矩阵的基本运算.ppt

1、运算定义&运算规则,2、矩阵应用举例,2.2矩阵的基本运算,例如,为同型矩阵.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,则称矩阵A与矩阵B相等，记作,1、运算定义&运算规则,设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij)矩阵A与B的和记为AB规定为AB(aijbij)即,矩阵的加法,注只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.,矩阵加法的运算规律设ABC都是mn矩阵则(1)ABBA(2)(AB)CA(BC)设矩阵A(aij)记A(aij)A称为矩阵A的负矩阵；,另，把元全为零的矩阵称为零矩阵，记作O；,由此，规定矩阵的减法为ABA(B)，例如,(3)A=A+O=O+A,矩阵的数乘,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,矩阵数乘的运算规律,矩阵乘法,把此乘积记作,是一个sn矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵,其中,例如,求AB.,例若,解,注只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,乘积AB维的关系,A可左乘B的可相乘条件.,练习计算下列矩阵的乘积，并观察结果.,注两个矩阵相乘,乘积有可能是一个数.,结论两个n阶对角阵之积仍为n阶对角阵.,结论两个n阶上（下）三角阵之积仍为n阶上（下）三角阵.,注矩阵乘法不满足交换律,即,(左乘分配律),(右乘分配律),矩阵乘法的运算规律,例如设,则,两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,问题矩阵不满足交换律，可能有哪几种情形？,(1)AB有意义，但BA没意义；,(2)AB与BA都有意义，但可能不是同阶方阵；,(3)两者都有意义，且为同阶方阵，但仍有可能不相等.,结论在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序,“左乘”&“右乘”,但也有例外，比如设,则有,定义满足AB=BA的矩阵称为可交换的.,结论两个同阶对角矩阵是可交换的.,EA=AE=A,结论n阶单位矩阵与任意n阶矩阵是可交换的.即,证明,设为任意n阶矩阵,则有,注矩阵乘法不满足消去律，即,例如设,有,则,但是,注该例也说明,注此例表明单位矩阵在矩阵乘法中的地位与数1在数的乘法中的地位相当.即,并且,的k次幂,即,定义(方阵的多项式),注显然只有方阵的幂才有意义,解,例,由此归纳出,用数学归纳法证明:,假设k=n时成立,则k=n+1时,例,解,归纳出,所以对于任意的k都有,转置矩阵（transpose）,把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作,例,转置矩阵的运算规律,转置运算对乘积的去括号法则,解1,例已知,解2,定义(对称阵),设A为n阶方阵,如果满足,，那么A称为对称阵.,即,注对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,由此可知，反对称矩阵的对角元必为零，即aii=0,是3阶反对称矩阵.,例如,证,例,证,命题得证.,显然C为对称矩阵,B为反对称矩阵.,2、矩阵应用举例,例（坐标变换）平面解析几何中，若坐标系Oxy绕原点O经逆时针方向转过角后成为Oxy(如图)，,任一向量在这两个坐标系中的坐标分别为和,它们有如下关系：,写成矩阵形式，记为,过渡矩阵,例（线性代数方程组）,一般形式的线性方程组，即,