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v a g u e 集理论及其在智能决策中的应用研究 摘要 台湾学者w ：l g a u 和d j b u e h r e r 于1 9 9 3 年提出的v a g u e 集理论是 对f u z z y 集理论的推广。与f u z z y 集相比较，v a g u e 集能更好、更准确地表 达内容更为丰富的模糊性信息，成为智能信息处理的新工具。本论文对 v a g u e 集的基本理论及其在智能决策、模式识别等领域的应用进行了比较深 入的研究。 首先在介绍现有的v a g u e 集理论和f u z z y 集理论的基础上，本文对当 前v a g u e 集的模糊熵的构造方法进行了分析，提出了合符直觉的v a g u e 集的 模糊熵。相似度量是一种在数据处理和分析中十分重要的、有效的和广泛 使用的方法。在分析各种相似度量定义的基础上，提出了一种考虑各种相 似准则的相似度量定义，利用真隶属度差距、假隶属度差距、未知度差距 以及v a g u e 值的核差距，引入一种新的相似度量主要计算方法，弥补了已 有的相似度量的不足，并用实例介绍了它在智能决策中的应用。为了更加 有效地进行模糊决策，全面考虑各目标条件对候选方案集的影响，将灰色 关联分析引入到基于v a g u e 集的多目标模糊决策中，通过分析方案集与理 想集之间的关联度，从而得出最优方案，使评价结果更全面、更客观，所 得结果更准确。借鉴灰色关联分析法建立v a g u e 相似关系矩阵，并在此基 础上进行v a g u e 聚类分析。该方法充分利用v a g u e 集的特点，可从肯定、 t 否定和未知度等多维度进行聚类分析，为v a g u e 集在模式识别、智能信息 处理中的应用，提供了有力的工具。 关键词：v a g u e 集理论； 模糊熵；相似度量；目标决策；聚类分析 a p p l i c a t i o na n dr e s e a c ho fv a g u es e tt h e o r y o ni n t e l l i g e n td e c i s l 0 n a bs t r a c t v a g u e s e t s p r o p o s e db y w l g a ua n d d j b u e h r e r , a r e t h e d e v e l o p m e n to ff u z z ys e t s h o w e v e r ，c o m p a r e dw i t hf u z z ys e t s ，v a g u es e t s c a ne x p r e s sa n dp r o c e s sm o r ea c c u r a t ea n da b u n d a n tf u z z yi n f o r m a t i o n ， a n dh a v ep r o v i d e dan e wt o o lt oc o m p u t e r sh a n d l i n gi n t e l l i g e n ti n f o r m a t i o n t h ev a g u es e t st h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o no ni n t e l l i g e n td e c i s i o n - m a k i n ga n d p a t t e r nr e c o g n i t i o nh a v eb e e nr e s e a r c h e dt h o r o u g h l yi nt h i sp a p e r i nt h i sp a p e r , f i r s t l y , t h eb a s i cc o n c e p t so fv a g u es e t sa n df u z z ys e t sa r e i n t r o d u c e d s e c o n d l y , b yc o m p a r i n ga n da n a l y z i n ge x i s t i n gv a g u ee n t r o p y , n e wv a g u ee n t r o p ya c c o r d i n gw i t ht h ei n t u i t i v ei s p r e s e n t e d t h i r d l y , s i m i l a r i t ym e a s u r ei sa ni m p o r t a n tm e t h o dw i d e l yu s e di nd a t a p r o c e s s i n g a n da n a l y s i s b a s e do nt h ev a r i o u sa x i o m a t i cs i m i l