（大地测量学与测量工程专业论文）基于稳健估计的时序分析方法在变形监测中的应用.pdf

摘要摘要变形数据分析与预报是变形监测数据处理的重要内容。利用有限的监测数据选取合理的预测模型准确预报未来的变形是变形监测数据处理研究的热点问题之一。本文以某高边坡交形点为研究对象，以提高预报精度为目标，对使用时序分析方法建立预报模型做了较深入的研究。完成的主要内容如下：1 、详细论述了平稳时间序列从模型的初步识别、参数估计、模型的适用性检验、以及到预报的全过程。针对多数变形监测数据的非平稳性特点讨论了两种非平稳数据的建模方法剔除趋势项法和提取趋势项法；通过对实测数据使用两种方法建模研究了时序分析方法在变形监测预报工作中的具体应用：经过对比，分析了两种建模方法各自的优缺点，在具体工作中应结合实际情况采用。对于趋势项的提取，传统的方式多采用线性函数、幂函数、指数函数、周期函数等，由于近年来灰色模型在许多领域的数据处理方面得到了广泛应用，因此本文研究了采用灰色模型提取趋势项，建立灰色时序模型。2 、较深入的研究了用于抗差的稳健估计理论，并就几种权函数进行了探讨；通过使用模拟数据进一步验证了稳健估计用于参数估计中良好的抗差作用。结合变形监测的特点，考虑到变形监测数据中不可避免的会含有粗差，因此把稳健估计引入到时序分析建模中，建立了基于稳健估计的灰色时序模型。3 、使用常规的灰色时序模型预报会造成预报精度随着预报时间推后而逐渐降低，这是因为每次预报时始终采用了同一不变的模型参数，而变形体自身的形体和结构的变化往往是复杂与多变的。鉴于此，本文建立了基于时变参数的动态灰色时序模型，同时为起到抗差的作用在建模的过程中加入稳健估计。通过实例计算分析，证明此种建模方法可以进行较长期的预报，并且精度很高。关键词：时序分析方法、灰色时序模型、稳健估计、变形监测a b s t r a c ta b s t r a c tt h e 锄8 l y s i sa n df o r e c a s to fd a t aa r cm 嘶o rc o n t e n t si nt 1 1 ep r o c e s s i n go fd e f o m l a t i o nm o n i t o r i n gd 砒a h o wt ou s en n i 把d e f o 丌n a t i o nm o n i t 训n gd a t a 卸dc h o o s er a t j o n a lm o d e il oa c c l l r a t e i yf o r e c a s t sd e f b m “o ni so n eo f t h em o s ti m p o r t a n tt 髂ko f t h es t u d yo ft h ep r o c e s s i n go fd e f o r m a t i o nm o n i t o r i n gd a 饥b a s e do nt l l es t u d yo fd e f o m a t i o np o i n ti nh i g hs l o p e ，f o rr a i s i n gt h ef o r e c a s t i n ga c c u m cy b u i l d i n go ff o r e c 嬲t i i l gm o d e l s 、v i t l lt h em e 也o do ft i m es e n a la i l a l y s i sa r ep r o f o u n d l ys t u d i e di nt h i sp 印e li ta sf o l l o w s ：1 t h ei s s u eo nh o wt or e c o g n i 髓t h em o d e l ，e s t i m a t ep a r 踟e t e lt e s t 印p i i c a b i l i t yo f t h em o d e l曲o ms t a t i o n a r yt i m es e r i e sa r ed i s c u s s e d a i m i n ga tn o n - s t a t i o n a r i t yo fm o s td e f o m l a t i o nm o n i t o f i n gd a 怕b 卅om e l h o d so f b u i l d i n gm o d e l sf 叶n o n s t a t i o n a r yd a t aa r ed i s c u s s e d ，t h a tc o n t a i nl h em e t h o do fe