（基础数学专业论文）算子代数上的约当同构和初等映射.pdf

中鼋摘妥 中文摘要 算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，随着这一理论的迅速发展，它已成为现代 敬学的一个热门分支。它与量子力学，非交换几何，线性系统和控制理论，数论以及其 它一些数学分支有着出入意料的联系和相互渗透为了进一步探讨算子代数的结构， 近年来国内外许多学者对算子代数上的线性映射和各种可乘映射进行了系统研究，探 讨这些映射的代数和几何性质以及刻画分类问题，取得丰富成果并不断提出新的思路 和方法例如，j o r d m l 可乘映射，j o r d a u - t r i p l c 可乘映射，l i 十s k c w 可乘映射，初 等映射，j o r d a n - t r i p l e 初等映射，局鄢映射，2 一局部映射等概念先后被引入并成为算 子代数理论的重要研究对象和工具本文在已有成果的基础上，研究了一些类型的算 子代数上的j o r d a n 可乘映射，j o r d a l p t l i p h 可乘映射，l i e - s k e w 可乘映射，初等映 射，j o r d a n t r i p l e 初等映射，l i e 导子，j o r d a n 导子，局部导子和局部同构及其刻画 问题这些算子代数包括类非常重要的非自伴非半单非素的算子代数，即套代数 本文主要得到如下结果： 1 证明了素筛子代数上j o r d a n 可乘双身t 的可加性，利用这一结论刻画了因子f 代数上的1 0 r d 。i l l * 可乘双射，我们的结果表明这样的映射一定是f | 司构或共轭r 。同 构；证明了套代数上的j o t d a n 可乘双射的可加性 2 研究了茆子代数上的初等映射和环| 司构的关系，完垒刻画了b a u a c h 空l l i i 上标 准算子代数，j s l 。代数和套代数上的初等映射；讨论了d a l l t l i p k ，初等映射的可加 性以及它和j o l d a n 同构的关系，进而完全刻画了b a n a ( h 空问上标准钎子代数和套代 数上的j o t d a n ，t r i p l e 初等映身于；刻画了效应代数和自伴算子空问上的s e m i 一j o r d a n 初 等映射 3 ，证明了自伴矩阼空间上的j o r d a u t r i l f l e 尊射一定是满射，进而是j o r d a n 同构 刻画了6 ( h ) 【h 是复h i l b e ，t 空问) 上的l i , 、一s k e w 可乘双射( 即满足4 , ( a b b a ) = o ( a ) 4 ( b ) 一i ( 8 ) i ( a ) 。的双射) ，结果表明这样的映射一定是u a u 。的形式，其中u 是酉算子或共轭酉算子 4 给出了套代数上的l i e 导子，l i e - t r i p l e 导子和j o r d a n 导子的刻画，证明了套 代数上的l i c 导子和l i e - t r i p l e 导子分别具有d ( a ) + h ( a ) l 和r ( a ) + 9 ( a ) ，的形式，其 中6 ，r 是导子，h 9 满足h a ，b 1 = 0 和, a i a ，b 】 c = 0 对套代数中的任意元a ，b ，e 都成立；证明了套代数上的j o r d a n 导子一定是导子，进而是内导子 i 、t 山西大学博一1 - 学位论丈 5 证町了了子空间格代数上的2 一局部同构- 一定足同陶；局部导子和2 一局部导子 一定悬导子 关键诃：标准竹子代数；套代数；初等映射； & w d 。i i i t l i p h - 初等映射；l i e 小w 可乘映射i m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类，4 7 8 4 9 中图分类号，0 1 7 7 1 。0 1 7 7 3 论文类型：应用基础 ：；：；：；：；：；：；：! ! ! ! ：! ! ! ! ：；：；：；：一“ a b s t r a c t t h es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h c m tb e g a ni n3 0 so ft i l e2 0 t hc c n t u 巧：w i t ht h e f a s td e v e l o p m e n to ft h et h e o r ) ，n o wi th a sb e c o m eah o tb r a n c hp l a y i n gt h er o l eo f a ni n i t i a t o ri nm o d e r nm a t h e m a t i c s i th a su n e x p e c t e dr e l a t i o n sa n di n t e ri n f i l t r a t i o n s w