（应用数学专业论文）hp中拟微分算子的谱.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 微分算子理论是泛函分析理论庞大的一支，而谱理论又是其核心近几十年来， 人们在中的微分算子谱理论的研究中取得了丰硕的成果，自然有发展的必要多 变元h 一空间是勒贝格空间驴的推广，其上的应用也逐渐为人们所关注( 在许多和 f o u r i e r 分析相关的问题中，日p 是较p 更为合适的空间人们在s c h r s d i n g e r 算子 一+ i 的研究中同样成果卓著，数学物理的研究也为一+ l 赋予了深刻的含义 “ 本文的主要目的就是在日p 空间中讨论一些和微分算子的谱以及和数学物理相关的论 题开展此项工作的优点之一是它既能去认识h p 也能去认识扩 全文共分两个部分：第一部分讨论日p 空间中拟微分算子的谱；第二部分讨论和 偏微分算子的谱相关的论题在第一部分中，首先给出了日p 中拟微分算子的基本性 质；其次研究了拟微分算子的各种谱，包括点谱，连续谱，剩余谱，本质谱和近似谱等 等，得到了其完整的刻划；接着讨论了乘法算子相对于拟微分算子的扰动，证明了在 一定条件下不存在乘法算子对拟微分算子的非平凡扰动；最后将日，中关于拟微分算 子的谱的部分结果平行推广至一空间在第二部分中，首先给出了偏微分算子的谱 的若干基本结果，然后特别对l p ( p 2 ) 中偏微分算子的点谱做了较为细致的研究； 其次给出了一些具体偏微分算子的例子，着重阐述其点谱的情形；最后是关于f o u r i e r 变换的两个注记本顼工作的主要特点是其将调和分析之曲面上的f o u r i e r 变换估计 和泛函分析之微分算子谱理论有机地联系了起来 关键词：h p 空间，l v 空间， 谱，微分算子，拟微分算子，偏微分算 子，r m r i e l 。变换 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e o r yo fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r si so n eo ft h em a j o rb r a n c h e so ff u n c t i o n a la n a l y s i s w i t hf o c u so ns p e c t r a lt h e o r y a b u n d a n ta c h i e v e m e n t so ns p e c t r a lt h e o r yo f d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r si nl 9s p a c e sh a v eb e e no b t a i n e di nr e c e n ty e a r sw h i c hn a t u r a l l yd e s e r v ef u r - t h e rd e v e l o p m e n t h ps p a c e sw i t hs e v e r a lv a r i a b l e sa r et h eg e n e r a l i z a t i o no fl e b e s g u e 9s p a c e sa n dt h ea p p l i c a t i o no nt h e mh a v eb e e ng r a d u a l l yp a i dm o r ea t t e n t i o n h 9 s p a c e sa r em o r es u i t a b l et h a n 2s p a c e si nm a n yt o p i c sr e l e v a n tt of o u r i e ra n a l y s i s g r e a tk n o w l e d g eo nt h es t u d yo fs c h r h d i n g e ro p e r a t o r 一+ vh a v ea l s ob e e na c h i e v e d a n dp r o f o u n ds i g n i f i c a n c eh a sb e e ne n d o w e dt o 一+ v b yt h es t u d yo f m a t h e m a t i c a l p h y s i s t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si s t os t u d ys o m et o p i c sr e l e v a n tt os p e c t r a l t