（应用数学专业论文）多维粘弹性方程解的存在性.pdf

分类号： udc ： 理学硕士学位论文 密级： 编号： 多维粘弹性方程解的存在性 硕士研究生：马慧 指导教师：刘亚成 学位级别：理学硕士 学科、专业；应用数学 所在单位：理学院 论文提交时间：2 0 0 7 年4 月 论文答辩时间：2 0 0 7 年6 月 学位授予单位：哈尔滨工程大学 哈尔滨t 稗大学硕士学位论文 摘要 本文分别用g a l e r k i n 法和位势井法研究了以下多维粘弹性方程 旷 喜，矶) z q r 0 在正定能量下和非正定能量下的初边值问题整体解的存在性。其中q 表示区 间( o 1 ) ( 对初边值问题及周期边界问题) 或( - 鸭* ) ( 对初值问题) 同时，对正定能量下的周期边界问题及初值问题也进行了研究，并在 盯o ) c 1 ，仃( s ) 下方有界的条件下，得到了整体强解的存在和唯一性，而在其 初值函数满足一定的光滑性条件下，得到强解的相应光滑性对非正定能量下 我们得到了解的真空隔离现象 关键词：多维粘弹性方程；位势井；整体解；存在性 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，m u l t i d i m e n s i o n a lv i s c o e l a s t i c i t ye q u a t i o n 一缸。一喜争o ，) ，= ，o ) x q r 。 i sc o n s i d e r e db yg a l e r k i nm e t h o da n dp o t e n t i a lw e l lu n d e rp o s i t i v e e n e r g ya n dn o n p o s i t i r ee n e r g y w h e r eqb e l o n g st o ( o ，1 ) i fi t i s i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dp e r i o d i cb o u n d a r yp r o b l e mo r ( - ，o o ) i fi t i si n i t i a lv a l u ep r o b l e m a n dt h ee x i s t e n c eo fg l o b a l s o l u t i o n sa r ee s t a b l i s h e d a tt h es a m et i m e ，p e r i o d i cb o u n d a r yp r o b l e ma n di n i t i a lv a l u e p r o b l e mo fe q u a t i o nu n d e rp o s i t i v ee n e r g ya r es t u d i e d 。u n d e rt h e c o n d i t i o n so f 仃o ) c 1 ，盯。g ) b o u n d e db e l o w ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h eg l o b a ls t r o n gs o l u t i o n s w h i l et h ei n a t i a lv a l u e f u n c t i o ns m o o t ha p p r o p r i a t e ，w eo b t a i nt h es m o o t ht h e o r e m so ft h e g l o b a ls t r o n gs o l u t i o n s b e h a v i o u ro fv a c u u mi s o l a t i n go fs o l u t i o n si s s t u d i e du n d e rn o n p o s i t i r ee n e g y k e y w o r d s ：m u l t i d i m e n s i o n a lv i s c o e l 8 s t i c i t ye q u a t i o n ；p o t e n t i a lw e l l s ； g l o b a ls o l u t i o n s ：e x i s t e n c e 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在本文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人的或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人或集体，均已在文中以明确方式表明。