（基础数学专业论文）脉冲微分方程的振动性(1).pdf

摘要 本硕士论文由三章组成。 第一章讨论了一类二阶线性脉冲微分方程的振动性，揭示了此类 方程与相应的不带脉冲的方程在振动性方面的联系，得到了方程振动 的某些充分及充要条件 第二章讨论了二阶和高阶脉冲时滞微分方程的振动| 生，得到了脉 冲时滞微分方程振动的充分和充要条件。 第三章讨论了脉冲中立型方程的振动性，通过建立一些引理，得 到了方程振动的一些充分条件 关键词：脉冲微分方程，振动， 非振动 a b s t r a c t t h et h e s i so fm a s t e r sd e g r e ei sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w e i n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o n so fa k i n do fs e c o n do r d e r l i n e a ro d ew i t hi m p u l s e s ，o u rr e s u l t sr e v e a lt h er e l a t i o no ft h eo s c i l l a t i o no f t h es o l u t i o n sb e t w e e nt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h o u t i m p u l s e sa n di m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n t a n d o rn e c e s s a r yc o n d i t i o n s f o rt h eo s c i l l a t i o no ft h ee q u a t i o n sw h i c hw ed i s c u s s i n c h a p t e rt w o ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o n so fak i n do fs e c o n do r d e ra n d h i g ho r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y w eo b t a i ns o m e s u f f i c i e n t a n d o rn e c e s s a r yc o n d i t i o n f o rt h eo s c i l l a t i o no ft h e e q u a t i o n sw h i c h w ed i s c u s s i nt h e a s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o no ft h en e t u r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s b ye s t a b l i s h i n gs o m el e m m a s ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no ft h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s 前言 随着现代科技的发展，在许多科学领域，如生态学、光学控制、 物理学、通讯理论等的研究中，脉冲微分方程较之相应的不带脉冲的 微分方程更能准确地描述某些现象，因此脉冲微分方程的研究已引 起了大量学者的兴趣 9 1 0 】，而振动性问题一直是脉冲微分方程理论 的一个重要分支 与脉冲微分方程振动性相对应的是不带脉冲的微分方程的振动 性，作为微分方程定性理论的一个重要分支，它是上个世纪定性理论 研究中十分活跃的一个方向，在科学技术领域中有非常广泛的应用 脉冲微分方程振动性的研究是从上个世纪末开始的，但研究成 果尚不多 如2 8 ，文 5 研究了二阶非线性脉冲微分方程的振动性， z ”( ) + ，( t ，z ) = 0 ，z t o ，f t 七，七= 1 ，2 z ( 吉) = 9 ( z ( t ) ) ，z 7 ( t 去) = k ( z ( t ) ) ，七= 1 ，2 ， z ( t 手) = z o ，。