l i m i n a t i n gt e n d e n 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st h a tt h em e t h o do fb u i l d i n gd y n a i l l i cg r a yt i m es e a lm o d e lb a s e do nr o b u s te s t i m a t i o nc a nf o r e c a s tl o n g e ra n dp r e c i s e l y 1 “yw o r d s ：t i m es e r i e s 粕a l y s i sm e t h o d g r a y 廿m es e “a lm o d e l ；m b u s te s t i m a t i o n ；d e f o n n a t i o nm o n n o r i n g第一章绪论第一章绪论1 1 变形监测的目的和意义变形是指变形体在各种荷载下，其形状、大小及位置在时间域和空间域中的变化。自然界中存在各种形式各种程度的变形，宇宙的扩张、构造板块的运动、地壳断层的相对移动、海水面的上升、局部地表的下沉和隆起、工程建筑物的沉降、水平位移以及挠度变形、材料结构的弹塑性变形、乃至微观粒子的运动变化等都是地学与非地学或工程中常见的变形现象。按照唯物主义观点，物质的运动变化是绝对的。因此，变形是自然界的普遍现象，整个宇宙、包括地球及其上的各种建筑物无时无刻不处于变形之中。变形在一定范围内是允许的，但如果变形超过了变形体所能承受的允许值时，变形就会演变成灾害。自然界中的变形危害现象常在我们周围发生，如地震、泥石流、滑坡、岩崩、火山爆发等。1 9 7 6 年7 月2 8 日，我国唐山7 8 级大地震死亡2 4 万余人，重伤1 6 万人，整个唐l l | 市夷为平地；近年来的贵州纳雍县鬃岭镇的特大岩崩、四川涪陵小西坝滑坡、重庆武隆山体滑坡都造成近百人死亡。这些自然灾害对人类的生存造成了巨大的威胁。同样工程建筑物在施工和运营期间因受到多种因素的影响也会产生变形。虽然工程建筑物在设计时采用了一定的安全系数，使其能安全承受经过考虑的多种外荷载影响，但是出于设计时不可能时工程的实际工作条件以及承受的荷载能力做出完全准确的估计，施工质量也不可能尽善尽美，工程在运行过程中还可能突然发生某些不利的变化因素，所以变形有时也会导致严重的后果。国内外一些发生过重大事故的工程建筑物并不罕见，以大坝为例，法国6 7 米高的马尔巴塞拱坝1 9 5 9 年垮坝；意大利2 6 2 米高的瓦依昂拱坝1 9 6 3 年因库岸大滑坡导致涌浪翻坝且水库淤满失效；以及我国板桥和石漫滩两座土坝1 9 7 5 年洪水漫坝失事等。在经历了长期的惨痛教训和经验后，人类已经认识到对高大建筑物和不良地质地段实施变形监测的重要性。所谓变形监测，就是利用测量专用仪器和方法对变形体的变形过程进行峪视观测的工作。其目的是获得变形体变形的空间和时间特征，总结出变形发生的规律和原因。对于可以控制的变形，力求控制它向进一步恶化的方向发展；对于不可控制的变形，则预测变形的大小，从而采取措施减小可能发生的灾害造成的影响。变形监测工作的意义重点表现在两个方面“1 ：首先是实用上的意义，主要是i河海大学硕士学位论文掌握各种工程建筑物和地质构造的稳定性，为安全性诊断提供必要的信息，以便及时发现问题并提前采取相应的补救措施，把事故消灭在萌芽之中：其次是科学上的意义，主要包括更好的理解变形的机理验证有关工程设计的理论和经验公式，以及建立正确有效的变形预报理论和方法。1 2 变形监测的内容与技术变形体的范围极其广泛，可以大到整个地球，也可小到一个工程建筑物的块体。变形监测按照研究范围的大小可分为三种“。：第一，全球性变形研究，如监测全球板块运动、地极移动等：第二，区域性变形研究，如地壳形变监测、城市地面沉降等；第三，工程和局部性变形研究，如监测人工建筑物的变形、自然边坡的变形等。针对变形体不同的范围，采用的监测手段和技术也不尽相同。第一种在研究全球性变形方面，主要通过现代空间大地测量技术测定”1 ；第二种研究地壳扳块范围内变形状态从定期复测国家控制网的资料获得，研究板块交界处地壳相对运动的区域性变形需要建立专门的监测网进行监测“1 。g p s 是研究此类区域性变形的主要技术手段，近年来的i n s a r 技术也表现出了很强的技术优势。第三种在工程和局部变形监测方面，它分为外部监测和内部监测。外部监测主要是测量变形体在空间位置上的变化，主要包括有水平位移测量和垂直位移测量。