本文完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 妄堡 日期：2 唧年月沙日 哈尔滨下程大学硕+ 学位论文 第1 章绪论 非线性偏微分方程对于物理、化学、生物化学、工程科学、数理经济等 现实世界的应用有着实际意义，在过去的几十年里，随着各个领域所研究的现 象在广度和深度两方面的扩展，非线性偏微分方程的应用范围更加广泛，作为 其分支的非线性波动方程也得到了广泛的研究和发展例如在研究波的传播 和物体振动的实际问题中，推动了偏微分方程柯西问题及混合问题的发展；波 动方程对于量子力学的发展也有着重要的意义，它巩固了许多新兴学科理论 的地位：化学反应理论以及流体力学领域实际问题的研究推动了偏微分方程 的爆破理论的发展：而空气动力学等领域的研究也促进了边界层方程的有限 时间奇性的理论研究 1 1 非线性发展方程及其初值问题 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程，广义地说， 是包含时间参数t 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或 其他自然科学中用来描述随时间而演变的状态或过程狭义地说，它是指可以 用半群方法化为一个b a n a c h 空间中的抽象常微分方程的c a u c h y 问题来处理 的那些数学物理方程波动方程、热传导方程、反映扩散方程、k d v 方程、流 体动力学方程组等等以及由这些方程通过适当的方式耦合起来的种种耦合方 程组，都属于发展方程的范畴 常见的发展方程有：热传导方程及反应扩散方程：波动方程与克莱因一戈 a 2 。 登方程芸一a u + 珊：“= 0 及其非线性形式，例如正弦一戈登方程 0 管。 a 2 罢一+ m2 u = s i n u在量子力学中波函数所满足的薛定谔方程 讲 a ，娑+ a u = 0 及其各种线性及非线性的变体：以及描述粘性不可压缩流体运 哈尔滨l 。科人学硕+ 学竹论文 f 幽 一 动的纳维一斯托克斯方程组 p 百一膨群。矽一g r a d p , 式中p 为密度，p 为压 【讲w = o 强，声为粘性系数，= q ，“：a ，) 为速度珂= 2 或3 ，f 为外力密度，且记 坐：塑+ 9 群竺等等 d l a l 急la 】c 。? ? 非线性发展方程是非线性偏微分方程的重要组成部分，它的研究对象来 自物理、力学、生物等自然科学和工程科学领域，属于源头性的工作，是基础 数学研究的主流方向之一，具有重大的理论和实际意义，对非线性发展方程的 研究目前已得到了许多有价值的成果，对解决各领域的实际问题起了巨大的 现实指导作用 郭柏灵对现代物理力学中一些非线性发展方程( 组) 的数学理论作了深入 研究，具体涉及的方程有d s 方程、g i n z b u r g l a n d a u 方程、 l a n d a u l i f s h i t z 方程等，研究了一些方程的定解问题的适定性、奇异解的存 在性及其性质、以及无穷维动力系统奇异吸引子与惯性流形的拓扑结构，例如 时间周期解和拟周期解的存在性与稳定性、同宿轨道的存在性与不变性、同 宿轨道与异宿轨道的横截相交等，见文 1 卜 7 这些问题的研究解决不仅在 数学上极富挑战性，具有重大的理论意义而且它们在物理力学中亦有实际的 应用价值 李大潜、陈韵梅在非线性发展方程一书中系统介绍近几年提出的处 理有关非线性发展方程柯西问题的整体经典解存在性的有效方法及相应的重 要结果 姚正安教授对与流体力学n a m e r s t o k e s 方程，e u l e r 方程的相关理论及 其应用作了深入研究：对与铁磁体相关的l a n d a u l i f s h i t z 方程、薄膜材料及 其相关的非线性发展方程做了研究，见文 8 - 1 3 郑州大学非线性发展方程科研组对三阶玖上的非线性高阶发展方程作了 深入研究，这是国际数学界关注的热点问题之一，提出了解决著名的“坏 的”b o u s s i n e s q 型方程局部解的存在性与整体解的不存在性问题的新思想 2 哈尔滨t 程火学硕十学位论文 和新方案，见文 1 4 ， 1 5 ，在此类方程及与之相关的i b q 方程和i b m q 方程的 研究方面，取得了一系列突破性的重要进展，见文 1 6 ， 1 7 在对于具有非线 性应变、非线性阻尼和非线性源项的非线性高阶波动方程研究方面，创出了新 的途径，见文 1 8 _ 2 2 ：在此类方程整体解的存在性与不存在性及解的渐近 性的研究方面，取得了一系列类似于“门槛”的重要成果，见文 2 3 卜 2 4 ， 定量分析了诸非线性因素增长阶之间的相互制约关系及它们对解所产生的影 响，从源头上把握了问题的实质，具有深刻的物理与数学意义，得到国内外同 行的高度关注。 