i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y , l i n e a rs y s t e ma n dc o n t r o lt h e o r y , n u m b e rt h e o r ya sw e l la ss o m eo t h e ri m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s i no r d e rt o d i s c u s st h es t r u c t u r eo fo p e r a t o ra l g e b r a s ，i nr e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r sh a v ef o c u s e d o i il i n e a rm a p sa l i dv a r i o u sm u l t i p l i c a t i v em a p so i lo p e r a t o ra l g e b r a s & u ds t u d i e dt i l e a l g e b r a i ca n dg e o m r t r i a lp r o p e r t i e sa n dt h ep r o b l e mo fc l a s s i f i c a t i o no ft h e s em a p s m a n yd e e pa n di n t e r e s t i n gr e s u l t sh a v eb e e na c h i e v e d ，a n dm a n yn e wi d e a l sa n dm e a n s w a si n t r o d u c e d f o re x a m p l e ，j m d mn m l t i p l i c a t i v em a p s ，j o r d a nt r i p l em u l t i p l i c a t i v e m a p s ，e l e m e n t a r ym a p s ，j o r d a n - t r i p l ee l e m e n t a r ym a p s ll i e - s k e wm u l t i p l i c a t i v em a p s ， l o c a lm a p s ，2 - l o c a lm a p s a n ds oo n ，w e r e 贰u d i e ds o c e c r s i v c l ) ：a tp r e s e n tt i m et h e s e m a p sh a v eb e c o m ei m p o r t a n to b j e c t o r sa n dt o o l si ns t u d y i n go p e r a t o ra l g e b r a s ，n e s t a l g e b r a si sac l a s so fm o s ti m p o r t a n tn o n s e m i s i m p l e ，n o n - p r i m ea n dn o n - s e l fa d j o i n t o p e r a t o l 。a l g e b r a s t h p i l f i n i t ed i m e n s i o n a lm o d e l sa r eu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i xa l g e b r a s b u tt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lm o d e la r em o r ec o m p l e x i nt h i sp a p e r ，w ec o n t i n u et h e s t u d yo fj o r d a nm u l t i p l i c a t i v em a p s ，j o r d a nt r i p l en m l t i p l i c a t i v em a p s ，e l e m e n t a r y m a p s ，1 0 r d a n t r i p l ee l e m e n t a r ym a p s ，l i e - s k e wm u l t i p l i c a t i v em a p s ，l i ea n d j o r d a n d e r i v a t i o n ，2 - l o c a li s o m o r p h i s m ，l o c a ld e r i v a t i o na n d2 - l o c a ld e r i v a t i o no ns o m eo p e r a t o r