（基础数学专业论文）球谱s和todasmith谱v（1）的同伦群的几族新元素.pdf

摘要 对连通有限型谱x ，l ，存在着具有滤子 cf 3 m 如c cf 2 n 十2 f 1 一十1cf o 冉= f “y ) x k 的a d a m s 谱序列 耳r ，西) 使( 1 ) d t ：霉，。- 霉卅- 1 是谱序列的微分，( 2 ) g 具有性质：鹾。型f z 穿( 日+ x ，日+ y ) 并且收敛到f 。5 y 7x p ，即霹。掣 e z t 岔( 日+ x ，打+ y ) = 与 。3y x 】p ，当】，是球谱s 时，则上式变成了霹。竺 e z t 岔( 日+ x ，昂) = 与( 7 r h x ) p 当x 是球谱s ，m o o r e 谱m ，t o d a s m i t h 谱v ( 1 ) ， v ( 2 ) 谱时，( 7 r t - - s x ) v 就分别是s ，尬y ( 1 ) ，v ( 2 ) 的同伦群的p 局部，因此可利 用a d a m s 谱序列来发现球面稳定同伦群和t o d a - s m i t h 谱的同伦群的新元素。 在利用a d a m s 谱序列求解同伦群的过程，需要计算有关e z t l 。( 日+ x ，日y ) 的结 果本文是利用谱的上纤维序列导出的e x t 群的正合序列和m a y 谱序列得出 e 。圪。( 打+ x ，h + y ) 的某些结果。 在第一章里，当p 7 ，n 3 时，由于0 1 0 t 1 = 0 ，根据上纤维序列 9 1 s 与s l 3 9 s 知o t l k e r ( a 1 ) + ，所以存在 e 2 q s ，上4 使得o q = j ”庐因为h o b 。 7 r p n q + 口k g 2 1 1 e z z 夤”“9 + 4 ( z ；，z ；) ， o h 。】= ( “1 ) + ( 。) = ( j ) + ( 。) = ( j “) + + ( 。) ， 则咖+ ( k ) e z t j 矿时2 。( 日+ 上，磊) 并由d i 循环c h 。7 f p n 叶2 口k g 2 al 表示，进而 可找到一个永久循环 ( h 。) ”= 醒( k ) e 。t 穿”4 + 2 9 1 ( h + l a k ，h + k ) 它在a d a m s 谱序列中收敛到 p “q + 2 口一k ，lak 的一个非零元素，由a d a m s 谱 序列知：存在碟，2 f 9 ”卅如1 k ，e 2a la k 】使得( 瓦a 1 l n k ) 坛2 = ( k ) ”令 冀 硝= 回a 1 l ) 喘又由c i i j j = 一j n 7 得 n 巧j 7 j ，y 3 i 0 ”al 耳) 磷卢z 7 i = 0 因此存在 ， e p “叶( 3 p 2 + 3 p + 4 ) 口一5 只删 使得 0 i j j j 1 3 i t 尹at k 、暖8 i f i 其中，由e x t 6 ，p ”q + 3 r 2 口+ 珈+ 幻+ 1 ( 日+ e 磊) 中的某个元z 表示，即得到了 的一个具有第六滤子的非零元， 在第二章，利用f 6 j 中关于e z 参( 磊，磊) 的一个估计( p 为由r o o dps t e e n r o d 代数a 的所有循环缩减幂p i ( i 0 ) 生成的子代数) 得出 e z t 茅r , 3 p 2 q + q 2 r ：l ( 好+ y ( 2 ) ，弓) = o ，j k t 擎3 p 2 q + p q + 2 q 士r 千1 ( 扫+ 矿( 2 ) ，忍) ：0 并由此得出当p 2 1 1 时， 0 h o ( 6 1 ) 3 刀# t 孟3 p 2 升9 ( 甘y ( 2 ) ，磊) 和 0 ( 6 1 ) 3 9 0 e 。t 盖印2 q + p q 2 q ( h + y ( 2 ) ，磊) 在a d a m s 谱序列中收敛到”+ v ( 2 ) 的非零元素。在p 1 1 ，0s5 r + 1 时，由同伦双角锥同构e ：7 r ，( x ) _ 7 r r + 1 ( s x ) 知：”。+ ，( ) 竺g n + r + l ( s “+ 1 ) ，我们称十，( 铲) 为球面的r 柄同伦群【1 令s 表 示球谱，则研( s ) 就是上述r 柄同伦群，简记为”； s e r r ej p 已证明了”；( r 0 ) 是有限群，因此它的p 局部化丌r ( s ) p = p7 r i 就是它的p 分量群”+ ( s ) ，的计算是代数拓扑学的中心问题之一，计算它利用 的工具主要有经典的a d a m s 谱序列( 彤r ，d ) ，其中 霹。竺曰z t 奢( 召，磊) 号7 r t 一。( s ) p 和广义的a d a m s 谱序列 噬。羔e z t 刍k 且p ( b 只，b r ) = 7 r 一。( s ) p 对连通有限型谱x ，y ，存在着具有滤子 cf 5r 叶。