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非线性系统混沌及其控制研究 摘要 近年来，混沌系统及控制的研究得到了飞速发展，并与其它许多 学科领域相互渗透，成为非线性学科领域的一大研究热点，有着巨大 的应用前景。混沌的出现使我们对复杂的非线性系统有了进一步认 识，而混沌概念的提出则使我们对自然现象的认识又大大提高了。 本文首先对混沌动力学系统的有关定义进行了整理，讨论了判断 系统是否是混沌系统的几种方法，对混沌动力学系统进行了特性分 析，总结出混沌运动的基本特征。根据混沌运动的特征，本论文主要 对两类具有广泛代表意义的典型非线性系统问题进行了讨论，利用数 值分析的方法对系统进行了分析，得出系统出现混沌的阀值；然后综 合运用相图分析、直接观察时间序列和李雅谱诺夫指数法对系统是否 产生混沌运动进行了描述和刻画。介绍了几种简单而实用的控制 昆沌 系统的方法，分别用参数扰动控制法、周期激振力法和延迟反馈控制 法对两类系统进行了控制研究，得出一系列周期运动结果，计算机模 拟表明，在适当的控制信号作用下，系统中的混沌运动得到了有效的 控制。 关键词：v a n d e r p o l d u f f i n g 振子，欧拉动弯曲问题，混沌控制，参 数扰动，周期激振力，延迟反馈控制 未经俘肴、= ；j 巧帝阍怠 i 勿全文公布 c h a o so fn o n l i n e a rs y s t e ma n d c o n t r o l l i n gc h a o s a b s t r a c t r e c e n t l y c h a o sc o n t r o lh a sb e e na na c t i v e r e s e a r c hf i e l do ft h e n o n l i n e a rs u b j e c t t h i sn e wt e c h n o l o g yp r o m i s e st o h a v eas i g n i f i c a n t i m p a c t o nm a n yn o v e le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s t h ec h a i l e n g i n g r e s e a r c h f i e l dh a sb e c o m eas c i e n t i f i ci n t e r d i s c i p l i n ei n v o l v i n gm a n y o t h e rf i e l d s t h ee m e r g e n c eo fc h a o sm a k e sn sa c q u a i n tw i t ht h ec o m p l e xn o n l i n e a r s y s t e m sf u r t h e r , a n d t h ee x e r t i n go ft h ed e f i n i t i o no fc h a o sm a k e u sk n o w t h en a t u r a lp h e n o m e n ab e t t e r i nt h ep a p e r , s e r i e so fd e f i n i t i o n sa b o u t c h a o t i cd y n a m i c ss y s t e ma r e s u n g n e du p 。s e v e r a lm e t h o d sf o rj u d g i n gw h e t h e ras y s t e mi s ac h a o t i c o n ei s d i s c u s s e d ，p r o p e r t ya n a l y s e s o fc h a o t i cs y s t e m si s s t u d i e da n d r u d i m e n t a r y c h a r a c t e r i s t i co fc h a o t i cm o t i o ni sg e n e r a l i z e d t w ok i n d s o f n o n l i n e a rs y s t e m sa r ea n a l y z e di nt h i sp a p e r m e l n i k o v f u n c t i o ni su s e dt o s t u d yt h ev i b r a t i o ns y s t e m s t h e c r i t i c a lc o n d i t i o n sw h i c hc o u l d l e a dt o c h a o t i cm o t i o na l eg i v e n n u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t so f b i f u r c a t i o na n