( t 寺) = z ； 其主要结论对于线性问题也是适用的，但线性的情况远没有解决，在 这种启发下，我们研究了二阶线性微分方程 ， lz ”( t ) + p ( t ) 。( t ) + g ( t ) 。( t ) = o ， t o ，t 如， i 茁( t 古) = 魄z ( t 女) ，z 7 ( t 者) = c z 7 ( t k ) ，= l ，2 ， 的振动性，首先讨论了“= c t 的情况，其次讨论了k c t 的情况 文 4 研究了一阶时滞脉冲微分方程的振动性 ， i 心) + 各1 娥( t ) 目( 亡一t ( t ) ) = o ，t t k ig ( f j ) 一( k ) = k ( “) ，= 1 ，2 ， 得到了以上方程振动的充要条件，我们在第二章用类似的方法考虑了 二阶和n 阶带一个时滞的脉冲微分方程的振动性 ， iz ”( t ) 一o ( ) z ( t ) 一p ( t ) z ( 一丁- ) = o ，t t o ，t t ， iz ( t 毒) = 6 七。( k ) ，z 7 ( t ) = c z ( t k ) ，南= 1 ，2 ， 1 第一章二阶线性脉冲微分方程的振动性 5 1 1 引言 本章，我们讨论了如下二阶线性脉冲微分方程的振动性和菲振动 性： z “( 。) + p ( 。) z 7 ( 。) + q ( 。) z ( 。) = o 。，。k f 1 1 1 ) iz ( 吉) = 6 七z ( t 七) ，z 7 ( f 吉) = c k 。7 ( f k ) ，惫= 1 ，2 ， 其中p ( ) ，j ( ) 在区间。 上连续， os 幻 t 1 o 。心扣牌坐半矾扣牌监掣 首先我们讨论了巩= c 一的情况，此时原方程的振动性可以转化 为不带脉冲的常微分方程的振动性，其次讨论了6 t c t 的情况，在这 种情况下，运用黎卡迪变换，也能将原方程转化为不带脉冲的情形 定义111 函数。：o 。】一兄称为方程( 1 1 1 ) 的解，如果 ( i ) 当t 。 且t 如时，。( ) 满足( ) + p ( t ) z 印) + q ( t ) z ( ) = o ； ( i i ) 在每一个脉冲时刻“( 1 ) ，有z ( t 吉) = 6 k z ( 如) ，z 似毒) = c k 。( 如) ， 且。( t ) 和一( t ) 在任意的如( 尼1 ) 处是左连续的 由于方程( 11 1 ) 可转化为一阶脉冲微分方程组，故关于方程( 1 1 1 ) 的解的存在性、唯一性、解的整体存在性可参考文献f 9 以下我们总 假设方程( 11 1 ) 的解是整体存在的 定义1 1 2 方程( 1 1 1 ) 的解称为非振动的，如果这个解最终为正 或最终为负，否则称该解为振动的如果方程( 11 1 ) 的所有解为振动 的，则称方程( 1 1 1 ) 是振动的 对于方程( 1 1 1 ) ，如果有无限多的，使6 kso ，则方程( 1 11 ) 是振 动的，倘若“ o ，方程也可能振动，见【5 】 文5 1 研究了二阶非线性脉冲微分方程的振动性，其主要结论同 样适合方程( 1 1 1 ) ，只需先对方程( 11 1 ) 作一种转换，但线性的情况 3 远远没有解决，例如，由文 5 】的结论我们不能判别下面方程的振动 性； 善兹毒古鞴! 墓麓备。， m ， 【盘( + ) = 警z ，z 觚+ ) = 警z ) ，南= 1 ，2 ， 、 下节的内容揭示了方程( 1 1 1 ) 与相应的非脉冲方程在振动性方 面的联系我们的结论将显示上面的方程是振动的 1 2 引理与定理 定理l21 如果对所有的奄= l ，2 ，满足饥= 仇，则方程( 1 ，l1 ) 的振动性与如下方程的振动性是一致的： 掣”( t ) + p ( t ) 可7 ( ) + q ( t ) 可( t ) = o ，t o ( 1 2 ，1 ) 证明设。( ) 是方程( 1 1 1 ) 任意一个解，对于 幻，令掣( ) = 。( t ) n 0 1 “。坛1 则对所有的n 1 ，有 = z ( t ：) n 鹾= z ( 如) 6 。k 1 f o s “nt o t k s t n = z ( 靠) 6 i 1 = 可( “) o 靠 h 因此，在区间。) 