对线性发展方程来说，只要初值适当光滑，其c a u c h y 问题的解也必具有 适当的光滑性，而且在整个半空间t 0 上是整体存在的但对于非线性发展 方程，情况就根本不同了非线性发展方程的解，不仅仅是偏微分方程立论中 关心的重要问题，同时它还具有十分明显的物理应用背景，一些著名方程，如 力学，固态物理、等离子体物理和化学物理等领域中出现的一类非线性波方程， 需要求物理上有兴趣的钟状、纽结状的孤立波解 一般地，非线性发展方程的c a u c h y 问题的整体古典解通常只能在时间t 的一个局部范围存在，即使对充分光滑甚至还充分小的初值也是如此：相应地， 解在有限时间内失去正规性，而产生奇性，或者说，解或解的某些导数的厶模 当t 寸t ( t 为有限) 时它趋于无穷这一现象称为解的爆破( b l o w u p ) 因此非 线性发展方程的古典解的整体存在性一般是无法保证的这是区别于线性发 展方程的一个重要的特点但初始条件的厶模相当小时，则又可得到它的整 体解由此我们可以看到，对非线性发展方程而言，考虑下面两方面的问题是 相辅相成的 ( 一) 在何种条件下，所考察的非线性发展方程的定解问题( 包括c a u c h y 闯题，各种混合初边值问题及自由边界问题等) 存在着唯一的整体古典解并 在此基础上研究解的整体性态，特别是当t a 。时的渐进性态 ( 二) 在何种条件下。所考察的非线性发展方程的定解问题不存在整体古 典解，而必在有限时间内发生爆破现象并在此基础上深入考察解在爆破点的 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 性态，例如究竟是解的本身还是解的某一阶导数首先发生爆破，解在爆破点的 奇性特征以及爆破点集的性质等等 研究这两方面的意义是很明显的对一些重要的数学物理方程的解的整 体性态( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以解 的整体存在性为前提另一方面，如果发现解会在有限时间内爆破，而这种爆破 的性态不是相应的物理模型所允许的，就反过来说明所归结的数学模型有问 题，而必须加以修改；如果这种爆破的性态是相应的物理模型所允许的由于相 应的物理过程决不会终止于某一时刻，必定要继续发展，我们就必须在一个更 广的函数类中来考察问题的解( 例如空气动力学方程组，就要考虑到出现激波 的可能性，而在包含间断性的函数类中求解1 1 2 解的存在性及相关问题 波动方程的“整体( g l o b a l ) ”和“局部( 1 0 c a l ) ”解是指解在整个半空间 t o 或在0 点的右侧某个有限区间存在对于线性方程来说，例如热传导方程， 只要初值适当光滑，其初值问题的解也必具有适当的光滑性，而且对于t 2 0 解是整体存在的，但对非线性方程来说情况则不同，一般地，非线性抛物方程 初值问题的整体古典解通常只能在时间t 的一个局部范围中存在，即使对于 充分光滑的初值也是如此 偏微分方程的基本问题之一是研究各种初边值问题的解的存在性，而退 化的和其它奇性的方程一般都不具有古典解，s o b o l e v 空间引入为求解初边 值问题提供了有效的途径研究这类方程的第一步就是选取适合于方程特点 的s o b o l e v 空间或其它类型的函数空间来定义广义解，在远为广泛的函数类 中寻求方程的解，比直接求古典解容易得多如果在这样选取的函数空间中， 解不仅是存在的而且是唯一的，那么这就是一个理想的函数空间在得到弱解 后，在进一步讨论这些解是否具有更高的光滑性，是否也是古典解，这就是所 谓的正则性问题无论是从理论上还是从应用上总是希望能找到使解唯一的 最弱的函数空间，同样也希望知道解最好的正则性如何，函数空间的选取还用 4 哈尔滨下程大学硕十学位论文 于对各种逼近问题作必要的先验估计，也是进一步研究解的性质的基础研究 解的整体存在性的意义是非常明显的，对一些重要的方程的解的整体性态( 例 如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以解的整体存 在性为前提 特别提到的是，s a t t i n g e r ( 2 7 ) 于1 9 6 8 年建立的稳定集为了构造整体 解，稳定集的概念，在 2 6 ， 2 8 。 