（计算数学专业论文）凸多边形上曲面的设计与研究.pdf

摘要 本文主要讨论了凸多边形上曲面的设计与研究，包括凸多边形上曲面 片的类型和性质以及他们在c a g d 中的应用。具体来说。我们对矩形域上 的b 6 z i e r 曲面片，b 样条曲面片，三角域上的b 6 z i e r 曲面片，凸n m 3 ) 边 形上的s 一曲面片分别给出了定义和性质。特别的给出了有理孓曲面片和有理 三角b 邑z i e r 面片的相互转化以及有理三角b 6 z i e r 曲面片到有理s 蓝面片的 逼近转化。 在第一章中，我们介绍了c a g d 的研究对象以，并且回顾了计算机辅助 几何设计中几何造型的发展简史，说明了几何造型在c a g d 中的重要性。 在第二章中，主要介绍了几种凸多边形上的曲面片及其性质具体包括 矩形域上的b 色z i e r 曲面片，b 样条曲面片，三角域上的b 6 z i e r 曲面片，以及 凸多边形上的s 一曲面片及其他们的有理形式。 在第三章中，主要是采用重新参数化的方法研究了有理s 一曲面片和有理 三角b i e r 曲面片的相互转化问题。通过演算和证明得到他们之间的相互转 化公式，即得到用有理三角b 6 z i e r 曲面片的控制点和权来表示有理$ 曲面片 的控制点和权的显示表达式及其相反的公式。并且给出了算法和具体算例， 显示所给方法的有效性。 在第四章中，主要考虑到当m 阶的有理三角b 白i e r 曲面片不能精确转化 为d 层有理s 一曲面片时，我们建立了一种逼近。使得在这种逼近意义下所求 得的有理s - 曲面片逼近我们的有理三角b 邑z i e r 曲面片，并且给出了了算例。 关键词：凸多边形，曲面造型，有理s 曲面片，有理三角b 6 z i e r 曲面片，转化 逼近转化。 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e ss e v e r a lk i n d so fs u r f a c e so nc o n v e xp o l y g o nd 0 - m a i n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n p a r t i c u l a r l yt h ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so f r e c t a n g u l a rb i i e rp a t c h e s ，t r i a n g u l a rb 6 z i e rp a t c h e s ，b - s p h n ep a t c h e sa n ds - p a t c h e sa r eg i v e n ，w jr e a l i z et h ec o n v e r s i o nb e t w e e nr a t i o n a ls - p a t c h e sa n d r a t i o n a lt r i a n g u l a rb d z i e rp a t c h e sa n dt h ea p p r o x i m a t i o nc o n v e r s i o nf r o m r a t i o n a lt r i a n g u l a rb d z i e rp a t c h e st or a t i o n a ls - p a t c h e s i nc h a p t e ro n e w ei n t r o d u c et h er e s e a r c ho b j e c t sa n di nc a g d a f - t e rt h er e v i e wo ft h er o l eo fg e o m e t r i cm o d e l i n gi nc a g d w ee x p l a i nt h e i m p o r t a n c eo fg e o m e t r i cm o d e l i n gi nc a g d i nc h a p t e rt w o ，s e v e r a lk i n d so fs u r f a c e sa n dt h e i rp r o p e r t i e sa r ei n - t r o d u c e d ，i n c l u d i n gr e c t a n g u l a rb d - a e rp a t c h e s ，t r i a n g u l a rp a t c h e s ，b - s p l i n e p a t c h e s ，s - p a t c h e sa n dt h e i rr a t i o n a lr e p r e s e n t a t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，t h ec o n v e r s i o np r o b l e mb e t w e e nr a t i o n a ls - p a t c