（基础数学专业论文）cauchystieltjes积分与面积平均p叶函数.pdf

湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 摘要 在这篇文章中，我们主要考虑单位圆周上的复b o r e l 测度的c a u c h y - s t i e l t j e s 积分用五表示这些积分形成的函数空间，同时用m 。表 示五乘子的集合我们的目的是研究咒的性质及其乘子空间m 。 的一些判别条件，其结论联系到面积平均p 叶函数，对数面积，泰 勒系数以及自相似集和自相似测度 本文的第一部分，我们考虑c a u c h y s t i e l t j e s 积分与面积平均p 叶 函数首先给出丘的一个等价定义，然后对面积平均p 叶函数的对 数面积进行了估计，在此估计的基础上，研究这样的函数的对数函 数和疋的关系，最后对单叶函数的情形做进一步的讨论根据这种 研究，我们得到了有界单叶函数的系数增长估计，这是目前最好的 结果 本文的第二部分，我们将c a u c h y - s t i e l t j e s 积分与分形几何联系起 来，讨论一类联系到自相似测度的c a u c h y - s t i e l t j e s 积分的h s l d e r 连 续性，以及给出该积分是否属于m 。的判别条件为此目的，我们 首先考察具有一致卢- 维的非负b o r e l 测度，给出这种测度所对应的 c a u c h y - s t i e l t j e s 积分的h s l d e r 连续性最后，我们用泰勒系数来刻画 冗的乘子，得到，m o 的一个充分条件，且证明该条件不可改进 关键词：c a u c h y - s t i e l t j e s 积分；面积平均p 叶函数；单叶函数； 复b o r e l 测度；自相似集；自相似测度；乘子 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yc o n s i d e rc a u e h y - s t m l q e si n t e g r a lo fac o m p l e x b o r e lm e a s u r eo nt h eu n i tc i r c l e l e t 五d e n o t et h ef u n c t i o ns p a c ec o n s i s t i n g o ft h e s ei n t e g r a l s ，a n d1 e tm d e n o t et h es e to fm u l t i p l i e r so fj 毛o u rg o a l i st os t u d yt h ep r o p e r t i e so f 矗a n ds o m ec r i t e r i o nc o n d i t i o n so fm a t h e r e s u l t so b t a i n e db yu sr e l a t et oa r e a l l ym e a np - v a l e n tf u n c t i o n ，l o g a r i t h m i c a x e a ，t a y l o rc o e f f i c i e n t ，s e l f - s i m i l a rs e t ，a n ds e l f - s i m i l a rm e a s u r e i nt h ef i r s tp a r t ，c a u c h y - s t i e l t j e si n t e g r a l sa n d a r e a l l ym e a np - v a l e n tf u n c - t i o nw i l lb ee o n s i d e d ，f i r s t ，w eg i v e 龇le q u i v a l e n td e f i n i t i o no f 只，t h e ne s t i m a t et h el o g a r i t h m i ca r e af o ra r e a l l ym e a np a l e u tf u n c t i o n s u s i n gt h i s e s t i m a t i o nw es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nt h i ss p a c ea n dt h el o g a r i t h m i cf u n c - t i