（基础数学专业论文）渐近线性dirichlet问题正解及多重解的存在性.pdf

摘要 运用变分法讨论渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性。本文一方面 对已有文献的结论加以推广，另一方面，运用临界点理论中的几个多解定理得到 一些新的多重解的存在性结果 这篇文章的一个主要特征是提出一种新的方法运用山路引理证明了在没有条 件( a r ) 的情形下d i r i c h l e t 问题正解的存在性，另一个是我们对文献【6 中的重 要条件做了巨大的改进即我们可删去堕堕对a e , x q 关于f 在【o ，+ m ) 上单调 ， 递增我们不仅运用新的技巧验证了 条件，并得到了一些更广泛的正解存 在性结果，而且我们把这种新的方法推广到p 拉普拉斯的方程的渐近性d i r i c h l e t 问题 归纳起来主要有以下两个方面： l 、渐近线性d i r i c h l e t 问题正解的存在性。 2 、渐近线性d i r i c h l e t 问题多重解的存在性。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w e p r o v et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sa n dm u l t i p l es o l u t i o n s i ns o b o l e v s p a c e w i t hv a r i a t i o n a lm e t h o d s o n eh a n d ，o u rr e s u l t s i m p r o v e t h e c o r r e s p o n d i n gr e s u l t si n 6 1 0 1 1 o nt h e o t h e rh a n d ，s o m en e wr e s u l t sa st ot h e e x i s t e n c eo f m u l t i p l es o l u t i o n sa r eo b t a i n e db yu s i n gs e v e r a lm u l t i p l i c i t yt h e o r e m si n c r i t i c a lp o i n t st h e o r y o n eo ft h em a i nc h a r a c t e ro ft h i sp a p e ri st op r e s e n tan e ww a yo fh o wt ou s ea m o u n t a i np a s st h e o r e mt op r o v et h ee x i s t e n c ea st ot h ed i r i c h l e tp r o b l e m ，w i t h o u t a s s u m i n gc o n d i t i o n s ( a r ) ，t h eo t h e r i st h a tw eh a v em a d eg r e a ti m p r o v e m e n t sa st o t h ei m p o r t a n tc o n d i t i o no f 6 ，i no t h e rw o r d s ，w em a yd e l e t et h ec o n d i t i o no nw h i c h ! 兰! ! !i sn o n d e c r e a s i n gw i t hr e s p e c tt o f o ，口p x q a n dn o to n b rw e h a v eu s e d f an e wt e c h n i q u et o v e r i f y c o n d i t i o na n do b t a i n e d s o m em o r eg e n e r a l l y r e s u l t sa st ot h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s ，b u ta l s ow eg e n e r a l i z e dt h i sn e w i d e a t oa s y m p t o t i c a l l yl