（基础数学专业论文）一族耦合的kdv方程及其对应的有限维可积系统.pdf

，y 8 8 a h i e r a r c h y o f c o u p l e dk o r t e w e g - d e v r i e se q u a t i o n s a n dt h ec o r r e s p o d i n gf i n i t e - d i m e n s i o n a l i n t e g r a b l es y s t e m a b s t r a c t ：b yi n t r o d u c i n g a4 4m a t r i x s p e c t r a lp r o b l e m w i t ht h r e e p o t e n t i a l s ，w ed e r i v ean e wh i e r a r c h yo fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a t y p i c a le q u a t i o ni nt h eh i e r a r c h yi sac o u p l e dk d v e q u a t i o n i ti ss h o w n t h a t t h eh i e r a r c h yp o s s e s s e st h eg e n e r a l i z e db i - h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e sw j t l lt h e a i do ft l l et r a c e i d e n t i t y t h r o u g h t h en o n l i n e a r i z a t i o no f e i g e n v a l u e p r o b l e m s ，w eg e tan e wf i n i t e d i m e n s i o n a ih a m i l t o n i a ns y s t e m w h i c hi s c o m p l e t e l yi n t e g r a b l ei nl i o u v i l l es e n s e i nt h ee n d w eo b t a i nt h ei n v o l u f i v e s o l u t i o no f t h e c o u p l e dk d ve q u a t i o n k e y w o r d s ：l e n a r d o p e r a t o r s ，s o l i t o nh i e r a r c h y ，b i h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e s b a r g m a n n c o n s t r a i n t ，h a m i l t o n i a n ，i n v o l u t i o n ，i n t e g r a b i l i t y ， i n v o l u t i v es o l u t i o n 一族耦合的鉴堕! 友猩及其对应的查腿堡亘丞丕 摘要：f1 9 9 0 年，曹策问先生在上海非线性物理国际学术会议上做了题 为“通过特征值问题的非线性化产生经典可积系统”的报告，在这篇报告 中他提出了非线性化方法。这种方法开始应用到很多2 2 矩阵谱问题，得 到了数十个有限维可积系统。后来，有人把这种方法推广应用到三阶和四 阶高阶矩阵谱问题。高阶矩阵谱问题是物理界很感兴趣的问题，是目前国 际上孤子理论研究的趋势。但由于这种问题计算量大、计算复杂，对高阶 矩阵谱问题非线性化的研究较少。 当我们考虑高阶的矩阵谱问题时，需要一些特殊的技巧和进行大量的 计算。特别地，体现在算子对的获得和证明守恒积分的对合性和独立性上。卜，一 本文考虑了一个有三个位势的4 4 矩阵谱问题 y ，= u ( s ，旯) y 0 “一旯 0 w 导出一族新的非线性演化方程，其中一个典型的方程是耦合k d v 方程，它 在物理学中有很重要的应用。同时，借助迹恒等式，这族方程还具有广义 双h a m i l t o n i a n 结构。啦b “一约鹕= 善v 歹磊删一个有 限维h a m i l t o n i a n 系统。利用驻定零曲率方程解矩阵矿( 丑) 的特征多项式， ， p g ，旯) = d c t ( 点- f f 一矿) = 毒4 + 日善2 + 只o ，户p 一 可得到2 个对合的守恒积分。文中用母函数方法给出对合性的证明，从 而证明了该h a m i l t o n i a n 系统在l i o u v i l l e 意义下是完全可积的。此外，还 得到了耦合k d v 方程的对合解。， 关键词：l e n a r d 算子对；孤子族；双h a m i l t o n i a n 结构；b a r g m a n n 约束； h a m i l t o n i a n 函数；对合性；可积性j 对合解? 2 妒 、，i o o 1 o兄 o w o 一 矿 1 o o 0 0i n t r o d u c t i o n s i n c et h eb e g i n n i n go f1 9 9 0 s ，t h et e c h n i q u eo ft h es o c a l l e dn o n l i n e a r i z a t i o n o f l a x p a i r s t - a l ，h a s b e e nd e v e l o p e d a n d a p p l i e d t ov a r i o u ss o l i t o n h i e r a r c h i e s a s s o c i a t e dw i t h2 2m a t r i xs p e c t r a lp r o b l e m s ，f r o mw h i c hac o n s i d e r a b l e n u m b e ro fn c wf i n i t e d i m e n s i o n a li n t e g r a ls y s t e m s 1 4 - 6 1 a r eo b t a i n e d a sf o r h i 曲o r d e rm a t r i xs p e c t r a lp r o b l e m s ，l i t t l ea t t e n t i o nh a sb e e np a i dt o i n 7 ，t h e n o n l i n e a r i z a t i o no f3 3m a t r i xs p e c t r a lp r o b l e mw i t ht h ea d j o i n ts p e c t r a l p r o b l e mw a ss t u d i e ds u c c e s s f u l l y i n 【8 ，【9 】，l e n o n l i n e a r i z a t i o no f4 4 m a t r i x s p e c t r a lp r o b l e m s w