d c h a o sa r ep r o v i d e d s o m es i m p l ea n du s e f u lm e t h o d sa r ei n t r o d u c e di n t h i sp a p e r p e r i o d i c a le x c i t i n gf o r c ea n dd e l a y e ds e l f - c o n t r o l l i n gf e e d b a c k i i m e t h o da r eu s e dt oc o n t r o lt h ea b o v e s y s t e m s ，a n ds e r i e sp e r i o d i cm o t i o n s a r ea c h i e v e d t h ec a l c u l a t o rs i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h ec h a o so ft h ea b o v e s y s t e m c a nb ec o n t r o l l e d e f f e c t i v e l yb ya d j u s t i n gp r o p e rc o n t r o l l i n g k e yw o r d s ：v a nd e r p o l d u f f i n g ， e u l e r s d y n a m i cb u c k l i n g p r o b l e m ，c h a o sc o n t r o l l i n g ，p a r a m e t e rd i s t u r b a t i o n ，p e r i o d i c a le x c i t i n g f o r c e ，d e l a y e df e e d b a c k c o n t r o l i i i 浙红工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 混沌( c h a o s ) 是确定的非线性系统中出现的类随机现象。由于其在概念上 的突破，混沌已成为当前科学研究的热点。过去我们只知道确定的系统只有确定 的结果，今天我们更知道，确定的系统也可以有不确定的结果，这就是非线性动 力系统的内在随机性；过去我们只知道离散的动力系统可以收敛到不动点，今天 我们更知道，它还会“收敛”到混沌吸引子，若用过去的观点来看，这似乎应该 叫不收敛。因此，混沌概念的提出使我们对自然现象的认识又大大提高了。 目前，混沌问题已受到学术界的广泛关注m 5 】，这不仅是因为对混沌的研究 成果给自然科学注人了新的观念，如对确定性、随机性、统计规律等概念注入了 新的含义；其次，混沌研究的深入还伴随着新的实验方法( 数值实验) 的广泛应 用和完善；第三，更重要的是在许多工程实际问题中发现了混沌，这些混沌现象 往往使系统失去稳定性，导致系统运动完全偏离目标，一些混沌甚至会给系统带 来灾难性的后果，因此在某些实际系统中，控制混沌是非常重要的。 因为混沌的广泛存在，就必须有一个实时处理的办法，简单地说就是控制混 沌问题，控制混沌有几个方面：其一是抑制问题，如何消除系统中的有害混沌； 其二是引导问题，如何利用和诱导对系统有利的混沌；其三是混沌跟踪问题，通 过施加控制使受控系统达到事先给定的周期性动力学行为，其特殊而重要的情形 是镇定问题，使混沌稳定在稠密镶嵌在相空间中混沌吸引子内的无穷多不稳定周 期轨道之一。 本章首先分析了混沌系统的特性，介绍了判断系统混沌行为的几种方法，概 述了混沌控制的进展及应用，为下面章节对复杂非线性系统进行分析奠定了理论 基础，最后概述了本文的主要研究内容。 1 2 混沌特性分析及混沌识别 浙江工业大学硕士学位论文第一章绪论 1 2 1 混沌特性分析 ( 1 ) 初值敏感性 对非线性系统，从两个极其接近的初值出发的两条轨道，在短时间内似乎差 别不大，但在足够长的时间以后，会呈现出显著的差异来。从长期行为看，初值 的小改变在运动过程中不断被放大，导致轨道发生巨大偏差，以致在相空间中距 离差得很远。这就是系统长期行为对初值的敏感依赖性。彭加勒从科学哲学角度 论述过这种对初值的敏感依赖性。洛仑兹在研究大气预报问题时发现了这种现 象，提出了著名的“蝴蝶效应”的形象比喻。我国自古就有“差之毫厘，失之千 里”的成语，跟这种敏感依赖性不谋而合。 ( 2 ) 内在随机性 内随机性的引用主要是用来区分外随机性( 由外随机激励引起的随机运动称 为外随机性) 。一般情况下，在一定条件下，如果系统的某个状态既可能出现也 可能不出现，系统就被认为具有随机性。对一个完全确定的系统，在一定系统参 数条件下，能自发地产生随机特性称为内随机性。混沌是确定性非线性系统的内 在随机性，这是混沌的重要特性之一。 ( 3 ) 自相似结构 混沌和随机运动完全不同，当系统在一定条件下处于混沌状态时，混沌区的 行为也并非毫无规则，一片混乱。相反地它有一定的运动模式和精细结构，即， 这表明混沌包含有比外在随机性更多的内在规律性。 ( 4 ) 奇怪吸引子 又称为混沌吸引子( c h a o t i c a t t r a c t o r ) 。指相空间中吸引子的集合，在该集合 中混沌轨道在运行。此吸引子不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子， 而是具有分数维的吸引子，如图1 - 1 所示的l o r e n z 吸引子即是奇怪吸引子。 仔细观察和分析可以看出，混沌吸引子与普通吸引子有以下几点重要区别： ( 1 ) 从整体上说，系统是稳定的，即吸引子外的一切运动最后都要收缩到 相空间的有界区域；但是就局域说，吸引子内的运动又是不稳定的：相邻运动轨 道要互相排斥。 2 浙江工业大学硕士学位论文 第一章绪论 y 一2 0 0x 图1 - 1l o r e n z 吸引子 ( 2 ) 混沌态的吸引子不一定填满某一有限区域，而往往是具有一些空隙或 空洞。除了这些大的空洞外，还有不同层次的小的空隙或空洞，因而混沌吸引子 的维数不能用整数来表示，只能用分数维来表示，这些大大小小的空隙或空洞的 存在，使吸引子具有无穷层次的自相似结构。 ( 3 ) 与不动点、极限环或高维环不同，不断的仲长和折叠使混沌态吸引子 为奇怪吸引子，以别于不动点和极限环之类的简单吸引子( 又称平凡吸引子) 。 综上所述，一个奇怪吸引子具有下列典型性质：对初始条件的敏感性，具有 自相似性和具有分数维。 1 2 2 混沌系统识别 为了掌握和控制混沌，必须首先缺定是否发生了混沌现象。只有识别出发生 了混沌运动，才能用混沌理论对系统进行处理。一般认为观察到复杂轨迹，就表 示发生了混沌运动，但根据观察是无法弄清这一轨迹到底是具有很长周期解，还 是非周期解。如果试图建立工程模型，通过模型的解来证明是否存在混沌现象， 这一方法也是十分困难的。因为一般情况下，工程模型的解析解是无法求出的。 用实验的方法来进行测试、识别混沌是一种有效的方法。 ( 1 ) 波形图与相轨图 该方法主要是将系统的运动状态转变成电信号后在示波器或信号处理机上 显示出来，根据显示结果来判断是否有混沌发生，可以利用变换电路，观察系统 运动的位移、速度与时问的关系的波形图，对是否发生混沌进行识别。对于混沌 运动来说，它们一般呈现为不规则的杂乱波，也可以将传感器测得的状态与时间 的关系的电信号经过变换电路，转换成位移和速度的信号输入示波器中，就可以 得到二维的相轨图。如果是混沌运动，则相轨图呈现为不规则的螺旋杂乱曲线。 浙江：【业大学硕士学位论文 第一章绪论 ( 2 ) 庞加莱映射图( p o i n c a r em a p l 庞加莱映射图可以较容易地判断系统运动是否周期的，具体做法是将相轨线 按激励( 扰动) 周期取点离散化，在取得系统运动位移和速度的波信号后，显示 相图时，按扰动的周期作点的显示，并将这些点的位置进行记录，即可得到庞加 莱映射图。当系统的运动为极限环运动时，在庞加莱映射截面上简化为一个不动 点；当系统的运动为周期运动时，在庞加莱映射截面上简化为f t 个点( 称为周期 n 运动) ；当系统的运动为非周期的混沌运动时，在庞加莱映射截面上则为沿一 条直线段或一条曲线弧分布着的点的集合。因此庞加莱映射可用来判断一个系统 是否为混沌系统。显然，它是一种比较直观的判断方法。 ( 3 ) 李雅谱诺夫指数( l y a p u n o ve x p o n e n t s ) 在当今非线性的研究中l e 指数得到了越来越多的应用【6 。8 1 。l y a p u n o v 指数 是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道 间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌，可以从其最大 l y a p u n o v 指数是否大于零非常直观地判断出来；个正的l y a p u n o v 指数，意味 着在系统相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演 化而呈现指数率的增加以致达到无法预测，也即相邻轨道迅速分离，这就是混沌 现象。对收敛系统而言，由于从相邻点出发的轨道，其距离逐渐变小，最终变为 一个点或一个极限环，因此，相应李雅谱诺夫指数小于零。由此可知，可以利用 系统的李雅谱诺夫指数来判断一个系统的运动行为。 1 3 混沌控制的进展及应用 1 3 1 混沌控制的进展 由于混沌系统和混沌现象的奇异性和复杂性至今尚未为人们所彻底了解，这 类系统和现象能否被人为地控制和诱导，特别是能否用常规方法来控制，长期以 来直是一个没有被深入研究过的问题。因而，控制混沌系统肯定是一件十分具 有诱惑力而又富有挑战性的事情。 人们之所以对控制混沌问题感兴趣，这主要是因为，作为非线性系统共性之 一的混沌已被发现出现在大量的非线性系统的动力学行为之中，然而由于混沌运 4 浙江工业大学硕士学位论文 第一章绪论 动对初始条件的敏感性，给很多系统( 特别是工程应用系统) 带来麻烦，为此， 人们设法避免混沌；另一方面，由于混沌运动中含有各种失稳的周期运动，如果 能够找到方便而有效的控制混沌的方法，人们就可以充分地利用混沌。 