（基础数学专业论文）wrpp半群的若干研究.pdf

1 引言 格林关系是由g r 一i l 】于1 9 5 1 年提卅来的许多半群学者利用格林关系对正 则半群作了深入地研究，比如逆半群、纯正半群、完全正则半群等格林关系在 正则半群的研究中起到了重要的作用 扎格林关系是由f 0 u 1 1 t a i n 【2 l 于1 9 7 9 年提出来的f o u n t a i n 3 】利用+ 格林关 系引入了富足半群的概念令s 是半群若s 的每个c + 类含有幂等元，则称s 是以富足半群，记为r p p 对偶地，若s 的缚个冗+ 类含有幂等元，则称s 是左 富足半群，记为f 卯若s 既是右富足半群，又是左富足半群，则称s 是富足半 群富足半群是半群代数理论研究巾十分活跃的课题之一许多半群学者，诸如 f o u n 劬1 ，卧q 础j a 玩b i y t h ，m c 蹦d e h ，n a h l p o 鲥p a d ，郭章琦，岑嘉评，郭小江等都 曾涉猎这一谍题，并得到了一系列的结果 唐向东【4 】引入了一关系，对格林关系作了推广，并引入了w t p p 半 群的概念本文把若干类右富足半群( 即r p p 半群) 的相关结果 x 则吖是幺半群，且m 的类和冗类都是群g 和的单元素子集易验 证m 既是佗左消幺半群又是右消幺半群冈此肼是伪富足半群然而关于 任意n k ，9 ， g ，有。9 = “= “7 ，但i 故m 不是左消幺半群，从而m 不 是r p p 半群因此富足半群类是伪富足半群类的真子类 定义2 8 称w r p p 半群s 为c ，w r p i ) 半群，如果s 的幂等元集e ( s ) 包含在s 的中心内 引理29 半群s 是o w t p p 半群当且仅当s 是冗左消幺半群的强半格 引理2 1 0 【2 6 】令y 是半格，且s = 【y ；s 0 ，d j 是的强半格蔫关于任意 n ，b ，( ，6 ) 冗，贝u o = p 定义2 1 1 称w r p p 半群s 为拟强w r p p 半群，如果关于任意n s ，e l ：+ n e ( s ) ，有n e = n 定义2 1 2 拟强w r p p 半群s 称为强w t p p 半群，如果关于任意n s ，存存 唯一的e l ：n e ( s ) 使得e 口= 。 显然，若s 是强w r p p 半群，关于任意n s ，则存在唯一的幂等元e 。使得 n = e = x 3料一g r e e n 关系“，冗”，口“，h ”，了+ 4 本节给出半群的左( 右) 一理想的概念，并在此基础上定义+ 关系， 研究一g r e e n 关系的一些基木性质，推广文3 l + g r e e n 关系的相关结果并研究 若干类伪寓足半群的性质 下面给出c “的一些结果对偶地，佗”也有相应的结果 引理3 1 令s 是半群，e 2 = e s 。s 则下列等价： ( 1 ) ( 口，e ) ； ( 2 ) n ( 佗n c ) o e 且关于任意z ，”s 1 ，删冗笋辛e 茹冗e 掣 证明 ( 1 ) j ( 2 ) 据定义2 1 ，即得( 2 ) 的后半部分仅需证( 2 ) 的前半部分 事实上，e 1 冗e e ，从而n = o l 冗。c 若关于任意z ，g s 1 ，e z 咒e 又佗是左 同余，故有8 e 矾n 印所以n “a e 冈此( 2 ) 成立 ( 2 ) 辛( 1 ) 只需证关于任意z ，”s 1 ，e z _ r 印辛冗唧事实上，若 e z 冗叫则由于宠是左同余，故。口7 孔e ，但n c 4 a e ，从而冗。因此( 口，e ) 推论3 2 嘲令s 是半群，- 羁e ( 回包含在s 的中心内，则下列等价 ( 1 ) ( o ，e ) + ； ( 2 ) “= 雠- 且关于任意z ，事s 1 ，n 卫冗d 掣辛e 帆e 命题3 3 令n ，6 是s 的正则元若n “6 。则8 j 6 证明 令口”6 因口是s 的正则元，故存在y ( n ) 使得。冗。“7 ，从 而b 宠o 因此存在z s 1 使得6 = 胁n 刚理存存v ( n ) ，s 1 使 得= 8 6 6 6 所以n m ， 弓日里3 4 若，9 e ( s ) ，g = g ，贝，+ g = ，= 9 证明据引理3 1 ，冗如，9 冗9 ，故肥9 ，从而，g 是左单位元即，= 蛆g ：沁堪虼f = 9 据此引理。知伪恰当半群的每个+ 类含有唯一的幂等元 引理3 。圳令s 是半群，且e ( s ) 包含在s 的巾心山若一是s 的同余，且使 得每个一类含有唯的幂等元，则a 是s 的半格同余，日s 加= e ( s ) 命题3 6 令s 是伪富足半群，目f ( 翻包含存s 的中心内则+ + 是s 的半格同余，且酬c ”= e ( s ) 证明 令e 1 ，ee ( s ) ，且e ”，据引理3 4 ，e = 厂，从而s 的德个“类 含自唯，的幂等元又因c “是s 的右同余，据引理3 5 ，”是半格同余， 且s c 2e ( s ) 推论3 7 令s 是伪富足半群，且e ( s ) 包含在s 的中心内则h “是s 的半 格同余 证明据命题3 6 及其对偶，即得 为方便计，s 中包含元素n 的c ”类记为e + ，在不易引起混淆的情形下记 为：4 ( s ) 剥应于包含。