（基础数学专业论文）一些包含数论函数的方程求解.pdf

中文摘要 众所周知，数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的些最深奥的秘 密与其最平凡的真理是密切相连的而初等数论所包含的一个重要内容是研究 数论函数的各种性质，著名的f 。s m a r a n d a c h e 函数s f 死) 是重要的数论函数之 一，它和f s m a r a n d a c h e 教授提出的1 0 5 个关于特殊数列、算术函数等未解决 的数学问题及猜想引起了众多学者的兴趣随着问题的提出，相继获得了许多 具有重要理论价值的结果，其中关于平方补数和对偶函数的研究成果也是非常 显著! 本文研究了一些与数论函数相关的方程求解问题以及与f s m a r a n d a c h e 未解决问题相关的均值问题，我们给出了方程的解和渐近公式具体说来。本文 的主要成果包括以下几方面： 1 f s m a r a n d a c h e 平方补数有许多很重要的性质与之相关的很多方程问 题在数论研究中起到了重要的衔接作用，本文用哥德巴赫猜想的著名结果研究 了一类包含平方补数方程的可解性。并证明了该方程有无穷多组正整数解 2 f s m a r a n d a c h e 函数的对偶函数s ( 佗) 是一类非常重要的可乘函 数，它与f s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 有很多类似的性质本文研究了一类包 含f s m a r a n d a c h e 对偶函数方程的可解性并获得了该方程的所有正整数解 3 f s m a r a n d a c h e 函数s ( n 1 在初等数论的研究中具有很重要的地位本 文利用初等方法研究了与s m a r a n d a e h e 函数相关的方程的可解性 4 对于s m a r a n d a c h el c m 对偶函数，本文利用初等方法研究了关 于s l ( n ! ) 的均值性质，并得到了一个较强的渐近公式，同时研究了与其 相关的极限式的极值 关键词 f 。s m a r a n d a c h e 函数，渐近公式，对偶函数，平方补数，方程 a b s t r a c t ( 英文摘要) a sw ea l lk n o w ，n u m b e rt h e o r yi so n eo ft h eo l d e s tk n o w l e d g eb r a n c h b u tt h em o s tp r o f o u n ds e c r e t sa n de x t r a o r d i n a r yt r u t ha r ec l o s e l yl i n k e d t h e m a i nc o n t e n tt h a te l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r yc o n t a i n si st os t u d yt h ep r o p e r t y o fn u m b e r t h e o r e t i cf u n c t i o n t h ew e l l k n o w nf s m a r a n d a c h ef u n c t i o ns ( n ) i s o n eo ft h ei m p o r t a n ta r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s a sw e l la sp r o f e s s o rf s m a r a n d a c h e h a v ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u ts p e c i a l s e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s t h eu n s o l v e dp r o b l e ma n dc o n j e c t u r e s a r o u s e dm a n ys c h o l a r s i n t e r e s t w i t ht h ep o s i n go ft h ep r o b l e m ，m a n ys c h o l a r s o b t a i n e ds o m ei m p o r t a n ta n dt h e o r e t i c a lv a l u e dr e s u l t so nt h et h e o r y t h e r e s e a r c hr e s u l t so ns q u a r ec o m p l e m e n tn u m b e ra n dt h ed u a lf u n c t i o ni sv e r y s i g n i f i c a n t ! i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yh ee q u a t i o ns o l u t i o n sr e l a t e dt on u m b e r - t h e o r e t i cf u n c t i o na n df s m a r a n d a c h eu n s o l v e dp r o b l e m 。