（力学专业论文）楔形构件的位移和稳定性分析.pdf

国防科学技术大学研究生院。 学硕+ 学位论文 摘要 本文针对刚架中常用到的楔形变截面构件，以腹板高度线性渐变的工字钢楔形构件为 研究对象，对楔形构件的位移和稳定性问题进行了系统的研究。主要有三个方面的内容 一是按照虚功原理，用数值方法拟合出楔形构件在无侧移、有侧移情况下的转角位移 的近似计算方法，提出单段变截面梁的三个约束刚度。并在此基础上提出了一种解决变截 面构件位移问题的新方法。 二是对理想条件下腹板高度线性渐变的工字钢楔形压弯构件进行了弹性稳定分析，利 用有限单元法进行数值计算，结合能量法求得楔形压弯构件临界荷载近似计算式，得到物 理意义明确，精度较高的扭转、弯扭屈曲荷载表达式。文章还给出了梁柱p m 关系，便于 在工程中应用。 三是分析了由若干段等截面或者变截面构件组成的压杆的平面内稳定问题。先研究在 两端铰接条件下，由三段等截面构件组成的压杆平面内稳定问题，并对两端为变截面构件， 中间为等截面构件组成的压杆平面内稳定问题进行分析，得到形式类似的屈曲荷载计算公 式。最后还对两端固接的情况进行研究分析。 关键词：楔形构件临界荷载稳定性门式刚架计算长度系数转动约束 第i 页 国防科学技术大学研究生院 ：学硕十学位论文 a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h et a p e r e dm e m b e r s 砸t his e c t i o n su s e dv e r yo f t e nf o rs t e e ls t r u c t u r e s t h e m a i nw o r ko ft h i st h e s i si st os t u d yt h ed i s p l a c e m e n ta n ds t a b i l i t yo ft h et a p e r e dm e m b e r s t h e m a i na e h i e v e m e n t so b t a i n e di nt h i st h e s i sa l ea sf o l l o w s f i r s t l y , t h i st h e s i sp r e s e n t e da ne x p l i c i tr o t a t i o n d e f l e c t i o nr e l a t i o no ft a p e r e dm e m b e rb a s e d o nn u m e r i c a la n a l y s i s t h r e er o t a t i o n a lr e s t r i c t i o na r ed e r i v e da n dan e wm e t h o di sp r o p o s e df o r t h es o l u t i o nt ot h ed i s p l a c e m e mo f v a r y i n ga c r o s s i n g s e c t i o nm e m b e r s e c o n d l y , t h i st h e s i sd os o m ea n a l y s i sa b o u tt h es t a b i l i t yo ft h ew e b - t a p e r e d ，c a n t i l e v e r m e m b e r sw i t his e c t i o n b yu s i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n de n e r g ym e t h o d ，t h ee x p r e s s i o n a b o u tc r i t i c a ll o a da n dt o r s i o n ，f l e x u r a l - t o r s i o n a ll o a dw a sg i v e n w h a t sm o r e ，f o re a s i l yu s e di n p r o j e c t ，t h ep - mr e l a t i o na b o u tg i r d e ra n dc o l u m n i a t i o nw a sa l s og i v e ni nt h i sp a p e r f i n a l l y , r e s e a r c hi sc o n d u c t e do nt h ei n - p l a n ee l a s t i cs t a b i l i t yo fc o l u m n sc o m p o s e do f s e v e r a lp r i s m a t i co rt a p e r e dm e m b e r sf o