总的说来，控制混沌的方法主要分为反馈控制法和无反馈控制法。反馈控制 法从系统内部条件的改变考虑，可以分为参数、变量和时空三个方面。在参数方 面，首屈一指的就是o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 提出的控制混沌的o g y 方法一】，同年， 美国海军实验室的p e c o r a 和c a r r o l l 提出了混沌系统同步化的概念和方法。o g y 方法利用混沌系统对小参数扰动敏感的特陛和混沌系统的遍历性( 指混沌吸引子 在所有存在的轨道上运行的概率相同) ，给系统一个小参数扰动控制量，把系统 运动状态控制在某一周期轨道上。我国的张辉、吴淇泰、胡岗等在这方面有较深 入的研究。o g y 方法的突出优点是不需要知道严格的系统演化动力学方程，通 过微小的控制信号便可获得明显的控制效果，有较好的抗噪声能力等。继o g y 之后又陆续出现了o g y 的一些改进方法“。1 ，如改变参数法和偶然正比反馈技术 ( d p f 技术) 法、连续反馈控制法等。其中偶然正比反馈技术法是利用一个微 小的反馈信号实现控制，这个信号正比于双谐振源的电势差。在变量方面，有正 比变量脉冲反馈法、线性反馈法( 也称直接反馈法) 、非线性反馈法、连续变量 反馈法等。在时空方面，有定点注入法、继电式控制法和局部模式反馈法等，其 中定点注入法是将反馈回来的信号作为驻点，当驻点密度足够时，可以使系统不 稳定的状态变得稳定，而当驻点不多时，也可有效抑制混沌系统而产生谐振结构。 另外，反馈控制法中还包括频率控制法、控制分岔法【j 讲以及蝴蝶效应法等。 无反馈控制法包括白适应控制法 1 3 1 、参数共振法、谐波微扰法 i 4 】、外加强 迫法 1 5 】、传输迁移法、振荡吸收法h 、混沌信号同步法“、随机跟踪法、人 工智能法和偏微分方程法等。其中谐波微扰法是在一个双稳态发散系统中利用周 期性地扰动抑制混沌现象。外加强迫法是一个外加的弱周期使动力学系统中的混 沌现象得以抑制。振荡吸收法是在原系统的吸引子附近构建一个新的稳定的轨 道，这样就相当于在原系统中形成了一个吸引子，从而达到抑制混沌的目的。混 沌信号同步法则是将主混沌系统同一个新的但又比较简单的系统相连，使两者形 成混沌同步，然后通过控制子系统而达到控制主系统的目的。人工智能法是使用 神经网络的方法寻找离散动力系统的控制序列，使系统在规定的时间内达到目标 5 浙江工业太学硕士学位论文 第一章绪沦 规定的误差范围，它主要在于利用神经网络的全局优化性和隐含并行性，但存在 着对系统的混沌特性重视不足的问题。 1 3 2 混沌控制的应用 混沌理论的研究是一个极富挑战性的具有交叉学科性质的重大课题，具有巨 大的应用潜力。特别是9 0 年代以来混沌同步与控制的突破性进展及由此激发起 来的混沌研究热潮，给混沌的可能应用带来了新的契机，为人们展现了十分诱人 的应用与发展前景。 混沌研究的应用概况和应用前景可以粗略地概括如下u ： ( 1 ) 在工程上的应用。如振动控制、非线性电路的镇定、加速溶液混合和化 学反应、提高激光器性能、流体力学、家用电器等。美国海军研究实验室的一个 研究小组利用混沌跟踪控制法，在激光装置上不仅在很宽的功率范围维持激光稳 定运行，而且惊人地把激光输出功率提高到1 5 倍。几年前，美国宇航总署( n a s a ) 的科学家们利用三体问题的混沌特性及对于微小扰动的极度敏感性，使用非常少 量的残余氢液燃料把一个i s e e - 3 i c e 飞行装置送到太阳系以外。龙运佳等1 9 9 5 年研制出的具有很强的几何非线性及物理非线性的混沌激振器m 1 ，可作为各种 振动作业器械的高效振源。 ( 2 ) 在智能信息处理中的应用。混沌是自律地产生动力学信息的系统，如果 能够使不失去自律性的信息转化为有用的东西，则有可能利用简单器件就能实现 较复杂的功能。和用具有某些约束的混沌现象为实现诺依曼型搜索给出了重要的 启示。在模式识别、非线性系统的辨识等方面混沌理论都有其用武之地。 ( 3 ) 在通讯方面。如保密通讯、扩频、信息压缩与存储等。利用混沌同步实 现秘密通讯是近年来竞争最激烈的应用研究领域，直接利用混沌通讯也十分活 跃。 ( 4 ) 在医疗和生物方面。除了脑神经系统以外，心肌细胞、心电图、血小板 生成、肾小体等也都称为“生物混沌学”的研究对象。利用混沌控制技术可以研 究一种心脏整律器及去纤维颤振器。 ( 5 ) 在计算机方面。如实现丰富多彩的计算机图形、计算机图形压缩、研究 超高容量的动态信息存储器等。有人把神经、模糊、混沌合在一起，称之为“新 6 浙江工业大学硕士学位论文 第一章绪论 一代的模糊计算机技术”。 ( 6 ) 在社会经济方面。如经济预测和调整、金融分析、流行病分析、天气预 报、地震预测等。 1 4 论文章节安排 第一章，首先分析了混沌系统的特性，介绍了判断系统混沌行为的几种方法， 概述了混沌控制的进展及应用，为下面章节对复杂非线性系统进行分析奠定了理 论基础，最后概述了本文所要进行的工作。 第二章，采用数值分析的方法研究了磁弹性梁系统，得出系统产生混沌运动 时参数必须满足的条件，研究了系统参数对系统动力学性态的影响，揭示了系统 对初值的敏感依赖性、对称性、周期分岔和混沌运动等丰富现象及其变化规律。 