（工程力学专业论文）基于权函数法的孔洞三维裂纹问题的研究.pdf

一 1 k 一 _ 塑一y 18 吣1 4 4 2 9 论文题目：基于权函数法的孔洞三维裂纹问题的研究 。 研究生：王枫签名：垂扭 指导教师：师俊平教授 签名：平牛 摘要 孔洞三维裂纹问题是油田开采中普遍存在而又没有完全解决的问题。本文主要通 过理论分析和数值计算，对孔洞三维裂纹应力强度因子、应力场、断裂判据及裂纹起 裂扩展问题进行深入地研究和探讨： 将孔洞三维裂纹问题化为两个二维问题的叠加，并运用权函数理论对其进行系统 地分析，讨论了裂纹长度对孔洞三维裂纹应力强度因子的影响。通过由权函数法推导 的应力强度因子的结果曲线与n e w m a n 结果曲线进行比对，结果吻合较好，说明用权函 数理论计算三维裂纹应力强度因子具有较高精度，并且计算简便。 基于线弹性断裂力学的基本理论，结合三维裂纹的裂纹端部场理论分析了孔洞三 维裂纹的裂尖应力场，推导出应力场表达式。考虑到传统强度理论受早期实验条件的 限制具有一定的局限性，特别是在复杂应力状态下，强度准则与现有的实验结果出入 较大，因此，需要一种新的判断裂纹失稳的断裂准则。实际上，裂纹的失稳与裂尖的 应力状态有很大的关系，应以点参量和场参量综合描述，为简明反映材料受力时不同 应力状态的情况，研究中运用应力三维度r 。作为描述裂纹尖端应力状态的参量，将其 作为断裂参数的断裂判据。 综合运用应力三维度断裂准则、线弹性断裂力学和流体力学理论分析孔洞三维裂 纹的起裂和三维扩展问题。文中通过算例分析缝长、缝高、缝宽随施工时间变化的延 伸规律。 关键词：孔洞三维裂纹；权函数；应力强度因子；应力三维度；扩展 本研究得到陕西省自然科学基金( n o ：2 0 0 2 a 0 5 ) 资助 a b s t r a c t t i t l e ：r e s e a r c ho nt h ew e l lt h r e e - d i m e n s i o n a lc r a c k b a s e do nw e i g h tf u n c t l o n m a j o r ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s n a m e ：w a n gf e n g s u p e r v i s o r ：p r o f j u n p i n gs h i a b s t r a c t s i g n a t u r e ： s i g n a t u r e ： t h ew e l lt h r e e d i m e n s i o nc r a c ki sag e n e r a lp r o b l e mi no i lf i e l d ，w h i c hh a sn o tb e e n s o l v e dc o m p l e t e l y t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h o r o u g h l ys u c ha ss t r e s si n t e n s i t yf a c t o r , s t r e s s a n ds t r a i nf i e l d s ，f r a c t u r ec r i t e r i o na n dc r a c ke x t e n d i n gt h r o u g ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d t h en u m e r i c a lv a l u ec a l c u l a t i o n ： f i r s t l yt h ew e l lt h r e e d i m e n s i o n a l c r a c ki sr e d u c e dt ot h es u p e r p o s i t i o no ft w o t w o d i m e n s i o n a lc r a c k s ，t h e ns y s t e m a t i c a l l ya n a l y s e sb yw e i g h tf u n c t i o na n dd i s c u s s e s a f f e c t i o no ft h ec r a c kl e n g t ho nt h et h r e e - d i m e n s i o n a lc r a c ks t r e s si n t e n s i t yf a c t o r b y c o m p a r i n gt h er e s u l tc h i n ew i t hn e w m a n r e s u l tc u r