a r i t yc r i t e r i a ，an e w d e f i n i t i o no f s i m i l a r i t y m e a s u r ei s p r o p o s e dt h r o u g ha n a l y s i s a n d c o m p a r i s o no fs e v e r a lc u r r e n ts i m i l a r i t ym e a s u r e s ，a n dan e ws i m i l a r i t y m e a s u r ei n c l u d i n gt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt w ov a g u ev a l u e st h a tc o m p r i s e r e a lm e m b e r s h i p ，f a l s em e m b e r s h i p ，u n k n o w na n ds c o r ei sp r e s e n t e d t h e a p p l i c a t i o no fs i m i l a r i t ym e a s u r eo nt h ei n t e l l i g e n td e c i s i o ni si l l u s t r a t e db y a ne x a m p l e m o r e o v e r , i no r d e rt o c a r r yo u tm o r ee f f e c t i v e l yf u z z y i i i d e c i s i o n 。m a k i n g ，t a k i n g f u l la c c o u n to ft h e i m p a c t o ft h e o b j e c t i v e s c o n d i t i o n st ot h ec a n d i d a t ep r o j e c t , t h eg r e yc o r r e l a t i o na n a l y s i st h e o r yi s i n t r o d u c e di n t ot h em e t h o do fm u l t i c r i t e r i af u z z yd e c i s i o n m a k i n gb a s e do n v a g u es e t s - t h en e wm e t h o dc a nc o n f i r mt h eo p t i m a lp r o j e c tt h r o u g h a n a l y s i n gg r e yc o r r e l a t i o nb e t w e e ne v e r yc a n d i d a t ep r o j e c ts e ta n dt h ei d e a l s e t , a n dt h ec o n c l u s i o ni sm o r ec o m p r e h e n s i v e ，o b j e c t i v ea n da c c u r a t e f i n a l l y , v a g u es i m i l a r i t ym a t r i xi s e s t a b l i s h e d t h r o u g ha p p l y i n gg r e y c o r r e l a t i o na n a l y s i sm e t h o d ，a n dc l u s t e r i n ga n a l y s i sc a nb ep r o c e s s e do nt h e b a s i so fv a g u es i m i l a r i t ym a t r i x b yf u l lu s i n gm u l t i d i m e n s i o nf e a t u r e so f v a g u es e t si n c l u d i n gt h ep o s i t i v e ，n e g a t i v ea n du n k n o w n ，t h ec l u s t e r i n g a n a l y s i sm e t h o dp r o v i d e sap o w e r f u lt o o lt ov a g u es e t sa p p l i c a t i o n so nt h e p a t t e r nr e c o g n i t i o na n di n t e l l i g e n ti n f o r m a t i o np r o c e s s i n g k e y w o r d s ：v a g u es e t s ；v a g u ee n t