其中水平位移测量应用的方法有大地测量方法和地面摄影测量方法、g p s 测量、视准线、激光准矗等；垂直位移测量有精密水准测量，液体静力水准、三角高程等：内部监测主要是采用各种专用仪器，对变形体结构内部的应变、应力、温度、渗压、j 压力、孔隙压力等项目进行监测，使用的仪器有应变仪、应力仪、温度计、渗压计、土压力计等。虽然变形数据的获取可采用不同的手段，但在监测数据的处理与分析对应把内、外观测数据结合起来，综合的进行分析与解释”。1 。需要指出的是，近年来传感器技术和计算机、通讯技术的发展与应用以及与之相适应的测量仪器的发展与应用，使得局部变形监测的自动化程度和监测精度愈来愈高，如全站仪、测量机器人、g p s 、r t k 及伸缩仪、应变测量仪、应力测量仪、遥测垂线坐标仪等。对于区域和局部的变形观测，其完整的过程一般应包括以下几个阶段：( 1 ) 变形监测方案的设计与实施，包括监测网点的布设、网的优化设计以2第一章绪论及观测方案的选择与实施。( 2 ) 观测数据预处理，包括观测数据质量评定与平差、监测数据之间的相关性检验、数据的粗差探测与剔除，系统误差的检测与分离。( 3 ) 变形的几何分析，包括变形模型的初步识别、定阶与参数估计、模型的统计检验和最佳模型的选取，变形量的有效估计。( 4 ) 变形的物理解释与变形预报，包括探讨变形成因，给出变形值与荷裁之间的函数关系，并做出变形预报。1 3 变形分析与预报的现状和进展1 3 1 变形的几何分析与物理解释近年来，人们对变形观测的重要性已有了深刻的认识，在产生变形的相关地区布设了变形点并进行了相应的观测，积累了大量的观测数据。变形监测的最终目的，就是正确地分析与处理变形观测数据，对产生的变形做出正确的几何分析和物理解释。变形的几何分析是对变形体的形状和大小的变形作几何描述，其任务在于描述变形体变形的空间状态和时间特性。变形的物理解释是确定变形体的变形和变形原因之间的关系，其任务在于解释变形的原因。一般来说，几何分析是基础，主要是确定相对和绝对位移量，物理解释则是从本质上认识变形。( 1 ) 几何分析：它主要包括参考点的稳定性分析、观测值的平差处理和质量评定以及变形模型参数估计等内容。参考点的稳定性分析；监测点的变形信息是相对于参考点的，如果参考点0 i稳定，则由此获得的变形值就不能反映真正意义上的变形。通常对参考点的稳定性分析研究主要限于周期性的监测网，其方法主要有平均间隙法，单点位移分量法等。观测值的平差处理和质量评定：当监测网中存在固定点时通常采用经典平差，但当网中无法确认是否含有固定点时，应采用以重心为基准的自由网平差；在粗差探测方面，巴尔达最初提出数据探测法，可以用于单个相差的探测，后随着抗差理论研究的深入又产生了稳健估训理论，可用于多个粗差的评定。变形模型的参数估计方法主要有两种，一种是坐标分析法，就是把所有的观测量表示成监测网点点位坐标的形式，通过两期或多期坐标差和变形模型来进行变形分析；另一种是观测值分析法，就是直接利用两期或多期的观测量的差值和3河海大学硕士学位论文变形模型来做变形分析。( 2 ) 物理解释：方法主要有统计分析法、确定函数法和混合模型法。统计分析法中以回归分析模型为主，通过分析所观测的变形和外因之间的相关性，来建立荷载一变形之间关系的数学模型。由于它利用过去的变形观测数据，因此具有“后验”的性质。当预测值和实际的结果相差较小时，一方面说明了所建的关系模型是正确的，同时也说明变形体的变化规律和过去一样；如果差值较大，就浼明所建模型不合适。统计分析方法的优点是以实测资料为基础，观测资料愈丰富、质量愈高、其结果就越可靠，是目前应用比较广泛的成因分析法。缺点是影响变形的因子有多样性和不确定性，阱及观测资料本身有限，因此在一定程度上又制约着建模的准确性。除回归分析模型外时间序列分析模型、灰关联分析模型、模糊聚类分析模型都属于统计分析法。确定函数法中以有限元法为主，根据变形体的物理力学参数、建立荷载和变形之间的函数模型。它不需要用到过去的观测资料，因而具有“先验”性质，比统计模型有更明确的物理概念，但计算工作量较大，并且对用做计算的资料有一定的要求，精度有时也不太令人满意。混合模型法的思想是对那些与效应量关系比较明确的原因量用有限元法，而对于另一些与效应量关系不很明确的原因量仍采用统计模式，然后与实际值进行拟合而建立的模型。采用混合模型处理的方法在坝体及其它一些建筑物的性态分析中已经取得了较好的效果。1 3 2 变形预报模型n 。”1对于工程的安全来说监测是基础，分析是手段，预报是目的。变形监测、分析与预报是一项涉及多个学科的工作。不同的监测对象需要不同的监测技术和数据分析处理模型，这就为测量研究提出了许多新的课题。由于变形预报受到许多不确定因素的影响，所以变形预报模型也较多，而且各有利弊，主要有以下几种：( 1 ) 回归分析模型“：多元回归分析和逐步回归分析可得到变形与显著因子之间的函数关系，除用于物理解释外也可用于变形预测。