o no fa r e a l l ym e a np - w a l e u tf u n c t i o n s ，f i n a l l yd i s c u s sf u r t h e rt h i sr e l a t i o nf o r t h ec a s eo fu n i v a l e n tf u n c t i o n s f r o mt h i si n v e s t i g a t i o n ，w eo b t a i na g r o w t h e s t i m a t i o na b o u tt h ec o e f f i c i e n t so fb o u n d e du n i v a l e n tf u n c t i o n s ，w h i c hi st h e b e s tr e s u l tu pt on o w i nt h es e c o n d ，c o m b i n i n gc a n e h y - s t i e l t j e si n t e g r a l sw i t hf r a c t a lg e o m e t r y , md i s c u s st h eh s l d e rc o n t i n u i t yo fc a u c h y - s t i e l t j e si n t e g r a l so ft h es e l f - s i m i l a r m e a s u r e ，a n dg i v es o m ec r i t e r i o nc o n d i t i o na b o u tw h e a t h e rt h e s ei n t e g r a l s b e l o n gt om 口t ot h i se n d ，w er e s t r i c to u ra t t e n t i o no nt h en o n n e g a t i v e b o r e lm e a s u r e sw i t hu n i f o r m l y 卢一d i m e n s i o n ，a n dg i v et h eh s l d e rc o u t i n u i t y o fc a u c h y - s t i e l t j e si n t e g r a l sr e l e v a n tt ot h e s em e a s u r e s f i n a l l zw ec h a r a c - t e rm u l t i p l i e r so f 冗b yu s i n gt a y l o rc o e f f i c i e n t s ，a n do b t a i ns o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o r ，m 0 ，w h i c hc a n7 tb ei m p r o v e d k e y w o r d s ：c a u c h y - s t i e l t j e si n t e g r a l ；a r e a l l ym e a np d e u tf u n c t i o n ； u n i v a l e n tf u n c t i o n ；c o m p l e xb o r e lm e a s u r e ；s e l f - s i m i l a rs e t ；s e l f - s i m i l a rm e a - s u r e ；m u l t i p l i e r 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 第一章前言 众所周知，c a u c h y 型积分在数学、物理方面有着重要作用这 个积分的一般形式是c a u c h y 变换：假定弘是在复平面c 上具有紧支 撑k 的复测度，f ( z ) = k 0 一u ) _ 1 如( u ) 被称为c a u c h y 变换它与位 势理论、概率论等方面联系紧密，它也是几何测度论中的一个有用 工具m 两个典型例子是p a i n l e v d 定理和v i t u s h k i n 猜想【1 ，p 2 6 5 2 7 3 ； 2 ，p1 3 1 p a i n l e v d 定理说：复平面上一个紧集k 是可去集( 或零解析 容量) ，如果它的一维h a u s d o r i t 测度“1 ( ) = 0 ，它的证明依靠c a u c h y 变换而v i t u s h k i n 猜测是：若k 是紧集具有h 1 ( ) o ；和kz ，z ) l o g ( 1勘) + 1 如 果o = o ；k ( 毛z ) 是主值分支，即z = 0 其值为1 的那一支显然( z ) 在= z ：川 0 ， j i 。