i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e mf o rt h ep - - l a p l a c i a n a sw h o l e ，w em a i n l yt o u c ho ns o m ea s p e c t sa sf o l l o w 1 e x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o ra s y m p t o t i c a l l yl i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e m 2 e x i s t e n c eo f m u l t i p l es o l u t i o n sf o ra s y m p t o t i c a l l yl i n e a rd d i f i c h l e tp r o b l e m 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特# l i l ；h h 以标注和致谢的地方外，论 文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北 师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名： 塞龃 日期：型兰：；兰确 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) ：坚纽吼 例、刁 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 刖吾 考察d i r i c h l e t 问题古典解的存在性，人们通常采取两种办法一种是通过采 用工一5 估计把方程的解转化为算子的不动点，用不动点理论获得其存在性在这 方面人们已经建立了内容丰富体系相当完整的理论框架，另一种是人们通过求其 弱解，然后通过正则化的方法得到古典解，这套理论方法各异，问题百出，还需 人们花更长的时间去丰富、去完善，与此同时，临界点理论不可避免的成为研究 d i 、r i c h l e t 问题弱解存在性的一个最佳手段 、 自从1 9 7 3 年r a b i n o w i t z 的著名大定理山路引理问世以来，人们对d i r i c h l e t 问 题弱解的研究进入新的高潮但是，使用此定理时，一般要对非线性项施加较强 的超二次条件 0 条件成立见文【1 2 3 然而对一些物理问题，见文 4 5 f ( x ，s ) 对s 在无穷远处必须是渐近线性，这样条件r ) 不再适用文【6 在前人基础上考虑了这种情并仍用山路引理得到其正解存在性结果 本文首先通过减弱文献【6 中的条件，即我们要删去 6 】中第二个条件一一 趔对。q ，关于f 递增得到了一些更广泛的正解存在性结果其次我们对 非线性项，施加对称性，获得了一些新的多重解的存在性结果然后把上述方法推 广到具有更一般渐近线性形式的d i r i c h l e t 问题及p 拉普拉斯方程的渐近线 性d i r i c h l e t 问题，本文可分以下五个部分 1 介绍一些必需的定义和引理 2 运用山路引理及鞍点定理建立d i r i c h l e t 问题正解存在性定理，减弱了 文献【6 】的条件；推广了文 6 】的一些结果 3 运用三解定理，z 2 指标理论，对称型山路引理建立多重解的几个存在性 定理 4 运用山路引理建立具有更一般渐近线性形式d i r i c h l e t 问题正解存在性 定理，此时，2 部分的结果成为其推论 5 运用山路引理建立p 拉普拉斯方程正解存在性定理，当p = 2 时，5 就 等同予2 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 1 预备知识 考虑d i r i c h l e ti 司越 j 幽= ，竺曼(11)0 1 “=x d q 、 q 是r “( n 1 ) 中的有界光滑区域，且f ( x ，f ) c ( q x r ) 定义1 1 如果“c 2 ( q ) n c ( a ) 满足方程( 1 1 ) ，1 j u 是( 1 1 ) 的古典解 定义1 2 h ：( q ) 是c ；( q ) 的完备化空间，它上面的范数定义为 肛i i = 幔附出) j 定义1 3 如果“爿；( q ) 对所有的c ；( q ) 满足 正( v h v 妒一f ( x ，“) 妒) 出= o ( 1 2 ) n u 是( 1 1 ) 的弱解特别当“0 ) o ，x e q ，就称u 是( 1 1 ) 的弱正解 定义1 4 记h ：( q ) 上的泛函为 ，( “) = 扛i v u l 2 出一正f o ，“) 出， f o ，“) 。