h e s a n dr a t i o n a lt r i a n g u l a rb 6 z i e rp a t c h e si si n v e s t i g a t e db yr e p a r a m e t r i z a t i o n m e t h o d t h ee x p l i c i tc o n v e r s i o nf o r m u l a so fc o n t r o lp o i n t sa n dw e i g h e sb e - t w e e ns - p a t c h e sa n dr a t i o n a lt r i a n g u l a rb & i e rp a t c h e sa r ep r e s e n t e d a l g o - r i t h m sa n dn u m e r i c a le x a m p l e sa r ea l s op r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c y o ft h i sm e t h o d i nc h a p t e rf o u r ，c o n s i d e r i n gt h er a t i o n a lt r i a n g u l a rb d z i e rp a t c h e sc a n n o ta l w a y sb ec o n v e r t e dt or a t i o n a ls - p a t c h e so fdd e p t he x a c t l y , w ec o n s t r u c t s u c ha na p p r o x i m a t i o nm e t h o dt h a tt h er a t i o n a ls - p a t c h e sa p p r o x i m a t e st h e r a t i o n a lt r i a n g u l a rb 6 z i e rp a t c h e su n d e rt h ea p p r o x i m a t i o n e x a m p l e sa r e a l s op r e s e n t e d k e y w o r d s ：c o n v e xp o l y g o n ，s u r f a c em o d e h n g ，r a t i o n a ls - p a t c h e s ，r a t i o n a l t r i a n g u l a rb 邑z i e rp a t c h e s ，c o n v e r s i o n ，a p p r o x i m a t i o nc o n v e r s i o n 中国科学技术大学学问论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行 研究工作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。 与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已经在论文中 作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用 权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位 论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：丝 协7 年上月) 日 致谢 时间过的真快，三年的科大生活很快就要结束，我的硕士生活 也即将结束。在这三年里，首先我要感谢我的导师冯玉瑜教授在这 三年里给我的帮助和鼓励。冯老师给我们讲授的基础课在我的论文 写作中受益匪浅。本文是在冯老师的悉心指导下完成的，从选题到 定稿，冯老师都给了很多无私的关怀和帮助。三年的研究生生活中， 冯老师渊博的知识，严谨的治学，谦逊的为人，诚实的作风一直深 深影响着我，在此我向冯老师表示崇高的敬意和衷心的感谢! 在这三年里，我还要感谢邓建松教授给我帮助和指导。在三年 的学习期间，很多问题都得到了邓老师的帮助，邓老师敏锐的洞察 力和对学术认真负责的态度将使我一生受益。 在这三年里还要感谢陈发来教授在此期间给我们讲授的专业 课c a g d 等课程这些课程对我的论文的有很大的帮助! 还要感谢实验室的兄弟姐妹们，无论在完成论文期间还是在研 究生学习过程中，他们都给我很多无私的帮助! 同时也深深感谢父母和亲人们这么多年给我的物质上和精神 上的全力支持，使我能够得以安心学习，并顺利完成毕业论文。 谨以此文献给所有关心和帮助过我的人! 第一章绪论 1 1c a g d 的研究对象 计算机辅助几何设计( c a g d ) 是随着航空，汽车等现代工业的发展与计 算机的出现而产生和发展的一门新兴学科。其研究内容是在计算机图形图像 系统环境中表示和分析各种自由曲线曲面以及立体，主要侧重于计算机设计 与制造( c a d c a m ) 系统的数学理论和几何体的构造方面；主要研究对象是 工业产品的几何形状。