h e o r yo fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c si nh 9s p a c e s t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w o p a r t s t h ef i r s tp a r t s t u d i e ss p e c t r ao f p s e u d o - d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r si n h 9s p a c e s t h es e c o n do n es t u d i e ss o m er e l e v a n tt o p i c so ns p e c t r ao f p a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s i nt h ef i r s tp a r t ，b a s i cp r o p e r t i e so fp s e u d o d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r si nh ”s p a c e sa r ep r e s e n t e df i r s t l y , f o l l o w e db yt h es t u d 5 o fs e v e r a lk i n d so f s p e e t r n mi n c l u d i n gp o i n ts p e c t r u m ，c o n t i n u o u ss p e t r u m ，r e s i d u a ls p e c t r u m e s s e n t i a l s p e c t r u ma n da p p r o x i m a t es p e c t r u m i np a r t i c u l a r ，c o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h e s e k i n d so f s p e c t r u n la r eo b t a i n e d t h eq u e s t i o no fm u l t i p l i c a t i v eo p e r a t o r sw i t hp e r t u r b a t i o nt op s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa r ea l s od i s c u s s e da n di ti sp o i n t do u tt h a tt h e r e a r en o u t r i v a lp e r t u r b a t i o nu n d e rs o m ec o n d i t i o n s f i n a l l ys o m er e s u l t so ns p e c t r ao f p s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r si nh ps p a c e sa r ep a r a l l e l yt r a n s l a t e di n t ol ps p a c e s i n t h es e c o n dp a r ts e i n eb a s i cr e s u l t so nt h es p e c t r ao fp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa r e g i x a l lf i r s t l 3 i np a r t i ( u l a r w eg i v ead e t a i ls t u d yo fp o i n ts p e c t r u mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r si nl p ( p 2 1s p a c e s w et h e ng i v es o m ec o n c r e t ee x a m p l e sw i t hf o c u s o np o i n ts p e c t r m na n dc o n c l u d et h ep a p e rw i t ht w or e m a r k so nf o u r i e rt r a n s f o r m s k e yw