（基础数学专业论文）构造性分析中若干基础问题之研究.pdf

厶j 刖若 嚣数遥近论鳃疆究娥手二十整纪褪关予连续灏数可以曩多项式遥远的 著名的w e i e r s t r a s s 定理以及c h e b y s h e v 关于最佳邋近多项式刻划的特征定 理。一蔷多苹来，经过无数数学家静警勤努宠，羲数遥邋论基蔽为褒代数学 的一个重要分支特别是随着现代计算机的高速发展，数学的波用越来越广 泛，这更要求数学骄研究的对象其有可计算性，因此用简单的可计算舔数( 如 ”次代数多项式、“次三焦多璞式、农理丞数等) 逼近复杂函数或者一般霞 数成了函数逼近论的研究的主要目的，并进一步地研究这种逼近程度以及如 莓裁瑟被遥迓丞数鑫身戆特经。本交对蠡数邋透论孛足个基本瓣瑟终了深刻 的研究 程函鼗遭近论串，通常考虑连续凿数室阉e k 斟稀l p ( p 1 空闯的逶 近问题设g k 列必定义予区间k 纠上的全体实连续函数，对于给定的函数 ，( 。) c c 。w ，定义 i i f t l = ir f t t c2ir f l f c e 州。恶臻i ，( 。) l ， 为函数f 的范数设r 1 2 是自然数，定义 甜= 争圹。( 加州 ， 为f 的r 阶差分，当0 t 哮时，称 “r ( ，一。) = = “r ( ，- 。) e oq2 = 。 。，r l ，l 3 ( x b j h | ei a f ( x ) l 为f 的，t 阶连续模，其中 。l ，- 卜。f 2 。( ，- 。q 。鬻糕i f ( z + ) - f ( j ：) 蓉考虑瓣丞数漫戳2 霄为蠲麓静，翁记这种连续函数的全体为q 。f c ：。的范数定义为 ) l f l l c 。一。i n 。a 。j 。c 。1 ，( z ) j 设区闻r b j 上尹器露袄爨数静全俸为五嚣，目，对于给定静函数，( z ) 量脚，记其9 范数为 灯b 删b 删喙。= ( 舢蚓) u 9 、 始月时| 芒其连续模为 “，- e ) ，2 u 歹、。) ，= 。支。) 圣，。s 。u p 。歹茹十是) 一，。) l 臻。- i 1 在更期馕援下，提廒鲍空麓l p 记为琢，憩慰螽鼗，懿范数力 遥。一( 陋) “9 。 文中爰巴表冢饺与。舂美戆绝慰歪豢数，是c 表拳绝对正常数，芳盈在不 同的地方可以表示不同的德 下面介绍作者猩本文中的主要结槊 第一章一娄藤项级数敛散涟度的估计( 洋觅【4j ) 褒这一鬻孛律者对菜一类嚣受级数之阉的敛散速度进行了氆诗，给出了 这类级数比值发散的一个特征刻砸： 定理设 和d ，是两个非负实数序列，且b l 0 ，则 s u 。p ( 要，荟k ) 一 成立的充分必要条伴是：存在一个单调减少趋予零的正数序列 ! m 毛：使得 k k 。c 且 w g k r z k = k = 1 上述定理中，序列 和 k ) 并不要求单调，但 s t ) 廷。的单调性假 设是重要的类似的不等式估计常出现在逼近论的有关文章中，故雨这类不 等式的估计具有一定的价值 第二章关于连续模的等价性( 详见 1 1 】) 在逼近论中，连续模或光滑模是用来刻画函数连续性好坏的一个重要概 念我们知道高阶连续模具有这样的性质：若，e 翻则对于任意自然数 k ，当m2k 时，有 “ 。( ，) t u m k ( ，( 剐，t ) 其反面结果通常情况下却并不成立为此人们曾作了许多的工作，得到了对 某些特殊的函数类，在一定条件下成立的反面结果，如见文献 5 1 0 但迄今 尚无对一般连续函数也成立的类似结果在这一章，我们对此作了深刻的研 究，应用特殊的处理技巧对多项式建立了类似的反面结果 全章共分四节，第一节为背景介绍，第二节先简单给出三角多项式中的 结果记n 阶三角多项式的集合为矗我们知道对于n 阶三角多项式，下面 的不等式是成立的 定理2 1设f r m21 n 三1 ，则对于任意的h 0 z n 】，有 护l i t ：川( 志) 4 i i z x 。 a f l l 【0 ：小 这里孑，( z ) 为f ( z ) 的步长为h 的m 阶差分 由定理2l 不难得到下面的结论： 定理2 l 设f 矗m 1 n 1 则对于任意的0 0 ，使得对强意的h 1 0 ，m 。n 。 ，均有 h ” i i f “卜，1 ) 曼g r n ) 弘蟒，l i 卜l ，1 一。嘲 由定理2 2 推出： 定理2 2 设，聪十。，m 麓1 ，竹乏1 ，则对于任意的# 0 ，竹- 2 j ，均有 t k w m k ( f 舢，) c ( m ) w r ( f ，t ) 显然定理2 2 不是由定理2 1 通过简单的变量变换z = c o s 0 而推得的， 爨为魏瓣懿慧分或逡续模都已经添瑟瑟发生了变纯。