rd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s d i f f e r e n ts i m p l ea n d a p p l i c a b l ef o r m u l a eo fb u c k l i n gl o a da l eo b t a i n e dh e r e ，t op r o v i d es i m p l em e t h o d st oc h e c kt h e i n - p l a n ee l a s t i cs t a b i l i t yf o re n g i n e e r i n gd e s i g na n dr e l e v a n tr u l e s k e yw o r d s ：t a p e r e dm e m b e r ，c r i t i c a ll o a d ，s t a b i l i t y ，p o r t a lf r a m e ，e f f e c t i v el e n g t h c o e f f i c i e n t ，t o r s i o n a lb u c k l i n g 第i i 页 国防科学技术大学研究生院下学硕+ 学位论文 表目录 表2 - 1 不同构件截面惯性矩近似度 表2 - 2 式( 2 4 ，2 5 ，2 6 ) 与数值解之比h ( 1 0 0 6 0 0 ) 一6 0 0 2 0 0 x 8 1 0 1 6 表2 3 ( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 式墨。、墨2 、k 2 2 与数值解之比1 8 表2 - 4 式( 2 2 2 ) 解答k ：与数值解比较2 2 表2 5 式( 2 2 4 ) 解答k ：与数值方法解之比，2 3 表2 - 6 式( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 解与数值解之比 表2 7 式( 3 1 0 ) 解答e 与数值解2 6 表2 8 式( 2 3 1 ) 解数值解之比2 7 表2 - 9 式( 2 3 4 ) 和数值解的比值 表2 1 0 式( 2 3 6 ) 和数值解的比值 表2 1 l 式( 2 3 9 ) 和数值解的比值 表2 1 2 式( 2 4 2 ) 和数值解的比值。 表3 1 表3 - 2 表3 3 表3 4 表3 5 表3 6 表禾l 表4 2 表4 _ 3 表“ 表4 _ 5 3 1 3 2 3 4 h 1 5 0 6 0 0 木3 0 0 术5 l o 端点截面比较3 9 双、单轴对称截面杆件不同方法计算屈曲荷载的结果和有限元结果的比值4 2 翘曲项和自由扭转项( 单位：k n ) 。 单轴对称截面杆件不同计算值和有限元结果的比值4 7 有限元方法计算翼缘宽度和厚度变化的杆件屈曲荷载5 0 ( p ，名+ 肘m 。) 计算值。 有限元方法和式( 4 8 ) 的分析结果比较5 9 式( 4 - 8 ) 精度和中段长度关系6 0 公式解和有限元解及4 裕陋的比较 求解屈曲荷载的程序解、, 4 n s y s 解，及( 4 - 2 0 ) 、( 4 2 2 ) 和程序解的比值6 5 式( 4 - 2 4 ) 和有限元程序得到屈曲荷载的比值6 7 第1 v 页 国防科学技术大学研究生院t 学硕十学位论文 图目录 图1 1 图2 1 图2 - 2 图2 3 图2 4 图2 5 图2 - 6 图2 7 图2 8 图2 - 9 图2 1 0 图2 1 l 图2 1 2 图2 1 3 图2 1 4 图2 1 5 图3 1 图3 2 图3 3 图3 - 4 图4 1 图睨 图4 _ 3 跃越失稳 变截面构件及其截面 无侧移受弯的楔形构件 有侧移受弯的楔形构件 单段变截面梁的四个约束作用 冠和m 的图示- 变截面门式刚架 两段变截面构件组成的梁对柱的约束作用 三段变截面构件组成的梁 单段变截面梁无侧移失稳梁对柱的约束作用 1 5 1 6 1 7 无侧移失稳时两段变截面构件组成的梁对柱的约束作用2 5 无侧移失稳时三段变截面构件组成的梁对柱的约束作用2 6 单段变截面简支梁受集中力作用 两段变截面构件受集中荷载作用 单段变截面悬臂梁 多段变截面悬臂粱 铰接的楔形柱和截面 双轴对称截面杆件p m 关系 翼缘宽度变化的单轴对称截面杆件p - m 关系 翼缘厚度变化的单轴对称截面杆件p _ m 关系 变截面轴心受压构件的屈曲荷载一 变截面柱 2 8 2 9 3 l 3 3 3 7 5 2 不同情况支座的变截面轴心受压构件的屈曲荷载6 3 第v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：摆型控盐曲焦壁盘整庭性金堑 学位论文作者签名：蹲 日期：2 。6 年5 月1 5 日 学位论文版权使用授权书 本人完金了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：搓受捡佳的焦整塑整基性佥堑 学位论文作者签名：逛 日期：2 0 0 6 年5月1 5 日 作者指导教师签名：。