的其他+ + 关系类也有相应的记号 定义3 8 称s 的左( 右) 理想是s 的左( 右) + t 理想，如果关于任意。e ， 有e + ，( 域+ n 称s 的子集，是s 的”理想，如果既是s 的左+ + 理想， 又是s 的右”理想 引理39 令 如s ，其中如是半群s 的+ t 理想， 是如的+ + 理想 若砰= ，1 ，则，l 是s 的“一理想 证明据f 2 7 ：2 6 】的习题4 ，知，l 是s 的理想若n ，l ，6 l ：( s ) ，则 由“，2 ，屯是s 的”一理想，知6 如因此6 瑶4 ( 如) 又因为，1 是如的+ + 理 想，故6 ，1 从而1 是s 的左+ t 理想类似地，1 是s 的右s + 理想 引理3 1 0 令s 是右伪富足半群若，是s 的右理想，且j 是s 的左+ + 理 想，则，j = ，n 证明显然，n 令o ，n 因为s 是右伪富足半群，所以存在e 剧s ) 使得n c “e 据n j ，且，为s 的左“理想故e j 据引理3 1 ，。冗 因此存在s 1 使得= 口e z 由于j ，t ，故= 。e 。，j ，n j ， 类似地可得： 引理3 1 1 令s 是芹伪富足半群若，j 是s 的克珲想，嗣j 是s 的右+ + 理 想，则= n ， 据引理3 1 0 3 1 1 可得： 推论3 1 2 令s 是伪富足二仁群则关于s 的所有+ s 理想，有，2 = ，从 而s 的”理想具有传递性 容易证明： 引理3 1 3 若( 厶i o a 是s 的+ + 理想( 左+ + 理想，右+ + 理想) 族 则 ( 1 ) n 厶i n a ) 是s 的+ 4 理想( 左”理想，右”理想) 或为空： ( 2 ) u 厶f n a ) 是s 的”理想( 左+ + 理想，右”一理想) 据引理3 1 3 ( 1 ) ，s 是其本身的+ t 理想，且存在最小包含。的+ + 理想，记 为j ”( n ) 虽小包含n 的左+ + 理想。记为l “( n ) 最小包含。的右+ + 理想，记 为彤( n ) 称，+ ( 。) ( l ”( n ) ，r ”( n ) ) 是由n 生成的主+ 4 理想( 主左+ + 理想，主右 ”理想) 显然，l “( n ) ，+ ( 8 ) ，彤+ ( d ) ，”( n ) 下面给出上述“一理想的等价刻画 引理3 1 4 令s 是半群，o s 则 ( 1 ) 6 r + ( n ) 当且仅当存在如，。l ，q 。s 。1 ，z 2 ，z 。s 1 使得 知，6 = 嘶l ， ；= i ( 啦，z l t 1 ) c + + 0 = 1 ，2 ，一，n ) ； ( 2 ) 6 彤+ ( ) 当且仅当存在0 ，l ，s z 1 ，z 2 ，z 。s 1 使得a 如，6 = ，且( 口l ，n i l 矗) 冗“= 1 2 ，n ) ； ( 3 ) 6 ，+ ( n ) 当且仅当存在o ，8 - - ，s ，z l ，z 2 ，z 。，们，妇， 鲰s 1 使得a = n o ，6 = ，且( 啦，。n 。一l 弘) d o = l ，2 ，礼) 证明 ( 2 ) 和( 3 ) 的证明与( 1 ) 类似，我们只证( 1 ) 令，是满足上述条件的元 素6 的集合关于任意6 j ，则存在，l ，8 。s ，$ l ，z 2 ，。s 1 使得： 咖，6 = ，且( ；，z 口) c “0 = l ，2 ，n ) 若q 二+ ( 8 ) ，则到为l + 4 ( n ) 是 左”理想，l 丁是有啦一l l ”( n ) 因此啦工”( a ) 但印= n l 。+ ( n ) ， 故o i l “( o ) ，“= l ，2 ，n ) 特别地，6 口( o ) 因此有，sl “( 口) 另一方面，若6 ，显然，关于任意s s ，有曲，且e 4 ，凶此 是左一理想又n j ，故l “阢1 = 推论3 1 5 令s 是半群，o ，6 s 则 ( 1 ) 8 c ”6 当且仅当l ”( 8 ) = l “( 6 ) i ( 2 ) n 诧“6 当且仅当r “( n ) = | r ”( n 证明( 1 ) 若驴b ，据引理3 1 4 ，即得l “( “) = l “( 6 ) 反之，令+ ( “) = l “( 6 ) 则 l “( “) 据引理3 1 4 ，存在“o ，“h - f n s ，1 ，。2 ，l n s 使得n = “o ，6 = r n ，目( r 。，：l n ；一1 ) + + = l2 ，n ) 令。