c cf 2 ，叶2cf 1 ，“+ 1c f o 一= ”x 】p 的a d a m s 谱序列 群r ，d t ) 使( 1 ) 由：霉，- 霹扣抖”1 是谱序列的微分，( 2 ) 鹾。具有性质：霹。竺e z 髫( h + x ，h + y ) 并且收敛到 e t - s 硼，即磁，笺 e z t 岔( h + x ，日+ y ) = 与 “8y ，x 】p ，当y 是球谱s 时，则上式变成了鹾2 笺 眈科( 日+ x ，弓) = 与( 7 1 - t 一。x ) p 当x 是球谱s ，m o o r e 谱m ，t o d a - s m i t h 谱v ( 1 ) ， v ( 2 ) 谱时，( 7 i t - - s x ) p 就分别是s ，m ，y ( 1 ) ，v ( 2 ) 的同伦群的p 局部，因此可利 用a d a m s 谱序列来发现球面稳定同伦群和t o d a s m i t h 谱的同伦群的新元素。 在利用a d a m s 谱序列求解同伦群的过程，需要计算有关e 叠t 岔( 日4 x ，丑+ y ) 的结 果本文是利用谱的上纤维序列导出的e x t 群的正合序列和m a y 谱序列得出 e z t 奢旧x ，日+ y ) 的某些结果。 9 几十年来，许多学者从事此课题的研究，并取得了许多重要的结果。其中 如：l i u l e v i c i u s ，t a i k a w a ，r c o h e n ，so k a ，h r m i l l e r ，d cr a v e n e l ，h t o d a ，s h i m o m u r a ，周学光、林金坤、王向军和郑弃冰等等。 l i u l e v i c i u s 6 】在1 9 6 2 年描述了e z t j 4 ( 磊，弓) 计算结果，它具有弓基 a o e z t 二1 ( 磊，耳) ，e x t l 彳p q ( 昂，磊) 其中i o 6 】中也给出了e z t j + ( 磊，耳) 的计算结果，它的乙基是 a 2 e z z 身2 9 + 1 ( 昂，耳) ，a 0 2 f $ t 夤2 ( 磊，犀) ，a o h i 0 o ) 四z t 鲁矿9 + 1 ( 磊，磊) 吼( z o ) e z 穿”1 9 + 2 矿9 ( 磊，磊) ，k 。“o ) e x t 2 a , 2 p “1 q + p 1 9 ( 弓，昂) 良( i o ) e x t 2 a , p i + l q ( 弓，弓) ，h 。h j 0 i + 2 ，i o ) e x t 身p g + 矿9 ( 耳，磊) 其中q = 2 ( p 一1 ) 1 9 8 0 年，a i k a w a 在( 7 l 中给出了e z t 盖+ ( 乙，) 的计算结果，其具有基 ； ，h 女，丘b ，h 。；2 l ，h j ，- ， ，g i 等等，具体的见【7 p 1 1 0 中的表8 1 ，其中元就是 6 】中的b i 1 9 9 8 年在 4 】中，当p 7 ，n 4 日寸 林金坤和郑弃冰找到了”+ 矿( 1 ) 中 的新元素，其在a d a m s 谱序列鼋项中的表示为b n - 1 9 0 ，以此为基础找到了 ” 矿+ 3 p 2 + 3 p - 3 ) q 一7 s 中的一个新元素，其在a d a m s 谱序列中e 项的表示为 6 n l g o 3 2 0 0 1 年在f 2 2 中林金坤教授证明了当p 5 ，n 3 时， ”( p n + p ) 口一3 s ( 其中 q = 2 ( p 一1 ) ) 具有p 阶和第三滤子的非零元素族的存在，并在a d a m s 谱序列中 的霹矿。+ 4 皇e z 夤矿g + 4 ( 弓，召) 的表示为幻k + 1 b 。此元素的发现是得益 于m o o r e 谱m 的一个非零元素靠即叶，。2 m ，进而可得到球面稳定同伦群 唧n 口+ p 口一3 s 的非零元素j 岛 2 0 0 2 年，在 8 中林金坤教授证明了h g o e 。t 盖”9 + 9 + 2 。旧+ k ，忍) ，在a s s 中收敛到唧n q + 2 q + p q 3 k 的一个非零同伦元素。利用与舶的y r m e d a 乘积得到 1 n k 踟0 l 知t 4 + 3 铲什1 硪岛，鄞程a s s 中收敛潮。口+ 3 仰+ j ) g 6 s 酶个 p 阶非零同伦元素。本文是受到这些结果的启发，樽到了一些缩果。 第一章熙，当p 7 ，札3 时，由予m m = o ，根搬上纤维序列 嚣p 一1 s 马s 马二e q s 知。i 奇e r ( n 1 ) + ，所以存在庐【鬈2 q s ，l 】使襻。1 = j 毋因为h o h 。薯 孙一一目k g 2 黛执劈“叶9 ( 磊，舀) ， h o h 。