2 5 中被使用s a t t i n g e r 考虑了初值问题 “一a u + ，( 工，“) = 0 工q 甜= 0工e 加 其中q 为有界开集，且”，”，在t = 0 处的值给定结论是：对厂加以一定的限制， 可以得到此问题的全局弱解在此之后，t s u t s u m i 2 8 于1 9 7 2 年考虑了在r ” 中的有界开集q 上的方程 “，= 口u + u 1 + 4 如果在q 内，u ( x ，o ) 0 ，u ( x , o ) 鲥9 ( 锄且在砌上“= 0 ，则对于 p 2 + a ，无需要对u ( x ，o ) 加以进一步的限制就能得到一个非负的全局解：而 对于2 p 2 + a 的情形，要求 o ) 足够小才能得到同样的结论如果 2 o , x q ，r 0 在这篇文献中，作者首先用新的方法得到了位势井深度d 的值，并且首次得到 了位势井内外结构而后用位势井方法得到了问题的整体弱解，整体强解的存 在性最后证明了位势井形及井外集合矿在问题的流之下的不变性这篇文 章是在位势井方法提出之后又一次实质的发展 文 6 0 中，刘亚成又在原位势井理论的基础上加以改进，利用新的方法引 进了位势井族，并给出了这族位势井的性质，而后利用这族位势井得到了一些 完全新的整体弱解与强解的存在定理。最后，讨论了解的不变集合及真空隔离 现象 在本文中，分别利用g a l e r k i n 和位势井方法研究了以下方程 驴觚一喜争。，l = 朋 u ( x ，o ) = “。( x ) ，“，g ，o ) = ，0 0 “( o ，) = “( 1 ，f ) = 0 s x e q r 0 工q ( 1 - 1 ) ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的初边值问题其中q 表示区i 、日j ( o ，1 ) ( 对初边值问题及周期边界问题) 或 ( _ o d ，。) ( 对初值问题) 本文主要研究内容可以从两个方面进行阐述一方面，对于已有方法的理 论基础进行新的探索与完善：另一方面，我们用这种改进的方法得到一些新的 更好的性质具体分两种情况讨论了问题( 1 - i ) - ( 1 - 3 ) 的解的整体存在或不存 在性一方面用g a l e r k i n 方法讨论了问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 在正定能量下整体强 解的存在性唯一性，并给出了整体强解存在的几个充分条件：然后，证明了整 体解的光滑性：另一方面。当能量为非正定时，利用现有的分析手段结合改进 了的位势井方法研究了问题整体可解性，得到其整体弱解的相应形式从而拓 展已有结果的条件，加强该系统的认识深度 以上是本文研究的重点问题，围绕这些问题同时会产生一些相关的研究 其中有些属于预先研究，而有些属于跟踪研究这些研究注重于重要问题中非 关键步骤地完善与改进，或新方法的推广 本文中，用0 虬表示( q ) 模，r ( q ) 模又简记为9 - l ，w t 9 模用l 。l 。，表 示及( ) = i ： f 池 引理1 1( s o b o l e v 嵌入定理) 设q c r ”为有界域或无界域，且具有锥 性质，则 ( i ) 如果印玎，则w ，( q ) 可嵌入到口( 回中，此时当印 n 时，q 善冬：当咖= 疗时，p q o o ，且有l “虬 玎，则k , p ( q ) 可嵌入到c ( 五) 中，且l l u l l 。- c , 1 1 i i 咖 其中常数c ，c i 与甜无关，与七，n , p ，q 有关 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 模删r 0 ，( n n + 帆忆( 山恤 ，则嵌入形_ r ( o ，丁；厶q ) ) 是紧的 证明在【6 1 】的定理5 1 中，i ( b o = h 1 ( q ) ，口= 马= 厶( q ) ，p 。= p 。= 2 即得 1 0 哈尔滨l ：程人学硕+ 学 市论文 第2 章方程的初边值问题，周期边界问题与初值问 题 本章利用g a l e r k i n 方法，研究方程( 1 - 1 ) 的初边值问题，周期边界问题及 初值问题，在“。g 1 g ) 日2 ) ( 对初边值问题为日2 n 叫) ，盯c ，盯f ：y 有界的条件下，得到整体强解的存在与唯一性，而在初值函数及仃满足一定的 光滑性条件下，得到了强解的相应光滑性最后讨论了周期边界问题整体强解 的存在性与光滑性 2 1 初边值问题，强解的存在与唯一性 在本节中，我们考虑当函数，0 ) o 及( 2 - t ) ，( 2 2 ) 的任意解“，仁f ) 均有估计 k h 2 置 f o 。皿s 岛 驰。9 2 d r s 易 g 0 ) s 目( o ，s d ( 2 3 ) 其中，g ) = 芝r 吼g 皿，q g ) z 以) 一七o s 一仃( o ) ，k o = m i n c o ，o ： g = f 厂白弦巧，s b ) s ( 2 - 7 ) 一2 ( c r ( u 。l ，材。) - - - 2 ( 盯0 。k 。，。) - - 2 c o i l “。9 2 2 ( f ( u 。) “。) - 2 c o 陋。