（应用数学专业论文）倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用.pdf

摘要对于如下类型的倒向随机微分方程k = + z t9 ( s ，k ，z s ) d s 一t 磊d 名，其中是终端条件这种方程的线性情况最早是由b i s m u t ( 1 9 7 3 年) 研究的，后来p e n g和p a r d o u x 对其非线性情况进行了讨论本文对倒向随机微分方程理论的研究现状进行了全面综述，并对彭实戈教授关于倒向随机微分方程所做的开创性工作进行了介绍，包括解的存在唯性定理，比较定理以及他所提出的一种新的数学期望g - 期望最后给出了倒向随机微分方程的两个经典应用，在欧式期权定价理论上的应用和消费偏好理论上的应用关键词s 倒向随机微分方程；比较定理；g 一期望a b s t r a c tf o rt h i sk i n do fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na sf o l l o w sk = f + j ( t t 9 ( 5 ，k ，z s ) d 3 一t 互d 巩，w h e r ef i st h et e r m i n a lc o n d i t i o n ，ap a i ro f ( y z ) i 8t h es o l u t i o ns a t i s f y i n gt h i se q u a t i o n t h e s ee q u a t i o n sw e r ef i r s ti n t r o d u c e db yb i s m u t ( 1 9 7 3 ) i nt h eh n e a rc a s ea n df u r t h e rs t u d e db yp e n ga n dp a x o d o u xi nt h en o n l i n e a rc a s e i nt h i sa r t i c l e ，t h es t u d i e so fb s d ea r es u m m a r i z e da n dw ed i s c u s st h es o l u t i o no ft h eb s d ea n dg i v et h ec o m p a r i s o nt h e o r e ma n dt h eg - e x p e c t a t i o n w h i c ha x ef i r s t l ys t u d i e db yp e n g a tl a s tw e s h o wt h ea p p l i c a t i o no fb s d eo nt h ep r i c i n go fe u r o p e a no p t i o na n dt h e o r yo fc o n s u m e rb e h a v i o r k e y w o r d s ：b s d e ；c o m p a r i s o nt h e o r e m ；g - e x p e c t a t i o n厦门大学学位论文原创性声明本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学术活动规范( 试行) 。另外，该学位论文为() 课题( 组)的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特别声明。)声明人( 签名) ：年月日厦门大学学位论文著作权使用声明本人同意厦门大学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。本学位论文属于：() 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文，于年月日解密，解密后适用上述授权。() 2 不保密，适用上述授权。( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权。)声明人( 签名) ：年月日倒向随机徽分方程理论及其在金融学上的应用第章引言微分方程是人们刻画客观事物变化的重要工具，学术界对于确定性微分方程的研究已经取得了丰硕的成果，其基本理论已日趋完善利用确定性随机微分力翟i 在瀚! 决实际问题过程中，当随机干扰相对较小时，确定性模型有很好的效果，然而当随机干扰很强时，效果却不尽人意由于不确定性的因素会列事物的运动本质产生根本性的影响，因此，将确定性锄唠叻程系统适当加上随柳捌就成为新的研究课题2 0 世纪4 0 年代以来兴起的随胡微分方程( 正向随饥激分方程) 就是这些新的研究谓毛晒之一，并逐渐成为数学中个非常活跃、引人瞩目的领域国际上许多著名的数学家投入到这领域研究并取得了辉煌的成果这不仅使人们对于自然界无处不在的随机现象有了深刻的理解，也促进了很多学科的发展然而，在实际中还存在另类同样重要的问题即在随机干扰的环境中如何使系统达到预期的目标? 为达到此目标需要具备什么样的条件? 采取什么样的策略? 