j 一( a 1 ) + ( ) * ( ，卿，( ) 一( 一+ 也( k ) ， 瓣蟊 k 毒童嘘矿晕= 2 4 f 辩l ，弓；著交菇循殍垂颤“妒辨2 q k g 2al 表示，遵蕊 可找到一个永久循环 f 番& ”= ) 7e 霹z 擎”4 + 趣一1 啜+ la 甄h 4 显) 它在a d a m s 谱序列中收缴劐 舻4 叶2 口一3 尉，正ak 的个非零元索，融a d a m s 谱 序刿知：襻农暖，2 矽“卅砷1 噩勋al a 羽使得( 酶a1 l 并) 碳。2 一( 妒 。) ，令 暖= 函醯 l 脯) m 又交8 毋，= 一j 岔褥 c d j j j 7 3 i ( j 7a1 k ) n z i i = 0 麓筵存在 ，瞄矿g + c 3 矿+ 劫+ 4 ) 口一5 s 】 傻碍 0 霹j 蠢吒b 。a t k 曦8 t ；= 其中，由e x t s , p ”d + 3 p + 3 p q + 4 9 + 1 ( 打+ k ，蜀) 中的某个元掣表示，即得到了 n 对3 妒卸越 g 一5 菇 的一个具有搽六滤子的非零元，。 第二章，利用 6 i 中关于_ g z t ( 耳，昂) 的一个估计( p 为由r o o dp s t e e n r o d 代数a 的所有循环缩减幂p i i 0 ) 生成的子代数) 得出 e x t t a 2 r ，3 p 2 q + q i r 千1 ( 日矿( 2 ) ，弓) = o ，e z t 茅7 ，印2 9 + 9 + 2 叮士r 7 1 ( 日+ 矿( 2 ) ，弓) = 0 并由此得出当p 1 1 时。 0 h o ( 6 1 ) 3 e x t l 3 p 2 9 + 9 ( 日+ y ( 2 ) ，彩) 和 0 ( 6 1 ) 3 9 0 e x t 3 p 2 q + q + 2 q ( h 4 y ( 2 ) ，磊) 在a d a m s 谱序列中收敛到”。y ( 2 ) 的非零元素。在p 1 1 ，0ss ( p 时以下乘积 0 ( b 1 ) 3 9 0 儡e x t s a + 5 ，( 5 + 3 ) p 2 9 十3 9 + 5 9 + ( 5 3 ) ( 召，4 ) 0 h o ( b 1 ) 3 幅e x t j + 5 ，( ”3 ) p 2 卧( “) 口+ ( “) 9 + 5 3 ( 召，磊) 在a d a m s 谱序列中不是d r ( r 22 ) 边缘，并由此得出，h o ( b 1 ) 3 恍，( b 1 ) 3 s o g 在a d a m s 谱序列中收敛到，r 。s 的非零元，其中悦e x t 2 9 2 。+ ( 5 1 ) 9 + ( 5 2 ) 。+ 5 3 ( 磊，易) 已 知收敛至u ，h = j j j 7 s i i i 7 r + s 。 1 2 第一章t o d a - s m i t h 谱v ( 1 ) 的同伦群的具有第六滤子的一族新元素 本章第一节简述了稳定同伦群方面的研究进展，列举了从1 9 5 0 - 2 0 0 2 年的一 些结果，第二节给出了一些重要的上纤维序列和极小a d a m s 分解，他们的应用 几乎贯穿于整章证明之中，第三节给出了一些重要的e x t 群的某些结果和m 模 谱映射之间的导数，这两个工具在第四节的证明中显得很重要。a d a m s 谱序列 是求解球面稳定同伦群、m o o r e 谱m 、t o d a - s m i t h 谱v ( 1 ) ( 简记为k ) 的稳定 同伦群的重要工具之一。第四节则是利用a d a m s 谱序列和低维e x t 群的有关结 果，确定了一个永久循环 ( 曲 。) ”= 咖：( 。) e x t j p “9 + 2 。一1 ( 。h + lak ，h + k ) 并且收敛到【矿口十2 口k ，三 k 】，进而找到了t o d a - s m i t h 谱k 的稳定同伦群 n 叶3 ( p z + p + 1 ) 口一5 k 中的一个非零元素，使其在a s s 中具有第六滤子，其中p 7n3 第一节球面稳定同伦群的研究进展 设伊为n 维球面，当n r + l 时，由同伦双角锥同构e ：n r ( x ) _ 7 r ，+ 1 ( s x ) 知：，( s “) 型7 ( n 十r + 1 ( 驴+ 1 ) ，我们称丌n + ，( 扩) 为球面的r 柄同伦群【l l 令s 表 1 3 示球谱，则w ( s ) 就是上述r 柄同伦群，简记为”； s e r r ej p 已证明了畔( r 0 ) 是有限群，因此它的p 局部化坼( s ) p = p ”；就 是它的p 分量群”+ ( s ) ，的计算是代数拓扑学的中心问题之一，计算它利用的 工具主要有经典的a d a m s 谱序列 酵r ，西) ，其中 鹾型e 钒岔( 匆，磊) 辛毗。( s ) p 和广义的a d a m s 谱序列 鹾一竺e 茁2 西st p _ b 只( b 只，b 只) 兮t ：t - - s ( s ) p 几十年来，许多学者从事此课题的研究，并取得了许多重要的结果。