o r d s ：h ps p a c e ，驴s p a c e s p e c t r u m ，d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，p s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r p a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，f o u r i e rt r a n s f o r m 华中科技大学项士学位论文 1 绪论 长期以来，微分算子理论一直为人们所关注常系数与变系数的，线性与非线性 的，有界域与无界域上的微分算子理论构成了泛函分析理论中庞大的一支而常系数微 分算子，拟微分算子，f o u r i e r 积分算子，s c h r s d i n g e r 算子则是具有代表性的几种微分 算子常系数微分算子是最基本的微分算予，它联系着通常的微分概念，近代其和广义 函数理论 1 的联系使其获得了巨大的发展【2 】拟微分算子理论为 3 】所开创，f o u r i e r 积分算子理论为 4 ，5 1 所开创，它们的基本研究成果集中在 6 8 1 s c h r s d i n g e r 算子 一+ i 则是和数学物理的研究联系在一起，近百年来常盛不衰围绕s c h r s d i n g e r 算 子的研究主要集中在一+ i 的自伴性，谱分析和粒子的散射性态这方面的基本工 作成果汇于 9 1 1 算子的谱的概念是有限维矩阵的特征值概念的推广力学，物理和工程技术中的 大量问题在一定的条件下可归结为数学上代数方程，微分方程，积分方程或微分积分 方程等的求解问题在对这些方程求解问题的研究获得丰富成果的基础上逐渐形成了 一般的算子的谱的概念对于微分算子理论的研究而言，微分算子谱理论的研究一直 处于其核心地位k a t o 1 2 关于扰动方法的研究，s c h e c h t e r 1 3 关于中常系数 线性偏微分算子的谱的研究，s i m o n 1 4 ，1 5 】关于s c h r s d i n g e r 半群和奇异连续谱的研 究， d a 、i e s 1 6 1 8 1 关于半群热核和高阶椭圆微分算子的研究，以及v 、b n g 1 9 2 1 】 关于中拟微分算子的谱的研究等诸多工作构成了近代微分算子谱理论研究蔚为壮 观的篇章其它一些较为经典的工作还有 2 2 25 h l , 空间，又称哈代空间，是勒贝格空间( p ) 以外重要的函数空间之一在f o u r i e r 分析中，有许多定理对l p ( p 1 ) 成立，对工1 并不成立，但对日1 ，相应的结果却是 对的典型的例子有h a t 一l i t t l e w o o d 定理( 2 6 】) 和m i y a c h i 乘子定理( 1 2 7 ) 在讨论 许多和f o u r i e r 分析相关的问题中，h p 是较p 更为合适的空间( 0 p 墨1 ) 同时， h 一上的应用也逐渐为人们所关注微分算子可纳入f o u r i e r 分析的框架中，本文的主 要研究对象正是日p 空间中的拟微分算子及其相应的谱这样做的优点之一是它既能 去认识h 一也能去认识本项工作的主要特点是其将调和分析之曲面上的f o u r i e r 华中科技大学硕士学位论文 变换估计和泛函分析之微分算子谱理论有机地联系了起来基于类似观点的相关工作 还有f 2 8 3 0 1 全文共分成两个部分，具体安排如下： 第一部分是关于日p 空间中拟微分算子的谱的讨论首先给出了拟微分算子的谱 的若干基本性质；然后对点谱做了充分必要的刻划，并由此彻底决定了其相应的连续 谱，剩余谱；随后还论证了谱和本质谱，近似谱的关系；最后讨论了乘法算子对拟微分 算子的相对有界扰动，并将h p 空间中拟微分算子的谱的部分结果平行推广至空 间 第二部分首先给出了拟微分算子的特款偏微分算子的谱的若干基本结果；并在p 中对偏微分算予的点谱做了较为细致的研究，证明了非常值偏微分算子在l p ( p 鲁情形肯定地得到了一些正面结果；最后是关于f o u r i e r 变 换的两点注记，它们本身对整个论文的主题没有什么贡献，但其处理手法还是饶有趣 味的 2 华中科技大学硕士学位论文 2 拟微分算子的谱 2 1 预备知识 一些常用记号：x 胛，d = ( d t ，d 2 ，d 。) ，其中b = - i o o x j 0 = 1 2 n ) v a v 譬，z o = z 0 1 x 0 2 2 0 “，d o = d 0 1 d 0 2 d o “，i d i = o l + 0 2 + + c 。