a sd i s c u s s e d ，f r o mw h i c ht h e c o r r e s p o n d i n g f i n i t e d i m e n s i o n a li n t e g r a l s y s t e m s w e r eo b t a i n e d w h e nw ec o n s i d e rt h e n o n l i n e a r i z a t i o no fl a xp a k sa s s o c i a t e dw i t ht h eh i g h o r d e rm a t r i xs p e c t r a l p r o b l e m s al o to f c a l c u l a t i o n sa n d s o m e s p e c i a lt e c h n i q u e sa r ed e m a n d e d t h u s ， s o m en e wm e t h o d sh a v eb e e nd e v e l o p e di no b t a i n i n gt h el e n a r do p e r a t o r sa n d v e r i f y i n gt h ei n d e p e n d e n e ea n d i n v o l u t i o na n ds oo n i nt h i sp a p e r , w ef i r s ti n t r o d u c ea4 4m a t r i xs p e c t r a lp r o b l e mw i t ht h r e e p o t e n t i a l sa n dg e tac o u p l e dk d ve q u a t i o n i ti s s h o w nt h a tt h eh i e r a r c h yh a s t h eb i - h a m i l t o n i a ns t r u c t u r e sw i t ht h ea i do ft h et r a c ei d e n t i t y t h l o u 曲t h e s o c a l l e dn o n l i n e a r i z a t i o no fe i g e n v a l u ep r o b l e m so rl a xp a i r s ，w eg e tan e w f i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m ，w h i c hi sc o m p l e t e l yi n t e g r a b l ei nt h e l i o u v i l i es e n s e c o n s i d e ra4 4m a t r i xs p e c t r a lp r o b l e m 妒，= u g ，旯) y ，妒= ( 妒1 ，y 2 ，妒3 ，妒4 ) 7 100 、 0w0 i oo1l 0v a0j w h e r es = 0 ，v ，矽，ai sac o n s t a n ts p e c t r a lp a r a m e t e r i no r d e rt od e r i v e t h ei s o s p e c t r a lh i e r a r c h ya s s o c i a t e dw i t he q s t a t i o n a r yz e r o - c u r v a t u r ee q u a t i o n 圪一【u ，矿】_ 0 ，v = ( ) 一一 w h i c h u s u a l l y i se q u i v a l e n tt ol e n a r dr e c u r s i v ee q u a t i o n 4 ( 2 ) 丑 o 一0 w “ ，。l i l 、j 兄 l 3 ， u k g h = j g j ，j g l = 0 ，j 0 ( 3 ) h e r eka n dj a r et w os k e w s y m m e t r i c o p e r a t o r s t h e s o l i t o n h i e r a r c h y 丝f 。j g 。h a s al a x p a i r ，t h es p e c t r a lp r o b l e m ( 1 ) a n d t h ea u x i l i a r y p r o b l e m 眠= y h ) ，v ( m ) = 0 矿) ， w h e r et h es y m b o l + s t a n d sf o rt h ec h o i c eo f n o n n e g a t i v ep o w e r o fa i ti s s h o w nt h a tt h e h i e r a r c h y o fn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n sp o s s e s s e s t h e b i h a r n i l t o n i a ns t r u c t u r e s b yu s i n ge q ( 1 ) ，ad i r e c tc a l c u l a t i o n g i v e st h e f u n c t i o n a lg r a d i e n to ft h ee i g n e v a h i e sw i t hr e g a r dt ot h ep o t e n t i a ls s u c ha f u n c t i o n a lg r a d i e n t v 2 f s a t i s f i e st h ef o l l o w i n g e q u a t i o n k 、x i = 丸i 瓜又i 1 s j s n ( 5 ) w h e r e ，如，五a r e t h e e i g e n v a l u e s o fe q ( 1 ) t h e nu n d e rt h e b a r g m a n nc o n s t r a i n t ，w eo b r a i naf i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m r e s o r t i n gt ot 1 1 ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo f s o l u t i o nm a t r i xo ft h es t a t i o n a r y z e r o c u r v a t u r e e q u a t i o n “，w ep r o p o s e a g e n e r a l s c h e m ef o r g e n e r a t i n g i n v o l u t i v e s y s t e m s o f e n o u g h c o n s e r v e d i n t e