越! 翌 日期： 汐年岁月2 歹日 国防科学技术大学研究生院丁学硕十学位论文 第一章前言 1 1 引言 首先，在工程设计中，变截面构件常常由于其具有良好的力学性能而得到广泛应用， 如房屋建筑中的悬臂梁，供电、通讯部门用于架设输电及通讯线路的圆形空心竖杆等。由 于这类构件的抗弯变刚度e i 沿其长度变化，且e i = f ( x ) 表达式较为复杂，即变截面构件 的控制方程为变系数微分方程，求解变系数微分方程一般用近似解法，要得到好一些的解 答，无论从公式推演，或计算机求解都比较复杂，故而尚无统一的理论计算解析表达式。 工程中计算这类构件挠度时，大多用近似解法。对于其强度、刚度的研究国内外学者都有 一定的探讨，但是还有很多问题没有得到很好的解决。例如在建筑结构中，为了节约钢 材，降低造价，常常依照结构内力的变化，将门式刚架的工字形截面组合梁、柱设计成变 截面梁的楔形构件，即构件腹板高度沿长度方向线性变化。对这种结构，一般需要用有限 元计算程序进行计算，才能精确分析其内力、变形及整体稳定性。而进行有限元分析时， 必须要有具有一定精度及数值稳定性的楔形杆件单元。等截面弹性梁的变形已得到广泛的 研究，矩形变截面梁的变形封闭解也已求得。在此基础上，有学者给出了矩形变截面梁的 有限元表达式。以前，对楔形构件，为得到具有一定计算精度的结果，常将其离散为一段 短的等截面构件，将连续变化的构件等效为阶梯变化的构件。这样做，不利于结构的进一 步分析( 如整体稳定性的计算) 。对于楔形变截面构件的位移问题，目前没有形式简单 且精度较高的公式解。 再次，钢材强度很高，具有很好的延性，钢结构壁薄修长，构造轻巧。因此，当研究 钢结构及其构件的工作性能和极限承载力时【1 1 ，弹性阶段或者弹塑性阶段的稳定问题便成 为分析中的一个主要问题。防止构件或者结构的稳定破坏，并非使它们的实际应力低于某 一规定值，而是要防止一种特殊的不平衡状态的出现：即当荷载仅有微量增加时，应力应 变不按比例发展，应变显著增加，而增加量无法确定。可以认为构件或者结构的失稳破坏 是它们内部抗力的突然崩溃，这是钢结构屈曲现象的特征【2 l 。由于结构或者构件的失稳破 坏比较突然，屈曲一旦发生，结构随即崩溃，因而比强度破坏更加危险。 至于截面的极限强度，它是作为失稳极限承载能力的一个上限来讨论。组成构件各板 件的局部稳定问题，在设计中常由规定板件的最小厚度来保证。在探讨构件的整体稳定时， 第l 页 国防科学技术大学研究生院下学硕十学位论文 它与截面的极限强度类似，也仅起一个上限的作用，并无更多的相互关系。结构的整体稳 定和构件的稳定有着不同的表达方式1 3 】，但两者之间存在内在复杂的关系，在实际的设计 中，常把两者单独考虑。对于单个构件的稳定问题，无论是理想情况还是近似实际模型， 理论上都有一套比较成熟的分析方法；而对于结构的稳定问题，由于构件之间的相互作用 以及几何、材料非线性的影响，需要进行支架的弹塑性二阶分析。 楔形构件截面变化形式接近荷载作用下的弯矩图，材料分布合理，外形轻巧美观。由 于其诸多优点，2 0 世纪六七十年代，欧、美等国已经在工业建筑上大量应用。近年来，随 着我国钢材产量的大幅提高，国家大力推广钢材在建筑领域的应用，楔形变截面轻钢门式 剐架作为一种重要的结构形式，已广泛用于厂房、仓库、超市、农贸市场、体育设旌、车 站候车室、码头站台等。 对于变截面构件，国外学着已经进行了广泛的研究，为变截面构件在实际工程中应用 奠定了理论和试验依据。美国柱子协会( c r c ) 和焊接协会( w r c ) 专门成立了联合工作委员 会，研究楔形构件的稳定承载能力，并测量了焊接楔形杆的残余应力的大小及其分布，为 楔形杆的设计提供了数据和建议。楔形构件的截面高度沿长度方向不断变化，因此截面参 数众多，给楔形构件的应用带来较大困难。在欧美等国的钢结构设计规范中，已经列入了 楔形构件的有关设计内容 4 1 。但美国钢结构协会a i s c 稳定计算公式和我国目前使用的稳 定构件计算公式截然不同：前者不分平面内、外，采用同一个计算公式，而后者明确划分 平面内外稳定是两种不同的破坏形式，从而也采用不同的计算。到目前为止，我国对楔形 变截面构件研究较少。 1 2 论文研究背景 1 2 1 用虚功原理分析结构的位移i s l l 6 1 杆件结构在荷载作用下，会产生应力和应变，以致结构的原有形状会发生变化。其上 各点的位置将会移动，杆件的横截面也会发生转动，这些移动和转动统称为位移。除荷载 能使结构产生位移外，结构在其他因素下( 例如温度改变、支座位移、材料收缩和误差等) 影响下，虽然不一定都发生应力和应变，但却会使结构改变原有的位置而产生位移。工程 中计算结构位移的目的在于 1 ) 验算结构的刚度。所谓结构的刚度验算，是指检验结构的变形是否符合使用的要求。 例如，在设计吊车梁的时候，为了保证吊车能正常行驶；在设计铁路桥梁时，为了 第2 页 国防科学技术大学研究生院下学硕十学位论文 使线路平顺，各种设计规范中对梁产生的最大挠度都作了限制。