a tt h ee n dw eh a v e g i v e na l lt h es o l u t i o n sa b o u te q u a t i o n sa n ds o m ea s y m p t o t i cf o r m u l a m o r e s p e c i f i c a l l y , t h em a i na c h i e v e m e n t se m b o d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 t h ef s m a r a n d a c h es q u a r ec o m p l e m e n tn u m b e rh a v em a n ys i g n i f i c a n t c h a r a c t e r t h em a n ye q u a t i o n sr e l a t e dt os q u a r ec o m p l e m e n tn u m b e rp l a ya n c r u c i a ll i n ki nn u m b e r - t h e o r e t i cs t u d y t h i sd i s s e r t a t i o nu s et h ed i s t i n g u i s h e d r e s u l t so fg o l d b a c hc o n j e c t u r et os t u d yt h es o l v a b i l i t yo ft h ee q u a t i o n si n v o l v - i n gs q u a r ec o m p l e m e n tn u m b e r a tt h es a m et i m e ，t h i sd i s s e r t a t i o np r o v et h e e q u a t i o nh a v ei n f i n i t ep o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s 2 t h ef s m a r a n d a c h ed u a lf u n c t i o n 矿( 几) i sav e r yi m p o r t a n tm u l t i p l i c a - t i v ef u n c t i o n t h ep r o p e r t i e so ft h ef s m a r a n d a c h ed u a lf u n c t i o ns + ( n ) a r e v e r ys i m i l a rt ot h es m a r a n d a c h es ( n ) 3 t h es m a r a n d a c h es ( n ) o c c u p i e sa ni m p o r t a n tp o s i t i o ni nt h es t u d yo f t h en u m b e r - t h e o r e t i cf u n c t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eu s ee l e m e n t a r ym e t h o d s a n da n a l y t i cm e t h o d st os t u d yt h es o l v a b i l i t yo ft w oe q u a t i o n sa n d 舀v eg i v ei t s a l lp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n sa b o u tt h ee q u a t i o n s 4 w i t hr e g a r dt ot h es m a r a n d a c h el c mf u n c t i o ns l ( n ) ，t h i sd i s s e r t a t i o n u s ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h em e a r lv a l u ep r o p e r t yo fs l ( 佗) ，a n do b t a i n as h a r p e ra s y m p t o t i cf o r m u l af o ri t s i m u l t a n e o u s l y ，w es t u d yt h ee x t r e m u mo f t h et w ol i m i t s k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ，s m a r a n d a c h ed u a lf u n c t i o n e q u a t i o n ，s q u a r