上，g ( ) 是连续的 另外，当t “，儿= 1 ，2 ，时， ：1 i m 坐垒! 坠鲣生盛二型皿熟! ! 鲨 _ u 凡 = ( 凰铲) 牌掣硼，卫咿 当= k ，n = 1 ，2 ，时 弘心：) = z 姆：) 6 i 1 = z 协。) 坛1 t o s “( n如c n 因此，若在扣k 处定义 。) = z 协。) 兀“。坛1 ，则在区间【c 0 1 0 。) 上 可m ) 是连续的 当t k 时， 以) = z “( ) k 1 = 【_ p ( ) 。协) 一口( ) z ( ) 坛1 o 兰“ 0 9 k c = 一p ( t ) 可也) 一q ( t ) ( t ) ， 当t = k 时 圹( = 。”( t ：)6 i 1 = 一p ( 。) z 印。) 一口( k ) z ( “) 】n b i l o 曼“ o ，且 1 1 罂p 刍f ( t 叫”1 p ( s ) 如) d s = 。， ( 1 22 ) l i 躲p 南锗_ 1 ) 小) 邶叫p ( s ) 叫】) 2 d s o 设丁 t o 满足当( 垴o 】且k t 时，z ( ) o ，一( t ) o ，一( k ) o ，若对某个k t 有z 似。) = o 则 z 7 ( ) 一z 7 ( 三) = 一q ( s ) z ( s ) d s o ，f m t t m + l ， ( 1 2 9 ) 故当t 。+ l 时，z ”) 三o ，反过来这会得出当。 o ，因为当“ 丁时，z 俅) o ，证毕 在引理( 1 2 3 ) 的条件下，令z ( f ) 是方程( 1 1 1 ) 的最终正解，满足 当t 之丁t o 时，z 0 ) o ，一( ) o ，当 t 时，令乱0 ) = z 7 0 ) z ( ) 贝4 方程( 11 1 ) 导出下面的方程： j u 7 ( ) + u 2 ( t ) + p ( ) “( t ) + 口( ) = o ， 。t ，2 “ ( 1 2 1 0 ) iu ( ) = d k u ( t k ) ， t k t 且有t 丁时，乱( t ) o ，其中呶= c k b 其实当6 c t 时，通过黎卡迪变 换，方程( 1 ，1 1 ) 的振动准则也可得到，它可以不要求g ( t ) 一 p 心) 一；( t ) 三 定理1 2 3 方程( 1 1 1 ) 是振动的，如果如下的二阶微分方程 ( t 婴。a i l ) ，c t ， + p c t ，( 。旦。d i l ) 。7 c t ，+ a c t ，c 婴。d i l ) 可( t ) 2 o j ：，i ：、t 。 是振动的，其中如= c 6 k ，七= l ，2 ， 证明：假设方程( 1 1 1 ) 有一个非振动的解z ( t ) 满足当t 2 丁o 时，z ( ) o ，令让( 幻= 摄， 丁，则方程( 1 1 。1 ) 变为了下面的脉冲方 程 f 乱( ) + 址2 ( t ) + p ( ) 也( t ) + q ( f ) = o ， t 丁，t 如， iu ( t 吉) = 如u ( 乩 如t ， 下面定义 22 t 0 札 、， 8 球 r ，ri、 | 1 0 易知 且 例1 3 1 考虑方程 x ( k ? 善豁k + l 豁肇k + l 矬1 h 2 。- ， 【+ ) = 下。( 女) ，z + ) = t 一( 女) ，k ：h 卜。叫 l i 。m + 。i n f tz 。- ( s ) 一互1 p 7 ( s ) 一百1 p 2 ( s ) d s = n m i n f t z ”嘉妊； 故由推论12 1 知，方程( 1 3 1 ) 是振动的 例1 3 2 考虑方程 ，毫纛亏攀，k 吐2 ， s 固 【z ( + ) = z ( ) ，z ”+ ) = 击z ) ，= 1 h ”7 易知，在此处，p ( ) = o ，q ( t ) = 去，毗= 南，取。= 4 ，卢( s ) ：s 2 ，经检验， 此时满足推论1 2 3 的条件故方程( 1 3 2 ) 是振动的 注1 3 1 ：考察不带脉冲的方程，+ 万1 。：0 易知，此方程是 非振动的，而加了脉冲后，方程变为振动的，故知在此处脉冲对方程 的振动起了一个很重要的作用 1 2 0 三舻 i j 0 ，一p矿l一4 1 4 一 一、，三p，矽卜 一 1 2 一 “，一萨 = = q 第二章脉冲时滞微分方程的振动性 2 1 引言 本章，我们主要讨论如下时滞微分方程的振动性： 。