v e ，i th a sp r o v e dt h a tw e i g h tf u n c t i o ni s c o n s i d e r a b l ya c c u r a t ea n de a s i e rt oc a l c u l a t i o no f s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s e c o n d l ya n a l y s e ss t r e s sf i e l d sa tc r a c kt i pb a s e do nt h ef u n d a m e n t a lt h e o r yo fe l a s t i c f r a c t u r em e c h a n i c s a n dt h r e e d i m e n s i o n a ls t r e s sf i e l d sa tc r a c kt i pt h e ng a i n sf i e l d s e x p r e s s i o n t r a d i t i o n a ls t r e n g t ht h e o r yh a s ac e r t a i nl i m i t a t i o nb e c a u s eo ft h er e s t r i c t i o no f e a r l ye x p e r i m e n tc o n d i t i o n ，e s p e c i a l l yc o m p l e xs t r e s sa n dr e c e i v e ds t r e n g t hc r i t e r i o na l e c l e a r l yd i f f e r e n tf r o me x i s t i n ge x p e r i m e n tr e s u l t ，s oi t i sn e c e s s a r yt ob u i l dan e wf r a c t u r e c r i t e r i o n i nf a c t ，c r a c kb u c k l i n gi sr e l a t e dw i t ht h es t r e s ss t a t ea tc r a c kt i p ，s h o u l db e d e s c r i b e dw i t hp o i n tp a r a m e t e ra n df i e l d sp a r a m e t e r i no r d e rt or e f l e c td i f f e r e n ts t r e s ss t a t e s u b j e c t e dt ol o a ds t r e s st r i - a x i c i t yi su s e dt od e s c r i b i n gt h es t r e s sf i e l d sa tc r a c kt i p ，w h i c h c o n s i d e r e da saf r a c t u r ec r i t e r i o n f i n a l l ys y n t h e s i z i n gs t r e s st r i a x i c i t yf r a c t u r ec r i t e r i o n ，e l a s t i cf r a c t u r em e c h a n i c sa n d f l u i dm e c h a n i c s ，t h i sp a p e ra n a l y s e st h ei n i t i a t i o na n dg r o w t ho ft h ew e l lt h r e e d i m e n s i o n a l c r a c k ，a n de x t e n d i n gr u l e so fc r a c kl e n g t h ，c r a c ka l t i t u d ea n dc r a c kw i d t hw i t ht h ev a r y i n g o fc o n s t r u c t i n gt i m e k e y w o r d s ：t h ew e l lt h r e e d i m e n s i o nc r a c k ；w e i g h tf u n c t i o n ；s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r ； s t r e s st r i a x i c i t y ；c r a c ke x t e n d i n g t h i sr e s e a r c hw a ss u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r es c i e n c eo fp r i v i n c es h a a n x i ( n o ：2 0 0 2 a 0 5 ) 2 t l 广 1 疋 j 1 绪论 1 1 断裂力学概述。 