它是一种经典的变形预报方法，较早应用在刘家峡大坝位移分析中：之后刘元生发展了，。义多元线性回归：张朝礼研究了展开式回归法；徐培亮将单点回归分析扩展为多点回归分析。目前多元回归分析仍然是变形分析中应用最多的一种方法，尤其是在大坝的4第一章绪论变形观测数据处理方面。( 2 ) 时序分析模型“：时间序列是指按时间顺序取得的一系列观测值。当逐次观测值之间存在相关性时，未来值可以由过去值预测，这就是时问序列分析方法( 简称时序分析) 的理论依据。徐培亮较早用时序分析方法做了大坝的变形预报“”；之后刘沐宇使用此方法做了边坡位移预报“；朱永全使用此方法描述了隧道施工监测结果的变形规律“；石双忠做了基坑变形预测“，节斌运用非线性回归和时间序列分析研究了高边坡变形“。由于线性模型预测值趋向平滑，不能描述时序细节上的变化，因此诱发了非线性时序分析，主要有双线性模型( b i l i n e a r ) 、条件异方差模型( a r c h ) 和门限自回归模型( t r a ) 等。( 3 ) 灰色理论分析模型o “：它认为客观系统无论怎样复杂都是关联的，有序的、有整体功能的。因此通过对原始数据采用累加生成法变为生成数列，以达到减弱随机性、增加规律性的作用。陈明东、王兰生教授首次将灰色系统理论中g m ( 1 ，1 ) 模型引入滑坡位移一时问曲线的拟合外推“；蓝悦明针对大坝变形数据处理中使用少数据观测值进行预测的问题，对大坝水平位移值应用灰色预测作了较好的预测，对g m 模型的初始值解算作了全新的研究。“；岳东杰根据实际的观测资料，采用g m ( 1 ，n ) 模型结合较多相关信息，研究了对异常值进行有效判别和分析的处理方法“；张虹将灰色理论模型应用于高层建筑物的沉降变形监测预报中o ；减德彦将其应用于海堤沉降预测中”，都取得了较好的预报效果。( 4 ) 卡尔曼滤波模型：将变形体视为一个动态系统，其状态可用卡尔曼滤波模型即状态方程和观测方程描述，状态方程中若含监测点的位置、速率和加速率等状态向量参数，则为典型的运动模型，这种模型特别适合滑坡监测数据的动态处理。伍法权用卡尔曼滤波分析了链子崖危岩体的位移趋势”：邓跃进等提出了动态噪声方差补偿法自适应卡尔曼滤波模型”“；陆付民将卡尔曼滤波法用于大坝变形分析中”“：梅连友在滑坡监测中使用了该种方法。卡尔曼滤波把参数估计和预测有机结合在一起，实时反映变形体的状态，因此是一种较好的处理动态变形数据的模型。( 5 ) 人工神经网络：当变形与影响因子之间是一种非线性、非确定性的复杂关系时，模糊人工神经网络法将生物特征用到工程中，用计算机解决大数据量情况下的学习、识别、控制和预报等问题。神经网络因为其强大的非线性映射能力而成为非线性预测的主要方法。以影响因子作为神经网络的输入层，以变形量为洲海大学颂十学位论文输出层，中间为隐含的三层反传模型( 称b p 网络模型) 最为成熟。徐卫亚使用人工神经网络对三峡永久船闸高边破进行了变形预测分析“1 ；王穗辉使用浚方法对上海地铁2 号线盾构推进中隧道上方的地表变形做了趋势预报。“：王旭东将其应用于深基坑变形预测中o ”。( 6 ) 小波分析：小波变换被誉为“数学显微镜”，它能从时频域的局部信号中有效的提取信息，利用离散小波变换对变形观测数据进行分解和重构，可有效的分离误差。能更好的反映局部变形特征和整体变形趋势。与傅立叶变换相似，小波变换能探测周期性的变形。徐洪钟提出了大坝变形观测数据趋势分量提取的小波分析方法o ”；马攀将小波分析与卡尔曼滤波方法相结合，提出了基于小波分析的卡尔曼滤波动态变形分析模型1 。随着各种信息论、系统论、控制论等科学思想被引入进来，因此变形预报模型也就变得更加丰富了。另外，针对各种模型的优缺点，也有很多学者根据各l 二程的实际情况尝试多种模型相结合使用，以发挥优点互相弥补不足，取得了较好的效果。1 4 本文的研究内容1 4 1 问题的提出作者通过对有关实际工程变形监测建模与预报方法的研究，总结出目前在变形监测分析及预报方面还存在如下一些问题：( 1 ) 变形体变形机理的不确定性、监测资料的有限性、加上研究对象不断在变化，致使人们在模型的选取上带有一定的盲目性，每一种模型又有它所适应的范围和基本条件，如何根据变形监测的实际情况选取合适的模型也是变形分析与预报的一个重要问题。( 2 ) 时序分析方法所研究的是一系列随时间变化而又相关联的动态数据序列，通过对数据进行分析，找出反映事物随时间的变化规律，从而对数据的变化趋势做出正确的分析和预报。这种方法在建模时要求数据必须满足平稳性，丽实际数据往往不满足这个条件，因此在建模前必须进行平稳化处理，如何选择一种合适的平稳化方法对进一步提高时序建模精度有重要作用。