“( 。) 一。( 。) 。o ) 一p ( 。) z ( 。下) = o ，。，。k ，( 21 1 1 iz ( t 毒) = 6 k z ( r ) ，z 7 ( t 古) = c 。7 ( t ) ，竞= 1 。2 ， 这里，我们通常假设下列条件成立： ( a i )o t o t l t 2 “_ ，当惫_ 。，丁o ，“一7 缸 ； ( 4 2 ) n ( ) c ( o 。) ， o ，o 。) ) ，p ( t ) c ( ，。o ) ，( o ，+ o 。) ) ( a 3 ) 对所有的尼= 1 ，2 ，一6 k o ，c k o 对任意的盯t o ，令7 = a r ：p g 代表函数曲的集合，其中咖：h 一 一r ， 在氏+ ， n ( 7 ，卅上中连续，缸落在区间( 14 ，a 中，九可能是妒中第 一类不连续的点 定义2 ，11对任意的t o ，咖p g ，函数z ( ( 吼。) 一_ r ) 用 z ( t ，吼) 表示，它称为方程( 2 11 ) 定义在区间f 一，o 。) 上满足初值条件 z ( t ) = 驴( t ) ， ，盯( 21 2 ) 的解，如果下列条件成立： ( i ) 对任意的t ho 。) 且t t ：z ( t ) 连续可微且满足( 2 ，11 ) ( i i ) 在每个t k ( 1 ) 处，z ( 培) = 6 k z ( t ) ，z 他吉) = c k z 心k ) 且z ( t ) 和 z ) 在任意的“处都是左连续的 定义2 12 方程( 2 1 1 ) 的一个解称为振动或非振动的与定义1 1 2 一致 文 4 】研究了一阶时滞脉冲微分方程的振动性，将带脉冲的情况 转化为了不带脉冲的情况，在下一节我们研究了二阶和n 阶脉冲时 滞微分方程的振动性 5 2 2 引理与定理 另外，当t t 。时，我们有 z 协) = 讹) i ib k ，z ”( t ) = ”( t ) 6 口“a _ t k 因此 。7 ( t 嘉) 一9 7 ( t 。) 1 1b k = 6 。7 t ：) i ib k = c 。茁7 ( ：) = c 。z 7 ( t 。) d “羔t ”d s 札 t n z ”( t ) o ( t ) z 0 ) 一p ( t ) z ( 一丁) “( t ) nb k 0 0 ) ( t ) 6 k v ( t ) y ( t r ) 1 1 k f 曼t 女 ta _ t k c ，_ t k 一7 i ib k y ”( t ) 一。( t ) ( t ) 一p ( t ) y ( t r ) i i 坛1 口曼咄 0 则方程( 2 21 ) 的所有非零有界解是振动的，如果 p c t ， 里。i 1 一p c t 一互t t ， p 7 c t ，。c zz z ， l r 9 0 ，t 如，故当t 充分大时，g 他) r 时，令z ( t ) = y ( t ) n 删删a k 则。( 坛) = z ( 如) 且z ( f 吉) = g ( 如) n 。“t 。a k = a n y ( t n ) n 。g 。o = a n z ( t n ) 另外，对t t ，。 z 讹) = y t ( t ) i i a k ， 故 。( ”一1 ( t ) = ( “一1 ( ) i i a k f 曼t k z ( ”( ) = ( “( t ) i i a k f 兰t k t z 7 ( 去) = ( 。) i ia k = o 。y ( t ：) i i o 。 f “k d 兰“ t n = ：z ( t ：) = n ：z ( t 。) ， ( “一1 ( t ：) = g ( “一1 ( t ：) i i o r = a n y ”一1 ( t ：) 1 7 a k a _ t k h 口“ t n = o 乎一1 ) z ( “( 坛) = o 乎。) 茁卜1 ( k ) 。( ”( t ) + p ( t ) z ( t r ) = ( ”0 ) a k + p ( t ) y ( t r )i i a k = 。妒( t ) + p ( t ) g ( t r ) i i 口i 1 i = 0 ，t k 口兰“ t l o r 墨“ r 时，令z ( t ) = y ( t ) n 删删 则。