工业产品的形状大致可分为两类：一类由初等解析曲 面组成，可以由画法几何与机械制图的方法表达和传递包含的形状信息；第 二类是由自由曲线曲面组成，例如飞机，汽车，船舶的外形零件 虽然c a g d 所用到的理论工具可以追溯到百年以前，但是c a g d 作为一 门新兴学科是上世纪六七十年代的事情。而这主要是得益于计算机的快步发 展，使得可以进行高速运算，处理大量数据并且有强大的图形功能。c a g d 所 用的理论工具有函数逼近轮，微分几何，数值计算方法，代数几何和交换代 数等都在这个学科里得到广泛的应用。 计算机辅助几何设计作为一门学科经过了数十年的研究和发展，特别是 随着计算机技术的日新月异，现在它己不再局限于原有的几何形状信息的计 算机表示，分析与综合，而是广泛的应用与机械制造，影视制作，建筑业，虚 拟场景的生成，甚至时装工业等领域。 1 2曲线曲面造型技术及其发展 几何造型是计算机辅助几何设计与计算机图形学的一项重要内容。主要 研究在计算机环境下，对曲线曲面表示，设计，显示和分析。其中自由曲线 曲面的造型理论是几何造型研究的主要对象。 自由曲线曲面的造型主要经过下面几个发展阶段：人们很早就发现以多 项式作为插值或逼近函数具有一定的局限性，因此开始研究所谓的分段多项 式( p i e c e w i s ep o l y n o m i a l s ) 。早在1 9 4 6 年，样条函数的创始人s c h o e n b e r g 便发 表了关于样条函数的第一篇论文【1 8 】他引入了样条函数( s p h n ef u n c t i o n s ) 的术语，并提出了b 样条理论。这种方法可方便地用来构造整体达到一定光 2 0 0 6 焦 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文2 1 2 曲线曲面造型技术及其发展 滑连续的曲线和曲面。但由于当时计算工具的局限性，样条函数并没有得到 充分地应用，其重要性也一直没有足够地体现出来。直至上世纪六十年代以 后，由于计算机技术的飞速发展，计算机图形学的初具规模，样条函数的重 要性才逐渐被人们所认识。样条函数开始被广泛应用于数据拟合、函数逼近、 曲线曲面造型等领域，并在理论上逐步得到完善。 1 9 6 3 年，美国波音公司的f e r g n s o n 首先提出了将曲线曲面表示为参数的 矢函数方法，他引入了三次参数样条曲线，并构造了组合曲线和由四个角 点的位置向量与两个方向的切向量定义的f e r g u s o n 双z 次曲面片，用以解 决自由型曲线曲面的表示和设计问题【2 1 l 。从此曲线曲面的参数化形式成 为形状数学描述的主要形式。1 9 6 4 年，美国麻省理工学院的c o o n s 发表了一 种具有一般性的曲面描述方法f l o 】，给定围成封闭曲线的四条边界就可以 定义一张曲面片( 称为c o o n s 曲面) ，c o o n s 双三次曲面片在实践中应用广 泛。1 9 6 7 年，c o o n s 进- - 步推广了他的这一思想 l l l 。但这两种方法都存在形 状控制与连接问题，不利于交互设计和整体造型。 而在法国，雪铁龙汽车公司的d ed e c a s t e l j a uf 1 4 t - 1 9 5 9 年和雷诺汽车公 司的b 邑i e rf 1 5 1 于1 9 6 2 年分别独立地发展了后来被称为b 6 z i e r 曲线的参数曲 线表示方法。b z i e r 还成功地将这套方法运用于实际f 2 6 】设计人员可以通过 移动控制顶点达到控制曲线整体形状的目的，并可预测曲线形状变化趋势。 2 5 1 和1 9 1 等对b 6 z i e r 方法在理论上作了深入研究，并揭示了其与b e r n s t e i n 多 项式的内在联系。在此基础上又陆续得到了矩形域上的张量积b 6 z i e r 曲面和 三角域上的b e r n s t e i n - b 6 z i e r 曲面等表示形式。b 6 z i e r 方法简单易用，而且具 有很好的交互性，漂亮地解决了整体形状控制词题，把曲线蓝面的设计向前 推进了一大步，为自由曲线曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。但 是，b d z i e r 方法仍然存在拼接问题和局部修改问题。 与此同时，1 9 7 2 年d eb o o r 、c o x 和m a n s f i e l d 分别独立地给出了关于b 样 条计算的标准算法即d eb o o r 递推公式【2 j 7 1 ，该方法使b 样条的计算简便而 稳定。1 9 7 4 年，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 在对b 6 z i e r 方法的研究过程中，发现d e b o o r 递推算法是d ec a s t e l j a n 算法的自然推广，并将b 样条函数推广到参数 形式的b 样条曲线曲面【2 0 】。