p 一2 ) 】一p ) ( 礼+ p ) ( n + p 一1 ) 【14 - ( 1 一o r ) ( n4 - p 一2 ) 】) 一1 ， 刊p 瑚州刊c 删一而崭杀烯等等署篙击 证明假设f j ( z ) = 扩一a k ，j z 七h v ( a ，岛) ，j = 1 ，2 ，m ，则南定 k = n + p 理2 1 1 我们知道 。霎。喾群芒端斛庐，m 南彖口p ( p 一1 ) 【1 + ( 1 一q ) 一2 ) 】一岛w j 一j 。 再南柯西不等式得到 所以 妻 lk = n + p 。三0 0 。 若群4 - 昔端卜c t k , j蠡三暑口【p ( p 一1 ) 【1 ( 1 一q ) ( p 一2 ) 】一岛j k ( k 1 ) ( 14 -( 1 一q ) ( 七一2 ) 】 一a ) ( p 一2 ) 】一岛p ( p 一1 ) 14 - ( 1，) r 乩2 ，仇 七妻p 仁姜 嘉揣糕卜。) ，埘 1 3 一 z 七 o p 一 奄 湖北大学硕士学位论文 我们必须找到最大的使得 知妻p 群篙蒜c 酗m 胚1 协均 七耋j pp ( p 一1 ) 1 + ( 1 一o ) ( p 一2 ) 】一、毛j “乜二1 忏“叫 由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 是真的如果 令 我们有 巢群拦蒜c娶mp(p - t - 1 ， 一1 ) 1( 一q ) ( p 一2 ) 】一、j ”j 7 k ( k 一1 ) 1 +( 1 一q ) ( 七一2 ) 】 一n ) ( p 一2 ) 】一岛p ( p 一1 ) 1 + ( 1 p = m i n 。 1 3 j 1j ! m 卜她帅) 三，坐二业! ! 二竺世二型 m 鼍j 【p ( p 一1 ) 1 - i - ( 1 一q ) ( p 一2 ) 】一岛卜 三m 妻j = l 老裂等1 糯卜 一 77 【p ( p 1 ) 1 + ( 一o ) ( p 一2 ) 】一j “七j = 去 拦群器1 卷器陲吒， m 【p ( p 一1 ) 1 + ( 一q ) ( p 一2 ) 】一pj j ”j 所以( 2 1 4 ) 等价于 k ( k 一1 ) 【1 + ( 1 一n ) ( 七一2 ) 】 p ( p 一1 ) 1 + ( 1 一q ) ( p 一2 ) 】7 m 去 p 尝( p 裂等1 鬻卜帅， 仁嘲 一m 【一1 ) 1 + ( 一o ) ( p 一2 ) 】p v 。二”，7 、“1 。， 即 。p ( p 一1 ) 1 + ( 1 一口) ( p 一2 ) 】一百c a l ( 七佗+ p ) 这里a l = m p ( p 1 ) 1 + ( 1 一q ) ( p 一2 ) 】一p ) ，b 1 = 七( 尼一1 ) 1 + ( 1 一q ) ( 七一2 ) 】，r 一1 ， 现令 夕( 七) = p ( p 一1 ) 1 + ( 1 一o ) ( p 一2 ) 1 一百- t 1 1 4 ，【 m 同 1 一m 一p ，( z ) 由f ( z ) = 字后。一1 ，( ) 班确定，则当 兄+ 时，z 1 一p 厂( 2 ) 是 单叫的其中 r r + = i r l f 【 则 f ( z ) k ( k 一1 ) 【1 + ( 1 一口) ( 尼一2 ) ( 后+ 1 一p ) ( c + p ) 证明由于 p ( p 一1 ) 1 + ( 1 一a ) ( p 一2 ) 】一p z p lz 。f ( z ) 】7 c + p 由式2 1 8 可得 心) = 了c + l 1 此 o 。 = 名p - - c z p + c f o z 二一 k = n 4 - p 1 砰1 ( k - 4 - c ) 】 ( 后2 ) j o o o k z k + c 】7 = z p 一 k = n + p 一一壹( 等胁少， k = n 4 - p 。i 。 ( 产吖) = 1 一 南引理i 2 7 只需证明当i z i r + 时，有 而 z l - p f ( z ) 7 一l 由定理2 j 1 知： k = n + p ( c + 后) ( 七十1 一p ) c a t - p z l - p f ( z ) 一1 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 而c + k ) 哪七，( 2 1 8 ) a k z 南_ p 1 成立 矗妻p t 警h 呻 ( c + 七) ( 后+ 1 一p ) c + p a k z 七一p 1 ) 【l + ( 1 一q ) ( 后一2 ) r , c p 一1 ) 【1 + ( 1 一o ) ( p 一2 ) 一p ， 1 6 p 一 若 坠上芈型。脯一壹k ( k 1 ) 【l + ( 1 一q ) ( 七一2 ) 1 c 十p， 七= = n + p p ( p 一1 ) 【1 + ( 1 一q ) ( p 一2 ) 一p 啡却儿) 】，一l 成立即当 水 笺禺高搿蔗r 偿忉 2 1 t 1 万j 砸了f i 面了盯乏厂蕊， - j u 可得n z l 叩，z ) 是单叶的 从而 肚愁搿 等当高等箸瓮广 一1 7 湖北大学硕士学位论文 第三章h p ( a ，卢) 的极值点问题及积分平均值 3 1 日p ( q ，p ) 中的极值点集问题 第二章定理2 1 1 告诉我们：若f ( z ) h p ( a ，p ) ，则 七( 七一1 ) 。