然后根据系统运动的特点，通过改变系统的参数和初值，我们利用相图和波形图 对系统的复杂动力学行为进行了刻划和描述，并把理论分析的结果与实际所得结 果进行了比较，发现两者吻合较好。 第三章，利用数值分析的方法对欧拉动弯曲问题进行研究，找出系统可能出 现混沌的条件；综合运用相图分析、直接观察时间序列曲线的方法，对系统出现 的分岔和混沌现象进行了分析，并通过计算机模进行模拟，给出一系列周期分岔 和? 昆沌运动轨线；结果表明实际结果与理论计算结果相吻合。 第四章，首先对几种控制混沌的方法进行了介绍，然后对几类具有广泛代表 意义的典型非线性系统中的混沌现象，分别采用参数扰动法、周期激振力法和延 迟反馈控制法进行了控制，得到一系列周期运动结果。 第五章，结论与展望。 参考文献 【1 】e k o n b i c h c h a o s i nt h e s e g m e n t e d d i s c d y n a m i c e l ，1 9 8 1 ，v 0 1 8 2 n o 9 ，p p 4 3 9 - 4 4 1 2 1c h i a n gh d c h a o si nas i m p l ep o w e rs y s t e m i e e e t r a n so np o w e rs y s t e m s 浙江工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 9 9 3 ，8 ( 4 ) 3 】w a n gh o c h a o sa n dc r i s e si nv o l t a g ec o l l a p s eo fam o d e lp o w e rs y s t e m 1 e e e t r a n so nc i r c u i t ss y s t e m s ，1 9 9 4 ，4 1 ( 3 ) 4 】m a r i od ib e m a r d o s w i t c h i n g ，b i f u r c a t i o n ，a n dc h a o si nd c - d cc o n v e r t s ，i e e e t r a n s o nc i r c u i t sa n d s y s t e m s ，1 9 9 8 ，v 0 1 4 5 ，n o 2 ，p p l 3 3 1 4 1 5 】g p o d d e r c o n t r o l o fc h a o si nt h eb o o s t c o n v e r t e r , e l e c t r o n l e t t ，v 0 1 31 ， n o 1 1 , p p 2 5 - 2 7 ，1 9 9 5 6 】m h e n o na n dc h e i l e s t h ea p p l i c a b i l i t yo ft h et h i r di n t e g r a lo fm o t i o n ：s o m e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s a s t r o n j 1 9 6 4 ，6 9 ：7 3 7 6 7 】j , f o r d t h es t a t i s t i c a lm e c h a n i c so fc l a s s i c a la n a l y t i cd y n a m i c s i nf u n d a m e n t a l p r o b l e m si ss t a t i c a lm e c h a n i c s n o r t h h o l l a n d ，a m s t c r d a m ，1 9 8 5 ：1 0 1 1 1 2 【8 】a w o l f q u a n f i f y i n gc h a o s w i t hl y a p u n o v e x p o n e n t s i nc h a o s e d h o l d e na v ， m u p m a n c h e s t e r , 1 9 8 6 ：3 8 5 6 【9 】o t te ，g r e b o g ic ，y o r kj a c o n t r o l l i n gc h a o s p h y s i c s r e v i e wl e t t e r s ， 1 9 9 0 ，6 4 ( 1 1 ) ：1 1 9 6 - 1 1 9 9 1 0 g u a n r o n gc h e n ，x i a o n i n gd o n g c o n t r o lo fc h a o s - a s u r v e y , p r o c e e d i n g so f t h e3 2 n dc o n f e r e n c eo nd e c e s i o na n dc o n t r o l ，1 9 9 3 ( 1 2 ) 1 2 】 1 3 】 e r h u n t p h y r e