1 2 孔洞三维裂纹问题研究 1 3 三维裂纹问题的研究现 1 4 本文的主要工作3 2 断裂力学的权函数理论：5 2 1 权函数理论5 2 1 1 权函数的引入。5 2 1 2 权函数的基本理论。6 2 2 三维裂纹的权函数理论8 2 3 权函数的数值分析方法。1 0 2 4 本章小结l l 3 孔洞三维裂纹的应力强度因子分析1 2 3 1 引言1 2 3 2 孔洞三维裂纹应力强度因子分析1 2 3 2 1 孔洞三维裂纹基本模型1 2 3 2 2 三维裂纹的应力强度因子1 3 3 3 本章小结2 l 4 裂纹尖端应力场分析及强度理论的讨论2 2 4 1 二维裂纹的裂纹端部场2 2 4 2 三维裂纹的裂纹端部场2 3 4 2 1 基本方程2 3 4 2 2 建立坐标2 4 4 2 3 边界点近旁的几何关系2 4 4 2 4 边界点近旁的应力场2 5 4 2 5 孔洞三维裂纹应力场分析2 6 4 3 强度理论2 7 4 3 1 传统强度理论的发展及缺陷2 8 4 3 2 应力三维度。3 0 4 4 本章小结3 4 5 孔洞三维裂纹起裂扩展问题的讨论3 5 5 1 裂纹起裂点与开裂方向的定义3 5 5 2 裂纹起裂分析3 5 西安理工大学硕士学位论文 5 2 1 最大周向拉应力理论3 5 5 2 2 最小应变能密度因子理论3 6 5 2 3 讨论3 7 5 2 4 应力三维度理论3 8 5 2 5 孔洞三维裂纹起裂的讨论3 8 5 3 孔洞三维裂纹扩展问题的讨论3 9 5 3 1 压裂液的质量守恒一4 0 5 3 2 连续性方程4 1 5 3 3 压降方程4 1 5 3 4 宽度方程4 2 5 3 5 高度方程4 3 5 3 6 模型解法4 3 5 3 7 算例分析4 6 5 4 本章小结4 8 6 结论与展望4 9 6 1 主要结论4 9 6 2 尚需要进一步研究的问题。4 9 致谢5 0 参考文献5 l 附录5 5 1 一 j 造船、桥梁、化工、地质力学、压力容器、高强度材料、核反应堆结构、地震预报、台风 预警、大型焊接结构、大型铸锻件等方面的广泛应用，断裂力学表现出了强大的生命力， 引起世界各国科学家的高度重视。 断裂力学从材料本构关系方面可分为线弹性断裂力学和弹塑性断裂力学，若从裂纹 的几何形状来分类可分为二维断裂力学和三维断裂力学两类。在平板中穿透厚度的裂纹问 题属于二维断裂力学范畴：在平板与其他元件中非穿透厚度的裂纹问题属于三维断裂力学 问题。 二维线弹性断裂力学问题比较简单。迄今为止，在这方面的研究及分析方法已趋成 熟，且有可靠的计算结果。但是，在实际工程中，穿透裂纹非常少而非穿透裂纹却很多， 以孔洞裂纹为例应按三维线弹性断裂力学方法解决。三维线弹性断裂力学问题相当复杂， 在含有深埋椭圆裂纹的无限大及半无限大体方面，目前有较满意的解析解1 1 l 和闭合解【2 1 ； 而在深埋角裂纹方面由于问题的高度复杂性，研究工作仍在进行。 1 2 孔洞三维裂纹问题研究的必要性 随着能源、交通、城建和环保工程的持续发展以及人类生活空间的不断拓宽，地下空 间的大规模开发出现强劲的发展势头。石油天然气作为宝贵的能源资源和不可或缺的战略 物资，从其融入人类生活的那一天起，就注定了与世界经济发展息息相关，与世界的历史 进程紧密相连。石油天然气作为一种高度国际化的商品，其举足轻重的地位与国家实力、 世界政治、全球经济增长交织在一起，共同支撑起世界文明的进步，推动着世界经济的发 展。 迄今探明的未动用储量中低渗透油田占全球储量的绝大多数，低渗透油田岩层具有岩 石结构致密、孔隙细小、渗流阻力大的特征，这些特征决定了其在常规开采条件下产能低、 采收率低，从而导致经济效益的巨大损失。我国目前探明未动用储量中低渗透油田占有 6 3 ，因此提高低渗透油田的渗透性能和导流能力，对于增强我国国民生产总值及在国际 上的竞争地位起到重要作用。在低渗透油田中，裂纹性油藏是石油勘探开发过程中难度最 大的一种油藏类型，目前尚属前沿性攻关项目，而裂纹研究已成为裂纹性储层研究的重点， 因为它综合了当今储层研究中的两大难题一岩石力学和裂纹空间。近十多年来，裂纹一孔 隙型储层的开发问题已成为油田开发和渗流力学中最受关注的一个问题，因此此类油藏中 的油气流动一般受裂纹系统控制，它既可增加岩石的渗透率，也可降低岩石的渗透率。但 的钻井技术，如水平井钻井技术等，这可以大大提高裂纹型油气藏的开发效益，但真正要 充分发挥其潜能效益还必须对裂纹型储层损害机理进行更深入地研究，以实现“少投入， 多产出”。