( 坛) = z ( 如) 且z ( f 吉) = g ( 如) n 。“t 。吼= o n g ( 亡n ) n 。g 。o = o n z ( t n ) 另外，对t t ，。 z ) = 巾) a e ， 故 。( ”一1 ( t ) = ( “一1 ( ) o f 曼t k z ( ”( ) = ( t ) 钒 f 兰t k t z 7 ( 去) = ( 。) o k = o 。( t ：) o 。 f “t n d 兰“ n = ：z ( t ：) = n ：z ( t 。) ， ( “一1 ( t ：) = g ( “一1 ( t ：) o r = ，携”一1 ( t ：) n 口! “h 口“ t n = o 乎一1 ) z ( “( 坛) = o 乎。) 茁卜1 ( k ) 。( ”( t ) + p ( t ) z ( t r ) = ( ”0 ) n + p ( ) 0 一r ) n 女 = 。妒( t ) + p ( t ) g ( t r ) 口i 1 i = o ，t k 口兰“ t l o r 墨“ 2 ) 。2 ) 【z ( 七+ ) = ；z ( 庇) ，z 7 ( 而+ ) = j 。( 南) ，七= 3 ，4 ， 、 易知( a - ) 一一( 也) ，( b 。) 一一( b 。) 均成立 p ( t ) i 。一旦，。6 i 1 一p0 一；) p 也) o 也成立 卜一t t 、“7 j 故由推论( 2 2 1 ) 知，方程( 2 3 2 ) 振动 2 1 第三章脉冲中立型微分方程的振动性 3 1 引言 本章讨论一类脉冲中立型微分方程的振动性，方程如下 z ( ) 一p ( t ) x ( t r ) j 7 + f ( t ，x ( t 口) ) = o ，芝t o z ( t 嘉) = 9 ( z ( f k ) ) ，七= 1 ，2 ， 无特别说明，- 在本章我们假设如下假设均成立： ( i ) 7 - e ( 0 ，o o ) ，口( 0 ，o 。) ； ( i i ) “) 器l 为实数列满足0 t o o ( k 1 ) ( i i i ) p ( t ) p c ( i t o ，o o ) ，r + ) ，其中r + = f 0 ，+ 。) ，p c ( i t 。，。o ) ，r + ) 表 示满足如下条件的函数集，f ：【t o ，。】一r + 满足，在【t o ，t t 和每个 如+ l 7 ( 自芝1 ) 上连续，旦对所有的k 1 ，l i r a 。：f ( t ) = ，( 未) x f ( t ，z ) o ( z o ) ，且存在连续函数q ( t ) 使 丝型g ( c ) ( z o ) 对于方程( 31 i 卜( 3 i ，2 ) 我们考虑带初值条件的形式 z “= ( s ) ，s f 一岛o j ，p = 1 t i & x t ，口 ，( 3 1 3 ) 其中当一p s 0 时，z 如= 嚣( 亡o + s ) 且咖尸g ( 【一p ，0 1 ，r ) = 曲： p ，0 1 ， h i e 是连续的，除了一些有限的点j ，其中曲( 矿) 和妒( j 一) = l i m 。；一曲( s ) 有( 5 一) = ( i ) ) 定义3 1 1 一个实值函数茁( ) 称为关于初值问题( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 的 解，如果： ( i ) 当o p t t o 时，z 0 ) = ( t t o ) ，当o 且t t k ，= 1 ，2 ，一， 时2 ( t ) 连续； ( i l )当t o ，t “，“+ r ，t k + 盯，k = 1 ，2 ，一，时( z ( ) 一 p ( ) z ( f r ) ) 连续可微且满足( 3 1 1 ) ： ( i i i ) z ( t j ) ，和( t i ) 存在，z ( t i ) = 茁( t k ) ，且( 3 1 ，2 ) 成立 定义3 1 2 方程( 3 1 1 ) 一( 3 ，1 2 ) 的一个解如果最终为正( 或负) ，则 称之为振动的，否则称为非振动的 3 2 引理 引理3 21 假设存在数列 & ) 满足s n ( k ，t 。+ 1 】，& + 1 一& = 丁， p ( 如) o ，礼= l ，2 ，并且 霎立志一 c 。- ， 另外设 p ( t ) p ( “) 6 k ，当t e l k ：= k 1 ：“一下如，i k ) ( 3 2 2 ) 瓦。