其中 如：l i u l e v i c i u s ，t a i k a w a ，r c o h e n ，s o k a ，h r m i l l e r ，d g r a v e n e l ，h t o d a ，s h i m o m u r a ，周学光、林金坤、王向军和郑弃冰等等。 l i u l e v i c i u s 【6 】在1 9 6 2 年描述了e z t _ + ( 耳，召) 计算结果，它具有匆基 o o e 。t 盖1 ( 昂，昂) ，h i e x t l a “v q ( z p ，磊) 其中i o 6 中也给出了b z t j + ( z p ，名) 的计算结果，它的乙基是 0 1 2 e 州身2 9 + 1 ( 磊，弓) ，0 2 e 科者2 ( 昂，磊) ，a o h i ( i o ) e x t 2 a , p 1 9 + 1 ( 磊，磊) 吼0 o ) e x t 身p 叶2 p l q ( 磊，昂) ，“o ) 曰z t j 2 矿“9 + 1 9 ( 耳，弓) b i ( i o ) e x t 孟p ”1 。( 昂，磊) ，h 。h j ( j i + 2 ，i o ) 曰z t j 矿。+ 矿9 ( 弓，弓) 其中q = 2 ( p 一1 ) 1 9 8 0 年a i k a w a 在 7 1 中给出了四州盖+ ( 匆，弓) 的计算结果，其具有磊基 h i h j h k ，元 j ，峨列2 ， ，g i 等等，具体的见 7 p 1 1 0 中的表8 1 ，其中元就是 6 中的b i 1 9 8 1 年，在【2 0 】中r c o h e n 在1 9 8 1 年给出了，对每个21 ，h o a k ( a t 是【6 中 的b k ) 在a d a m s 谱序列中收敛到玩。，并且代表着球面稳定同伦群的p 阶元素 靠。 1 4 1 9 8 4 年，在( 9 中s o k a 利用环谱虬的自映射来构造出球面稳定同伦群的 周期性元素族o ：g m 一m ，卢：p 叶q k 斗k 7 ：z 2 ( v 3 _ 1 ) y ( 2 ) 斗y ( 2 ) 1 9 8 9 年，在 2 3 中周学光先生利用有序上链复形等工具获得了更多的上同调 运算，以此为基础获得了更多的球面稳定同伦群的元素，证明了q 2 ，q 3 ，( 1 ，2 ， 和p 的某种t o d a 第二积，卢1 ，岛，”2 ，1 ，( 2 ，0 1 的某种积均是非零的，代 表球面稳定同伦群的非零元素，它们是( a r ) 和卢；1 卢1 i ，k 2 k 3 n ；4 0 ”+ s ， 1 9 9 8 年林金坤和郑弃冰在【4 j 中，当p 7 ，n24 时，找到了7 1 - , v ( 1 ) 中 的新元素，其在a d a m s 谱序列霹项中的表示为k z g o ，以此为基础找到了 ”佃n + 3 p 2 + 3 p + 3 ) 口一7 s 中的一个新元素，其在a d a m s 谱序列中g 项的表示为b n - 1 9 0 7 3 1 9 9 8 年在 3 l j 中，王向军和郑弃冰证明了，当p 5 ，2ss p 一1 ，k 2 ，时， 反b k 收敛到如。，当p 7 ，3 冬s 茎p 1 ，k 3 时 r h o b k 收敛到风。 2 0 0 1 年，在 2 2 中林金坤教授证明了当p 5 ，n 3 时，”护+ p ) q - 3 5 l ( 其中 q = 2 巾一1 ) ) 具有p 阶和第三滤子的非零元素族的存在，并在a d a m s 谱序列中 的霹矿9 + 9 。兰e z t 擎”4 + p 9 ( 昂，耳) 的表示为6 0 h 。+ 1 k l 2 0 0 2 年，在f 8 】中林金坤教授证明了h n g o e z t j 矿。+ 9 叶2 9 ( 口4 k ，弓) ，在a s s 中收敛到唧n q + 2 什p g 一3 的一个非零同伦元素。利用与7 3 的y u n e d a 乘积得到 h n g o v 3 0 e x t 置p n q + 3 归2 十p + 1 9 昂，昂在a s s 中收敛到。g + 3 2 押+ i ) 目一6 s 的一个 p 阶非零同伦元素。 从这些结果可以看出m o o r e 谱和t o d a - s m i t h 谱的同伦群和球面稳定同伦群 联系非常紧密，本文正是从这个意义出发，找到了n 。+ 3 扩+ p + 1 ) 口一5 v ( 1 ) 的一族 新元素，由此可望导出w + s 的新元素。 1 5 第二节上纤维序列和极小a d a m s 分解 设m 是m o o r e 谱，是拓扑度是p 的映射p ：s _ s 的上纤维，由下面的上 纤维序列得出，其中p 2 ( 1 2 1 ) s 与s 与m 与e s 而t o d a - s m i t h 谱v ( 1 ) ( 简记为k ) 由以下上纤维序列给出，其中3 ) ， a ：q m - m 是a d a m s 映射。 ( 1 2 2 ) z q m 与m 与m 与e q + 1 m 谱v ( 2 ) 是映射卢的上纤维，由以下的上纤维序列得出，其中p 之5 ，卢为v 2 周 期性元素( 第二周期元素) 并具有滤子1 ( 12 3 )瑚十9 y ( 1 ) 鸟y ( 1 ) jy ( 2 ) 与e p q + q + 1 y ( 1 ) 谱y ( 3 ) 是映射7 的上纤维，由以下的上纤维序列得出( p 7 ) ，其中7 是”3 周期性元素( 第三周期性元素) ( 1 2 4 )e 2 ( p a - - 1 ) y ( 2 ) jy ( 2 ) 马y ( 3 ) 3 2 p 31 y ( 2 ) 令a 1 = j a i ，则有( o t l ) 2 = j a i j a i = 0 由上纤维序列 ( 1 2 5 ) 口一1 s 马s sl g e q s 知“1 k e r ( a 1 ) ，而k e r ( a 1 ) ，= i m y ，所以存在 2 日s ，纠，使得d l = 广晚 其中曲：z 2 q 一1 s _ l 使得0 1 ：2 口一1 s _ g s 为以下的合成： 2 q1 s 乌上骂z q s 设4 为r o o dps t e e n r o d 代数，s 为球谱的奇素数p 局部，a 的1 维上 同调具有基元h ，其次数是节( p 一1 ) ，( i 0 ) 和n o 其次数是1 。 1 6 由 4 】p 1 9 3 ， 1 0 p 1 8 0 球谱s 的极小a d a m s 分解如下： 马e 一2 眈马e e 1 马s 土b 2上6 l上6 0 e k g 2一1 k g lk g o = k z p 且满足 ( 1 ) 甄与k g 。乌b e + 粤甄对任意s 0 是上纤维序列，并且诱导出上 同调的短正合序列： 一 一十 0 _ + h + 甄+ 1 粤h + k g ，粤h + 鼠叶0 ( 2 ) k g s 是e i l e n b e r g m a c l a n e 型谱昂的w e d g e 积 ( 3 ) 7 1 - t k g 。是a d a m s 谱序列的f 项，且( 瓦岛一1 ) + ：钆g ，1 矗吼k g 。是 a s s 中的d l 微分且v t k g 。兰口t 岔( 辱，弓) 因为h o l t 。丌p n 口+ 口k g 2 竺e z t 身矿4 + 。( ，匆) ， h o b 。 - ( 。1 ) + ( 。) = ( j ”) + ( k ) = ( j ，仉机( 。) ，则( 。) e x t 2 a p “叮+ 2 9 ( 日+ l ，昂) ，并且机( k ) 由d l 循环 咖 n 7 r p n 口+ 2 口k g 2a l 表示即：睁h 。 = 机( k ) 注意：这里的西 。不是映射的乘积，而是一个记号是机( h 。) 的代表元。 在上面的一些理论准备的基础上，给出了本章的主要结果： 定理1 4 6 设p 7 ，n 3 存在t o d a s m i t h 谱v ( 1 ) 的同伦群 7 ( p n q + ( 3 p 2 + 3 卅4 ) q 一5 中的非零元，使得它在a d a m s 谱序列中具有第六滤子，并由某个 。e x t 鲁p “g + ( 3 p 2 + 聃4 ) 4 + 1 ( 日+ k ，名) 所表示，且$ 满足t z 0 e x t 擎”口+ ( 3 p 2 + 3 p + 4 ) 叶1 旧+ y ( 2 ) ，磊) 此定理的证明主要依据一个重要的引理： 弓f j 理1 4 4令p25 ，n23 ，( 西 。) ”= 咖：( 。) e 茹z j p ”9 + 2 9 1 ( 。h + lak ，日+ k ) 是永久循环，并收敛到 矿，+ 2 q k ，l k 】中的非零元素。 1 7 在此引理的证明过程中，有两个：亡具起了很大的作用，它们是：m 模谱之 间的映射的导数和低维的e x t 群的计算。 第三节m 模谱之间的导数及低维e x t 群 在主要的结论证明中m 模谱之间的映射的导数起了很大的作用由 2 p 2 0 4 2 0 6 知m o o r e 谱是一个交换环谱，其乘法为m m ：mam 斗m 且存在而m e m - 吖 m 使得 m m ( i 1 m ) = 1 m ，( j 1 m ) m m = 1 m m m m m = 0 ，”m 0 1 m ) + ( i m ) m m = 1 m m 并且存在着一个交换映射t ：m a m 。m a m 使得 m m t = 一”m ，t r a m = ”m m m ( 1 m i ) = 一1 m ，( 1 m j ) m m = 1 m 一个潜x 称为一个m 模谱，若p a l x = 0 x ，x 。因此上纤维序列 x ! 