（计算数学专业论文）双曲型方程非齐次边值问题的局部一维差分格式.pdf

双曲型方程非齐次边值问题的局部一维差分格式 摘要 偏微分方程数值解在计算数学的研究领域里占有重要地位，差分方法是目 前主要方法之一在众多差分格式中，显式格式计算量小，但往往受稳定性条 件的制约隐式格式一般稳定性好，但在每一个时间层都要解线性代数方程 组，当处理高维问题的时候，计算量就会变得非常大 本文考虑双曲型方程的交替方向差分方法，首先通过变量替换将方程从 形式上降阶，利用c r a n k - n i c o l s o n 差分离散思想建立在时间方向具有二阶精度的 差分格式，然后通过添加扰动项进行算子分解得到一种局部一维( l o d ) 差分格 式 本文的第二节和第三节分别针对二维及三维双曲方程非齐次边值问题提 出了一种新型的l o d 有限差分格式，此格式能够将高维问题完全分解为一系列 一维问题进行求解，克服了l o d 格式源项难以分解，过渡层条件不易确定的缺 陷，具有格式直观易于使用的优点本文还针对此种l o d 有限差分格式证明了 按照离散工2 模具有o ( a t 2 + h 2 ) 阶精度 第四、第五节对前两节的结果作了进一步的改进，得到了一种紧的l o d 差分格式，这种格式在保持前面格式优点的同时将空间方向的误差项提高到 o ( h 4 ) 数值算例表明，随着维数的增加，本文格式的计算效率明显高于d o i l g l * 交替方向格式 关键词：二维、三维双曲方程，非齐次边值问题，有限差分格式，新型l o d 格式， 误差估计 e x t e n d e dl o c a l l yo n e - d i m e n s i o n a l f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o rh y p e r b o l i c e q u a t i o n sw i t hn o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s a b s t r a c t t h es t u d yo fn u m e r i c a ls o l u t i o no fp a r t i a l & f f h e n t i a le q u a t i o n sh o l d sa ni m p o r t a n t p o s i t i o ni nc o m p u t a t i o nm a t h e m a t i c sf i e l d d i f f e r e n c em e t h o di 8o n em e a no f s o m e i m p o r t a n tm e t h o d sa tp r e s e n t r ns o m ed i f f e r e n c e $ d l e m t h ee x p l i c i ts c h e m e si se a s yt o b ec o m p u t e d ，b u ti th a st h el i m i t a t i o no fe t a b i l i t y g e n e r a l l y , t h ei m p l i c i ts c h e m e sh a v en o s t a b i l i t yc o n d i t i o n ，b u to ne v e r yt i m el a y e r ，w em u s ts o l v el i n e a rs y s t e m s w h e nw ed e a l w i t hh i g hd i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，t h ec o m p u t a t i o n a lw i l lb ev e r yq u a n t i t y f h s tw er e d u c et h eo r d e ro f e q u a t i o n sb yr e p l a c e m e n to fv a r i a b l et oc o n s t 砌c r a n k - n i c o l s o nd i f f e r e n c es c h e m ei nt e m p o r a ld i r e c t i o n ，t h e na d ds o m ed i s t u r b e dt e r m sa n d d e c o m p o s eo p e r a t o rt og e tan e wl o d d i f f e r e n c es c h e m e w ep r e s e n to n ee x t e n d e dl o c a l l yo n e - d i m e n s i o n a