a l g e b r a s t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： 1 jw cs h o wt h a tj o r d a nm u l t i p l i e a t i v eb i j e c t i v em a p so np r i m eo p e r a t o ra l g e b r a s m u s tb ea d d i t i v e a si t sa p p l i c a t i o n w es h o wt h a te v e r yj o r d a n m u l t i p l i c a t i v eb i j e c t i v en m po ne v e r yf a c t o rc 。a l g e b r aj sac i s o m o r p h i s mo ra c o n j u g a t ec i s o m o r p h i s m i nt h es p e c i a l 。a s co ft 3 ( h ) i tm u s tb ca - i s o n l o r p h i s mo rac o n j u g a t e 一i s o m o z t h i s m h 台a l s op r o v et h ea d d i t i v i t yo fj o r d a nm u l t i p l i c a t i v eb i j e c t i v em a p so nn e s ta l g e b r a s 2 w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e ne l e m e n t a r ym a p sa n dr i n gi s o m o r p h i s m s ，a n d w eg i v cad l a r a c t e r i z a t i o no fe l e m c n t a r yn t a p so i ls t n d a r do p e r a t o ra l g e b r a so nb a n a c h s p a c e s ，j s l - a l g e b r a sa n dn e s ta l g e b r a s f o rj o r d a n - t r i p l ee l e m e n t a r ym a p s ，骶p r o v e t h e i ra d d i t i v i t yo nac l a s so f r i n ga n ds h o war e l a t i o no ft h e mw i t hj o r d a ni s o m o r p h l s m s i ， ! ! 鱼查兰堡圭兰堡垒塞 f 、u t t t o l l l l o r o w r 小崔( 1 i b et h e , o r d a ue l e l l l p n t a r yn l a p so us t a u d a r do p e r a t o ra l g e h l a s a u di i 等la l g ( b r a s v v t t d h o ，t u , l yt h e 掇m i j o i d a ut l n l ( b t u ym a p so l tr i t l ta l g c b ! i t s a n dt h es p a c co fs e l f , v 1 j o i n to p e r a t o r s 3 ，w es h o wt h a te v e r yj o r d a nt r i p l em u h i p l i c a t i v ei n j e c t i v em a po i lt h es p a c eo f s e l f - a d j o i n tm a t r i c e sm u s tb es u r j e c t i v e a n dh e n c ei saj o r d a ni s o m o r p h i s m w ea l s o s t u d yt h el i es k e wm u l t i p l i c a t i v eb i j e c t i v em a p so nb ( h ) ( t h a ti s ，t h em a p ss a t i s f y i n g 垂( a 口一b a ) = 由( 以) 币( b ) 一垂( b ) 垂( a ) ) ，a n ds h o wt h a tt h e s em a p sm u s tb eo ft h e f o r m 中( a ) = u a u ，w h e r eu i sau n i t a r y0 1 ac o n j u g a t eu n i t a r yo p e r