i 。”，s p r 2 ，”2 ”+ ”t _ 0 满足 1 d ( 1 一，k ) 。学sl ，( r t 。e 讲) i m ( r n ) ( 1 一r k ) 半，( 1 2 ) 对1 s 女和所有的n 成立，这里m ( r ) = m a x i 牡，i ，( 。) | _ 我们称 这样的函数具有个最大增长方向这个概念由e k e 引进【1 9 i p l 4 8 ， x h d o n g 在【1 5 ，p 3 3 1 l 中给出了上述等价定义，它比原定义要明晰 假设( z ) 是面积平均p 叶函数，在内有g 个零点钆z 2 ，知 ( 按重数复写) ，同样有g 悯( 最大整数部分) 记 ( z ) = g n ；：。0 一勺) ， 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文3 选择一个适当常数c 0 满足 k s 嘏= 劬薹识h s ， 在第二章中，我们首先讨论函数空间只的一个等价条件，得到 的结果如下： 定理2 1 1 ，矗的充分必要条件是存在解析函数厶( 。) 满足 r e 矗h 1 和f ( z ) = f l ( z ) + ，2 ( 。) ，i z i 1 ， 随后，考虑非零的以及具有q 个零点的面积平均p 叶函数的对 数面积估计，得到的结果如下： 定理2 2 1 假设，( 。) 在内是面积平均p 叶函数，f ( z ) 0 ，( o ) = 1 ，有罗朗展式l o g f ( z ) = 2 p 嚣1 扩，则 c o n l , 1 2 产2 l o g 圭+ g ，o r 1 ， 其中c = 2 1 r + 2 1 0 9 2 + 石3 ，且1 0 9 击的系数2 是可达的 定理2 2 2 假设，( z ) 在内是面积平均p 叶函数，具有口个零 点，l o g 豇h ( 巫o 由( 1 3 ) 式定义，则存在一个绝对常数g ，满足 塾舻墨字崦击托o r 成立 定理2 3 2 假设，( z ) 是面积平均p 叶函数，具有个最大增长 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 4 方向，且 f 0 1 去几l ( r n ( ，= w , r o ) d u d v d r o 。， 则l o g 错气，这里r 0 = ( 3 + m a x l j 5 口蚓) 推论2 3 3 假设，( ：) = z p ( 1 + a l z + ) 是面积平均p 叶函数，具 有个最大增长方向，则l o g 警曩 定理2 3 4 假设s ( z ) = z + a 2 2 2 + 在内单叶解析，则l o g 掣 一击而且存在一个单叶解析函数，0 ( 。) = 抖眈z 2 + 满足l o g 警1 隹 只，q 0 1 7 推论2 3 5 具有定理2 3 4 的假设，且记l o g 学= 2 甚1c n 扩， 1 ，则靠= o ( n j 一击) ，当n o o 推论2 3 6 假设，( z ) = z + 0 2 = 2 + 是内的有界单叶函数 则a n = o ( n 一 一去) ，当n o o 以上的证明联系到对数导数的平均增长估计，这个和有界单叶 函数的系数增长估计是相当困难的问题我们关于这些估计所得的 结论( 2 3 4 ) 式( 第二章第2 3 节中) 、推论2 3 5 ，推论2 3 6 是目前最 好的结果 关于五，朋。的性质，许多作者f 6 - 1 0 ，1 2 1 3 】等对其进行了详细 深入的研究，结论十分丰富他们的讨论都是基于r 上的复b o r e l 测 度的全体而展开的，最近，x h d o n g 和k s l a u 将o a u c h y 变换和 分形几何结合起来，研究自相似测度下的c a u c h y 变换，得到了一些 有趣的结果【2 0 2 2 】 下面我们引入不变集( 吸引因子) ，自相似测度，以及开集条件的 概念设x 是完备距离空间，对x 上的每个压缩函数族 & 甚，( m 2 ) ，i e ，& ：x xm = 1 ，2 ，m ) 且 & ( 茹) 一& ( f ) i r 1 x g i ， v z ，y x ， ( 1 4 ) 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 这里0 0 ， 这里b r ( z ) 表示以z 为球心，r 为半径的球【2 3 ，p 1 6 0 定理3 1 2 假设f 咒，由( i i ) 式给出的测度芦是一致肛维 的，这里0 卢2 ( 1 ) 令r = m a x o ，卢一1 ) ，如果a p ) ，则存在c = e ( 口，p ) 满足 f ，( 盈) 一，( 沈) f g l 句一恐 口一。