弩x 避m a x 磐e x 分裂，即存在着同伦等价 m x = xv x 因而存在着映射( 它们是模作用) m x ：m a x _ x ，”x ：e x _ m a x 1 8 具有和m o o r e 谱类似的性质，即满足 m x ( i a i x ) = 1 x ，( ja 1 x ) r a x = 1 x r 1 1 x t r t x = 0 ，m x 0 l x ) + ( i 1 x ) m m = 1 m 上 m 模作用x ：m ax 寸盖，疬x ：e x _ m a x 称为结合的，若存在着如下交 换律： r 1 2 x ( 1 ma x ) = r e x ( r a mai x ) ，( 1 ma r e x ) r e x = ( m mal x ) 而x 若x ，x 为两个m 模谱，那么我们可以定义一个同态d d ： 5 x i , x 】- + 5 + 1 x ，x 为：对任意f e 3 x i , x 】，定义d ( ，) = m x ( 1 ma f ) m x ，则此同态d 称为m 模 谱之间映射的导数，并且具有以下性质： 命题1 31 ( 2 i f 2 1 0 定理2 2 ) ( 1 ) 若x ，肖，x ”是m 模谱，对任意 f ( e 8 x7 ，x 】，g e x ”，x ， 有d ( f g ) = f d ( g ) + ( 一1 ) l g l d ( f ) g ，即d 是导数。 ( 2 ) 令w 7 ，w 为任意谱且h f e w ，w ，那么对f 隅5 x 7 ，x j 有d ( h a f ) = ( 一1 ) 胁i had ( ，) ( 3 ) d 2 = 0 ：f e 8 x ，x _ + ( 5 + 2 x ，x ，其中x ，x 是可结合的m 模谱。 由【2 】p2 1 7k 是一个m 模谱，存在的m 模作用记为m ：kam _ k ，而：e k _ k a m 满足如下性质： m k ( 1 ka i ) = 1 k ，( 1 9a j ) m k = 1 k e f 而= 0 ，( 1 za i ) m k 十( 1 ka j ) m k = 1 k m 而且由 2 p 2 1 8 ( 3 7 ) 知 d ( i j ) = 0 ，d ( ) = 0 ，d ( i 7 ) = 0 ，d ( j ) = 0 下面的命题是【3 】中的定理i ( c ) 的推广。 1 9 命题1 32 1 8 令kv 足任意谱，那么存在如下的直和分解 + v m ，x a m 】= ( k e r d ) o ( 1 v ，a i j ) k e r d 其中k e r d = f + v a m ，v 7 m 】n ( k e r d ) 命题1 3 3 i s 令x ，k y 和y ”为任意谱，并且g ：v - v ，g ：v _ y 为映 射，若 i v ”a m , x a 删9 驾) i v ，a m ，x 删9 驾+ y m ，xa 删 是正合序列，则 k e r d n v ”a m ，x 卅9 7 掣+ k e r d n v a m ，x a m 9 驾+ k e r d n v a m , x a m 是正合序列，其中d 定义在相应的群上。 令k 是j j ：。k 寸z q + 1 s 的上纤维，由下面的上纤维序列给出： ( 1 3 1 ) e - i k 堕；z q + l s 与k 与k 由稳定同伦范畴中的3 3 引理( 1 2 1 p 2 9 2 2 9 3 ) 口s一一寸m一一与k i f 夕 夕z g m 酊 j ，。j z7 、y 一i k一z q + l s 一一、 e q + l s 得耳7 也是o i ：z q s _ s 的上纤维，由上纤维序列 ( 1 32 ) e q s 与m 与耳7 与口+ 1 s 给出，并且我们可得出另外一个上纤维序列 ( 1 3 3 ) z - a k 蟛 e m 粤k a m 与k 它具有关系( 参考【4 】( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) ) ( 1 3 4 )( 1 k ，a j ) 妒= u ，p ( 1 k ，a i ) = z 2 0 因为( 1 ， j ) ( 1 m ) 而m = ( 1 m j ) 衔m = v l m = ( 1 ，a j ) 妒因此存在 o - 肘，k 】使得 ( a 1 m ) 砥t = 妒+ ( 1 k ， i ) 口 又因为 m ，m 】_ 0 ， m ，叶1 s l = 0 ，则 m ，k = 0 ，因此有 ( 1 3 5 )( a 1 m ) 而吖= 妒 对方程( 1 3 5 ) 两边取d ，则有d ( 扣a1 m ) 而m ) = d ( 砂) 由于a ( v a1 m ) m m = a d ( 1 m ) = 0 且d ( 而) m 2 ，ma m 】兰 2 m 十 e m ， 卅= 0 ，所以d ( 妒) = 0 因为m b a l m ) ( 1 ，a i ) = m k ( 1 k a i ) = z = p ( 1 k ， i ) ，因此存在6 k ，k 】 使得m 扛al m ) = p + j ( 1 ，a j ) 但是由于【m ，k 】_ 0 ， e 口+ 2 s ，吲= 0 ，( 参考 2 定理5 2 ) ，所以有p = 扣a1 ) ，又因为d 扛a1 m ) = 。