因此，开展对钻井后形成的孔洞裂纹问题的研究具有重要及深远的意义。 1 3 三维裂纹问题的研究现状 二十世纪六十年代初就有许多研究人员意识到三维裂纹研究的必要性并且开始进行 研究，到现在已有大量的文献资料论及此问题，也出现了不少分析方法和解决办法。工程 中常见的表面裂纹的断裂分析，由于其实质是三维问题，也几乎同时开始被人关注。在实 际工程中三维裂纹问题的危害极大，断裂造成了大量的灾难性事故发生，这使得断裂力学 在机械工程、水利工程、核工程、航空航天工程及桥梁工程等领域中受到更广泛的重视和 深入研究。对于三维断裂问题的研究，早先的分析方法主要是用有限元法的二维方法的扩 展到三维问题中。譬如，w i l s o n 和t h o m p s o n 13 l 用八节点六面体单元以确定有穿透裂纹的 板受横向弯曲时的应力强度因予。b e r g a n 和a a m o d t ! l 用推广的能量释放率的概念近似计 2 ， f 一 第1 章绪论 算应力强度因子，m i y a m o t o i 5 l 用裂纹张开位移确定了矩形板上半椭圆表面裂纹的应力强 度因子。几十年来除了不需要裂纹尖端附近局部变形知识的j 积分以外通常需要在裂纹尖 端区附近使用裂纹单元和精细的有限元网格，有限元方法主要发展了两种用裂纹单元来计 算深埋或表面裂纹应力强度因子的方法，一种是节点法，另一种是位移法。 国际上对于三维裂纹的研究进行的比较深入，m a r c e l 6 1 采用三维有限元法研究表面裂 纹问题，p a r s o n l 7 1 利用交替法研究了三维裂纹体的应力场和三维裂纹的应力强度因子，这 种方法曾有效地处理自由表面较小的三维裂纹问题，但是在处理实际有限尺寸时有较大的 困难，譬如仅计算穿透裂纹问题就需要六万多个自由度，p a i n 等1 8 l 用杂交有限元法求解 了三维穿透裂纹的应力强度因子，n e w m a n 等1 9 1 用近万个自由度计算三维有限元。 国内三维裂纹的研究也在积极开展并取得一些成果。张行与陈志刚l 1 0 1 利用能量释放 率计算了三维应力强度因子，王铎1 1 1 l 、杨芳毓1 1 2 l 结合压力容器对三维裂纹进行研究，罗 道祖1 1 3 1 用二维穿透裂纹的解近似逼近三维问题，陆寅初1 14 】用扩展的线弹簧模型研究深埋 裂纹，张行和夏琨【”l 应用三维广义j 积分与三维等参元计算应力强度因子，柳春图和李 英志1 1 6 , 1 7 用局部一整体法进行三维有限元的断裂分析，吴绍富0 s 利用交替法计算了三维 表面及深埋裂纹前缘的应力强度因子，王保国0 9 1 采用奇异准协调元计算了轴对称和反轴 对称三维裂纹问题，曹宗杰1 2 0 l 对三维奇异准协调有限元理论进行了深入研究，孙亮和秦 红1 2 1 l 对三维裂纹弹塑性j 积分计算技术进行了研究，谭晓明等1 2 2 l 对三维多裂纹问题进行 研究，谢伟n 1 用推广的片条合成法计算复杂结构三维裂纹的应力强度因子，吴学仁等1 2 4 , 2 5 1 用发展的三维权函数法分析内埋椭圆裂纹、孔边表面裂纹、孔边角裂纹、缺口表面裂纹及 缺口角裂纹的应力强度因子。 现有的应力强度因子的解法有很多种。用有限元法确定应力强度因子时的优点是单元 布局灵活，节点的配置方式较任意，对裂纹的形状、位置都没有特殊的要求，因此，对裂 纹形状和载荷比较复杂的裂纹体都能得到比较符合实际的解，它已成为确定裂纹应力强度 因子的有效方法，但是对于三维裂纹体来说，三维单元网格十分稠密，自由度又很大，导 致计算量和所费机时相当大且费用很高，并不适于工程实际问题的解决。边界元法在二维 问题中运用广泛，在三维问题中它不适用的主要原因是边界元产生的系数阵为非对称满 阵，用于复合型裂纹问题时积分方程将出现不确定性，而且边界元对三维问题奇异场不能 精确模拟。因此，找到一种简单、有效的计算三维裂纹应力强度因子的方法受到许多研究 者的关注，并且出现较多的计算方法，如片条合成法1 2 6 , 2 7 , 2 1 1 】，推广的片条合成法1 2 3 1 ，权 函数法1 2 9 3 0 1 等。在上述所述的计算方法中，权函数法引起了许多研究者的注意。 1 4 本文的主要工作 通过前面的分析，本文将针对孔洞结构的特点，采用权函数法分析孔洞三维裂纹应力 强度因子。主要工作如下： 1 基于断裂力学的权函数理论，以现有计算三维裂纹应力强度因子的方法为基础系 统地分析孔洞三维裂纹应力强度因子。 3 西安理工大学硕士学位论文 4 2 结合现有三维裂纹裂尖应力场的分析理，推导出孔洞三维裂纹裂尖应力场。 3 通过对强度理论的讨论建立一种适合于分析孔洞三维裂纹的断裂判据。 4 建立一种适于研究孔洞三维裂纹扩展延伸的数学模型，通过软件模拟找出三维裂 纹的扩展规律。 