，掣s 1 且n z 冗n 掣若n h z 冗卜l ，则粕n t _ 1 。冗为峨一l ”，且凶“i + 瓤毗一1 ，从 而j 冗毗”叉n = q o ，故k 冗切类似地可证，关于任意a ，s 1 ，若k 冗w ，则佗f 叫 因此n c ”6 同理可证( 2 ) 成立 定义3 1 6 在半群s 上，规定r 。+ 6 当且仅当，+ ( n ) = ，+ ( b ) 显然，”j “，冗”j ”，从而口”了”文【3 】中指出，止则半群的 格林关系d 具有的“蛋箱图”关于富足半群的d 关系。般不成赢下面举例说 明在伪富足半群中，关于d “也有同样的结论 例3 ，1 7 令m 是由。生成的无限循环半群，_ v 是由6 生成的无限循环幺半 群，且其单位元为e 令s = m u u l ，其中1 为s 的单位元在s 上定义乘 法如f ： 扩6 n = 6 m + “，矿o m = 扩+ m ，( m 0 ，凡0 ，矿= e ) 易知s 是具有幂等元l 和e 的幺半群s 的p 类是m uf l l 和，s 的 冗”类是 1 ) 和mu | ，因此s 是伪富足幺半群d ”是泛关系，而h ”类是 1 ) 和 ，注意到1 c “o 冗“6 ，但嘲+ n q 。= 0 故有。冗“冗”o f 。 引理3 1 8 令日”是半群s 的一个秆”类若e h “n e ( s ) ，则h + + 是s 的子半群进一步，若e 是单位元，则日”是冗左消且c 在消幺半群 证明令e h “n e ( s ) 若n ，6 h ”，则由p + ，冗“分别是右i 司余， 芹同余，又n c + e ，f 兄”e ，可得4 6 c ”e 6 ，n f 兄+ n e 据引理3 1 ，b c 曲，n 冗o e 故 n 配“6 ，n 矾”n ，从而n 6 伊+ 因此h ”是s 的子半群 令e 是伊的单位元若n ，6 ，s 舟”，且s 。冗曲，! i ! i j ；i 一舀? ；l 萋姜! i ：薹：；i i 蔷；s l i ：并i 争i l 聿鲤薹半 群同理可证，日”是c 右消幺半群引理3 1 9 【4 】宠左消幺半群含 有唯一的幂等元，推论3 2 0 半群s 的每个含 有甲位元的h ”类含有唯一的幂等元命题3 2 1 令_ d ”是s 的一 口类，且e d + n e ( s ) 令z = x n y ，其中 x = u l r i ，e ( s )，且，d e l ， l ，= u ( 蟛1 9 e ( s ) ，且g 口e ) 则( 1 ) 若“，6 z ，贝q ( “，6 ) c 4 + o 冗4 4 ，目( “、 ) 冗+ 4o c 4 + ；(2)若oz，且nl ( i ) m 是蟛8 一线+ ，一缸映射 d e 4 ，存在t 蟛使得t m 7 甜； ( i i ) a c 是蟛4 一j ，s c s 映射 d 域+ ，存在s 坼+ 使得以。d 满足t l m = 2 风蕴含2 l 冗2 2 ，且关于任意 满足s 1 a 。= 8 2 k 蕴禽s l c s 2 ，且关于任意 证明 ( 1 ) 若n ，6 z ，删存在，g e ( s ) 使得n + ， 6 冗+ 9 ，且，口e ，口e 从 而，d 9 故存在c s 使得，c c 砌因此以+ + 矾+ + 6 ，即( 4 ，砷c ，。冗“同理可 证( n ，砷冗+ + o c ” ( 2 ) ( i ) 囚，9 与e 有口关系，故，功 据 2 5 ，定理235 j h 类l ，n 岛存在c 从而存在c 三，n r 三芦n 蟛+ = 蛾+ 的唯一逆元c ，使得c = ，c c ：9 关 于任意t 蟛4 ，有t p 9 因此t c c + + g c ，且因9 c = c ，从而把q ：l p 又因 c 咒“9 ，有c 宠“冶而圮+ 勺，故t 甜+ 扫从而托曰= 彤+ 因此把境+ ，且 有映射p c ：彤+ 一 臀，c p c = t c 若1 ，幻嵋+ ，且l c ：t 2 c ，则由c c ：9 ，得 t l 冗n 9 2 t 2 9 冗t 2 若d g + = l r n 弼+ 则d c c = 酊冗d ，目d c ，有d c 一 故d c 。又c 定“，有d c 。7 矿+ d ，得d j 蟛因此d c ，战+ ，且( d c ) p 。冗d 同理可证( i i ) 成立 。 推论3 2 2 若上述命题中曰( s ) 包含在s 的中心内，其他条件不变，则 ( 1 ) 上述命题所说的映射p c ， 。是双射； ( 2 ) 糟吼b z ，则i 域i = i 蟛k ( 3 ) z 中任意两个含有单位元的h ”类作为冗左消又c 右消幺半群同构 证明据推沧3 2 ，引理3 1 8 ，命题3 2 1 ，即得 从而m 。，口足品一勘的i - j 态 关于任意。，p ，7 三p 7 ，且关于任意j o ，h 据f 。