ad ( 1 m ) = 0 ，( 因 为命题1 3 1 中的( 2 ) ) 且d ( m u ) a m ，明兰 k k 】+ 2 k ，k = 0 ( 参 考 2 】2 定理1 3 6 ) ，所以d ( p ) = 0 这样在不考虑符号的情况下，我们得到 ( 1 3 6 ) p = m k ( x a1 m ) ，d ( p ) = 0 ( 口a 1 m ) 而m = 妒，d i 妒) = 0 令= 妒 1 【2 q k ，la ，其中咖 2 q1 s 捌，则存在庐， 盯 2 9 一1 k ，工ak 7 am 】使得( 1 la p ) 庐7 k ，肘= 且d ( ，n m ) = 0 ，即如下的命题 1 34 。 命题1 3 4 存在， m 2 口k ，三ak m 】使得( 1 l p ) k ， m = 且 d ( k ， m ) = 0 。 证明：因为，o l = d 1 0 1 = 0 ，又由上纤维序列 0 2 5 1 e q - 1 s 马s sl 骘9 s 得咖d 1 i ：7 r 3 。一2 s = 0 ，所以妒n 1 = 0 ，贝4 0 = ( 曲a 1 m ) 陋1a 1 m ) j = ( a 1 m ) ( i j o n i j ) j ( 由于0 1a 1 m = 甜。一。行) = ( 咖aa m ) 。i j j 7 = ( 1 la a 巧j ，) ( 庐a 1 k ) 2 1 即( 1 la n 咖) = 0 又上纤维序列 则存在着 f 1 3 3 ) e - 1 k ! 掣e m 粤k 7 a m 与k k ， 埘( 2 9 k ，la k 7 a m 使得( 1 lap ) ， 吖= 毋7 对方程( 1 l p ) ， m = 两边取d ，有 ( 1 lap ) d ( k ， m ) + ( 一1 ) l 。k ，n , 2 d ( 1 lap ) k ， m = 0 又由于d ( 1 la p ) = ( 一1 ) f 1 l t l la d ( p ) = 0 所以有 ( i la p ) d ( 妒， 吖) = 0 由上纤维序列 一1 掣e m 与k ，a m 与k 知存在口【2 9 k ，l a 卅使得 d 坛， = ( 1 l a 妒) 口 我们断言口 e 2 q k ，l a m 】：0 ( 后面补证) 。这样就有d ( n ，m ) = 0 下面我们补证这个断言o - e 2 q k ，l m = o 由【2 】知 e + m ，m 】在次 数小于一1 ) q 时，由l m ，t 丘o l 生成。 因此 3 q m ，m 笺磊 n 3 ) ，【2 9 1 m ，m 竺忍 巧0 2 ，o l 2 2 j ) 考察一下由上纤维序列 诱导出的正合序列 e q m 3 m 与m 参e q + t m _ 抽m ，m 】驾【2 q m ，m s z 2 q - 1 m ，m s 如m ，m _ 2 2 由于唧一0 ，戴有i m 尹一0 若矿( 1 巧n 2 + a 2 0 2 i j ) 一0 ，则有a 1 甜n 3 + a 2 n 2 i j a * 0 此方程两边在左侧复台 上j 蘩有j 赴睡2 巧8 = 8 ，褥越= o ，遂掰褥a i = o ，静a l = 岛= 8 掰辍k e r 矿= 0 ， 这样i mi “* 0 ，所瑷中间的群f 匈。k ，m 】= 0 由f 2 2 1 p 4 8 5 弼f e 妒1 k ，m 净0 考察如1 下的正合序列 呻i | 砑一1 k , m i 尘霉疑一1 k , l m 1 。? 垒弩。 z e - i k , m 1 峙 由于两边的群为零，则中间的群为零。蹦此口f 2 口，l a 删= 0 。证毕。 令嚣1 3 5 强掰霉，一( 1 a 蛹乒a1 m ， 证明由t2 l 知f e 4 m ，m 】在次数小于傍一i ) 目时，出1 m ，舒，班生成。嘲 l 2 q 一2 m ，m 】型易 n i j i j 一忍 i j a i j a ) 一昂 巧a 2 巧) ， 又f o f ia l m ) 一i j e , 一。好，嬲 所潋 考察由上纤维序列 鼯凄酶正合黪巍 o ，j 0 ) o p ( b i j l i o ，j 0 ) o p ( a d i 0 ) 其中e ( ) 表示外代数，p ( ) 表示多项式代数，而且h 幻e ：, 2 ( p i - 1 ) p 1 , 2 i - 1b 。 科, 2 ( p i1 矿”，2 1 - 1 ) ，n 。日，2 p 。1 西” 若令h 霹。“口+ 3 p 2 口+ 印叶3 a 为生成元，则由次数关系可看出h 中含有一个h ，。 或者b i 1 若h 中含有h 1 ，。