( 3 ) 变形监测数据中难免会含有不服从正态分布的异常误差，利用这样的数据根据最小二乘原理进行建模，由于最小二乘估计不具备抗差性，会导致参数6河海大学砸士学位论文输出层，中间为隐含的三层反传模型( 称b p 网络模型) 摄为成熟。徐卫亚使用人工神经网络对三峡永久船闸高边破进行了变形预测分析。”：王穗辉使用该方法对上海地铁2 号线盾构推进中隧道上方的地表变形做了趋势预报1 ；王旭东将其应用于深基坑变形预测中“。( 6 ) 小波分析：小波变换被誉为“数学显微镜”，它能从时频域的局部信号中有效的提取信息，利用离散小波变换对变形观测数据进行分解和重构可有效的分离误差，能更好的反映局部变形特征和整体变形趋势。与傅立叶变换相似，小波变换能探测周期性的变形。徐洪钟提出r 大坝变形观测数据趋势分量提墩的小波分析方法。；马攀将小波分析与卡尔曼滤波方法相结合，提出了基于小波分析的卡尔曼滤波动态变形分析模型。随着各种信息论、系统论、捧制论等科学思想被引入进来，因此变形预报模型也就变得更加丰富了。另外，针对各种模型的优缺点，也有很多学者根据各工程的实际情况尝试多种模型相结合使用，以发挥优点互相弥补不足，取得了较好的效果。1 4 本文的研究内容1 4 1 问题的提出作者通过对有关实际工程变形监测建模与预报方法的研究，总结出目前在变形监测分析及预报方面还存在如f 一些问题：( 1 ) 变形体变形机理的不确定性、监测资料的有限性、加上研究对象不断在变化，致使人wj 在模型的选取上带有一定的盲目性，每一种模型又有它所适应的范围和基本条件，如何根据变形监测的实际情况选取合适的模型也是变形分析与预报的一个重要问题。( 2 ) 时序分析方法所研究的是一系列随时间变化而又相关联的动态数据序列，通过对数据进行分析，找出反映事物随时阐的变化规律，从而对数掂的变化趋势做出正确的分析和预报。这种方法在建模时要求数据必须满足平稳性，而实际数据往往不满足这个条件，因此在建模| i 必须进行平稳化处理，如何选择种台适的平稳化方法对进一步提高时序建模精度有重要作用。( 3 ) 变形监测数据中难免会含有不服从正态分前j 的异常谩差，利用这样的数据根据最小二乘原理进行建模，由于最小二乘估计不具备抗差性会导致参数数据根据最小二乘原理进行建模，由于最小二乘估计不具备抗差性会导致参数6第一章绪论估计的准确性与可靠性受到严重的影响，从而使所建模型质量降低，预报失真。因此，对建模数据合理的处理方法也是必须深入研究的问题。( 4 ) 大多数变形模型一旦建好，参数就随之确定。但是由于变形体变形过程的多样性和复杂性，始终用同一不变的参数模型进行预报，必会导致精度降低，并使所建的模型只能用于短期预报。如何提高预报精度，特别是提高长期预报精度是建模预报急待解决的问题之一。1 4 2 本文的研究内容针对变形监测分析与预报存在的问题，在吸收了国内外有关的成功实例，并结合具体工程的应用，本文在以下方面做了必要的研究和探讨。( 1 ) 讨论了时序分析的基本原理与方法，详细阐述了平稳时间序列从模型识别、参数估计、模型检验到变形预报的步骤，分析了时序模型的优缺点。( 2 ) 研究了非平稳数据的时序建模方法与步骤，本文采用趋势项剔除法和趋势项提取法分别对变形监测数据进行建模，通过计算分析与比较，指出两种方法各自的优缺点，并结合高边坡监测，研究了时序分析法用于变形监测的可行性与有效性。( 3 ) 在采用趋势项提取法进行时序建模时，提取趋势项传统的方法大都是采用多项式或者指数函数、对数函数等，这样常带有一定的局限性，预测的外延性也不好，因此本文研究了监测数据的灰色非平稳序列处理方法，用g m ( 1 ，1 ) 模型提取其中的趋势项，用时序模型描述随机残差项，利用两种模型的优点以便更精确地预测变形。( 4 ) 在讨论了稳健估计理论的基础上，首先使用模拟数据探讨了几种权函数下的参数稳健估计，并和传统的最小二乘估计加以比较：考虑到变形j i 测数据不可避免地含有粗差和异常值，把稳健估计引入到建模的参数估计中，从而提高建模的准确性与可靠性。( 5 ) 针对所建模型长期预报精度较低的问题，研究了基于时变参数建动态灰色时序模型，通过实例计算分析，验证此种方法可以大大提高长期预报精度。河海大学硕士学位论文第二章时间序列分析作为现代数据处理方法之一的时序分析是在上世纪2 0 年代后期出现的，是一种动态数据处理方法。它通过对按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列进行分析，找出反映事物随时间的变化规律，从而对数据变化趋势做出正确的分析和预报。该方法已经广泛应用予气象、天文、水文、机械、电力、生物、经济等的各个领域“。2 1 时间序列概述时间序列是指随机过程中含有离散的有限个等时间i 到隔( 非等间隔的序列可以通过插值归算为等时间间隔序列) 的元素组成的序列。