p 和挠映 剩、d 的定义，有 ( z ，n ) 圣仉卢圣卢，1 =0 f l n ，i 南l ，峨，芦) 垂一，1 = ( ( i 【l 。，巧o 】【1 日，z 【1 。，i 矧b 】) ，( t f n 口如，1 ) = ( 1 f l n ，i 如 l 口，如如n 。矗，) = ( i 【1 n ，i b l ，o f n ，1 ) = ( i ，n ) 雪n 1 因此，p 吩，= h 下面我们构造具有结构同态垂。f 的半群的强半格亏 显然，作为集合否= s 另需证明作为半群i = 曼 用+ 表示否中的乘法则关于任意( ，“) ，( j ，6 ) 昆，且jo 如p 有 因此s 是厶矗的强半格 ( i ，n ) 圣n ，卵( 6 ) 中口，叩 ( i 1 。，粕】，吒，叩) ( j 【1 毋缅】，h 妇，卅) ( i 【l n ，纠，( 咄，。口) ( h 妇，叩) ) ( i ，o ) - ( 丘b ) ( 3 ) s 是拟强w r p p 半群，且s 是佗左消板的强半格 证明 ( 1 ) 辛( 2 ) 令s 是完备w 州) 半群则e ( 翻是正规带据引理52 ， 知e ( s ) 是矩形带r y ) 的强半格记作e ( s ) = 盼e 、，p 叫“易证f k 鳓= 口e ( s ) ，其中口是引理5 3 中定义的同余冈为e ( s ) 加i 目f s l 兰，所以可用 1 7 表示e ( s ) 口l f ，鳓据引理5 8 ，知s d 是c w r p p 半群，从而由引珲2 9 ，知s 口 是具有结构同念的冗芹消幺半群a 如陋y ) 的强半格，记s 口= 【y ；m ，口 记 ，= u 。( “e 二) ，布m 上规定乘法运算： ( m ，i ) ( m j ) = ( m m 巧) 其巾t m ，巧是、m ，n ，t ，j 分别往彤一和e ( s ) 中的通常的半群积则易证m 是c w r p p 半群s p 和正规带e ( s ) 的织积， 下面证明s 与m 同构令吵：s 一，5 一( ，矿) 首先证明砂是单 剁显然，妒是映射关于任意( s 口，) ，( 虹f + ) m ，令( ，一) = ( 虹一) 则 s 口= 协，且s + = 扩据口的定义，存在e ，e ( 矿) 使得s = e 玎而e ( 矿) 是矩 形带，从而有 s = s + 5 s + = t + e t ，+ = t + e t + t + ，t + = t + + = t 冈此妙是单射 其次证明妒是满射令( n ，i ) 盯则口纠口故存在z s 使得z 口 ) = z n ，( 。 ，“) n z = ( 贝0 南茁( 8 ，t t ) = z 。，得口( 1 _ a = 卢“ 取口= o ，则n a = q 由此可得a 又因( 。 ，“) 垂 ，。8 妒= i 伊；迪蘩印窭j 用ij *莹!；i：|i蠢；鞫差窭。#嗡丝翳莲“躐譬“科夔羹蓠撼蠢挚群bi美螽随*婪j x f 5 l ：| ；羔￥；。m ；峰霉制；錾耋鐾营副g 槲川囊l i i 搴i 。；一；i 。? i i 鸶鬟霄； ( n ， ) 凼此妒是满射 最后证明咖是同态据定理5 6 ，有( s t ) 妒= ( ( s t ) 口，( s t ) + ) = ( s d t 口，s + t + ) = ( s 口 ，s + ) ( 口，t + ) = ( s ) 妒( t ) 妒 故咖是同态综上所述，知妒是同构，即s同构于cwrpp半群与正规带的织税 ( 2 ) j ( 3 ) 令s 是c w t p p 半群和正规带e 的织积记s = m 。( ，d，p ) e ，其 中盯=f，：，卜e=y；磊协、，d】，日是盯和e的公共同态像关于任意 ( v ，户】，且t p ，( n ，z ) s 规定映射讥，d 如下：以。r( r，)=(“氏。，i怫7) 其一j i9 ，删和妒。口分别是a + hcm ，和玩+ hc 勘的半群 列态易证v hh 足 t ，e ，一姐；岛的同态另关于任意( z ，) 蝎。蜀。，( g ，) a 圾毋， 翻。 ( f ，七) ( ，jj = = - = ( t ，幻) = ( z 挣pp 目 、“ ，七妒， j 妒 小 ) 二( z ， j 妒，。，。 ( ，j ) 川 冈此d 是岛= m ，取( y ) 的结构同态，其巾a 站e 。是冗左消板故 s 与兄左消板的强半格同构 ( ，j ) 号( 1 ) 令s 是具有结构同态矗、d 的冗片消板岛= 霸e 。的强半 格其中眠是冗芹消幺半群，既是矩形带显然，e f s ) = = “e ( ) ，目 e ( s 。) = e 。) ，e ( 最。) 是矩形带，其中一。是n 靠的单位元令o ，、7 l ， 且j = n 1 关于任意z e ( s ( ) ，g e ( ) 、：e ( s ) ，有 z 埘二二( n ，j ) ( 分妇d ) ( 。岛，j ) ( z 矗d ) = ( z 矗d ) ( ：f ，j ) ( v f 片6 ) ( 。