（应用数学专业论文）延迟微分方程数值方法综述.pdf

摘要 延迟微分方程广泛应用于许多学科领域，如生命科学、医学、交通调度、工 程控制等，对描述自然科学和社会科学中的各种现象具有重要作用从二十世纪 五十年代开始，延迟微分方程理论的研究得到越来越多学者的普遍关注，其发展 非常迅速，但由于延迟项的存在，使得延迟微分方程的理论分析具有一定的困难， 而数值方法研究可以极大的弥补理论研究不足的缺憾，可见对延迟微分方程开展 数值计算方法研究十分必要 本文主要对国内延迟微分方程研究的发展现状从以下几个方面进行综述首 先，论述数值方法的研究意义以及几种求解延迟微分方程的经典格式其次，综 述延迟微分方程数值方法研究现状，对初值问题的并行算法以及r u n g e k u t t a - n y s t r 6 m 方法进行了简要论述，同时，论述了部分延迟微分方程数值方法的收敛 性再次。论述延迟微分方程数值稳定性，对e u l e r 方法的稳定性、口方法稳定 性、r u n g o - k u t t a 方法稳定性等研究加以综述最后，论述数值方法对延迟微分 方程h o p f 分支行为保持性，从数值方法对延迟微分方程式与延迟微分方程组 h o p f 分支的保持性研究现状加以综述 本文主要针对国内学者有关资料及文献进行了搜集和整理，通过对文献的系 统总结、分类、归纳，形成了层次清晰的研究报告，为进一步开展本领域的科研 工作奠定理论基础 关键词：延迟微分方程；数值方法；数值稳定性；动力行为 a b s t r a c t t h ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ew i d e l ya p p l i e di nm a n yf i e l d s s u c h 私l i f e s c i e n c e s ，m e d i c i n e ，t r a f f i ca d j u s t m e n t , e n g i n e e r i n gc o n t r o la n ds oo n , w h i c hp l a ya v e r yi m p o r t a n tr o l ei nd e s c r i b i n gv a r i o u sp h e n o m e n o n si nn a c i l r a la n ds o c i a ls c i e n c e f r o m1 9 5 0 s ，m o r ea n dm o r es c h o l a r sc a r r i e dt h et h e o r e t i c a lr e s e a r c h e sa b o u tt h e d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , a n dl o t so fr e s u l t sw e r eo b t a i n e d t h e r ew i l lb em o r e d i f f i c u l t i e sf o rt h e o r e t i c a lr e s e a r c h e s0 1 1t h ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb e c a u s eo f t h e e x i s t e n c eo fd e l a y h o w e v e r , t h er e s e a r c h e so nn u m e r i c a lm e t h o d sm a yb et op e r f e c t t h et h e o r e t i c a lr e s e a r c h e s ，8 0i ti sn e c e s s a r yt oc r r r yo u tar e s e a r c ho i lt h en u m e r i c a l m e t h o d sf o r d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 1 kd i s s e r t a t i o nm a i n l y $ u mu pt h er e s e a r c h e so nt h en u m e r i c a lm e t h o d sf o r d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hc a r r i e db yt h ed