一个时间序列通常具有两个特点：一是数据是按时间有序排列的；二是前后时刻的数据一般具有某种程度的相关性。时序分析就是通过对时问序列的数字特征进行分析，发现相邻序列分量值之间的相关程度，从而用最近的序列分量去拟合下一个时刻的分量，以达到预报的目的。2 1 1 平稳时间序列的定义平稳时间序列有两种定义：严平稳时间序列和宽平稳时间序列。严平稳时间序列：妇果时间序列中的所有分量中任意时间段内的”维分量的分布函数只与时间延迟r 有关，并且当r = 0 时保持不变，则该序列称为严平稳时间序列。宽平稳时间序列：如果该序列的均值函数及方差函数为常数，且其协方差函数是时间间隔f 的单变量函数，则该序列称为宽平稳时间序列。我们只讨论宽平稳时间序列。2 1 2 平稳时间序列的数字特征由于时间序列为离散的观测序列，它主要反映的是序列值随时问的变化关系。因此，它的统计数字特征为一些参数及时刻，的函数。常用的统计数字特征有：( 1 ) 均值函数( 数学期望) i一个时间序列x ，o = l ，2 ) 的均值定义为：扣专娶 l 第二章时问序列分析( 2 ) 自协方差函数，对于任意时刻r 、f ，对应序列观测量z ，、x ，令r = f ，一f ，则这两个时刻之差为间隔的变量之间的协方差函数儿表示为：n = ( x ，一窜) ( x 。一i )( 2 1 2 )= 1当f = o 为方差函数( 3 ) 自相关函数础)n ：丝( 2 1 3 )y o当该序列均值j = o 时，自协方差函数就是自相关函数a( 4 ) 偏相关函数口“设扛，) 是平稳零均值的时间序列，若用一的前面个时刻的值一x 。，x 。对x ，作最小方差估计，即选择系数口。，口。使x ，的估值为量，= 口女i x 卜l + 口 2 x 卜2 + + 口肚x 卜并要求吼，吒：，口。满足q = e 弘，一坼) 2 j 最小，则将由第t 个系数构成的序列缸。1 ) 称为k ) 的偏相关函数。该系数从下式求得。lnp lp 2p 一1尸女一21p lp 2p ( 2 1 4 )2 1 3 时间序列的平稳性检验根据前面对平稳时间序列的定义，一个平稳时问序列 x ， 具有两个基本特点：其均值i 和方差盯；为常数；自协方差函数y ，只与时间间隔f 有关，而不依赖于时间，。因此，对k ， 的平稳性检验，最根本的就是检验扛， 是否具有这两个基本性质。平稳性检验的方法较多，这里主要介绍分段检验法。分段检验步骤如下：首先将较大的样本序列，z ：，x 。) 分为长度为， 的女个，j 、样本序歹0 ， x l i ，x 1 2 ，x 1 。) ，( x 2 l ，x 2 2 ，- ，x 2 。 ，( x i ，x k 2 ，一，x i 。 ，分目0计算它们的均值x ，方差口，2 和自相关函数y ，( f ) ：mm 一胁riiijiijjiiii。i址河海大学硕士学位论文i = 吉毛j = l盯，2 = 古( x ，一i ) 2，= 1，( f ) = 古( x ，一i ) ( x 。+ ，一i ) 盯?，= ：f2l ，2 ，3 ，j ；f21 ，2 ，g 聊)d ( 覃) = 引1 + 2 ( 1 一吉) 乃1l ，产1上d ( 瓦2 ) = 等l1 + 2 芝0 一告谚lrl2 j1d ( 以( f ) ) = 击f 1 一p j + 2 艺0 一古) ( + p ，+ 。户，) l给定置信水平口，若满足；= i盯2 = 口?以= y ，( f )h 一；i z 。，：厮k 孑2j z 厮以( f ) 一) ，i q 。：扫可可n则可以认为该序列为平稳序列，否则不能认为其为平稳序列。2 2 平稳时间序列的随机线性模型( 2 1 5 )( 2 1 6 )( 2 1 ，7 )( 2 1 8 )常用模型主要有三种表达方式：p 阶自回归模型、q 阶滑动平均模型和p 阶自回归滑动q 阶平均模型。2 2 1 自回归模型( 爿r ( p ) 模型)一个平稳序列x 如果可由下列方程描述：z r = 妒i 工f i + 妒2 x f 一2 + + 妒口x ，一，+ 口f( 2 2 1 )则称此方程为x ，的p 阶自回归模型，筒记为爿r ( p ) 。其中p 为f 整数，称为模0第二章时间序列分析型的阶次，纯，伊：，妒。为模型参数或自回归系数，订，为零均值的不相关平稳序列( 又称白噪声序列) 。其中b 。，一。，一一，j 为_ 前p 个时刻的值，可以推证在满足q = e 鼢，一一) 2 最小的情况下，当女) p 时，有= o ，这一特性称作偏相关函数p 步截尾，可以作为识别爿r ( p ) 模型的依据。2 2 ，2 滑动平均模型( 且别( 仃) 模型)一个平稳序列x ，如果可由下列方程描述：茁，= 口，一臼l d f 一1 一目2 d ，2 一一眈日卜。