三次样条插值.ppt

,总结,三次样条插值函数的误差估计,三转角算法,三弯矩算法,三次样条插值函数的概念,三次样条插值,三次样条插值,学习目标：知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。,高次插值出现龙格现象,但分段线性插值在节点处不一定光滑,但导数值不容易提取（找到）,举例：,1汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；,2木样条的来源。,三次样条插值函数的概念一、背景,数学里的样条(Spline)一词来源于它的直观几何背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。,相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较CubicSplineInterpolationLagrange,定义2.8（三次样条函数）,多项式。,，即具有连续的一阶，二阶导数。,满足下述条件：,的一个3次样条函数。,二、样条函数的定义,提出问题：,如何计算？误差估计？,问题的提法：给定数据表构造3次样条函数,满足插值条件,构造方法：S(x)应具有如下形式并且满足条件(2.42)和,(2.43),分析：,4n个待定系数:,从而S(x)共须4n个独立条件确定.,内部条件：,S和S,S在n-1个内结点连续,即满足条件(2.43),因而(2.43)给出了3(n-1)个条件；,(2.43),已有条件：,共有,个条件,要唯一确定,还必须附加2个条件,(2.42),提供了n+1个独立条件;,(边界条件)。,附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:(a)（简支边界，导致三弯矩关系式,M关系式）,特别地,(自然边界,三次自然样条);(b)(固支边界,导致三转角关系式,m关系式).,(2.44),(2.45),第3种边界条件（周期边界条件）：,为周期函数，,此时称,为周期样条函数。,这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间xi,xi+1上的表达式S(xi）(i=1,2,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。,且,定理2.8（3次样条插值函数存在唯一）,(2)给定边界条件,，则,于,存在,推导方法：,该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。,该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示。,-三次样条插值函数的二阶导数表示,三次样条插值函数可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。在力学上解释为细梁在处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用表示的算法为三弯矩算法。,2.3.2三弯矩算法,由两点拉格朗日插值可表示为,参数,对上式积分,得,再积分,得,由条件,，确定积分常数,将上式代入(2.48)得到三次样条插值函数的表达式,由上讨论可知,只要确定Mj(j=0,1,n)这n+1个值,就可定出三样条插值函数S(x)。为了确定Mj(j=0,1,n),对S(x)求导得,（2.55）,上式两边同乘以,即得方程,若记,（2.56）,所得方程可简写成,（2.58）,即,（2.57）,三弯矩方程,这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定Mi(i=0,1,n)的值还需要补充两个条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间a,b的两个端点处的边界条件来补充。,由(2.53),得,由(2.54),得,则令j=0，,令j=n，,(2)若,已知，,代入方程(2.58)，只需解n-1个方程,(3)对第三类边界条件：,两边同除以,(j=n),(j=n),(j=0),令,得,又由,三弯矩方程可写为,说明：,（1）方程组(2.59)(2.61)系数矩阵都是严格对角占优矩阵，因此方程组(2.59)(2.61有唯一解,（2）Mj在力学上为细梁在xj处截面处的弯矩,且弯矩与相邻的两个弯矩有关,故方程组(2.59)(2.61)称为三弯矩方程。Mj在数学上称为曲率。,实际上,方程组(2.59)(2.61)的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。,例2.14设在节点上，函数的值为，。试求三次样条插值函数，满足条件,解（1）利用方程组（2.56）进行求解，可知,对第一类边界条件,代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有,（）仍用方程组进行求解，不过要注意的不同。由于和已知，故可以化简得,由此解得。,将代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有,例2.15已知的函数值如下：x1245f(x)1342,在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件,解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定的方程组形如（2.60）所示，由已知边界条件,有则得求解的方程组为,根据给定数据和边界条件算出与,则得方程组,解得,又,即得S(x)在各子区间上的表达式,由式（2.51）知,S(x)在上的表达式为,代入式(2.50),将代入上式化简后得,同理S(x)在上的表达式为,S(x)在上的表达式为,故所求的三次样条插值函数S(x)在区间上的表达式为,2.3.3三转角算法,根据Hermite插值函数的唯一性和表达式可设S(x)在区间xi,xi+1(i=0,1,n-1)的表达式为,对S(x)求二次导数得,于是有,同理，考虑S(x)在xi-1,xi上的表达式，可以得到,利用条件，得,方程组(2.63)是关于的方程组,有个未知数,但只有个方程.可由(2.44)(2.46)的任一种边界条件补充两个方程。,由此可解得m1,m2,mn-1，从而得S(x)的表达式.,（2.64）,对于边界条件(2.45),两个方程则m1,m2,mn-1满足方程组,对于边界条件(2.44),可导出两个方程:,(2.65),若令,则（2.62）和（2.65）可合并成矩阵形式,（2.66）,可解出,从而得S(x)的表达式.,由(2.