a t o r 4 w ed i s c u s st h el i e ，l i e - t r i p l ea n dj o r d a nd e r i v a t i o n so nn e s ta l g e b r a s o u r r e s t d t ss h i n yt h a te v e r yl i ea n dl i et r i p l pd e r i v a t i o nm t m tb eo ft h ef o r m6 ( a ) + h ( a ) l a n dr ( a ) + g ( a ) l ，w h e r eh ，gs a t i s f yr e s p e c t i v e l yh a ，矧= 0a n dg i l a ，b 】，e l = 0 ：6 a n dra r ed e r i v a t i o n s e v e r yj o r d a nd e r i v a t i o ni sad e r i v a t i o n a n dh e n c ei sa ni n n e r d e r i v a t i o n 5 t h e2 - l o c a li s o m o r p h i s m ，l o c a ld e r i v a t i o na n d2 - 1 0 e a ld e r i v a t i o no ns - s u b s p a c e l a t t i c ea l g e b r a s ( j s la l g e b r a s ) a r ed i s c u s s e d o u rr e s u l t ss h o wt h a t2 - l o c a li s o m o r - p h i s m so fj s la l g c b i “i n n s tb ci s o t n o r p h i s l n s ；l o c a ld c r i v a t i o x t sm i d2 - l o c a ld c r i v a t i m t s o fj s la l g e b r a sm u s tb ed e r i x - a t i o n s k e ) 1 ：v o r d s ：s t a n d m do p e r a t o ra l g e b l a s ：n e s tm g e b r a s ；e l e m e n t m tm a p s ：j o r d a n - t r i p l ee l e m e n t a r yn t a p = ，；l i es k e wm u l t i p l i c a t i v em a p s ， 2 0 0 0m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：4 7 8 4 9 t h e s i st y p e ：a p p l i c a t i o n 主要符号缸 主要符号表 含义 文数域 复数域 实效域或复数域 h i l b c r t 空问 h i l b e r t 空间日上的有界线性算子全体 b a n a c h 空问 b a n a c h 空问x 上的有界线性算子全体 c 上n 阶自伴矩阵全体 c 上n 阶对张矩阵全体 矩阵丁的转置 h i l b c r t 空甸胃上的臼伴算子全体 b a n a c h 空甸x 上的套f 散 恒等算子 内积 由向鼍，涨成的一维空问 h i l b e r t 空问子集 珀正交补 线性空问 ，的维数 有限秩算子丁的秩 算子丁的值域 算子丁的定义域 枵r c f删x聃删r删w，纠小岬鲫咖 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导 下独立完成的，学位论文的知识产权属于山西大学。如 果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论文相关 的内容，将承担法律责任。除文中已经注明引用的文献 资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的成果。 学位论文作者( 签章) ：受j 闰王管 2 0 07 “月e l 第一幸绪论 第一章绪论 本章主要介绍论文的写作背景，研究历史与现状以及本文的主要结果 1 1 引言 二十世纪三十年代，f j m u r r a y 和j v o n n e m n a m l 创立了算子代数理论现在 这一理论巳成为现代数学中起领头作用的热门分支之一，它与量子力学，微分几何， 线性系统及控制论，甚至数论和其它一些重要数学分支都有着出人意料的联系和相互 渗透【1 】 对于算子代数。