（检测技术与自动化装置专业论文）kalman滤波的状态和参数估计及其应用研究.pdf

摘要 摘要 一些复杂工业过程，特别是化工过程中，由于传感器技术或经济成本的限 制，其些对生产具有指导意义的关键状态或参数往往无法直接测得。当前建模 技术中常用的扩展k a l m a n 滤波器( e x t e n d e dk a l m a nf i l t e r , e k f ) 和神经网络 ( n e u r a ln e t w o r k ，n n ) 常常被用来估计这类非线性对象的状态和参数。然而，系 统模型不确定性会使得滤波器估计精度降低甚至发散；神经网络学习算法中经 典的误差反传( b a e k - p r o p a g a t i o n ，b p ) 算法收敛速度慢，存在局部最小等问题， 使模型精度受到影响。为此，本文主要在以下方面开展研究并取得成果如下： 1 、在e k f 二元估计( d u a le k f , d e k f ) 算法的基础上，引入有限差分滤波器 ( f i n i t e d i f f e r e n c ee k f , f d e k f ) 和次优渐消因子，提出了一种强跟踪有限差分滤 波二元估计算法口u a is t r o n gt r a c k i n gf d e k f , d s t f d e k f ) 。仿真表明，通过使 用中心差分法计算偏导数，能够提高滤波器的数值稳定性，而次优渐消因子的 引入，提高了滤波精度。 2 、将k a l m a n 滤波( k a l m a nf i l t e r , k f ) 算法应用于神经网络的学习，从而使 神经网络的学习过程收敛快、精度高，取得以下成果： 1 ) 使用e k f 算法学习类静态前馈神经网络，并对算法进行改进，提出一种 能够进行样本异常数据自动识别的e k f 学习算法( o u t l i e r a u t od e t e c t i o ne k f , o a d e k f ) 。数值仿真表明，o a d e k f 学习算法能够避免由于样本异常数据 引起的过拟合现象。 2 ) 从工业过程建模的实时性出发，提出_ 种动态神经网络k a l m a n 滤波快速学 习算法( k f - b a s e df a s tl e a r n i n g ，f l k f ) 。f l k f 算法只根据当前样本数据实时 调整网络输出层权值，大大降低了计算量和存储空间的要求，提高了学习速 度。 3 ) 使用o a d e k f 算法学习丙烯腈聚合反应质量指标神经网络模型，现场工业 数据的仿真表明，建立的神经网络模型能够较准确的估计转化率等关键指 标。 关键词：卡尔曼滤波，二元估计，有限差分滤波，强跟踪滤波，神经网络，丙 烯腈聚合反应 江南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s o m ek e ys t a t e sa n dp a r a m e t e r st h a th a v es u p e r v i s i n gs i g n i f i c a n c et ot h e p r o d u c t i o n a r e n o r m a l l yf a i l e d t od e t e c td i r e c t l yw i t ht h er e s t r i c t i o no fs e n s o r t e c h n o l o g yo re c o n o m i cc o s ti ns o m ec o m p l i c a t e di n d u s t r i a lp r o c e s s e s ，e s p e c i a l l y c h e m i c a lp r o c e s s e s e x t e n d e dk a l m a nf i l t e r ( e 1 0 0a n dn e u r a ln e t w o r k s ( n n ) w i d e l y u s e di nc u r r e n tm o d e l i n gt o c h n i q l l ea l eo f t e na p p l i e dt oe s t i m a t et h es t a t e sa n d p a r a m e t e r so ft h e s en o n l i n e a rp r o c e s s e s h o w e v e r , t h em o d e lu n c e r t a i n t yc o u l dl e a d t op o o rf i l t e r i n gp e r f o r m a n c eo rp o s s i b l ed i v e r g e n c eo ft h ee s t i m a t i o n ；b e s i d e s ，t h e p o o rc h a r a c t e