勇释d i t z i a n h r i s t o v 帮 i v a n o v 1 】在1 9 9 5 年给出的代数多项式关于霞子妒( 茹) = 川i = 的不等式 蔻： 当0 h c n “时，肖 纛“l 妒”磋“l l f l ，1 s g f m ) l 鬟，只l i l ，l 】 由此可以推出b e r n s t e i n 型苓等式： 磋“( ) sg ，n ) ，；“妒一8 ) l | 冀| | f l ，l 瑟扶我蜒懿结果定理2 2 孛冒攉凌翡是m a r k o v 銎誉等式f 除常数乡睁嚣篷 对于具有m 阶差分或m 阶导数的代数多项式，这两个不等式在一致范数意 义下韵形式是麓耱的， 在第三节我们建立了一个重要的引瑷，并熙荻颖的技巧方法馋了证踞 设r f 。) = c o s ( n 8 c c o sz ) 袭示n 阶c h e h y s h e v 多项式，记如= c o s k 7 r n ) ， 一0 、1 ，n 。为它农 - i 。1 j 上戆黪有投缀熹， 4 引理设f 血。，( z o ) = i f f ie “”粕+ l ，矗】其中j o o ，1 ，n 一 1 则 i | | ，| | 一1 i 】盯1 z k ( 。) ，z o = 而或2 0 = ( i o + i ，茁 ( j o + 1 f 如 ， ，( z ) n 1 o - ：磊( 引，x o 不是足( z ) 的极值点且。o20 ，z 8 j o + l ，1 【i - 1 , 1 1 a 。磊( z ) z o 不是r ( 引的极值点且z 。 0 z 【s 名+ 1 1s 甜 这里当z o = 矗时，口1 = s g n t , 4 ( i o ) ；当。o = f j 。+ 1 时，仃l = s g n t , , ( ( i 。+ 1 ) ， 磊( z ) = 已( 味 = 等( 2 - - z 0 ) + 缸， a z = s g n 已( 缸) ， 乳2 嵩( 颤吨) + k 叭，m 矗( z ) = 巧( u ) ，u = 与 等( z z 。) + 厶+ t ，= s g n 死( 矗+ t ) ， 班占景一) + 孙枉、m 在本章的最后，我们证明了所建立的主要结果 第三章s z 磊s z m i r a k j a n 修正算子的敛散性( 详见 1 2 】) 在逼近论研究中，有关线性算子逼近课题的研究是非常广泛和有趣的 算子逼近研究的主要问题是如何刻画算子的逼近阶对于一些重要的算子如 b e r n s t e i n 算子人们已做了大量的研究工作，得到了许多出色的结果为了在 0 。) 上逼近连续函数，0 s z d s z 和g m i r a k j a n 推广b e m a s t e i n 多项式为 叫加薹碟) e 簪= ：薹礁) 州训 即著名的s z s s z m i r a k j a n 算子本章对s z & z m i r a k j a n 的修正算子： 咒盯牡h 嚣( 跏叫 曼，5 ( ，z ) = ， ；m ( n z ) 、， 怍了进一步的研究，通过观察，利用常规的方法证明了一个颇为意外的结 诊 定理3l 设6 = 5 巾) ，n = 1 ，2 ，是一个正数序列，且满足当n 一。o 时，t # i 2 5 ( n ) 声o 。设函数，巴，若存在某一点f 0 o 。) ，使得，( z o ) 0 ， 则 溉矗，5 ( ，z o ) ，( z o ) 一 这里瓯表示在 0 ，o o ) 上连续且满足f ，( t ) l 兰m t “的函数，所组成的集合 并由此推出： 推论设6 = 5 ( n ) ，n = i ，2 ，是一个正数序列，且满足当n 一。时， n 1 2 6 ( r ) 声o q ，若，c 。，则对任意的。( 0 、o 。) ， 舰矗，s ( ，z ) = ，( z ) 成立的充分必要条件是 ，三0 上述结果是作者从修正的s z 6 s z m i r a k j a n 算子的研究中获得的，但随后人们 对修正的b a s k a k o v 算子及修正的b e r n s t e i n 算子也建立了类似的结果( 参见 文献 2 1 2 2 】) ，因此上述结果实际上具体刻画了一类算子的一种本质特征 第四章一类复值连续函数的三1 逼近( 详见 3 2 ) ， f o u r i e r 级数是逼近论研究的最基本对象对于f 工。，令，( n ) 表示 函数，( z ) 的f o u r i e r 系数，记 + x ，( z ) 一，( n ) e 讯。， n = 一o c 为其f o u r i e r 级数； 又( ，z ) = ，( k ) e 诖。 