常规的研究课题主要是探讨算子代数的结构，利用同态映射研究 算子代数的分类然而，由于算子代数结构极其复杂，即使是性质最好的v o nn e u m a n n 代数，分类问题也远未解决另一方面，算子代数作为特殊的b a n a c h 空间和乘法群， 对其上的线性映射和可乘映射及其对代数结构的影响却研究极少，过去仅限于态，导 算子，等距，完全正及完全有界线性映射的讨论近二十年来，国内外许多学者另辟蹊 径，开始注意到算子本身的特殊性，与算子理论相结合，对算子代数上的线性映射和各 种可乘映射进行了系统研究m 探讨这些映射的代数和几何性质及其刻画分类问题， 取得丰富成果并不断提出新的思路和方法，事实上，这方面的研究成果不仅丰富了算 子代数理论的研究，而且刺激了算子理论甚至纯代数理论的发展进而，其成果往往 从新的角度，揭示了算子代数的固有性质以及与其上线性映射和可乘映射的联系例 如，在许多情形下这样的线性映射和可乘映射是代数同态或代数反同态这表明在 某些条件下，算子代数上映射的线性和可乘性可以互相蕴涵，从而使人们进一步加深 对算子代数的认识和理解 为探讨算子代数上映射的代数和几何性质及其刻画分类问题，j o r d a n 可乘映射， j o r d a n - t r i p l e 可乘映射，l i e - s k e w 可乘映射，初等映射，j o r d a n 初等映射，局部映 射。2 _ 局部映射等概念先后被引入目前，算子代数上这些映射的研究越来越受到人 们的重视，成为算子代数和算子理论领域中重要的研究对象和必不可少的工具本文 在已有结论的基础上，系统研究了包括套代数在内的几类常见算子代数上以及自伴算 子空向上的j o r d a n 可乘映射，j o r d a n t r i p l e 可乘映射，l i e - s k e w 可乘映射，初等映 射。j o r d n z l 初等映射，l i c 导子，j o r d a n 导子，局部导予和局部同构以及这些映射的 刻画和分类问题注意到，套代数是一类非常重要的非自伴非半单非素的算子代数， 它的有限维模型是上三角块矩阵代数，而无限维的情形要复杂得多；而自伴算子空问 2山西大学博士学位论文 则足实j o r r l a l t 代数 接下来我们介绍本文所涉研究课题的前沿状况及主要慨念设一4 为算子代数， 西：一4 一一4 为映射如果存在正整数玎以及算子a k b k 4 ，k = 1 ，2 n 使得 中( 丁) = z ：t a k t b k 对任意t 4 成立，则称巾为初等箅子若巾( t ) = a t b ( v t ) ， 则称雪是长度为一的初等算子或乘子初等算子的特例有内自同构丁：一a t a ，内 导子r ：一口丁一t b ，其中a 为4 中的可逆元，b a 为任意元在算子代数与算 子理论中，研究代数同构( 即满足垂( a b ) = 垂) 圣( b ) 的线性双射) 及导子( 即满足 o ( a b ) = m ( a ) b + a o ( b ) 的线性双射) 是否为内自同构，内导子是十分重要的研究课 题基于以上事实，b r 崮a x ，s e m r l 引入了抽象初等映射的定义( 3 1 而上面形式的长度 为一的初等算子即乘予圣为抽象初等映射的特例事实上他们讨论了下面形式的初等 映射：给定两个环冗：冗，和两个映射m ：冗一冗，m ：冗7 一冗称序对( m ，) 为 冗影上的初等映射，如果 ，m ( a m ( b ) e ) = m ( a ) b m ( c ) 、m 。( b m ( a ) d ) = m + ( b ) a m ( d ) 对任意的a c 冗，b ，d 冗7 都成立若垂：冗一影为可乘双射。则( 圣，币“) 为 冗冗上的初等映射对s ，t 冗，令m r s ( a ) = t a s va 冗则( m r s 1 t 1 q t ) 为 冗霄上的初等映射由此可看出初等映射是乘子的推广b r e a r ，m o n r l 和s e m r l 在f 4 】中详细讨论了初等映射的性质，证明了若 ，+ 为b a n a c h 空问上标准算子代 敬上的初等满射，则 ， ，一定可加在f 5 l 中，pl i 和f l u 刻画了j s l 代数上 的线性初等映射本文第三章我们采用不同的方法，通过讨论初等映射和环同构的关 系，给出了标准算子代数上初等满射刻画的简单证明和j s l 代数上初等满射的具体刻 画( 无线性假设) ，从而改善和推广了【5 】中的结果；进而我们还给出套代数上初等满射 的完全刻画 继初等映射概念的引入后不久，m o l n h r 在【6 1 6 中引入了下面形式的j o r d a n 初等 映射概念，我们称之为半j o r d a n 初等映射：称序对( ， j ) 为冗彩上的半j o r d a n 初等映射，若 ，m ( a m + ( b ) a ) = m ( a ) b m ( a ) ， m ( b m ( a ) b ) = m ( b ) a m ( b ) 对任意的a 冗，b 彤成立显然若双射西满足垂( a b a ) = 垂( a ) 西( 口) 圣( a ) ， ( 西，圣“) 为半j o r d a n 初等双射m o l n 矗r 证明了若( m ， p ) 为s ( h ) s ( n ) 的半 j o r d a n 