因此为了验算结构 的刚度，需要计算结构的位移。 2 ) 在结构的制作、架设和养护等过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便做出 一定的使用措施。 3 ) 为超静定结构的弹性分析打下基础。在弹性范围内分析超静定结构时除了需要考虑 平衡条件外，还需考虑变形条件。因此不论用什么方法进行研究，都需要以计算位 移作为基础。 杆件的位移可以分为线性位移和非线性位移 所谓线性位移是指位移与荷载里线性关系的位移，而且在荷载全部撤除后，位移将完 全消失。这种体系也称为线弹性体系，它需要下列条件 1 ) 应力和变形的关系满足胡克定律。 2 ) 体系是几何不变的，且所有的约束都为理想约束。所谓理想约束是指体系发生位 移过程中约束力不作功的体系。例如，刚性支座链杆和无摩擦的光滑铰就是理想 支座。 3 ) 位移是微小的。当线性变形体系同时受荷载、温度变化和支座位移等多种因素作 用时，它的位移计算可以应用叠加原理。 对于位移和荷载不呈线性关系的位移称为非线性位移。其中若材料的物理性质是非线 性的，称为物理非线性；而当体系的变形过大以致需要按变形后的几何位置来进行计算时 ( 例如柔度的计算) 则称为几何非线性位移。在本文中我们讨论的都是线性位移。 在刚体体系中，虚功原理可以表述为：在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态中 力系能满足平衡条件，位移状态中的刚体位移能与约束几何相容，则外力虚功之和等于零。 即 矿= 0 。 上式称为刚体体系的虚功方程。 静定结构在荷载作用下的位移可以按照虚功原理进行计算，不考虑支座位移的影响， 位移计算公式为 趣= 厄础+ j f q y d s + 肛砌 在式中，微段的变形( 础，脑，础) 仅是由于荷载作用引起的。设以、坼 表示实际状态( e 口位移状态) 中微段西上所受的轴力、剪力和弯矩，对于线弹性范围内的变 第3 页 国防科学技术大学研究生院t 学硕+ 学位论文 形，有材料力学的公式的 占= 鲁，y = 后鲁茁= 鲁 式中点疆、g 、凹分别为杆件截面的抗拉、抗剪和抗弯刚度；k 为与截面形状有关的系数。 所以结构的位移表达式为 驴睁+ 弘鲁凼+ 睁 上式即为平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。式中元、忍、露代表虚拟状态中 由于广义的虚单位荷载所产生的虚内力，0 、晶，、 砟则代表原结构中由于实际荷载所 产生的内力。 在静定结构中，元、屈、露和、坼等均可通过静力平衡条件求得，故可 利用该式来计算静定结构在荷载下的位移。 在梁和刚架中，轴向变形和剪切变形的影响一般都很小，可以略去不计。这样位移的 计算式为 。= 肇 本文中研究的正是此类构件。我们采用上述公式作为出发方程。 1 z 2 杆件失稳的类型m 钢结构构件的失稳从性质上来说可以分三类。 1 、平衡分岔失稳 完善的( 即无缺陷、挺直) 轴心受压构件和完善的在中面内受压平板的失稳都属于平衡 分岔失稳问题，属于这类的还有理想的受弯构件以及受压的圆柱壳等的失稳。 以完善的轴心受压构件为例，当作用于端部的荷载，在未达到某限值时，构件始终 保持挺直的稳定平衡状态，构件截面只承受均匀的压应力，同时沿构件的轴线只产生相应 的压缩变形。但当压力达到一特定的限制名时，构件会突然发生弯曲，由原来的轴心受压 的平衡形式转变为与之相邻的但是带弯曲的新的平衡形式。即荷载到乓后，荷载挠度曲线 出现了两个可能的平衡途径，所以其失稳称为平衡分岔失稳，也称第类失稳，只称为屈 第4 页 国防科学技术大学研究生院t 学硕七学位论文 曲荷载或者临界荷载。 2 、极值点失稳 偏心受压杆件从一开始其侧移即随荷载的增加而持续增大。其后由于塑性区的发展， 侧移增大越来越大，最后达到极限荷载，此后荷载必须逐渐下降才能继续保持内外力的 平衡。这种失稳问题和平衡分岔失稳具有本质的区别，它的平衡状态是渐变的，不发生分 岔失稳现象。它失稳时的荷载只也就是构件的实际极限荷载，故称为极值点失稳。 实际的轴心受压构件因为都存在初始弯曲和荷载的作用点稍稍偏离构件轴线的初始 偏心，因此其荷载挠度曲线也里现极值点失稳现象。这种稳定问题的求解通常是考虑初始 缺陷，设法找出荷载全过程的位移关系，求得荷载一位移曲线，包括曲线的上升段和下降 段，从而得到极限荷载e 。这个途径比较复杂，要同时考虑材料和几何非线性，很难求得 解析解，常用计算机进行数值分析求出近似解。 3 、跃越失稳 如图1 - 1 所示的两端铰接较平坦的拱结构，在均布荷载q 的作用下有挠度w ，其荷载 曲线也有稳定的上升段o a ，但是达到曲线的最高点a 时会突然跳跃到一个非邻近的的具 有很大变形的c 点，拱结构顷刻下垂。在荷载挠度曲线上，虚线a b 是不稳定的，b c 段 是稳定的而且一直是上升的，但是因为结构已经破坏，故不能被利用。与a 点对应的荷载 q 。