灰色预测原理及实例.ppt

灰色预测理论陈文广,青岛理工大学管理学院,母板日期,CompanyLogo,灰色系统的定义,白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述.,母板日期,CompanyLogo,例：人体是个灰色系统，人体某些外形参数：身高，体重，以及某些内部参数：血压，脉搏，但有更多的信息的：如人体穴位的多少及作用，人体体温场，人体的信息网络等此外，社会系统，经济系统，生态系统，农业系统，商业系统等抽象系统没有物理原型，又不清楚系统的作用机理，很难判断信息的完备性，难以对系统关系，结构做精确地描述人们只能凭逻辑推理，凭某些观念意识，凭某种准则对系统的结构，关系进行论证，然后再建立某种模型这累抽象系统我们称为特征性灰色系统严格说来，灰色系统是绝对的，而白色与黑色系统是相对的。社会，经济，农业等系统的预测，都属于特征性灰色系统的预测。,母板日期,CompanyLogo,灰色系统的定特点,灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。灰色系统认为:尽管客观系统表象复杂,数据离散,但它们总是有整体功能的,总是有序的.因此,它必然潜藏着某种内在规律.关键在于要用适当方式去挖掘它,然后利用它。,母板日期,CompanyLogo,灰色系统的定义和特点,常用的灰色预测有五种：,（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。,（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。,（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。,（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。,（5）系统预测.通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。,母板日期,CompanyLogo,生成列,为了弱化原始时间序列的随机性，强化规律性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等,下面对这几种生成做简单介绍.,母板日期,CompanyLogo,累加生成AGO（AccumulatedGeneratingOperation）,累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.,母板日期,CompanyLogo,数列累加,【例1】设原始数据序列,对数据累加：,母板日期,CompanyLogo,于是得到一个新数据序列,母板日期,CompanyLogo,当然，有些实际问题的数列中有负数(例如温度等)，累加时略微复杂。有时，由于出现正负抵消这种信息损失的现象，数列经过累加生成后规律性非但没得到加强，甚至可能被削弱。例如，给定原始数列X(0)=(1，一1，+3，一4)，如图3，累加后得图4，图4很难说比图3要好。,母板日期,CompanyLogo,对于这种情形，我们可以先进行移轴，然后再做累加生成。先将原始数据加+4，相当于将横坐标轴向下平移4个单位，得数据X(0)(5，3，7，0)，再进行累加生成，得X(1)(5，8，15，15)，图5表明数列X(1)有较强的规律。,母板日期,CompanyLogo,累减生成AGO（InverseAccumulatedGeneratingOperation）,累减生成,即对数列求相邻两数据的差,累减生成是累加生成的逆运算,常简记为IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation),累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模过程中用来获得增量信息,其运算符号为.,母板日期,CompanyLogo,母板日期,CompanyLogo,从而可得下述关系,母板日期,CompanyLogo,计算示例,母板日期,CompanyLogo,均值生成,母板日期,CompanyLogo,母板日期,CompanyLogo,级比生成,母板日期,CompanyLogo,母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,1.建模原理给定观测数据列经一次累加得,设满足一阶常微分方程,（2.1）,（2.2）,（2.3）,母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,此方程满足初始条件,的解为,(2.3),对等间隔取样的离散值(注意到）则为,(2.4),灰色建模的途径是一次累加序列（2.2）通过最小二乘法来估计常数a与u.,母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,因,留作初值用，故将,用差分代替微分，又因等间隔取样，,分别代入方程(2.3),故得,类似地有,于是，由式（2.3）有,母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,由于,涉及到累加列,的两个时刻的值，因此，,取前后两个时刻的平均代替更为合理，即将,替换为,把,项移到右边，并写成向量的数量积形式,(2.5),母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,将（2.5）写为矩阵表达式,令,这里，T表示转置.令,(2.6),母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,则(7.6)式的矩阵形式为,方程组(7.6)的最小二乘估计为,(2.6),(2.7),母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,把估计值,代入（7.4）式得时间响应方程,由(2.8)式算得的,是拟合值；,为预报值.这是相对于一次累加序列,的拟合值，用后减运算还原，,就可得原始序列,的拟合值,可得原始序列,预报值.,(2.8),母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,2.精度检验(1)残差检验：分别计算,母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,（3）预测精度等级对照表，见表7.1.,母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,由于模型是基于一阶常微分方程（2.3）建立的，故称为一阶一元灰色模型，记为GM(1,1).