ec o m p l e m e n tn u m b e r ，e q u a t i o n i n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：三叫立叠生一指导教师签名：丝雏 、7 翻年6 月8 日呷年乡月参日 l 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：到戽斋j 仰7 年 6 月g 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫整数数论后来整数数论 又进一步发展，就叫做数论了确切地说，数论就是一门研究整数性质的学科 数论和几何学一样，是古老的数学分支 数论在数学中的地位是特殊的高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论 是数学中的皇冠”虽然数论中的许多问题在很早就开始了研究，并得到了丰 硕的成果，但是至今仍有许多被数学家称之为“皇冠上的明珠”的悬而未解的 问题等待人们去解决正因如此，数论才能不断地充实和发展，才能既古老又年 轻，能始终活跃在数学领域的前沿2 1 【3 】 初等数论所包含的一个重要内容是研究数论函数的各种性质，而著名 的s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 是重要的数论函数之一，它是由美籍罗马尼亚著名 数论专家f s m a r a n d a c h e 教授首先提出的此外，在1 9 9 1 年美国研究出版社出 版的只有问题，没有解答【4 】一书中，f s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个关 于特殊数列、算术函数等未解决的数学问题及猜想s m a r a n d a c h e 函数的对偶 函数s + ( 佗) 是一类非常重要的可乘函数，它与s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 有很多 类似的性质对偶函数的均值问题及一些特殊方程的求解问题具有重要的意义 同时方程的整数解是数论的一个重要课题，也是一个非常复杂和非常吸引人的 课题，世界上许多伟大的数学家都在这一领域作出过出色的工作至今仍旧是 现代数论和现代代数几何的推动力和源泉这里我们就一些与s m a r a n d a c h e 问 题有关的特殊方程的整数解问题进行讨论，来展示对于特殊方程整数解研究过 程中的一般方法和技巧性 基于以上的想法我们应用初等数论，解析数论等知识对他提出的几个数 论中未解决的问题进行研究主要研究了一些包含数论函数的方程求解问题j 以及它们与一些重要函数之间的联系 1 第一章绪论 1 2 主要成果和内容组织 本文研究了几个包含数论函数的方程求解问题，以及一些 和f s m a r a n d a c h e 未解决问题相关的问题通过初等和解析的方法我们 解决了方程解的问题具体说来，本文的主要成果包括以下几方面： 1 对于f s m a r a n d a c h e 平方补数，由它产生的很多方程问题在数论研究中 起到了很大的衔接作用本文在第四章用哥德巴赫猜想的著名结果研究了一类 包含平方补数方程a ( n 1 ) + a ( n 2 ) + + a ( n k ) = 仇- a ( n l + r t 2 + + r t k ) 的可 解性并证明了该方程有无穷多组正整数解 2 对于f s m a r a n d a c h e 函数的对偶函数9 ( 佗) ，本文在第五章研究了一类 包含f s m a r a n d a c h e 对偶函数方程( d ) = u ( 礼) q ( n ) 的可解性，并获得了 d i n 该方程的所有正整数解 3 对于f s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) ，它在初等数论的研究中具有很重要的 地位本文利用初等方法研究了与s m a r a n d a c h e 函数相关的方程的可解性 4 对于s m a r a n d a c h el c m 对偶函数，本文研究了关于s l ( n1 1 的均值性 质，并得到了一个较强的渐近公式，同时研究了与其相关的极限式的极值 2 西北大学硕士学位论文 第二章数论发展史 2 1 数论的发展简况 人们在对整数进行运算的应用和研究中逐步熟悉了整数的特性比如，整 数可分为两大类一奇数和偶数( 通常被称为单数、双数) 等利用整数的一些 基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力， 吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论后来整数论又 进一步发展，就叫做数论了确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪， 这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中。