第2 章断裂力学的权函数理论 2 断裂力学的权函数理论 2 1 权函数理论 权函数法是近年来发展最为迅速的应力强度因子求解方法之一，这一方法的普适性在 于它把影响应力强度因子的两个因素，即载荷方面和几何方面，作了变量分离。权函数本 身仅包含了裂纹体的几何特征( 包括边界及裂纹尺寸) ，而与具体载荷无关。权函数可以 通过某一已知的( 一般为比较简单的) 参考载荷和相应的应力强度因子导出，而一经导出， 它就成为一个独立于载荷而仅与几何特征有关的函数，能用来不受限制地求解同一裂纹体 在任意受载条件下的应力强度因子。 2 1 1 权函数的引入1 3 l l c uu i t 1 = t 龟 + i c uu i ：- o t ie a c t 图2 1 权函数示意图 f i g 2 - 1t h ew e i g h tf u n c t i o ns k e t c h 考虑一个无裂纹弹性体，在边界c r 上受到外力z 作用，约束力u 。作用在边界c - 上； 弹性体内部存在着自相平衡的内应力力系吼m 如图2 1 ( a ) ；在线段m n 上存在着因外边界 作用力和内应力力系而产生的分布应力盯b ) 。如果此时在线段删上存在着一条裂纹，同 时裂纹面上作用有分布应力一c r ( x ) ，如图2 1 ( b ) ，裂纹面将保持闭合，且应力强度因子 k = 0 。换句话说，整个弹性体内的应力分布没有改变，图2 1 ( a ) 和图2 1 ( b ) 的情况是 一样的。又因为是弹性体，图2 1 ( b ) 可分解为图2 1 ( c ) 与图2 1 ( d ) 的形式。注意到在所 有的情况下，c r 和c f ，没有变化，f 和【，。发生了变化：图2 1 ( d ) 中，z 和u 。在相应的边界 上都为零。因为k i ) + k 似) = k ( 。) = 0 ，可以得到k ( 。) = - k l ，) 。如果把裂纹面上的拉应力 一仃b ) 换成压应力仃( x ) ，如图2 1 ( e ) 所示，就可得到k f l = k 。图2 1 ( e ) 中的力的边界 西安理工大学硕士学位论文 条件为：i ，u ，都为零；只有裂纹面作用着压应力仃b ) 。而盯g ) 的大小就等于裂纹不存 在时，z 作用在g 上，( ，。作用在g 上，弹性体内存在着内应力系仃h 时，裂纹所在位置 的应力分布。 从上面的分析来看，希望有一种可以根据无裂纹体在裂纹面处的应力分布求解裂纹应 力强度因子的方法，权函数方法就是这样一种方法。 使用权函数计算应力强度因子基本公式如下： k = 弦石丽 ( 2 1 ) 厂：掣掣出 ( 2 2 ) 毛o n 冗 口：( 2 3 )口= k z j ， 矿 x ：粪 ( 2 4 ) x = 一 l z q ， 式中仃为参考应力； a 为裂纹长； 所( x ，a ) 为权函数； 仃b ) 为无裂纹体中假想裂纹处的应力分布： 缈为裂纹体特征尺寸； x 为沿裂纹的坐标，原点在裂纹中心( 中心裂纹) ，或裂纹嘴( 边缘裂纹) ： 口为无量纲裂纹长度； x 为无量纲坐标； 厂为无量纲应力强度因子，与载荷盯b ) 、几何条件朋g ，口) 有关。 2 1 2 权函数的基本理论 r i c e l 3 2 i 在推导裂纹应力强度因子的一般表达式指出，对于已知几何条件裂纹，只要 一种载荷状态下的位移场材( 2 和应力强度因子k f 2 ) 已知，其他任意载荷下的应力强度因子 k f l ) 就可唯一确定，如( 2 5 ) 式， k f l ) = j 6 f o g 1 归。g 1 ，j 如+ p o 1 归。伍v ( 2 5 ) 式中r 为结构物的边界条件： ，( 1 ) 为表面力； ，i 。) 为作用在域q 中的体力； ，为裂纹长度。 权函数h 。b ，) 为 毗，) 昕晦南学+ 警刁 旺6 ， 6 对于 对于 对于图2 - 2 ，图( a ) 是待求状态，记为状态1 ，图( b ) 是辅助状态，记为状态2 。两种 状态的位移和应力分别为“( 、“( 、t 0 ) 、，( 2 。对图2 - 2 所示的裂纹，在不同载荷作用下， 裂纹扩展血释放的能量为 g 血= 吉k f l 咿+ k 绀k = 圭p 疏 c 2 m g 血= 吉k f 2 宁+ 伍咿k = 吾尸疏 c 2 式中h = 去o 1 一y ，为应力矢量； 材为位移增量矢量。 ( “叶t o ) )( “qf ( d ) ( a ) ( 以 ( b ) ( “( 2 ) ， 图2 2 两种荷载裂纹示意图 f i g 2 - 2t h es k e t c ho ft w of o r c e dc r a c k 将( 2 7 ) 和( 2 8 ) 两种状态叠加得： 西安理工大学硕士学位论文 吉+ k f 2 ，) 2 + ( k n 0 ) + k 舛k = 吉万( 砑+ 硒) + 乃( 羽+ 砑) 卜 根据b e t t i 互等定理，有 铲羽丽= 妒订 rr 当裂纹扩展了口时，有 因此得： 尸( + 硒p2 尸( 万+ 砑声 庐压珏= ，t o ) 一a u o ) d f ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) k ( o k ( z ) + k 牲牡i h ，眷 ( 2 1 3 ) 为了得到待求状态的应力强度因子k f l ) 和k 含) ，必须有两种辅助状态才能求解。