k 1 + ( 1 一q ) ( 七一2 ) 】p ( v 一1 ) 1 + ( 1 一q ) ( p 一2 ) 一p ， k = n + p _ h h p ( a ，p ) 的线性凸组合具有封闭性，以下讨论其极值问题及积分平均值问题 定理3 1 1 设，n + p ( z ) = z p , 且对七n + p + l ，有 眦，= 矿一矗籍咎箍篙赫一 则厂( z ) h p ( a ，p ) 当且仪当，( z ) = 妻a k f k ( z ) ，这里a 詹0 和妻a 七= 1 证明( 充分性) 假设，( z ) ：曼a 七 ( z ) ，则有 k = n + p o o 北) = a n + p a + p ( z ) + 入南a ( z ) “舻k 熹0 出虬案瑞等鞴胡 “帅扩+。一薹i址一皓薹0屉瑞等鞴1 七= t l + p +七= n + p + l 、 7 、7 、，j = 凫塾矽一七：塾七瑞等粝筹z 七 列一七：曼，a 七瑞等装等 = 少一6 奄z 知 七= n + 舛1 这甲 b k = a i 第三章俨( q ，p ) 的极值点问题及积分平均值 冈此 。薹。若群拦c 蒜o ( p 巩 七兰署pp ( p 1 ) 1 + ( 1 一 一2 ) 】一p “七 一亡- 七( 七一1 ) 1 + ( 1 一q ) ( 七一2 ) 】 h 2 七寰+ ，万了矿可i 而丽 亡i后( 忌一1 ) 1 + ( 1 一q ) ( 忌一2 ) 】、p ( p 一1 ) 1 + ( 1 一q ) ( p 一2 ) 】一p k ：丢= + 1p ( p 一1 ) 【1 + ( 1 一q ) ( p 一2 ) 】一p “七k ( k 1 ) 【1 + ( 1 一a ) ( 后一2 ) 1 = k = k a n + p s1 ， 知= ，l + p 1k = n + p 所以厂( z ) h p ( o r ，p ) ( 必要性) 反之，假设f ( z ) h p ( o r ，p ) ，则由推论2 1 1 有 。七万- f 暑黉：j 芝墨 云景拿望 专君主c 七= n + p ，n + p 十1 ，o 七! 万- f 万可i 了i _ 二可取丁二i 万万i f 石= _ 厕 l 珂一n 十p b 十p 十上， 这里可以设 和 则 a 七= 尘l 土；琶芝 若泛 兰鼍专云 霎 拶n 血( 七= n + p + ，)a 七2 百矿习丽j 而= 犷啊= 矿一。血l 肛n 十p 十1 j 化，= z p - - 耋e p a k z k = z p - - 七奏e p 群崭将糌揣址七 七 入 + 帅 = 七 一 = p +行 入 z 入 p 一 + p z 七 一 p 一 一 p z = z 一 p p 入 p 一 一 p z = z 入 p 。一 + p z一 p 一 七 一 | i 湖北大学硕士学位论文 证明完成 = a k f k ( 2 ) k = n + p 定理3 1 2h p ( a ，p ) 的极值点为定理3 1 1 给出的两数 ( z ) ( k n + p ) 证明设 v = ( z ) ：厶+ p ( 2 ) = z p ( z ) = 矿一万- f 暑簧：j 专芋兰专责 ；专拿望芝褊z 七c 七= n + p + 1 ，) ) 假设 扩一芮蒹芈器群焉黼碉z k = t g l p p ”嘞 。 ( 霓+ p ) ( 珏+一1 ) 1 + ( 1 一a ) ( 钆+一2 ) 】 p 7 p吖y 趴。7 其中o t 0 ，z = r e 坩( o r o o n 七i 嗡一p i _ 吼 k = n + p 1 ) ，有 一2 7 r ，2 丌 i f ( z ) l d o 冬| i g ( z ) l d o ，0j 0 i i e 令z = r e 语 ( 0 r 1 ) ，有 z 孙i f ( 列p d o = ：撕pd8k z k 鲰 = n + p ， ( 3 3 ) ( 3 4 ) = z 2 ” i z i p i l k = 壹n + p 。南z 七一p i ) d o = r v z 2 ” i1 - 七：妻。+ pa k z k - v i ) p d p ， f 0 2 1 ri 9 ( z ) i p d p = ，2 7 r j0 _ f + 如夕一p4 - 6 巧一p 名彩一2 p 一2 l d o 湖北大学硕士学位论文 由引理1 2 6 只需要证明 a k z 七一p 1 + 夕一p + b 2 j p z 2 j 一2 p ， 假设存在u ( z ) ，满足u ( o ) = 0 ，i u ( 名) i 1( i z i 1 ) ，使得 即有 a k z 七一p = 1 + b a u ( z ) y p + b 2 j p ( u ( z ) ) 巧一印， b a u ( z ) y p + b 2 j p ( u ( z ) ) 巧一2 p = 一 ( u ( z ) ) 一p ( b j + 6 巧一p ( u ( 名) ) 一2 = 一 当z = o ，可令w ( o ) = 0 ，以卜证明存在u ( z ) ，满足 由式3 5 得 故 。七 b 2 y p i _ 阱 k = n + p 幻( u ( z ) ) 一p + b 2 j p ( u ( z ) ) 巧一2 p i o 。 k - - - - n 押 q k z k - p i 。