o m e s t i cr e s e a r c h e s f i r s t l y , t o d i s c u s st h es i g n i f i c a n c eo ft h en u m e r i c a lm e t h o d s ，m e a n w h i l e , t os 啪u ps e v e r a l k i n d so fc l a s s i c a ls c h e m e sf o rs o l v i n gd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s e c o n d l y , t o 翻皿 u pt h er e s e a r c h e so nt h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt o d i s c u s st h ep a r a l l e la l g o r i t h m sa sw e l la sr u n g c - k u t t a - n y s t r s mm e t h o db r i e f l yf o rt h e i n i t i a lv a l u ep r o b l e m , b e s i d e s ，t h ec o n v e r g e n c eo fs o m en u m e r i c a lm e t h o d sf o rd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw e r ed i s c u s s e da l s o t h i r d l y , t o 瓤mu pt h er e s e a r c h e so nt h e s t a b i l i t yo ft h en u m e r i c a lm e t h o d s ，f o ri n s c 孤c e ，t h ee u l e rm e t h o d , 0 - m e t h o d , r u n g e - k u t t am e t h o d f i n a l l y , t os 啪叩t h ew o r k sf o rt h ep r e s e r v ep r o p e r t yo f h o p f b i f u r c a t i o n su n d e rt h en u m e r i c a ld i s c r e t i z a t i o n n 壕d i s s e r t a t i o ng i v e so u tt h er e s e a r c hr e p o r tt o e s t a b l i s ht h et h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nf o rt h ed e e p l yr e s e a r c hi nt h i sf i e l dt h o u g hc o l l e c t i n ga n ds u m m i n gu pt h e w o r k sc a r r i e db yt h ed o m e s t i cs c h o l a rm a i n l y k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；n u m e r i c a lm e t h o d ；n u m e r i c a ls t a b i l i t y ；, d y n a m i c a lb e h a v i o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签 日期：丑蝉。么 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) ) 学位论文作者签名。d i l ! 仨垒亟指导教师签名：盆：蔓：垒 日 期：曲。日期：丝z ：! 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章绪论 1 1 数值方法的研究意义 1 1 1 延迟微分方程的重要性 1 7 5 0 年，e u l e r 提出一个古典的几何学问题；是否存在一种曲线，它经过平 移旋转运动以后能与其渐缩线重合? 