r i s t i co fs l o wc o n v e r g e n c es p e e da n dl o c a le x t r e m e so w n e db ye r r o r b a c k - p r o p a g a t i o n ( b p ) a l g o r i t h m ，w h i c hi sac l a s s i cn e u r a ln e t w o r kt r a i n i n gm e t h o d ， c o u l dd e g r a d et h e m o d e l i n ga c c u r a c y t h e r e f o r e ，t h e r e s e a r c h e sa n dr e l a t i v e c o n t r i b u t i o n so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ef o c u s e do nt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： 1 o nt h eb a s i so fd u a l e k f , ad u a le s t i m a t i n ga l g o r i t h m b a s e do n f i n i t e d i f f e r e n c ef i l t e r i n g ( f d e k f ) w i t hs u b o p t i m a lf a d i n gf a c t o ri sp r e s e n t e di nt h i s p a p e r s i m u l a t e d r e s u l t ss h o wt h a t ，t h i sd u a l s t r o n gt r a c k i n gf d e k ff i l t e r s t f d e k f ) b e c o m e sm o r en u m e r i c a ls t a b l eb e c a u s et h ep a r t i a ld e r i v a t i v e sa r e c o m p u t e db yc e n t e r - d i f f e r e n c em e t h o d ；m o r e o v e r , t h ef i l t e rb e c o m e sm o r ea c c u r a t e d u et ot h ei n t r o d u c t i o no f t h es u b o p t i m a lf a d i n gf a c t o r 2 i no r d e rt os p e e d u pt h ec o n v e r g e n c ea n di m p r o v et h ea c c u r a c yo ft r a i n i n g ， k a h n a nf i l t e r ( k f ) i se m p l o y e dt ot r a i nn e u r a ln e t w o r k sa n dt h e f o l l o w i n g c o n t r i b u t i o n sa r eo b t a i n e d ： ， 1 1t h ee k fa l g o r i t h mi su s e dt ot r a i nf e e d - f o r w a r dn e u r a ln e t w o r k sa n d m o d i f i e dt oa ne k f - b a s e do u t l i e ra u t od e t e c t i o n ( o a d e k f ) t r a i n i n ga l g o r i t h m s i m u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a t ，o a d e k ft r a i n i n ga l g o r i t h mo a n a v o i dt h eo v e r f i t t i n g p h e n o m e n o nc a l l s e db yt h eo u t l i e r si nt r a i n i n gs e t 2 ) o nt h eb a s i so fr e a l - t i m em o d e l i n go fi n d u s t r i a lp r o c e s s e s ，ak f - b a s e df a s t l e a r n i n g ( f l k f ) m e t h o df o ro n e k i n do f d y n a m i cn e u r a ln e t w o r k si