lf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o rt w o a n dt h r e ed i m e n s i o n a li nh y p e r b o l i ce q u a t i o n sw i t hn o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n i n 2a n d 3 如l i 8s c h e m e 咖d e c o m p o s eh i g hd i m e n s i o n a lp r o b l e m st oo n ed i m e n s i o n c o m p l e t e l y i to w e r c o m e 8t h ed e f e c tt h a tt h e6 0 t i 】f c et e r mi sh a r dt od e c o m p o s ea n dt h e i n t e r m e d i a t el a y e rc o n d i t i o n sa r ed i 伍c u l t yt oc o n f i r m t h ec o n v e r g e n c eo r d e ro ft h el o d s c h e m ei so ( a t 2 + 炉1i nad i s c r e t e 驴n o r l n w eg e tac o m p a c tl o dd i f f e r e n c es c h e m eb yi m p r o v i n go nt h er e s u l to ft h e 2a n d 3f u r t h e r l y t h i ss c h e m en o to n l yp r e s e r v e st h ev i r t l l eo ff o r e g o i n gs c h e m e sb u ta l s oi r a - p r o v e st h ee r r o r0 fs p a t i a ld i r e c t i o nt od ( 驴) n u m e r i c a le x a m p l ei n d i c a t e st h ec o m p u t i n g e f f i c i e n c yi sb e t t e rt h a nd o u g l a sa l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d 鹄t h ed i m e n s i o ni n c r e a s i n g k e yw o r d s ：t w o - d i m e n s i o n a la n dt h r e e - d i m e n s i o n a lh y p e r b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n ，n o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n ，f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ，i m p r o v e dl o c a l l yo n e - d i m e n s i o n a ls c h e m e ，e r r o re s t i m a t e l引富 双曲方程( 组) 的数值求解一直足发展方程的热门研究领域，其主要原因在于这些方 程在自然科学领域有着广泛的应用背景比较常见的是描述弦振动的一维波动方程类 似地我们也可以由弹性薄膜或三维弹性体的振动导出二维或三维波动方程，由声波或电 磁波的传播也可以导出三维波动方程在研究高频电磁波沿着传输线在时问空问( t ，z ) 中 传播时，可以引进电流强度和传输线同轴双线问的电压等概念，而且用他们作为表征此 种电磁波传播过程的物理量，用单位传输线的电阻、电感，电容和电漏来描述介质特性， 根据克希霍夫第一定律和第二定律建立电报方程组，在没有损耗的情况下可化为标准的 波动方程 双曲型方程的理论及数值方法研究已有大量工作，主要数值方法有传统的有限差分 方法和有限元方法，如古典的显式差分格式和隐式差分格式( 见( x s 4 5 ) ) 等文献【1 6 】提 出了类显式辛格式，它比隐式辛格式计算量小，但格式是条件稳定的。并且只具有二阶 精度文献【l _ 7 l 利用c r a a k - n i c o l s o n 格式的构造思想并对空问导数采用四阶紧致差商逼近 公式，得到了求解一维热传导方程在时间二阶，空问四阶精度的隐式六点格式本文主要 工作是研究二维、三维双曲型方程非齐次初边值问题的推广型l o d 有限差分格式 交替方向有限差分方法将高维问题转化为一系列的一维问题。