r o p y ；s i m i l a r i t ym e a s u r e ；o b j e c t i v e s d e c i s i o nm a k i n g ；c l u s t e r i n ga n a l y z e i v 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均己在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 学位论文使用授权说明 年月 日 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 口即时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：汕导师签名：年 月日 1 i 论文的选题背景及意义 第一章绪论 人工智能在模拟人类的确定性智能逻辑思维方面，已经取得很大成就，但是，在 模拟人类不确定性智能方面始终没有太大的进展，而在模拟人类形象思维方面尚处在探 讨阶段。这是因为人脑的神奇就在于能够处理信息的随机性、模糊性、不稳定性、不 一致性、不完全性，从而得到正确或满意的结论，为人们做出决策提供强有力的支 持。用计算机模拟人脑解决、处理不确定性问题，成为当前人工智能研究的热点，也 是人工智能中的重大前沿课题【1 2 1 。随着不确定性研究的深入，世界的不确定性特征越来 越得到学术界的普遍认可【3 】。不确定性涵义很广泛，主要包括随机性、模糊性、不完全 性、不稳定性、不一致性【3 】，其中随机性和模糊性是最基本的。概率论被用来研究随机 性，但在实际运用中由于前提条件太过于严格而受到很大限制。1 9 6 5 年，美国学者 l a z a d e h 4 j 创建了模糊集合论，引入了元素对集合的“隶属度”，从而将经典集合论特征 函数的取值范围由二值 0 ，l 推广到区间 o ，l 】，开启了对模糊性的研究。后来p a w l a k 提 出的粗糙集理论通过集合的上下边界，从知识分类入手来处理模糊性，是对模糊集的合 理扩充。目前，国内外在模糊专家系统、模糊控制、模糊决策支持系统、模糊模式 识别等许多领域的智能系统的研究中，其核心理论都是采用z a d e h 教授提出的基于 f u z z y 集的合成推理方法来实现的。 f u z z y 集理论最基本的特征是：承认差异的中间过渡，也就是说承认渐变的隶属 关系，即一个f u z z y 集f 是满足某个( 或几个) 性质的一类对象，每个对象都有一个互 不相同的隶属于f 的程度，隶属函数f ) ( x x ) 给每个对象分派一个o 和1 之间的数 作为它的隶属度。但是，模糊集采用单值表示“一定程度上属于”的关系，这种关系同 时表示了肯定( 支持) 和否定( 反对) 的程度，但不能表示未知( 中立) 程度，它处理 的是基于一维的信息问题，因此模糊集存在着明显的缺陷，从某种意义上说，f u z z y 集 描述的只是模糊性中的一种特例。 为了解决上述f u z z y 集理论的不足，研究出能够准确描述不确定性，同时也更能 接近于人类思维模式的模糊理论和方法，台湾学者w l g a u 和d j b u e h r e r 于1 9 9 3 年提出v a g u e 集理论【卯，该理论是对f u z z y 集理论概念的推广，也是一种直觉f u z z y 集 1 6 。9 1 ，可用三维图示来表示l m 】。在v a g u e 集中，一个对象( 元素) 对某个集合的隶属函 数也是区间【0 ，l 】上的一个子区间，表示为 t ，( x ) ，l - f v ( 工) 】，其中0 ，力( 工) 分别 表示该对象( 元素) 属于或不属于该集合的程度，这个子区间既给出了支持x e x 的证 据，同时也给出了反对x e x 的证据。与f u z z y 集相比较，v a g u e 集能够更好和更准 确的表达模糊信息。例如，要求1 0 个人对某一断言做出判断，判断的结果为“正确”， “错误”和“不表态”( 生活中对某一断言作出“不表态”的判断是常有的，如投票时弃 权) ，假如其中有5 人认为该断言是“正确”的，4 x 认为是“错误”的，1 人“不表态”， 显然用f u z z y 集是无法处理这类模糊信息的。 总之，与f u z z y 集相比，v a g u e 集所表示和处理的具有模糊性的不确定性含有 更为丰富的信息。可以预见，随着a i ( 人工智能) 的进一步研究与发展，v a g u e 集的 用途也将会越来越广。目前，许多专家、学者正着手从事这一领域的研究，希望能 不断的发展和完善v a g u e 集的基础理论，并把v a g u e 集的理论、技术和方法用于各 种智能决策系统和控制领域。 1 2 国内外研究现状 1 2 1v a g u e 集理论 v a g u e 集理论自1 9 9 3 年提出以来，起初国外相关文献仅有台湾学者w l g a u 和 s m c h e n 的几篇文献，国内仅在李凡教授所著的模糊信息处理系统中有些介绍。