( 2 2 2 )则称此方程为x ，的滑动平均模型，简记为删( q ) 模型。其中q 为正整数，称为模型的阶次，q ，岛，眈为模型参数或滑动平均系数，口，为自噪声序列。其中k ，口。，口h ，口。 为f 时刻及该时刻前q 个观测噪声，可以椎证当) q时，有成= o ，这一特性称作自相关函数g 步截尾，可以作为识别心( g ) 模型的依据。2 2 3 自回归滑动平均一r 删( b g ) 模型一个平稳序列x 如果可由下列方程描述：z r = 妒1 x 卜l + 妒2 x 卜一2 + 十妒p x ，一p + 口一目l 口，一l 一护2 口，一2 一- 一扫q d rq( 2 2 3 )则称此方程为x 。的自回归滑动平均模型，简记为4 r 翻( p 川) 模型。其中p 、q 为正整数，分别称为模型的自回归阶次和平均滑动阶次，妒，妒：，妒。为模型参数或自回归系数，鼠，臼：，毋。为模型参数或滑动平均系数，“，为白噪声序列。根据差分方程求根理论，在满足平稳条件时，无论女多大，矶、妒。都不为零，且当_ o 。时，所呻o ，p 一0 ，即自相关函数和偏相关函数在该模型中具有拖尾性。这一特性可作为识别爿月 列( p ，q ) 模型的依据。2 3 模型辨识与参数估计2 3 1 模型辨识模型辨识就是判定平稳时问序列到底是服从三种模型( 一只( j _ ，) 模型，4 ( q )模型，4 r 耽4 ( p ，q ) 模型) 中的哪一种。关于这个问题，到目前为止还没有严格精河海大学硕士学位论文确的方法。一种粗糙的方法是利用时间序列的自相关函数和偏相关函数的估计值的截尾性和拖尾性来判断。三种模型的相关函数性质可以概括成下表：表2 一l 各类模型的主要性质模型性i 爿r a 削( p ，目)爿r ( p )舰4 ( q )自相关函数拖尾拖尾q 步截尾偏相关函数拖尾p 步截尾拖尾从理论上讲，自相关函数和偏相关函数的截尾性是指它们在某一步之后全部为零，但是自相关函数和偏相关函数的估计值毕竟有一定的误差，只可能在某步之后，其值在零的左右波动。因此要想判定截尾性，势必要用到统计检验的方法。由正态分布的特性知，氟落在区间( 杀，嘉j 的概率为9 5 5 所以在计算出庐，庐：之后，对确定的q 可以观察这些值是否接近9 5 5 ，对从小到大逐个检查，第一个能满足这些条件的q 就可作为模型的阶，为方便起见，一般是检查l i 只，则h 。不成立，模型阶数仍有上升的可能，应增加阶次：否则，风成立，应认为所选的a r m a ( p 一1 ，g 一1 ) 模型是合适的模型。2 4 2 模型的白噪声检验模型检验是对原始观测序列与所建的模型之问的误差序列 g ( f ) ，f z ) 进行检验来实现的。如果 占( ，) ，z 是一个白噪声序列，则意味着所建立的模型已经包含了原时间序列的所有趋势，从而将所建立的模型应用于预测是合适的：反之若误差序列 占( f ) ，r z ) 不具有随机性，则说明所建立的模型还有改善的余地，应对模型进行修正或重新建模。将模型的估值氟，巩和样本观测值x ，代入相应的模型，求得残差a ，。例如对a r ( p ) 有西，= x ，一x ，一l 【一茁卜2 函2 一一x ，。( 2 4 2 )对于一般的a r m a 序列a ，可推得a ，= z ，一x ，一。庐一x ，一：一- - 一x ，一，多，+ 茸a ，+ + 或a ，。( 2 4 ，3 )检验序列n ，臼：，d 。是不是白噪声序列，通常采用自相关检验法。当它们是白噪声序列时，令它们的自协方差和自相关函数的估值为：元= 寺d ，日卅( = o ，1 ，2 ，k )( 2 4 4 )vj = 1a ( 臼) ：缨，o 【刚( 2 4 5 )其中取k a 篙。可以证明，当n 充分大时，郦，) ，圻跆：( 口) ，圻跆。( a ) j 渐近于服从于正态分布的k 维随机变量。由z2 分布的定义可知，河海大学硕 学位论文q = b ，( 。) 卜z 2 ( 墨)( 2 4 6 )j = 1所以可按z2 检验法来检验q 是否服从自由度为k 的z2 分布。根据数理统计理论，有原假设h 。：q z2 ( ) ；在显著水平口= o 0 5 ，可从z2数值表中查得满足尸协2 ( z 三。( 1 一) ：卜的临界值z 王。( k ) 。当其值q z ：。( k )时，应认为砜不成立，也可以浼模型不合适：而当其值q z 王。( k ) 时，应接受风，也可以说模型合适。2 5 时间序列的预报对时间序列x ，o = 1 ，2 ) 进行时序分析，获得适用的模型，再根据模型对时间序列进行预报，是时间序列模型在时域分析中最重要的应用之一。如何根据已经观测到的x ，x ：，x ，o p ) 的数值，去预报量，( f ) 呢?