然后通过求解三对角 方程组就可以得到数值解该方法最早由p e 锄舢和r 矗c h f o r d ( 见【1 】) 提出，在建立差分 格式的时候通过引入新的过渡层，逼近精度关于时问步长和空间步长均是二阶由于交 替方向法稳定性好，易于编程实现，几十年来备受科学与工程工作者的青睬二维情形 主要有p - r 格式d o u g h s 格式及局部一维( l o d ) 格式，其中d o u g l a s 格式及l o d 格 式适用于三维或更高维问题j i md o u g h sj r 和s e o n g j a ik i m 在【5 】中构造了一种三 层交替方向格式，该格式将扰动项提高到o ( a t s ) 阶精度，从而可以在很大程度上消除 扰动项的影响交替方向有限元方法首先由j i md o u g l a s , j r 和t d u p o n t 1 2 提出，随 后，该方法得到不断发展和完善起初对于稳定性和收敛性的研究采用f o u r i e r 分析方法。 但f 0 u r i e r 力法不适合用于一般变系数问题借鉴于偏微分方程理论中的能量方法，l e e s m 见【2 8 】) 最早引入能量估计方法研究差分格式的性质程爱杰。孙恚忠( 见【1 0 - 1 2 ) 在 交替方向理论分析中使用了能量方法，从理论上来看，能量方法的引入使我们有效的解 决了传统的f o u r i e r 方法无法处理的问题本文四部分内容的收敛性分析均采用了能量分 析方法 本文第二节和第三节分别对二维、三维非齐次双曲方程第边值问题 舶舶_ -舶 去芋一4 吾i 一6 鼍差= ，扛，t ) ，( 1 ；们q ，t ( o ，刀o 。f u ( f ，f ，0 ) ：= t 0 ( z ，f ) ，t k ( ，v ，0 ) = 妒( z ，y ) ，( z ，y ) en ， u ( x ，g ，t ) = l p ( z ，g ，t ) ，( z ，y ) 抑，t ( 0 ，刀 和 尝一口妻一6 豢一c 嘉；m m 刈) ，( 刈，：) f l , t ( o 刁 丽一口丽一6 虿一。丽2 ，i 善m 肿州j u ( z ，掣，z ，0 ) = = t l o ( z ，可，z ) ，t h ( ，磬，z ，0 ) = ：妒( z ，笋，z ) ，( z ，y ，：) q ， 仳( z ，箩，：，t ) = 妒( z ，y ，：，) ，( z ，掣，：) 狮，t ( o ，明 提出了一种新型的l o d 有限差分格式 和 ( 一等n 霹) 铲5 = ( + 等n 硭)叼+ t 吩+ a t ( + 等鹾) 学 ( 1 1 a ) ( i - a 4 t 2 a 肥。_ ，- v 。 。+ i = ( 1 + 丁a t 2 2 jr 玎n + d t 霹+ 瑶5 ( i - 竽孵) 瞄5 _ ( 1 + 竿瞬) 瞄3 + 6 唁一峨。 ( 1 - 丁a t 2 吲2 n + l = ( 1 + 等鹾) 瞄3 + c t 砖+ t 露5 ( 1 2 8 ) ( 1 2 b ) ( 1 2 c ) 此格式能够将高维问题完全分解为一系列一维问题进行求解，克服t l o d 格式源项难以 分解，过渡层条件不易确定的缺陷。具有格式直观易于使用的优点本文还针对此种l o d 有限差分格式证明了按照离散l 2 模具有o ( a t 2 + 舻) 阶收敛精度具体算例表明本文格 式计算与d o u g l a s 格式相当 本文第四节和第五节通过对前两节的结果进行改进，引入变量将原方程从形式上降阶 降维，利用t a y l o r 公式构造出了一种紧的局部一维有限差分格式，其中a = 1 + 蔷霹，b = 1 + 警霹，c = 1 + 警霹 ( a - a 4 t 2 0 击；2 ) = ( a + 竽。磋) 嚼+ f 鹾叼+ 譬( a + 竽) 。( l 3 a ) ( b - 丁a t 2 一。l j + 1 = + 竽鹾) + 嘲叼+ 等( b 一等喝) ( 1 3 b ) 和 ( a 一等) 礞= ( a + 竽程) 四+ a a t 磋叼t + a t 露 ( b 一等蠕) 3 = ( 日+ 竽辑) 礞5 + 讼t 霹一b t 鏖 p t a t z 一。2 u 巧+ 。l = p + 竽) 喀5 + 以c 霹+ e t 穰 2 ( 1 4 a ) ( 1 4 b ) ( 1 4 e ) m 哇 0 嚣 、 峨 竺4 一 o 篁o + 嚼 m舭 + h 眩 、， 噼 竺。 + o | | + 嗡 、l 一 噼 竺。 一 o 这两种格式具有上两节格式的优点外，还将收敛阶提高到了o ( a t 2 + 驴) 从对具体求解 过程的分析，用d o u g j m 格式尤其是用来处理三维或更高维问题时会出现二阶差分算子 的复合项。