在 这之后，v a g u e 集理论有了一些发展，从已发表的文献来看，首先，对v a g u e 集之间关系 进行分析，如：b u s t i n c e 等【l l - ”l 提出v a g u e 集的模糊关系结构，对v a g u e 模糊关系进行探讨，并 比较它与其它模糊关系之间的区别与联系：d e s c h r i j v e r 等【1 4 j 分析v a g u e 模糊关系，讨论其 合成问题，并研究v a g u e 模糊关系合成的特性。其次，对v a g u e 集运算算子进行研究，文献 【1 5 】定义 v a g u e 集的基本运算算子及关系，李凡等l l6 】讨论了v a g u e 集的加权模糊运算。 后来，对v a g u e 集的研究由具体到抽象，如集合拓扑空间及基本理论的研究，如：c o k e r i n j 讨论t v a g u e 集的拓扑空间；闫德勤等i l8 l 提出t v a g u e 集的分解定理，对v a g u e 集理论进 行探讨；l i u 等【1 9 】对v 堍u e 模糊子集性质进行研究。最后，对v a g u e 集进行扩展，研究其 相互之间的关系了及与粗糙集的相互关系，如：m o r i d a i 等l 驯研究了惭集的拓展区 f 司v a g u e 集的特性及拓扑结构；d e s c h r i j v e r 等1 2 l l 研究了几个f u z z y 集的扩展集之间的关系， 其中包括v a g u e 集、区f 自 v a g u e 集及l f u z z y 集等。张江等1 2 2 】针对f u z 巧集、v a g u e 集、可 拓集等特点，提出统一集，使得相关或相似互补的集合算法统一起来，形成一般的表示形 式；梁家荣【2 3 j 给出了关- ：f v a g u e 集的二元关系的基本概念及二元关系的性质；闺徨勤等 2 4 - 2 5 】研究了粗糙集和v a g u e 集及它们的关系，提出了粗糙v a g u e 集的概念，指出从集合基 数表示的角度说，粗糙集也是v a g u e 集的一种，给出了粗糙v a g u e 集相似度量的方法：文 献【2 6 】对v a g u e 矩阵进行了研究。另外，我国工程院院士李德毅1 3 提出了能够同时描述不 确定性中的随机性和模糊性的云理论，并揭示v a g u e 集、粗糙集、云理论三者之间有一 定的内在联系，为我们研究人工智能开创了新的研究领域。目前对v a g u e 集的相似性度 2 量、v a g u e 集的模糊熵、以及v a g u e 集r 句f u z z y 集的转化等方面的探讨，是研究的热点。 1 2 1 1 相似性度量 相似性度量是用来比较两个v a g u e 集。目前，相似性度量构造主要基于三种思想： 一种是基于v a g u e 集的真、假隶属度的差。c h e n 2 7 1 首先提出利用s 函数来衡量v a g u e 集的相似性，h o n g 等分析、指出该方法存在一个缺陷，即当v a g u e 集发生微小变化时， 其相似度发生显著变化1 2 引。针对这种情况，他充分利用两v a g u e 集真隶属度之差和假隶 属度之差，提出一种相似性度量的改进方法。同样，文献【7 1 】也指出文献 2 7 】方法存在 的缺陷，并提出改进方法，其思想是将上述两种方法进行综合。然而他们的改进方法对 一些特殊情况，会出现v a g u e 集不同而其相似度相同的情况。 一种是基于距离测度的思想j 如：s z m i d t 等1 2 9 1 提出v a g u e 集之间的汉明距离和欧氏 距离，l i 等1 3 4 1 利用上述v a g u e 集之间距离的概念。提出v a g u e 集的相似性度量。 一种是由包互麴等【3 0 j 提出的最大、最小法的相似度量，黄国顺【3 l 】提出来的基于包含 度的相似度量也属于这一类。 l i a n g 等【3 2 1 对现有的v a g u e 集相似性度量方法进行分析，发现每一种方法在克服其 它方法缺陷的同时，又带来新的缺陷。由于关于相似度量的理论还不成熟，文献 3 5 3 7 】 分别提出了不同的v a g u e 集相似度量计算方法。 张诚一等 3 3 】对v a g u e 集相似性的本质进行分析，提出度量v a g u e 集相似性的基本准 则，使得确定v a g u e 集的相似性函数有了基本依据，避免了盲目性。 1 2 1 2 未知度的度量 v a g u e 集的隶属函数能够表示一个对象的未知度信息，同时也带来度量未知度的问 题，即v a g u e 熵( 或直觉熵) 的度量。v a g u e 熵的确定对v a g u e 集的比较及其特性分析有 重要作用。目前，许多学者做了大量工作，如b u r i l l o 等1 1 2 】提出v a g u e 集的未知度 g u e 熵。用文献【2 9 】给出的v a g u e 集的表达及几何解释，s z m i d t 等1 9 j 提出基于距离 比值的一种直观、易理解的测量v a g u e 熵的方法。 