v l e t t 6 7 ( 1 9 9 1 ) 1 9 5 3 ；b p e n g ，v p e t r oa n dk s h o w a l t e r ， j p h y s c h e m 9 5 ( 1 9 9 1 ) 4 9 5 7 k p y r a g a s p h y s ，l e t t a 1 7 0 ( 1 9 9 2 ) 4 2 1 ，a n d1 8 1 ( 1 9 9 3 ) 2 0 1 h u b e r m a nb a ，l u m e r e d y n a m i c so fa d a p t i v es y s t e m s i e e et r a n s ：c i r c u i t s a n d s y s t e m s ，1 9 9 0 ，3 7 ：5 4 7 - 5 4 9 1 4 】l e o n ef r o n z o n i ，m i c h e l eg i o c o n d o e x p e r i m e n t a le v i d e n c eo f s u p p e r s s i o n o f c h a o s b y r e s o n a n tp a r a m e t r i c p e r t u r b a t i o n s p h y s r e v a ，1 9 9 2 ，4 3 ( 1 2 ) 6 4 8 3 6 4 8 7 【1 5 m a c i e j ，o g o r z a l e kj t a m i n g c h a o s ：p a r tl i c o n t r 0 1 f u n d e r m e n t a lt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n ，1 9 9 3 ，4 0 ：7 0 0 - 7 0 6 1 6 】李勤学，王万良，许维胜，等混沌及其控制研究进展 j 】机电工程，1 9 9 9 ( 5 ) 1 7 】王东生，曹磊混沌、分形及其应用 m i 合肥：中国科技大学出版社，1 9 9 5 8 浙江工业大学硕士学位论文 第二章磁弹性梁的动力学行为 2 1 引言 第二章磁弹性梁的动力学行为 近年来，随着线性问题研究的日趋完善，随着工程技术对非线性分析的迫切 要求，人们的兴趣逐渐转移到非线性问题上来。而大多数力学问题的本质都是非 线性的，它们一般由非线性方程描述。 混沌广泛存在，但工程领域的混沌特性正在引起广大工程界学者的关注。发 现并研究工程混沌以及对其进行实时处理是一个重要的研究方向。也就是目前人 们普遍关注的两个问题：第一，如何利用混沌学的思想来分析复杂的非线性系统， 发现和证明系统中存在有混沌现象【1 4 1 ；第二，当系统中出现混沌现象时，如何 对它进行控制，以满足人们的需要蟠4 】。 混沌现象只出现在非线性动力学系统中，它是既普遍存在又极其复杂的现 象。它的“定常状态”不是通常概念下确定性运动的三种定常状态，即平衡、周 期运动和准周期运动，而是一种始终限于有限区域且轨道永不重复的、性态复杂 的运动。混沌运动貌似随机运动，但是它与随机运动又不同。与随机运动相比较， 混沌具有确定性运动的特征，如无周期而有序。混沌运动的基本特点有以下几个 方面：( 1 ) 高度依赖于初始条件，从而实际上不可重复；( 2 ) 局部不稳定，一般 呈指数型发散，但总体是有界的；( 3 ) 无周期、无序，可以认为混沌运动是一种 确定性的非周期运动。 本章采用数值分析的方法研究了磁弹性梁系统，得出系统产生混沌运动时参 数必须满足的条件，研究了系统参数对系统动力学性态的影响，揭示了系统对初 值的敏感依赖性、对称性、周期分岔和混沌运动等丰富现象及其变化规律。然后 根据系统运动的特点，通过改变系统的参数和初值，我们利用相图和波形图对系 统的复杂动力学行为进行了刻划和描述，并把理论分析的结果与实际所得结果进 行了比较，发现两者吻合较好。 9 浙江工业大学硕士学垃沧文 第二章磁弹性粱b 9 动力学行为 2 2 系统分析 早在1 9 7 9 年就发现磁弹性梁在外部激励作用下会发生混沌振荡，一个磁弹 性梁的结构如图2 - l ( a ) 所示。一根弹性梁固定在一个受简谐激励作用的支架上， b “ c a ) 弹性禁 图2 - 1 磁弹性粱 两块磁铁放置在支架的底部，这种梁具有双井势的性态，具有两个稳定的平衡点 和一个不稳定的平衡点，如图2 - 1 ( b ) 所示。在外部正弦激励作用下，这些稳定的 平衡点随激励幅值和频率的变化经历倍周期分岔进入混沌状态。 x , 寸l - 述系统模型，可总结出如下微分方程8 1 ： m 文+ c x a x + b x 3 = f c o s ( f ! t ) ( 2 1 ) 此类型的微分方程还见于倒摆、非线性冲击摆等装置中。 方程( 2 1 ) 中系统参数比较多，研究起来比较麻烦，为方便起见，对( 2 1 ) 进行无量纲化处理。 令：x - - 口z ，f = 口f ( 2 2 ) 骗 警= 喀= 嚆i = 篙 他， 同理： 窘= 帚等 4 ) 令：，：拿，j 。：磐 ( 2 5 ) 节： 。