随着维数的增加计算量迅速增大，而l o d 格式的求解均是在同一方向上进 行，从而有效地避免了上述现象的发生，具体算例充分体现出了本文格式在高维问题计算 上在计算效率方面的优越性 3 2 二维双曲型方程非齐次边值问题的局部一维有限差分格式 2 1 二维双曲型方程非齐次边值问是 考虑区域n = 1 0 ，1 】2 上的非齐次双曲方程第边值问题 塑一。骞“嘉=m，)f(砌)efl,tot2 y , te ( o ，明 一”丽叫万2 ，l 。，腆，刎 ( o ，? 1 u ( x ，f ，0 ) = t 0 扛，s ，) ，t l t ( z ，p ，0 ) = 妒( z ，p ) ，扛，) 0 ， u ( x ，! ，t ) = | p ( z ，f ，) ，( z ，y ) 砌，t ( 0 ，明 其中口，b 均为正常数，( z ，v ，t ) 充分光滑 2 2 局部一维差分格式的建立 令口= 等，则方程( 2 1 1 ) 转化为 象一n 器“雾= ，( 砌，t ) 们e q , t e ( 0 ，邪 ”= 窑，( 训) t ( o ，刀 u ( x ，可，0 ) = t 1 0 ( z ，f ) ，”( z ，p ，0 ) = 妒( z ，) ，( z ，p ) o ， u ( x ，y ，t ) = l p ( z ，v ，t ) ，( z ，y ) 锄，t ( 0 ，t i ( 2 2 1 a ) ( 2 2 1 b ) f 2 2 i c ) ( 2 2 1 d ) 行i z 坩f 万网均硎分为n 等分，步长记为h r 节点记为旧，鲫) ( t 0 ) = 0 ，1 ，v ) 设 时问步长为a t ，记 矿= 础，川= ( n + ；) 龇铲5 = 胞，州 ) ，瓦= 蝼h ， 如峋= 墼弓产堕，磋= 塑塑二h 虹，霹= 塑笪二h 虹 并用玑v 表示差分近似解，按照c r a n k - n i c o l s o n 差分格式离散思想，( 2 2 1 ) 可离散为 譬芦= + 嘲) 譬半+ ( 2 z 盘) 掣v4-1 n ：翌二塑 ( 2 胁) a t 2 ” 由( 2 2 2 b ) 得曙1 = 盟学+ 叼，将其代入( 2 2 2 8 ) 得 咿1 一( 等n 鹾+ 等蟛) 咿1 = 叼+ ( 竽魍+ 等蝎) 叼 + t ( 鹾+ 蝣) 叼+ a t e 7 l ( 2 - 2 3 ) 4 、； h m k 1 l 1 协但 a a ， 左右两靖分别加上扰动项等趟霹哼1 ，昔趟霹叼作算子分解，可得 ( 一竽哟( t 一等蝣) 咿1 = ( t + 竽啕( t + 譬噼) 叼 + t ( n 鲤+ 蟛) 叼+ a t 口o ( 2 2 4 ) 在( 2 2 4 ) 中引入中问变量y n + j ，并再次加上必要的扰动项，得求解( 2 2 1 ) 的改进型l o d 差分格式 ( t 一等) 嵋q = ( + 竽n ) 叼+ t 起叼+ a t ( + 等鹾) 。 ( - 一竽嘭) 哆1 = ( ，+ 竿孵) 叮5 + t 噼叼+ 譬( t 一等辑) 矿 ( 2 2 5 a ) 实现对童方向求解，( 2 2 5 b ) 实现对扩方向求解，并且( 2 2 5 a ) 中仅含z 方向 的差分，( 2 2 5 b ) 中仅含方向的差分由于我们考虑的是非齐次边值问题，过渡层k ? 中荟 的边界值不为零对其处理不当将会降低整个格式的精度下面给出的办法可以得到非 常好的计算效果实际计算表明，在( 2 2 5 ) 中，当= o ，j = o n 时，k y 取自由 边值，它们不同的取值仅影响过渡值嵋十l ，对最终结果叼+ 1 不会产生影响不妨令 嵋+ l = 0o = 0 ，n ，j = 0 ，n ) 然后对i = 0 ，n 求解( 2 2 5 b ) ，得到喵十| ，噶，即为 ( 2 2 5 a ) 的边值条件此时，由于( 2 2 5 b ) 的系数矩阵不具有对角占优性质，需要引入个 辅助的一维数组采取列主元g a u s s 消去法求解该线性代数方程组令j = 0 ，1 ， 求解( 2 2 5 a ) ，即可得到嵋q 0 = 0 ，1 ，j = 0 ，i ，) ，再对i = 1 ，2 ，n 一1 求 解( 2 2 5 b ) ，即- - f 得蝣+ 1 0 ( j ) = 1 ，2 ，n 一1 ) ，最后由( 2 2 2 b ) a u ) = 1 ，2 ，n 一1 ) 可得最终所需要的结果滞1 ( i o ) = 1 ，2 ，一1 ) 在实际计算中。若源项的扰动对整个格式的计算精度影响较大，则应对( 2 2 5 a ) 及 ( 2 2 5 b ) 作进步修正，使其关于具有五阶精度具体地，令 露+ l = 1 + 等鹾o 一等喝学5 ，将( 2 2 5 a ) 和( 2 2 5 b ) 分别修正为 ( 一等n 醒) 哆= ( ，+ 等程) 增+ t 鹾喵 一等醒黟5 + 譬( t + 竽鹾) 君 ( z 2 叫 ( 一竿噼) 哆1 = ( - + 竽蠕) 时。