也就是说还没有形 成完整统一的学科 自我国古代，许多著名的数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最 大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等在国外，古希腊时代 的数学家对于数论中一个最基本的问题一整除性问题就有系统的研究，关于质 数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了后来的各个时代 的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得 到完善 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”要深 入研究整数的性质就必须研究质数的性质因此关于质数性质的有关问题，一 直受到数学家的关注 到了十八世纪末。历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰 富了把它们整理加工成为- i 3 系统的学科的条件已经完全成熟了德国数学 家高斯集中前人的大成写了一本书叫做算术探讨1 8 0 0 年寄给了法国科 学院但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1 8 0 1 年自己发表了 这部著作这部书开始了现代数论的新纪元 3 第二章数论发展史 在算术探讨中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当 时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类， 还引进了新的方法 2 2 数论的基本内容 数论形成了一门独立的学科后随着数学其他分支的发展，研究数论的方 法也在不断发展，如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代 数数论和几何数论四个部分 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研 究整数性质的分支比如中国古代有名的“中国剩余定理”就是初等数论中 很重要的内容 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支数学分析是以 函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科用数学分析 来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过 贡献解析数论是解决数论中较深闯题的强有力的工具比如，对于“质数有无 限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关 无穷级数的若干知识二十世纪三十年代苏联数学家维诺格拉多夫创造性的 提出了“三角和方法 、这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用我 国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支，数学家把整数概念 推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的几何 数论研究的基本对象是“空间格网”什么是空间格网呢? 在给定的直角坐标 系上坐标全是整数的点，叫做整点全部整点构成的组就叫做空间格网空间 格网对几何学和结晶学有着重大的意义由于几何数论涉及的问题比较复杂 必须具有相当的数学基础才能深入研究 4 西北大学硕士学位论文 2 3 数论在数学中的地位 数论是- - f - j 高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究 状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用但对于大多数人来讲并不清楚 它的实际意义 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用比如在 计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究 成果；有文献报道，现在有些国家应用“孙子定理 来进行测距，用原根和指数 来计算离散傅立叶变换等此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分 析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用 离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后。数论 是数学中的皇冠”因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫 做“皇冠上的明珠”以鼓励人们去“摘取”下面简要列出几颗“明珠”： 费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问 题。