倒向随机微分方程就是适合解决此类问题的方法相对于正向随机改分叻程，倒向随弧教分方程的研究起步较晚1 9 7 3 年，法国数学家j m b m m u t 在研究随机最优控制时就研究了类特殊的倒向随机微分方程，倒向随机微分方程的提出却滞后了近二十年1 9 9 0 年我国数学家彭实戈和法国数学家p a u f d o u x 教授起发表了倒向随机微分方程文，提出倒向随机微分方程的基本结构并证明了解的存在唯性，这篇文章后来引起了一系列重要反应，被称为是倒向随机微分方程的“f 0 u n d e rp a p e r ”现在倒向随机微分方程在随饥分析、p d e 、金融数学、随饥最优控制等领域获得了广泛的应用，而b s d e ( 即倒向随机微匀叻程b a c k w a r ds t o 妇t i cd i 髓r e n t i a le q u a t i o n ) 已经成倒向随机徽分方程理论及其在金融学上的应用2为人们所熟知的专用缩略藩b s d e 不仅= 韪铟翘翳r 学研究的主要工具和内容，而且由这所提出的非线性势学期望在经济理【论中也具有重要的应用价值实际上，很长时间以来国际e 经济学界就在寻找这样种结构1 9 9 2 年著名经济学家d 皿e 和e p s t e m 发表了“随机微分效用”文，从经济学的观点引入了倒向随饥微分方程，他们所引进的方程实际匕是彭实戈和巴赫杜的结果的一个特殊情况1 9 9 4 年，正在致力于数学金融研究的著名随机分析专家、法国经济学家e ik a r o u i 发现彭实戈和巴赫杜所引入的倒向随机微分方程正好可以应用于解决金融证券市场中的大类派生证券( 比如期权和期货) 的定价问题未定权益套期定价理论是现代金融理论的核心它的个典型情况就是著名的“b s 公式”这个公式的导出被认为是金融经济学的次革命而正如e ik 龃o u i 教授在篇文章指出s“过去五年以来，人们怀着巨大的兴趣看待倒向随机微分方程理论，这是由于它与菲线性偏微分方程的联系，以及更般地，与非线性半群、随机控制问题的联系与此同时，在金融数学中，未定权益的套期和定价理论被典型地表示为线性倒向随机微分方程”倒向随机微分方程理论研究的历史较短，进展却非常迅速除了本身所具有的有趣性质之外，其重要的应用前景也是吸引众多学者的原因现在，倒向随机微分方程渗透于偏微分方程、金融数学、随机控制、微分几铜懒域，它正逐渐发展成为一门具有强大发展潜力的数学分支和应用工具倒向随机微分方程的典型结构是 一i ：三茎：y ( t ) ，z 。) 。d s z 。) d m倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用3总? 肌啦胍，d 冲) ：舭) 班，ly ( t ) ：打倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用一4第二章预备知识本章主要介绍倒向随机微分方程理论将要用到的些基本概念及主要定理样本空间：q = u ，其中u 称为样本点或基本事件称q 的子集类歹为个盯代数如果：( i ) 毋丁，其中毋表示空集；( i i ) a 厂兮a 。厂，其中a c = q a 是q 中a 的补集；( i i i ) a i i 1c 厂号u 7 - _ la i ，厂中的集称为艮每饥事件盯代数，又称为事件体厂的元素称为y - 可测集如果9 是，的个子集族，以盯( 9 ) 表示包含9 的最小的伊代数，称口( 9 )是由9 生成的伊代数b o r e l - 盯代数：c 是r d 中的所确开集，称召= 口( c ) 为b o r e l - a 代数，召中的元称为b o r e l 可测集概率测度空间：定义在厂上的个非负、可列可加并使得p ( q ) = 1 的集函数p 称为个溉率测度即测度空间( q ，一上的概率测度p 是个函数p ：厂一1 0 ，1 j 使碍( i ) p ( q ) = 1o 这部分的内容主要来自文献程m a ox u e r o n gs t o c h a s t i cf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a -t i o n s m s p r i n g e r l 9 7 6 倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用5( i i ) 对任阿_ 卟互不相容的序列 a ) 仑lc ，( 即a n a j = d ，如果i 歹)o op ( u a ) = p ( a )i = 1i = l将样本空间q ，q 子集的口代数厂及厂上的概率测度p 三者联系起来构成的三元组：( q ，p ) 称为概率测度空间称概率测度p 在尸t 是完备的，如果厂含有所有q 的p - 外测度为零的子集，即若g q 且p ( g ) ：= i n f p ( f ) ：f ，g f ) = 0 ，则g f任伺- _ 卟湘e 率空间都可以通过把新：有的外测零子集加入而使其成为完备的所以本文总假设所涉及的概率空间为完备的随机变量：个实值函数x ：q r 称为是乒可测的，如果对任意的o r u ：x ( u ) n ) ，函数x 称为实值乒可测的随饥变量个舣值的函数x ) = ( x l p ) ，( u ) ) t 称为是乒。