1 7 9 1 年，c o n d o r e 斌讨论了这个问题，导出 了历史上第一个泛函微分方程此后许多著名的学者都提出过类似的方程，近些 年来，泛函微分方程理论的研究得到越来越多学者的普遍关注，其发展非常迅速， 在解的存在唯一性理论、稳定性理论、周期性理论、振动理论、解的算子理论和 分支理论等诸多方面都出现了重要的成果 延迟微分方程( d e l a yd i f f 即e n t i a le q l l a t i o n s ，缩写为d d e s ) 作为一类特殊 的泛函微分方程具有广泛的应用 多年来，人们在自然科学与社会科学的许多学科中提出了大量的延迟微分方 程问题在自然科学方面，如星系演化【、电路信号系统、核物理、光学2 1 、电 动力学、神经网络 3 1 、生态系统 4 1 、遗传问题【4 l 、传染病学【4 l 、人1 2 动力掣铜、 动物与植物的循环系统等学科领域；在工程领域尤其是自动控制系统r 7 】、机床切 具i s , 9 1 等方面有着广泛的应用在社会科学方面，延迟微分方程主要用于描述经 济现象，如商业销售问题【l 川、资本主义经济周期性危机、运输调度等问题 例1 1 1 在生态学中研究种群增长的重要模型l o g i s t i c 方程 n t = r n ( t ) 1 一n q d k 例1 i 2 信号控制系统中的脉冲传递函数模型 f ( f ) = c ( f ) + 6 呱【f 】) 例1 1 3 电动力学中，电流分配模型 ，( f ) = 盘，( 力+ 矗，( g f ) 例1 1 4 船舶受到风浪影响的摇摆运动稳定问题 肼矿( f ) + c o ( d + q o ( f - r ) + k o ( o = 厂( f ) 上述延迟微分方程模型不胜枚举，其广泛应用于各学科，重要性可见一斑 1 1 2 延迟微分方程数值方法研究的重要性 延迟微分方程，是泛函微分方程的一个重要分支，它的引入主要是考虑到影 响事物运动规律的因素不仅取决于当前的状态，而且还取决于过去某些时刻或某 些时间段的状态因此为更好地刻画现实现象，就需要引入对过去状态的描述， 即延迟项延迟微分方程在更精确地描述各种现象时是很有效的，在某些情况下 因延迟量q g , l , ，对系统影响不大而被略去，但当客观要求更正确认识和描述自然 界与人类社会中的各类现象，得到更贴切的结果时，那么就需要延迟项的引入， 这样也给科学研究带来了很多困难 由于延迟微分方程本身理论研究具有一定的困难。所以人们广泛采用数值方 法对这类问题进行研究数值求解延迟微分方程时，方法的稳定性具有无容置疑 的重要性而一般说来，延迟微分方程的解析解只有在其表达式非常特殊的情形 下才容易获得，因此在很大部分情形下我们必须用数值方法来求解延迟微分方 程，那么这类微分方程的数值解的稳定性就十分重要了 延迟微分方程的数值处理是近二十年来众多学者十分关注的研究课题延迟 微分方程的数值求解基本上沿用了常微分方程的数值方法，对延迟项利用插值等 方法近似处理当前，数值方法稳定性的研究工作在文献中出现较为广泛 1 2 几种求解延迟微分方程的经典格式 1 2 1r u n g e k u t t a 方法 r u n g c - k u r a 方法是1 9 0 0 年前后由r 吼g c 和k l l 仕a 最早提出的，但是直到1 9 6 0 年以后，才眭 b u t c h e r 与b u r r a g e 发展和完善由于隐式r u n g e - k u t t a 方法具有高精 度和高稳定的特点，所以在对延迟微分方程的数值处理中，这类方法一直是人们 研究的重点 考虑常微分方程 y 黧2 ，( 协 ( 1 2 1 ) l y ( f o ) = y 。， 、 已知初y o 使用步长h o ，求解近似值y y ( t 。) ，= t o + 妇的r u n g e - k u t t a 方 法为 2 l l = = 只+ a u f ( t + c j h ，掣) f = l ，j ， 川 ( 1 2 2 ) i = 咒+ 蛹， jj 其中q = ，岛= 1 如果存在常数| | 0 ，使得l i y 纯) 一儿4 勋川，称此是p j - i 1 = 1 阶的r u n g e - k u t t a 方法将上述方法应用于延迟微分方程 j y f ( f ) = ，( f ) 加吖) ) 晓t o ( 1 2 3 ) 【j ，( f ) 2 砸) ，t o 为常数 f ： t o ，t x c x c x 寸c ”及尹e c t o - r ，t o 】为给定函数，且 满足 ( a 1 ) 扩( f ， ，乃) 一f ( t ，x 2 ，儿) 忙工k - 而0 + 膨鼽- y ：l ，其中厶m o 为常数； ( a 2 ) 对给定的y e 1 t o - r ，明，映射f 哼髟，) ，( f ) ，y ( f f ) ) 在k ，叫上连续 条件( a 1 ) ，( a 2 ) 保证问题( 2 1 1 ) 的解存在且唯一 文【1 3 1 构造了求解上述问题的并行预校算法 5 p ： c ： 4t 7 k - i 工船= y 。