b 样条方法几乎继承了b 6 z i e r 方法的一切优点， 同时克服了b 包i e r 方法存在的一些缺点，较成功地解决了局部控制问题，并 在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问 题得到了较好解决。节点插入算法【2 2 】和升阶【2 8 】等配套技术的发展，使 2 0 0 6 生 第一章绪论 中国科学技术大学硕士学位论文3 1 2 曲线曲面造型技术及其发展 得b 样条方法一举成为形状数学描述的主流方法之一。 1 3 1 和【2 9 1 分别对样 条函数理论进行了详尽的论述。 b 样条方法在设计自由曲线曲面时显示了强大的威力，然而却不能精确 表示除抛物线和抛物面外的二次曲线曲面，而只能给出近似表示，这就造成 了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式。 1 9 7 5 年，v e r s p r i l l e 在其博士论文中首先提出了有理b 样条方法，克服了上述 缺陷。后来在p e g e l 和t i l l e r 等学者的努力下，在上世纪8 0 年代后期发展起来 非均匀有理b 样条( n u r b s ) 的一整套方法，把有理和非有理b d z i e r 曲线曲 面与b 样条曲线曲面以及圆锥曲线和初等解析曲面统一于一种表示，最终 使n u r b s 方法成为现代几何造型中最为广泛流行的技术。 当今c a d 系统中的曲面几乎都是定义在矩形域上的，这是因为当初设 计飞机机身等物体时物体的外形具有内在的矩形拓扑结构。但是，在一些复 杂的零件制造中，矩形曲面片和矩形拓扑的局限性就爆露出来。这就需要构 造n - 边形的曲面片来填这种复杂造型中所需要的多边形曲面片。其中1 9 8 9 年 在文献1 3 1 中，l o o p 等人发表的一篇文章中介绍了一种定义在凸n 多边形上 的曲面片称之为n 边孓曲面片。曲面片将矩形域上的b d z i e r 曲面片和三角 域上的b d z i e r 曲面片统一了起来。即乱= 3 枣t s - 曲面片就是定义在三角域上 的b d z i e r 曲面片 祀= 4 时s - 曲面片就是定义在矩形域上的b d z i e r 曲面片。s 曲面片由于自身的性质和动态编程的生成算法【4 】，使得s 一曲面片在多边形 曲面片的造型中比较灵活。 经过近半个世纪的发展，从研究领域来看，曲线曲面造型技术已从传统 的研究曲面的表示，求交合拼接扩充到曲线曲面的变形，重建，简化，形式 转换等问题。从造型方法上看，新的造型方式也不断涌现：以网格表示，细 分等为特征的离散造型，基于物理模型的造型方法，基于偏微分方程的曲面 造型方法，流曲线曲面造型方法，小波曲面在造型等 1 6 ，3 0 】 无论哪种造型方式，从实现计算机对形状处理，便于形状信息传递与产 品交换的角度来看，应满足下列要求： ( 1 ) 唯一性。唯一性对数学方法的要求就是，由已给定的信息决定的曲 面是唯一的。 ( 2 ) 几何不变性。当有优先的信息决定一个形状时，如果这些点的相对 位置确定，所决定的形状也固定下来，它不随所取坐标系的改变而改变。 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文4 第一章绪论 1 3 本文工作 ( 3 ) 易于定界。产品的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。 ( 4 ) 统一性。对统一性的最高要求是能找到统一的数学形式，既能表示 自由曲线曲面，也能表示初等曲线曲面。 ( 5 ) 计算处理简便易行，易于在计算机上实现和易于推广。 1 3 本文工作 在第一章里。主要介绍了c a g d 研究的主要对象以及几何造型中自由 曲线曲面造型的发展，从而说明了几何造型在计算机辅助几何设计中的重要 性。 在第二章里，主要介绍了凸多边形上自由曲面的定义及其性质主要 介绍了矩形域和三角域上的b d z i e r 曲面片和矩形域上的b 样条曲面片以及 凸n 3 ) 边形上s 一曲面片的定义及其性质。具体的包括这些曲面的生成算 法，开花及其性质。 在第三章里，主要介绍了用重新参数化的方法实现了有理s - 曲面片和 有理三角b 6 z t e r 曲面片之间的相互转换，通过演算和证明给出了他们的转换 公式，即得到了用三角b 6 z i e r 曲面片的控制点与权来表示s 曲面片的控制点 与权的显示表达式，及其相反的公式。在这一章中还给出了转换的算法和具 体的算例，显示了该方法的有效性。 在第四章里，考虑当有理三角b d z i e r 曲面片的阶数m 大于有理孓曲面片 的层数d 时，并且有理三角b 6 z i e r 曲面片不能精确转化为有理$ 曲面片时，文 中给出了一种逼近，并且在这种逼近的意义下求出了有理孓曲面片的控制点 和权，实现了m 阶的有理三角b 包i e r 曲面片到d 层有理孓曲面片的逼近转化。 第二章凸多边形上的曲面片的定义及其性质 在自由曲面造型中最常用的曲面是矩形域和三角域上的b 6 z i e r 曲面片 和矩形域上的b 样条曲面片。但是对于拓扑结构不是三边形也不是四边形的 复杂曲面片，我们一般用上述曲面片并不能将其表示出来，于是就采用定义 在凸多边形上的s - 鳇面片来表示。