g r a l s o ft h e r e s u l t i n g f i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a n s y s t e m t h u s i t i ss h o w nt h a tt h e f i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e mi sc o m p l e t e l yi n t e g r a b l ei nt h el i o u v i l l e s e n s e 1t h e h i e r a r c h y o fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i no r d e rt od e r i v et h eh i e r a r c h yo fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa s s o c i a t e d w i t ht h es p e c t r a lp r o b l e m ( 1 ) ，w ea s s u i t i et h a te a c h e n t r y i n ( 2 ) i s t a k e na s _ 2 = 爿，巧。= b ，_ 4 + 2 = 2 c ，巧：= 2 d ， a = 4 一。五一，b = 。2 - 7 ，c = q 一。a - 7 ( 6 ) 0，0，0 s u b s t i t u t i n ge q ( 6 ) i n t oe q ( 2 ) y i e l d st h ef o l l o w i n gr e s u l t s k ，。= 吃- 一( “一五) 彳一w ( 2 c 一2 d ) ，a ，= k ：， 5 _ ，。= ，一w a - ( v 一旯) ( 2 c 一2 d ) ，2 ( c d ) ，= 砭。一k ， 匕1 ，= ( u 一旯) k 1 + w v 3 l 一( u a ) 吃2 一w 匕4 ， 2 ，= ( u a ) 一+ 2 w d 一匕l ，4 ，= 2 ( u 一兄) ( c d ) + w b 一砭3 k 3 ，= ( u 一旯) k 3 + w v 3 3 一w v 2 2 一( v a ) k 4 ， 。= 。一2 ( u 一2 ) d w b ，2 d x = ：一匕 巧h = 3 2 w d 一( v 一旯) 曰，b x = 一匕， h = w k l + ( v a ) 1 一( “一旯) 一w 4 ， 2 ，= w a + 2 ( v 一2 ) d 一，p _ ，= 2 w ( c d ) + ( v 一；o b 一， 一h = w v , 3 + ( v a ) 3 一w v , 2 一( v a ) 一4 t h e r e f o r e ，e a c he n t r yi n ( ) c a n b ee x p r e s s e da sf o l l o w s 2 k 。= 0 - 1 w ( 4 d 一2 c ) 】一a ，v l ：= a 2 k ，= 0 - 1 【2 0 一v x c d ) + w ( b 一彳) 】一2 ( c d ) 。，v l 。= 2 c 一2 d 2 。= 2 ( u 一2 ) a + 2 w c a 。，2 v z 2 = 0 - 1 w ( 4 d 一2 c ) 】+ 爿， 2 3 = w ( a + b ) 一2 ( c d ) 。+ 2 ( u + v 一2 a ) ( c 一_ d ) 2 = 0 - 1 【2 ( “一v ) ( c d ) + w ( b 一爿) 】+ 2 ( c d ) ，( 7 ) 2 巧1 = 0 - 1 【1 嵋一一口) + 2 ( v 一“) d 】一2 d x ，圪2 = 2 d ， 2 ，= 0 - j w ( 2 c 一4 d ) 卜b x ，巧。= b 2 v 4 1 = “一+ b ) + 2 ( u + v 一2 兄) d 一2 d 。 6 2 以：= c 3 - 1 以一一b ) + 2 ( v 一“) d 】+ 2 d 。， 2 v , ，= 2 w c + 2 ( v z ) b b 。，2 v = 0 - 1 w ( 2 c 一4 d ) + b ，l t h e s t a t i o n a r yz e r o c u r v a t u r ee q ( 2 ) i se q u i v a l e n t t o ( - 0 3 + 2 u 0 + 2 0 u 一2 w 0 。w u + 2 w 3 。w b + 【2 a + 2 w a + 2 w a 一1 ( u - - v ) j c = 4 删， ( 8 ) 【2 a 3 2 a ( “+ v ) + 2 ( u - v ) o 一1 ( u - - v ) + 8 w 0 1 w 一2 ( “+ v ) a 】d + - 2 0 3 + 2 a ( “+ v ) 一2 ( u - v ) o 一1 ( u - - v ) 一4 w o 一1 w + 2 ( “+ v ) a 】c ( 9 ) p w + w a + ( “一v ) a 一1 w 1 4 + p w + w o 一( u - v ) o 一1 w p = 8 2 d c 一8 2 0 d ， p w + w a + ( u - v ) o 一1 w - + l o w + w o 一( u - v ) o 一1 w k + 4 w o 一1 w c ( 1 0 ) + - 2 0 3 + 2 a ( “+ v ) 一8 w o 一1 w + 2 ( “+ v ) a 一2 ( “一v ) o ( u - v ) o = 8 加d 2 w 0 。1 w a + - 0 3 + 2 0 v 一2 w o w + 2 v 咖 + 【2 a v + 2 w a 一2 w o 一1 ( “一v ) 】c = 4 2 0 b ( 1 1 ) e q ( 9 ) a n d e q ( 1 0 ) i m p l y c = 2 d a d d i n ge q ( 9 ) t oe q ( 1 0 ) ，w eh a v et h ef o l l o w i n g r e s u l t l o w + w a + ( “一v ) a 一1 w ，1 4 + l o w + w o 一( “一v ) a 一1 ，忙 + 【- a 3 + a ( “+ v ) + ( “+ v ) a 一( “一v ) a 一1 ( “一v ) 】c = 4 2 0 c ( 1 2 ) f r o me q ，( 8 ) a n de q ( 1 1 ) a n de q ( 1 2 ) ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n ge q u a t i o n ： k ( a ，b ，2 c ) 7 = z z ( a ，b ，2 c ) 7 w h e r e k = ( k e ) ， k l l = - 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