+ 导兀( q + n f = l ，2 ， 4f ，k - i y 船= j ，+ 二 生兀( q + 占+ ，) ，i = o 1 2 ( 2 1 2 ) 4 耵t t _ 1 z 2 = 。+ 势兀( c ，+ 2 艿+ ，) ，2 ， 础= 口# ) ，州+ h b u f ( t + c ，h ，工2 ，) 5 ：! ：) ，i = l ，2 ， i s lj 一 圮= 口f y 2 + j 。+ b # f ( t + c ，h - r ，) ，嚣，z 嚣) i = l ，2 ，( 2 i 3 ) i - l t l y m = 口，只廿，+ f ( t 。+ c ，h ，工嚣，y 黔 其中础，班，2 摇，咒分别为真解y ( f 。+ q | j i ) ，y 吒+ c ，h f ) ，y 也+ q h 一2 f ) 及y ( f 。) ，( f 。= t o + 万 ) 的逼近值，r q = 0 是为预估值，q = 1 时为校正值， f = ( m - 8 ) h ，m 为正整数，万 0 , 1 ) 文中确定了方法阶为4 的条件，给出了误差分析并附以试验佐证方法的有 效性 2 2 非线性刚性变延迟微分方程d 收敛性 数值方法的收敛性分析具有十分重要的意义，基于经典l i p s c h i t z 条件的收 敛性研究已获许多重要结果然而对于刚性问题来说通常l i p s c h i t z 常数是极其 巨大从而导致了经典理论严重失实，因此，1 9 9 7 年张诚坚和周叔子【1 5 l 对一类刚 性延迟微分方程率先提出了d 一收敛性的概念，对强代数稳定且对角稳定的 r u n g e - k u t t a 方法，证明了其m 收敛阶等于级阶并构造了2 阶d 收敛的方法实 际上，d 收敛性概念是常微分方程数值方法中b 收敛性概念的推广 文【1 5 1 中考虑( 2 1 1 ) ，恒设( 2 1 1 ) 有唯一解， ( ，) 是空间c ”中的内积，l i 是相应范数，且满足条件 v t k ，r 】，v ) ，m ，y 2 ，嵋，屹c ， 6 r f ( t ，咒，“) 一f ( t ，) k ，“) ，咒一y ：) o r , 一y ：1 2 ， v ( t ，弘蚝) - f ( t ，y , u ：) | i ，1 k u 2 i ， 这里盯和，是常数，r o s ，s 仃 用( 彳，以力表示一给定的r u n g e - k u t t a 方法 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 其中彳= g # ) 五“，6 = 瓴，以) r ，c = ( c t ，c ，) r ，利用i n th o u t 7 1 定义的拉格 朗日插值r u n g e - k u t t a 方法( r k l m s ) 求解( 2 ，1 ，1 ) 可得差分格式 ：二二二霉三二譬：竺；手；：，名q2羹。) = 只+ 一言唧， + q 屯y 妒，；? ，t = t ，2 ，焉 u u 。p j 这里y ，表示真解y 【f | + c 一f ) 的拉格朗日插值 定义2 2 1 满足条件以= y 纯) o o ) ，一。) = y 瓴+ q j i ) 0 o ) 的 r k 埘( 2 2 4 ) 方法称为p 阶d 收敛的，如果方法( 2 2 4 ) 用于求解满足条件 ( 2 2 1 ) - ( 2 2 2 ) 的延迟微分方程( 2 1 1 ) 生成的近似解序列饥) ，有整体误差估 计眇( f i ) 一只i s c o 。) j 1 9 ，o h 0 为常数 r k n 方法求解( 2 3 1 ) 的差分格式为 誓“= 也) + q h 乜) + | j 1 2 - ，( 巧“，n 也- _ + 勺j i ) ) o = l ，一) ，- i y h ( t , + 珊) = 纯) + 占h 乜) + j 1 2 巧( 田厂( 巧“，儿瓴- _ + 勺| j 1 ) ) ， ( 2 3 2 ) 产1 ) ，j 纯+ 占 ) = 儿也) + 2 l ( 印，( 攀“，n 瓴+ q j i ) ) ， i = l ，j ，开= 0 , 1 ，0 【o ，1 】，其中h 为步长，对某个整数坍) o 满足埘_ i l = f ，y 。