f 峨d ) = 。v = t 因此e ( s ) 是正规带卜证+ 是同余，只需证& 是s 的+ 类令( n ，死7 ) s ，若关于任意( ， ) ，( ，f ) s 1 且使得( n ，z ) ( z ， ) 足( h ，。) ( ，z ) ，删( n 。，i 女) 死沁v ，z ? ) 当 仪”“i 佗哪z r ；! 据；m n ，口j 是冗左消幺半群a 如的强半格，【y ：玩，d j 是矩形带瓯的强半格，可得妇冗叻，j 女7 巧f ，其中文口，口是由毛，口诱导出的结 构同态故( 6 ，j ) ( 。，) 冗( 6 ，) ( f ，f ) 由此结果及其对偶可得( n ，z ) c * + ( 6 ，7 ) 若f ( c 。) 岛，( h7 ) & ，( n ，z ) 8 ( 6 、，) ，刚因( 、t ) ( 、i ) = z ) ，所以( 吣) ( e 。，t ) 冗( 6 ，j ) 攒引 理2l o ，知芦= 口nsn 类似地，可得m 从而“= 口冈此晶是s 的+ + 类易证s 是强w z p p 半群凼此s 足完备w l p p 半群 最后我们引用文 1 6 ，例45 】来说明完备w r p p 、卜群不是c w r l ，l ，半群 例5 1 2 令g 是至少含有2 个元素的群，是由a 生成的无限睁演半群 设a ，= g u k ( g n n = 9 ) ，且在m 上规定乘法“。”运算盘下： 一“= 耋 z g 且w k 4 ：k h 一| j i g 其他情形 易验证肘是c w t l ) 1 ) 二# 群令y = 缸口( 1 为半格，且聩。= ( e l ，r ：2 ，口j ，( 4 ) 和b 胡= h ，c 前) 足 1 零带令b = = = = y b ，其c 帮l 。y 表如下： 2 】 e 1e 2e 3e 4e 5e 6 e ie ie le 5e 5 e 5 睨 e 2e 2e 6 e 6e 6 e 3 e 6e 6e 3 e 3e 6e 6 e 4e 4 铂e 6 e 5e 5e 5e 5e 5e 5e 5 e 6e 6e 6e 6e 6 e 6 则b 是左正则带，且也是正规带令s = b 则易验证s 是完备w r p p 半群， 但不是c w r p p 半群，因为有，= ( 1 ，。1 ) 仅是s 的定单位，其中1 烂群g 的单位元 6 毕竟p i 一强w r p p 半群 杜兰和何勇1 2 0 】引入了毕竟强r p p 半群的概念木节类似地引入毕竟强w r i ) i 】 半群的概念，研究满足置换恒等式的毕竟强w r p l ) 半群，称之为毕竟p i 强w r i ，1 ) 半群并给出其结构 6 1 预备知识 令s 是半群如果关于莱固定的止整数n ( 2 ) 和任意1 ，z ”一，z 。s ，存 在n 元非恒等蔗换一使得 0 1 2 2 ，：n = o ：d ( 1 ) a 0 ( 2 ) 。z 口( n ) 则称s 是可置换的半群的可置换性与半群的b u r n s i d e 问题有关，因此受到了广 泛的关注 令 一= ( 。矗，。三，：。夏，) 是n 元置换若关于任意。l ，。2 ，z 。s 都有 。1 2 2 。茹n = z 口( 1 ) 。口( 2 ) 口( n ) ( $ ) 则称半群s 满足由置换a 决定的置换恒等式y a m a d a 【1 8 | 郭小江【l9 l ，杜兰和 何勇f 2 0 1 分别给出了满足置换恒等式的_ _ e 则半群，强r p p 半群，毕竟强r p p 牛群 的结构 作为c ”关系的推广，文献f 1 7 定义了s 上的右同余c ( ”) ，为方便计，本 文记为c + 在半群s 上，规定c + 关系如下： f c c + 6 甘如果关- 丁任意z ，g sn z 冗叫当日仪当妇冗幻 关于任意“s ，记包含n 的c + 类为醵为不引起混淆，c + ，埘可记为 c + ( s ) ，l j ( s ) 岳i 然，”+ 特别地，当s = s 1 州，自。+ 关于任意的n e ( s ) 记 l = e e ( s ) i ( v j s ) e n l = n z ，且舭b e = z ( 半群s 称为毕竟强w r p p 的，如果s 的每个c + 类含有幂等元，f f l 关丁任意 n s ，i 聪n 厶i = 1 此时，记l 古n 厶中的唯一幂等元为n 。 显然，强 p p 半群是毕竟强p p ? f 群满足置换恒等式的毕竟强w r p p 半 群称为毕竟p i 强哪半群 引理6 1 i - q 令b 是带则下列条件等价： ( 1 ) 口满足置换恒等式； ( 2 ) 口是正规带； ( 3 ) b 是矩形带的强半格 定义6 2 称半群s 是冗消去幺半群，如果关于任意口，6 ，c s ，( c 。