这里= n u o ) 分别以s ，只c ? ，d ，e ，扩表示舻上的缓增函数，缓 增分布，紧支光滑函数，分布，连续函数和p 次可积函数空间西s 的f o u r i e r 变 换记为f o 或o 即西( f ) = 如。e - i 0 x r “) 以及 ，+ ( f ) = s u pi ( ，+ 妒f ) ( z ) l ( x r “，s ) 定义h p = ，s 7 l ，+ l 9 ) ( o p 1 时，在等价范数意义下h p = l p ；p = 1 时， 日1 是一b a n a c h 空间且h 1cl 1 ：0 p 1 时，日是一f r e c h t 空间，”嗡，是 相应的拟范数在这一章前三节中总作0 o ) 是q ( d ) 的算子核 取定，f a 由引理2 1 1 ( b ) 3 9 k s c ，g k - - 1 f ( k _ + o 。) 于是 i i ( g k ) r 一，f l l h sl i v ( t ) l i 。，1 1 9 一：i i h 一 0 ( 。) 1 i q ( d ) ( f l k ) t q ( d ) i i h 一1 1 妒( t ) q ( ) i i m ，1 1 9 女一，1 1 日一 0 ( 。) 故1 3 ：= g ，lg 曼t 0 也是q ( d ) 的算子核但1 3cs c 即s c 是q ( d ) 的算子 核 注意s n h p = ，s l ( d 。，) ( o ) = 0 ：i q | n ( p 一1 ) ) 易验证s ccs n 俨 q ( d ) ( s n h 9 ) cs n h p 由s c 是q ( d ) 的算子核，即得s n 日p 是q ( d ) 的算子核 取定# s f - 1 f c ，妒( 0 ) = 1 仿照& 是q ( d ) 的算子核的证明，即可证得 ( ? c n h p 是q ( d ) 的算子核 ( ) ) 这里证明的关键是a p ( q ( d ) ) 兮i ( a q ( f ) ) 州，但这可由引理 2 12 ( d ) 简单推出 推论2 2 2q ( r “) c 盯( q ( d ) ) 证明：仅需注意州。cl ”，结合定理2 2 1 ( b ) 即得 注2 ：在”中与定理2 2 1 ( b ) 相对应的结果可见【1 3 5 华中科技大学硕士学位论文 以下具体讨论q ( d ) 的点谱，连续谱，剩余谱，本质谱和近似谱 设a c 置、_ = f lq ( f ) = a ) ，v j = ，h p iq ( d ) f = a ， 性质2 2 3 ( a ) f j 净s u p p fc 慨 ( b ) 或者d i m l j = 0 ，或者d i m l j = 。 ( c ) t i l e s ( 啊) = 0 辛a 隹。( 丁) 这里d i m ij 表示线性空间h 的维数，r u e s ( _ ) 表示a i 的l e b e s g u e 测度 证明：( a ) 设，u 则f _ 1 ( q i ) = a ，即有( q ( ) 一a ) i = 0 由引理2 1 1 ( d ) 知( q ( ) 一a ) ，实际上为一连续函数，故上述在分布意义下成立的等式在逐点意义下 亦成立简单推导便有s u p p fc _ ( 1 ) ) 设d i l t l l j 0 以下去证d i m i j = o c 先证眠不是有限点集反证设m = f 1 5 f 取定u ( 使得妒在1 附近为1 ，且 已，靠) ns u p p w = 0 即 有s u p i ) ( t ，) = 1 ) ，0 f _ 1 ( 妒，) h 但由引理2 1 1 ( d ) 知砂，= f ( f “( 妒，) ) c ， 此矛盾上述分析表明m 是无限点集利用类似的截断方法可证得d i m i = 。c ( c ) 任取，1 j 由( a ) 知s u p p fcm 注意，为一连续函数，且r u e s ( 瓢) = 0 ， 故有，= 0 ，= 0 以下是点集拓扑学的一些基本术语：设x 是一个拓扑空间， 是工的一个子 集以j 表示 的内部，j 表示a 的闭包，a c 表示4 在y 中的余集熟知以下 基本结论：设 b 为x 的两个子集若 = b c ，则j = 哥：( 见 3 - ) 它将i l l ：f ：i ：a 下 关键性定理2 2 - 5 ( a ) 的证明同时，为证定理2 2 5 ( c ) ，还需准备以下引理( 见 2 8 ) 目i 理2 2 4 设0 u s c f r “h ， ( z ) = k - , p y ) z 。e 一。f 。，x 钟，n 则 ( i ) 对充分大的nf k f 曼 ( i i ) l i m k - - , 。l l f i i 肿 0 ( i i i ) f k n 1 在胃”中无收敛子序列 以下定理是本章的主要结果 定理2 2 5 ( a ) a 。i 。