+ t 蟛 + 譬孵+ 譬( ，一t a t 2 w ，2 黟5 ( 2 z 6 b ) 消去( 2 2 6 a ) 及( 2 2 6 b ) 中的过渡值，可知，的扰动项关于a t 确实具有五阶精度 5 2 3 截断误差估计与收敛性分析 本节主要考虐上述差分格式的收敛性在( 2 2 5 8 ) ，( 2 2 5 b ) 中，消去过渡值喈+ i ，得 ( z 一竽) ( - 一竺4 - - 、j v l = ( + 等鹾) ( t + t a t 2 吲一增 + ( n 霹+ 噼) + t + 等媚碍学5 ( 2 叫 - q ( 2 2 4 ) 相比，( 2 3 1 ) 相当于在( 2 2 4 ) 的基础上又加上了关于，” 的扰动项，这些扰动 项关于a t 具有四阶精度下面就( 2 3 1 ) 给出误差估计将( 2 3 1 ) 式展开，两边除以a t 考虑到( 2 2 2 b ) 得 望塑a t一( 蛾+ 蟛) 笪塑2+ 等嬲霹( 叼“一叼) = + 等础霹 ( 2 3 2 ) 将方程( 2 2 1 ) 展开为以上形式，令f = u - u , ，l = v - v ，则得误差方程( k = 0 ，目k = o ) 型之盈一( 鹾+ 蟛) p 芝笋) + 百a t 3 。鹾引2 ，幻n + ，一磅) ：碍5 ( 2 3 踟 譬n + l 产n ：曼n 学+ l + 露1 ( 2 3 3 b ) 其中劈= 露5 + 霹错5 为误差项，由t a y h 公式可得其误差阶分别为 错。= 竽( ：( 等) 了+ d ( 袅) _ + a ( 赫) ) + 笔( n ( 鲁) a ( 嘉) 。) + o ( a t 4 + h 4 ， 露= 等4 啦髫甲”n + lu n a 1 6 t 4 a 舻。- ，。+ l 霹= 等( 嘉) 一等( 鲁) _ + 。c = 一等( 嘉) 舭t 4 ) = 。c 舻， 露5 露。分别为截断误差项和扰动误差项，可以看出扰动误差项关于础具有四阶 以上的精度，高于格式本身的精度，从而有效地减少了引入扰动误差项时对计算结果的影 响 对任意网格函数u ，v ( - i m = o ，v l m = o ) ，定义内积，离散驴范数为 6 r 一1 n l、 = 磅 2 l 1 = 1j - lj b甜 扯 m 雄 汹 = u ( 2 3 3 a ) 两端同乘以鱼芝掣并注意( 2 3 3 b ) ，然后对i , j 分别从l 刭一l 求和， 利用分步求和公式和c 酗，二s c h w a 花不等式有 = 喜窆j f f i l ( 孥) ( 华) 一2 2 忐【若蚤( 秽1 ) 2 炉一善蚤( 碡) 2 舻) = 面1 ( 1 i 矿m i i 一忖1 1 2 ) 如= 一n 善- 1 n 萎- 1c n 堋( 牮) ( 牮) 酽 如= 一( n + 噼) 学 l 学l 酽 i = l ，= 1、，、， = 一n 善- - 1 n 萎- - 1 ( 鹾+ 辑) ( 壁旦1 ( 鲨旦+ - 移0 一2 = 一( 鹾+ 辑) ( 平 ( 守+ j 移o ) 2 b lj _ l 一 、 一。 = 去( 8 i i l i 跌“哺+ 西b ( 1 i n g - + i i 一1 1 6 9 “1 1 2 ) 一n - 1n - - 1 ( 。鹾+ 峨玎鐾、) 霹。舻一( o 鹾+ 峨) ( 半 霹 舻 如= n 善- 1 n - - 1 ( 等弼( 秽1 一乇) ) ( 盟挚) 一2 = 等( m 1 1 2 1 1 6 毛胛i i ) ：n - 1 n - 1 譬吖望1 2 洲f 2 + 2 ) z 州旷- i i ：+ i i 口 l l ：) 乃= ( n 霹+ 蟛)( 华) c 鼢2 炉 = 一董董碱( 鲨挚1 啦炉一董董矾n + ln)i=1 j = x i = l 4 = 1毛霹稚 。忙学霹忙竿错5 sc ( 0 以f 件1 + i i 以p h 2 + 0 屯f ”1 1 1 2 + u 屯”u 2 ) + o ( a t 4 ) 于是 袁( i l 矿1 1 1 2 - 2 ) + 盎( h 瓦1 卜愀”i | 2 ) 十去( 愀”i i 一1 1 毛6 1 1 2 ) + 等( 怜矗矿i i 叫如毛硎2 ) s f ( a t 2 + h 2 ) 2 + k ( i i 矿件1 旷+ l l 矿8 2 ) + c “屯”1 0 2 + 0 j 。p 1 1 2 + 0 毛f i + 1 1 1 2 + l l 矗f n 0 2 ) 7 对( 2 3 4 ) 两边同乘以2 出，对n 求和。假定p = 0 ，7 0 = 0 ，则由离散g m n w a l l 引理。可 得如下收敛性定理 定理1 假设，口是( 2 2 1 ) 的精确解且充分光滑，以y 是改进塑l o d 差分格式 ( 2 2 5 a ) ，( 2 2 5 b ) 的解。着令= u 一弘吁= 口一i v ，则存在岛，当a t a 岛时，存在与 t 无关的正常数k ，使得 a 嘴1 2 + 警c l 恢“1 1 2 + 警c 2 0 孵1 1 2 - i - 蔷l l i j , , , 1 椰i i sk ( a t 2 + h 2 ) 2 2 4 数值算例 下面给出具体的伢子来检验本节所给算法的有效性。