，c 6 ) 兄寺( 口，6 ) 冗，且( ，6 c ) 宠辛( o ，6 ) 冗 5 6 2 毕竟p i 一强w r p p 半群 在奉节若无特别说明，s 总表示一个满足( + ) 的毕竟p i 强w r p p 半群令 = m 讯 i f 口0 ) t ) ，m = 口一1 ( ) 则显然有口( ) k 关于任意e e ( s ) ，记 = n s in 。= e ) 引理6 3 下列结论成立： ( 1 ) s 的子半群满足( * ) ； ( 2 ) e ( s ) 是正规带； ( 3 ) 关于s 的任意子半群t ，有+ ( s ) l t + ( 丁) ； ( 4 ) 关于任意，6 s ，有曲= n 口。b = n 6 。6 = 曲n o 圹= “o 扩曲 证明类似于文( 【19 】，1 2 0 】) ，此略 引理64 关于任意“，6 s ，有( n 6 ) 。= n 。f j 。 证明令任意元，s 则 n k 冗。妇辛“。舻佗n 。 l f ) 。( r + ( 1 0 ，o = n 。6 矿) 寸矿n 。埘。，：冗b 。“。拍。口是左同余) j ( 矿) n 。( 矿) ”卜厶( 扩) 刑1 卫冗( 矿) 。( 6 0 ) 一6 ( 6 。) “一m + 1 掣 辛6 n 0 6 。= 6 。k 。6 。7 2 6 0 k 。6 。= 6 0 。6 0 ( s 满足( ) ) 号6 0 。扩g 冗矿n 。扩可( 6 c 十厶o ) 辛d 0 6 。z 冗。b o 掣 = 争。妇冗n 幻( 曲o 。酽= 曲) 因此。6 。l 矗n e ( s ) 珥据引理6 3 ( 4 ) t 知( 曲) 。= 。旷 引理6 5 令e e ( s ) 则是交换佗消去幺半群的膨胀 证明据引理6 4 ，知& 是s 的。f 半群注意到 e s e = & e 霹= n 6 i n ，6 & ) = 8 6 e l o ，6 s e ) & e 故有e 最= & e = 霹，从而霹含有单位元e ，且满足( + ) 关于任意n 6 霹，有 曲= e 量卵m 一七抛嗍+ 1 = e 6 n e = 她 即霹是可交换的若任意c 霹使得7 z 曲，由r c + c ，得n = e 。冗e 6 = 6 凼此爱 是冗左消的，从而霹是冗消去幺半群作映射 机：s c 一舞，z e z 则关于任意z ，& ，有z = e z ”= e z e = 。”毋。因此s c 是交换佗消去幺半群 的舅的膨胀 引理6 6 令b 是正规带， 是b 上的最小半格同余则b 是毕竟p i 强 w l p p 的，且c + ( b ) ；目 证明令b = y ；晶，矗、】是b 的具有结构同态矗p 的e 。( 口y ) 的强半格 分解，其巾y 为半格te 二( n y ) 是矩形带荚卜任意n b ，有n 甜n l 若 r 耐n 厶，则荚于任意zeb ，有e “z = c c ，= m f ，且= 掘c c 十( b ) “及 = = d = “= n ，得f = c e 兄m = n 因此r = 1 = m 从而n = r ，据引理 2 6 1 ，知口是毕竟p i 强w r p p 半群 令0 ，b 勖( ，卢y ) ，且“+ 6 则由n b = n - b 妇，。口，得6 = d d 7 2 dk p ，。口 据引理2 9 。知卢= n p 同理“= cr p 因此c + ( b ) q 反之，令n 神则。= 卢，日关丁任意z b ，毋，有 ：冗v 讳 “f n ，0 1 z 岛，a 1 冗略，n 吠 o 铮( 】= 1 = n 蛳，所呜，口1 冗响，肼蛾，肌 锌k 冗妇 i 划此口+ 6 从而q l + ( b ) 引理6 7 下列条件等价： ( 1 ) e ( s 耀矩形带； ( 2 ) 鼹c + 单的； ( 3 ) s 蹩交换冗消去幺半群与矩形带的赢积的膨胀 证明 ( 1 ) 寺( 2 ) 令日( s 堤矩形带关于任意。，6 只。，s ，有 口茹冗叼 n 。z 冗n 。( c + n 。) 甘矿o 。z 7 2 6 0 n o ( 冗是左同余) 甘扩矿z 。z 冗矿。”。 ( 据引理6 3 ( 4 ) ) 甘6 。o 。z 冗6 。 ( e ( s ) 魁矩形带) 甘矿z 7 2 6 0 9( 据引理63 ( 4 ) ) 争幻：亿崎( 6 + 圹) 因此d c + 6 ( 2 ) ( 3 ) 令s 是c 十单的据引理6 3 ( 2 ) 和( 3 ) 知e ( s ) 是正规带，且c + 哳s 】= u b s ) 闽为c + h 司是e ( s ) 上的最小半格同余- 所以e ( s ) 是矩形带，再据引理 63 ( 4 ) 和引理6 4 。知铲= u 。e f 印& e 作映射 妒：s 一s 2 ，h 。j ， 据引理65 及其证明，知堤有定义的，且关于任意n b s ，有劬：m 。