t ( q ( d ) ) 帆0 ( h ) 口，( q ( d ) ) = q ( r ” o ) 唧。t ( t ) ( ( ) ，。( q ( d ) ) = 口( q ( d ) ) 6 华中科技大学硕士学位论文 ( d ) ( q ( d ) ) = 口( q ( d ) ) 证明：( a ) 采用和性质2 2 3 ( b ) 的证明中类似的截断方法易证m 0 辛a 0 r p 。t ( q ( d ) ) 现设a 唧。t ( q ( d ) ) ，将证慨o 反证，设i = d ，即( 霹) 。= o ， 等价地职= r ”于是v z r n ，j 。k m ，= 1 ，2 ，满足_ z ( _ 。) 任取 ，l j ，0 由引理2 1 1 ( d ) 知，为连续函数因s u p p fc ，故，( 巩) = 0 即知 f ( x ) = 0 故f = 0 ，f = 0 ，此于假设矛盾 ( b ) 任取a 盯( q ( d ) ) q ( 舻) ，由性质2 2 3 ( a ) 知a q ( d ) 为单射任取，& ， 由f = ( a q ( d ) ) f f f ( a q ( ) ) ，知& r a n ( a q ( d ) ) ，即a q ( d ) 有稠值 域以上表明a a d q ( d ) ) ，即盯( q ( d ) ) q ( 舻) c 吼( q ( d ) ) 等价地有西( q ( d ) ) c q ( r “) 唧。i m ( 0 ( d ) ) 下证q ( r “ o ) o r p 耐。t ( t ) c 西( q ( d ) ) 任取a q ( r ” o ) ) 唧。i 。t ( 丁) ，即有f + 船 o ，满足q ( f ) = a 先设p = 1 ， 置0 。( r ) = p f 。r “同时易知8 p b m o = ( 日1 ) + ，且印不是b m o 的零元 素于是v o 擘n 日1 ： 0 = ( ( a q ( 一d ) ) 8 f ，咖) = ( 8 h ( a q ( d ) ) 毋) 因为( n 日1 是q ( d ) 的核，故r a n ( a q ( d ) ) 日1 ，即a 西( q ( d ) ) 再设 0 p 0 作f c 满足0 曼# s1 # 研= 1 9 舻b ：，= 0 于是， q ( d ) f k f 一a f _ = f 叫 ( q ( ) 一q 幢+ ) ) f ，p ) = f 一1 ( q ( ) 一q 幢+ ) ) ，( 女偿一+ ) ) f a = f 一1 - 南扩( q ( f ) 一q ( f ) ) ( f f ) 4 f f 7 华中科技大学硕士学位论文 一方面 即有 于是可知 扩“川三+ 。簪小叫”咪刊出 c ，( 幢一f ) ) - f f = a 1 t + a 2 d ，f = 以( k 一“9 妒( x k ) e 一。) = k - n p l ( d 。妒) ( ；) e l f 。+ 1 】f ，( ；) f + e 一 f 2 ) ：( d 一a f ( z ) = ； k - n ( d 驯( ；) e “卜。) 一4 ：f - l i 1 # 1 - 可- ( d 4 q ) ( + ) ( 一f t ) 3 f 一4 = 4 q ) ( + ) ( 一f + ) 3 f o ( 1 口k ，n ” = o 0 v o ，1 p 】+ 1 成立 s u pl a 。f ( ( f 一+ ) ) i ，k l 。 妊b ( 1 ，】 8 n d 岛， 一 l 3 ( n p 】+ 1 ) ，并应用引理2 1 2 ( c ) 知l | m 口，t i i m 。_ o ( k _ 。) 此即有 k l - i r a 。l i a 2 月，= o 综合即知i i q ( d ) a ，p a ，p i o ( 七- o 。) 由引理2 2 4 知 f ) 在日9 中无收敛子序列，故a 以。( q ( d ) ) ，即q ( f p ) c 盯。，。( q ( d ) ) 至于 仃( q ( d ) ) q ( r “) cg e 。( q ( d ) ) 的分析同 2 8 】，此处从略 ( d ) 设a q ( 舻) 由( c ) 的证明过程可见a c r a ( q ( d ) ) 再设a 盯( q ( d ) ) q ( 舻) 由( b ) 的证明过程可见a c r c ( q ( d ) ) 由定义2 1 3 ( c ) 知a ( q ( d ) ) 2 3 相对有界扰动 这一节讨论算子q ( d ) + i 并总约定 o m 考虑日9 中的线性算子1 ： d o m ( i ) = ，h 9 v f 俨) ， 州，) = v f ，d o m ( 1 ) 由伊qs 易知1 是俨中的闭算子 设4 b 是日9 中的线性算子，称b 相对于 有界，是指s a b 0 满足 ( i ) d o r a ( 4 ) cd o r a ( b ) ； ( i i ) l i b f l l 备，sa p i l a f l l ；r ，+ 6 p i l ，i i = r ，d o m ( a ) 并记b 相对于有界为b 定理2 3 1d o m ( 1 ) = h p 兮= c o n s t 证明：取定p ：0 0 ，v q ：i o i = k 一1 构造 函数 ：。