后来，文献 3 8 】对v a g u e 熵的特点进行分析，提出一般v a g u e 熵应具有的约束条件， 并且，文献 3 9 - 4 0 1 也分别给出了各自关于v a g u e 熵的计算方法。 1 2 1 3v a g u e 集向f u z z y 集转化 由于v a g u e 集的理论还不是很成熟，并且处理信息有一定的难度。为了弥补这一弱 点，可以用相对成熟的f u z z y 集理论来解决。利用一种方法将v a g u e 集转化为f u z z y 集， 然后计算相应集的未知度，这为集的未知度提供了解决途径，同时也为集理论的发展起 到了促进作用。目前，许多学者做了大量工作，如石玉强等h 1 1 提出了v a g u e 值彳( “) 向 3 f u z z y 值，( ) 转化时应该满足两条准则：准则l ：“f ( “) 1 一 ( ”) 准则2 ：若 t 一= l 一无，则几= ，一= l 一以。根据这两条准则，文献【4 1 】提出了转化方法，针对文献 【4 1 】的缺陷，文献 4 2 - 4 3 又各自提出了自己的转化方法。目前，v a g u e 集转化为f u z z y 集的方法大致归纳有：均值法、第二均值法、广义均值法、偏值法和广义偏值法以及文献 4 3 1 提出和等六种方法。 1 2 2v a g u e 集应用 1 2 2 1 决策领域中的应用 h o n g 掣删首次将v a g u e 集应用于多目标决策，利用记分函数对每个方案进行评价， 得分最大者对应的方案为最佳方案。这种方法主要利用v a g u e 集之间的相似度进行决策， 但对于最大值是两个以上等值的情况，该方法不能进行判决。文献 4 5 1 针对上述多目标 模糊决策方法存在的缺陷，提出一种改进的记分函数策略。 a t a n a s s o v 等提出多专家问题，考虑到每个专家具有不同的特长且对不同目标所具有 的知识程度也不一样，对他们分别赋予不同的权值，运用v a g u e 集进行多目标决策，使 得问题的表示简洁，并且决策效果较好1 4 6 ；马志锋等 4 7 1 在决策系统中利用v a g u e 集运算 算子对其进行规则获取等研究。符海东等从另外一种角度进行模糊决策，即构造一个理 想方案，利用v a g u e 集的距离测度，进行多目标模糊决策【4 s j ；s z m i d t 掣4 9 】考虑到每一专 家对不同目标的偏好，提出v a g u e 集择优关系，利用上述距离公式，对专家群体的一致 性进行估计；另外还有学者利用v a g u e 集的距离测度对v a g u e 集的决策表的含糊规则进 行提取等研究p 。 1 2 2 2 近似推理领域中的应用 一些学者将v a g u e 集应用到近似推理领域，可看作是模糊推理的一种延伸，如：李凡 等【1 0 1 采用基于v a g u e 集的插值方法进行近似推理，其结果比文献 5 1 】基于相似度量的模 糊推理方法更精确、可信，更符合人们的直觉；文献 5 2 】针对在智能系统中实现基于v a g u e 集的近似推理，提出了一类蕴涵算子。后来近似推理由单向发展到双向推理，如：王天江 等【5 3 1 提出基于v a g u e 集加权相似度量的双向近似推理方法。 v a g u e 集应用于近似推理不仅仅在国内，在国外也有，如：c a s t i l l o 等【5 4 】认为v a g u e 集推理近似等于两个模糊推理之和。而且一些学者利用这个思想将v a g u e 集应用到电厂 监控，使得监控过程计算简单，同时又能充分利用v a g u e 集的优点，因此取得了相当好 的效果【5 5 1 。 4 1 2 2 3 其它领域中的应用 除了上述两个主要的应用领域外，v a g u e 集在其它领域也有应用，如：d e k u m a r 掣5 6 l 通过定义v a g u e 集的模糊关系及其模糊关系的合成，将其应用在医疗诊断中，为建立医 疗诊断专家系统奠定了基础。c h e n i s 7 j 利用v a g u e 集理论分别对串联、并联的模糊系统的 可靠性进行分析，整个过程简单、条理清晰。 从以上文献的分析结果可以看出，国内外对v a g u e 集的研究才刚刚开始，虽然 在相似度量2 7 。3 7 l 、模糊熵【3 们、模糊决策4 6 1 及近似推理【5 1 - 5 3 1 等方面取得阶段性的 成果，但其理论还不成熟，存在一定的局限性。在模糊信息处理中的应用研究尚处 于起步阶段【5 扪。很多模糊信息处理的v a g u e 集方法也是不尽完善，处理后的结果有 背于人们的直觉性，从而造成在应用中对相关模糊信息处理时其有效性可能失效。 因此，基于v a g u e 集理论对模糊信息进行处理，无论在理论上还是应用上都有 待深入研究和发展，这为本文的研究提供了契机。 