f ，( x ，r ) d t ( 1 3 ) 如果，在日：( q ) _ 1 2 f r e c h e t 可微，则有 c ，( “) ，一f 。( v u v 妒一f ( x ，h ) 妒) 出， 币日：( q )( 1 4 ) 这样“是( 1 1 ) 的弱解等价于“是，的临界点 引理1 1 3 1 设q 是月4 中的有界光滑区域，若“h ：( q ) ，则“l 忑( q ) ( hz3 ) 并且存在常数c 0 对所有f 陆孙o 一2 ) 1 】，h 日：( q ) 有 i i s c 怕i i ( 1 5 ) 而且嵌入映射h ：( q ) 一f ( q ) ，h ug c s t 1 , 2 n ( n 一2 ) 。1 ) 是紧的 引理1 2 咖设q 是r “中的有界光滑区域，满足 ( p1 ) f ( x ，f ) 6 c 面x r ，r ) 2 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 ( p2 ) 存在常数n ，口：) 0 使得 这里0s s o 是九的特征函数 引理2 1 3 】( 山路引理) 设eb a n a c h 空间，i 是e 上c 1 泛函，满足c p s ， 条件设有正数_ i d ，a ，满足，0 ) 2 口，怕j f 昌p 又设存在e 6 e ，满足 0 ，p ，l ( e ) s 0 一， ) 定义c i n fs u p j ( r ( r ) ) ，其中f 是连接日和e 的全体曲 ”t e o 1 1 线构成的集合 r 一 卜e c ( o , l l ，e ) ，r ( o ) = 。，r ( 1 ) 一8 ，那么c 苫a 是，的临界值 引理2 2 f 3 1 ( 鞍点定理) 设e实b a n a c h 空间，使得e ；矿o x ，矿是有限维 的，假设，c 1 饵，r ) ，满足p s 及 ( l ) 存在日在y 中的有界邻域d 及常数a 使得，i a d s a ( j 。) 存在常数芦，口，使得j 恒t 3 则，有一个临界c 苫卢，而且c 被刻画为c 一瓣学7 ) 这里 墨塑旦二! 堕垡丝! 堡! 生丝! 回璧垩壁墨童重坚塑查垄些 r = e c ( 西, t ：) l h l a o = i d 引理23 设妒- ，0 是 的特征函数且0 t l ，i i = 1 及( 日，) 和( h ：) 成立，当 厂0c 时有 0 ) 存在p ，a ，0 ，使得，( “) a ，v u 日j ( q ) 且j | “i i = p ( ，如定义1 - 3 ) ( 6 ) 当f 一。及z ( ，+ 。) 时，j ( f t f j ，) 一一o 。 证明若z ( ，+ 。0 ) ，由( h ，) 和( ：) 知对v ，0 ，存在爿= 爿( s ) z 0 ，b ；b ( ) 使得对所有。，s ) q r 及p q 万n = + i 2 ) ( 3 ) ；p + 。o ) ( = 1 ，2 ) 我们有 f 缸，s ) s 三( ，o + e p 2 + 一s l f ( x ，s ) z 昙u s 扣z 一丑 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 选择适当的 0 ，使得，o + o ，使f s ，九并结合( 2 3 ) 有 荆s 扣0 2 一字川；圳q j 由于z 一， 及0 妒，1 1 = 1 ，我们有 ，) s 丢( 1 一半n b i q 卜也r 一悒 定理2 1 若条件( h 1 ) ，( h ：) 成立，当，一 条件，下证当九， 条件设似。) 是p s ，序 列，由于q 有界，f ( x ，t ) 次临界，故通过引理1 3 ，只须证恤。) 在日：( q ) 上有界 由c l l ( u 。) ，2 j ：v 。v 纰一上厂o ，“。皿2 。 0 时， u n 0 ) 一i u 。j 2 ! o + m ， 华掣。盟型h 山如， hi ：。 1 7 当v o ) - 0 ， 哿i 。l 一。