盯测的，如果所有的分量五是互可测的，此时x ( u ) = ( x 1 ( u ) ，翰( u ) ) t 也称为是向量值的随机变量b o r e l 可测函数：可测空间( r d ，召d ) 上层d 的可测函数称为b o r e l 可测函数随机过程：设i 是参数集( 或指标集) 可列或不可列均可，通常取为r + =【0 ，o 。) ，或所有自然数集若对每一t i ，就对应个定义在( q ，厂，p ) 上的随机变量x ( t ，u ) ，则称随饥变量族x ( t ，u ) ，t i 为( q ，歹，p ) 上的个随机过程简记为 x d 对固定的u q ，称函数x ( t ，u ) 为此随饥过程的条样本轨道，简记为五( u ) 或懈函数倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用6孑燃：随机过程x = 五，t r + ) 是基擀空间上的族随机变量，和t 柳睬的1 炱子盯代数矿= 硝，t 耳) ，其中硭三盯 咒，5st ，表示过程进行到t 时刻以前的时间伊代数，它是嗾随时间t 递增的伊代数，称为由过程x 产生的萨代数流，或者称为是个滤子笤是到时刻t 为止，能够观测到的时间的全体假定厂的个子伊代数流孑= 五，t r + ) ，满足以下条件( 通常条件) ，如果以下条件成立：( i ) 递增性：s t _ 五c 五；( i i ) 完备性：而包含，中的切p + 零：集；( i i i ) 右连续性：觇4 ，五= 五+ 三n u t 兀；则( q ：厂，尹，孑) 称为漏斗形概率空间，简称概率空间个随机过程舰称为是五自适应的，如果对于v t r + ，舰都是五可测的条件数学期望：设x l 1 ( q ，r ) ，9c ，是厂的个盯子代数，于是，9 )是个可测空间般来说，x 不定是9 可测的我们要找个可积的9 可测的随机变量y 使得它在如下意义下，和x 具有相同的均值e ( 坛y ) = e ( 坛x ) 妇上y ( u ) d p ( u ) = 以x ( u ) d p ( u )对所有的g 9 成立由r a d o m - n i k o d y m 定理，对给定的随机变量x 几乎确定唯地存在着个满足上述要求的随机变量y 我们称随机变量y 为随饥变量x在条件9 之下的条件数学期望，并记为y = e ( x l a ) 如果毋是由随机变量y 生成的，即9 = 口( y ) ，则写为e ( x 1 9 ) = e ( x i y ) 倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用7由定义显然有以及e ( e ( xi 夕) ) = e ( x )l e ( x i 夕) lsb ( i x i l 9 ) n 葶如果x = ( x 1 ，拖) t l 1 ( q ，冗d ) ，则其条件数学期望定义为e ( x 1 9 ) = ( e ( x ii g ) ，e ( 拖l g ) ) t 鞅：定义在概率空间( q ，厂，p ) 的 五) 自适应过程 m t ) t o 满足( i ) 对于每个t 0 ，e m t l o o ；( i i ) 对所有的s ，t 0 ，s t ，e ( 州“只) = 朋。则称 m t ) t o 为鞅个五相容的实值的随饥过程 m t t o称为是关于五的上鞅，如果e ( m t l 兀) 朋8o 矗v 0 s t o o e ( 朋引万) m 5 口s v 0 s t 称为连续的，如果对八乎所有的u q ，样本函数t _ 五是连续的即存在q 7cq ，p ( 科) = 1 ，使得对所有的u q 7 ，有l 哑咒( u ) = 五( u ) 0st o o倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用8 五) t o 称为是 t d 一相容的，如果对每个t ，五是 五，可测的令 a k ) 是，中的集合序列定义集合的上极限l i m s u p a = u ：u a 七聂阮穷爹价七 = nua k 詹+ i = 1k = ib r o w n 运动s 定! ；c 在概率空间( q ，p ，孑) 上满足下列条件的适应随机过程统称为( 维实值) b r o w n 运动；( i ) 对n 乎所有的u q ，样本函数t _ 既是连续的，并且玩= o ；( i i ) 对所有满足0 sst 的实数s , t ，有岛一岛与只独立；( i i i ) 当0 s t 时，玩一玩服从均值为0 ，方差是t - - s 的正态分布n ( o ，t - s ) 个d 维随懈玩= ( 硪，聊) t ，t 0 ，称为是d 维b r o w n 运动，如果其每个分量唾都是维b r o w n 运动，并且珥，群是独立的对d 维b r o w n 运动，我们有h i x is u t - - ，o o p 器z r t o g t o g r 乩们vd 维b r o w n 运动是d 维连续鞅，其联合二次变分为( 矽，矽) t = 妨，t 0 ，1 i ，jsd ，其中幻是d i r a e 的6 函数，即cf1 ，吩2i 。，倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用9停时：定义在概率空间( q ，p ，孑) 上的非负随机变量7 ：q _ 【0 ，o o 】( 可能取值为0 0 ) 称为 五) - 停时，如果对任何t 0 有 u ：下( u ) 墨t ) 五关于停时具有如下结论：( i ) 若x = ( x t ，7 ) t o 为连续过程，对实数入0 ，定义随机变量a ：7 、( u ) = t 0 ：l 恐( u ) i a ) u q 则a 是停时( i i ) 若r ，s 是两个 ， 停时，则下as ，7 - vs s + 7 ，a s ( a 0 )为停豫若丁，p 是两个停时，且7 p ，定义随机区间【h ，p 【= ( t ，u ) r + q ：7 ( u ) t “u ) 】类f 以地可以定义随机区间n 纠1 ，l 】丁，纠】和航纠【，如果r 是停时，定义= a 尸：an u ：7 ( u ) st 五，t2o )它是厂的个伊子f 激如果7 ，p 是汐拊讳时，且7 _ sp ，则再c 乃给定个向量z 剜，或个七l 矩阵a = ( a i j ) k 地表示向量z =( x l ，司) 的欧几里德模，即( 圳2 ：1或蚓或。