是 ( 2 3 1 ) 的解的一个连续逼近，屯( 力u = 墟，) 都是多项式且满足屯( d = 口 j - 1 8 作者在文吲中给出方法的直到四阶的阶条件和利用其求解三阶线性延迟微 分方程时的p - 稳定区域利用所给的阶条件，分别构造了特殊的二级二阶和三 级三阶连续r u n g e - k u t t a - n y s t r 6 m 方法，并通过数值实验说明方法是实用的 2 4 延迟奇异摄动问题收敛性 延迟奇异摄动问题经常出现在自动控制、电予系统及生理学等高科技领域， 它可以看成是延迟微分方程的数值方法的收敛性 奇异摄动问题数值方法的收敛性也是一个重要的研究领域，许多文献讨论了 单刚性和多刚性奇异摄动问题数值方法的误差分析带有延迟奇异摄动问题可以 看作是延迟微分方程中的一类子问题，但由于延迟奇异摄动问题的单边l i p s c h i t z 常数一般为o ( s 。1 ) ( 0 0 为常数的情形的2 0 0 4 年，余越昕、李寿佛3 1 1 研究隐 式e u l c r 法关于非线性变延迟微分方程的渐近稳定性考虑非线性变延迟微分方 程 r 1 ) ，o ) = f ( t ，y ( f ) ，y ( f f o ) ) ) t o ， ( 3 1 1 ) 1 ) ，( f ) = 伊( f ) f l t o l 及其扰动问题 1 0 i ( f ) = f ( t ，z ( f ) ，z o f ( f ) ) ) ，t o ( 3 1 2 ) l z o ) = 矿o ) l 1s f so 设( ，) 是空间c 中的内积，i i i i 是由该内积导出的范数这里毛= 嘧( - f ( r ”， 延迟量r ( t ) t o o ( t 0 ) ，仍y ：，0 】- - 4 , c 都是已知连续函数， ，：【o ，+ 呦x c ”x c ”寸c 。是给定的连续映射并满足条件 r e ( u ，- u 2 ，o ，v ) - f ( t ，吐) s 口o ) 一u 2 u 2 ，t z o , u l ，“2 。1 ，e c ”( 3 1 3 a ) 妙以材，m ) 一f ( t ，“，v 2 ) 6 s 户( f ) 慨一v 2 ，t o ，b ，v 2e c ” ( 3 1 3 ” 其中函数口o ) 和声( f ) 连续且存在函数，( f ) ，使 - r ( t ) a ( t ) = o ) ，t 0 此外恒设初值问题( 3 1 1 x 3 1 2 ) 分别有唯一真解_ ) ，( f ) 和z 对变延迟微分方程( 3 1 1 ) 用隐式e u l e r 法得差分方程 儿+ i = 只+ 矽( f “，) ，膏+ l ，y + i ) ， ( 3 1 4 ) 其中只。是y 纯。一f o o ) ) 的某种插值逼近 设隐式e i l l 盱法( 3 1 4 ) 按任意给定步长h o 分别用于求解初值问题( 3 1 1 ) 和 ( 3 1 刀得到的解序列为饥 和仁 ，那么当o s ，( f ) t os l 。口( f ) s o ( t o ) 且 m i n ( t - f ( f ) ) = 佃时，下式成立 m i l 。1 8i - - z 。l = 0 (3105 ) 一l = 协， 从而在方程真解是渐近稳定的条件下，证明隐式e u l e r 法能无条件保持该种特性 2 0 0 4 年，王文强、李寿佛p 2 】在减弱对非线性刚性变延迟微分方程初值问题本 身约束条件的前提下，证明了隐式e u l e f 方法的数值稳定性 设( 3 1 1 ) 中的，满足如下条件 r e ( v ，一u 2 ，f ( t ，毡，v 1 ) 一f ( t ，心，v 2 ) ，) 口o ) i i 码一屹1 2 + 6 0 ) i i y l v 2 f ， v t t o ，”t ，群2 ，一，叱ec ( 3 1 6 ) 这里口( f ) 和6 ( f ) 连续，仍恒设( 3 1 1 ) 存在唯一解y ( t ) 由( 3 1 6 ) ，令 口o ) = 口( f ) + 譬笋，6 ( f ) = 譬，可得( 3 1 3 ) 成立，这意味着条件( 3 1 6 ) 比( 3 1 3 ) 弱 基于上述假设作者在文【3 2 1 中得出如下结论 1 若6 ( f ) 吲( f ) ，则隐式e u l e r 方法是稳定的 2 若6 ( f ) - v a ( t ) ( o v ，则隐式e u l e r 方法是渐近稳定的 2 0 0 4 年，余越听【3 3 】针对非线性比例延迟微分方程，研究隐式e u l e r 法的数值 稳定性，其中步长采用定步长和变步长两种方式结果表明在比例延迟微分方程 真解是稳定或渐近稳定的条件下，定步长与变步长的隐式e u l e r 法得到的数值解 同样是稳定或渐近稳定的 考虑比例延迟微分方程 ly o ) = f ( t ，y o ) ，y ( q r ) ) ，f o 1 ) ，( o ) ：玎，叩c ”， ( 3 j 7 和扰动问题 臁r 一譬等沱0 埔， l z ( 0 ) = ，玎e ， 这里o 叮 o 是步长，只是( 3 1 7 ) 的真解y ( f ) 在，。