为此， 假定辅助状态g 和p 的应力强度因子已知，代入( 2 1 3 ) 得： 厂k 蚓p ) + k 牡驴) - 了hp 咎 iz ： 抛 lk f l ) k f g ) + k 绺5 ) _ 了h 訾 z=d口 解得应力强度因子： 广2 参p 堂埘尸堂j 娩 b = 豢p 尸挚卅尸挚i 式中 k 2 ：k p ) 西) 一k p ) k p ) 。 。 只要选择的两种辅助状态满足k 2 0 ，即两种辅助状态不能同时为i 型裂纹或i i 型 裂纹，这样便能求得唯一的应力强度因子。 2 2 = 维裂纹的权函数理论 8 考察图2 3 所示的任意三维裂纹，其中： 飞。f = 心 _ 刮一 l 坼v 可以得到它的权函数o i ： 伽y o n s t o n 瓯 一 根 k ac p ) = 弦( p ；q ) ，( q ) d y ( q ) + ，彬( 尸；q ) ，j ( q ) 西( q ) ( 2 1 7 ) 图2 - 3 任意三维裂纹示意图 f i g 2 - 3t h e s k e t c ho fa r b i t r a f i e d3 dc r a c k f e t t ，m a t t h e c k 和m u n z t 3 5 i 基于权函数的基本理论，发展了三维裂纹的权函数及应力 强度因子。求解裂纹权函数的基本关系式可写为： 1 日f f k 。o ) k f 2 ) 毗2 尸蕊 式中为裂纹尖端边沿曲线； s 为裂纹面。 图2 - 4 三维裂纹乡占构示意图 f i g 2 4t h es t r u c t u r es k e t c ho f 3 dc r a c k ( 2 1 8 ) 9 西安理工大学硕士学位论文 根据图2 - 4 所示，有 a s = p d l 上 ( 2 1 9 ) 由此，( 2 1 8 ) 式司写为以f 形式， 土z x sl 眦p d 沁) = 日尸翳 ( 2 2 。) 在三维裂纹结构中，裂纹面是一个平面，因此应力强度因子不是一个常数，它随裂尖 位置的变化而变化，因此，直接利用( 2 2 0 ) 式求解难度会很大，为了解决此问题，c r u s e 和b e s u n e r 3 6 i 给出裂尖平均应力强度因子： k p k f 2 2 古o k f 2 挪 ( 2 2 1 ) 因此 砰= 嚣庐挚 旺2 2 ) 总的来说，要得到甜( z ) 很困难，在实践中应用起来很不方便，在这以后的学者都对三 维结构裂纹进行了深入地研究，但到目前为t l ：，研究得还不是很透彻。 2 3 权函数的数值分析方法 以上介绍的权函数的基本理论具体应用到实际中还需要相应的数值解法。p e 仃o s l ( i 和 a c h e n b a c h t 3 7 l 提出了一种近似表达裂纹张开位移的方法，主要是利用了w i l l i a m s 关于裂纹 位移场的无穷级数解的前几项，将裂纹张开位移场表示为 1 0 材= 面o o 4 f ( 口- ( 口一工+ g ( 口矿( 口一x 卢 ( 2 2 3 ) 式中g ( 口) = q ) 一4 f q 如( 口一x + g o - o x 乒 ( 2 2 4 ) 其中，( 口) = 万佤肛( 口) 】口d a 0 因此 ，：( 口) = i 盯 x x o x 出 o l ( 口) = p g x 口一工彤出 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 第2 章断裂力学的权函数理论 掣= 南陆f 。) 嘿+ 4 掣石+ 百2 f ( o ) + 掣卜彤+ 降忑i 一掣卜卢 晓2 8 ) 肌= i e 告 ( 2 2 9 ) 将( 2 2 8 ) 代入权函数公式( 2 2 9 ) 即可得到裂纹的权函数，再将权函数代入应力强度 因子k = f a rg ) ，l ( 口，x ：炳中就可以得到裂纹的应力强度因子。 2 4 本章小结 应力强度因子是一个与裂纹体几何构形、外加应力等相关的量，它的提出，将断裂 力学的着重点从能量平衡转向对裂纹尖端特性的研究上，使断裂力学真正成为- - f 工程 科学，可见，作为线弹性裂尖场表征参量的应力强度因子在裂纹体分析中起到至关重要 的作用。关于不同类型裂纹的应力强度因子的计算，国内国际上的研究学者给出了相应 的求解方法，针对本论文所讨论的孔洞三维裂纹问题，作者采用权函数法分析应力强度 因子。