， 当v 0 ) ，0c + * 时，问题( 2 1 ) 总有一个 正解或零解 证明 分解h ：( q ) 为h ：( q ) = y o xr 其中y e ( e 为- 的特征子空 间) ，下面我们分三步证明。 ( i ) 由条件僻2 ) 知 f s ) s l q + ) s 2 + b 1 ，z q ，s r ( b 为正的常数) ( 2 9 ) 从而当e x 时，我们有 ；扛酬2 出一正f ) 出 之丢( 1 一争胁1 1 2 一b 1 1 q i ( 选择适当的s o 使得懂 0 ，使得卜。0 h o o ，工q 。，运用此断言及，满次临界增长条 件和已知条件，0 ，t ) t 一2 f ( x ，f ) 一一，工q ，t m ，我们可知 f ( x ，“。 ) 如。0 ) 一2 f ( x ，u 。0 ) ) s m ，工q ( m 为某个正数) ! i n 2 f ( x ，“。o ) ) “0 ) 一2 f ( x ，“一 ) ) 】= 一。，工q 。 然而由法都引理，令见= 厂0 ，) “。一2 f ( x ，“) ，则 压强q 出s 甄f o e 。d x + m i q q 。l t - - 0 0 这与( 2 1 0 ) 式左端相矛盾 下面我们证明上述断言，由条件( h2 ) 知 l i m s u p 晶两【聃一等n ：协州 ( 2 1 1 ) 令露一2 丽 可n ，我们可以假设对某个矗h ：( q ) ，使得正一丑五于 h ：( q ) ，五。里呻五于r ( q ) ，因此我们有 南地) = i l o 刮蛐一扣阶以卜扣协，结( 2 1 1 ) 式 有 o z l 0 一九l 矗仨) 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 于明五，0 ，上述断言通过令q 。= & q i i o ) zo 被证明 这样由引理2 2 知方程( 2 1 ) 有一个正解或零解 注：引理2 2 中的紧性条件c p s ) 换成( c ) 。 定理2 5 已知，满足( h ，) ，( 爿：) ( h ，) ，g ，f ) 是次临界的，即对p q 而n + 2 ) ( n 2 3 ) ；p e ( 1 ，+ 。) ，( = 1 ，2 ) 有 上鲁堕一o ，r 一+ o 。对几乎所有x q 一致成立当，0c 九，f = + o 。时， 问题( 2 1 ) 有一正解 证明由( h 。) ，( h ：) 及f ( x ，t ) 次临界知( 2 2 ) 式成立从而引理2 3 的( 口) 成立 又由f = + 。知引理2 3 的( 6 ) 成立 这样由引理2 3 ，山路引理的几何条件全部成立由此，只须证泛函i 满足 c p s ) - 条件我们先证这样一个事实：如果c ，m 。) ，“。，一o ，n 一+ m 及( 日，) 成 立，则存在翻。) 的一个子列仍记作如。) ，使得 z ( m ) e 半+ u ) ，o s fs 1 肚1 肺 由c ，0 。) ，u 。 - - 1 - 0 , n 一+ 。，对于扣。，的子列而言，我们可以假设 一l n o ) 显然，m ( 2 1 9 ) 知，“：o ) + 口七于q 2 注意到 f 。+ 。，则对任合固定的k ) o 及充分大的n ，我们有掣k 对z q ：一致 成立由此，通过( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 有 札l i r a 。1 1w u 2 。l i m 正竽。( 蚶出= 燃：华蝌出 苫k 熙五：( 嵋) 2 d x 。：( w + ) 2 d x 由w + o 于q 2 及k 0 ，( k 可以充分大) 于是埘q 2 0 ，从而，w + - 0 于q 然而，如果w + a 0 ，则舰正，o ，睇o ) ) 出_ 0 相应有 ，( k ) 。昙8 0 2 + 。( 1 ) ；2 c + 。( 1 ) ( 2 2 0 ) 通过l l “。0 三一+ m ，我们得到f 。一0 ，n 一+ m ；则从( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 推知 ，( ) 。地s 警“，厅叫m ( 2 2 1 ) 显然，( 2 2 0 ) l ：5 ( 2 2 1 ) t t j 雷于是，6 l l 务+ m ，乜。) 