- - n h 处值的逼近，歹。是y ( 叮n ) 的 逼近，可利用已求出的诸逼近值乃，f = 1 ，2 ，珂一1 及儿通过线性插值得到其中 q n = 【卯】+ j ， q n 表示q n 的整数部分，定义歹。= 旁b + ( 1 一占b 】 对( 3 1 8 ) 应用同样方法得 毛z s _ t + ，矿饥，乙，z - ) ，( 3 1 1 0 ) 其中：- = & k + ( 1 一艿k b l 余越昕针对上述问题得出如下结果 1 当口o ) + ( f ) o 时，有下式成立 4 只一乙i s 肛一刎，疗o ， 这表明定步长隐式e u l e r 法是稳定的 2 当y a ( t ) + f l ( t ) o ( o ， o ) ，有区间( 0 ，气】所需的数值解 ( 可用定步长的隐式e l l 蚓去及线性插值获得) 为简化计算，设f o2 l 记五= 上q tf o = 7 1 ， 1 = 0 , 1 ，2 ，在区间【瓦，正】中定义网格节点，瓦= “ f l f 2 f 。 o ( 3 2 2 ) i z ( t ) = 仍o ) ，t so ， 其中延迟量f o ，纸和仍连续，f ：【o + ) x x _ 工是一个给定映射，满足 r e ( 岣- u 2 , f ( t ，d f ( t ，屹，d ，) s 口8 蚝- - 1 1 2 1 1 2 ，t 2 0 , g l , u 2 , v x ( 3 2 3 a ) 扩o ，“，m ) 厂( f ，“，屹) 0 l h v 20 ， f o ，“，h ，v 2 x ( 3 2 3 b ) 其中口，皆为实数，恒设( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 分别存在唯一真解y ( f ) 、z ( t ) 作者在文【卅中给出t g a r - 稳定性概念，它是g p 稳定性在非线性情形的一 般化 定义3 2 1 ( g a r 稳定) 一个数值方法称为g a r - 稳定的，如果用该方法按任意步 k h o 求解满足条件 o 为步长，矽【o ，l 】，t l = n h ，以逼近) ，以) ，) ，。逼近_ ) ，( f - r ) ，它可通 过已有节点上的值儿( 七开) 在点t = t 一f 插值获得 由于方法( 3 2 4 ) 的阶不超 过2 ，因而可采用线性插值设f = ( 埘一o d h ，其中埘为正整数，艿 0 , i ) ，定义 歹= 西。+ ( 1 一, d y - - ，其中乃= 仍( f j ) ，i o 用同一方法求解( 3 2 2 ) 获解序列 乙 z 。= z 。- i + o h f ( t ，z ，；) + ( 1 一目) ，i ( f - l ，z _ l ，；一i ) ，一= 1 ，2 3 ， z - = & 一+ i + o a ) z ， 其中毛= 仍纯) f s 0 作者在文州中证明了，当且仅当口【1 2 1 】时p 一方法是翻脯急定的，且 i r - , a 2 + h 2 0 2 f 以，以，歹) 一厂( f l ，；) 1 1 2 2 j l + 声) 霎l k z 彳 a o + p r ) m 器j v j - - z j 8 2 + j 1 2 目2 扩( f o ，一y 。) 一f ( t o ，- 0 ) | 2 作为推论文章得到隐式e u l e r 法与梯形方法，皆是g a r - 稳定的 2 0 0 5 年，刘明珠、闫达文嗍利用o - 方法研究带有一个延迟项【f 】的自变量分 段连续型延迟微分方程 工黧硼( f ) + 删f 】) 佗o ， ( 3 2 5 ) 【并( o ) = x o ， 其中吼a o ，x o 为实常数 方程( 3 2 5 ) 在【o ，m ) 的区间上有唯一解砸) = o d ，其中m 是f 的小 数部分，且( f ) = + ( ，- 1 ) a a o ，= m o ，方程( 3 2 5 ) 是渐近稳定的充要条件 是解析解的稳定区域为日= 卜小一等 郇斗把每个区问 【| i ，七十l 】 = o ，1 ，2 ，) 分成r a k 个小区间，其分点t * o , t k j ，。满 足 k = 气o t k ，l 。帆= | | + l ，令以= 。