本章主要介绍了权函数理论及数值分析方法，给出求解三维裂纹应力强度因子的 理论依据。 西安理工大学硕士学位论文 3 孑l 洞三维裂纹的应力强度因子分析 3 1 引言 第二章对断裂力学的基本理论和权函数的基本理论进行了论述，根据这些理论，要分 析孔洞三维裂纹的扩展规律，就要计算裂纹在荷载作用下的应力强度因子，要计算裂纹在 荷载作用下的应力强度因子，就要分析裂纹的权函数，因此，本章重点讨论三维裂纹的权 函数。 根据权函数的基本理论，要得到裂纹的权函数，就要知道裂纹在参考载荷作用下的位 移场甜。但是因为要准确得到裂纹尖端的位移场是一件很困难的事，在理论和实践中都很 难得到，因此，p e t r o s k i 和a c h e n b a c h t 3 7 j 提出了裂纹张开位移的近似解，并由此推导出裂 纹的应力强度因子，这种推导方法称为p a 法。p a 法与其它求解应力强度因子的数值方 法比起来有明显的优势：由于裂纹的几何函数与权函数都是关于缝厚比的函数，这样就可 以解除裂纹具体结构( 如裂纹长度、裂纹结构等) 对权函数的影响，由此分析并得到的权 函数和几何函数的适用范围就比较广，不仅如此，我们只要知道裂纹的几何函数和权函数， 不需要经过其他数值处理，仅仅计算一个简单的积分就可以求出任意长度裂纹的应力强度 因子，十分方便。 3 2 孔洞三维裂纹应力强度因子分析 3 2 1 孔洞三维裂纹基本模型 图3 1 a 孔洞裂纹三维模型图图3 1 b 裂纹横截面示意图 f i g 3 l at h ew e l l3 - dc r a c kf i g 3 l bt h es k e t c ho f c r a c kc r o s ss e c t i o n 本文所取模型为矩形土层的单井模型，见图3 1 a ，裂纹形状为锲形。模型横截面如 图3 1 b 所示，裂纹受均匀拉应力仃作用，应力仃的方向与裂纹方向垂直。将含有锲形裂 纹的模型体沿x y 平面切成一系列的片条，作为横片( 图3 1 b 中，连线c d 将横截面分为 两部分，取含裂纹的那部分，见图3 2 ( a ) ) ，每一横片包含一个边裂纹，每片都认为受到 独立的应力o r 作用，实际上，横片之问存在剪应力r 。和f ，的作用，可以引用裂纹表面上 1 2 第3 章孔洞三维裂纹的应力强度因子分析 的分布压力p g ，z ) 来描述剪应力f 弦的作用，而另一个剪应力f 灯比较小，在此可以忽略不 计。分布压力p 。b ，z ) 是由x z 平面中的片条( 竖片) 确定的。每一个竖片( 见图3 - 2 ( b ) ) 包含一个深度为b ( x ) 的单边裂纹，其上作用着与作用在横片上压力方向相反的压力 p g ，z ) 。 图3 2 孔洞裂纹 f i g 3 - 2t h e w e l l2 - dc r a c k ( b ) 3 2 2 三维裂纹的应力强度因子 三维裂纹的权函数分析前人进行了一些研究，如r o o k e ，c a r t w r i g h t 和 a l i a b a d i l 3 蚋，b u e c k n e r l 3 9 1 等，但总的来说，都不是很完善。对于本文所讨论孔洞三维裂纹， 只受到i 型载荷作用，根据其形状结构和承载状况，考虑将此问题降维为二维。将三维裂 纹体离散化成具有三维性质的两组二维片条，使得复杂的三维问题“降维 成简单的二维 问题。横片具有和三维裂纹体相同的弹性模量及外载荷，相邻横片之间与裂纹面垂直的剪 应力的作用由施加在裂纹面上的二维弹簧力来模拟，竖片仅受到与横片上大小相等、方向 相反的弹簧力作用l 柚j 。裂纹长度为a ，选取厚度为c 的土层进行讨论，井下打孔的孔半径 为r ，取沿裂纹方向为x 轴方向。 a 横片裂纹应力强度因子 由权函数理论，应力强度因子可由无裂纹体中假想位置处的“裂纹面应力”经权函数 加权积分求得。在此问题中，设裂纹体受两种载荷作用，分别以( 1 ) 和( 2 ) 表示，若已知在 载荷( 1 ) 作用下的应力强度因子k ( 1 ) 和裂纹面的张开位移甜( 。) ( 口，x ) ，则在载荷( 2 ) 作用下， 应力强度因子k t 2 ) 为： 口 k ( 2 ) = f c r 2 g ) 所( 口，x 皿 ( 3 1 ) 云 其中，m ( u ，x ) 为权函数，表示如下： 西安理工大学硕士学位论文 脚沁) = 茜警 上面两式中a 为裂纹长度； o - ( 2 g ) 为在载荷( 2 ) 作用下无裂纹体中假想位置处的裂纹面应力。 肚专l y 2 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 式中e 为扬氏弹性模量： y 为泊松比。 如图3 - 2 ( a ) 所示，将孔洞裂纹沿半径方向展开为一类似于平板中的边缘裂纹，对于 这样的边缘裂纹，p a 法给出的裂纹张开位移的近似表达式： 删= 觚a , 【r 4 川炻而删销 4 ) 1 4 舯g ( f ) = 睑锱掣 ，。