因子，令h 为h 去掉h l m 后的形式则h 7 霹，3 p 2 目+ 2 p q + 3 ” 若令s d i m ( ) 为h 的第二个次数，f d i m 为h 的第一个次数，则有 s d i m ( h 3 ，o ) = p 2 + p q + q ，s d i m ( h 1 ，2 ) = p 2 q s d i m ( h 2 ，1 ) = p 2 q + p q ，s d i m ( b 1 ，1 ) = p 2 q 又由于f d i m ( h ) = 4 ，则3 p 2 q ，3 q 的分配只能是如下的形式： p 2 q + ( ) + qp 2 q + ( ) + q p 2 q 十( ) + qp 2 q + ( ) + q p 2 q + ( ) + qp 2 q + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( )( ) + ( ) + q 其中( ) 表示有加项或者为零即3 p 2 q + 2 p q + 3 q = ( p 2 q + q ) + 加2 q + q ) + ( p 2 q + q ) 或3 p 2 q + 2 p q + 3 q = 2 q + q ) - 4 - 加2 q + q ) 十( p 2 q ) 十( q ) ，不论如何分配都至少有 ( p 2 q 十q ) 十( p 2 q 十q ) ，而满足这种形式的元只有h 3 ”但是磕o = 0 所以这种h 是不存在的，那么含有h ，。的生成元h 是不存在的 若h 具有因子b l 。一1 则h 去掉b l 一1 因子后的形式，设为h ”则h ” e 。3 ，3 p 2 + 2 p q + 3 口，同理由s d i m ( h ”) = 3 p 2 q + 2 p q + 3 q ，f d i m ( h ) = 3 知：3 p 2 q + 2 p q + 3 q 只能按如下分配3 p 2 q 十2 p q 十3 q = 0 2 q + p q + q ) + 2 q + p q + q ) + 2 q + q ) 而满 足这种形式的元只有 a ，。，但是磕o = 0 ，所以这种h ”是不存在的，那么含有 b 1 一，的生成元h 是不存在的 4 7 因此具有矿口次数的因子h i , n , b l ，。一1 不可能存在于研4 ”口+ 3 p 2 口+ 2 p q + 3 9 的生成 元中，所以在霹，矿口+ 却2 9 + 2 p q + 曲没有生成元，则在m a y 谱序列中研, p n q + 3 p 2 q + 2 p q + 3 q ： 0 ，收敛到0 ，所以左边的群 e z t 宁“9 + ( 3 2 + 2 卅3 ) 9 ( 磊，磊) ：0 由于 p n q + ( 却) 2 + 2 p + 3 ) q 一1 ；一1 ( r a o dq ) 故由【4 】1 8 5 命题2 1 ( 3 ) 知，群e z t 盖p n q + ( 3 p 2 + 2 p + 3 ) q - i ( 昂，昂) 为0 再利用正合序列，由两边的群为0 ，则中间的群为零因为 p n q + ( 3 p 2 十助+ 3 ) q q 一1 ；一l ( m o dg ) p n q + ( 3 p 2 + 2 p + 3 ) q q 一2 ；一2 ( r o o d 口) 同样由【4 】1 8 5 命题2 1 ( 3 ) 知，群 四$ p “g 十( 3 p 2 + 印十3 ) q - - q - - i ( 弓，) ：0 ( i ：1 ，2 ) 再考察由( 1 2 1 ) 导出的e x t 群的正合序列为，其中t = p “q 十( 印2 十印+ 3 ) 口： _ e z t 置。9 _ 1 ( 磊，名) 马e x t ；“9 - 1 ( 耳，4 ) 马曰。t 鲁一9 。( 弓，磊) _ 由于两边的群为零，则中间的群也为零 由( 1 2 2 ) 导出的群的正合序列为： _ e x t 5 , ( 日+ m ，弓) 与e 。t 掣( h + k ，弓) 乌眈t 盖t - - q - - 1 ( 口+ m ，磊) 斗 由于两边的群为零，则中间的群也为零 因此知 z f l , e x t 5 , p “g + 却2 q + 2 p q + 3 q ( 日+ k ，召) ：0 这样由i j j j 7 3 i ( ，a1 k ) 碳卢t i = j ，知乱( 。9 0 7 3 ) = 0 ，而这与命题1 4 5 矛盾， 故l x 0 证毕 4 8 第二章球面稳定同伦群的两族新 元素h o ( b 1 ) 3 懦和( 6 1 ) 3 9 0 倪 本章在第一节中给出了m a y 谱序列研 “项的某些结果，第二节中利用第一 节的结果和四z t ( 磊，z p ) 的一个估计证明了 o ( 6 1 ) 3 ，( 6 1 ) 3 9 0 e z t 盖+ 旧+ y ( 2 ) ，昂) 和 o ( 6 1 ) 3 7 - , ，( 6 1 ) 3 9 0 5 e z t ：c + ( 乙，) ( 3 s p 一1 )