， 句，z 2 五； ( 2 ) 如果1 卢2 ，且a = 卢一1 ，则存在c = c ( z ) 满足 直 l y ( z 1 ) 一f ( z 2 ) ls c l 矿施l i n 瓦习，钆施； ( 3 ) 如果1 卢2 ，且。( 0 ，卢一1 ) ，则存在c = c ( 卢) 满足 i f ( z 1 ) 一f ( z 2 ) l c z l 一施i ， z l ，z 2 a 推论3 1 3假设f 咒，如果自相似测度p 相对应的迭代函数 系 s n ) 器。满足开集条件，其概率权 ) 与压缩比 ) 满足p n ， 且o t ( 卢一1 ，卢) ，则f ( z ) 在五内p a 阶h s l d e r 连续，其中卢= m i n l o g p l o g r n ，1 n m ) ，1 卢 2 推论3 1 4假设f ，如果自相似测度“相对应的迭代函数 系 岛 亲。满足开集条件，其概率权 胁) 与压缩比 满足 1 + a p 成立，其中卢由 推论3 1 3 给出 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文7 最后，我们总结了用泰勒系数来刻画c a u c h y s t i e l t j e s 积分的乘子 的结论，得到了s 朋。的一个关于系数的充分条件 定理3 2 1 假设l ( z ) = 刍扩在内解析( 1 ) 如果存 在p 【1 ，2 满足嘉l n p i a , , p o o ；或者( 2 ) 存在p 2 ，+ ) 满足 ：。n 2 p _ 2 1 0 n r 0 ，c 为常数，则f m o 利用定理3 2 1 ，我f 】证明了当自相似测度满足一定条件时，自相 似测度下的c a u c h y 积分属于m o 下面，我们介绍这方面的结论设 迭代函数系s z = + h ( z z n ) 的不动点 ) 满足l z 。l 1 ，且至少 有一个点在单位圆周上，这里0 r n 1 令耳表示吸引因子，弘是 由一组概率权饥) 銎。确定的自相似测度定义 f ( z ) = 上黑 ( 1 6 ) 显然，在h 2 ) 随后，罗太元，董新汉在【2 4 】中将这个结论推广到面积平均p 叶函 数本章中，我们首先讨论函数空间矗的一个等价条件，然后考虑 面积平均p 叶函数的对数面积估计，在此估计的基础上，研究多叶 函数的对数函数和冗的关系，最后对单叶函数的情形做进一步的 讨论我们的研究联系到单叶函数的对数导数的平均增长估计，对 数系数的增长估计和有界单叶函数的系数的增长估计，得到的结论 ( 2 3 4 ) 式和推论2 3 5 ，2 3 6 是目前最好的结果 2 1关于咒的一个判别条件 假设，在内解析，定义g ( z ) = g ( 1 一t ) 一2 f ( t z ) d t ，陋 1 ) ，则 ( z ) 五的充分必要条件是g 五【6 ，p 1 1 5 又注意到，矗锌f 7 咒+ 。因此判别一个函数( z ) 厶，只要证明g ( z ) 五即可而由【6 l 知道，h 1c 五因此在【6 】中证明一个函数( z ) 五时，常常是证 明f ( z ) 日1 能否从鼬，( 2 ) h 1 导出( z ) 五? 答案是肯定的( 解 析函数俨空间与调和函数胪空间，0 p m ，其定义与相关结论 请参看文献 2 5 1 ) 事实上，我们有更强的结论 定理2 1 1 f 五的充分必要条件是存在解析函数，j ( z ) 满足 r e 矗h 1 和( z ) = ( z ) + i ，2 ( z ) ，i z l 1 证明 我们首先证明：若g ( z ) = u ( z ) + i v ( z ) 在内解析，具有 u ( z ) h 1 ，则g 事实上，由 2 5 | 中定理1 1 可设u = u 1 一u 2 ，其 中u 。为正的调和函数若忱分别为缸。及“：的调和共轭函数， 则鲰( z ) = “k + i v k ( k = 1 ，2 ) 是在h 1 内具有正实部的解析函数， 由【6 ，p 1 1 1 】可知班( z ) 五又g ( z ) = 9 ，( z ) 一9 2 ( z ) + c ，c 为常数，故 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 9 g ( z ) 五( 因为五是线性空i 司) 上面的证明和五是线性空间的事实表明：若f = + 啦，r e 办 h 1 ，则，五 另一方面，如果f 五，则存在复值b o r e l 测度p ( z ) 满足，( z ) = 片( 1 一面z ) _ 。