1 3 论文的主要工作 本文从当前中v a g u e 集理论及其应用的热点入手，对v a g u e 集理论及其在模糊控 制、智能决策、模式识别等方面进行了比较深入的研究，主要做了以下工作： l 、从模糊性( 不确定性) 和未知性二者的相互约束关系出发，指出现有v a g u e 集 的模糊熵定义及约束条件存在的缺陷，通过对v a g u e 集的模糊度本质分析，提出了v a g u e 集模糊熵的公理化定义及其基本性质，并根据这些基本性质，提出了一种新的v a g u e 集 的模糊熵计算公式，并通过实例对比其它构造方法，说明它是符合人的直觉，更合理。 由于v a g u e 集的模糊熵与v a g u e 集的相似度量有着密切联系，本方法的提出必将为相似度 量的研究提供更多帮助。 2 、在基于准则的基础上，分析比较当前的几种相似度量，利用隶属度差距、假隶 属度差距、未知度差距以及v a g u e 值核的差距等四个样本，提出了一种新的相似度量方 法，弥补了已有的相似度量的局限性。并举例说明其在智能决策中的应用，为其在模糊 决策、模式识别中的应用，提供了一种思路。 3 、为了更加有效地进行模糊决策，全面考虑各目标条件对候选方案集的影响，将灰 色关联分析引入到基于v a g u e 集的多目标模糊决策中，通过分析方案集与理想集之间的 关联度，从而得出最优方案，使评价结果更全面，更客观，所得结果更准确。 4 、借鉴灰色关联分析法建立v a g u e 相似关系矩阵，给出了v a g u e 聚类的概念，并 在此基础上进行v a g u e 聚类分析。该方法充分利用v a g u e 集的特点，可从肯定、否定和 未知度等多维度进行聚类分析。为模式识别、智能信息处理提供了有力的工具。 5 1 4 本文的结构安排 本文针对v a g u e 集的基本理论，围绕它在模糊信息处理中的应用，逐步展开全 面而深入的研究。本文各章节的安排如下： 第一章引言 介绍了论文的选题背景，阐述了论文选题的意义，并对本课题的国内外研究现 状进行了介绍。 第二章f u z z y 集和v a g u e 集基本理论 首先对f u z z y 集表示意义作一个介绍，指出其存在的缺点，从而引出v a g u e 集 的模糊理论，说明与f u z z y 集相比较，v a g u e 集能更好和更准确地表达模糊信息。 接着具体阐述如下：简单给出了f u z z y 集的基本定义，详细阐述了v a g u e 集理论基 本概念，然后讨论了v a g u e 集的性质，并证明它，给出了v a g u e 集的运算规则。最 后对v a g u e 集的矩阵性质进行了阐述。 第三章新的v a g u e 熵构造方法 通过对v a g u e 集的模糊度本质分析，指出现有模糊熵构造方法的不足，给出了符合 人们直觉的v a g u e 集的模糊熵的公理化定义，相应地提出了一种新的v a g u e 集的模糊熵计 算公式，并通过定理证明和实例对比分析，说明它在具有良好的数学性质的同时，所得 结果更合理，更符合人的直觉。 第四章基于v a g u e 集相似度量的比较研究 相似度量是刻划两个v a g u e 集之间的相似程度的关键技术之一，怎样寻求一个既合 理又有效的方法是我们不断深入研究的课题之一。本章在分析比较当前的几种相似度量 的基础上，提出了一种新的相似度量方法，并举例介绍了它在智能决策中的应用，拓宽 了它的应用范围。 第五章基于关联度的v a g u e 集多目标模糊决策 目前，多目标模糊决策问题是模式识别及决策领域研究的热点之一。然而，在多目 标模糊决策过程中存在着大量不确定性，因此，需要采用不确定的方法处理，而v a g u e 集在处理不确定性方面有较明显的优势对模糊条件下的多目标决策问题。结合灰色关联 理论，将关联度的概念引入v a g u e 集当中，提出了一种新的多目标模糊决策方法。通过 比较阐明该方法有较强的选择能力，其涵义明确，且所得结果符合人的直觉。为解 决多目标模糊决策问题提供了一条新的途经，同时为v a g u e 集理论的应用开拓了一条新 思路。 第六章v a g u e 集的关联聚类分析在模式识别中的应用 将灰色关联度作为v a g u e 相似性度量，同时将此v a g u e 聚类分析法运用到模式识 别中，充分考虑肯定、否定、未知度等三方面的信息，使得最后的聚类分析结果更全面、 更加细化。由于v a g u e 集能够描述多维信息的特点，必将在模式识别、智能信息处理等多 6 方面得到更加广泛和深入的应用。 第七章总结对论文工作进行了总结，对后续研究进行了展望。 7 第二章f u z z y 集和v a g u e 集基本理论 2 1 f u z z y 集基本概述 在c o n t e r 的集合论中，不承认差异的中介过渡，即对于某一集合来说，其元素 要么属于它，要么不属于它，从映射的角度来说，集合的特征函数( 不叫隶属函数) 的值域为 0 ，l ，而不是【0 ，1 】。因而，c o n t e r 的集合论是无法描述带有不精确的， 不完全的，或模糊的信息 4 3 1 。 f u z z y 集理论 4 4 舶l 最基本的特征是：承认差异的中介过渡，也就是说承认渐变的 隶属关系，即一个f u z z y 集f 是满足某个( 或几个) 性质的一类对象，每个对象都 有一个互不相同的隶属于f 的程度，隶属函数，( x ) ( x x ) 给每个对象分派一个 0 和1 之间的数作为它的隶属度。