m a x 。 i x i l ；l = ll = 用i a i = x t r a c e ( a t a ) 表示矩阵a 的迹范数，即倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用1 0i a i = ( 萌) i = l i = t这里，表示个向量或者矩阵a 的转置：l a x l i a i i x l ；i a i a 2 i l a l l l a e l x m 表示实d 胁矩阵空间；m 表示在m 上的b o r e n a - 代数；b c ( d ，r d ) 表示定义在d 上的有界连续融值函数的全体；j i c 表示p ：j 矿_ r + ，p ( o ) = 0 的严格增加的连续函数类； ：表示在瓦中，且7 _ ，p ( r ) _ o o 的函数类；工1 ( r + ；r + ) 表示，y ：r + _ r + ，铲7 ( t ) d t o o 的函黻；口( 舻；冗+ ) 表示连续函数族叩：r + _ r + ，铲叼( z ) 出= o o ；l 2 ( q ；剧) 表示满足e 汗 o o 的一值酝协l 度量的全体；c 2 , 1 ( 【一l 。o ) 舻；r + ) 表示定义在【一7 ，o o ) r ”上的非负函数v ( z ，t ) 关于z 具有连续的二阶导数，关于t 一阶可导的函数族；2 ( ，卅；r d ) 表示满足层i x ( t ) 1 2 出 o o 口s 的r d 一值五相容的随机过程 x ( t ) ) 幻 t t 的全体；c 2 ( 卜。o ，t 】；) 表示满足巴i x ( t ) 1 2 d t 。oo s 的触值五相容的随机过程 x ( t ) ) 一o 。 t s 丁的全体；m 2 ( 【o ，卅；r d ) 表示满足e 层i x ( t ) 1 2 d t 。o 的c 2 ( 【幻，卅；冗d ) 中的随柳过程 x ( ) ) t 。 t 丁的全体；倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用朋2 ( 卜0 0 ，卅；) 表示满足ei _ t o oi x ( t ) 1 2 d t 0 0 的c 2 ( 【_ 0 0 ，卅；) 中的随机过程 x ( t ) ) 一 t t 的全体c 冀( 【一r ，0 】；) 表示y t 可测，c ( 【一7 ，0 】；r d ) 隹卦遁秽砭媳的全体；c 红( 【- r ，o 】；冗d ) 表示所_ 谳五可测，c ( 【一r ，o 】；) 徊遁机变量的全体2 2 预备定理及不等式单习习收敛定理如果 x d 是个非负单调随机变量序列，则1 i me x k = e ( 1 i m ) $-ic：o$-400控带帕敛定哩设p 1 ， 玩) c 汐( q ，r d ) 且y l p ( n ，r ) 若i x k isy 口s 且托依概率收敛到x ，则x l p ( n ，r d ) ， 在妒中恻x ，且有1 i me x k = e x c o o若y 是有界的，这个定理也被称作有界收敛定理以及强大数定理设 朋t t o 是个实值的连续局部鞅，且m o = 0 ，则扣l i r a 。( m ，m ) t = o on s 号舰面乎= 。s 1 i m ! 丝! 丝生 。on s 净1 i m 丝：0n s t + tt + t更般地，如果a = a 】- t o 是个连续适应的增加过程，使得熙忙o o z 。筹筹 s1 1倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用则有l i m 华：0 口5 扣ab o r e l - c a n t e l l i 引理( 1 ) 若 以 c ，且墨lp ( a k ) o o ，则p ( 1 i m s u p a k ) = 0 即，存在个集合，满足p ( n o ) = 1 ，和个整数值随机变量使得对每个u d o ，有u 譬a k ，当k 硒( u ) 时( 2 ) 若序列t a k ) c 厂是独立的且七o o ：1 p ( a k ) = + o o ，则p ( 1 i m s u p a k ) = 1 即，存在个集合d o 歹满足p ( d o ) = 1 ，使得对每个u q o ，存在一个子序列 a k ；，使得u 属于g d - a h d o o b 鞅停时定理：设 m t ) 眨。是一个值关于五的鞅r ，p 是两个停时，则e ( m f l 乃) = m ，a p ，n 矗特别地，如果丁是个停时，则e ( m ， ti 兀) = 朋，a 。，n 8 对所有0 s t o 是个实值的右连续上鞅，且s u pe m z _ o 几乎确定地收敛到一个随机变量 l 1 ( q ，r ) 特别地，若 m d t o 是非负的，则结论成立。【i i ) 如果 舰) t o 是一个实值的右连续上鞅，则 m t t o 一致可积，即! 