初等映射，其中s ( h ) 为h i l b c r t 空间日上自伴算子全体组成的实j o r d a n 代 数( 即自伴算子空问) ，则m ，肘一定可加文1 7 】的结果表明特征不是2 的索环上的 半j o r d a n 初等映射是可加的p l i ，f l u 在【8 l 中引入另一种类型的j o r d a n 初等映 第一章 绪论 身于，我们称之为j o l d a n t l i p h 初等映射： 冗冗上满足 ，m ( a m ( b ) c + c m ( b ) a ) = m ( a ) b m ( c ) + m ( c ) b m ( a ) ，( b m ( a ) d + d m ( a ) b ) = m ( b ) a m 。( d ) + m ( d ) a m ( 曰) 对任意a ，c 冗b ，d 影都成立的映射有序对( ， ，) 成称为j o r d a n t r i p l e 初等 映射 f 8 】中证明了在h i l b e r t 空间套代数上j o r d a n t r i p l e 初等映射是可加的类比 j o r d a m 可乘映射的定义，我们还可引入j o r d a n 初等映射的概念t 如果映射m ：冠一俐 和m ：冗，一冗满足 ，m ( a m ( b ) + m ( b ) a ) = m ( a ) b + b m ( a ) m ( b m ( a ) + m ( a ) b ) ；m ( b ) a + a m ( b ) 对任意a 冗，b 影都成立，则称( f ，m 。) 为j o r d a n 初等映射显然，三种j o r d a n 初等映射是互不等价的 对于j o r d r n 初等满射 ，：冗一冗，m ：彤一亿我们证明在许多情形下有 m = m ，从而可知 ，为j o r d a n 可乘双射，即 满足m ( a b + b a ) = ，) ，( b ) + ，( 日) f ) ( 见小结3 4 ) 因此，在本文第二章，我们讨论了算子代数上j o r d a n 可乘双 射的刻画，而相应j o r d a n 初等映射的刻画可以由此章结果得到本文第三章的主要目 的之一是致力于解决如何刻画半j o r d a n 初等映射和j o r d a n - t r i p l e 初等映射的问题事 实上我们先讨论抽象环上j o r d a n t r i p l e 初等满射的可加性问题，进而探讨上半j o r d a n 初等映射。10 i d a n t r i p l e 初等映射与i o r d a n 环i 司构的关系，井利用这种关系给出了一 些算子代数( 如b a n a c h 空间上标准算子代数和套代数) 上这两种j o r d a n 初等满射的 刻画 我们知道j o r d a n 同构和导子是j o r d a u 初等映射和初等映射的特例，但这两种映 射有独立的研究意义，因为这两种映射是算子代数和算子理论中非常重要的概念并得 到广泛深入的研究对于一个映射满足什么条件时可以成为j o r d a n 同构或导子的问 题，近年来许多学者对此进行了探讨，例如大家熟悉的保持问题研究，就有相当多的文 献涉及这个课题本文第四章在刻画j o r d a n 同构这方面进行了尝试，证明了h i l b e r t 空间上有界算子全体8 ( h ) 上保l i e - s k e w 乘积( a b b a ) 的双射一定是 同构， 自伴矩阵空间氕。( c ) 上的j o r d a n t r i p l e 单射一定是j o r d a n * 同构对于导子的情形， 我们在第五章讨论了套代数上的l i e 导子，l i e - t r i p l e 导子，j o r d a n 导子以及它们与 导子的关系设为复数域c 上的代数，称线性映射6 ：a 一4 为j o r d a n 导子， 若对任意的a a 有6 c a 2 ) = 6 ( a ) a + a c 5 ( a ) 成立；称6 为内导子。若存在t a 使得6 ) = a t t a 对任意的a a 成立设l ：a 一为一线性映射，若对 任意的a ，be4 有工，b 1 = 陋( a ) ，b 】+ 【a ，工( b ) 】成立，则称工为l i e 导子；若对 3 !当鱼叁兰堡圭兰丝丝叁 任意的a 口c 4 有( 【：a 口1 ( 1 ) = l 【( a ) 口】c 1 + i ! l ( b ) i c 】+ 【口 ( f ) 1 则称l 为l i , - t r i p l e 导子设d 为a 到自身的导子， 为到其中心的线性映射 如果，( 【a b l ) = 0 对任意的a b 一4 成立，则映射a 一6 ( a ) + h ( a ) i 为a 到自 身的l i e 导子。我们称这佯的映射为l i e 导子的标准式若对任意的a ，b ，c 有 h ( ( i a ，引，c 1 ) = 0 则映射a 一6 ( a ) + h ( a ) i 为到自身的l i e - t r i p l e 导子，我们称这 样的映射为l i e - t r i p l e 导子的标准式我们证明了套代数上的j o r d a n 导子是内导子。 