( 口) = 石疡。1 t r ( 0 口d a ，：( 口) ：卜g 如一x 彤出 ，( 口) ：卜g x 口一j 乒出 s ( 0 2 i f 焉r o 。u 死 式中 吒为外加应力。 仃b ) 为由o r e 引起的裂纹面应力； 厂( ，) 是关于裂纹几何性质的函数，即几何函数。 裂纹的权函数表示如下： 肌( ，) ：岛l _ ( 1 一，) 彤+ 户：石( 1 一，) + p 3 a ( 1 一，) v 日 历( ，) = d o ( 1 一矿啦+ d i ( 1 一2 + d ：( 1 一，尸2 其中： d o = n 口一v 2 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 a ) ( 3 1 0 b ) k = = 式中卵譬川炻 胪去 4 警石+ 掣+ 掣 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 岛= 去降击一掣 由上面的式子可以知道，只要能得到裂纹的几何函数，就可以计算出裂纹的权函数， 再根据结构物在载荷作用下的应力分布，就可以得到应力强度因子。还有一种研究方法， 若裂纹受到内压引起的均布应力，则以= 仃g ) = 常数。因此，几何函数厂o ) 由下面的表达 式描述： 厂( f ) = 4 + 彳l j i l + 彳2 j i l 2 + a 3 3 ( 3 1 5 ) 将( 3 4 ) ( 3 1 0 a ) 代入( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，经过运算得： k ( 2 ) = 厂( 2 ( 0 p 2 ( o ) 磊 ( 3 1 6 ) 产( 0 ) 2 面1 丽 届( 厅一言) 彤+ 厦( 一言) + 尼( 厅一言) d ( 孝) ( 3 ，7 ) 式中届、a 、尼是裂纹长度与土层厚度的函数。 届：2 ( ，) f 压叫( ，) 扎趔a # - 2l 陧, 2 2 删一孚巾) ，ji 仔浆删一竽厂。怦慝掣2 0 警) 3 ，彤 y ( ，) = 扣+ 2 3a 州+ 丢( 彳? + 2 州：) 2 + 詈( 彳，彳2 + a o a 3 ) 1 3 + ( 2 a o a + 2 彳，彳，+ 彳；) 4 + 号( 彳，彳。+ 彳：彳，) 5 + 吉( 2 彳：彳+ 彳；) 6 + 缸纠7 + 去彳；，8 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) i5 西安z _ r - 大学硕士学位论文 ( 1 ) 几何函数分析 采用p a 法得到的裂纹权函数是关于缝厚比的函数，与具体的厚度值不发生直接影响。 ；嶷 千一 放大 巡 nm o 图3 3 孔洞结构有限元网格不意图 f i g 3 - 3t h ef i n i t yg r i d d i n gs k e t c ho ft h ew e l lc r a c k 应力强度因子系数的计算公式为： 耻等等m u - u o l ) ( 3 2 2 ) 式中以为垂直裂纹面的结点位移。 几何函数分析过程如下：利用有限元软件算出裂纹尖端位移场，再根据( 3 2 2 ) 式计 算出裂纹的应力强度因子系数，依据所算出的应力强度因子系数导出裂纹离散的几何函数 值，再根据离散的几何函数值拟合出连续的几何函数。本文取土基的模量为5 0 0 0 0 m p a ， 泊松比为0 3 5 。图3 4 所示为运用有限元软件对裂纹进行网格划分图，图3 5 是根据裂纹 模型建立的应力分布云图，由图可以看出，裂纹尖端是应力集中处，也是裂纹起裂的起点。 展开后的孔洞有限元网格见图3 3 ，所有的单元均采用等参八节点单元，网格在裂纹尖端 1 6 第3 章孔洞三维裂纹的应力强度因子分析 处紧密，在别处适当稀松。裂纹尖端采用四分之一节点法，也就是说，将四边形八节点单 元一边的三个节点退化为一个节点，另外两边的中节点移到距裂纹尖端的四分之一点处， 从而解决了裂纹尖端奇异性的问题i4 1 1 1 4 2 4 3 l 。 图3 _ 4 有限元网格图图3 - 5 应力云图 f i g 3 - 4t h ef i n i t ys k e t c hf i g 3 - 5t h es t r 鸭sn e p h o g r a m 已知裂纹长度，在参考载荷( 均匀拉应力) 作用下，利用有限元法可以计算出裂纹的 应力强度因子系数k ，再根据公式就可计算出裂纹在该长度下的几何函数。有限元的计 算工作量非常大，每一种裂纹长度都需要重新划分网格，而利用权函数方法则可方便计算 出不同裂纹长度的应力强度因子，极大地减少了计算工作量。若得到不同缝厚比，的几何 函数，再根据这些离散点就可以数值拟合出裂纹几何函数关于缝厚比，的解析