下面我们分别绘出它们的定义及其性质。 2 1矩形域上的b 6 z i e r 曲面片的定义及其性质 定义2 1 1 设有( m + 1 ) m + 1 ) 个点向量 而) ：o 帮，b ( ，哆( 口) 为b e r n s t e i n 基，则与其相应的张量积曲面 p ( u ，”) ；即( “) 曰( ”) 嘞，0 刚1 l = 0 j 毒o 称为【o ，1 l o 【0 ，l 】上的m n 次b d z i e r 曲面，昂称为控制顶点，同行同列相邻 两点用直线连成的网格称为b d z i e r 特征网格，简称b 网 ( 详见 7 1 ) b 6 z i e r 曲面有如下的性质： 性质1 ：几何不变性和仿射不变性。 性质2 ：边界线是b 网的四个边界多边所决定的四条b 6 z i e r 曲线 ，nmn b y ( u ) a o ，b t ( u ) a 。彤( ”) 嘞，骘( t ，) 1 , - - - 0 i = 0 j = o j = o 性质3 ：曲面在四个角点插值b 网的四个角点即 p ( o ，0 ) = ，p ( o ，1 ) = ，p ( 1 ，0 ) = p 棚，只，1 = 性质4 ：角点切平面是b 网四个角点三角形 p l o 昂l ，昂。p l 。p o m 一1 ，p m n r 。一1 。p 1 ，b 1 0 j f k 一1 ，o 昂，1 性质5 ：凸包性：曲面位于b 网的凸包内。 5 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 6 第二章凸多边形上的曲面片的定义及其性质2l 矩形域_ l 的b d z i e r 面片的定义及其性质 性质6 ：d ec a s t e l j a u 递归求值算法：若以给参数( u ， ) ，记 霉( u ，u ) = 嚣= 嘞 对r = 1 ，2 ，m ，递归计算 砑( u ，。) = ( 1 一) 只j ? ( ，口) + u 只r 1 , 0 ( ，t ，) ，i = r ，r + l ，m ；j = 0 ，1 ，n 再对s = 1 ，2 ，仃递归的地计算 f 嚣0 ，口) = ( 1 一口) 黑m j $ 一- l i ( t ，口) + 只品”1 ( t ，口) ，j = s s + l ，n 则j ：嚣( t ，口) 即p ( t 正，t ，) 次数为( m ，n ) 的矩形域_ h b d z i e r 曲面p ( s ，) 的开花p ( t l ，u r n ；口l ，) 算 法上就是关于u 的d ec a s t e l j a l l 算法的第j 层用哟来代替u ，在关于 的d ec a s t e l - j a n 算法中的第k 层用来代替口 由矩形域上b d z i e r 曲面开花的算法可以得到，其开花p ( l ，u “t ，l ，) 有以下性质： 1 双对称性 p ( u l ，；。l ，) = p ( ( 1 ) ，( m ) ；( 1 ) ，v a ( n ) ) 2 多仿射性 p ( “1 ，u m ；口1 ，) 关于每个变量是多仿射的。 3 对角线的性质 p 咄；划2 尸( 让，”) 4 对偶泛函性 设p ( u ， ) 是定义在【o ，1 】o 【0 ，1 】上的b d z i e r 曲面片，那么， 2 p ；掣，列 有理b d z i e r 曲面片的表达式为： 。，、兰。；。印( 牡) 曰( t ，) 岛蛳 p ( 2 镪i = 笼o 囊黼 - ，= 0 一l 、”，一j 、。， 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文7 第二章凸多边形上的曲面片的定义及其性质2 2 三角 的b 4 z i e r d 片的定义及其性质 其中? ( n ) ，i = 0 ，1 ，m 为“向的b e r n t e i n 基函数族， 霹( 口) ，j = 0 ，1 ，礼为u的b e r n t e i n 基函数族，p , a i = 0 ，l ，m ，j = 0 ，1 ，住) 为特征多边形网格顶点；w t j ( i = 0 ，1 ，m ，j = 0 ，1 ，n ) 为 与顶点岛对应的权因子。 2 2 三角域上的b 6 z i e r 曲面片的定义及其性质 定义2 2 1 给定三角形t 及其上的一点只t 的项点依逆时针方向记为乃，乃，乃 则 ( 让，秒，叫) = ( p 死正噩噩乃，a 五p t 3 乃疋砖，五死e l a 丑疋死) 称为点p 关于坐标三角形t = 丑乃乃的面积坐标或者重心坐标规定三 角形a b c 的顶点依逆舰，时针方向排列时其有向面积为a l 积i t 乘以+ j 卜j j ， 记为 b c ( 详见【7 】) 由重心坐标的定义，我们可以得到重心坐标的下列性质： 性质1 ：札+ i + 铆= 1 性质2 ：在五马死内部，牡，口，埘 0 性质3 ：在直线噩死上叫= o ；在直线死死上牡= o ；在直线正乃上 = 0 性质4 ：若点正，点p = ( 珏，口， ) 关于已知平面坐标系的坐标分别为( 戤，歇) 和( 工，y ) ，i = 1 ，2 ，3 