骧 s u pe ( i i m d _ 。l 舰i ) 】- 0c + t o倒向随机截分方程理论及其在金融学上的应用当且仅当存在个随机变量a l 1 ( q ，r ) 使得在l 1 中舰- 啼 n s ( i i i ) 若x l 1 ( q ，r ) ，则在工1 中e ( x l y t ) 一e ( x i 歹) ，口5 g r o n w a l l 不等式如果口是实的常数，p ( ) 0 ，而( t ) 是dst 茎b 的连续实函数，满足烈t ) sq + p ( s ) 烈s ) d s o t b 则( t ) sa e x p p ( s ) d s n t b j e n s e n 不等式若q ( z ) 是凹函数，即对任意x l ，x 2 r ，0 q 1 ，i 1 + i 1 = 1 ，x l p ，y l q ；c h e b y s h e v s 不等式如果c o ，p 0 ，x 2 ，则有尸 u i x ( o ) i c ) c - p e i x l p b u r k l h o l d e r d a v i s - g u n d y 不等式令g m 2 ( 【o ，卅；m ) 使得e l g ( s ) p d s o o 则e i 小s 脚) i p ( 掣归学e o t1 9 ( s ) i p d b ( s )剧。器吆t9 ( s ) 扭( s ) i p ) s ( 南) 萎t 等e o t1 9 ( s ) i p d b ( s )指数鞅不等式设g = ( g l ，g m ) c 2 ( 冗+ ：冗揪m ) ，t ，a ，p 是任何常数则p 吣s u 钟e _ n 口1 3倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用d o o b 下鞅不等式设p 1 ，若 舰) t o 是个实值的非负下鞅，使得 m d t o l p ( n ，冗) ，则在冗+ 的有限区间陋，6 j 上有e ( s u p a t b 懈) ( ：p 刍) p e 蝣一1d o o b 鞅不等式设 舰) t o 是冗d 值的鞅，【o ，6 j 是冗+ 的有限区间，( i ) 如果p 1 且 舰，t 2 0 妒( q ，冗d ) ，则p u ：s u pi m d u ) i c ) s e _ i m 万一wa t b矿对所有的c 都成立( i i ) 如果p 1 且 舰) t o 妒( q ，冗d ) ，则e ( s u pr m , i p ) ( 南) p e i m blat t o 1 5倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用第三章倒向随机微分方程的理论发展本章将给出倒向随机微分方程理论在国内外研究的进展状况，并对彭实戈教授在倒向随机微分方程理论中所做的开创性工作【1 】进行介绍，包括解的存在唯性定理、比较定理以及一种新的数学期望一一9 一期望，其中存在唯性定理和比较定理的证明来自文献【2 2 】3 1 倒向随机微分方程的研究现状倒向随机微分方程( b s d e ) 解的存在唯性是研究一切与b s d e 有关理论的基础，自从e p a r d o u x 和s p e n g 给出了一般b s d e 解的存在唯性定理之后，这一问题被许多学者进行了研究考虑b s d ey t = + g ( 8 ，y 8 ，) d s 一z s d w 5( 3 1 1 )，t，te p a x d o u x 和s p e n g 是在一致l i p s c h i t z 条件下给出了b s d e ( 3 1 1 ) 解的存在唯性定理在此基础上，很多学者对这一结果进行了推广，主要工作是用非一致的l i p s c h i t z 条件代替一致条件j p l e p l t i e r 和js a nm a r t i n 2 】在g 对y ，z 满足线性增长条件下证明了方程( 3 1 1 ) 有最大有界解mk o b y l a n s k i 3 1 将他们的结果推广到g 对y 满足线性增长条件，对z 满足平方增长条件j p l e p l t i e r 和js a nm a r t i n 4 】又将其推广到g 连续且对”满足超线性增长，对z 满足平方增长的情况g u a n g y a nj i a s 】在系数关于y 满足左l i p s c h i t z 连续( 可能不连续) ，关于z 满足l i p s c h i t z 连续下的一维b s d e 解的存在性毛学荣【6 1 9 9 5 年将一致l i p s c h i t z 条件改进为：觇【o ，t y l ，y 2 舻，z l ，z 2 r n x dl g ( t ，y l ，z 1 ) 一g ( t ，y 2 ，z 2 ) 1 2 k y l 一抛1 2 + c ( o l z l 一忽1 2其中k ( u ) 为r + 到r + 的非降凹函数，满足七( o ) = 0 ，k ( u ) 0 ，t 0 且风高=+ 在此假设下，他得到了b s d e ( 3 1 1 ) 适应解的存在唯性1 6倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用钟六一等人【7 】1 9 9 6 年也得到种非l i p s c h i t z 条件。