在抒：( q ) 中有界 注：此结果处理了，o ，t ) 对f 而言在无穷远处是超线性的情形本文中的条件 ( z ，3 ) 在某种程度上比条件( 艘) 更弱，它是文献【6 】中推论2 3 的推广 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 3 渐近线性d i r i c h l e t 问题多重解的存在性 考虑方程( 2 1 ) ，对f ( x ，f ) 再作如下假设 ( h 。) f ( x ，t ) c ( q r ) ；f ( x ，- t ) = 一， ，f ) ，v t e r ，j q ( h ，) l ，i r a 。字堕= ，0 ；，l i mf ( x f , o = z 对a e x e f 2 - - 致成立，0 和z 是两个实 数 ( h 。) 上譬堕关于f 【o ，+ * ) 上单调递增 注：本部分对，做适当的限制，着重考虑方程( 2 1 ) 多重解的存在性 引理3 1 s l ( 三解定理) 设x 是一个踟嚣4 曲空间，有如下直和分解 x x l 囝x t 这里d i m x ：c * ，为x 上的c 1 泛函，( o ) - o ，满足c p - s ，条件假设对某个 6 0 有 1 ( v ) 之o , v e x l ，0 v i l s 6 及 z ( v ) s o ，v e x 2 ，0y i i s 6 若，在x 上下方有界及1 乎7 c 0 ，则，至少有两个非零临界点 引理3 ，2 t 9 1 设j e c l 暖，r ) 是偶泛函，满足p ，s 条件且 ( f )存在x 的子空间y ，d i m v - y 0s u p 一。 则当 ， s 时，j 至少有y s 对不同的临界点 引理3 31 3 1 设e 为无穷维b a n a c h 空间，c 1 口，r ) ，为偶泛函，满足 条件，( o ) - 0 若e y o z ( 矿为有限维空间) 及，满足 ( f ) 存在常数p ，a ，o 使得，l 晒，n 工a 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 ( f f ) 对每个有限维子空间e c e ，有r = 尺( 豆) 使得，在e b 。( e ) 上小于0 则有，有一个无界的临界值序列 定理3 1 若条件( h i ) ，( ：) 成立，当fc s 厂oc 九时，方程( 2 1 ) 至少有两 个正解 证明先把x = h j ( q ) 做如下直和分解 x = x 。o x ：x ：= e ( ) 则存在6 ，o 使得 ) 岂o , u e x l ，l l u 忙5 0 及 i ( u ) eo ，“x 2 ，0u i i s6 0 事实上，由( 日：) 知存在6 ，0 ，对i f l t 6 有 ( ，0 一弘2s g ( x ，t ) 从而我们有 ( ，0 一e ) t 2 s 矿o ，t s ) ，s 【o 朋，i t k 6 注意到，f ) 一上矿瓴捃) 出，我们可 以获得 三( 厶一弦2s f ( x ，f ) ，i t i c 6 ，x q 通过有限维空间x ：上的模的等价性存在常数c ) 0 使得 “0 。c l “l 对所有h x 2 ，有 j ) 一丢正i v “1 2 出一正f g ，耻) 出 s 丢厶i 砚1 2 出一丢正( ，0 一e 如2 出 = 扣钮i 甲“1 2 出 s0 ( 其删“i i s ) 另一方面，由( h 。) ，阻：) 第二部分的( 2 2 ) 式成立，从而，我们有 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 ，( “) = 知i v “1 2 出一f q f ( x ，“皿 z 丢正l v “1 2 出一言正【( ，0 + s ) “2 + 爿i “i 川 出 ：要( 1 一半) 1 1 。i i ：一。i i 。i i 川 z 0 ( “x 1 ，0 “i l s6 0 ) 下面证明，下方有界 通过( h ：) 有( 2 9 ) 式成立，则 ，m ) 2 扛i v “1 2 d x 一上f ( x 出 ：丢( 1 一半) 1 1 。i i z i q i b ， z几 最后由定理2 1 的证明知满足c p - s ，条件，因此，通过引理3 1 知方程 ( 2 1 ) 至少有两个正解 注：我们的结果不仅处理了方程( 2 1 ) 在原点对九。发生共振情形，还得到两个 正解的存在性结果 定理3 2 设( 日。) ，( 日；) 成立，当f t ，0 时，方程( 2 1 ) 至少有放对非 平凡解 证明通过( h 。) 