而每个l i e 导子和l i c - t r i p l e 导子都具有标准式 本文第六章讨论局部映射出于对算子代数上的同调理论及k a d i s o n 和r i n g r o s e 三十年前提出的y o nn u e m a n n 代数上的同调群是否为平凡群这一问题的研究，k a d i s o n 在【9 】中首先引入并讨论了v o nn e u m a n n 代数上的局部导子后来l a r s o n ，s o u r o u r 1 0 1 研究了标准算子代数上的局部同构和局部导子称代数五到自身的线性映射6 为局 部同构( 局部导子) ，若对任意的a 4 存在上的自同构( 导子) 以( 依赖于a ) ，使得 5 ( a ) = 5 a ( a ) p s e l n r l 在f 11 l 中又引入2 一局部同构( 2 局部导子) 的概念并讨论了 b ( h ) 上2 局部同构( 2 一局部导子) 的刻画问题称代数一4 到自身的可加映射6 为2 - 局部同构( 2 一局部导子) 若对任意的a ，口一4 ：存在上的自同构( 导子) 以，b ( 依赖 于ab ) 使得 ( a ) = 几b ( a ) d ( b ) = 以，占( b ) 本文则研究j s l 代数上的上述局部 同构和局部导子的刻画问题 最后我们介绍再几个概念t b a n a c h 空问x 上的套是包含( 0 ) 和x 且在任意闭线性张( 由v 表示) 和交 ( 由a 表示) 运算之下封闭的x 的闭子空间链与套相应的套代数记为a l g 厂， a 1 5 厂= 丁b ( x ) i 对任意的n 有丁 ) 当 0 ，x ，我们说 厂是非平凡的显然若是平凡的，则a l g 厂= 艿( x ) a l g ，a f = a l g 厂n ，( x ) ，代表a 1 9 厂中的有限秩算子集合 a l g 旷的子代数4 称为 i l 肼, r 的标准算子代数，若4 包含，和a i g s a c b ( x ) 的标准算子代数简称为b a n a e h 空问上标准算子代数对n ，记 l = v m 厂i ，c ) ，+ = a m ，lnc ， 令0 一= 0 ，x + = x 对x 的闭子空间，n o = ，x l z ，) = 0 ，其中( 墨，) 表示，在z 的取值定义口l 厂) = v n l | 一x ) ， 现0 厂) = u jn ，n o ，此处n 5 = ( n 一) 1 显然口1 c 厂) = x 若x 一x ( z b ( 厂) = x 若0 o + ) ；若不然，口l ( ) 的闭包是x 一= x ( z h ( x c ) 的闭包是 o = o 上= x ) 注意， 厂上= 上in a c 为x 的子空间套设z x 和f x + ， 一秩算子z o ，a i g 厂当且仅当存在 厂使得o n ，当( 参见【1 2 ，1 3 d 设x 为b a n a c h 空间称x 的闭子空间族c 为子空间格，如果它包台f 0 、和x 第一幸绪论 且在任意闭线性张( 山v 表示) 和受( 山 丧示) 运筛之下封闭与子空间格c 相应 的格代数i l 为a i g l 3 a l g c = 丁b ( x ) i 财任意的l c 有r l 上 令 j ( 工) = j r c ：k ( 0 ) k k ， 其中乙= v l c ：k 垡厶称c 为j r 子空间格，简称j s l ，若 ( 1 ) v i k ：k 了( c ) ) = x ( 2 ) n j r 一：k ，( c ) ) = ( 0 ) ( 3 ) k v k 一= x 对任意的k 歹( c ) ( 4 ) k n k 一= ( 0 ) 对任意的k 了( c ) 当c 为乒子空间格时，称a i g ：是j ，- 子空间格代数，简称j s l 代数a l g f l ；代表 a l g c 中的全体有限秩算子构成的集合 ( 参见【l4 】) “ ： ! ! 里垄兰篁：! 兰竺竺墨： 第二章算子代数上的j o r d a n 可乘映射 从纯代数的角度，对可乘映射何时可加问题的研究可追溯到2 0 世纪7 0 年代开 创性的工作是由m a t i n d a l e 在【1 5 】中做的他的结论说明了含有非平凡幂等元的素环 到任意环的可乘满射必定是可加的这一惊人结果说明这类环上的可乘结构就蕴涵了 它上的可加结构，即可乘结构就完全决定了其上的环结构近几年来，算子代数上可 乘映射的自动可加性问题也倍受人们关注，证明了某些非索算子代数如套代数上的可 乘双射 1 6 1 是自动可加的，因而也是环同构 除环同态，还有一类非常重要的同态，即j o r d a n 同态：用佗，影表示两个环，称 m ：冗一冗7 为j o r d a n 同态，若圣可加，即 币( a + b ) = 垂( j 4 ) + 垂( b ) 对v a b 冗成立；同时j o r d a n 可乘，即 壬( 4 b4 - b a ) = o ( a ) o ( b ) 。