并与d o u g h 交替方向格式进 行比较记本文所推广的l o d 差分格式为e l o d ，记d o u 百鹧交替方向格式 ( 1 一下a t 2 _ 2 , 1 + 。一叼) = 等( 谚+ 蚂) 叼 + ( 鹾+ 6 霹) + t 石j ( 一等嘲) ( w + 1 一增) = i r 巧i j n + 。一叼 ( 2 4 1 a ) ( 2 4 1 b ) 为d o u g l a s 例，在( 2 2 1 ) 中令o = f 0 ，1 】2 ，= 3 1 r 2 e 1 咖 丌扛+ p ) 】，设问题( 2 2 1 ) 的精确解 为u = e - - l r is i n 【丌缸+ ，) 1 由此可导出u 的初边值条件将n 分别沿墨f 方向均匀剖分为 n = 5 0 等份，取a t = h ，a t = 舻，利用本文格式及d o u g h s 格式计算，所得最大绝对误 差如下表所示，其中e m a x u = m 。x1 1 一c 产0 * ，e m a x v = “警x 0 矿一y 1 1 * 裹1 ：n = 5 0 ，t = 2 0 时计算结果 方怯 e l o d d o u g l a s 步长a t = h a t = ，1 2a t = ha t = 胪 e m a x u3 8 1 6 0 5 1 0 42 0 5 9 0 5 1 0 43 8 0 8 0 9 1 0 42 0 5 9 0 5x1 0 4 e m a x v3 1 8 6 1 9 1 0 3 1 3 9 3 3 1 1 0 3 3 1 8 3 0 2 1 0 31 3 9 3 3 1 1 0 3 耗时( 8 ) o 5 7 8 12 9 1 0 9 3 0 5 6 2 5 0 2 8 1 7 1 8 8 以上结果是程序在p e n t i u mc p u2 8 0 g i t z ，内存2 8 0 g l l z1 0 g b 配置的p c 机上运 行得出的，本文以下结果均在此机器运行得出从计算结果可以看出，本文所给出的推广 型l o d 差分格式的计算效果与d o u g l a s 格式相当，由于l o d 格式在求解过渡层时要反 解方程组，所以用时略多于d o u g l a s 格式在第四节和第五节中的紧差分格式。l o d 格 式在计算速度方面要优于d o u g l a s 格式本节的格式主要优点是所有的计算均在同个 方向上进行，格式整齐，易于编程实现，适用于高维情形 8 3 兰维双曲型非齐次边值问题的局部一维有限差分格式 3 1 兰维双曲型方程非齐次第一边值问题 考虑区域n = i o ，1 】3 上的非齐次双曲方程第边值问题 祟一口象一案一c 鲁：胎，) 纠咄f ( o , t i l l , z , t ( 0 , t i 否万一4 石一d 石一。石万2 ，( z ， ( z ，玑刁5 0 ，f 牡( z ，掣，z ，0 ) = t 上o ( z ，y ，z ) ，u t ( z ，可，z ，o ) = 妒( z ，掣，二) ，( z ，f ，。) 0 ， t 0 ，y ，z ，t ) = 妒( z ，y ，z ，t ) ，( ，z ) 砌，t ( 0 ，明 其中d ，6 ，c 均为正常数，f ( x ，z ) 充分光滑 3 2 改进型局部一维蓑分格式的建立 令口= 等，则方程( 3 1 1 ) 转化为 面a v 一口熹“熹一c 嘉：l ( z , l t , z , t ) ，( z ，q ，t ( 0 , t i i t , z ) 面一。否一。否一。否2 j ，【z ，l z ，t 口= 筹，( 一玑z ) q ，( o ，明 u ( x ，暑，名，0 ) = = t 1 0 ( z ，f ，z ) ，材( z ，名，0 ) = 妒( z ，掣，名) ，( ，暑，2 ) n ， “( z ，妒，名，) = 妒( z ，掣，：，t ) ，( z ，耋，z ) 锄，t ( 0 ，引 ( 3 i 1 a ) ( 3 1 1 b ) ( 3 1 1 c ) ( 3 2 1 a ) ( 3 2 1 b ) ( 3 2 i c ) ( 3 2 1 d ) 学n + ln - ( n 鹾+ 噼+ 华+ 蚴f o + t ( 3 2 2 。) 犁n-i-1n ：牮 ( 3 2 2 b ) 由( 3 2 2 ) 可得 嗡1 一吁a a t 2 d ：+ t b a t 2 2 + - 础- t 2 - # g v & k 嗨+ ( 竿鲤+ t b a t e d ；+ t c a t 2 _ ) 峪 + ( 口t 鹾+ 6 t 霹+ c | l 霹) 叼i + a t 艨o ( 3 2 3 ) 在等式右端加上扰动项 a b l a 6 t 4 黜。，+ a c 矿a t 4 一- - + b c l a 6 t 4 b ，2 j 。2 + a h 否c a 广t e 一2 2 ，喙 一( 警删+ 百a c a t 4 鼢_ - 警氍一百a b c a t n 鲤嗽t ( z 一下a a t 2 - 2 ) ( 一下b a t 2 。