d p ( x ) 由 2 6 i p l l 6 - 1 1 9 我们知道，p 的全变差测度川是 一个有限测度由j o r d a n 分解定理，存在正有限b o r e l 测度m 满足 肛= 弘l p 2 + i p 3 一i p 4 2 7 ，p 2 4 2 ，因此 ，( 。) = zr 笔( 咖t 一咖z ) + tzr 毛( 咖s 一舡t ) ：= i ( z ) + 玑( 巩i z i 1 下面我们证明r e ，j h 1 ( j = 1 ，2 ) 注意到 r e l y ( 加上等第( ”， 我们得到( 由调和函数的中值公式) z “i r e f l ( r e i 。) i d o zz “苦三群d o ( d u - ( z ) + 中。( z ) ) ( p t ( 1 1 ) 十p z ( r ) ) j ( “r 葺j 焉枷 = 2 7 r ( u l ( r ) + p 2 ( r ) ) 0 ，存在g 州。满足【1 2 ，p 5 9 3 】 匾一( 1 一r ) 0 “f g ( r e ”) i 枷= + o 。 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 0 这表明f h 1 和f 2 , 4 。不等价考虑v i n o g r a d o v 定理中更弱的假 设，用“r e f 7 h ”代替f h ”是自然的然而存在内解析的函 数，使得r e f 协) h 1 ，但，( z ) 隹m 。例如：设，( z ) = 一。+ 2 l o g 击， 则，( z ) = 誊因 1 o “i r e f v 一) l d o = 去z “鼬等枷= ， 从而r e s ( z ) h 1 但f ( z ) 在内无界注意到朋。c h 。 8 t p 3 s o ，我 们有f ( z ) 隹m 。 2 2面积平均p 叶函数的对数面积估计 在前言中，我们介绍了面积平均p 叶函数的概念，以u ( p ) 表示 这些函数，的全体显然，单叶解析函数，属于“( 1 ) ( 面积平均单叶 函数族) 记： m ( r ) 2 r a l ：i ：i n ，i f ( 。) i ，r = i z l 0 ( 2 2 2 ) j 0 我们注意到 日( r ) = h ( r ，) =扣( 冗，) 一p 】d t 2 = w ( 励一p 舻， 其中( 固= ；舒詹”n ( ，= m 谛，a ) t d o d t ，r 0 当f 甜( p ) 时，由 面积平均p 叶函数的定义可知( 励p r 2 于是，我们有，甜 的充分必要条件是h ( r ) = h ( r ，f ) s0 ，r ( 0 ，+ o 。) 我们知道， h ( r ，r ，f ) h ( r ，) 故当f “( p ) 时，有h ( r ，a ，) 0 ，r ( 0 ，+ ) 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 l 在文 2 8 ，p 1 7 7 7 l 中，对于具有正规化形式，( z ) 一z p ( 1 + n 。z + ) 的面积平均p 叶函数得到了对数面积估计式： 动计一去昭掣小川， 这里1 0 9 掣= 2 p ：1a n z ”，h 1 下面，我们将对非零的面积平均p 叶函数以及具有g 个零点的 面积平均p 叶函数的对数面积进行估计 定理2 2 1 假设，( z ) 在a 内是面积平均p 叶函数，( z ) 0 ，f ( o ) = 1 ，有罗朗展式l o g f ( z ) = 2 p 釜。岛扩，则 n 蚶p 2 l o g 击+ g ，o r m a x t d ri f ( z ) l 或r m i n i ；l 0 ( 2 2 6 ) ( 2 2 ，7 ) h ( r ，f ) 0 ( 2 2 8 ) 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文1 3 由( 2 26 - 2 2 8 ) 式得 去i 铬1 2 蛐剑唱鬻一掣 川妄 咄s 器+ ( 2 。9 ) 根据c a r t w r i g h t 定理【1 4 ，存在仅依赖于p 的常数c 1 = e 惭，满足 c 1 - 1 ( i 1 十- r r ) 印i ，( r e 坩) | “c u 1 1 二+ i r ，2 p ，。 