七 k = n + p 幻( u ( z ) ) 一p | 一f b 2 3 一p ( u ( z ) ) 巧一印i 一 令= l u ( z ) l j p ( t o ) ，a ( t ) = i b 2 j p i t 2 一| 幻i 一 o ，贝u g ( t ) 0 时，有t 1 ，因此i ( z ) l 1 ，v ( t ) 0 2 2 k = n + p o o n k = n + p 故 。七0 ( z u ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( t 0 ) ，若v ( 1 ) 一 一 一 一 p zo p 一 p 一 七 z 七 0 p 一 0o p 一 一 一 p 一 巧 6 = 、， l ， g 第三章 h p ( c i ，p ) 的极值点问题及秋分平均值 a k i b 2 j p i i 1 ( 3 6 ) 所以若式3 6 成立，则存在“，( z ) ，r w ( o ) = 0 ，i u ( z ) l 1 ( z u ) ，使得f ( z ) = 夕( u ( z ) ) 证明完成 推论3 2 1 若f ( z ) h p ( q ，口) ，日夕( z ) 形如式( 3 3 ) 若，( z ) 满足式( 3 6 ) ，则对 于0 p 2 ，z = r e 徊( 0 r 1 ) ，有 z 2 ”i ，( 2 ) i u d o 苦 r 2 7 r 1 【 r f ( z ) l a ( 0 入2 ) 证明 + i b l 2 十 、等 i b 2 j p 1 2 j z 2 霄i g ( z ) i p d p = z 2 ”i z l p p i j + 如z ，- n + b e ，_ v z e ，- p l p d p ， 对0 a 2 ，运用h o l d e r 不等式，则 厂2 丌 i g ( z ) l p d o j o z 2 ”1 名i 舭，南d p ) 学 z 2 ”j j + z j - p - i - b 2 j - p z 2 j - e p l 2 p d p ) 譬 妨 1 + | 6 j1 2 r 2 j - 2 p + 1 2 r ( 4 j - 4 p ) 莹 2 丌 l + | 邶聊1 2 ) 注：对= 2 时，有 z 打i ，( z ) z d o _ 2 r r 2 j + ( 6 j ) 2 r 勿一却十( 6 巧一p ) r 钉一4 p ) 2 丌 j + 够+ 6 易一p ) 2 3 一 湖北大学硕士学位论文 且由上可知，对0 弘2 ，有 - ；絮p 去厅m 斤瞅 1 + i 计+ 1 6 毛一p r 由弓i 理1 2 4 n - - 丁知，( z ) l 2 ( p ) 由于l 9c1 7 ，( z ) l p ( 0 p q 。o ) 贝, l j f ( z ) l a ( 0 0 ，z = r e 徊( 0 r 证明 1 ) ，有 z 2 ”i 厂( z ) i p d p z 2 霄 ，7 ( z ) ( j n 十p ) ， 1 9 ( 名) i p d p = p 纩1 + 。詹名枉1 ， k = n + p 9 7 ( z ) = p z p 一1 + j b y 一1 + ( 2 j p ) b 2 j - p 2 j p 一1 ， 由定理3 2 1 类似方法n j 证只需 k = n + p a k z 七一1 ( 2 1 一p ) 1 6 2 j p i j l b j l ( j l b j l 0 ，z = r e 徊( 0 r 1 ) ，有 k = n + p z 2 ”i ，7 ( z ) i p d l 9 ( 2 丌r ) p p j + i6 j l e r e ( ，- p ) + 1 6 彩一p i r 。一p ) 彗 一2 4 b 一 p一巧 6 p 一 巧 一 七 n七 第三章h p ( a ，p ) 的极值点问题及秋分平均值 2 丌 1 + 歹2 i 幻1 2 + ( 巧一p ) 2 1 6 巧一p 1 2 ) 兰 证明类似推论3 2 2 ，运h j h o l d e r 不等式即可得到结论证明完成 一2 5 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【l 】余家荣复变函数【m 】高等教育出版社，2 0 0 4 ，6 3 【2 】刘培德泛晒分析基础【m 】武汉人学出版社，2 0 0 4 ，2 5 【3 】a l t i n t a o as u b c l a s so fa n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t j h a c e t t e p e 【4 】a o u fm k ；h o s s e nh m ；s r i v a s t a v ah m ac e r t a i ns u b c l a s so fa n a l y t i cp - v a l e n t f u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s j d e m o n s t r a t i om a t h ，19 9 8 ，31 ：5 9 5 6 0 8 【5 】a y l a s h i n s o m e ，c o n v o l u t i o np r o p e r t i e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s o n 【j 】a p p l i e d m a t