6 扩： r t 妒岫故s 是s 2 的膨胀取一固定的r e ( s ) ，作映射 妒：s 2 一卑e ( s ) r ，( r w ，。) w 令z ，s 2 使得z 妒= 咖删矿= 旷，且z = 矿e z 。z z 。e 矿= $ 。= 。e e 。= v 冈此妒是单射冈芙于任意( e ，) 霹e ( s ) ，有( ，z ，= ( z ，) 4 ，放妒是满射 义关于任意j ：，铲，有 ( z ”) 币= ( e z ”e ，( w ) 。) = = ( e 。e 旷g e ，。：。) =( e 嚣3 。e e 掣。e ，z 。可。) =( e g ee 可e ，卫。可。) = z 妒掣妒 因此砂是同构映射 ( 3 ) 辛( 1 ) 显然 引理6 8 令p = ( n 6 ) s s 妒q 扩) 则p 是s i ：的半格同余，日s 的每个 p 类都是c + 单的毕竟p f 强w t p p 半群 证明令，y = ( 吼6 ) s xs f n 。= 厶o ) 购据引理6 4 ，易知，是s 的同余，且使 得s n 型e ( s ) 令为s 1 上的最小半格剧余易证下图是可交换的故p 是s 的 半格同余令t 为s 的个p 类则e ( t ) 是矩形带， 且r = u 。e ( n & 关于任意n t ，据引理6 3 ( 3 ) ，知 o + 矿若关于任意e e ( t ) 使得e c + ( 丁) m 日关于任意 o t ，有e z = ，z n e = z n ，则n e = e n ，且关于任意 ，e ( r ) ，在s 中有e 口。，= ( e “，) o = ( n ，) 。= n o ，n 。e = ( 如e ) 。= ( ，n r = ，口o 因此有c = 。所以7 是毕竟p l 强w r p p 半群据引理6 7 ，知了1 是c + 单的 易证下面的 引理6 9 下列条件等价： ( 1 ) 馄交换亿消去幺半稀与矩形带的直积的强半格； ( 2 ) 7 是交换冗消去幺半群的强半格与正规带关于它们共同的最人半格同态 象的织积 定理6 1 0 下列条件等价： ( 1 ) s ! 足= 毕竟p i 强w r p p 半群； ( 2 ) s 是交换冗消去幺二# 群与矩形带的直积的膨胀的强半格； ( 3 ) 姥交换咒消去幺二f 群与 ： t 形带的瓤 则下列等价： ( 1 ) s 是完备w r p p 半群： 其rjl “( “，n 卢7 ) 使得垂如，呐】= 巾d ( m 。川垂d ( 叩州，) ( c ) 关于任意n ，口，7 r7 n p ，且关于任意固定的ne 品，d ( 。卢，7 ) d ( “一，1 ) ，存在a ( 卢，1 ) d ( 卢，1 ) 使得 且 n 中d ( n 计j d ( o ，7 ) d ( n ，7 ) ) n 晶( n 口，7 ) 岛( p ，) ( d ) 关于o ，卢ro 芦，且s n ，b 勘，d ( n ，卢) ，d ( n ，卢) d ( n ，p ) ， 6 ( 日，( 口) ) 品( 。们= 6 ( 。t ( 。，p j ) = 6 ( a 垂d 忙，p ) ) ， ( 71 ) ( 。m d ，( 。，卢) ) 6 s 0 ( 。，目) = 争( n 垂d ，( 。，口) ) 6 = ( “垂d n ，一) ) 6 ( 7 2 ) 令s = u 。y 岛在s 上定义乘法“o ”：关于任意n & ，6 函， oo b = ( n ( 。，叩) ) ( 6 锄( 成。p ) ) ， 其中a ( n ，卵) d ( n ，卵) a ( 卢，卵) d ( 卢，d 卢) ，且满足下列条件： n 圣d _ ，n 廖) jd ( q ，o 秽) d ( o ，n 卢) ) s _ ( 芦，。) ， 并且 ( 6 垂d ( 卢，。卢) i d ( 卢，o 卢) d ( 卢，o 口) 岛佃，。彬) 则( s ，。) 是半群，称为半群咒缸y ) 的加细半格，记为 s = 【y ；s _ 恤，辟) ，圣d ( 。，口) ，d ( o ，卢) ；民】 注记7 2 ( 1 ) 条件( n ) 使得乘法“o ”与品中的通常的半群的运算一致 ( 2 ) 条件( b ) 中的( i ) 使得定义的s n + 妇。，川的同态具有唯一性，以保证 乘法。”的定义是良好的缺少条件( b ) 中的( i i ) 可使定义中的乘法“o ”运算 容易验证关于任意d ( 卢，1 ) d ( p ，7 ) ，有 暮j ；耋釜； 芑；差，毒! 薯足? 。! i ；等臼；j | “雩g ：雾纠i i j j i ! 列；蠢：霪= 券鲤罂篷帮ll 釜叁零莹磐；：南：莨戮掣剡蛩掌掣i 裂差一 g 善苍妻 | 磐燃黾纠彭i j i # 鼙争打前= a 2 爱班杀嚣黧孙j 格棘樊篆 ；l 睡堕! 