贝0 ： ( u ，甜，伽) = 1 x , 1y l 1 石2y 2 1 翰y s 12 , 1 玑 1zy 1 正3s ，3 1z 1 玑 1 现抛 1士y ( z ，y ) = ( t z l + o t , 2 + 伽石3 ，t 玑+ 口抛+ 埘珈) 定义2 2 2 设有 + 1 ) m + 2 ) 2 个点向量女斧，t ，五k 0 ，i + j + k = l g ， 又谩坐标三角形t r 顶点为乃，死，乃皿点p = ( 让，t ，伽) ，则称 ? ”( “，口， ) = 乏二z 琵k ( u ，口叫) k ，( t ，口，叫) z u + v + w = 1 + = “ 1iiij 地珈z 如 一一 ，一 以 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文8 第二幸凸多边形上的曲面片的定又及其性质2 2 三角域k g b 6 z i e r d o 面片的定义及其性质 为三角域丁上的n 次b e r n s t e i n - b d z i e r 曲面，简称b - b 曲面，这里 b o ，k ( t ，弘 ) = 砉等啬t 以， i + j = 七= t ，吼叫0 ，t + u + ”= 1 称为n 次b e r n s t e i n 基函数，正仙称为该曲面的控制点 ( 详见【7 】) 三角域上的b d z i e r 曲面的性质： 性质1 ：凸包性：b b 曲面在有此曲面的b 网的凸包内。 性质2 ：边界曲线是由相应的边界控制点定义的b d z i e r 曲线。 性质3 ：三角域b d z i e r 曲面插值于三个角点。 性质4 ：b - b 曲面具有仿射不变性。 性质4 三角b d z i e r 曲面的d ec a s t e j a u 算法 f 霉e = * 码k = u t 。t ，- 1 j ，k + 口丁搿l ，i + 叫列：+ 1 ， + j + k = 竹一z ，f = 1 ，2 ，n 【t ( u m 叫) = 瑶o o 三角b b z i e r 曲面片的开花可以通过d ec a s t e j a u 算法的路径得到，我们 将算法的第层中的( 让，口，叫) 用o , k ， o k ，w k ) 所代替。 三角b d z i e r 曲面片的显式表达式为 b r l ( ( s l ，t 1 ) ，( s 2 ，2 ) ，( & ，氛) ) = ( 最+ v k e 2 + 钕玛) 其中( 乳，t ) = u k t l + v k t 2 + w k t s ，( “女，饥) 是( 乳，“) 关于三角形域t 的 重心坐标最是平移算子，定义为： 置= 珥lj 女，易k = t t j + i ， ，局= 正j ，川 三角b d z i e r 曲面片的开花有如下的性质： 1b 闭( ( s ，- ) ，( s 2 ，t 2 ) ，( j 。铀) 关于变j r ( s 1 ，t 1 ) ，( s 。，t 。) 是对称 的。 2 口闭( ( s l ，t 1 ) ，( s 2 ，t 2 ) ，( & ，“) ) 关于变量( s l ，f 1 ) ，( ，k ) 是多仿 射的。 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文 9 第二章凸多边形上的曲面片的定义及其性质2 3 矩形域上e j b 一样条曲面片的定义及其性质 3 对角线的性质。l l l j b i t ( c s ，) ，( 8 ，t ) ) = t ( 8 ，t ) 4 对偶泛函性质，即k = b t t i ( 互，瓦，趸，互，墨，) 、_ _ - v _ _ _ 一、_ _ _ v l 一、_ _ _ o _ - l j 七 有理三角b 6 z i e r 曲面的表达式为 h 、州+ 怖铭，k ( u ，伽，) 蚴 州弘奶2 氅蓑蔫鬻厶卅+ b m t j ，i 、” ，”$ 其中( t ，口， ) 和魄女( 札，u ，w ) 分别为前面的三角b 6 z i e r 曲面中的定义。k 为三角该曲面片的控制点，嘞 为 相应的权因子。 2 3 矩形域上的b 样条曲面片的定义及其性质 定义2 3 1 给定( m + 1 ) ( n + 1 ) 个控制顶点奶o = 0 ，1 ，m ；j = 0 ，1 ，n ) 的 阵列，构成一张控制网格又分别给定参数留与口的次数南与 ，和两个节点矢 量u = t 1 0 ，t l ，t ， + 七+ l 】与v = 【v o ，u 1 ， mn p ( t ，) = 奶m t ( 牡) ，r ( 口) ， 兰o j = o 为b 并条曲面其中批 似) 0 = 0 ，1 ，- 节点矢量u 与y 决定的b ，样条基 ，+ i + 1 1 ，则称 钍ks 缸竹+ l ， 饥 t k + l m ) 与坼，f u = 0 ，1 ，礼) 分别是由 ( 详见【1 6 】) b 样条曲面的性质： 性质1 ：仿射不变性且非退化的，在控制点阵列构成的凸包内 性质2 ：张量积b 样条曲面片继承了b 样条曲线的标准节点插入法。 