( 加d 0 刍妒( 半) 一击掣( 罕) 则 扎。沁( f ) = p e 1 和1 一e - i 5 , m ) 西( ) 9 华中科技大学硕士学位论文 应用n e w t o n l e i b n i z 公式知( d 4 氩。，抽) ( o ) = 0 ，蚓k 一1 利用原子分解结构理论 ( 见 3 4 ，3 9 ) 即知g “沁h 9 于是v g = 。，t ，。h p 但是y 啦。，沁s ，于是任一 阶数不超过k 一1 的多项式p ( z ) 总有 ( g x l , x 2 , t 。p ) = 0 等价地 ( d 。 石1p i ( 字) 一击妒( 芋) 抄p ) = o 即 ( 刍口( 罕) 一击妒( 罕) ) ( _ d ) 叩p ) ) = o 令f 斗0 即有( 一d ) 。( 1 p ) ( 上- ) = ( - d ) o ( 7 p ) ( z 2 ) 此即v a ：l o l l = k 一1 ，都有 ( 一d ) “( 1 p ) = c o n s t 由引理2 3 2 ( 见下) 知v p 是一阶数不超过k 一1 的多项式， 但这里p 为任一阶数不超过k 一1 的多项式，故必有= c o n s t 引理2 3 2 设k n ，g c ”如果v 0 ：i a i = k ，都有o a g = c o n s t 则g 是一阶 数不超过k 的多项式 证明：这是多元函数带积分型余项的t a y l o r 公式( 见 1 】) h 归 藁。( 扩州小州q ! + 小- f ) i 歪。( 黝均“m 的自然推论 定理2 3 3i 。 q ( d ) 锌i = c o n s t 证明：设1 - 0 i o t i = k 一1 ) cs n h 9 即有acd o m ( 17 ) 利用定理2 3 1 的分析方法同理可证得= c o n s t 定理23 3 表明不存在非倍乘乘法算子对拟微分算子的相对有界扰动特别，设 1 + r 。，”，定理2 3 1 和定理2 3 3 的分析表明必不成立d o m ( q ( d ) ) cd o m ( 1 ) 以 下举例存在表明适当的1 可使d o , n ( q ( d ) ) n d o m ( i ) 稠于日p 1 0 华中科技大学硕士学位论文 例2 3 4 l ( z ) = e 。o 。z o ，n 。c 援弓i 【3 4 】知 岛：= 妒s r 矿妒( z ) = o ，v a w 是h 9 的稠子空间但明显 岛c 岛，s ocs n h pcd o m ( q ( d ) ) 故有s 0c d o m ( q ( d ) ) nd o m ( 1 ) ，亦即d o m ( q ( d ) ) nd o m ( v ) 稠于h 9 2 4 中拟微分算子的谱 和本章第2 节类似，可引入扩中的拟微分算子q p ( d ) ( 1 p 0 0 ) ( 这里引入下 标是为了突出中的拟微分算子的谱的性质和p 的范围有密切联系) ： ： d o r n ( q ，( d ) ) = ，l 9 if _ 1 ( q ，) l 9 ) ， q ，( d ) ，= f _ 1 ( q ，) ，d o m ( q ( d ) ) f e f f e r m a n 和s t e i n 3 1 1 引入的日p 实质上是日9 和p 的统一体运用统一的处理方 法，可使驴中的拟微分算子的一些基本性质对应于h p 中拟微分算子的一些基本性 质而成立，譬如成立如下两定理： 定理2 4 1 ( a ) q ，( d ) 是闭稠定算子，& c 都是q p ( d ) 的算子核 ( b ) a p ( q p ( d ) ) 专1 ( a q ( ) ) 叫p ( c ) ，1 j 兮s u p p fcm ( d ) 或者d i m l j = 0 或者d i m i j = 。 ( e ) 若k 为有限点集，则a 车d 如。t ( q p ( d ) ) ( f ) 设l p 2 若r u e s ( j ) = 0 贝0a 隹唧。t ( q p ( _ d ) ) 定理2 4 2 ( a ) 盯( q p ( d ) ) q ( r ”) cd j ( q ，( d ) ) ( b ) 一。