设x ，0 = l ，2 ) 为4 r ( p ) 序列，即x f = p l x ，- 一l + 妒2 x ，一2 + + 妒p x f p + 口r在上式中取r = f + f 有：z f + ，= 妒1 xr + ，i + 妒2 x r + 卜2 + + 妒p x ，+ 7p + 口r + ，在等式两边取估计值有：主，“= 妒l 主t f l + 妒2 主r + j _ 2 + + 妒p 主h 卜，+ 舀f + f由最小方差预报的基本性质有：主+ f = 妒l 曼川一1 + 妒2 圣川一2 + ，+ 妒p 壹r + ，一p( 2 5 一1 )其中，妒，( ，= l ，2 ，p ) 都是被样本序列确定的估计值。在上式中分别取，= 1 ，2 ，即可得到一步，二步，三步预报值。即：主r ( 1 ) = 妒i x ，+ 妒2 x 卜i + + i ，p x 量，( 2 ) = 妒l 曼，( 1 ) + p 2 x ，十- 十p p 工圣，( ，) = 妒1 主，( f 1 ) + 妒2 童。( ，一2 ) + + 妒，曼，( f p ) ，( f p )式( 2 5 1 ) 或( 2 5 2 ) 即为时间序列的预报公式。可见一r ( p ) 序列的第二步预报值要用到第一步预报值：第三步预报值要用到第二步预报值；即计算预报值i ，( f ) 时要用到f 时刻前的p 个观测数据，预报精度1 6第二章时间序列分析随预报步数，的增大而降低。同样，a r m a 0 川) 模型的预报公式为，( z ) =p ，启，( 7 _ )艺妒，j f ( f 卅( 2 5 3 )2 6 非平稳时序的建模在平稳时间序列中时阐序列的均值为常数，表现在时间序列的时间历程中，数据是在某一水平线附近随机波动。而在非平稳时间序列中，与这种情况相反，时间序列的均值是时间的函数，表现在时间序列的时间历程中，数据是在某一趋向性曲线附近波动。a r m a 模型是针对平稳时间序列而言的。在实际问题中，我们所遇到的时问序列往往不是平稳或不能近似看作是平稳的，即时间序列是有明显的增长或衰减趋势和季节性( 周期性) 趋势。多数情况下，可以认为这样的时涮序列是由三部分组成：r = 脚，+ s ，+ 肖，( 2 6 i )式中：州，s ，是确定性部分，m ，为趋势项，它反应了r 的变化趋势；s ，为周期项，它反应了y 的周期性变化；x ，是随机噪声项，它反应了随机因素的影响，般认为z + 是平稳随机序列。这时就应考虑非平稳时序建模方法。非平稳时序建模方法可分为两类”，一类称为直接剔除法，它是通过差分方法将确定性部分( 趋势项和周期项) 从非平稳时序中直接剔除掉，再建立a r m a模型。这种情况的非平稳时序模型仍然可以写成种统一的a r m a 模型形式。另一类称为趋势项提取法，它是从非平稳时序中提取确定性部分，将确定性部分用明确的函数关系式表达，再对剩下的残差序列建立a r m a 模型，最终将确定性函数关系式与a r m a 模型组合，得到非平稳时序模型。这种情况下非平稳时序不能写成一种统一的a r m a 模型形式，a r m a 模型只是其中的一部分。2 6 1 直接剔除法定义差分算子v ：蹦，= ( 1 一b ) 置= 工，一，_ l( 2 6 2 )i7 一吖口勤舢wf吖吖xx妒妒，【，厶爿，+十河海大学硕j ：学位论文则有：v2 爿，= v ( v x ，) = v ( x ，一一一1 ) = ，一2 x h + f - 2( 2 6 3 )v 。x ，= x ，一c j x f _ l + c ；z m + + ( 一1 ) 扣1 c ；_ 鼻川+ l + ( 一1 ) “彳( 2 6 4 )对没有周期项的非平稳序列，采用一定阶数的差分方法可以消除趋势项，从而使时间序列平稳化。如果时间序列具有周期性变化，周期为d ，则可首先用差分算子v 。= ( 1 一b “)作延迟d 步差分，使其转化为平稳序列，即v d x r = ( 1 一b “) x ，= 爿，一x h( 2 6 5 )消除周期性影响，再作h 阶差分消除趋势项影响，从而得到平稳序列。对差分后生成的平稳序列就可应用前面所述的建模方法进行模型识别、参数估计、模型检验定阶，最后再根据差分的关系还原成原始序列的a r m a 模型。此种方法建模流程如下：图2 j 直接剔除法建模流程第二章时间序列分析2 6 2 趋势项提取法由前面所述，非平稳时间序列是确定性部分与平稳随机部分的叠加，在这科t情况下，可采用确定性函数式来描述其确定性部分，采用a r m a 模型描述平稳随机部分，再将确定性函数与a r m a 模型进行组合成为非平稳时序模型。在这类建模方法中，问题的关键在于求出确定性部分的函数表达式。提取趋势项的方法有很多，可以采用线性函数