性质3 ：对控制点网格的逼近具有局部性 性质4 ：b 一样条具有变差减缩性 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文1 0 第二章凸多边形上的曲面片的定义及其性质2 4 凸多边形上s - 曲面片的定义及其性质 图2 ，l ：凸n 边形区域 有理b 一样条曲面的表达式为： 。，銎。奶m ，( “) t ( u ) p ( 一麓i = 笼o 鬟鬻一j ；0w ”i # u ， 、。， q n 1 其中肌，( “) ，l ( 口) 和奶的含义如b 一样条曲面中所定义；蛳，为顶点奶的权因 子。 2 4凸多边形上s 曲面片的定义及其性质 2 4 1 与s - 曲面片相关的符号及其定义 为了简化表述，我们首先给出与s - 曲面片相关的符号和定义 4 】 2 4 1 1凸n 边形的重心坐标及其简单性质 设d 是以q 1 ，q 。为顶点的凸n 边形( 见图2 1 ) ，在，移平面上q ，的坐标 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文 n 第二聿凸多边形上的曲面片的定义及其性质2 4 凸多边形上s 一曲面片的定义及其性质 为心，地) ，i = 1 ，2 ，n ，q ( t ， ) 是凸多边形d 内的任意一点令 a k c q ) = a ( q k 一- q t q t + ，) i ia ( q i q t + ，q ) ， ( 2 ，1 ) t ， + l 七 凤( q ) ：掣，后：1 川2 ( 2 2 ) ( q ) j = l 其中a ( q t 岛轨) 表示以q t ，研，q k 为顶点的三角形面积，并约定q 一1 = k ， q ”t = q 1 为便于表述，我们称z ( q ) = 慨( q ) ，侥( q ) ，风( q ) ) r n 是 点口关于凸多边形d 的重心坐标( 详见f 4 】) 不难验证p ( q ) 具有以下性质： n 1 ) i z ( q ) l ：= 岛= l ； 2 ) 屈旧) 0 ，i = 1 ，2 ，n ，当q 点在多边形d 的内部时； 3 ) 反( q ) = 0 ，当q 逆嚆z 嚣石，南i ，i + 1 ； 4 ) 凤( 劬) = 矗j ，k ，j = 1 ，2 ，n 2 4 1 2 m i n k o w s k i 和 设，j 是任意两个p 元向量组成的集合，则称集合，o j = a + ji i j ，j n 是，和，的m i n k o w s k i 和，这里i + j 表示普通的p 元向量和。例如 i = ( o ，o ) ，( 1 ，0 ) ，( 1 ，1 ) ，( 0 ，1 ) j = t ( o ，o ) ，( 1 ，o ) ) 则，o j = ( o ，o ) ，( 1 ，o ) ，( 0 ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 2 ，o ) ，( 2 ，1 ) ) 称d 为指标集的层数。 2 4 1 3 多指标符号 本文采用标准多指标符号来简化表达式【6 】，我们记r ：= h ，h ) ，寸：= ( o 1 ，) z ；口：= ( 口l ，) 黔，其中z ；表示非负整数集合，r 表 示实数集 2 0 9 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文 1 2 第二章凸多边形上的曲面片的定义及其性质24 凸多边形上s - 曲面片的定义及其性质 定义 ：= 1 1 + - r 2 + + ， ：= t i l t 21 ! ， ：= 奸霹簖， j ：1 ( z ) ，当以瓦，i = l ，2 ，一，l ； 4 l0 ， 其它情况 7 丽三 ( 2 3 ) 7 而而 j 2 4 2s - 曲面片及其有理形式的定义和性质 在上一节中，我们给出了与s 一曲面片相关的符号及其定义，下面我们将 给出$ 曲面片及其有理形式的定义及其性质，然后给出了构建s - 曲面片的金 字塔算法，s 一曲面片的微分及其开花1 4 】。 2 4 2 1 s 曲面片的性质及其定义 定义在凸仃多边形d 上的n 边d 层孓曲面片为： s ( 让，t ，) = 联( 叩) 晟 a e i a 其中，i = ( i 1 ，i 2 ，t 。) 是由n 个不同的p 元向量组成的有序集合，a i d ， 磁( 吐，”) ) = 风( u ，”) ，风( u ，口) q q 角( u ，t ，) ，风( ，”) ) 称为$ 曲面片的调配函数。f r ) 称为此孓曲面片的控制阵列。其中( 尻，岛，风) 为( u ，t ，) 关于凸多边形d 的重心坐标。( 详见【4 】) 当指标集为( 一1 ) 8 时，这里”1 是指几个顶点为 ( 1 ，0 ，o ) ，( 0 ，l ，o ) ，( 0 ，一，0 ，1 ) ) ，s 一曲面片称为单纯孓曲面片 s 曲面片有如下性质： 性质1 ：仿射不变性 性质2 ：凸包性质 性质3 ：边界曲线为由边界控制点形成的b d z i e r 曲线。 叫州矿卟叭i，、 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文1 3 第二章凸多边形上的曲面片的定义及其性质2 4 凸多边形上s 曲面片的定义及其性质 性质4 ：当礼= 3 $ f l n = 4 时，n 边s - 曲面片分别表示三角b 邑z i e r 曲面片或 张量积b d z i e r 曲面片。 