( q ，( d ) ) = o ( v ，( d ) ) ( c ) 盯。( q ，( d ) ) = o ( q ，( d ) ) 以下仅给出为证定理2 4 2 ( b ) 所需的相应于引理2 2 4 的结论 g i 理2 4 3 设0 l s ，f r ” ，f ( z ) = k - - 妒( ) e 一惩。，z r ”k n 贝0 华中科技大学硕士学位论文 ( i ) l l f 忆一= i i 。t i i l 一k = 1 2 ，一 ( i i ) ，f ) k 、 在中无收敛子序列 证明：仅需证( 虬如若不然，不妨设 ，fg ，( 七_ 。) 一方面由i i 川l ，= 忪i b 0 ，及工pqs ，知，善0 另一方面由| | ，七，f l 肛：一n 扫i i 驴一o ( k _ 。c ) 及xl s ，知，兰0 此即得矛盾 1 2 华中科技大学硕士学位论文 3 相关论题 3 1 偏微分算子的谱 偏微分算子是拟微分算子的特款故前一章对拟微分算子成立的结论对偏微分算 子亦成立因此，我们有下述两定理： 定理3 1 1 设p 为一非常值多项式，则在h p ( o p 1 ) 中成立 ( a ) 口。f ( p ( d ) ) = 0 ( 1 ) ) 口，( p ( d ) ) = p ( r ”( d ) ( c ) 珥( p ( d ) ) = 盯( p ( d ) ) p ( r ” o ) ) ( ( i ) 口( p ( d ) ) = f l e a s ( p ( d ) ) = 盯。( p ( d ) ) 定理3 1 2 设p 为一非常值多项式，则在l p ( 1 p 。c ) 中成立 ( a ) o p 。i ( b ( d ) ) = 0 ( 1 p 2 ) ( 1 ) ) 口，( p p ( d ) ) = 0 ( 2sp 。c ) ( r ) 口( 弓( d ) ) p ( r “) c ( b ( d ) ) ( c 1 ) a ( 弓( d ) ) = o e 。( 0 ( d ) ) = o o ( b ( d ) ) 证明：仅需证定理3 1 1 ( a ) 由 4 0 】知v a c r u e s ( ? 氓) = 0 ，自然j = 0 应用 定理2 2 5 ( a ) 即有a 簪r t p o i 耐( p ( d ) ) 特别，定理3 1 2 ( a ) 和定理3 1 2 ( b ) 互为对偶结 论 取定，：2 p 。c 如果能够彻底决定唧讲。t ( 昂( d ) ) 则由定理3 1 2 ( b ) 可知 能够彻底决定西( b ( d ”于是p p ( d ) 的各种谱，包括点谱，连续谱，剩余谱，本质谱 和近似谱均能确定下来基于此分析，以下重点探讨2 p 情形b ( d ) 的点谱 首先作为定理2 4 1 ( e ) 的应用，有如下 推论3 1 3 设t l = 1 ，p 为- - ；i i e 常值多项式，则在p ( 1 p o 。) 中必有 i ，( b ( d ) ) = 0 证明：仅需注意任意一元非常值多项式只有有限实根即可 于是进一步知点谱研究的重点在于2 0 ，| 地。 0 ，使得 m e 8 ( ( i n b 。) d ) 地，。6 ，0 0 置 、。= f i d o ( p ( ) 一a ) = 0 ，v d o ( p ( ) 一a ) o ) 这里v = ( d 1 d 2 ，d 。) 显然m = u i 。i c 。a 。取定非空k 的一个开邻域k 使 得l 1 。( f ) ：= v d 。( p ( f ) 一a ) 0 ，比k 运用正则值原像定理( 见 4 1 ) 知。? i ( o ) 是 、：中的j f l 维光滑子流形，故有 hcu i 。l 。a - ，( 瓤n b 。) dc u l 。l 。( k n b 。) 6 对每( 、：nb 。) d 应用嵌入子流形的典范局部表示( 见 4 1 ) 及( knb 。) d 的紧性， 易证m r s ( ( ( vnb 。) d ) sj 厶。d o 0 ，v 6 ( 0 ，1 ，m e s ( 陆) sj ，j 那么对v f l p ( 2 p 0 于是v 西s ： f ( ( 1 一掣6 ) f 一1 西) g9 ( 6 叶o ) 注意( 1 一l 6 ) f 一o s - ：= u s ls u p p 0c 尼k ) ，故有 占i 砂s t , - 稠于l q 由 题设s u p p j c 可知 ( ，# ) = ( ，砂) = 0 ，v 妒s 故必有，= ( 】 定理3 1 6 设p 为一非常值多项式，则唧一( b ( d ) ) = o ，2 0 由定理2 4 1 ( t ) 知s u p p c - 于是s u p p 坑= s u p p ( 而，) c 地n b 。引用【j o 】知 n ( 、1 ) =