【o ，t i l l ，y 2 r n ，z l ，z 2 r n dg ( t ，秒l ，z 1 ) 一g ( t ，y 2 ，钇) 1 2 g ( t ，i y l 一耽1 2 ) + l z l z 2 1 2其中g ( t ，牡) 满足定义在【o ，t 】【o ，+ ) 上的连续的纯量函数，对固定的t 关于u 是单调增的凹函数，满足：对任意的t 【o ，t i 有g ( t ，0 ) 兰0 且使如下常微分方程终值u t = ，- - g 。( 抽) 有唯一解u ( t ) = o ，t 【o ，t l 在此假设下，他们得到了抽象空间上倒向随机微分方程适应解的局部解王赢，王向荣【8 】8 也在类似的非l i p s c h i t z 条件下证明了一类倒向随机微分方程解的存在唯性v t 【0 ，l 】玑，y 2 r ，l ，z l ，z 2 酽dg ( t ，y l ，z 1 ) 一g ( t ，y 2 ，勿) 1 2 k l y l 一沈1 2 + c ( t ) l z z 一忽1 2其中k ( t ，u ) 满足对任意的t 【o ，卅有g ( t ，0 ) 三0 且使如下常微分方程终值u t - - _ _ 一- - g ( 抽) 有唯解t ( t ) = o ，t 【o ，1 】在此假设下，他们证明了当满足e 蚓+ o o ，e 2 。 e i 1 2 + e 詹i g ( 8 o d ) 1 2 d s b 的条件下，方程解的存在唯性冉启康在类似条件下也证明了一类倒向随机微分方程解的存在唯性s p e n g 9 】研究了一维b s d e 系数g 关于( 3 7 , y ) 线性增长时，方程解的存在唯性l i nq i n g q u a n 和s p e n g 1 0 】也在系数线性增长且终端条件平方可积的情况下证明了一维倒向随机微分方程最小夕一上解的存在唯性一些学者对于不同时间区间内的b s d e 方程进行了研究并给出了相应的存在唯性证明考虑b s d e ： tp t轨= f + 9 ( s ，y s ，z , ) d s 一讹( 3 1 2 )，t ，-j t其中丁可以取值+ o o 的停时对此方程的解的存在唯性p e n g 1 l 】进行了研究陈增敬【1 2 】给出了类带系数的l i p s c h i t z 条件下对问题( 3 1 2 ) 的研究设，满足：v t o ，y 1 ，y 2 r ，z l ，z 2 r 1 di a ( t ，y l ，z 1 ) 一g ( t ，抛，z 2 ) i u 1 ( t ) ( 1 y z 一耽i ) + u 2 ( t ) l z z z 2 i1 7倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用这里u 1 ( t ) ，u 2 ( t ) 为两个正的非随机的函数，满足：- u l ( s ) d s 0 ，铲遁( s ) d s 0在此基础上，他得到了关于b s d e ( 3 1 1 ) 的解的存在唯性在方程( 3 1 2 ) 中的下取值+ 时方程解的存在唯一性p e n g 1 1 1 进行了研究，但他的结果要求终端值丁= 0 或e e # r l 1 2 o ) c h e nz 和w a n gb 1 2 1 在利用陈增敬的假设条件下对于任意的平方可积的随机变量f 给出了b s d e ( 2 ) 在r 取值+ o o 时方程解的存在唯性陈增敬【1 4 】对于随机区间上的类b s d e 解的存在唯性进行了研究由于个系统的随机性一般与连续轨道的随机干扰或带跳跃的随机干扰有关，它们分别由d 维相互独立地布朗运动和p o i s s o n 点过程或更般的点过程表示，而以上的工作都在前一种情况下产生的1 9 9 4 年，t a n g 和x l i 在讨论带跳随机系统最优控制时，把p o i s s o n 点过程产生的随机积分引入倒向随机微分方程的结构中，并运用s p e n g 的思想【1 】，证明了区间【o ，1 】上的带跳倒向随机微分方程解的存在唯性1 9 9 7 年，r s i t u 首次在非l i p s c h i t z 系数条件下，证明了区间【0 ，r 1 ( r 为有界停时) 上的带跳倒向随机微分方程的解的存在唯性，并得到了解的稳定性和解的收敛定理【1 5 1 9 9 9 年，r s i t u 将终端条件推广到无界的情形对解的存在唯性进行了研究袁增霆【1 7 1 2 0 0 0 年研究了在一般的右连续流完备概率空间中，由布朗运动与p i o s s o n 点过程联合驱动的倒向随机微分方程解的存在唯性问题d a v i dn u a l a x t 、m a r c of u h r m a n 和y i n gh u 、任永、meo t m a n i 先后在不同条件下对工芭卿过程驱动下的b s d e 解的存在唯性进行了研究2 0 0 4 年，r s i t u 1 8 】在系数平方增长的条件下对带跳b s d e 解的存在唯一性随着倒向随机微分方程理论研究的不断发展，出现了一种新的倒向随机微分方程一一反射倒向随机微分方程( r b s d e ) 对r b s d e 解的讨论与b s d e的情形十分相似只是r b s d e 的解被限制在个给定的称为障碍物的随机过程之上2 0 0 5 年，k h a l e db a h l a l i 等【1 9 】研究了带双重障碍的r b s d e 在连续1 8倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用一1 9系数关于y 线性增长，关于z 平方增长两种情况下最大解的存在性m i n g y ux u 2 1 1 研究了系数关于y 单调增，关于z 非l i p s c h i t z 条件下的具有连续障碍的反射b s d e 解的存在唯性s h i q i uz h e n g 等【2 0 2 0 0 s 年在系数关于y 满足左l i p s c h i t z 条件( 可能不连续) 下研究了带双重障碍的反射b s d e 解的存在性由于控制理论和经济研究的需求，1 9 9 3 年，a n t o n e u i 3 0 总结分析前人的研究结果，并将正向随机微分方程与倒向随机微分方程完全耦合首先提出了如下形式的正倒向随机微分方程( f b s d e )i 仉= j t + ，( s ，以，k ) 啦l加，t k = e ( y + 9 ( s ，玩，k ) 必i 五) d t t【儿其中墨和磊是半鞅，五是循序可测过程，在方程系数满足适当条件下，a n t o n e l l i 证明了该方程解在很小的时间区间上的存在唯性，并举例说明了即使在方程系数满足l i p s c h i t z 连续条件，方程的解也不能保证存在1 9 9 5 年，胡英和彭实戈【3 2 ，3 3 讨论了下面特殊形式的f b s d e ，在系数满足某种单讶陛条件下，证明了解的存在唯性定理；x 一嚣+ fj 0k = 9 ( x t )j i o n g m i ny o n g 2 3 1 2 0 0 6 年，研究t，t6 ( s ，墨，k ，磊) d 3 + 盯( s ，五，k ，磊) 矾j o一厂t 危( s ，墨，k ，z s ) d s 一厂t z , d w 8一z 郴，墨，k ，一j (对具有随机系数的线性f b s d e 解的可能性进行了3 2 解的存在唯一性定理设( 眦) t o 是定义在概率空间( q ，只，) 上的d 一维b r o w n 运动，我们用五来表示由( 服，s t ) 所产生的仃代数s 五= 盯 眠，0 s t ) 倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用个向量值随机过程五= x ( t l ，t ) 称为五一适应的，如果对于每个t 【0 ，o o ) ，五( ) 是关于五可测的随机变量本文仅限于讨论五一适应的随机过程我们分别用 和i i 来记个e u l i d 空间7 = 沙中的标量积和范数对于任一给定的五一停时丁，我们以u ( o ，r ，缈) 记满足e 舒l k l 2 d t o o 的五一适应的7 一值的过程全体本节讨论以下形式的倒向随机微分方程k = 毒+ g ( s ，k ，历) d s 一z , d w ,( 3 2 1 )问题是如何寻找一对五一适应的过程( k ，z t ) u ( o ，t ；7 扩缈d ) 使其满足上式我们先考虑个简单的情况，即g 是实值的并且不含变量y ，名的情况引理3 2 1 对于给定的f l 2 ( q ，五，p ；冗) 满足条件e ( 詹。i g o c t ) l u t ) 2 o o的卯( ) ，存在唯一的对过程( k ，互) u ( o ，t ；佗1 d ) ，满足f tr tk = 毒+ g o c s ) d s 一g 。d w ,( 3 2 2 )，t，t此时若g o ( ) u ( o ，t ；冗) ，则我们有下列基本估计-l k l 2 + 驴t 唾i k l 2 + i 磊| 2 】。- t ) d s e 五2 ( t - t ) + 丢加上tigo(tt圳2 。_ t ) d sj厶pj( 3 2 3 )特别的w o l 2 + e o t 舯2 啦1 2 】e p s d s ，得证定理3 2 4 设( p ，z 惫) 有下式递推定义( y o = 0 ，z o = o )瑶“= 毒一d y + 1 = 夕( s ，l 哆，z 堂) 疵一( z ：+ 1 ) d 慨贝( y 七，z 七) 蔓二：垡( rz ) d p 圆d ta 5 3 3 一个重要性质一一比较定理我们仅对一维情况下的b s d e 进行讨论，即9 ( 从而) y 是实值的( m = 1 ) 这时的b s d e 有个重要的性质：比较定理我们将介绍更般意义下的b s d e的比较定理：k 可以是右连左极，( r c l l ) 的过程个过程称为是右连左极的( r c l l ) ，如果它的几乎所有的样本都是右连续且具有左极限考虑下面的问题：求一对过程( vz ) m ( 0 ，t ；r 1 + d ) 满足b s d e，t，tk = + 9 ( s ，k ，z , ) d s + ( v t k ) 一z , d w ,( 3 3 1 )，t，t其中( k ) 是如下给定的r c l l 过程( t i t ) m ( 0 ，t ；r ) 且s u pe i v l 2 o o ( h 3 3 1 )t r今后我们用l 多( o ，t ；r ) 表示满足( n 3 3 1 ) 的r c l l 过程全体倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用命题3 3 1 假设( h 3 2 1 ) ( h 3 2 2 ) 和( h 3 3 1 ) 成立则对每个f 碜( o ，t ；r ) ，存在唯一的对过程陬，磊) m ( 0 ，丁；r 1 + d ) 满足b s d e ( 3 3 1 ) ，并且k + k是连续的我们还有如下估计；es u pl k l 2 o o ( 3 3 2 )o t s t证昵当k 兰0 就是定理( 3 2 2 ) 而般的情况可通过引入个变量代换玩：= k + k 使问题变成处理个等价的b s d e玩= 专+ 场+ t t g ( s ，只一k ，z , ) d s + 上tz , d w , 而估计式( 3 3 2 ) 是由。