sp r e s e n t e d f l k f o n l ya d j u s t st h ew e i g h t so fh i d d e nn e u r o n sa c c o r d i n gt oc u r r e n tp l a n td a t a ，t h e c o m p u t i n g a n d s t o r a g ec o s t sa l el a r g e l yr e d u c e d a sw e l la st h el e a r n i n gs p e e d 3 1t h eo a d e k fa l g o d t h r ni su s e dt ot r a i nc o n s t r u c t e dn e u r a ln e t w o r k sf o r e s t i m a t i n gt h eq u a n t i t yi n d e x e si np o l y a c r y l o n i t r i l ep o l y r e a c t i o n s i m u l a t i o n su s i n g p l a n td a t as h o wt h a t ，t h ec o n s t r u c t e dn e u r a ln e t w o r km o d e l sh a v eg o o de s t i m a t i o n st o t h ek e yi n d e x e ss u c ha sc o n v e r s i o nr a t e k e y w o r d s ：k a l m a nf i l t e r i n g ，d u a le s t i m a t i o n ，f i n i t e - d i f f e r e n c ef i l t e r i n g , s t r o n g t r a c k i n gf i l t e r i n g ，n e u r a ln e t w o r k s ，p o l y a c r y l o n i t r i l ep o l y r e a c t i o n i i 独剑性声明 y9 6 7 7 8 毒 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 本人为获得江南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：盘i 兰日期：2 。6 年4 月2 5 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规 定：江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 4 签名： 盔i 兰导师签名： 日期：2 0 0 6 年4 月2 5 日 第一章绪论 第一章绪论 工业生产过程中，质量和效率往往是决定企业生存的关键。然而在大多数 流程工业中，特别是化工过程，由于传感器技术或经济成本的限制。某些对生 产的产量和质量起着重要作用的状态变量往往无法用传感器直接测得，而是通 过离线分析的手段获得其信息，具有很大的滞后性。这些状态的未知性给过程 生产及优化控制增加了难度。因而，开发一种能够在线估计这些未知状态变量 的软测量技术就具有十分重要的现实意义。 如果能够建立对象的动态数学模型，那么在此基础上，将不可测主导变量 看作状态变量，把可测的辅助变量看作输出变量。这样对主导变量的测量就转 化为控制理论中典型的状态观测或状态估计问题。解决这一问题的有效途径之 一是设计状态观测器，估计对象未知状态。而许多工业过程，通常被噪声信号 污染，存在一定的不确定性，故设计的状态观测器必须能够抵制噪声的干扰 k a l m a n 滤波器 1 】f ) 作为状态观测器的一种，能够将存在随机干扰的系统中 的未知状态估计出来，因而成为解决这类问题的经典方法之一而对于大多数 工业过程而言，往往具有非线性的特性，故使用最广泛的是扩展k a l m a n 滤波 器【2 】k f ) 。这类过程的动态数学模型，往往含有未知的模型参数，这些参数 可能具有定常或慢时变的特性。k a l m a n 滤波能够准确估计系统的未知状态的前 提是系统模型已知且准确，而这些未知参数的存在，限制了k a l m a n 滤波技术 在这类过程中的广泛应用。因此，同时估计系统状态和模型参数的k a l m a n 滤 波技术的研究具有十分重要的意义。 许多复杂工业过程，由于对过程机理缺乏足够的认识，难以建立其较准确 的动态数学模型此时，无法直接使用k a l m a n 滤波器估计系统的未知状态。 而神经网络建模技术提供了解决此类问题的方法它并不需要对象的内在运作 机理，只需要对象的输入输出数据，根据这些数据学习的神经网络能够模拟对 象的静态或动态行为。所建立的神经网络模型的性能在很大程度上依赖于网络 学习的好坏，而网络学习的好坏，学习算法是关键。