是拱的临界荷载，这种失稳现象称为跃越失稳。 y f c 、jj 图1 1 跃越失稳 区分结构失稳类型的性质十分重要，否则就不可能正确估量结构的稳定承载能力。 第5 页 国防科学技术大学研究生院t 学硕士学位论文 1 3 研究现状 1 3 1 变截面构件位移问题的研究 由于变截面构件的优越性和广泛使用，国内外学者对变截面构件的位移问题进行了广 泛的研究。 楔形梁的平衡微分方程是典型的变系数微分方程，前人对这类变系数微分方程提出过 一些解法，例如直接积分法，利用b e s s e l 函数法，边界积分法，多项式级数展开法以及 f o u r i e r 级数加上多项式级数展开法等，但对于同时考虑轴力和剪切变形效应的 t i m o s h e n k o - - e u l e r 楔形梁平衡微分方程，由于其复杂性，前述方法中的一部分已无能为 力，还有一部分则会显得相当繁琐。文献嘲中首先建立楔形梁包含轴力和剪切变形效应的 平衡微分方程，由于该方程是二阶变系数微分方程，其解析解很难得到。文章通过将该方 程中的变系数和方程的解用c h e b y s h e v 多项式逼近得到t t i m o s h e n k o - e u l e r 楔形梁的单元 刚度方程。最后通过算例检验了所得单元刚度方程的对称性，以及验证了计算悬臂梁挠度 和悬臂拄弹性临界力的正确性及其收敛性。 文献【卿根据梁弯曲时挠度曲线的基本微分方程，推导出等厚薄壁受压构件及矩形变截 面悬臂梁的挠度计算理论表达式，可供工程设计中类似受力构件挠度计算时参考。 文献【1 0 l 将实际结构简化为力学模型时须作如下处理 1 ) 凡构件截面变化点、集中载荷作用点、均布载荷变化点及所有需计算位移的截面都 看作节点。 2 ) 截面连续变化的梁段看作由若干等截面的梁段组成，分段的数目可视计算精度而 定。 3 ) 受非分布载荷作用的梁段看作由若干受均布载荷作用的梁段组成，分段数目亦视计 算精度而定 作了上述处理后，实际构件都可简化，构件的变形计算归结为梁各节点的位移计算。 文献【1 1 】把有限元法与传递函数法相结合，发展了一种便于处理变系数微分方程的传递 函数法。作为应用实例利用该法对二个变截面梁进行了具体的分析，并作了数值模拟。 但是，此二个数值算例不能说明提高了该法的单元精度和方法的优越性。 文献【1 2 1 中对变截面梁式构件( 包括组合构件) ，求它的弯矩和位移，不解复杂的变系数 微分方程，而用经典的力法，在力法方程中，主、副系数和自由项的积分求积，利用积分 表进行，计算方便而且得出精确结果。算例结果表明，力法结合积分表求积是解决变截面 国防科学技术大学研究生院下学硕+ 学位论文 梁式构件的好方法。 为了实现框架的非线性分析，首要的工作是建立一个性能优越的梁柱单元刚度方程。 对于二阶弹性分析，目前已有了性能良好的单元【1 3 1 而对二阶弹塑性分析，目前采用塑性 区法或塑性铰法【1 4 】【1 5 l 。前者较精确，但太复杂不便于工程应用后者较简单，但当塑性区 分布较广时不适用。弹塑性梁柱实质上是变截面梁柱，为了能用能量法制定一个使用方便 而又有足够工程精度的弹塑性单元，可先研究弹性变截面粱柱，然后研究弹塑性梁柱。当 然，幂函数梁柱在土木、机械等实际工程中也有广泛应用，而且原则上也可以在计算中用 来模拟弹塑性梁柱。 文献【1 司取变截面梁柱单元的挠度函数w 为五次多项式，用最小势能原理解w 及梁柱 的刚度系数。通过对截面按幂函数变化的梁柱的计算与由b e s s e l 函数的准确解的比较，检 验了近似解的适用性。 文献1 1 7 1 研究了变截面外仲梁在任意荷载作用下的变形特点，提出了用影响线确定外伸 梁任意截面在任意荷载作用下挠度简化计算方法。给出了计算图表，能迅速算出足够精确 的结果。 文献【1 8 1 提供了一种求解变截面悬臂梁在任意截荷作用下最大正应力及最大变形的方 法。此种方法运用了以能量为基础的瑞利一里兹法求挠度避免了一般材料力学中采用直 接积分的方法所带来的困难。运用此方法对两侧不同截面、不同荷载作用下的悬臂梁的最 大正应力及最大变形求解。其过程较简洁，可以看出此法具有通用性，能方便地解决此类 问题。 压弯构件是同时受到横向力和轴向力作用的构件。在计算其挠度值时，除了要考虑横 向力的作用，还必须考虑轴向力所产生的二阶挠度的影响。变截面压弯构件的挠度计算， 由于构件的截面惯性矩沿轴心线方向变化，在惯性矩变化不能用简单函数表示时，求解挠 曲线微分方程十分困难，甚至不能得到挠度的解析解，因此目前在计算其挠度时通常采用 数值计算的方法例如有限差分法，瑞利里兹法等在文献ij g 中笔者用积分矩阵法求解 了变截面受弯构件的挠度问题，并与有限差分法作了比较。结果表明，该法求解的精度高 于有限差分法。 文献迸一步研究积分矩阵法在求解压弯构件挠度中的应用。通过研究表明，无论是 瑞利一里兹法，还是用积分矩阵法所求得的临界载荷都大于精确值，利用它们作为失稳的 判断依据是危险的，但是由积分矩阵法求得的临界载荷比瑞利一里兹法求得的结果更靠近 精确值。