但是，要注意的是隶属函数给每个对象分派的是 【0 ，1 】中的一个单值，这个单值既包含了支持x x 的证据，也包含了反对x x 的证 据；它不可能表示其中的一个，更不可能同时表示支持和反对的证据。 为了解决上述f u z z y 集理论的不足，g a u 和b u e h r e r 于1 9 9 3 年提出了一个新的 处理模糊信息的模糊理论v a g u e 集。在v a g u e 集中，给每个对象同样分派一个 隶属度度，不同的是该隶属度是【0 ，1 】的一个子区间，这个子区间既给出了支持工x 的证据，同时也给出了反对x x 的证据【4 7 4 引。与f u z z y 集相比较，v a g u e 集能更好 和更准确地表达模糊信息。 定义2 1 ：令彳是一个点( 对象) 的空间，其中的任意一个元素用x 表示，x 中的一个f u z z y 集a 用一个隶属函数。( x ) 表示，。( x ) 将区n 0 ，l 】中的一个实数与 x 中的每一个点联系起来，即 一：x _ 0 ，1 】，其中，0 z ( 工) 1 。 f u z z y 集a 的表示方法如下： 当x 是连续的时候，有： 彳= p ( x ) 工 x x ， 当x 是离散的时候，有： a = 【儿( z ) 】_ x 。 8 2 2 v a g u e 集的基本概念 定义2 2 ：令x 是一个点( 对象) 的空间，其中的任意一个元素用z 表示，x 中的一个v a g u e 集矿用一个真隶属函数0 和一个假隶属函数兀表示，0 ( x ) 是从支 持z 的证据所导出的x 的隶属度下界， ( x ) 则是从反对x 的证据所导出的x 的否定 隶属度下界，0 ) 和 ( x ) 将区i u - j l o ，1 1 中的实数与其中每一元素联系起来，即： 0 0 ) ：u - - - , 0 ，1 1 ，f v ) ：u - - - , 0 ，1 】，其中，0 0 ) + 矗o ) 1 。 由上述定义可知，v a g u e 集y 中任一元素x 的隶属函数被限制在 0 ，1 】上的一个 子区n i t r ( x ) ，1 f v ( x ) 】内，其中0 ( z ) 是v a g u e 集的真隶属函数，它表示支持x u 证 据的必要程度gf v ( x ) 是v a g u e 集的假隶属函数，它表示反对工u 证据的必要程度； 1 兀( x ) 则表示支持x u 的证据的可能程度。这样，关于x 的信息的精确性就十分 清楚了，因为关于工的不确定性可以用差( 1 一以( x ) 一0 ( x ) ) 来表示，如果该差值小， 这表明我们相当精确地知道石：如果该差值大，则表明关于x 我们知道得很少；如 果l 一无( x ) = f ，( 工) ，则表明我们精确地知道x ，此时v a g u e 集就退化为f u z z y 集：如 果l - ( x ) 和0 ( x ) 同时为l 或0 ，这取决于x 属于还是不属于v a g u e 集，此时我们 关于x 的信息是很精确的，也就是说v a g u e 集已退化为普通集合。 例如：如果【0 ( x ) ，l - 力( z ) 】- 【0 5 ，0 8 】，那么可以得到0 ( x ) = o 5 ，f v ( x ) = o 2 。这 一结果可以解释为：z 属于v a g u e 集矿的程度为o 5 ，而它不属于矿的程度则为0 2 。 图2 - 1 全域v a g u e 集 f i g2 - 1t h eu n i v e r s eo fd i s c o u r s ev a g u es e l s 9 用图2 1 表示全域u ，其中u 互月的v a g u e 集。 当x 是连续时，一个v a g u e 集矿可用以下表达式表示： y ： i v ( x ) , l - f v ( x ) ，x e x 舔x 当x 是离散时，一个v a g u e 集矿可用以下表达式表示： y 2 喜鲣等趔石 定义2 3 ：一个v a g u e 集是空的，当且仅当它的真隶属度和假隶属度在x 上恒 等于0 。 定义2 4 ：一个v a g u e 集彳的补集彳。定义为r 。( x ) 2 六( 工) ，l - ( 工) 2 l t ( z ) ，为 了方便，简写为f 一； ，l 一无= 1 - 定义2 5 ：v a g u e 集a 为b 所包涵，即a b ，当且仅当0 t bl 一厶s 1 一厶。 上述定义没有采用常见的子区间包含( 即t 。，1 一 1 一兀) 是因为根据真 假隶属函数的下界定义，采用前者比后者合理。a b 的意思是4 的真隶属度的下 界也是占的真隶属度的下界( 即t 且) ，而曰的假隶属度的下界也是a 的假隶属 度的下界( 即厶无1 一无l 一厶) 。当真假极限定为l 或0 时，那么关系a b 便返回到传统的定义，即x 彳呻x b 和工仨b 寸x 仨彳。 