基于负梯度的误差反传( b p ) 算法f 3 j 由于其计算量小，对存储空间要求不高的特性，被广泛应用于神经网络 的学习中然而b p 算法收敛速度慢，容易陷入局部最小值，导致算法的实时 性和精度往往满足不了要求，因而有必要使用收敛快，学习精度高的算法学习 网络。e k f 神经网络学习算法具有收敛快，学习精度高的优点，已经在许多实 际应用中取得成功。然而较大的计算量和较高的存储空间的需要限制了它的 广泛应用；因此，对e k f 神经网络学习算法，根据实际问题的需要，如何提高 江南大学硕士学位论文 其计算效率和实时性的研究具有重要的现实意义。 1 1k a l m a n 滤波技术理论与应用概述 在系统的建模和控制问题的研究中需要了解状态，在确定性系统中，观测 数据通过状态观测器或降维观测器获得系统状态信息。在随机系统研究中，考 虑了信号被噪声污染的问题，为了得到状态，只有根据获得的被污染的观测数 据，构造和估计出系统的状态，并希望尽可能接近于真实状态。这就是系统的 状态估计问题，如果是从污染了的信号和数据中获得真实信号和有用数据，就 是信号和数据的滤波问题。 1 1 1 滤波技术发展过程 对于随机信号，可根据有用信号和干扰信号的功率谱设计滤波器。美国学 者w i e n e r 提出了w i e n e r 滤波，它通过做功率谱分解设计滤波器。但是由于它 只适用于平稳随机过程，而且是在频域设计滤波器，计算量很大，因而妨碍了 w i e n e r 滤波器的发展。6 0 年代初，k a l m a n 提出了利用系统状态的空间表示法 在时间上的转移关系，推导出一整套的递推计算公式k a l m a n 滤波器【i 】。它在 时域中进行分析和计算，把滤波器的适用范围从平稳随机过程推广到一般非平 稳随机过程；从连续时间的滤波算法推广到适用于计算机操作的离散时间递推 算法它使整个估计理论的发展向前迈进了一大步，成为现代控制理论中一个 重要分支， k a l m a n 滤波器已成为控制、信号处理与通信领域最基本最重要的计算方法 和工具之一并已成功地应用到航空、航天、工业过程及社会经济等不同领域 【s 。4 】，但随着微型计算机的普及应用，对k a h n a n 滤波器的数值稳定性、计算效 率、实用性和有效性的要求越来越高。为此人们在如何改善k a l m a n 滤波的计 算复杂性和数值稳定性方面作了大量的探索工作。经过众多学者的不断探讨和 研究，已基本解决k a l r a a n 滤波在实际应用中所发现的数值稳定性差，计算效 率低的问题。但k a l m a n 滤波必须已知系统的初始状态、噪声统计特性，这在 实际应用中仍带来不便，并且系统的初始状态、噪声统计往往是未知或部分己 知的，系统参数亦可能包含有不确定性，这些问题还有待进一步解决和完善 因此，例如鲁棒自适应滤波方法的研究嘶1 日；鲁棒非线性滤波方法的研究；u - d 分解及奇异值分解( s v d ) 在更广泛一类系统滤波、辨识及神经网络的学习问 题的研究【1 7 - 2 0 ；以及为解决工程实际中所提出的新问题、新情况，研究和开发 新的数值鲁棒、计算量小的滤波方法的研究，将是今后进一步探讨的课题。 1 1 2 非线性k a i m a n 滤波方法及应用 l 、扩展k a l m a n 滤波 2 第一章绪论 e k f 是一种应用最广泛的非线性系统滤波方法印l 。e k f 与常规k a l m a n 滤 波完全类似，只是在滤波公式中存在非线性函数线性化计算，不可事先离线计 算增益和协方差阵。但e k f 与常规k a l m a n 滤波一样，存在数值稳定性差，初 值不易确定的问题。为了改善e k f 算法的数值稳定性，并提高计算效率和滤波 精度提出了平方根滤波、u - d 分解滤波、奇异值分解( s v d ) 滤波、s i g m a 点滤 波( s p y f ) 等一系列数值鲁棒的滤波算法。 2 、改进的k a l m a n 滤波方法 平方根滤波1 2 l 】是将协方差阵按c h o l e s k y 方法分解为下三角阵，在滤波计算 中用下三角阵代替协方差的计算，从而保证它的对称正定性，这种算法经美国 阿波罗登月舱的实际应用，证明是成功的。对于多变量系统，平方根滤波比常 规k a l m a n 滤波有更高的计算效率、更好的数值稳定性和精度，因此，在轨道 确定、飞行状态估计和多传感器跟踪与辩识等方面得到应用。一般来讲由于存 在矩阵的求逆运算和平方根计算，所需计算量较常规k a l m a n 滤波要大，因而 限制了在工程中的应用b i e r m a 提出了一套计算效率高、数值稳定的称之为 “u - d 分解”滤波的算法圈，该算法由于量测更新采用序列处理，对于测量较 多的系统，计算效率受到一定影响。 s v d 分解由于具有很强的数值鲁棒性和可靠性，广泛应用于最小二乘问 题、病态方程的求解及广义逆计算等场合，并在控制、通信与信号处理等领域 越来越受到人们的极大重视，在滤波问题中，也已得到应用。