r l 因此 1 0 9 器 ：4 p l o g 再1 蛾 ( 2 2 1 0 ) 这里岛= 1 + 4 即+ 4 p l 0 9 2 由( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 0 ) 得 铬1 2 蛐蛐s 器+ ；鲥k s 击m + 扣 = 4 矿1 0 9 _ l + 岛 1 一r 由( 2 2 3 ) ，( 2 2 1 1 ) 式得 2 p 2 耋n 2 一4 p 2 蛾击+ 岛 ( 2 2 1 1 ) 既 n 卅p 2 l o g 击托 ( 2 2 1 2 ) 这里c = 2 7 r + 2 l 0 9 2 + 熹 接下来，考虑1 0 9 击的系数是最好可能的，取函数，( z ) = ( 鲁) 印 0 ， 1 显然，f ( z ) 是内面积平均p 叶的，f ( 0 ) = 1 ，其罗朗展 式为 。o l o g f ( z ) = 2 p 扩= 印 n = l 妻生 n = l ( 一1 ) ”1 n = 印薹矗严”冲l ， ，、夕r， ，丽 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 4 则 妻n 吣“= a o 。丽r 2 ( 2 k + 1 ) = z b s 等 n = 1k = 0 = z 昭击+ 。等 2 l o g 五1 + 2 l o g 2 ( 以一1 ) 由上可知，定理中l o g 击的系数2 是可达的 证毕 下面，我们讨论具有q 个零点的面积平均p 叶函数的对数面积估 计假设，( z ) 是面积平均p 叶函数，在a 内有口个零点钆砘，一，白 ( 按重数复写) ，于是有q 纠，记 ( = ) = g ；：，0 一) ，选择一个适当 常数c 0 满足 昭锯= 2 p 薹岛矿，h l ( 2 z 1 3 ) 定理2 2 2 假设，( z ) 在内是面积平均p 叶函数，具有口个零 点，1 0 9 错由( 2 ，2 1 3 ) 式定义，则存在一个绝对常数c ，满足 塾舻字崦击托晒 证明假设n ( ，= ，r o i z i r ) 表示方程，( 。) = ”在环形区域 t o i z l r 内根的个数( 按重数记) ，记r o = ( 3 + m x l g g 蚓) 由 1 5 ， p 3 3 3 中的引理3 3 ， 2 p 2 塾扩钠s 器+ ) f f 、c ，, 塑警型d r + b ( r ) ， 这里b ( r ) 是一个在 r o ，1 ) 上的有界函数， h ( r r 0 h r ) = ；肌i ! 凡n ( ，= u + v i , r o i z i r ) 砒如一p 譬 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 5 依假设，f u ( p ) 我们有n ( n ，r o 曼 0 满足 塾舻吲1o s 需托t o r 1 面积平均p 叶函数的s p e n c e r 定理表明m ( r ) c i ( 1 一r ) - 2 ”【1 4 ，p 3 8 ， 这里c ，为常数根据x h d o n g 关于面积平均p 叶函数的最小模估 计【2 9 ，m ( r ) q ( 1 一r ) 2 ( p w ，r 0 r 1 ，这里伤为常数这些表明 动1 2 r 2 n 字l o g 击慨r o r 0 ，使得上式对0 0 ， f n 蚶r 2 n ( 1 一r ) 1 d r 佃 。o n = l 左边逐项积分得 b ( s ，2 n + 1 ) n 川2 o 。 而b ( s ，2 n + 1 ) = 删r ( 2 a + l + e ) 高备，礼_ 0 0 ，因此 n 。2 0 0 即l o g 勰d 1 一。( d i r i c h l e t 空间f 7 ，p 1 6 3 ) 根据这同一文献中的命题2 ， 我们有l o g 锯4 + 扣这就完成了定理2 3 1 的证明 定理2 , 3 2 假设，( z ) 是面积平均p 叶函数，具有七个最大增长 方向，且 0 1 ( 嘉 脚n ( ，碣吲水- ) d u d v d r o 。 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 7 则1 0 9 锻曩，这里r o = ( 3 + m ，s ，。蚓) 证明记k 个最大增长方向是t 。= e 矾，8 = 1 ，2 ，k ，则由 1 5 ， p 3 3 5 】中的定理3 1 ，我们有 萎”l c n 一去善群 0 ， ，。