p ( t 者) 2p ( 如) 6 k ，当t e 2 k ：= 21 ：靠一7 - = 屯，i 0 证明由( 3 1 1 ) 和( 32 4 ) ，有 z ( ) = 一，( t ，z ( 一d ) ) ( 32 5 ) 且由z ( t j d ) ，( t ，茁( t p ) ) o 知 当k 0 证明此引理的证明类似引理3 2 1 的证明，易知此时有z ( 靖) s z ( “) 此结论与引理3 2 1 的( 3 2 6 ) 式对应因此，此引理证明从略 引理3 2 3 假设引理3 2 1 的条件成立，处外假定存在常数p ( 0 ，i i ，b 0 ，n 0 满足 p ( t ) p ，t t o ，b k b ，且如+ 1 一t k a ，k = 1 ，2 ，一， ( 3 2 - 8 ) 此外，假定方程( 3 1 1 ) 一( 31 2 ) 有一个解满足：对t t o 有x ( t p ) 0 令t ：m a x t o + t 。+ f ) 且m = m i l l 1 ：t k 丁) ，则二阶脉冲微分不 等式 秽7 ( t ) + h 0 ) 冒( ) o ，t t , t “， f 3 2 ，9 1 v ( t z ) = ( “) ，协吉) sb k y 俅) ，= m ，m + l ， 有一个解雪( ) 满足当t t 时，口( ) 0 ，口 + ) 0 ，其中当t t k 时， f ( t + ) = 口心) ，且 阶 蓦篡搭蓦 且b + ：。a 。 1 ，b i ( 一一r ) 爿+ 1 ) ，5 = m a x 1 ，b f t n 1 + 1 ) 其中【 代表最大取整函 数 证明令z ( ) = z ( t ) 一p ( t ) x ( t 下) ，由引理3 21 知，当t t o 时， z ( t ) 0 ，且 z 7 ( ) = 一f ( t ，( 一盯) ) s0 ，t k 0 ，由引理3 21 的证明，知 z ( 吉) sb k z ( t k ) ，k 0 ( 3 2 1 1 ) 设( 岛，霞_ r j ；非f 二自( t ， t 】叫镭删”烈卜姆副翻叻f _ l ，朝嗣 l = ；i i t c j ，阿疗j 受 躬 t 幻+ 口时， 。( 一口) 1 p ( t - - g - - t o ) 一 m v ， j o 十r 由于t o 0 ，由上面的不等式可得 z ( s ) d s + p ( + 。o ) + 1m z ( t - - 0 ) l 。r p ( t _ o ) l tj f t 。z ( s + r - a ) d s + p ( t - 一) t + l m ，t 如+ ( 3 21 3 ) 因为。t k + 1 一t k , 七= 1 ，2 ，则当s t 。+ 口时， ( s + t 一s 】中的脉 冲点的个数至多为q + 1 ，其中q = ( a r ) n ，不妨设为 s + 7 _ 一盯 “ t k + l t 时，雪心+ ) 0 ，其中当t t 时，口咏+ ) = 口心) 且 下面的不等式成立 口”( ) + h ( t ) 雪( f ) 0 ，t t ，t t k ， 雪( f 古) = 9 ( t k ) ， 可7 ( 古) = 矗l _ z ( 吉) 上b b l r z ( “) = k 雪7 ( 靠) ，惫= m ，m + 1 因此，引理对1 9 - r 时成立 情况2 ，盯r ，在此种情况下，由( 3 2 1 2 ) 有，当t t o + 玎时， z ( t - - o ) 三b t p ( c _ p 州p 眨邵) d s + p ( t - , , - t o ) r + z m 由于盯r 且t 。20 ，由上面的不等式可得 z ( 一矿) l 。t p c t - ) 1 二z ( s ) 如+ p “州”1 , h i ( 3 2 1 5 ) 其中t = t o + r = m a x t o + 仃，t o + t ) 下面将( 3 2 ，1 5 ) 代入( 3 2 1 0 ) 并类似情况1 的讨论，可知结论成立，因 此，引理证毕 引理3 24 设引理3 2 2 的条件成立且假设存在常数p ( 0 ，1 】满 足当t t 。