定义2 6 ：两个v a g u e 集4 和b 是相等的，即a = b 当仅且当a b 和b 三a ， 即f = t 口，1 一六= 1 一厶。 定义2 7 ： 设t l 是一，- 范数，其相应的r - 余范数为上，两个v a g u e 集a 和b 的 并集是v a g u e 集c ，即c = a u b ，其真假隶属函数分别为： t c = ，v f 占，1 一五= ( 1 一兀) 上l ( 1 一厶) 定义2 8 ： 设t i 是一f - 范数，其相应的卜余范数为上l ，两个v a g u e 集爿和8 的 交集是v a g u e 集c ，即c = an 口，其真假隶属函数分别为： t c = t a t , t 矗，1 一尼= ( 1 一无) ( 1 一厶) 1 0 其中“v ”和“a ”分别为取大和取小算子。特别的令“t l ”和“上，”分别为“ ”和 “v ”，则上述定义就退化为一般意义上的交集和并集的定义。 例：a = 【0 2 ，0 4 u l + 【o 6 ，0 8 u 2 + 1 0 3 ，0 7 u 3 + 1 0 5 ，0 9 u 4 + 【o 8 ，1 o u 5 ， b = 【0 3 ，0 5 u 1 + 【o 2 ，0 5 u 2 + 1 0 3 ，0 6 u 3 + 1 0 8 ，0 9 u 4 + 【1 0 ，1 o u 5 ，当“t l ”和“上1 ”分 别为“ ”和“v ”时，则有 彳nb = 【0 2 ，0 4 u l + 0 2 ，0 5 u 2 + 0 3 ，0 6 u 3 + 0 5 ，0 9 u 4 + 【0 8 ，1 o u 5 ， 彳u b = 0 3 ，0 5 u l + 【0 6 ，0 8 u 2 + 【0 3 ，0 7 u 3 + 0 8 ，0 9 u 4 + 1 0 , 1 o u 5 当当“t l ”和“上。”分别取“代数积”和“代数和”时，即a t , b = a b ， a 上lb = 口+ b - a b ，其中a 与b 取0 和l 之间的任意实数，则有 彳n b = 【o 0 6 ，0 4 u l + 【0 1 2 ，0 5 u 2 + 【0 0 9 ，0 6 u 3 + 【0 4 ，0 9 u 4 + 【0 8 ，1 o u 5 a u b = 【o 3 ，0 7 u l + 【o 6 ，0 9 u 2 + 【o 3 ，0 8 8 u 3 + 1 0 8 ，0 9 9 u 4 + 1 1 0 ，1 o 】， 5 。 显然，这种新的关于交集和并集的定义不仅仅是f u z z y 集上交集和并集定义的 扩充。在实际应用中，由于r 范数可选，从而使这种新的定义具有更好的灵活性。 这种新的定义渊源于f u z z y 集上的交集和并集定义，在f u z z y 集中，两个f u z z y 集彳 和曰的交集总是取其对象的隶属度较小的那一个，是一种“保守”型的运算，它实质 上蕴涵了这样一种思想：即a 和b 的交集是使对象属于交集的程度不同尽可能地小， 而不属于交集的程度尽可能地大；对偶地有两个f u z z y 集a 和b 的并集总是取其对 象的隶属度较大的那一个，是一种“乐观”型的运算，化实质上蕴涵了这样一种思想t 即彳和b 的并集是使对象属于并集的程度不同尽可能地大，而不属于并集的程度尽 可能地小。由于v a g u e 集所能描述的模糊信息比f u z z y 集所能描述的模糊信息要多， 因而信息的组合也就不再满足于简单的取大、取小运算。事实上，这种新的交集和 并集定义已经不再是f u z z y 集上的交集和并集定义的简单泛化，而是对现实世界中 各种模糊信息间的组合的一种更为本质上的认识。 定义2 9 ：论域u 上的一个v a g u e 集a 是凸v a g u e 集，当且仅当对x 中的所有 x 和x ，以及 0 ，1 】中的所有五，下列式子均成立： t a ( 缸i + ( 1 一五) x 2 ) m i n ( t 0 1 ) ，t ( x 2 ) ) 1 一f a ( 缸l + ( 1 一g ) x 2 ) r a i n ( 1 一f a ( ) ，1 一兀( x 2 ) ) 。 定义2 1 0 ：论域上的一个v a g u e 集彳，彳= 【( ) ，1 一f a ( u ，) 】材，如果 1 1 3 u 。u ，有l f a 。) = 1 ，即兀( “。) = 0 ，则称彳是正规的v a g u e 集。 定义2 1 1 ：令石是一个v a g u e 值，x = f ，1 一六】，其中0 f ，1 一f x l 。v a g u e 值可分为三个部分：真隶属值部分，。，假隶属值部分正，以及不确定部分l - i x 六。 定义2 1 2 ： 令x - f ，l 一正】是一个v a g u e 值，如果t x = 1 ，正= 0 ，则将x ；- 1 ，1 】 称为单位v a g u e 值。 定义2 1 3 ：令x = 【r ，l 一正】是一个v a g u e 值，如果f ，= o ，正= 1 ，则将x = 【o ，o 】称 为零v a g u e 值。 定义2 1 4 ：令4 是论域【，= 缸l ，u 2 ，,