须指出的是，建模时先要作一次累加，因此要求原始数据均为非负数.否则，累加时会正负抵消，达不到使数据序列随时间递增的目的.如果实际问题的原始数据列出现负数，可对原始数据列进行“数据整体提升”处理.注意到一阶常微分方程是导出GM(1,1)模型的桥梁，在我们应用GM(1,1)模型于实际问题预测时，不必求解一阶常微分方程（2.3）.,母板日期,CompanyLogo,2灰色系统的模型,3.GM(1,1)的建模步骤综上所述，GM(1,1)的建模步骤如下：,母板日期,CompanyLogo,数列预测,母板日期,CompanyLogo,数列预测对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，称为系统行为数据列的变化预测，简称数列预测。例如粮食产量的预测商品销售量发展变化的预测年平均降水量发展变化的预测人口的预测货运量的预测外贸额发展变化的预测这种预测的特点是：对行为特征量等时距地观测。预测的任务是：了解这些行为特征量在下一个时刻有多大。,母板日期,CompanyLogo,【例】某市20012005年火灾的统计数据见下表.试建立模型，并对该市2006年的火灾发生状况做出预测。表某市20012005年火灾数据,母板日期,CompanyLogo,城市火灾发生次数的灰色预测,解利用MATLAB软件计算，输出分析数据如下：原始数列(元素共5个):87，97，120，166，161预测结果如下：,1dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.118924332时间响应方程：X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-486.65973残差E(k)：(1)0.00000000(2)-7.05165921(3)-2.92477940(4)20.77885211(5)-10.56168104,母板日期,CompanyLogo,城市火灾发生次数的灰色预测,4第一次累加值:(1)87.000000(2)184.000000(3)304.000000(4)470.000000(5)631.0000005相对残差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.07269752(3)-0.02437316(4)0.12517381(5)-0.065600506原数据均值avg(x)：126.200000007原数据方差S(1)：32.319653468残差的均值avg(E)：0.060183129残差的方差S(2)：12.2635185110后验差比值C：0.3794446211小误差概率P：1.0000000012模型计算值X(k)：(1)87.00000000(2)104.05165921(3)122.92477940(4)145.22114789(5)171.5616810413预测的结果X*(k)：(1)202.67991837(2)239.44245045(3)282.87305194(4)334.18119203(5)394.79571611(6)466.40463669预测精度等级：合格！结果表明：如果该市不采取更有效的防火措施，2006年的火灾事故次数约为203次.,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,母板日期,CompanyLogo,灾变预测对系统行为特征量超出某个阈值（界限值）的异常值将在何时出现的预测称为灾变预测。所以说，灾变预测即对异常值出现时刻的预测。由于异常值往往会使人们的生活、生态环境、农业生产等的正常活动带来异常结果，造成灾害，所以也称为这种预测为灾变预测。如：年平均降水量大于某个阈值（可容许值）便是涝灾年平均降水量小于某个阈值是旱灾年产量大于某个指定值，是丰年年产量小于某个指定值，是欠年环境中某种物质含量超出某个阈值，是污染人体中某个参数（如体温、血压、血中成分）超出一定范围就发生病变银行存款超出某个值是经济跃变灾变预测的特点是：对异常值出现的时间进行预测。预测的任务不是确定异常值的大小（因为异常值的大小是指定的灰数），而是确定异常值出现的时间。灾变预测建模所用数据已不是行为特征量本身，而是异常行为特征值发生的时间，这是对时间来说不是等间距的，或者说建模数据的序列，是按序号给出的时间间隔。,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,1.灾变预测的数学原理与特征灾变预测与数据预测的不同点，在于它不是预测序列数据的量的变化，而是预测异常值或“灾变”点出现的时间，它是应用灰色区间（间隔）的预测而进行的。所以，灾变预测的基本要求是“定量求时”。灾变预测的数学原理描述如下：,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,3.实际问题旱灾预测【例】某地年降水量原始数据序列如下表所示，根据多年的时间观测，每当年降水量小于430440mm时，该地区将发生旱灾.所以，选择阈值=435mm,利用GM(1,1)模型进行旱灾预报.,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,某地年降水量（mm）原始数据,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,母板日期,CompanyLogo,灾变与异常值预测,母板日期,CompanyLogo,拓扑预测,母板日期,CompanyLogo,拓扑预测（亦称波形预测、整体预测）拓扑预测是对一段时间内行为特征数据波形的预测。拓扑预测在不同的场合有不同的意义对水利方面年径流量曲线来说，拓扑预测意味着在对未来某段时间内总径流量的预测。对气象方面年平均降水量曲线来说，拓扑预测是对某几年总降水量的预测。对生产系统来说，拓扑预测可以是对几年内生产总产值、总产量的预测。而从本质来看，拓扑预测则是对一个变化不规则的行为数据数列的整体发展进行预测。,母板日期,CompanyLogo,灰色拓扑预测是当系统中的原始数据频频波动且摆动幅度较大，往往难以找到适当的模拟模型时所采用的一种根据原始数据预测未来行为数据发展变化的预测方法；其思路是将系统特征值分层次用GM(1，1)模型进行预测，再把分层的结果置于同一预测面上，连接起来得到预测波形.,母板日期,CompanyLogo,具体方法如下：,母板日期,CompanyLogo,例：,母板日期,CompanyLogo,母板日期,CompanyLogo,母板日期,CompanyLogo,母板日期,CompanyLogo,系统预测,母板日期,CompanyLogo,系统综合预测将某一系统各种因素的动态关系找出，建立系统动态框图。系统的行为特征量是系统的输出。总系统行为特征量是系统总输出，系统中