l 一扣i ，i = 1 ，2 ， j i = m a 】【 ，i j = o ，1 ，2 ，f = l ，2 ”峨 ，而且对所有的七，l 满足 0 2 0 0 4 i g ，徐阳、刘明珠、赵景军【3 7 1 研究( 3 3 1 ) 多步r 啪妒k l l t t a 方法的g p d 稳 定性，给出了方程组解析解渐近稳定的充分条件，进一步讨论了在此条件下数值 方法g p d 稳定性与a - 稳定性的等价性 徐阳等在文即中考虑求解一般中立型延迟微分方程 y ( f ) = f ( t ，儿) y o f 1 ) ，y o 一屯”，t o ，( 3 3 2 ) 的两步隐式r t m g e - k u t t a 方法 i y 。= ( 1 一口) 只+ p 蜘+ 岛疋+ 幻e 叫， ，“ “ ， ( 3 3 3 ) l 墨j - - - - ，以+ q h 一+ h a u k ，h + + h y ：d c - ，+ a t d 疋 喝) ， ij - l，一l 其中p 【o l 】，) ，k 分别表示对方程解析解) ，纯) ，y 纯+ q | j i ) 的数值近似， 蠡= m l f l i h g o , d ， 暖= m 2 一f 2 h 【o 1 ) 记a = “，) r ” ， 6 = ，吃) 7 c r ，b = ，以) 7c r 并且c = ( c j ，q ) 7e r ，用两步隐式 r u n g e - k u t t a 方法可以记为( 以6 i c ) 应用文献【1 6 1 中构造的一类新型插值结构进行插值，则有 ) + 再= ( 4 溉，叩，k ，蝎= 玄 ) 邑叶叩j 舯鹕) 2 且。等k - 飙舭川 定义3 3 1 当中立型延迟微分方程( 3 3 1 ) 满足条件 i m i ，m a x r e g i ( r ( z l ，z 2 ) ) ，z c 。，。，：) = ( 工+ 毛 一一1 且 一- , i n z z l l r ( zm ) f f , z 2 n ) 1 7 五( ) 表示矩阵的第f 个特征值，i = 1 ，d ，蚓1 ，l z 2 1 应用数值方法求解 ( 3 3 1 ) 如果数值i * y 满足l i m 只= 0 那么称此数值方法是g p d 一稳定的 文【3 7 1 中给出如下结论：在，s s ，+ 2 时，如果中立型延迟微分方程( 3 3 1 ) 满足条件( 3 3 4 ) ，则两步隐式r u n g e - k u t t a 方法是g p d - 稳定的当且仅当它是a _ 稳定的 2 0 0 4 年，徐阳、刘明珠【3 8 】针对双比例延迟微分方程组 嚣y ( t 粉z 然x ( q ， s 国 【_ ) ，( f ) = 如) + 2 2 f ) ， 、7 其中 k i - r e 2 1 ，i 鲍l 一r e 2 2 ，r e o r e a 2 o ， ( 3 3 6 ) 研究具有刚性精度r u n g e - k u t t a 方法的渐近稳定性，建立了一类普遍意义下的变 步长格式进一步，在方程组解析解渐近稳定和r u n g e k u t t a 方法矩阵系数彳非 奇异的条件下，证明了具有刚性精度的变步长r u n g e - k u t t a 方法渐近稳定的充要 条件为卜m ，一r ( z ) i 1 ， 其中r ( z ) = 1 + x b 7 ( ，一锄- 1 e 表示方法的稳定函数 3 4 随机延迟微分方程数值方法的稳定性 在随机控制、经济学、人口动力学等研究领域中，随机微分方程作为一种重 要的数学模型应用相当广泛相对于随机常微分方程而言，由于考虑了时间滞后 对系统的影响，随机延迟微分方程可以对那些与过去状态相关的系统当前的性态 及变化规律进行更加客观的描述 随机延迟微分方程具有如下的一般形式 竺! 2 ! j ( f o 二f ) ) 出+ g ( f ，工o ) x o f ) 矽形f 2 o ( 3 4 1 ) i r ( f ) = o ) ，t e 【叮，o 】 。 