- ，2 ) ( - 一竿磅) 嗡1 = ( t + 竿磋) ( _ b a t 2 ，5 ，2 ) ( ，+ 丁c a t 2 叱2 喙 + 出( 鹾+ 蠕+ ) 叼i + t 瑶o ( 3 2 4 ) 9 在( 3 2 4 ) 中引入中问变量y 件，旷l ，并再次加上必要的扰动项，得求解( 3 2 1 ) 的改进 型l o d 差分格式 ( 1 - 半砖) 瞄= ( 1 + 丁a a t s 一，r 珊, j + 。出叼。+ 露 ( 1 - b a 4 t s 硭- v n 。+ | = ( 1 + 警霹) 喵+ 6 辑础 ( 1 - t c t 2 唰n + l = ( 1 + 竿霹) 瞄5 + c 蚴。拙 ( 3 2 5 a ) ( 3 2 5 b ) ( 3 2 r e ) 与二维格式相比，三维格式( 3 2 5 ) 形式更加简洁实际计算时。仍需按照第二节所给的 办法首先确定过渡值瞄3 ，瞄2 的边界值这里， 瞄5 = o , i = 0 ，n ；j = 0 ，n ；k = o i ，1 一， 瞄3 = o , i = o , n ；j = o 川1 一，；和i = 0 ，l 1 一，n ；j = 0 ，n ；k - - 0 ， 3 3 截断误差估计与收敛性分析 在( 3 2 5 ) 中消去过渡值y n + ，y n + l ，得 ( 一竿磋) ( 一竽) ( ，一c a 州t s d s 、铲n + = ( + a a 。t s ，。) ( + _ b a t 2 5 一，2 ) ( + 丁c a t s 。一：， 进步将( 3 2 6 ) 展开，并整理，得 骘警制+ 蟛硼( 譬竽) + 等( 艇霹+ 础霹+ 嘲砖) ( 啦- 一卜百a b c a t l 霹联华 = 瑶5 + 等( n 蠼霹+ 嘲霹+ 磁硭) 艨5 鲨堡：础，+ 1 1 - - 坐n 2a t ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 a ) ( 3 2 7 b ) 瑶 莎 ， 氍 略批 秘 够像篙 酬堂：2 将方程( 3 2 1 ) 展开为以上形式，并令f = u - u , ，= 一y 得误差方程( 1 8 0 = o ，, 7 1 0 n o ) 警n+l n - ( n + 蟛硼( 华) + 百a b a p 毗2 。，- + 趟霹+ 吣2 叱2 j n + t l 一吃i ) 一等蜊( 学) = 碟。 罕r 0 + l + n ：蛐n + l n a t + 碟。 2 ( 3 2 8 a ) ( 3 2 8 b ) 其中碟5 = 艨5 + 硪， 麟_ - t 产 o r 叭4 叫甜+ a ( 淼) ，旦0 t 2 0 y 2 、) 一o + c ( 嘉) ：) + 笔( 。( 嘉) = ：。+ b ( - - 等) = ：5 + c ( - - 嘉) = = 。) + 。t 甜+ 确 碟；= ( 百。 b a t 4 鲋2 警纷警嘲( 笔净 一百a b c a t l + 。1 + 喝i ) 一- e 产( 趟霹+ 嘲鲤+ 础砖) - n + ；= 等( 雾) 垒8 2 脚0 t 小2 o + 0 ( f 4 ) = 一垒1 2 2 7 伊0 t s i 、 州o + 0 ( 一) = 。( 岫 麟o ，戤5 分别为格式的截断误差项和扰动误差项，可以看出扰动误差项关于a t 具有 四阶以上的精度，高于格式本身的精度，从而有效的减少了引入扰动误差项对计算结果的 影响 ( 3 2 8 a ) 两端同时乘以百h 3 n + - l + 吃k ) ，然后将i ，互女分别从1 到一l 求和，记 f ，q 的内积为( ”) ：n - 1 岛i 胪则有 志( 矿- 一矿，矿1 + 矿) 一( ( 旗+ 孵+ 碰) ( 竺笋) ，坐# ) + ( ( 警翻+ 警糌警嘲( 卅，华) 一( 等蜊( 学) ，华) = ( 叫，华) 1 1 利用爵散g r e e n 公式和c a u c h y - s c h w m z 小岢瓦，开毪蒽慢2 s b ) 得 i = 函1 ( o 矿i i 一1 1 叩 1 1 2 ) h 。去( 8 材圳i i 刈联“1 2 ) + 去( o 艰州1 1 2 一u 6 9 。h 2 ) + 鑫( 愀州1 1 2 一愀“1 1 2 ) 一；( 醴( f 州+ p ) ，驴 ) 一； ( 一1 ) ，驴 ) 一孔c 吲2 1 + 妒 ) i i i = 百a b a t a ( 目”1 卜 | 以毛硎2 ) + 警( 懈矿i i 一1 1 6 & 口 1 1 2 ) + 百b c a t a ( 懈矿i i 一1 1 6 j d 1 1 2 ) = 警( 1 胁蚪椰i i 一1 1 6 。