1 2 代入( 2 6 ) ，并对t 从0 到，积分，得 陋。1 1 2 肛。( o 】1 2 + 2 1 0 。，甜。弦r 一4 c o 剧“。i 2 d r ( 2 - 8 ) 由分部积分 2 f 0 。，“。p r = 2 q 。) 一2 0 。( o ) 一。( o ) ) + 2 i 她。1 1 2 d r s 2 l 卜。1 1 2 + 去肛。8 2 + 肛。2 + 1 1 “。( 0 ) l | 2 + 2 1 1 1 ”。1 2 咖 代入( 2 8 ) ，得 她。1 2 2 肛。( 0 2 + 4 i 扣。删2 + 4 陋。0 2 + 4 剧。0 2 d r 一8 c oi l l “。0 2 d r 由假设及引理2 1 ，上式右端前四项均对n 一致有界，从而 陋。8 2 m ，+ 膨i 。1 2 d r 由g r o n w a l l 不等式，即得( 2 - 6 ) 推论在引理2 1 条件下，有 l 。i ：毛，i 卜。1 l + l p 。0 。s 毛 ( o s f 丁) ( 2 9 ) 证明由引理2 i ，引理2 2 ，引理i i 即得 引理2 3 若满足引理2 1 条件，g tu 。联n 2 ，并选取初值啦，使 “。g ，o ) 3 “。g ) ，则有 j 豇。1 1 2 + 陋。8 2 e ，f 睁。，1 2 d fs 乓 ( 2 一l o ) 证明在( z 一1 ) 两边同乘口。“o ) ，对s = 1 , 2 ，a 求和，并令r = 0 ，得 0 。( 0 ) 。( o ) ) = 0 嘶( 0 ) ，甜肌( o ) ) + p 0 胁( o ) l ，“脚( 0 ) ) + 驴0 ( 0 巍“脚( o ) ) i 卜。( o ) 1 1 2 0 b 。，( 0 1 | + 盯0 。( o 溉+ 0 。( 0 ) ) 】k 。( o 】j ( 2 1 1 ) 由假设 i b 。( o 陋。( o 翊，厂0 。( o ) ) + 厂0 。) 忙0 。( 0 ) ) j 0 = 妙0 。( o m 。( o l i l p 0 。( 0 叫l 怯。( o | | 。，l p 0 。，( o 叫l 0 。( o 】l 故( 2 - 1 1 ) 右端括号内两项均对n 一致有界，从而 陋。删娥 把( 2 - 1 ) 改写为 。，q ) 一( ”。，q ) ( 盯g 。) ，够。) = ( ，b ，) q ) ( 2 - 1 2 ) 将( 2 1 2 ) 对l 求导，两边同乘口“( f ) ，再对s = l ，2 ，a 求和，得 。，l f 肌) 一 。，”，) 一p 0 。l ，“。) = u 0 。) ，“。) 两边同加一 。，。) ，分部积分，得 丢2 + 2 】+ 2 | i ”。0 2 = - 2 p 0 。l ，“。) + 2 0 。，村。) + 2 驴0 。l “。) ( 2 - 1 3 ) 由h o l d e r 不等式及y o u n g 不等式 一b 0 胁l ，“删) = 一p 0 胁- 盯，甜。) l 盯0 。舭肛。肛晰0 1 6 s 去m n 掰m 4 2 + 弘。8 2 o m ，“脚，) i i “m m l 妻肛m i l 2 + 詈肛一0 2 纱0 。) 帮。) s 0 。，“。) = 缸。，挺。) i l u m l n l “一o s m 卜争一1 1 2 取= ，将上述估计代入( 2 1 2 ) ，可得 。h “。1 1 2 】+ u “。1 1 2 m ，2 + 。1 1 2 两边从0 到f 积分，得 h 8 2 + k 卜伽。8 2 d r s h 蜥+ 肛m ( o l l + u 咖m 陬+ 去肚m 陬 已证肛。( 0 1 2 对一致有界，而由假设知陋。( 0 1 2 一慨，4 2 ，故陋。( o 2 d z x 寸n 一致有界，又由引理2 1 ，陋。9 2 x c n 一致有界从而 n 1 2 + | | 甜。0 2 + m 。0 2 d r m 6 + 鸩m 。陋d 由g r o n v a l l 不等式，可得 n k 0 2 + 肌。0 2 d r o ，问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 都存在【o ，t i 的整体解u 。b ，f ) 1 8 哈尔 冥1 样大学硕十学位论文 由引理1 1 ，引理2 卜引理2 4 及列紧性原理可知，存在伽，g ，f ) ) 的子序 列，仍记为函。g ，) ，使 b ，) - - - - h 甜b f )：r l ( o ，r ；h ：q ) n 日2 心”弱 收敛， 甜。g ，) _ 珥k f )于三( o ，r ；或q ) n 日2 q ) ) 弱 收敛， “。