知i ( u ) 为定义在日：( q ) 上的偶泛函 记 九) 为一a 在h o ( q ) 中的特征值，p i 为规范化的特征向量 ( f ) 令v ；s p a n v 1 ，v 2 v t ) 贝0 d i m v j 七 对v “y ，h 可表示为“。善吒v i i i “1 1 2 一n t 2 则 由( 日；) 知对v s 0 ，存在6 ) 0 ，对l t i c 6 有 ( ，0 一) r 2s t y ( x ，f ) ，x e 9 1 6 裴瑞昌：渐近线性d 州曲胁问题正解及多重解的存在性 ( i o s 弘：s f ( x ，) ，1 1 1 c 6 ，( 3 3 ) 通过有限维空间y 上的一一切范数的等价性知( 3 2 ) 成立，从而对所有的“y ，通 过( 3 ，2 ) ( 3 3 ) 有 ，o ) 2 去正l v “l2 出一点f ( 工，“) 出 s b i 吼i2 出一言正( ，0 一e 姐2 出 = l 半妻扣 5 扣譬，扩 = 扣l ”z 莓- = - - ) i i “1 1 2 选择适当的) 0 ，使得，0 一e ，九从而，存在p ) 0 ，当怕n = p ，“( z v 时，有 0 ) c 0 即s u p l ( u ) 序列有界因此，1 满足 1 1 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 综合上面( f ) ，( i f ) ，( i i i ) ，利用引理3 2 知方程( 2 1 ) 至少有2 k 对非平凡解 注：此结果是运用z ：指标得到的，它是一个新的结果 定理3 3 若条件( h 。) ，( h ；) ，( h 。) 成立，当f oc 扎，l = + m ，满足次临界时 方程( 2 1 ) 有无穷多对解 证明第一步，我们证明引理3 2 3 的( f ) 成立令v = e ”x = e 1 ，对 v u e x ，由( ；) 及，0 ，t ) 次临界知 ， ) = 正丢l v “l 2 出一正f ( t “) 如 z i o 三1 v o l2 出一丢正( ，o + s ) “2 出一正c i “i “1 出 ：昙( 1 一半) 1 1 。i l z 一。i i 。 z九 故我们可选择充分小的p ，存在c t ，0 使得 ， ) a ( “e x ，0 “0 = p ) 第二步，验证引理3 3 的q i ) ，由( 日。) ，( 日，) 知存在充分大的k 使得 f ( x ，s ) 芑k s 2 一c ， 工q ，5 r 对v u e e o ) ，由上式知 ，劬) = 瓤i l 2 出一正f 。，m ) 出 s i t 2 1 1 2 一尉2 詹2 出+ c l a l 一一* ，f 一+ * 从而对v 有限维空间童c e 都有r = r ( e ) ，使得，在豆瞳) 上小于0 第三步，验证c p 5 ，条件，我们先证这样一个事实：如果c ，0 。) ，“。，一0 ， n 一+ * 及( h 。) 成立，则存在扣。 的一个子列仍记作伽。 ，使得 裴瑞昌：渐近线性z ) f r f c h l e t 问题正解及多重解的存在性 f ( 船) s 娑+ i ( u 。) ，f 她n 1 ( 3 4 ) 朋 ( 注：此事实的证明与定理2 5 中的证明类似，但要注意偶函数照堕在对称区问 上有相反的单调性) 设恤。) 是c p s ，序列，则存在c ，0 使得 l ( u n ) 。到“一0 24 f o ，“一) a x sc ( 3 5 ) c ，u 。) ，“。，一忆i i 2 ，( 训。o 迅。o ( 1 ) ( 3 6 由于q 有界，f ( x ，t ) 次i 临界，通过引理1 3 只须证舡。 在日：( q ) 中有界，反 设0 “。0 山+ 。，令 p 篇，州以= 哿 ( 3 ，) o 。丽m 引 2 而 u q 显然， ) 在何：( q ) 中有界，通过抽子列的办法我们有 虬山w 于h ：( q ) ，w n 山w a e 于q w n 生呻w 于l 2 ( q ) 如果j i “0 山+ o a ，则吣) 一0 事实上，我们令q 。- 如q ：w o ) - o ) ， q ：口q ：吣) o ) 显然，f l q ( 3 7 ) 知，l u n o ) i 山+ * 口量于q ：，注意到 f 。+ o 。