2 万，j2 萨 2 ) 把( 2 3 ) 、( 2 4 ) 代入( 2 1 ) ，并利用( 2 5 ) 可得： 百m e t 点”+ 罢j 一a c c r + b 如3 ：f c o s ( c o 3 f ) 矿h 万” 脓1 。5 7 ) 1 0 浙江工业大学硕士学位论文 第二章磁弹性梁的动力学行为 化简得： x ”十争一等- r + 业mz 3 = 壁m ac o s ( 2 6 ) mm j j 1 7 令： = 耥 p = 去= 厩一厩 时( 2 6 ) 式可化为： z ”+ 丽cx - “= 篆c o s ( 竺砷 ( 2 2 7eoo )上+ 声=一工+ j 。= 三lf )1 j _ m a m 进步参数代换可得： x 。+ 肛一工+ z 3 = f c o s ( o r r ) ( 2 8 ) 把f 看作t 也就是具有d u f f i n g 型的运动微分方程 + j 上x 一懈+ 触3 = fc o s ( o o ( 2 9 ) 当，很小时，磁弹性梁在两个平衡位置中的一个附近作周期振动。当，加大到一 定值时，磁弹性粱在两个磁铁间作混沌振动。当“：o 2 ，= 1 3 ，“= j b = l ，产o 7 2 ， 初始值k 产o 1 ，x o = - 0 1 时，系统出现混沌振动。与数值计算结果摆一致。 2 。3 理论计算 本文用数值方法研究系统( 2 9 ) ，导出系统出现混沌的条件。然后运用相图 分析和直接观察时间序列的方法分析系统取不同参数时，表现出的丰富的动力学 行为。 为了对系统( 2 9 ) 进行分析，引入标度变换： h 8 “，l + 占， 这里s 是一个小的扰动参数，则( 2 9 ) 式变为 a 掣。x - - i f x + 风3 = 可c o s ( 0 x ) ( 2 1 0 ) 当= 0 时，( 2 1 0 ) 式成为保守系统，即无扰系统 二瞰+ m 3 = 0( 2 1 1 ) 浙江工业大学硕士学位论文第二章磁弹性粱的动力学行为 在实空间内有三个平衡态( 0 ，o ) 和( 疡o ) ，根据无扰系统的如删矩阵， 可以判定( o ，o ) 为双蓝鞍点，( 士，o ) 为中心。无扰系统对应的h j 如n 量为 日c x ，= ；y 2 _ 詈x 2 + 导x 4 = c 。n s r ( 2 1 2 ， 其同宿轨道为 石沁m 懂高 ，沁m 詹端 则糸i 己明m e l n i k o v 幽甄刀 m ( t 。) = e y + ( f ) p 。y ( f ) + ，c o s 【。+ f 。) 】扭 = 一等鲁，。叫甍 s i i l 池 由上式可以看出，m 是否随t 的变化而改变正负号，决f g t ：e c f f i f 7 p ， 也就是比值f “，令： 删= 篆吖爰 显然，i 形i = i 么，i 尺) ，则可求得使m r j = 。的f 值，即不稳定流形与稳 定流形相交，可能出现 昆沌解。若i 形i o 的 部分，厂“ o 的部分是关于。轴对称的，下商也都只讨论，与“都为f 的情况) 对已知系统的t 个参数，j “和m ，如果，“的比值在曲线的下方，! j ! i | 系统不出 现混沌。 2 。4 动力学行为分析 当系统参数由小逐渐变大时，系统表现出丰富的动力学行为，即由倍周期分 岔进入混沌，这种倍周期振荡并由此通向混沌的情况可由相平面上的轨线图和时 间历程曲线看出。 2 。4 1 随参数，不同的动力学行为 图2 3 给出了系统随参数厂增大的丰富的动力学行为，系统参数为：“= 0 2 = 1 3 ，d = 3 = l ，初始值x o - o 1 ，x o 一0 1 。由图可以看出，当参数f = o ，3 时， 系统处于周期l 运动状态如图2 3 ( a ) 所示；当参数f = o 4 时，系统处于周期2 运动状态如图2 - 3 ( b ) 所示；当f = - o 4 5 时，系统处于周期5 运动状态如图2 - 3 ( c ) 所示；当f = - o 7 2 时，系统处于混沌运动状态如图2 - 3 ( d ) 所示。 ( a ) 厂 弋 l ， o o “o o o - 0 = p 。) i j 1 。 h a z - ：- 1 ， 1 0 0 f 砖 浙江：r 业大学硕士学位沦文 第二章磁弹性梁的动力学_ 行为 7 - , ( b ) 弋 l ( c 窬雨 够刘 0 6 0 4 “07 0 0 ! 一0 4 一o 6 0 i - ： | |oj 【_ _ 0 - 1 0 01 5 0 2 0 0 l s l 矿 ；o i ： ； 卜_ i o l ；。0 ii | 。 5 01 0 01 5 0 2 0 0 j f s ( a ) j 鞠3( b ) 声o 4( c ) f - - o 4 5 ( d ) 声o 7 2 图2 - 3 厂取不同值时的动力学行为 1 4 浙江工业大学硕士学位论文 第二章磁弹性梁的动力学行为 2 4 2 随参数h 不同的动力学行为 图2 4 给出了系统随参数“变化的动力学行为，系统参数为：= 0 7 ，f ：- o 5 0 - - - - 卢= 1 ，初始值x o - - - 0 1 ，x o _ - 0 1 。图2 4 中( a ) 一( c ) 对应的运动状态分别为周期 2 ，极限环和混沌。 ( a ) u ( b ) 矿、穑 毯一| 、 剞 ( c ) 愈褊 必芦剞 l a ) 。 ；i 4 f i 。一。，+ ，- j j | i if ，：一 一l i f + ii “圳，。? f 05 0 0 0 1 5 0 2 0 0 挑 -； _ f0 l - ，j 。 曲 一0 一o ，：i i ； l l t 1 1 l j j i i t “。1 _ | _ l i 一ji 05 01 0 01 5 02 0 0 ( a ) “= 0 9( b ) “= o 7( c ) “- - - 4 ) 3 图2 _ 4 “取不同值时的动力学行为 1 s ：n! c 1 n i i 浙江工业大学硕士学位论文 第二章磁弹性粱的动力学行为 2 4 3 随参数不同的动力学行为 图2 5 给出r 系统随参数m 变化的动力学行为，系统参数为：“：0 2 5 y = - o8 5 ，仞始值如= o 1 ，x o _ - 0 1 由图可知，系统的行为相当丰富，当m = 0 1 时，系统行为表现为吸引子如图2 5 ( a ) 所示；当m = o 2 时，系统行为表现周期6 运动状态如图2 5c o ) 所示；当m = 0 3 时，系统处于周期5 运动状态如图2 5 ( c ) 所示；当m = o 3 5 时，系统行处于周期4 运动状态如图2 5 ( d ) 所示；当m = 0 5 时， 系统处于周期3 运动状态如图2 - 5 ( e ) 所示；当o - - 0 6 5 时，系统混沌运动状态如 图2 - 5 ( f ) 所示 ( a ) 俞翁 鬯兮固 c b ) 余镝 f l ；竺猡八 、妈 t _ f ( c ) 余贰 蟛卜心 ( a ) 一p 、 7 r 伊“ 妒 渺j 5 01 。01 5 02 0 0 1 6 i ，0i j r ；墨j 。jl f l i - 。，j i 艘。i 。01 5 02 3 3 “s 叭 叭。 们 眦 浙江工业大学硕士学位论文第二章磁弹性梁的动力学行为 【d ) 蔗蛹 沙 蟛 y 傣编 峙肛刘 念雨 妒浏 ：! e 0e 0 k0 2 0 01 0 4 0t 0 6 0 h0 ： 1 0 011 02 0 0 s i9 。一| ! ，l ”i “ ，i 川 。；| j i ：l 川i l i j ，娜，j 。j 0 0“5 0 2 玎s 1 0 。； 0 e o1 0 c1 5 0 2 0 c l s ( a ) = 0 1( b ) = o 2( c ) 倒, - - 0 3( d ) ( e ，= 0 3 5( e ) = 0 5 ( d ( j = 0 6 5 图2 5取不同值时的动力学行为 2 5 系统特性分析 ( 1 ) 系统对初值的敏感依赖性 对同一个系统( 如系统( 2 9 ) ) ，在完全相同的参数条件下，采用一样的积 1 7 浙江工业大学硕士学位论文 第二章磁弹性粱的动力学行为 分步长和相同的积分步数，当选取不同的初始条件时，得到不同的混沌相图如图 2 - 6 所示。系统参数均为：u = o 2 ，m = 1 3 ，d = 口= 1 ，f = o 7 2 。 ( a ) 初始条件x 庐- - o 0 9 ，x o = - - 0 1 2( b ) 初始条件x o - - o 2 ，x o = 一0 1 5 图2 - 6 不同初始条件下的混沌相图 由图可知，( a ) 与( b ) 的外部轮廓大致相同，而其内部结构和填充过程却有较 大的差别，这就是系统对初值的敏感依赖性，是混沌的重要特性之一。 ( 2 ) 对称性 系统( 2 9 ) 是一个非自治系统，既含有空间上的中心对称性，又含有时间 上的对称性，系统的这种时空对称性会随着系统参数的改变而发生变化，从而导 致系统复杂的动力学行为。前面的分析表明：系统的空间行为会表现为对称的和 非对称的，如图2 - 4 ( a ) 和图2 5 所示。 2 6 本章小结 本章主要对磁弹性梁进行了分析。首先通过数值计算得出系统可能出现混沌 的条件，然后综合运用相图分析、直接观察时间序列的方法对系统的复杂动力学 行为，揭示了系统的周期分岔、对初值的敏感依赖性、对称性和混沌运动等复杂 行为，用计算机模拟系统的运动轨线，并把理论分析的结果与实际所得结果进行 了比较，发现两者吻合较好。 简单结论如下： ( 1 ) 上述非线性振动中存在混沌运动是有根据的。即其同宿轨道的m e l n i k o v 渐江工韭大学颈士学位论文 第二章磁弹性粱的动力学行为 函数在一定的参数范围内存在简单零点，意味着同宿轨道的稳定流形与不稳定流 形横截相交，因而存在s m a l e 马蹄意义下的混沌。 ( 2 ) 在一定的激励频率下，随着阻尼的增加产生混沌运动的激励幅值的蚓 值要提高。 参考文献 ( 1 】e k o n b l c h c h a o s i nt h e s e g m e n t e dd i s cd y n a m o , 尹l ，1 9 8 1 ，v 0 1 8 2 ，n o 9 ， p p 4 3 9 4 4 1 2 】c h i a n gh d ，c h a o si nas i m p l ep o w e rs y s t e m 1 e e et r a n s