国内学者张友民 等又给出一种基于s v d 的推广k a l m a n 滤波算法【1 9 1 ，并应用于飞行状态估计问 题，随后又提出一种基于s v d 的递推最小二乘辨识新方法，与递推最小二乘、 基于u - d 分解的递推最小二乘法相比，不仅收敛速度快、数值稳定性和辨识精 度高，而且能得到系统参数的无偏估计。 要得到非线性滤波问题的最优解。需要条件概率密度的完整确切的描述， 这在实际应用中很难实现【2 3 j e k f 及其以上改进算法均是围绕估计值将状态方 程和观测方程进行线性化后再应用于非线性系统。这种线性化方法有明显的缺 点：雅克比矩阵的推导使得许多实际应用非常困难；当时问步长不足够小使得 局部线性化的前提不成立时，线性化会造成滤波器的不稳定。s p k f 算法】利 用统计线性化技术，通过一组仔细选择的确定性采样点( s i g m a 点) 来捕获系统 的相关统计参量，将非线性映射直接作用于各s i g m a 点，根据映射后的点集重建 统计参量，然后根据新的统计参量重新选择s i g m a 点集并重复上述过程。这种 方法可以在不必对非线性映射近似的情况下，使一个随机变量的分布按非线性 映射递推传播。根据s i g m a 点的选取不同，s i g m a 点滤波主要有两类；u n s c e n t e d k a l r n a n 滤波器【2 4 】( u k f ) 和中心差分k a l m a n 滤波器 ( c d k f ) 。其中，u k f 是 江南大学硕士学位论文 基于加权统计线性化的滤波器，而c d k f 使用中心差分法替代泰勒级数展开的 一阶和二阶导数进行线性化的滤波器，从实用角度看，二者具有相同的性能【2 3 】。 目前，基于s i g m a 点的滤波技术在航空、导航、化工过程等领域的应用研究已 有诸多成果 2 6 - 3 0 。 3 、状态和参数二元估计算法 在实际应用中，存在着这样的一类系统，即在进行状态估计的同时，还需 估计系统中的某些常值参数或慢时变参数。通常的做法是将模型待估参数作为 滤波器的扩展状态，即所谓的状态和参数联合估计算法0 e k f ) 。但 e k f 算法 计算量大，且当待估状态和参数维数较高时，容易带来数值病态问题。为此， 国外学者e a w a n 提出一种基于e k f 的状态和参数二元估计算法( d e k f ) c 3 e k f 二元估计算法将k a l m a n 滤波器分解为参数滤波和状态滤波两个过程；参 数滤波用于估计系统模型，而状态滤波则估计系统信号，这两个过程交替进行。 相比j e k f 而言，该二元估计算法大大降低了滤波器的维数，提高了数值稳定 性。但e k f 算法本身存在的缺陷限制了d e k f 算法的应用，因而将二元估计引 入到具有更高滤波精度和数值稳定性的滤波器( 如s p k f 滤波器) 中是值得研究 的课题。 1 2e k f 神经网络学习算法概述 在工程上很多技术领域经常遇到这样的一些问题：由于系统本身的复杂性， 人们对其内部的规律尚未掌握，因此无法用数学方法描述其规律。这一类问题 常常具有难以求取解析解、缺乏专家经验、但是能够表示和转化为模式识别或 非线性映射问题而神经网络技术的发展，给这类系统的建模提供了一种可行 的方法。建立的神经网络模型与实际系统的近似程度在很大程度上取决于神经 网络的学习算法及样本选择的优劣 基于梯度法的b p 算法常被用来学习神经网络，它相比牛顿法、共轭梯度 法而言，由于无需计算h e s s i a n 矩阵，具有算法简单，计算量小和数值稳定性 好的优点。然而b p 算法本身存在一些固有缺陷嘲：1 ) b p 算法存在误差曲面的 平坦区，从而使得收敛速度慢；劲权空间误差曲面很可能存在多个极小值， 从而使算法很容易陷入局部最小值而无法得到全局最优解；3 ) 对网络的初始权 值选取较敏感。 为了提升神经网络的学习速度和精度，s i n g h a l 提出一种基于e k f 的神经网 络全局学习算法( g e k f ) 4 。该学习算法将神经网络的所有权值作为e k f 滤波器的 状态，通过输入输出数据来调整滤波器状态，使得模型输出和过程输出的均方误 差最小。由于g e k f 每一次调整权值都基于输出误差均方最小，因而相比b p 算 4 第一章绪论 法，收敛速度快且精度高。该算法自提出以来，已经在模式识别、过程建模、优 化控制等领域取得了许多成功应用【馏卫】。虽然e k e ：网络学习算法在收敛性和学 习精度上有明显的优势，但在数值稳定性和计算量上存在一定缺陷，国内外许多 学者对算法进行了改进。针对e k f 学习算法计算量大的问题。p u s k o r i u s 提出了 神经网络的e k f 解耦学习算法【3 2 - 蚓。该解耦算法可以从输出层到隐层序贯调整 权值，大大降低了滤波器的维数，从而降低了计算代价。对于递归网络，序贯 样本训练方式有时会引起样本滞后现象，而由于s i n g h a l 提出的g e k f 算法是在 样本序贯输入训练时更有优势，故p u s k o r i u s 将e k f 算法推广到m u l t i - $ t l e a m e k f 算法【3 那。