s 垂c ，一z l ，挈= 警妻o g c - 一玩，兀c 丘 参见1 3 0 ，p 6 2 0 由只的线性关系，我们有 k s 器气 推论2 3 3 假设f ( z ) = z p ( 1 + a l z + ) 是面积平均p 叶函数，具 有k 个最大增长方向，则l o g 掣及 这是因为面积平均p 叶函数f ( z ) 的象域覆盖w 平面的任何圆 盘i t o ls r 平均而言至多p 次丽对于规范函数f ( z ) = z p ( 1 + a l z + ) ，f ( i z i 茎r o ) 将覆盖 7 0 ) 不落在l t o i 内，即m i 。l 水1 | ，( z ) i e 换言之 n ( f = ，r o l z l 1 ) = 0 ，i l j 1 成立进一步，利用定理 2 3 ，2 ，当，( z ) 是具有个最大增长方向的面积平均p 叶函数，且满足 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文1 8 ( 2 31 ) 式时，其对数函数1 0 9 黼曩自然的，我们想问：当，( z ) 在 1 内单叶解析时，其对数函数1 0 9 掣是否属于昂，卢 0 ，一 个在内的解析函数g ( z ) 属于玩，如果 1 ，” j g r ( r e 埘) j ( 1 一r ) ”1 d o d r 0 ，p = 南和 ；1 + i 1 = 1 ，利用h 5 1 d e r 不等式，我们有 f 0 2 r 。f ， ( ( ， r 。e 。i 。) ) d o ( z 2 ”i ，( r e 。) i “1 一毋i f ( r e ”) i 一，d o ) ；( f o “i ，7 ( r e ”) l 如甜) j ：(“，徊)i。if(re。)l一击瑚)孚(i”ifif r e i f ( r e，r e t 。) i 羔d 目) 学 = ( 徊) 1 2 一击瑚) 孚( 柑) i 靠d 目) 半 由【3 1 ，p , 1 2 7 】我们知道，当a 一 + a + ( 一 a + 4 妒) ，这里c = g ( 卢) 是一个仅依赖于卢的常数因此对足够小的 e 0 ，有 ( 2 7 r 忡) l 蒂d 口) 半冬c ( x r ) - 通互粤盟( 2 删 结合( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) ，我们可以得到 厅糌眺c ( r ) - 毕毕、 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文1 9 选取d = 击一讶z0 0 3 6 ，则学+ ( 识而f 焉再1 + 3 d 1 ) 0 足够的小，我们能找到一个小的e 。 0 满足 z 2 ”r f f ，( ( ，r 。e ，i 。) ) d o sg ( 1 一r ) 一 + 斋一+ 。，。 r i 1 一击一e i 由1 7 ，p 1 6 2 ，我们有 鼠c 兀，因此l o g 挚气一南 对于第二个结论，我们利用l i t t l e w o o d ，c l u n i e 和p o m m e r e n k e 的例 子来说明几经改进，这个例子具有如下性质：由【3 1 p 1 3 8 ，存在一 个单叶解析函数，( z ) 满足 l o gj t z _ _ 2 = 2 岛扩， 0 1 7 换言之，1 0 9 掣隹只，q o 1 7 定 理2 3 4 的证明已完成 推论2 3 5 具有定理2 3 4 的假设，且记1 0 9 掣= 2 甚1c n z n ，i z l 1 ，则c r i = o ( n 一 一去) ，当n o 。 推论2 3 6 假设f ( z ) = z + a 2 2 2 + 是内的有界单叶函数 则= o ( n 一 一击) ，当n o o 这个推论的证明只要注意到 札i 百? l - - n 厂1 1 7 ( ) l d oscr“门r，(rf(ree厂)doreio)ldo c r 叫i 1 f 上 7 (s “上，( r ) ， 这里c 为常数利用( 2 3 4 ) 式，取r = 1 一j 即可 注对数导数平均增长的估计是【3 3 】中关键性的结果，这里证 明：若，在内单叶解析，则 2 r l 躲l d o c ( 1 一r ) 一 + 击，。 r 。；b ， ，( = ) = z ( 剐1 0 9 r 毛舡( w ) + ，( o ) i n = 。 