一；鎏耋l t 羹 ，毫 二；是格林关系的柏关靖翼鞋络銎羽给 给出完各w r p p 半 群的若十等价刻画 第六节引入毕竟p i 强w p p 半群的概念，并刻画毕竟p i 强w 1 ) p 半群的结 构 第七节利用半群的加细半格给出一类特殊的左e - 唧p 半群的结构，推广了 左c _ r p p 半群的加细半格的相关结果， 关键词：富足半群，伪富足半群，w r p p 半群，左c w r p p 半群，完备w r p p 半群，毕竟p i 一强w r p p 半群，半群的加细半格p半群，毕竟pi一强wrpp半群，半群的加细半格 x 在s 上定义关系一如卜： ( n ，) k ( 6 ，j ) 当且仅当存在n y 使得眠6 矗，且 = j l 易知上述定义的关系一是左c w r p p 半群s 上的等价关系 引理79 | 1 6 l 令m 是c w r p p 半群，是左正则带若c t i r l e r 结构s = m 。， 是左c w r p p 半群，则s 是吖和，的织积分解当且仅当k 是s 的同余 7 2 左c w r p p 半群的加细半格分解 引理7 1 0 令s = ；s d ( m p ) ，中d ( p ) ，d ( n ，口) ；岛= k l ，其中昆是冗左 消带关于任意d ( n ，卢) d ( n ，卢) d ( o ，卢) ( n p ) ，若 ( n a ，t a ) 西d ( 仉芦】且( n a ，址) 西一( m 口) = ( 而，i ；) ， 则 ( 1 ) ( 印，妇) 鼬口p ) ； ( 2 ) q j = 叩； ( 3 ) 关于任意。p ，且d i ( 叱口) d ( n ，口) ，如果( n 5 ，5 ) 岛( 。，口) ，则 ( 印，i 5 ) 岛。h 口) ； ( 4 ) ( e n ，如) 垂d 。，所= ( 印，妇) 证明类似于1 2 2 ，引理2 1 】，此略 引理7 儿 令s = f 托盼垂d ( 口，口j ，d 池口) ；晶= 靠x j 若口r ，6 昂，( n ，6 ) 冗，则o = 卢 证明 令s = y ；鼬。，盼陋，脚，d ( 。，p ) ；品= a 矗厶j 是晶的加细半格则 关于任意n s 0 抽，定义乘法咿如卜： 口。6 = 如锄( 。，。所) ( 6 吻p ，棚) ) ， 其中习( o ，p ) d ( o ，o 卢) ，磊( p ，c 蜩) d ( 卢，n 序) 若“品，6 5 0 ，m ，冗，则存钍f 勋，品使得“= 6o z 勘， h = “。 最 于是y = 卢1 p 且卢= ( v 6 ( t 因此n = 口 引理7 1 2 令s = f j ，；岛( 。h j ，西d f 。h ) d 岁) ，s 、= _ 。，。f ，其巾 厶是 x i 冗左消幺半群，k 是左零带关于任意z = ( n ，i ) 最，= ( b ，j ) 跏t 记 # 。= ( ， ) ，”。= ( 印，j ) ，其中，印分别是地， 知的单位元，则( 。) 。= 3 0 旷 证明 类似于【1 6 ，引理4 2 ( 2 ) 】，易证e ( s ) = u 。曲，( e 。) k ) ，且e ( s ) 是 左正则带，并且矿= ( e 。，i ) 是品中唯一的使得。e = c z = 。的幂等元，其中 是m 。的单位元令s d ( 。口) n ( e 。) 坫) = 锯。，口) ，中d ( 4 p ) i 。) l = 中盏。，口) ，令 。= ( 8 ，f ) ，= ( b ，j ) 则 聊= ( ，i ) ( 6 ，j ) ：( n ，i ) 垂a ( 。，。d ) ( 6 ，j ) 中j ( 晟。口) ， 其中盈( n ，o p ) 和再( 鼠n 卢) 使得 ( 6 ，j ) 电d 伊，。毋) i d ( 肛，n 卢) d ( 卢，o 肛) 冬岛似，。舯， “n ，i ) 圣诹。，。口) d ( n ，8 p ) d ( n ，o 口) s 函卢。卢) ， 因( 6 ，j ) 垂d ( 口，。口) = ( 印，j ) 垂卵，卵) ( 6 ，j ) 圣d ( 口，。国s _ ( 。，。口) ，据引理71 0 ( 1 ) ，( 4 ) ，知 ( 印，j ) 垂d ( p ，。p ) 岛( 。，。p ) ，从而 ( 8 口，j ) m d 。( 卢，。辟) i d l ( 卢，c 啦) d ( 卢，n 卢) ) s 矗d t 。脚， 即 ( e d ，j ) 圣d 。徊，。口) i d i ( ，d 卢) d ( p ，。够) ) s 盏0 t 。卢) 类似地，可证 ( e 。，t ) 中d l ( 峨。d ) l d l ( n ，a 卢) d ( 。，n 口) ) s 盏p ，。口) 凶此 z g = ( o ，i ) 中弧。口) ( 6 ，j ) 中矾。p ) = ( e 0 ，i ) 圣矾4 。芦) ( ，i ) 垂i ( 。，。) ( 厶，j ) 锄( 成。p ) = ( e n ，f ) ( 。，。口) ( n ，i ) 锄h 。口) ( 6 ，j ) 中a ( 雎卵 = ( e n