该文献利用逐步逼近的思想和积分矩阵法求解了变截面压弯构件的挠度，该例结 第7 页 国防科学技术大学研究生院下学硕十学位论文 果表明，这种算法是实用可靠的。由于这种算法通过逐步逼近的一次求解挠度问题转化为 分步求解挠度再求和，通过积分矩阵法把求连续的挠曲线转化为求等分点的挠度值，因此 大大降低了求解的难度，从而扩大了该算法的应用范围使得该算法不仅能应用于复杂变 截面压弯构件的挠度求解问题，而且还能处理外载荷和截面都很复杂，并且不能用函数表 达的问题。该算法简单，易于编程同时由于该算法只要求提供等分点处的信息，如等分 点处的弯矩值和惯性矩，因此，上机前的推各数据也较少。 变截面连续梁是合理的有前途的结构形式，具有整体刚性好、防震性能强、受力均匀 的特点。钱塘江第二大桥就属于这类桥梁。但变截面连续梁的截面刚度是沿轴线变化的， 建立数学力学模型比较困难，尤其影响线的数值计算十分繁琐。为此，文献【2 l 】应用结构力 学中传统的原理，把转角位移方程写成矩阵形式，推出支承弯矩公式，解决了任意断面的 内力影响线的计算问题。其中关键数据是形常数和载常数的计算。源程序采用模块化结构 化的t r u e b a s i c 语言编写，结构清晰，易读易改易扩充，数值计算功能和图形功能都很强， 可在微机上运行，适合于推广应用。同传统的力矩分配法、混合法相比，具有精度高、速 度快的持点并且有更大的灵活性。 文献圈提出的分段刚化的计算方法，所取的计算简图与原结构差别很小，因而可以减 小计算误差；并编制了电算程序，可以迅速、准确地计算出荷载任意分布的结构各截面的 转角和挠度。文献以应用最为广泛的静定梁为例，推导了变截面或等截面的简支梁，外伸 梁和悬臂梁的转角和挠度的计算公式、变形求出以后不难计算内力。对于其它构件，也可 用同样原理进行计算。采用分段刚化法计算变截面梁的转角和挠度所选取的计算简图能很 好的反映实际粱的受力变形特征，计算结果精度高。文献所推导的几类梁的转角、挠度计 算公式概念明确，易于手算；所编制的程序使用简单、方便。文献研究成果对机械、化工 系统结构设计人员有一定实用价值。 文献例针对钢结构中常用的工字形截面楔形构件，推导出了楔形梁的位移模式，并在 此基础上，用有限元原理，通过符号计算软件，求得相应的形函数与刚度矩阵。最后，给 出了一悬臂梁的比较算例。通过比较，可以看出，楔形单元相对于以往将梁近似为若干等 截面梁段的方法，具有更高的精度。这样，在计算时，可以将楔形构件作为一个单元进行 分析，无需再细分单元，从而使程序的编制及计算过程更简便。同时，也为用有限元方法 对含楔形构件的结构作进一步分析望定基础。 文献凹1 对两段变截面的矩形截面悬臂梁在集中菏载作用下的挠度计算进行了推导，给 出计算公式及相应的系数表，并与将两段变截面简化为两段等截面的近似计算结果进行了 第s 页 国防科学技术大学研究生院t 学硕+ 学位论文 比较。近似解与精确解相比发现，由于截面等效高度取法并不理确，有一定误差，以该文 献的算例而言，近似解偏d 9 3 5 左右，但如果为简化计算，也可采用近似法求解。 文献【2 5 荆用有限差分法求解变截面杆的挠度，把挠曲线的近似微分方程变成一种特殊 的三对角线性代数方程组。但是梁的挠度值要求精度较高时，线性方程组的阶数则较高， 梁挠度的f o r t r a n 程序，可在小型计算机上求解巨型矩阵，使变截面梁用差分法计算挠度 变得简单、易行。同时，利用此程序算得的结果与方程组的精确解完全一致，说明该方法 正确可行。 文献b 司从梁弯曲时挠曲线的近似微分方程出发，推导出了任意变截面压弯杆件挠度计 算的通用解析表达式，并给出了薄壁等厚圆环形变截面钢杆的挠度计算公式以及将计算结 果和实测结果比较，二者吻合很好。这就解决了工程设计中任意变截面压弯杆件的挠度计 算问题。杆件的实际受力状况往往是多个横向力和轴向力作用( 包括均布荷载) ，同时截面 的抗弯刚度也不能用一个函数式表示。此时可根据静力等效的原理简化成多段求解。借助 微机的帮助，可以达到较满意的精度。 文献明以分段变化的变截面粱( 工程中常称为阶梯轴) 为例。根据任一梁单元的位移方 程，为确保每一个梁单元均是等截面的，必须把截面尺寸变化处作为划分梁单元的节点， 建立任意两个不同截面尺寸连接的梁单元的位移关系推导出变截面梁任一节点位移的通 用方程，此方程具有典型的标准形式，极易实现编程电算而且理论结果精确、可靠，适 用范围广泛。 文献1 2 8 1 文介绍一种求解变截面排架柱水平位移的新方法：刚度替换法，同时推导出刚 度替换法则。应用此法，可使变截面排架柱位移的求解过程大大简化。求一刚度为日的等 截面直杆的位移，可以通过是该杆刚度为足倍的等直杆的位移与另一个在相同荷载作用 下，刚度为替换刚度d ：善笔的等值杆的位移之和求出。这一关系可称为刚度替换法则， a 一 通过这种方法求得变截面排架柱位移的方法可称为刚度替换法。这一方法对求解单层变截 面排架的位移及内力有一定的作用。 文献 z g l 提出的在三坐标机上利用最佳逼近法反求凸轮起始点的方法不仅对各种凸轮 机构及从动件运动形式具有通用性，而且进一步开发利用了三坐标机的功能。 