x , t ) 一g ，t )于工( o ，t ；l ：( q ) ) 弱木收敛，且于r ( o ，r ；日；( q ) ) 弱收敛 在( 2 一x ) 口- - d ( t ) e c o ，并对f 在【o ，r 】上积分，得 r o 。一”。，d o ) c a , ) d t = r b o 。l + ，o 。) ，d o h 协 令n 一，则 r o 。一“。，d ( ，h jr o 。一u x u ，d o h f 【，o 。) ，d ( f ) q 寸r ) ，d ( f ) 吐 f p o 。l ，d o h 净_ 一r p o 。l d ( f k 因“。，甜。，“都在r ( o ，t ；l ：( q ) ) “e x , j - n 一致有界，从而在r ( o ，r ；厶) ) 中 对一致有界，由引理1 5 ，有子序列( 仍记为) 如。g ，f ) ) ，使”。g ，t ) 斗虬g ，f ) 在r ( 0 ，r ；厶q ) ) = l 2q r ) 中强收敛，且于蜴几乎处处收敛q r = q 【0 ，r d 又因粒0 服。 c o n s t ，而d ( ，he l z 协) ，在区域绋上应用l e b e s g u e 逐项积 分定理，可得 一r p o 。) ，d ( ，b 。一一f i 矗o 。l d ( r 如。弛= r p o ，l ，d o h 净 从而 f q 。一“。一仃q ，l 一q ) ，d o b ，= o g = l ，2 ，人) 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 由舨g ) ) 于：q ) 中稠及d ( f ) c o 的任意性，可知强解定义中的f ) ，f f ) 都 是满足的，而由引理2 卜引理2 3 ，定义中的j f 0 也是满足的，从而“b ，) 为问 题( 1 - 1 ) 一( 卜3 ) 的整体强解 2 2 2 强解唯一性定理 定理2 7 若满足引理2 3 条件，则问题( 卜1 ) - ( 卜3 ) 的强解是唯一的 证明设“，v 为问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的两个强解，令w = l , l 一，则w 满足 = y 。+ 矿0 ，l 一仃化l + 缸) 一 ( 2 1 5 ) 叫。= ow , l ，。= o ( 2 1 6 ) 在( 2 - 1 3 ) 两边同乘作内积，得 ( ，) = 。，嵋) + p 0 ，l 一盯以l ，) + ( 厂0 ) 一，o x m ) 两边同加一( w 。，彬) + 以) ，分部积分，得 瓦d 。w ，h 雌1 2 + i l d 2 】+ 2 0 6 2 = 2 g 0 ，l 一盯( v ，l ，m ) + 2 ( 厂0 ) 一厂p l h ) + 2 舨，v 。) + 2 “w t ) ( 2 1 7 ) b q ，l 一盯化l ，嵋) = p 以) 一盯亿l ) = 一p 毗，k ) p t i l t h 去f 脚心9 2 + 争屹0 2 其中”表示在虬+ p o ，一叱) 取值( o 口 1 ) ，显然，集合 每。+ 口以一虬) ，o 口蔓1 ) ，从而p ) 于绋有界，而 2 以，) 钏雌s 却旷+ d w 3 2 2 嵋) + l i w , d 2 哈尔滨丁= 稃大学硕十学位论文 取占= 1 ，代入( 2 一1 5 ) ，可得 丢l l w , 24 - l l w u 2 + 6 叫1 2 】m ，0 4 2 + l l w 1 2 + 8 叫1 2 ) 两边对t 从0 到f 积分，并利用w 满足齐初始条件，得 l l w , 1 1 2 + l l w u 2 + l 圳2 m ，f 0 嵋i 2 + u i l 2 + 8 叫j 2 p r 由g r o n w a l l 不等式，即得 帆8 2 + l l w , l l 2 + 8 硼2 ；o ， w ；o 2 2 初值边值问题，强解的光滑性 引理2 8 设g g ，z ：，a ，毛) 为毛，乞，a ，磊的k 次 1 ) 连续可微函数，又 五仁，) l ( o ，t ；h ( q ) ) ，( f = 1 , 2 ，人，h ) 则有 肛g 以a ，狐r 捌2 出c 崮刁8 ： 其中m = 磷蹬k g ，f 1 引理2 9 对任意正整数k ，只要盯，f 具有相应的光滑性，则在对诸如 0 。，历“肚l0 。，谚“。lp 0 。) ，研“。l ( 厂) 谚“。) 这些项对x 进行分部积分时，所出现的边界项为零 证明由q ( o ) = q ( 1 ) = o 及d 哆= ( 一l y 矽q 可知，q g ) 的任意偶数阶 导数的边界值均为零，从而“。，”。，u 脚等对x 的任意偶数阶导数的边界值也 均为零 在对l n t t ) d “。) 分部积分时，若不计常数因子，所出现的边界项为 2 1 虹“。d ：“- ，1 “。