假设与i 刍相似测度p 相对应的迭代函数系为 ) 罂，其概率权 与压缩比分别为协) ， r n ) ，且它们满足 r n ，( 3 1 2 ) 对所有的n 成立下面我们考虑这样的p 及矿的有关几何性质 引理3 1 1 【35 】假设肛是支撑在吸引因子k 上的自相似测度， 如果相对应的迭代函数系 岛 函满足开集条件，且其概率权 m ) 与 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文2 2 压缩比 ) 满足条件( 3 12 ) ，则卢是一致伊维的，这里卢= m i n 风 风= l o g p n l o g r 。，1 n m ， 我们注意到，如果 冀) 器。满足开集条件，则 = 1 = 母s 嘏 n = ln = 1n = 1 这里s = d i m h k 是的h a u s d o r f f 维数 3 6 ，p a 5 5 因此，0 1 于是有： 1 口 s 2 ( 3 1 3 ) 引理3 1 2 假设p 是，上的自相似测度，矿是r 上由p 依曲导 出的测度如果“是一致肛维的，则矿也是一致伊维的，即： 矿( e ) c d i a m ( e ) 口， v ecr ， ( 3 1 4 ) 这里c 为常数，d i e m ( 目表示集合e 的直径，卢由引理3 1 1 给出 证明由前可知，映射咖( z ) = e 2 一，z j 任取ecr ，令 d i a m ( e ) = i e 2 ”一e 2 。a i l ，则d i a m ( 。( 层) ) = b n i ，这里o ，b ，我们可 设d i a m ( e ) 很小，例如i b n l i 1 注意到 d i a m ( e ) = 2 s i n ( r i b n i ) 三7 r | 6 一o i = 4 d i a m ( 咖一1 ( e ) ) 由假设， p 4 ( e ) = p ( 曲一1 ( e ) ) c 1d i a m ( 咖一1 ( e ) ) 4 cd i a m ( e ) # ， 这里g 为常数故引理3 1 2 成立 本节中，我们的主要目标是讨论自相似测度导出的测度的c a u c h y - s t i e l t j e s 积分的h s l d e r 连续性及乘子性质为了实现这个日标，我们考 察具有一致伊维的非负b o r e l 测度，给出这种测度所对应的c a u c h y - s t i e l t j e s 积分的h s l d e r 连续性 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 2 3 注下述证明中不同式子中的c 表示不同常数 定理3 1 1 假设五，如果由( 1 1 ) 式给出的测度一是一致伊 维的，则 i ，( 。1 ) 一，( z 2 ) i c z l z 2 1 4 1 ，盈，z 2 ， 这里1 卢 2 ，c 为常数 证明在五内任取一点。，以。为圆心做圆环m = w ：2 k i w z i 2 k + 1 ) 记f e = a n r ，其构成r 的一个划分，且d i a m ( r k ) 茎2 依假设，我们有p ( n ) sc 2 柚同时，在n 上有i w z l 一- 2 因 此， 兴c 2 郴- 1 ) (315)1 j nl 一面z i 一 为了证明，( z ) 在五内h s l d e r 连续，我们首先在五中取定两个不 同的点z 一，地，记乱一句f = d 然后连接z l ，句，记为线段上过线段己的 中点z o 做垂直平分线岛，把复平面c 分成两个部分我们把点z ，所 在的半平面记做c + ，点z 2 所在的半平面记做c 一接下来以g l ，z 2 为 圆心分别做集合 a 0 = 叫：2 i 叫一名l i 2 + 1 ，且w c + ) a 乎= 叫：2 s l w 一沈i 2 + 1 ，且彬c 一) 这里一o 。 ksk o ，其中满足2 蛔2 d 2 b + 1 最后以z o 为圆心做 圆环a 妒= ：2 k i 一句i 2 k + 1 ，这里k 。k 妇 因此，前面选取的k l 满足要求，于是 a ) 蜒b ， a ( k 2 k s k o , 取) * 揖 构成复平面c 的个剖分我们又注意到，当k 2 时，最与r 不相 交因此，r 能被 r p ：r p = r n a 2 * ) ， 雌：r 孑= r n a 譬) ，一 墨，以及 r 譬：r 譬= r f l b k ，k l k 1 所覆盖 我们知道， = i z ( 志一f 1 面) 虮( 蚓 厶f 1 面一志毗( 3 _ 1 6 ) 塑鱼塑苎苎兰! ! ! ! 鱼丝圭兰丝篁苎 ：塑： 在r ? 上，我们利用( 3 1 5 ) 式以及1 1 一面z 2 i d 2 ，有 厶l 而1 一去川”) 厶( 杀+ 訇) 舡( 删) 一 1 ( 3 1 7 ) 同理，对于 r i 譬 而言，我们有相同的结果假设”r 垆cb k ，观察 图( 1