，则对任合固定的k ) o 及充分大的，l ，我们有上唆k 对x q ：一致 成立，由此通过( 3 6 ) ，( 3 7 ) 我们有 4 c i r a1 1w 1 1 2 - 熙正笔咄2 出乏熙正：学2 出 k 鲰正，k 2 d x “设d x 由w “) 0 于q ，及k ) o ( k 可以充分大) 于是j ，l q 2 = 0 ，从而，w - o 于q 裴瑞吕：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 然而，如果w ；0 ，则l i r ac ，0 ，o ) 协= 0 相应有 2 j u i ( w ) ；昙l i iz + 。( p ；2 c + o ( 1 )( 3 8 ) 通过l l “。l l l ，+ 。，我们得到f 。一o ，n 一+ m ；则从( 3 4 ) ，( 3 5 ) 推知 j ) ：，( 1 n u n ) ；錾+ m ) ；。，。一+ 。 z 甩 ( 3 9 ) 显然( 3 8 ) 9 ( 3 9 ) 相矛盾于是仁。 在t 4 j ( a ) 中有界 综上所述，由引理3 3 知方程( 2 1 ) 有无穷多对解 注1 ：此结果中，满足的条件( 超线性) 比前言中著名的( a r ) 条件弱，从而它是文 【3 】中定理9 3 8 的推广 注2 ：证明过程中的c 为不同情形下的常数 下面我们考虑共振情形下的渐近线性问题，方程( 2 1 ) 中的厂可写 f ( x ，t ) = 椰+ g ( x ，f ) ，并对g 做如下假设： ( h 7 ) 对0 a 0 ，g ( x ，t ) e c ( f 2 尺) ，g ( x ，- f ) 一一g ( x ，f ) ，v x q ，t e r ， 有下式成立 i g ( x ，f ) j sc l ( 1 t i o + 1 ) ，工g - 2 ，t e r ( 日s ) i iv i i 2 4j l g ，v 皿_ 一。，( v e ，i i v i i + 。) ( h 。) 设存在一个整数m z 1 ，有 k 一 c j 鳃丛竽对z q 一致 定理3 4 设( 日，) ，( h 。) ，饵，) 成立，方程( 2 1 ) 至少有2 m 对非平凡解 注：在条件( 日，) 下方程( 2 1 ) 在穷远处对 发生振 证明由舛，) 知0 ) 为日：( q ) 上的偶泛函对“e h ：( a ) 作如下分解，令 i k 勖v t f ，办p 。，f i = u - 孑 ( 3 1 0 ) 其中妒i 为人的特征函数显然牙e ，盯e 1 ，设y s p a n v 1 ，v 2 ，v 。) ，由 2 0 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 ( h 。) 知存在 0 ，6 0 ，使得 ( k 一+ e ) t 2 s t g ( x ，t ) ，l t i 6 ，x e q 从而我们有 去( k 一 + e ) f 2 s g ( x ，f ) ，i t l 序列由于q 有界，( x ，i ) 次临界故只须证昼 在h ：( q ) 上有界由 c ，o ) ，妒，_ v u 。v 呼出噶f ( x ，) 咄j 。( 1 1 妒i i ) ，v 妒日：( q ) ( 4 2 ) 若l “。l ：一致有界在( 4 2 ) 中取妒叫。，并注意到口o ) r ( q ) ，由( 吼) 知3c 使 得i 厂g ) k c i i ，口f q 推出协 在础( f a ) 中有界，反设i j 2 一m ，令 k f 。= 斗，那么l v 1 ：一1 由( 4 2 ) 式取r p k 知0 k0 有界 i u 。1 2 设v n 弱收敛于y 于日：( 哟，由硪( q ) 紧嵌入到r ( q ) 中，我们有一y 于 工2 ( q ) ，v ! 生一y 于q ，在( 4 。2 ) 式两端除以l n 。k 得 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 f w v q 矗x - cf 一( x , u ：) 咄- o 躲) 猁隋帮刊咖+ ，a e x e q 其虬一a x 邶) 事实上，当v ( x 1 0 时 华掣：盟盟- g ) 。 hi ： “。 ” 群圳叫一。， 当v ( x 1 九。，a 1 时，方程( 2 1 ) 总有 一个正解 注1 ：证明与2 的定理2 2 类似，略 注2 ：若p o ) ：，o ，目o ) ；f ，则a 一争，则2 的定理2 1 ，2 2 分别变成4 1 ，4 2 的推论 注3 ：2 的其它结果亦可推广( 略) 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 5 p 一拉普拉斯方程的渐近线性d i r i 。