h e m a t i c sl e t t e r s ，18 ：2 0 0 5 ，13 5 13 8 【6 d u r e ne l ，u n i v a l e n tf u n c t i o n s m n e wy o r ks p r i n g e r - v e r l a g ，19 8 3 【7 】e k r e mk a d i o g l u ，o ns u b c l a s so f u n i v a l e n tf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s j e l s e v i e ri n c 【8 】g o o d m a na w u n i v a l e n tf u n c t i o n s m v o l i ，m a r i n e r , t a m p a ，f l ，19 8 3 ，2 5 ，81 - 8 3 【9 】h u rm d a n do hg h ，o nc e r t a i nc l a s so fa n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s i j p u s a nk y o n g n a mm a t h j ，19 8 9 ，6 9 8 0 【1 0 】j a c ki s f u n c t i o n ss t a r l i k ea n dc o n v e xo fo r d e ra 【j 】l o n d o nm a t h s o c ，1 9 7 1 ，3 ， 4 6 9 4 7 4 【11 】l a r sv a h l f o r s c o m p l e xa n a l y s i s m c h i n am a c h i n ep r e s s ，2 0 0 4 ，2 4 3 5 【12 】l e es k ；o w a s ；s r i v a s t a v ah m ，b a s i cp r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i z a t i o no fac e r t a i n c l a s so fa n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s l j1 u t i l i t a sm a t h ，i9 8 9 ，3 6 【13 】m i l l e rs s a n dm o c a n up t d i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ， s e r i e so nm o n o g r a p h sa n dt e x t b o o k si np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s 【m 】n e w y o r ka n db a s e l ，m a r c e ld e k k e r , 2 0 0 0 ：2 2 5 【1 4 】m o g r am l ，a n a l y t i cm a p p i n gw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n ti nt h eu n i td i s c j b u l l a u s t r a l m a t h s o c ，1 9 8 4 ，2 9 ：8 3 - 9 1 参考文献 【1 5 】n u n o k a w am as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ru n i v a l e n c ea n ds t a r l i k e n e s s j p r o c j a p a na c a d s e r am a t h s c i ，19 8 9 ，6 5 ( 6 ) ：16 3 16 4 【1 6 】o w as ，o n t h eh a d m a r d p r o d u c to f u n i v a l e n t f u n c t i o n s j t a m k a n g j m a t h ，1 9 8 3 ，1 4 ：1 5 - 2 1 【17 】o w as o n c e r t a i nc l a s s e so f p - v a l e n tf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v e c o e f f i c i e n t s j b u l l b e l g m a t h s o c ，1 9 8 5 ，6 0 o w as a n ds r i v a s t a v ah m s o m eg e n e r a l i z e dc o n v o l u t i o np r o p e r t i e sa s s o c i a t e d w i t hc e r t a i ns u b c l a s s e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s e b h t t p ：j i p a m v u e d