该算法将训练样本分成若干批次同时输入网络进行训练，即将原网 络虚拟分解为若干个具有相同权值的等同网络，综合e k f 算法进行训练，这种 算法对递归网络很有效。而为了改善e k f 学习算法的数值稳定性，产生了数值 鲁棒的e k f 算法，如平方根e k f 学习算法、u - d 分解e k f 学习算法，s v i ) 分 解e k f 学习算法等u e , 2 0 , 3 q 。这些滤波算法在很大程度上降低了e k f 学习算法 的计算量、增强了数值鲁棒性，从而大大提高了神经网络的性能。 然而，e k f 滤波器的参数的设定会对网络的学习产生一定的影响，本文将 对滤波器参数的设计进行一定的研究；另外，样本噪声对网络学习的影响也是 本文加以研究的内容之一 在实际应用时，样本数据有时会含有异常数据，这些异常数据对网络的学 习会产生不良影响，尤其是容易产生过拟合现象m l 。为了解决样本异常数据问 题，一些学者提出了自动检测异常数据的方法 4 2 - 4 4 基于异常数据鲁棒准则， t h o m a s 提出了三种预测误差方法1 4 2 , 4 3 ，递归估计异常数据的概率分布，然而这 种异常数据鲁棒准则受网络初始权值的影响很大；另外，选取的代价函数并不 能非常正确的识别异常数据为了克服这些缺点，c h u a n g 等基于b p 算法和退 火原理，在代价函数中引入决策退火机制，对异常数据的识别率有明显提高 本文从充分发挥e k f 算法收敛快、学习精度高的优势，通过改变e k f 滤 波器的增益矩阵，使之能够自动识别异常数据州 对于工业对象建模，特别是可用于闭环优化控制的场合，所建立的神经网 络模型往往需具有实时性，因而，开发一种基于k a l m a n 滤波的实时性强的神 经网络学习算法同样具有重要的现实意义 1 3 本文研究工作概要及主要章节安排 本文针对一类过程模型具有不确定性，传统e k f 二元估计算法往往缺乏数 值鲁棒性的问题，提出了种精度高、鲁棒性强的二元估计算法。 研究样本噪声对网络学习的影响，提出了通过改变e k f 滤波器的增益矩 江南大学硕士学位论文 阵，实现自动识别异常数据的功能；研究e k f 滤波器参数对网络的学习效率的 影晌，提出了对滤波器参数设计的方法；研究了一种k a l m a n 滤波神经网络快 速学习算法，以适应网络在线学习的要求 本文主要章节安排如下： 第一章绪论 主要介绍了k a l m a n 滤波技术的发展概况，并提出了课题的研究方向和意 义。 第二章非线性k a l m a n 滤波技术 简要介绍常规的扩展k a l m a n 滤波原理及有限差分滤波原理。 第三章强跟踪有限差分滤波二元估计算法 针对具有模型不确定性的非线性过程，在e k f 二元估计的基础上，提出了 一种带次优渐消因子的强跟踪有限差分二元估计算法( d s t f d e k f ) 第四章基于k a l m a n 滤波的神经网络学习算法 针对一类静态前馈网络，对e k f 神经网络学习算法在滤波器参数设计和样 本噪声问题上进一步研究，并提出一种能够进行样本异常数据自动识别的e k f 学习算法( o a d e k f ) ；针对一类动态神经网络，提出了基于k f 的神经网络快速 学习算法( f l k f ) 第五章基于神经网络的丙烯腈聚合反应软测量模型 利用前述的o a d e k f 滤波算法训练神经网络，建立丙烯腈聚合反应生产 过程软测量模型，该模型可用来较好地估计转化率和聚合物总数等关键质量指 标。 第六章总结和展望 对本论文的研究内容作出总结，并提出进一步的研究方向 6 第二章非线性k a l m a n 滤波技术 第二章非线性k a i m a n 滤波技术 自k a l n m n 滤波( k f ) 提出以来，它已成为控制、信号处理与通信等领域最 基本最重要的计算方法和工具之一，并已成功地应用到航空、航天、工业过程 及社会经济等不同领域【9 】。本章主要介绍常规k f 滤波的原理、广泛应用于非 线性系统状态估计的扩展k h l n m 滤波器k f ) 以及基于中心差分法的有限差 分滤波器正d e ) 原理 2 1 常规i ( f 滤波器 由于k f 滤波是一套适合于在计算机上实现的递推算法，这里以离散的k f 滤波器为例介绍其原理，本文以下章节亦如此 许多实际对象( 线性系统) 常受到随机噪声的干扰，如不考虑控制作用( 考虑 控制作用可得类似的递推方程【9 】) ，可由如下随机线性离散系统的方程描述： x k + i ；o k + l k + ( 2 1 1 a ) 缸= 月j 再+ 咋 ( 2 1 1 b ) 其中：m 州j 珂n 维状态转移矩阵； 风搠h 维量测矩阵； ， 以一讲维状态向量； 以- - m 维观测向量； 嘶维过程噪声； u m 维量测噪声 并有假设；( 1 ) 与v i 都是均值为零的高斯白噪声，且峨与u 互不相关( 2 ) 初 始状态为随机向量，它与w k 、心独立，其统计特性是给定的。噪声统计特性 如式( 2 1 2 ) 所示： 研w , - - o , 研w k ，；】= 幺 厨心】= o ，研唯嵋】= 最 ( 2 1 2 ) i 研v 刀= 0 其中级是系统过程噪声m 的对称非负定方差矩阵，如是系统观测噪声h 的对 称正定方差阵，毛是k r o n e c h e r 一占函数。 