一 在我国近代数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开 始在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华 罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家其中华罗庚教授在三角和估值、堆 砌素数论方面的研究是享有盛名的1 9 4 9 年以后数论的研究得到了更大的发 展特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优 秀成绩 特别是陈景润在1 9 6 6 年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示 为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后在国际数学引起了强烈 的反响盛赞陈景润的论文是解析数学的名作是筛法的光辉顶点至今这仍 是“歌德巴赫猜想”的最好结果 5 第三章预备知识 第三章预备知识 为了完成后面题目的研究和证明过程，我们需要一些常用的理论基础知识， 在本章中简单列出 3 1 常见数论函数 自变量n 在某个整数集合中取值，因变量剪取复数值的函数y = ，( 礼) ，我 们称之为数论函数或算术函数他们在研究许多数论问题中起着十分重要的作 用在此作一简单介绍方便起见，我们设礼的标准分解式为t t = 硝1 砖2 赡。 ( 1 ) 除数函数o o t ( n ) ：( n ) = 扩为n 的约数的q 次方幂的和 d i n 当a = 0 时，a o ( n ) 是t t 的约数的个数，常用d ( n ) 表示，所以有 d ( 凡) = 1 当o l = 1 时，o r l ( n ) 是几的约数之和，通常称为除数和函数，用盯( n ) 表示 盯( 凡) = d ( 2 ) u ( n ) ：u ( n ) 为礼的所有不同素因子的个数即 u c n ，= ： 二三： ( 3 ) q ( n ) ：n ( n ) 是n 的全部素因子的个数( 按重数计算) q c 礼，= 三+ q 2 + + 口七， ：三： 3 2 s m a r a n d a c h e 函数 设佗为任意正整数，我们定义数论函数s ( n ) 如下 s ( n ) = m i n m ：m n ，礼i m ! ) 6 西北大学硕士学位论文 我们从s ( 赡) 的定义和性质中很容易得到：如果珏= p 1 砖2 藏。是n 的标准 素因数分解式，我们有 s ( 几) 21 m m a xi 、s ( 。n ；。) ) 3 3k 次幂补数a k ( n ) 对于任意给定的正整数k 2 及任意正整数n ，我们定义a k ( 几) 为佗的七 次幂补数即就是a k ( n ) 表示能够使n 钆( 几) 成为完全七次幂数的最小正 整数特别对k = 2 ，3 ，4 ，我们称a 2 ( 佗) 为n 的平方补数，a 3 ( 凡) 为n 的立方 补数及a 4 ( n ) 为n 的四次方补数等例如：a 2 ( 1 ) = 1 ，a 2 ( 2 ) = 2 ，a 2 ( 3 ) = 3 ， a 2 ( 4 ) = 1 ，a 2 ( 5 ) = 5 ，a 2 ( 6 ) = 6 ，a 2 ( 7 ) = 7 ，a 2 ( 8 ) = 2 ，a 2 ( 9 ) = 1 ，在文献【4 】 的第2 7 个问题中，美籍罗马尼亚著名数论专家f s m a x a n d a c h e 教授建议我们 研究k 次幂补数8 惫( 死) 的性质。关于这个问题，许多学者进行过研究，获得了一 些重要的研究成果 3 4 对偶函数s + ( 死) 对任意正整数几，著名的f s m a r a n d a c h e 对偶函数s ( 佗) 定义为最大的正 整数m 使得m ! ln 即就是： s + ( n ) = m b x m ：m ! ln ，m - 例如n ) 的前几个值为：扩( 3 ) = 1 ，( 4 ) = 2 ，扩( 5 ) = 1 ，p ( 6 ) = 3 ，s + ( 7 ) = 1 ，s 。( 8 ) = 2 ，s ( 9 ) = l ，s + ( 1 0 ) = 2 ，s + ( 1 1 ) = 1 ，s 0 2 ) = 3 ，s + ( 1 3 ) = 1 ， s + ( 1 4 ) = 2 ，s + ( 1 5 ) = 1 ，伊( 1 6 ) = 2 ，由s + ( 礼) 的定义容易推出当礼为奇数 时，s + ( 死) = 1 ，当n 为偶数时，s n ) 2 。 3 5l c m 函数s l ( n ) 对任意正整数礼，著名的f s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 定义为最小的 7 第三章预备知识 正整数k ，使得n | 【1 ，2 ，叫，这里 1 ，2 ，k 】表示1 ，2 ，k 的最小 公倍数例如，函数s l ( n ) 的前几项值依次为s l ( i ) = 1 ，s l ( 2 ) = 2 ，s l ( 3 ) = 3 ，s l ( 4 ) = 4 ，s l ( 5 ) = 5 ，s l ( 6 ) = 3 ，s l ( 7 ) = 7 ，s l ( 8 ) = 8 ，s l ( 9 ) = 9 ， s l ( i o ) = 5 ，s l ( 1 1 ) = 1 1 ，s l ( 1 2 ) = 4 ，s l ( 1 3 ) = 1 3 ，s l ( 1 4 ) = 7 ，s l ( 1 5 ) = 5 ， s l ( 1 