l ( os fs 放一1 ) ，因f 与2 | | 一i 一1 中至少有一个是偶数，故这些 项全为零对b 腑，d 。) 也有类似情况 对p 0 。) ，d ，“。) 分部积分所出现的边界项为陋盯0 。) d “- ，j “。l ， ( o f s 2 七) 当i 为偶数时，d ”- - ，i “。的值为零：当i 为奇数时，由求导规 则，d ：盯0 m ) 应为一些乘积项之和，其中每项都含有形如兀d u 。的因子， 其中指数嘶满足1 嘶s f ，嘶= i 因f 为奇数，故在每一乘积的诸嘶中，至 少有个是奇数，对这一嘶，d 之= d 。：= 0 从而d ! 盯0 。) = 0 丽对妙0 ，) ，珥“。) 分部积分所出现的边界项为陋0 。) d 2 “：群。l ， ( o f 2 k 1 ) 当i 为奇数时，d 2 “：甜。的值为零：当i 为偶数时，由求导法 则，碰巾一) 应为一些乘积项之和，其中每项都含有形如兀d ：“。，其中指数 嘶满足1 s 嘶s f ，嘶= f ，因，为偶数，故在每一乘积的诸嘶中，至少有一个 是偶数，对这一嘶，d ：”。= d 4 ：= o ；从而纠厂0 。) = 0 引理2 1 0 设盯g ) c 1 ，盯g ) 下方有界，g ) 以+ ，。g ) 圪，其中圪为 轨g ) j 在h t ( q ) 中的闭线性扩张，并选取口，b , n ：使“。g ，o ) 写g ) ， 肿g ，o ) 3 巩，则有估计 l 磁t i n t l 2 + 珥“8 2 e 剧磁“。1 1 2 d r - e ，。( o f r ) ( 2 - 1 8 ) 证明在( 2 1 ) 两边同乘麓口“( ，) ，对s = 1 ，2 ，an 求和，得 。，谚材，) 一似。，研。) 一( 盯0 。l ，谚“。) = ( t i ，) ，研“。) 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 两边同加一 。，d ，“。) ，分部积分，山引理2 9 ，可得 旦d t n l n 嶙“。0 2 + 6 珑一州+ 2 l 睇。4 2 ：2 雠盯0 。) d ，k + l ”。) + 2 ( d j + l u x , d ：* l u n r ) + 2 慨，0 ，) ，d ：“。) ( 2 1 9 ) 一2 雠仃。胀) d ：“。) s 噬仃q 。) 1 1 2 + g d ：“m 。6 2 由引理2 2 ，引理2 8 ，引理1 1 ，得 l 噬盯0 。2 - - i i 。d 。t + l ”，8 2 ， b 为与无关的常数 2 慨厂) ，成。) 慨“。，珑“m ) = 慨“谚“。) 2 雠“，谚“。) 丢i 磁“犷+ 钏噬“。0 2 取占= 圭，将上述估计代入( 2 1 9 ) ，得 如d t l 比x 圳2 + l d j + l u 卟刭谚l “。1 2 弛矽吖 对0 t s t ，将上式两边对f k t o 到f 积分，得 0 噬甜。1 1 2 + 0 磷“扩+ f 0 噬“甜。8 2 d r - 1 1 磁“。( 0 i | 2 + 弦1 h 州+ 坂刖蚶d f 由假设， 磁。( o 2 + 0 硝“( 0 1 2 _ 0 硝q0 2 + 0 球“8 2 从而 l 噬“。1 1 2 + l 硝“8 2 + 剧碟”。1 2 d r 哈尔滨1 = 稗大学硕+ 学位论文 鸠+ 或蚶+ 弦叫2d r 雌“。卜弦“。1 2 + i i i d ： u 。, p r c o n s t 由此即得( 2 一1 6 ) 引理2 1 1 设盯6 ) c 1 ，仃g ) 下方有界，u o g ) ，蛳g ) ，并选取 ” ，2 口州，b i n ：使g ，o ) 3 n o g ) ，甜，g ，o ) n 专- - 地g ) ，则有估计 l 谚h 们纠h 卜e i ：，( o a t t ) ，0 = 1 ，2 ，ak + l ，七2 ) ( z - 2 0 ) r 8 巧盼帅驯8 2 d f e 。( o a t t ) ，( ，= 2 ，3 ，a 七+ 1 ，后2 ) ( 2 - 2 1 ) 证明首先证明在本引理假设下，有 慷“讲”吩c o n s t o = 1 ，2 ，ak + l ，2 ) ( 2 - 2 2 ) 用归纳法由假设，( 2 - 2 2 ) 跫j j = 1 是成立的设( 2 2 2 ) 对，1 成立，其中，为 满足l - i 七的某一正整数将( 2 1 ) 对f 求导，一1 次，两边同乘麓。) a 黔( f ) ，对 j = 1 , 2 ，a 求和，并令t = 0 ，得 0 1 4 1 彰“”( o ) ) = 旧“。( o l d 2 。埘“h ( o ) ) + ( d f l 仃0 。( o 兢，d ：恤。) d ( o ) ) + r 1 ，g ，( o 巍d ，。“( o ” 分部积分，得 恢o 。