k f 滤波是根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计信号的当前值，它 是用状态方程和递推方法进行估计的，而它的解是以估计值( 常常是状态变量的 7 江南大学硕士学位论文 估计值) 的形式给出的对于可由式( 2 1 1 ) 描述的动态系统，如果要在具有实时 的系统观测值的情况下( 观测数据可能存在噪声干扰) 获得系统状态的动态信息， 理论上可由方程( 2 1 3 砣1 4 ) 迭代求解获得状态的最佳估计值【1 捌 状态一步预测 五j - l = 中t , t - i 五1 ( 2 1 3 a ) 状态估计 五= 文j - i + q ( 以一峨五j ) ( 2 1 3 b ) 滤波误差方差阵最小时的滤波增益矩阵 k t = 最卜1 日f ( k 最h 鄙+ 墨) 1 ( 2 1 3 c ) 一步预测误差协方差矩阵 最j - l = m , t - i i 中k l + q k i ( 2 1 3 d ) 滤波误差方差矩阵 = q k t hk ) 致 4 q 1 3 e ) 滤波初始条件 俳p o 鬈( x 0 1 一砜叫枷 ( 2 1 4 ) i = 厨 一e f 【】) ( 一e 【而】) 1 】 、。 式( 2 1 3 - 2 1 4 ) 可表述为如下框图的形式 图2 1k a l m a n 滤波算法流程 由图2 1 可见，k f 滤波具有两个计算回路：增益计算回路和滤波计算回路。其 中增益计算回路独立于滤波计算，而滤波计算依赖于增益计算k f 滤波就是 通过对估计误差的概率分布的完全描述，决定滤波器的k a l m a n 增益矩阵，从 而获得系统的最优估计。 第二章非线性k a l m a n 滤波技术 2 2 离散系统e k f 滤波 k a l m a n 最初提出的滤波理论只适用于线性系统，并且要求观测方程也是线 性的。而大多数工业过程都具有非线性特征，因此，b u c y 和s t m a h a r a 等研究 了k f 滤波在非线性系统和非线性观测下的扩展，扩宽了k f 滤波的运用范围 9 1 考虑如下形式的一般的非线性模型，状态方程和观测方程如下 x k + l = f 瓴，w d ( 2 2 1 a ) = “ = g ( x t + ，v i + 1 ) ( 2 2 1 b ) 其中，为状态变量；为输出变量；为控制变量；h ，为过程噪声和观 测噪声，假设它们是相互独立的具有零均值和时变协方差的高斯白噪声。 嚣翟高o , 刚c o v h w 。焉w j 乞 渊) 日嵋】=，】= q ”， 其中层表示均值符号；c o v 为协方差符号。 验前状态和方差估计定义为 x k + l = z x k + llz 】 ( 2 2 3 ) 卢积+ 1 ) = 正i ( + i 一夏+ ) ( + l j 。) 7 i z 】 ( 2 2 4 ) 其中 z = 【z o ，z i ，缸】t 验后状态增益矩阵和状态估计定义为 足“= 兄( 七+ t ) p f l ( 七+ 1 ) ( 2 2 5 ) 五+ = 磊“+ e “阮+ i 一互】( 2 2 6 ) 其中 三：。= 研z 。i z 】( 2 2 7 ) p f f i ( 孟+ 1 ) = 点t ( + l 一夏+ i ) ( z t + i 一三0 i ) tiz 】 ( 2 2 8 ) 只( 七+ 1 ) = 研( z i + lz 一 k “) ( z “l 一瓦+ 1 ) fl z 1( 2 2 9 ) 协方差矩阵修正为 声( 七+ 1 ) f f i e l ( x , “一氛i ) ( l 一五“) 7 i z 】= 乒话+ d j o i ( k + i ) k l i ( 2 2 z o ) 标准e k f 滤波器是在常规k f 滤波器基础上发展而来的，采用非线性函数 线性化方法近似系统的状态方程和观测方程； l 一，( 五，虬) + 只( 助( 以一五) 十e ( 砂( 2 2 1 1 ) 2 钿z g ( 墨) + g ，( _ j + 1 ) ( t + l 一五+ 1 ) + q ( 七+ 1 ) v k “ ( 2 2 1 2 ) 9 江南大学硕士学位论文 其中 只= 笪盟i ，咄e = 笪肇o w 盟km e ) = 百o g ( x ) b 钟+ 1 ) = 掣k戗一0il， 假设状态估计误差足够小，并且通过独立的线性系统传递，则 五+ i = 研，( 五，0 ) i z 】 z ( 点b ( j z 。】，叱，0 ) = ，( 氩，u i ，o ) 验前状态估计和方差估计： 夏+ = ，( 五，o ) 乏“= g ( 五+ i ，0 ) 最| | + 1 ) = 只 ) 声( _ j ) e ) 7 + e ( 露) 幺凡( t ) 7 验后增益矩阵、状态估计和方差估计： k k + i = 芦i 后+ 1 ) 瓯( 七+ 1 ) 7 【q ( 后+ 1 ) 声( j i + 1 ) g ，( 七+ 1 ) 7 + 瓯( 七+ 1 ) r ( k + d e ( i + 1 ) 1 】- 1 五+ i = j ：+ i + k k + i k + i 一磊+ i 】 p ( 后+ 1 ) = 【i - k k + l g 。