6 ) = 1 6 ，从s l ( n ) 的定义我们很容易推出 s l ( n ) = m a x _ 【硝1 ，砖2 ，p 笋7 ) = p a 8 西北大学硕士学位论文 4 1 引言 第四章包含平方补数的方程 对于任意给定的正整数k 之2 及任意正整数礼，我们定义q 七( n ) 为n 的k 次幂补数，即就是a k ( n ) 表示能够使礼a k ( n ) 成为完全k 次幂数的最小正 整数特别对老= 2 ，3 ，4 ，我们称a 2 ( n ) 为死的平方补数，a 3 扣) 为挖的立方 补数及a 4 ( n ) 为n 的四次方补数等例如：0 2 ( 1 ) = 1 ，a 2 ( 2 ) = 2 ，a 2 ( 3 ) = 3 ， a 2 ( 4 ) = 1 ，a 2 ( 5 ) = 5 ，a 2 ( 6 ) = 6 ，a 2 ( 7 ) = 7 ，a 2 ( s ) = 2 ，a 2 ( 9 ) = 1 ，在文献【4 】 的第2 7 个问题中，美籍罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 教授建议我们 研究k 次幂补数钆( n ) 的性质关于这个问题，许多学者进行过研究，获得了一 些重要的研究成果，例如张文鹏教授在文献【8 】中运用解析方法研究了级数 三 1 r 鲁( 凡q 七( n ) ) 8 的计算问题，其中s 为任意满足r e s 1 的复数，并得到了几个有趣的恒等式： o 1 1 时有恒等式： 薹掣叫小霎南 及 耋赤州s ，( ，一薹志) ， 其中( ( s ) = 砉是r i e m a n n z e t a 函数 注意到( ( 2 ) = 吾，。l i 。m ( s 一1 ) ( ( s ) = 1 及面1 = e 一1 ，由上式立刻推出： ，) oo一 子型：一f r 2 子一1 鲁n 26 鲁( n ! ) 2n 2 ln ：l 、 第五章包含s m a r e m d a c h e 对偶函数的方程 及 衅1 ) 睡掣) 一1 ， 这里e = 2 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 是一个常数 本文的主要目的是利用初等方法研究一类包含f s m a r a n d a c h e 对偶函 数方程的可解性。并获得了该方程的所有正整数解设钆的标准素因子分 解式为：佗= p 宇p ；2 霹。，我们定义u ( n ) 为礼的所有不同素因子的个数， 不包括素因子的重数即u ) = k q m ) 定义为死的所有素因子个数和 即q ( n ) = a 1 + q 2 + + q 七具体地说我们考虑了如下的问题：是否存在正整 数n 满足方程 s + ( d ) = u ( n 烛( n ) ( 5 1 ) d i n 那么到底有多少疗满足( 5 1 ) 式? 本文完全解决了这一问题，即就是证明了下 面的： 定理5 1 ：方程s + ( d ) = ( n ) q ( 他) 有且仅有以下三种形式的解? j 扎= 矸沈或者站= 夕1 其中2 p i 耽，a 1 ，移i i 2 礼= p i p 2 p 3 或者n = p t p ；p 3 或者死= p l p 2 p ； 3 扎= p l p 2 p 3 p 4 ，其中p 1 耽 1 且满足( 5 1 ) 式时有 ( d ) = l = d ( 佗) = ( 1 + 口1 ) ( 1 + q 2 ) ( 1 + 口七) ， d l nd l n 同时 u ( 死) q ( n ) = k ( a l + o l l + + a 七) 其中d ( n 1 表示d i r i c h l e t 除数函数 下面对k 的取值进行讨论： ( a ) 当k = 2 时， ( d ) = ( a 1 + 1 ) ( a 2 + 1 ) ，u ( 扎) q ( n ) = 2 ( q 1 + q 2 ) d i n 解方程( 口1 + 1 ) ( q 2 + 1 ) = 2 ( a l + 口2 ) 得，o l l = 1 或者q 2 = 1 所以，扎= p 概 或者n = p 1 霹，其中2 ( 2 0 1 + 2 0 1 2 + 2 a 3 ) 用上述不等式的左边减右边可得 ( q 1 q 2 a 3 + 口1 q 2 + g 2 g 3 + a 1 0 3 + 1 ) 一2 ( a l + q 2 + q 3 ) =q 1 q 2 a 3 + a 1 ( q 2 2 ) + q 2 ( q 3 2 ) + q 3 ( q 1 2 ) + 1 口l 口2 口3 + 1 0 这就证明了( 5 2 ) 式左边总是大于右边，所以方程( 5 1 ) 在此种情况下无解 ( c ) 当k = 4 时，满足方程( 5 1 ) 的等式为 ( 0 1 1 + 1 ) ( a 2 + 1 ) ( q 3 - - i - 1 ) ( 0 1 4 + 1 ) = 4 ( q 1 + 0 1 2 + 0 1 3 + a 4 ) ( 5 3 ) 下面对( 5 3 ) 式中的每个啦是否取1 进行讨论，其中1 i 4 当( 5 3 ) 式中的四个啦均为1 时，等式( 5 3 ) 成立所以方程( 5 1 ) 在此种 情况下的解为：扎= p l p 2 p 3 p 4 当( 5 3 ) 式中仅有三个q t 为1 时，不妨设q 1 = 1 ，口2 = l ，q 3 = 1 且q 4 1 ， 等式( 5 3 ) 式不成立所以方程( 5 1 ) 在此种情况下无解 当( 5 3 ) 式中仅有两个q 为1 时，不妨设q 1 = l ，q 2 = 1 ，且口3 1 ，q 4 1 ， 等式( 5 3 ) 式不成立所以方程( 5 1 ) 在此种情况下无解 当( 5 3 ) 式中仅有一个叱为1 时，不妨设a 1 = 1 ，且q 2 1 ，q 3 1 ，a 4 1 ， 将q 1 = 1 代入( 5 3 ) 式得2 ( 口2 + 1 ) ( q 3 + 1 ) ( 0 4 + 1 ) = 4 ( 1 + q 24 - 0 1 3 + a 4 ) 将等式两边化简为 a 2 q 3 a 4 + g 2 g 3 + q 2 q 4 + 0 3 q 4 = 1 + q 2 + q 3 + 口4 由于a 2 l ，口3 1 ，啦 1 ，容易看出上述等式的左边总是大于右边所 以( 5 3 ) 式左边总是大于右边因此方程( 5 1 ) 在此种情况下无解 当( 5 3 ) 式中四个q 均大于1 时，由于当a 1 1 ，o l 2 1 时，( 口1 + 1 ) ( 口2 + 1 ) 2 ( 口l + 口2 ) 1 6 西北大学硕士学位论文 n n = - - i 知，当q 3 1 ，c t 4 1 时，( 盘3 + 1 ) ( 瓯+ i ) 2 ( c y a + o q ) 所以 ( q 1 + 1 ) ( q 2 + 1 ) ( a 3 + 1 ) ( a 4 + 1 ) 4 ( q 1 + 0 2 ) ( q 3 + a 4 ) = 4 ( a 1 q a + q 1 a 4 + q 2 q 3 + q 2 a 4 ) 4 ( a l + q 2 + 锄+ a 4 ) ， 因此，等式( 5 3 ) 左边总是大于右边所以方程( 5 1 ) 在此种情况下无解 ( d ) 当七 4 ，且1 i k ，可以证明方程( 5 1 ) 的左边总是大于右边 即就是 ( a 1 + 1 ) ( q 2 + 1 ) + + ( a 七十1 ) k ( a l + + q _ i c ) 所以方程( 5 1 ) 在此种情况下无解 下面用数学归纳法证明设k = i 时，不等式成立 即就是 ( q 1 + 1 ) ( a 2 + 1 ) + + ( q i + 1 ) i ( a l + + a i ) 则当k = i + 1 时 ( 0 1 1 + 1 ) ( c t 2 + 1 ) + + ( 毗+ 1 ) ( o q + l4 - 1 ) i ( a 1 + + 及i ) ( a 件1 + 1 ) 又因为 z ( q 1 + + 凸! i ) ( a 件1 + 1 ) 一( i + 1 ) ( o h + + o l i + 0 1 i + 1 ) ：i ( a l + + q i ) ( 啦+ 1 + 1 ) 一i ( a l + + ) 一i ( o q + 1 ) 一( 口】+ + 砚) 一。鼍+ 1 ： ( i a i + l 一1 ) ( q 1 + + a i ) 一( i + 1 ) q 冲1 ( i a i + ：一1 ) ( 口1 + + q i ) 一( i + 1 ) ( i q i + 1 1 ) = ( i a i + 1 1 ) ( c x l + + o z i i 一1 ) 0 1 7 第五章包含s m a r a n d a c h e 对偶函数的方程 所以，当k = i + 1 时，不等式亦成立 ( i i ) 当n 为偶数时，设扎= 2 q m ，且m 为奇数，设m = 衍1 定2 p 容 易推出 同时 下面可以证明 s + ( d ) = s ( d ) + ( 2 d ) d t nd i n 2d i n 2 1 + 2 d l n 2d i n 2 = 3 d ( n 2 ) u ( 礼) q ( 礼) = ( k + 1 ) ( q + c t l + a 1 + + a k ) 3 d ( n 2 ) = 3 a ( a l + 1 ) ( q 2 + 1 ) ( q 七+ 1 ) ( k + 1 ) ( q + q 1 + + a k ) ( 5 4 ) ( a ) 当k = 2 时，容易验证不等式( 5 4 ) 成立 ( b ) 当k = 3 时，将不等式( 5 4 ) 两边展开比较，可以验证不等式( 5 4 ) 成 ( c ) 当k 3 时，也可以验证不等式( 5 4 ) 成立，证明方法类似于在讨论n 为奇数时，k 4 的情形，同样可用数学归纳法得到证明结果 所以，在此种情况下方程也无解 结合以上几种情况我们立刻完成定理5 1 的证明 1 8 西北大学硕士学位论文 6 1 引言 第六章包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 对于任意的正整数几，著名的f s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 定义为最小的正 整数仇使得佗整除m ! 即就是，s ( n ) = m i n m ：m n ，h i m ! ，其中所 有的正整数集合由s ( 疗) 的定义和性质，如果忍= 硝1 露2 菇为托的标准 素因数分解式，于是我们得到 s ( n ) = m a x s 噼) ) 、l s ( m 1 ) + s