h l e t 问题 本部分，我们要研究p 拉普拉斯方程具有d i r i c h l e t 边界条件的正解的存在 性，是2 的推广 考虑下述p 拉普拉斯d i r i c h l e t 问题( p 1 ) 卜0 ) z d i v ( 1 v u i p - 2v u ) = f ( x ，“) ，x e f 2 i “e w 0 1 , 9 ( q ) 其中q 是尺”( 之1 ) 中的有界光滑区域，满足下列假设 ( 5 1 ) ( ，) ( 参看2 ) 僻：) l ，i m 。f f ( ，x 一, 。t ) = ，。；脚号掣= ，对a e x e q - - 致成立，0 和f 是两个 常数，且都属于 o ，+ 。) ( 以) ；鳃 ，( x , t ) t p f ( x ，f ) ；+ m 对4 e x tr a 一致成立 我们定义w ( q ) 上的范函数为 一咀刚出) i 及p ( q ) ( 1 墨pc + m ) 中范数为 h i ，一呕d x ) i 设 是一。在瞄9 ( q ) 的第一特征值，即 k 磐器 众所周知，0 ，且的特征函数t f ，。，0 注：若p 一2 ；人们易知一a 2 一有一列离散谱0 九 o ，v s ，0 ，但 j ：( ，断d s t m ，m ) = j ：卢( r ) d t 成立，n u 在q 上不恒等于0 ，它就在q 上处处大于0 引理5 2 设审，0 是的特征函数，且4 妒。忙1 及( h 。) ，畔：) 成立，当 ，0c 厶时有 0 ) 存在_ | d ，a ，0 使得， ) 苫a ，v u 以9 ( q ) ，f l - i i “忙p p ) 当f 一。及l ( 2 a + m ) 时，k n p 。) 一一 证明若z ( 厶+ m ) ，由( 日。) ，( h ；) 知对v ，0 ，存在a a 0 ) 2 0 ； b a b ( s ) 使得对所有。却q x r 及q ( p ，毒兰) ( ) p ) ；q ( p + m ) ( 1 5 n s p ) 我们有 及 f ( x ，j ) sl f f 。+ s ) s ，+ 爿5 一 p ( 5 3 ) f ( x ，s ) l ( 1 一s 弦，一b ( 5 4 ) p 选择适当的，0 ，使得，0 + ec ，由( 5 3 ) 及旁加来不等式，勋6 d 州不等式 荆= ! p 1 1 钏9 一譬，。口pp 裴瑞昌：渐近线性d i r i c h l e t 问题正解及多重解的存在性 ：三( 1 一壹兰) 怕i i 一- a k i i 。i i - pp 因此只要选充分小的p ，0 ) 就可证 另一方面，当t e ( ；q + o 。) ，可取，0 ，使l s ) 并结合( 5 4 ) 有 k u ) ；1 1 1 “1 1 ，一1 - el “i 。，+ 8 1 a l 由l 一) 及0 妒。i l = 1 ，有 ，o 妒。) s - 1 ( 1 一三；三弘，+ b l a l ，一。，f 一。 定理5 1 若条件( q ) ，：) 成立，当，0c c lc + m ，l 不是一，在 w ( q ) 的任何特征值时，问题( 5 1 ) 总有一个正解 证明由引理5 2 知，山路引理的几何条件全部成立，只须证满足t p s ， 条件 设恤。) 是c p s 序列，由于q 有界， ，f ) 次l 临界，故通过标准证法只须证 4 。 在坩，( q ) 上有界，由 c ，o 。) ，妒，；正i v “。r 2 v u 。v 华出一正，o ，) 础 一o ( i i 妒| d ，v 妒舌( q ) ( 5 5 ) 若k l 。有界，在( 5 5 ) 中取妒一“。，并注意到当f t + 。时，通过( 碰) 知存在c 使得 i f ( x ，“。) isc i “，1 9 ，由此推出恤。) 在一( q ) 中有界，反设l “。l ，一+ m ，令 v 一而u n ，酬i _ 1 邮5 ) 式取妒。匕，知| | 吒i i 有界 设v 。与v 于咿( q ) ，由以( q ) 紧嵌入到f ( q ) ，g 【p ，毒兰) ( ，p ) 或 q e p ，+ m ) ( 1 主n 0 ；是s o b o l e v 嵌入最佳常数，c o 由下 文得) ，则通过条件僻：) 有r ，0 使得 i ( x ，f y p f g ，t ) k ，t t ，a e x e q 对上述r 0 及，l 1 令 a 。一忸q ：b 。忙r