文献【3 町中先把工字形楔形变截面构件的抗弯刚度表示成轴向坐标的二次式 vp 2 i = i o ( 1 + d 。+ d 2 知 式中 d i = ( 4 l 一- 3 i o ) l l o 第9 页 国防科学技术大学研究生院t 学硕十学位论文 0 2 = 2 ( 1 0 + l t 一2 1 3 | l o ol 、五分别为小端、杆件中点截面和大端的惯性矩。 乞2 = o ( i + o 2 0 , + o 0 0 5 d 2 ) 该文献是本论文的出发点。 1 3 2 楔形构件的稳定性研究 等截面构件的稳定性研究很早就已经具有较为完备的理论成果，但是早期对楔形构件 的研究却不多。随着在实际工程中，楔形构件因其经济性的特点应用越来越广泛，关于楔 形构件稳定性研究方面的成果也随之陆续出现。 1 9 5 2 年考虑经济性的原因，a m i r i k i a n 首先倡导使用高度或( 和) 宽度变化的“楔形构件”。1 9 5 6 年k e r e n s k y ，f 1 i n t ，和b r o w a 对翼缘宽度或翼缘厚度从跨中到端部线性变化或抛物线变化的简支梁进行研究，用能量法 获得两端承受相同的端弯矩或在跨中截面质心施加集中荷载时，梁弹性失稳的近似解。 1 9 6 1 年，t i m o s h e n k o 第一次研究了矩形楔形悬臂梁【3 ”，分析它在各种横向荷载作用下的 侧扭失稳情况，并给出了临界荷载。 j m g e r e 和w 0 c a r t e r ( 1 9 6 2 ) 对两端铰接、一端铰接一端固接和悬臂边界条件下的 楔形构件平面内屈曲荷载做了研究【3 2 1 。他们将截面惯性矩表示为关于轴向坐标的n 次幂形 式( n 为实数) ，用b e s s e l 方法求解变系数平衡方程。但除了在n 取某些特定值且在特定的 边界条件下，可以得到的屈曲荷载的表示形式外，其余情况下均需要复杂的b e s s e l 表达 式，他们进一步用图表曲线的形式表示出临界力和渐变参数之间的关系。 a p p l ，f m ，和s m i t h ，j o ( 1 9 6 8 ) 用数值方法求解了两端铰接的楔形柱在弹性、 弹塑性阶段的屈曲荷载【3 3 1 。文中对于微分方程的求解主要运用了c o l l a t z 的闭合理论，这 个理论常用来寻找第一特征值的最高和最低范围，以此来确定柱的屈曲荷载最小值。最后 还通过试验数据表明了闭合理论的下限值与实际楔形柱弹塑性屈曲荷载是相当接近的。 c g c u l v e r ( 1 9 6 8 ) 研究了双轴对称工字形楔形梁柱的弹性稳定。文中先通过v l a s o v 理论列出微分方程，引进近似边界条件，然后用有限差分法求解微分方程，得到p 与m 的 相关关系式。但由于所设的楔形构件轴向各边相交于一点，而实际情况并非如此，可见此 文方法具有一定的局限性。l e ee ta 1 ( 1 9 7 2 ) 和l e ea n dm o r r e l ( 1 9 7 4 ，1 9 7 5 ) 制定了楔形构 件的设计方针，成为了a i s c 的规范。目前a i s c ( 1 9 8 6 ) 规范仅适用于线性渐变( 仅腹板 高度渐变) 、双轴对称的工字形截面，且外力施加于腹板所在平面上。k i t i p o m c h a i 和 第l o 页 国防科学技术大学研究生院t ：学硕十学何论文 1 b b a j “1 9 7 2 ) 推导了楔形工字形构件( 腹板高度、翼缘宽度均变化) 的弹性稳定微分方程0 3 5 1 ， 并以有限积分法求解。 l e eg c 、m o r t e l lm l 和k e t t e rr l ( 1 9 7 2 ) 研究楔形平面内稳定时【蚓，将楔杆在工 程实际中使用较多的小端截面的五种具体尺寸对应的数值解求出，在解中所涉及的其他参 数是杆长、力矩比、楔率、偏心距、轴向荷载以及端力矩。之后的研究者根据这些数值， 艄蛀劢惨椭瞄觎傩黜斑触阢叭蹦，2 爵船舷诳啪 表示为关于锥度、构件两端约束程度、杆长等因素以图表曲线的形式给出。 e r m o p o u l o s ( 1 9 8 8 ) 究了楔形构件在不同位置作用若干轴向集中力( 毋，) 情况下的 平面内失稳临界荷载柳，并对常见的约束条件进行了分析。通过对计算结果曲线分析，得 到在特定荷载比( 足7 # 和作用点位置情况下，使无量纲参数矿2 薏取最大值对应的楔 p ，2 率值。 w g s m i t h ( 1 9 8 7 ) 用能量方法对轴心受压楔形柱的弹性屈曲临界荷载进行了求解【3 8 】。 任意截面形式的楔形构件，其惯性矩可以表示成j ( z ) = k 一，其中k 是与楔形形式有关 的常数。对于轴心受压的悬臂柱r 外力功可以表示为玑= 虿1p 翼堡笋) 2 出，由于弯曲产生 的应变能为= 腾出，其中弯矩地卜徘) 学。然后假定一位移函数，代 入和，令两者相等，便可得到弹性临界荷载值，可以将其表示为易：可m e i 。，。 