k “ 为此级数的n 阶f o u r i e r 部分和关于f o u r i e r 级数的工1 收敛和三1 逼近已有 许多研究，如见文献 2 3 3 l 】1 9 2 3 年k o l m o g o r o v 3 5 证明了，存在三( 一”，”) 中函数，其f o u r i e r 级数处处发散因此在上1 尺度下，用f o u r i e r 级数部分和 s 。( ，) 逼近，的问题，就为人们所重视应该如何刻画f o u r i e r 逼近能够达 到最佳逼近阶的子函数类? 尤其是应如何对函数的f o u r i e r 系数进行刻画 一r 一 使其f o u r i e r 和逼近取得最佳逼近阶? 从w h y o u n g 2 4 等人的早期的工作 中，人们发现函数的f o u r i e r 系数的单调性对其的f o u r i e r 部分和函数的收敛 和逼近具有很大的影响，因此对函数的f o u r i e r 系数的单调性进行了广泛的 研究现在已经有多种单调性条件被应用到f o u r i e r 级数的收敛性上我们 知道，在己1 收敛方面，正则变化拟单调条件，或更一般的o 正则变化拟 单调条件也已经被广泛地应用，而且实质性地拓广了通常的单调与拟单调条 件 本章着重研究一类具有0 正则变化拟单调系数的f o u r i e r 级数的复值 函数在l 1 尺度下的逼近问题，并从方便于计算的角度，给出一类具有o 正 则变化拟单调系数的f o u r i e r 级数的复值函数，在工1 尺度下逼近的一个充分 必要条件，刻画了l 1 逼近的一类特征本章的主要结论为： 定理4 1 设，( 。) l 2 。是一个复值函数， 妒。) 是一个满足条件妒。= p ( 币：。) 的单调减少趋于零的序列，( ，( n ) ) 。+ ：c o 。和 ，( 一n ) ) + 。：c o 。都是( 复意义下) 单调减少的，若 ，霎，惫- d ( 州， ( 4 1 ) u 彖l l o g 口” ” 则 成立的充分必要条件是： ，一( 州1 = d ( 妒。) f ( n ) l o g 川= 0 ( 廿l 。i ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 若条件( 4 1 ) 改为：v 妻= 2 畚 。 参考文献 1 d w a t e r m a n ，o nc o n v e r g e n c eo f f o u r i e r s e r i e so r f u n c t i o n so f g e n e r a l i z e d b o u n d e dv a r i a t i o n ，s t u d i am a t h ，4 4 ( 1 9 7 2 ) ，1 0 7 1 1 7 2 s p e r l m a na n dd w a t e r m a n ，s o m er e m a r k s d ”f u n c t i o n so f a b o u n d e d v a r i a t i o n p r o c a m e r m a t h s o c ，7 4 ( 1 9 7 9 ) ，1 1 3 1 1 8 3 g k v e r n a d z e ，踟珈r mc o n v e r g e n c eo fl a g r a n g ei n t e r p o l a t i o nb a s e do n t h ej a c o b in o d e s j a p p r o x t h e o r y ，8 7 ( 1 9 9 6 ) 1 7 9 1 9 3 4s p z h o ua n dg z z h o u ，a ni n t e r e s t i n gr e s u l tf o ”p o s i t i v e s e r i e a ， a p p r o x t h e o r ya p p a l 1 5 ：4 ( 1 9 9 9 ) 6 0 - 6 3 8 5 z d i t z i a n v h h r i s t o va n d a n dk 乒n c t i o n a k 仇l 0 0 f o r f c oa n dz 【0 ，o 。) ，t h e w e l l k n o w ns z a s z - m i r a k j a ao p e r a t o ri sd e f i n e db y 洲= b f i 一，( - q _ e 譬= ：塞礁) 蹦叫 f r o mh e r m a n n ( 1 5 】，w ek n o wt h a tf o rf 瓯o n a n y c l o s e ds u b s e to ff 0 ，。) & ，c o n v e r g e st o ，嚣u n i f o r m l y 、h e n c ea te v e r yp o i n t 聋i n 【0 ，) 。