i 厂ies u pz,dw,i2oo，e，一ig(s，k，磊)12dstj o0 o oi 2 o o ，i，k ，磊) 1 2 o oo o 倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用由此知，对t = 0 比较定理成立对t 0 情形证明类似实际应用中经常对以下两个b s d e 进行比较s，t，t野= 专1 + zp ( 占，曙，露) + 弓】幽一z 刃矾( 3 3 1 0 )和t t，t坪= 毒2 + 【9 ( s ，坪，砑) t - 砖 d s 一霉矾( 3 3 1 1 )j tj t其中c 1 ( ) ，c 2 ( ) m ( o ，z 冗) 此时若设以鼋，d e n s 及享a 8 ，则容易由上面的比较定理知，k 玩，n s ，口- e 在金融市场中，c ( ) 代表投资者的消费率，y ( t ) 代表他在t 时刻的财产，而z ( t ) 则代表他在t 时刻的投资组合策略这时比较定理可以作如下解释：如果个投资者想在将来的个时刻达到较高的财政目标，那么他或者现在必须投入更多的钱，或者在t 时刻以前较少消费我们来考虑b s d e ( 3 3 1 0 ) 的个特殊情况；g ( s ，0 ，0 ) 兰0 此时易知，若考三0 且铲= 0 ，则b s d e ( 3 3 1 1 ) 的唯一的解是( 埒，留) 兰0 这时如果专和c l ( ) 都是非负的，那么( 3 3 1 0 ) 的解y 1 也是非负的，而且这时我们还有站= 0 吐兰。且毒1 = 0 这结果在金融学的解释是s 这样的金融市场是无套利的( n o a r b i t r a g e ) ：如果个投资者想在将来时刻t 获得个无风险的获利机会( 即f 1 之咀联1 0 ) ，那么他在当前时刻t = 0 必须投资姥 0 设g ( s ，0 ，0 ) 三0 及专o ，e 同 0 考虑下面参数入( 0 ，。o ) 的b s d e ，跆= k + t g ( s ，跨，z ) d s 一t t 甜d 肌此时可以证明熙培= + 事实上，我们可以将它与下面的b s d e 的解比较p = k + t t c ( 一i 冗a i i 磊a i ) d s 一t 露矾倒向随机微分方程理论及其在金融学上的应用其中c 是g 关于( y z ) 的l i p s c h i t z 常数由比较定理得( i ) 对每个a 0 ，诒昂a ；( i i ) 当入= 1 时有碲1 0 但注意到以下事实：对每个入0 ，我们都有玩 三a 玩1 且磊a 三入磊1 由此及( i ) ( i i ) 得培玩a = 厩1to o 这用金融学的术语可作如下解释：如果个投资者想使其资产在将来一个时刻t 达到充分高的数学期望，那他就必须在当前时刻t = 0 投入充分多的钱3 4 一种新的数学期望一一g 期望倒向随机微分方程的解y t 依赖于毒，它可以看成是由l 2 ( q ，厂，p ) 到l 2 ( q ，厂，尸)的随机映射，彭实戈【1 1 将其称之为由倒向随机微分方程导出的一种新的数学期望一一分期望定义3 4 1 假设g 满足( h 3 2 1 ) ( h 3 2 2 ) ，令毒l 2 ( q ，y - ，p ) ，记( y t ，z t ) 为倒向随机微分方程( 3 2 1 ) 的解定义s o t 旧为o ，t 【目：- - - y o ，称之为随机变量专由g 在【o ，卅上生成的g 一期望定义g t ，t 【翻为鼠，r 矧：= 纨，称之为随机变量f 由g 在【t ，t 】上生成的条件9 一期望如果g 还满足a ( t ，y ，o ) = o ，a s v ( y ，t ) rxf o ，卵我们采用彭实戈教授的简单符号，用勺圈代替定义( 3 3 1 ) 中的9 一期望8 0 ，t 嘲，用e g 【i 五1 代替定义( 3 3 1 ) 中的条件9 一期望c ，t 【纠，即白旧* - - - 8 0 ，t i e ，e 9 吲五1 _ e t ，丁【目倒向随机徽分方程理论及其在金融学上的应用下面列出9 一期望与条件9 一期望的些基本性质，具体的证明可以参见e lk a r o u i 与l a u r e n tm a z l i a k 的文章 3 4 1 引理3 4 29 - - 期望的性质( 1 ) ( 保常数性) ：对任意常数c ，有吲c 1 = c ；( 2 ) ( 单调性) ：如果墨2 尥口s ，那么e g x 1 j 勺阢j ；( 3 ) ( 严格单讶眭) ：如果x 1 x 2a s ，且p ( 噩 拖) 0 ，则勺 x l 】 勺阮】引理3 4 3 条件g 一期望的性质( 1 ) 如果x 是五可测的，则白l 列= x ；( 2 ) 对任意t ，s 【o ，t i ，白【e g 【x i 五】i 兀1 _ g x 1 r t s 】；( 3 ) 对任意的t 【o ，t i ，勺b i 五】= e 9 】；(