( 七+ 1 ) 】p ( 七+ 1 ) 残差序列为： e ( k + d = g k + l 一五+ l 式( 2 2 1 1 ) 一式( 2 2 2 0 ) 组成标准的e k f 滤波器。 2 3 有限差分滤波 ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 0 标准e k f 算法是种处理非线性对象滤波问题的简单方法，并且在许多领域 有着广泛的应用“州3 , 3 s , 3 9 j ，然而，却仍存在缺陷1 2 4 , 2 5 1 ： ( 1 ) t a y l o r 展开式中被忽略的高阶项带来大的误差时，e k f 算法可能会使滤 波不稳定； ( 2 ) 雅克比矩阵的推导使得许多实际应用非常困难，当时间步长不足够小使 得局部线性化的前提不成立时，线性化会造成滤波器的不稳定； ( 3 ) 式( 2 2 1 3 ) 成立的前提是状态估计误差足够小，当状态估计误差较大时， 式( 2 2 1 3 ) 将会引入较大的线性化误差，甚至导致滤波发散。 基于统计线性化的s i g m a 点滤波( s p k _ d 通过s i g m a 采样点的直接非线性传 递，提供了解决此问题的方法，由于无需计算偏导数，因而具有更高的滤波精度 2 3 1 。基于中心差分法的f d e k f 算法1 2 5 堤s p k f 的一种，本节对其算法作一简要介 绍。 1 0 第二章非线性k a l m a n 滤波技术 2 3 1 非线性函数差分展开 埘叫习( 砷一习+ 争( 心) 2 + 牮协耐+ 叫) 函数不是连续可导( 即存在奇异点) ，则有限项t a y l o r 级数展开式不能保证所 ，( 力* 八习+ 厶。( 习。一习+ i 壁 一x - - ) ： ( 2 3 2 ) 其中，- ，二( 功盎( 习分别为一阶和二阶差分 厶( 刁= 盟半，盎国= 丝业等幽q 3 3 ) 将厂 + ) ，厂旺一在i 附近t a y l o r 级数展开，合并同类项得： ，( 习+ - ，二( 刃。一习+ 厶岳型。一刁： ，吖驾：攀( 州x - - x - - ) 2 ， ， + ( z 竺盟i i 。+ z 竺蛾) o 一刃 7 恤。叫 q 一 7 + ( 牮肌牮n ”烀习2 上式中等号右边前三项与二阶t a y l o r 级数展开相同，后二项对应二阶t a y l o r 级 数的高阶项也就是说，式( 2 3 2 ) 二阶差分逼近精度高于t a y l o r 级数的二阶 2 3 2f d e k f 滤波器 考虑式( 2 1 1 ) 的非线性模型，假设初始状态方差和估计方差为最o ) ，户( o ) 对非线性系统模型过程噪声方差幺观测噪声方差盈，状态验前和验后估计 方差芦( d ，声( d 进行c h o l e s k y 分解 q = s 疋r = s ，s ：= 蓉j !争= j !q 。3 却 式中，瓯，s ，墨，文为线性变换矩阵 设；j ，s 吖，j w 分别为支，s ，置，s 。的第f 列向量，定义如下四个一阶中 心差分矩阵： 江南大学硕士学位论文 ( t ) = ( f ，力) = ( z 阮+ ，) 一z ( 是一 文j ，u i ) ) 2 h ，。( j | ) = s 。( i ，j ) ) = 乙( 五，u t ，h s w j ) 一z c 屯，“。，一 瞪。) ) 2 ) ( 后+ i ) = ( f ，d = ( 毋( 五”+ 佤，) 一自瓴+ - 一蝇，) ) 2 h s p ( j | + 1 ) = s y , ( i ，d ) = ( g ，( 五， j ，) 一g ，( i 卅，- h s , a ) ) 2 h ) 系统状态的验前估计 瓦+ = 厂( 以，o ) 验前状态方差估计可修改为： 尸( t + 1 ) = c ( t ) f ( 皂猕( 七) ：+ 只( t ) q ( 型o c k l = 只( 足贮( t ) 1 + 凡( 七) s ，譬r = ( ( 七) + ( | ) ( 七) - 一 = 【& ( ) ! ( 】 喜d ( 七) ( 女) 】 = 似+ 1 ) e + 1 ) 1 式中墨( 七+ 1 ) 为取_ j + 1 ) 的c h o l e s k y 分解 瓯( 七+ 1 ) = 【母d ( 七) j ( 七) 】 系统的输出估计方程为 元+ 。= g ( 瓦。，o ) 根据状态自协方差估计过程，得到输出估计误差的协方差阵 弓 + 1 ) = ( 后+ 1 ) + 1 ) 7 + + 1 ) + 1 ) 。 ，= 【罗疗( | j + 1 ) 置，( t t l ) 】 罗庳( 七+ 1 ) ( _ i + 1 ) 】， = s ，( 七+ d s ，( 七4 - 1 ) 。 式中 s r ( 后+ 1 ) = 【s 疗( 七+ 1 ) 罗( 后+ 1 ) 】 可