s n ，菩) c o n v e r g e st o ，( 。) a tt h es a m et i m e ，p e r m a n na l s op o i n t e d o u tt h a tc a ，f o ra l l a 0 ，a r et h el a r g e s ts e t s ，i nu s u a ls e n s e ，w h i c hg u a r a n t e e 炙f ，z ) t oe x i s t t oi n v e s t i g a t ep r o b l e m sf r o mc o m p u t a t i o n a lp o i n to fv i e w ，g r 6 f ( 1 4 1a n d l e h n h o f f 【1 6 】c o n s i d e r e du s i n gap a r t i a ls u m o fs n ( ，z ) ( w h i c ho n l yh a sf i n i t e t e r m sd e p e n d i n g u p o nn ) i n s t e a d t o a p p r o x i m a t e ，。) ，l e t5 = 联 b e a s e q u e n c e o fp o s i t i v en u m b e r s ，l e h n h o f fe x a m i n e dt h em o d i f i e ds z a s z m i r a k j a no p e r a t o r 洲= 转喜f ( 轴叫 晶，$ ( ，z ) = 三) p ( n 。) a n dh eo b t a i n e dt h a t f o ra l lfi n 倪f u r t h e rs a r i s 研n gi ，f ) i sa 如+ 如炉”f o r s o m e p o s i t i v en u m b e r s 丝。娩a n d s o m en a t u r a l n u m b e r 斑，轰。5 ，z ) c o n v e r g e s t o ，( z ) a te v e r yp o i n to nf 0 ，) i f 害骢珏1 7 2 5 ( 雄) = ( 3 1 ) f o ro t h e rr e s u l t so ns z g s z m i r a k j 鑫觳o p e r a t o r ，s e e 【1 4 2 1 i nt h i s c h a p t e r w ew i l ls t u d yt h em o d i f i e ds z s z * m i r a k j a no p e r a t o r s 。t h e f o l l o w i n gr e s u l td o e sr e f l e c taq u i t es u r p r i s i n gp h e n o m e n o nw h i c hs t a t e st h a t i f 3 1 ) d o e sn o th o l d t og u a r a n t e e & + s ( ，z ) s t i l l t oc o n v e r g et o ，( 。a te v e r yp o i n t 1m u s tb ee q u i v a l e n tt oz e r o t h e o r e r n 3 1 工e t6 = 6 f n l 砧= l ，2 - 6 eos e q u e n c eo fp o s i i en m b e r s s u c ht h a tn 1 3 6 ( o o 。站_ 。，a n d8 s m et h a tf e 0 + 拶f ( z o j 0 多r r 。m e 。n f 0 o c ) ：, h e n 甄( ，2 0 ) 声，( 如) n 一。、 c o r o l l a r y l e t5 = 6 ( n ) ，n = l ，2 ，- - ，b eas e q u e n c eo fp o s i t i u en u m b e r s s u c ht h a tn l 2 6 ( n ) 声扎一。a n d