2 0 0 5 年，曹婉容、刘明珠口9 1 研究了带有延迟项的随机微分方程e u l e r - m a r u y a m a 方法的t 稳定性从运用计算机实现的角度来说这种直接针对样本路径的稳定性 较均方稳定性更具优势通过对带有特定驱动过程的e u l e r - m a r u y a m a 方法应用到 线性试验方程上得到的差分方程进行讨论，给出了e u l e r m a r u 烨方法t 稳定 1 8 的条件 同年，曹婉容、刘明珠研究了带有延迟项的随机微分方程半隐式m i l s t e i n 方法的稳定性通过对数值方法应用到线性试验方程上得到的差分方程进行讨 论，给出了半隐式m i l s t e i n 方法m s 稳定及g m s 稳定的充分条件，并给出了一些 数值算例 2 0 0 5 年，范振成、刘明珠【4 1 l 给出了随机延迟微分方程数值解的r a z u m i k h m 型p 阶矩指数稳定条件；作为应用，考虑线性随机延迟微分方程的显式欧拉方法， 得到了均方指数稳定条件这是首次关于随机延迟微分方程数值解的p 阶矩指数 稳定的研究报导，也是首次得到的随机延迟微分方程数值解的r a z u m i k h m 型结 论 1 9 第四章数值方法对延迟微分方程分支行为保持性研究 在分支问题的研究中，h o p f 分支是一种常见而且重要的分支现象对延迟 微分方程h o p f 分支的研究思想来源于常微分方程的h o p f 分支理论1 4 2 ，其主要 的困难是分析其在奇点处线性化部分特征方程的根的分布情况，因为通常情况下 延迟微分方程的特征方程是超越方程，其根的分布情况较早为人们关注【4 3 】，魏俊 杰等人利用r o u c h e 定理给出了指数多项式零点分布理论，为h o p f 分支的确定给 出了重要方法 4 4 1 f a r i a 等【4 5 1 将中心流形约化和规范型理论推广到延迟微分方程 并成功应用于h o p f 分支问题研究上，此外，对延迟微分方程具体模型的h o p f 分支研究工作得到了国内外学者们的广泛关注 4 6 5 3 1 用数值方法求解延迟微分方程，基本上沿用了常微分方程的数值解法( 见【5 4 ，5 5 】 及前文所述) ，除了讨论其稳定性之外，还应考虑离散化格式对原方程动力学行 为的保持性( 继承性) 这一领域，近几年来得到了国内外学者们的重视 4 1 数值方法对延迟微分方程h o p f 分支的保持性研究 数值方法求解延迟微分方程时有理由要求离散格式能够保持解析解的分支 性质i n th o u t 和l u b i c h 蚓最早研究了r u n g e k u t t a 方法对周期解的逼近问题， 证明了当步长充分小时，数值解也有不变曲线，并且该曲线以方法阶p 逼近于原 方程的周期解以后，学者们陆续关注数值方法对延迟微分方程解析解的动力学 行为的继承性 若延迟微分方程在参数口处产生h o p f 分支，则其数值离散格式是否也产生 n e i m a r k - s a c k e r 分支( 即映射的h o p f 分支) ，其分支参数与口有何关系? 己知 一阶延迟微分方程 y x f ) = 一五) ，( t - d 1 - y 2 0 ) 】，( 4 1 ) 当参数a = 要时，系统的零点经历h o p f 分支k c 舾吲利用中心流形约化与 上 n e i m a r k - s a c k e r 分支定理研究了e u l e r 方法n e i m a r k s a c k e r 分支的存在性问题， 并给出其分支参数值为2 s j n 2 ( 2 m l + 一i ) 然而，正如k o t o 在文中所述，其方法很 难得到推广 最近，英国的曼彻斯特计算数学研究中心的f o r d 和w u l i f 5 删给出了研究该 问题的一种新方法，即将数值方法表示为映射，利用映射的分支理论和隐函数定 理得到数值离散格式的n e i m a r k - s a c k e r 分支，以及分支方向等进一步信息文【铷 利用0 一方法研究了一阶延迟微分方程 ) ，t ( f ) = 砂( f 一1 ) 【1 + ) ，o ) 】，y e 震 的数值h o p f 分支存在性问题文劈1 利用e u l e r 方法研究了一阶延迟微分方程 y ( f ) = m ( f ) ，y ( t - 1 ) ，d ，y r( 4 2 ) 的数值h o p f 分支以及分支方向的数值逼近问题 在国内，张春蕊等率先推广了f o r d 和w u l f 的方法研究了延迟微分方程的数 值h o p f 分支问题文哪】利用e u l e r 方法研究了以延迟为参数的向日葵方程的数 值h o p f 分支存在性问题；文嘲利用e u l e r 方法研究了一个生理模型的数值h o p f 分支存在性；文嘲1 利用e u l e r 方法研究了= 维延迟微分方程 y t ( f ) = 厂抄o ) ，y ( f 1 ) ，a ) ，y e r 2 的数值h o p f 分支与分支方向问题，但其方法并不能简单的推广到高维方程组情 形，文州用r - k 方法研究了一阶延迟微分方程( 4 1 ) 的数值h o p f 分支的存在性问 题文f 6 5 嗣利用剐e r 方法分别研究了比较特殊的两个延迟和多个延迟的神经网 络模型的数值h o p f