时，p ( t ) p ，另外，设方程( 3 i 1 卜( 3 i2 ) 有一个解满足：对 t t o 有x ( t p ) 0 ，令t = m a x t o + 盯，t o + r ) 且m = m i n k l ：t k r ) 则二阶脉冲微分不等式 ”( t ) + h ( t ) y ( t ) 0 ，t t ，t t k 可( t 孝) = ( t k ) ，( t ) 7 ( t e ) ，k = m ，m + 1 有一个解可( ) 满足当t t 时，口( t ) o ，香协+ ) 0 ，其中当t t k 时 f ( t + ) = 口( t ) 且 h ( t ) = t - 1 9 ( t ) p 半 证明：由引理3 2 2 易知，z ( 晴) z ( t k ) ，故z ( t ) 在【t o ，o 。) 上不 增其余的证明类似引理3 2 3 的证明，因此，此引理证明从略 引理3 2 5 2 i 考虑脉冲微分不等式 z ”( ) + r ( t ) x ( t ) s0 ，t t o ，t t k ( 3 2 1 6 ) 。( t 吉) z ( t k ) ，x 1 0 ) c k z ( t k ) ，k = 1 ，2 ，- 其中o t o t 1 t o 时，z ( ) o ，一( f ) o 5 3 3 主要结果 定理3 3 1 假设存在常数p ( o ，1 ，6 o ，。 o 使( 3 2 8 ) 成立，且 存在一个函数，( t ) p g ( o o ) ，兄+ ) 满足 r “g 出+ 薹i 面i ”1 g ( 踟t = 。， ( 。，) 其中t = m a x t o + 口，t o + r ) ，m m i n k 1 ：t k t ) 且 ，= ：| 然劣二筘器筒2 7 c 。- 。， 6 + = m a x f l ，护圳7 】+ 1 ，5 = i n a x ( 1 ，。】+ 1 ( 3 3 3 ) 则方程( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 振动 证明：。假设方程( 1 1 ) 一( 1 2 ) 有一个非振动的解，不失一般性，设 t 幻时，z ( t p ) o ，由引理3 2 3 知，下面的脉冲微分不等式 可”( 。) + 日( 。) 口o ) o ，。? ，。，( 334 ) i ( t 孝) = 9 ( ，俅吉) s 以似k ) ，= m ，m + 1 ， 有一个解口( t ) 满足：当 t 时，雪( t ) o ，口讹+ ) o ，其中 脚 ；麓嚣黛三；下 扩和6 如( 33 3 ) 所示 另一方面，由引理3 2 5 ，由条件( 33 1 ) 可得不等式( 3 ，3 ，4 ) 不可能 有一个解( t ) 满足：当t t 时，( t ) o ，y m + ) o ，导出矛盾，定理 得证 下面假设引理3 2 2 的条件均成立，利用引理3 2 4 及3 25 ( 令引理 3 25 中的乱均为1 ) ，类似定理3 3 1 的证明，我们可以得到下面的定 理 1 定理3 3 2 假设存在常数p ( o ，l 】和一个函数，( ) p c ( o 。) ，r + ) 满足 p ( ) p 1t t o( 3 ，3 5 ) 且 ，。g ( t ) d t = 。o - ( 336 ) 其中 g = ( r 飞叫一一掣卜( f ，( s ) d s ) ( 3 s ) 且丁= m a x + 7 - ，t o + 仃) ，则方程( 3 11 ) 一( 3 1 2 ) 的所有解都振动 若在定理33 1 中假设ks1 ，则可得到下面有用的推论 推论3 31 假设除了( 3 3 1 ) 外，定理3 3 1 的条件均成立，此外还 假设存在常数口 o 满足 k 1 f 2 + 1 圮尼= 1 ，2 ，( 3 38 ) 且 。护g 忙o o ，( 3 3 ，9 ) 其中g ( t ) 如( 33 7 ) 所示，则方程( 3 1 1 ) 一( 3 1 2 ) 的所有解都振动 证明：可以由已知的条件证明( 3 3 1 ) 成立，事实上，由( 3 33 ) 我 们有 f g 去c “g + 再”g 出 lr f m + im 十n 2 去上。g ( 2 ) 出”1 + i 孟j ( g ( 。) d 6d mjc mb m d m + nj m + 壶( g r t + c ”删书 壶1 呦胁卜r + 废”1 蛳，d f ) = 麦c “1 扩g 砒 ( 3 3 1 0 ) 令礼一o 。