m a b m d f o r d ( 1 9 8 8 ) 用有限元方法研究了在连续弹性约束作用下，梁柱的弹性屈曲荷载【3 9 l 。 这种类型的约束可能产生于结构体系中屋面板等对檩条、梁的约束作用。在有限元分析中， 这种约束作用可以通过一个包含在总剐度矩阵里面的附加的约束刚度矩阵来实现。比较了 在弹性约束作用下等直梁柱的屈曲荷载和t r a h a i r 给出的公式解，结果表明只要取4 个单元， 就可以把误差限定在o 5 内，可见该约束刚度矩阵的精确性。最后用该有限元方法计算 受压翼缘受到弹性弯曲约束的楔形梁柱，在不同端弯矩作用下的压弯屈曲荷载，最后提出 了一个精度较高，趋于保守的梁柱屈曲荷载计算公式。 第1 i 页 国防科学技术大学研究生院丁学硕十学伊论文 b r a d f o r d 和c u k ( 1 9 8 8 ) 用有限元方法分析单轴对称楔形工形钢梁的弹性稳定问题【柏】， 取腹板的中心轴为扭转的任意轴，这样就避免了楔形梁剪心轴和中心轴不重合带来的复杂 性，容易得到物理和几何矩阵。他们把自己的结果与k i t i p o m c h a i 和t r a h a _ i r 等人的结果进 行了比较，指出b r o w n 、k i t i p o m c h a i 和t r a h a i r 理论中可能存在的一些问题。但b r a d f o r d 和c u k 的结果在楔率较大时和t h a n ( 1 9 9 0 ) 的结果相比偏差较大。b r a d f o r d ( 1 9 8 9 ) 还用有限元 方法对双轴对称截面楔形构件的参数进行分析，然后把自己的理论拓展到非弹性阶段 ( 1 9 9 0 ) ，并考虑残余应力和应变强化的影响。 纪平和童根树在楔形工字钢构件的平面外稳定性研究1 4 l 】文中对理想条件下腹板高 度线性渐变的工字钢楔杆进行了弹性稳定分析，利用有限元方法进行数值计算，结合能量 法求楔杆临界荷载的近似表达式，从而拟合出形式直观、使用简便且精度较好的楔杆临界 荷载表达式。 童根树对楔形轴压构件在各种边界条件( 包括弹性约束) 下的平面内弹性稳定进行了 详细的研究1 4 2 1 ，提出了简单而精度较高的计算式。 1 4研究内容 本文针对剐架中常用到的楔形变截面构件，以腹板高度线性渐变的工字钢楔形构件为 研究对象，对约束问题和压弯杆的平面外临界荷载等进行一定的研究。具体工作如下 第一章：介绍了论文的背景和当前的研究现状。 第二章：根据数值计算结果拟合出楔形构件高精度的转角位移关系，并提出和楔形构 件相关的三个约束刚度系数，在此基础上提出求解变截面问题的一种新的方法。该方法的 基本思想是化整为零，把复杂变截面构件相关的问题转变成楔形构件相关的三个约束刚 度，使得问题得到解决。通过一些具体的研究发现这种方法具有很高的精度，而且可以推 广到其他一些问题的解决，具有一般的普遍性。 第三章：对两段铰接的楔形压杆、压弯杆的弹性l 临界荷载进行分析，给出简便的表达 式，即通过对截面性质的等效修正，把楔形杆等效为长度不变的等直杆，而各个截面特性 以等效值来表示，使得为楔形杆的失稳临界力值提供较为简便直观的公式成为可能。 第四章：分析由若干段等截面或者变截面构件组成的压杆平面内稳定问题，对两端铰 接、固接的情况进行研究分析。 最后进行了总结。 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院下学硕十学位论文 2 1引言 第二章求解变截面构件位移问题的新方法 在工程设计中，变截面杆件由于具有良好的力学性能而得到广泛的应用。比如城镇输 电线路中使用的钢管杆，工业建筑中的一些杆件( 天线桅杆等) 以及目前被广泛使用的门式 刚架梁、柱。在力学分析上，变截面构件可采用多段等截面构件来近似或在程序中采用专 门的变截面单元。对于交截面构件的挠度问题解析解，至今没有一个高精度，使用简便的 方法。 本章从结构力学的虚功原理出发，用数值计算的方法拟合出和单段变截面构件相关的 三个转动约束刚度【4 3 】m ，解决了单段变截面构件转动计算问题。此外，还提出一种解决任 意变截面构件位移问题的新方法，该方法的基本思想是按照“化整为零”的思想把复杂的 变截面构件挠度问题转化为已经推导的和单段变截面构件相关的三个转动约束刚度。该方 法可以分析杆件在弯矩作用下的挠度计算。 2 2变截面构件的截面性质 对于变截面构件，我们仅以工程中常用的双轴对称变截面工字钢为例进行分析，下文 同。图2 1 为双轴对称变截面工字钢及其截面，腹板高度渐变的工字钢的楔率为 ，：生生 吩为截面总高，文中下标l 表示大端，下标2 表示小端。绕弱轴的惯性矩0 ) 沿着梁轴全 长基本不变，认为常量，且以小端为准，即 ( z ) = 截面绕强轴的惯性矩为 ，=警一下b-t)(h-2t1)3 ( 2 1 ) 1 21 2 、 如工字形截面翼缘宽度和腹板高度同时线性变化，将是x 的四次式。下面假定6 不变， 仅变化高度，研究结果对6 和 同时变化的情况也同样适用，只要厶在研究的范围内。 对于常用截面，截面绕主轴的惯性矩沿纵轴的分布采用