6 , , 6 x 1 1 2 ) 一型3 2 ( 磋联( 1 + p + 1 ) ，静+ ) v = ( 以- 矿+ 1 - t + 矿- - - ) 鲥a f + h 2 ) 2 + r ( 1 1 7 i i + i i f l l 2 ) 记 f 5 = ；( 鹾+ 1 ”) ，哥+ ) + ； ( 拶) ，驴 ) + ；( 鲤( 1 + p ) ，彦+ 5 ) 掣 = 警 键妒1 + 1 ) ，驴i ) 其中 ；( 醒( r 1 + 旁+ ；) s 割以( f 1 + c ) 1 1 2 + c a t 4 ： 护1 + 驴 ) j bi l a , , c c ”1 ) n c a t 4 ；( ( f 1 + 驴 ) s 割以( f 州+ 删2 + c a t j 蛩+ 王s t 4 i i 瓦以( f 叶1 + p ) 1 1 2 + k a t 4 于是 击( 矿1l j 2 _ 4 矿 2 ) + 鑫( o 疋1 卜酞”1 1 2 ) + 殛b ( 1 l 联1 卜i l 磊r 2 ) + 壶( 8 以1 卜慨邓) + a b 犷a f 忡州+ 1 n 阮毛矿| 1 2 ) + a c 3 a 2 t 3 6 a + 1 n 忱圳1 2 ) + 百b c a i 3 ( m 矿一i i 一1 1 6 6 , , 7 1 1 。) + a b 矿c t t 3 ( 0 疋如以f 叶- 1 1 2 一i l a = a , a , c i l z ) 】 k ( a t 2 - i - 2 ) 2 + k ( 0 叼，+ 11 1 24 - l i “1 1 2 ) + ；i i 瓦( f ”+ 1 + f “) 1 1 2 + ；l l 如( f ”1 + p ) 1 1 2 + ；o 以( f 件- + p ) 0 2 ( 3 2 9 ) 对( 3 2 9 ) 两边同乘以2 a t ，对n 求和，假定p = o ，矿= 0 ，则由离散g r o n w a l l 引理，将 以上结果总结为 定理2 假设是( 3 2 1 ) 的精确解且充分光滑，是改进型l o d 差分格式 ( 3 2 5 a ) ，( 3 2 5 b ) 的解。若令= 一配，= 一y ，则存在a t o ，当a t 幻时，存在与 a t 无关的正常数k 使得 l 矿1 1 2 + c l ( 1 1 6 1 1 2 + 0 6 菇”0 2 + i 以“1 1 2 ) + 晚( 等慨删2 + 百a t 4 忱纠酽+ 等慨纠1 1 2 ) 十警慨毛2 k ( a t 2 + 2 ) 2 3 4 致值算仞 本小节给出具体的例子来检验本节所给算法的有效性，并与d o u g l a s 交替方向格式 进行比较记本节所推广的l o d 差分格式为e l o d ，记d o u g l a s 交替方向格式 ( 卜a a 。t 2 一。) 旧。哟= ( a a 。f 甜b a 。t 2 铲5 2 譬霹) 嗨 + ( n t 霹+ 讼霹+ c 霹) 叼女+ a t 愿o ( 3 3 1 a ) ( - 一半霹) 5 一) = 3 一) ( 3 。z b ) ( 1 一竿砖) ( 喵1 一) = 懈5 一) ( 3 3 1 c ) 为d o u g l a s 例，在( 3 1 1 ) 中令q = 【o ，1 】3 ，= 4 口2 e 一函n 【7 r 和+ ”+ ：) 】，设问题( 3 1 1 ) 的精确 解为u e 一“s i n z r ( z 4 y + 。) j 由此可导出口的初边值条件将。分别滑z ，玑z 方向均 匀剖分为5 0 等份，取t = h ，a t = 胪，利用本文格式及d o u g l a s 格式计算，所得最大绝 对误差如下表所示，其中e m a x u 2 峄渺一硼* ，e m a x v = 峄孵v k l l * 表2 ：n 一5 0 ，t = 2 0 时计算结果 方法 e l o d d o 峭a s 步长 a t = ha t = 2a t = h a t = h 2 e m a x u4 1 9 5 0 2 1 0 4 3 4 9 7 8 8 1 0 44 2 1 3 2 4 1 0 4 3 4 6 9 1 7 1 0 4 e m a x v4 7 7 9 9 4 1 0 3 3 6 8 1 5 9 1 0 34 7 9 9 2 0 1 0 33 6 0 6 8 5 1 0 3 耗时( s ) 3 2 1 2 51 5 9 9 0 3 13 2 6 5 61 6 3 5 4 3 8 从表中结果可以看出本节给出的格式在计算精度上与d o u g l a s 格式相当，与二维格式 d o u g l a s 格式在计算右端项时由于引入二阶差分算子的复合，本节格式在计算速度方面 有了一定的优越性由于格式本身关于h 为二阶精度，当a t = 胪时，计算结果并没有 实质改进 1 4 4 = 维双曲型方程非齐次初边值问题的紧局部一维差分格式 4 1 记号的引入 本节仍考察问题( 2 1 1 ) 。为了构造微分方程( 2 1 1 ) 的有限差分逼近。首先将求解 区域q 【o ，明进行网格剐分。选取正整数 和