叫“( o 1 1 2 l i 印叫“( 0 1 0 研“叫“，( o ) i i + 0 历。卅d “，( 0 1 i 研恤。d ，l 。盯0 。( o ) ) 十0 谚仕。剧“材，( 0 | | p 川叫。，0 m ( 0 ) ) 哈尔滨1 稃大学硕十学何论文 由归纳法假设，l i 谚“叫“，( o ) | _ c o n s t ，记 d j 一盯0 。) - - - h ( u 。，甜。，a ，一1 ”。) - ；h v d j 一i 0 。) ；9 0 。，“。，a ，。“。) ；g 。 由假设，。( o ) 于片2 “( q ) 中有界，而2 k i 3 ，由归纳法假设研甜。( o ) 于h 2 ( t “卜l ) 中对n一致有界 ( f = l ，a ，i - 1 l 而 2 ( 七一f + 1 ) 一1 = 2 忙一f ) + l 2 ( k 一，+ 0 + i 2 ( k 一七+ 1 ) + 1 = 3 ， 故由引理2 8 ，可得 8 珥“一叫，( o ) 1 1 2 ：l 硝t 州“( 0 1 1 2 b 艺l 睇( k - t + o d j u u , , ( o 矿 占艺4 研t “，叫。( o | | 2 + 纠j 研恤一，“。( o l l 2 竭f i - io 珑t 圳叫( o “防瓠删21 、m o， s c o n s t 其中，b ，旦，马均为与无关的常数 由此可得 8 一f l ，2 ( k - 1 ) 一r l 。l + l ，t t 。( 0 = i i d ：恤却“d j “。( o 船f 这就证明了( 2 - 2 2 ) 。 下面用归纳法证明( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) 先证( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) 对_ ，= 2 成立将 ( 2 1 ) 两边对f 求导1 次，同乘正恤一) 口二( f ) ，对s = l ，2 ，a 求和，并记甜。= ( ， 得 移。，印b 。) = p 。，d _ 。) c ，) + p k l ，q ) u ，) + ( 厂0 。x ，群u 。) 哈尔滨1 ：拌人学硕+ 学位论文 分部积分，得 丢。谚) 8 2 + z 8 研“8 2 = - 2 幢o g 。l ，研1 ) + 2 幢，也l ，谚) u ) 8 珥“0 0 。) f4 2 + 8 噬“1 u ，2 + l 谚“1 0 。) ，2 + 8 厦 ( 2 2 3 ) 由引理2 1 ，引理2 2 ，引理2 4 知，“。，“脚均于( o ，死日1 ( q ) ) 对n 一致有界， 故由引理2 。8 眇。盯) ，0 2 蜀0 矽。”。h 铲1 “。1 2 ) = 蜀0 h 矿“舳8 2 ) 4 研( u 。) ，0 2 毋( 4 谚h l “。1 2 + 0 研o j “。1 2 ) 因盯c 牡- i f e c 2 伽1 ；。g ) 蚝g ) 吆，由引理2 1 0 ，可知 0 群“8 2 + l “，2 _ c o n s t i 峨“k 。1 2 + 8 印k0 2 删 代入( 2 2 3 ) ，得 丢0 珥恤。1 2 + 钏珥“1 4 2 m 。 对t 从0 到t 积分得 由( 2 - 2 2 ) 0 谚o 1 u ，0 2 + 剧唾“u ，1 2 d r 0 矽u 。( o l l 2 + m 8 谚饥删2 = 0 缈- 2 + i ) u h i ( o 2 c o n s t ( 2 - 2 4 ) 即 8 研“1 b 。1 2 + 刚研“1 u 。j 1 2 d r c o n s t 防“d f 2 0 2 c o n s t f 陋( k - 2 + o d , 2 1 2 d r 3 ，2 k 一2 2 ：而由归纳法假设，d ；u m 于 哈尔滨一i 拌人学硕十学何论文 r ( o ，t ；h 2 ( “h q ) ) = r ( o ，t ；h 2 卜q ) ) 对n 一致有界，( f = 2 ，3 ，a ，) ，而 2 ( k f ) + 1 2 伍一，) + l l ，再次利用引理2 8 ，得 8 唾伽- ，纠盯0 。) 0 2 = l i 谚o - ，) 鼬0 2 攻i l 谚h 1 1 2 川刑i - ，- - ，n i8 2 + 妻9 谚研0 2 ) 8 d ：o 。d j 厂0 。2 = j | d ：o 。h ，1 2 s 攻l i 谚狂叱。0 2 + o 巧k ，2 + 砉。研t 川叫8 2 ) 其中常数b 与n 无关 由2 ( k 一0 + i s 2 任一2 ) + l = 2 k 一3 ，利用引理2 1 0 ，可得 而 慷m 蚧2 + 谚1 “。8 2 c o n s t 8 妙。蚶+ 1