o ( b ) o ( a ) 对va b 冗成立 那么，在什么条件下j o r d a n 可乘映射足自动可加的? 即哪些环上的j o r d a n 可乘 结构就能完全决定其j o r d a n 环结构呢? 本章我们将考虑特一些特殊环，即算子代数上 j o z d a n 可乘双射的自动可加性及其刻画问题 2 1 素算子代数上的j o r d a n 可乘双射 这一节主要考虑素算子代数上的j o r d a n 可乘双射的可加性 下面是本节的主要定理； 定理2 1 1 设环冗有单位且包含一非平凡幂等元p 令p i = pp 2 = i p ，若冗 满足：8 a 弓冗只= 0 或者i j t i p , a 乃= 0 都有p , a 只= 0 ( 1 ，j ，f 曼2 ) ， 则冗到任意环上的j o r d a n 可乘双射 西( a b + b a ) = 西( a ) 圣( b ) + 垂( b ) 母( 4 ) ( 2 1 1 ) 一定可加 我们分几步来证明； 摹二幸耳子代善乏上的1 0 r d ；mj f 采映射 0 引理2 1 1 币( 1 1 ) = f 】 证明：因为巾足满射，所以存在a 冗使得t i ( ) = 0 丁是中( o ) = 小( o 4 + 4 0 ) = 在接下来的引理中，我们将反复用到下而的我们称之为”标准讨论”的方法设 a ，b ，s 冗使得圣( s ) = 西( a ) + 西( b ) 将该等式分别左乘右乘垂( t ) ( r 冗) ，得到 垂( 丁) 西( s ) = 西( 刃m ( a ) + 西( 丁) 巾( b ) ， 壬( s ) t i ( r ) = m ( a ) 母( r ) + m ( b ) t i ( 丁) ， 将上面两式相加得到， 西( s ) 垂( 丁) + 圣( 丁) 圣( s ) = 垂( a ) 垂( 丁) + 圣( 丁) 圣( a ) + 圣( t ) 圣( b ) + 圣( b ) 圣( 丁) 从而由( 2 1 1 ) 有， 西( s r + t s ) = m ( a 丁+ t a ) + m ( 口f + t b ) 进一步，若 m ( 月r + t a ) + 西( 口丁+ t b ) = 西( a 丁+ t a + b t 十t b ) 则由m 的单射性，我们得到 s r + r s ：a t t a + b t + t b ， 引理2 1 2m 【a 。斗a , j ) = 巾( a 。，) d ( a u ) ( 1 i j 2 ) 证明：由于圣是漪射，所以存在s = s j i s 1 2 + 岛l + s 2 2 冗使得 西( s ) = 垂( a ：。) + d l ( a i j ) ( 2 1 2 ) 对( 2 1 2 ) 关于冗d ，用标准讨论得到，西( s + s 巧) = 咖( a 。i + a 。f ) + 西( a u t i j + 巧a 。) = 圣( a “2 0 ) 因此t o s + _ s = a i i 对任意的瓦7 2 0 成立所 以s 。= 0 因此，有 + 鼠= a “巧 ( 2 1 3 ) f o ra 1 1 j 对z 0 冗埘：用标准讨论得到t z s + s t j j = a 玎乃j ，则= 0a n d 5 ：“= 0 进而& 丁0 = a 玎2 对任意t , j 7 成立，所以a 玎= s b 而由( 2 1 3 ) 我 们有s t = a 。t 对任意7 0 7 ；z i j 成立所以a “zs i i ，进而s = a i i + a j 引理2 1 3 垂( a i l + a i ) = 币( a 。 ) + 圣( i ) ( 1 i j 2 ) 8 j ，西大学博： 学位论文 证明与引理21 2 类似 s i 理2 1 4 吐， az z + b l z 4 2 2 ) = t l ( a j z ) + m ( b 1 2 4 2 2 ) 证明：山于 a , 2 4 - b i z a n = ( a 1 2 + a 2 2 ) ( p i b 1 2 ) + ( p i + b 1 2 ) ( a 1 2 + a 2 2 ， 则由( 2 ，1 1 ) ，引理2 1 2 和2 1 3 ，有 由( a t 2 + b 1 2 a 2 2 ) = = = = 中( a 1 2 + a 2 2 ) 壬( p i + b 1 2 ) + 中( p l + b 1 2 ) 蚤 a 1 2 + a 2 2 ) ( 圣( a 1 2 ) + 母( a 2 2 ) ) ( 巾( 最) + m ( b 1 2 ) ) + ( ( 圣( p 1 ) + 垂( b 1 2 ) ) ( 圣( a 1 2 ) + 圣( 月2 2 ) ) 圣( a 1 2 ) m ( p i ) + 由( a i z ) 中( b i z ) + 垂( 2 2 ) 中( p t ) + 9 ( a 2 2 ) 圣( b 1 2 ) + 西( p 1 ) 垂( a 1 2 ) + 垂( b 1 2 ) 中( a