有理$ 曲面片的表达式为： “、蒯dg ( t ，v ) e x w x 叫们2 笔警蒜而厶 pu 、u ”，w 其中g ( “， ) ，一，只的含义如曲面片定义中所示；t 坝是控制点最所 对应的权因子 2 4 2 2 有理单纯s - 曲面片的定义 跗：连笔羔罢害 a ， f 1 + ：毫h 刮、q ，q ，7 1 p “w n 其中异r h ，u j q 。h 芝0 ， r l + 乃+ + = d 分别是有理s - 曲面片的控 制点和权( 详见f 4 ，5 1 ) 依据屈的定义( 2 2 ) 式知，s ( t ，口) 可表示为分子，分母 为一2 ) d 次的多项式有理函数， 利用多指标符号，单纯有理s - 曲面片( 2 4 ) 可表示为 ( 9 矿( u ，v ) 叫，只 跏) 2 警丽丽再， ( 2 r 5 ) p l = d 再依据啦和岛的定义( 2 1 ) ( 2 2 ) 式，从( 2 5 ) 式可得s ( 乱，u ) 的表达式为 圆矿( t ，口) 嘶b 双2 警百而石。 ( 2 6 ) l - i = d 2 4 2 3 构建s 曲面片的金字塔算法 定义在有序顶点依次为q 1 ，0 2 ，龟k 的凸多边形d 上的s 一曲面片， ( 历( “，u ) ，岛( t ，口) ，风( u ， ) ) 是点( “，t i ) 关于凸多边形d 的中心坐标。指标 2 0 0 6 年中国科学技术大学硕士学位论文1 4 第二章凸多边形上的曲面片的定义厘其性质2 4 凸多边形上s 曲面片的定义及其性质 集4 标示的礼边形阵列 只) ，其中，= ( i l , i 2 ，i 。) 是由n 个不同的p 元 向量组成的有序集合。那么有控制阵列 最) 定义的d 层边形s - 曲面片的递 推过程如下：s - 曲面片的金字塔算法( 详见【4 】) 磁( 让，口) = 只， a i a n e ( 让，”) = 尻( 让，”) ( ) p 严 = l 2 4 2 。48 - 曲面片的微分 s ( u ，t ，) = 户5 f ( 牡，口) s 曲面片的一阶导数可以通过求其调配函数碳( t ，”) 来求得。 因为 g ( u ，”) ，= 岛，风( ”，”) ) 0 砭多 历( “，风( 牡，”) 所以 掣m 掣，掣) 0 怕( ，”) ，尻( 州) ) 0 o 编( 叩) ，风( “，t ，) ) 。z 一 。o s f 踟( u , v ) ，叫掣，鼍竽 o 佩( ”) ，风( u ，口) ) 0 o 协( 训) ，风( u ，t ，) 或者等价的 刿o u = d ( 篑姥”) + + 瓮睨心秒) ) 锷竽= d ( 鬻g 二) + + 鲁碳二批”) ) 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文 1 5 第二章凸多边形上的曲面片的定义及英性质2 4 凸多边形上s - 曲面片的定义及其性质 所以，$ 曲面片， 的一阶偏导数为： s ，v ) = 础心v ) 足 ，d 掣= d 萎，黜刚) ( 善掣) 口d l i 掣一d 萎。黜酬善掣) p ，d i j 这些公式指出，为了得到d 层s - 曲面片的一阶偏导，只需对金字塔的底 层函数求一阶偏导，然后运行程序，并将结果乘以d 即可。 由于沿着s 一曲面片的边界。大部分重心坐标的函数为零，所以在s 一曲面 的区域边界q q + l 上，岛= 0 ，9 h ，h + l ，设a 露_ 1 表指标是( d 一1 一 后) 如+ 七 t 。，k = 0 ，d 一1 ，e p - 与( d 一1 ) 层s 一曲面片有关的指标，所以在 边界q q + l 上， 彰q ( ) = 0 ，p ，o 驴1 因此在边界上 掣一。e o i d - 。帕川( 若掣坼t ) 掣= d 三。影- l ( 刚) ( 善掣) 上式说明，仅仅只有由a 驴1o j 的元素标示的控制点才会对边界上的 一阶偏导数或越界的方向导数起作用。 为了简化符号，令： 岛( 让，口) = 岛( 牡，”) ，风( 乱，”) ) 型o 业u = 鼍掣，鼍)伽讹 对更高偏导则依次类推： 2 0 0 6 年 中国科学技术大学硕士学位论文1 6 第二章凸多边形上的曲面片的定义及英性质2 4 凸多边形上s 曲面片的定义及其性质 掣) = d 掣。坠( u 以，风( u 一 o o 岛( m ，风( u 川! d - - i + d ( d + 1 ) 塑舻。塑掣。坚( u ，风( 邺) o o 似( u ，吨，风( u ，。) ! 对于调配函数的其他二阶偏导数有相同的结果。 除了上面这些公式以外，为了计算d 层s 曲面片的二阶偏导数，可以用 下面的形式进行计算： ( 1 ) 对金字塔算法的某一层函数求二阶偏导数，然后运行程序，将结果 乘以d ( 2 ) 对金字塔算法中的不同两层函数求一阶偏导数，然后运行程序，将 结果乘p f l , d ( d 一1 ) ( 3 ) 将( 1 ) 和( 2 ) 的结果相加。 2 4 2 5 s - 曲面片的开花 前面，我们已经给出了