，并综合( 3 3 9 ) 和( 3 3 1 0 ) 知( 3 3 1 ) 成立，由定理3 3 1 知，方 程( 3 11 ) 一( 3l 。2 ) 的所有解均振动 3 1 5 3 4 些例子 例3 4 1 考虑方程 ( 坤) 一端_ 2 ) ) + 万耵邢- 5 ) _ 0 ( 3 a t ) z ( t 毒) = 者。( 如) ，女= 1 ，2 ， ( 3 4 2 ) 其中“= 2 笔 ，推论3 3 1 的所有条件均满足，事实上，p ( t ) = 鲁g 舞芝 1 ：= p ，( ，z 0 5 ) ) = 再硕晶丽z o 一5 ) ，k = k = 南，r = 2 若选取 & = 2 n + 1 ，n = 1 ，2 ，则晶( f 。如+ 。 ，并且引理3 2 1 的条件均成立， 因为 p ( s 沪p ( 2 川) = 鬻名茎端，川，。， 因此 薹鱼志一鱼南，端 ，望 l n 4 2 备可可而。泡 显然，& + 。一晶= r 且( 3 2 2 ) 成立，另外，由于“s1 ，故扩= 5 = 1 如果选择，( t ) ；o ，则g ( ) = 2 1 q ( t ) 最后，可验证( 3 3 8 ) ，( 3 3 9 ) 成立 因为选取p = 1 ，我们有 铲= 半等= 警，k ， g 拈。1 2 0 。丙丽拈。 这样，由推论33 1 ，方程( 4 1 ) 一( 4 2 ) 的所有解都振动 注3 4 1 方程( 3 4 1 ) 有一个非振动解z ( ) = l n ( t + 4 ) ，因此，方程 ( 41 ) 。( 42 ) 的振动，由脉冲引起，也就是说，对方程( 4 1 ) 加脉冲后， 脉冲对方程( 41 ) ( 4 2 ) 的振动起了重要的作用 例34 2 考虑方程 p ( t ) 一( 1 + o 8 c o s 2 7 r t ) z ( 一1 ) 】+ t 一1 z ( t 一1 ) = o ，t 1 ， ( 3 ，4 3 ) z ( 扩) ：毕茁( ) ，向：1 ，2 ， ( 3 r 4 4 ) 其中p ( t ) = 1 + o 8 c o s 27 r t ，( ，z ( 一1 ) ) = t 一1 。( 一1 ) ，q ( t ) = ，r = 1 ，以= k ：牛，选取s n = 屯扎则引理3 2 1 的条件均成立其中p = 1 ，6 = 2 ， 且o ：1 ，5 = 4 ，为了验证定理3 3 1 的条件都成立，只需验证条件( 3 3 1 ) 成立，若 g ：陋卜掣 e x p ( 胁冲) 选取椰) = 去，则 妻r ”1 g ( ) 出 色6 。b m + tj 坼，” = 霎熹e 瓜狮出 赤薹壶职华出 1三7 + 2 i 2 瓦弘岳雨2 因此，由定理33 1 。方程( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) 的所有解都振动 注3 4 2由文 2 7 定理4 ，方程( 3 4 3 ) 是振动的，因此，由上例 知，方程( 3 4 3 ) 的所有解在( 3 4 4 ) 的脉冲影响下，振动性保持不变 2 3 b s l a l l i ，o s c i l l a t i o n so fn o n l i n e a rs e c o n do r d e rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b u l l e t i no ft h ei n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c sa c a d e m i a s i n i c a ， 1 8 ( 1 9 9 0 ) ，2 3 3 2 3 8 2 4 bg z h a n ga n dj s y u o s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o nf o rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，j m a t ha n a l a p p l 1 7 2 ( 1 9 9 3 ) ，l l 2 3 2 5 t a n gxh ，z h a n gr y ，n e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，c o m p u t