（基础数学专业论文）无界区域上奇异plaplacian方程的多解性问题.pdf

无界区域上奇异p l a p l a c i a n 方程的多解性问题 摘要 摘要 本文中我们讨论下述奇异拟线性椭圆方程： ( p a ) - a p u = m 旷圳z mz z e 勰r o , ， 这里q ：= r p ，0 为r ( n 3 ) 中有界光滑区域，p u ：= d i v ( i v u l p 一2 v u ) 为p l a p l a c i a n ，1 p 0 为实参数，o t 和p 均为常数且0 o t 1 ，p p + 1 p ：= 鸩，( z ) 和g ( z ) 是满足以下条件的连续函数； 0 9 ( z ) l p 匕诒干玎( q ) ，9 ( z ) 0 ， 0 ，( z ) 工矿旬司( q ) 由于方程( 最) 所对应的泛函不是f r e c h e t 可微的，因此经典的临界点理论显然不 适用于此问题本文利用e k e l a n d 变分原理并结合n e h a r i 流形分解技巧，证明了方程 ( r ) 在适当的条件下存在两个正弱解 关键词：奇异方程；p - l a p l a c i a n ； e k e l a n d 变分原理；多解 作者：周雪芳 指导老师；黄毅生教授 m u l t i p l es o l u t i o n so fas i n g u l a re q u a t i o no nu n b o u n d e dd o m a i n a b s t r a c t t i o n ： a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ew i l lb ec o n c e r n e dw i t ht h ef o l l o w i n gs i n g u l a rq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a 一 ( 最) - - i p t | = ，( z ) t 一口+ a 夕( z ) z x ea f 2 q , w h e r eq ：= r o ，pi sab o u n d e dd o m a i ni nr ( n 3 ) ，a p t 正：= d i v ( i v u p 一2 v u ) i sp - l a p l a c i a n ，1 p 0i sar e a lp a r a m e t e r ，口，pa r ec o n s t a n t sa n d0 a 1 ， p 卢+ 1 o ； ( a 3 ) 存在 0 ，使得石f ( s ) d s 0 ， z q ， 【t = 0 ， z a q ， 进行了研究，其中q 是r ( n 3 ) 中有界光滑区域，f ( x ) 是一个非负非平凡函数且 ，( z ) l 2 ( q ) ，入 0 为实参数，q ，p 均为常数且0 口 l ，2 p + 1 2 + ：= 鹃作 1 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 引言 者通过奇异项和超线性项的结合来考虑解集的结构，并利用e k e l a n d 变分原理证明了 方程( q 3 ) 至少存在两个弱解最近，孙义静和李树杰在文【1 3 1 中又进一步考虑了以下 奇异椭圆问题正解的存在性与多重性： ( 叫f 也- h ：u 。，= m 矿+ 洲以z x e 勰n , ， 其中q ，入，o ，p 同上，g c ( 孬) ，作者利用e k e l a n d 变分原理并结合文献 2 1 和【1 6 1 中的方法也得到了( q 4 ) 的两个正弱解 受上述文献的启发，我们很自然地提出一个问题：我们能否将文【1 3 】中的结果推 广到无界区域上的拟线性椭圆方程上来呢? 这就是本文我们所要研究的问题，即我们 考虑下述奇异拟线性椭圆方程： ( 最，- - a - 0 ，p u 吖 m 咱出卢三茎募， 这里q ：= r d ，p 为r ( n 3 ) 中有界光滑区域，a p u ：= d i v ( i v u l p 一2 v u ) 为p l a p l a c i a n ，1 p 0 为实参数，o 和p 均为常数且0 a 1 ，p p + 1 矿：= 鹃，( z ) 和夕( z ) 是满足以下条件的连续函数： 0 g ( x ) 工矿乏爵可( q ) ，g ( x ) 0 ， 0 ，0 ) l p - c = 缸= z i ( q ) 据我们所知，目前人们对此问题尚未讨论过解决这一问题我们将会遇到以下三方面 的困难首先是奇性带来的困难；其次是p - l a p l a c e 算子的非线性性带来的困难；最后 是s o b o l e v 嵌入的紧性丧失带来的困难本文我们利用e k e l a n d 变分原理和n e h a r i 流 形分解技巧，证明了方程( r ) 在适当的条件下存在两个正弱解 本文我们得到如下结果( 定理中戤，点的定义分别见( 1 2 ) ，( 1 3 ) ) ： 定理a 设q ( 0 ，1 ) ，p 0 使得对于任意酞中的解u a 都 满足l j 缸a i i 0 使得对于任意五i 中的解巩 都满足i i 巩0 a ( 入) 。 2 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 引言 本文的结构如下： 第一部分是引言，介绍了文章的主要内容和背景 第二部分是预备知识，给出了一些基本知识和引理及其证明 第三部分是主要结果的证明，主要是利用e k e l a n d 变分原理和n e h a r i 流形分解技 巧证明了方程( 最) 存在两个正弱解 第四部分是结论和问题展望 3 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 一预备知识 1 1 基本知识 第一章预备知识 我们考虑s o b o l e v 空间d j ，p ( q ) ，其中的范数为i ： f , 】1 w l p 如) ，这里d o l p ( f 1 ) 为 卵( q ) 关于范数l | u i i ： 如l v u l p 如) ；的完备化空间妒( q ) 为p 次可积函数空间，其 中的范数为i p = 【矗i u i p 如) ；下面我们记7 1 = 万苇丽，亿= 南，_ 一”为强 收敛，。一”为弱收敛，“q ”为连续嵌入，“q q ”为紧连续嵌入在没有特别 说明的情况下，a ，q ，伤，均指不同的正常数 定义1 1 ( 见【2 1 ，定义1 3 】) 设x 是实赋范线性空间，是x 上的实泛函，x o x ， 我们称泛函，在z o 处是下半连续的，如果当z 。_ x o 时，恒有 ，( z o ) l i mi 。n ff ( x n ) ； 称，在x o 处是弱下半连续的，如果当z 。一x o 时，恒有： l ( x o ) l i r ai n fl ( x 。) ； n o 称，在x o 处是弱上半连续的，如果当茹n x o 时，恒有： l ( x o ) l i 。r a 。i 。n ff ( x n ) ； 而称，在z o 处是弱连续的，如果它在z o 处既是弱上半连续又是弱下半连续的显 然，在z o 处是弱连续的充分必要条件是当z 。一x o 时，有，( z 。) _ f ( x o ) 注记1 1 由定义1 1 可知，如果泛函，在z o 处是弱连续的，则它在x o 处是弱下半连 续的；如果泛函，在z o 处是弱下半连续的。则它在x o 处是下半连续的 定义1 2 ( 见 2 1 ，定义1 4 】) 设x 是实赋范线性空间，称泛函，：xh r 是强制的， 是指 。珊他) = + o 。 4 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 一预备知识 性质1 1 特征值问题( 见 1 1 ，定理a 3 】) ( q 5 ) - - a p u = 州i t | 降z x e 勰f 2 , 的第一特征值大于零且对应的特征函数不变号，而且存在严格大于0 的特征函数，其 中七( z ) 为非负非平凡函数且七( z ) l i n ( q ) nl o o ( q ) ，q ：r o ，0 为r ( 3 ) 中 有界光滑区域 性质1 2e k e l a n d 变分原理( 见 2 0 ，推论1 2 】) 设( e ，p ) 是一个完备距离空间，：ehr u + 。o ) ，下半连续，有下界并且f + 。o 则对任意 0 ，存在娩e 满足： f ( x e ) 疆e e ，( z ) + ， f ( x ) f ( x e ) 一e p ( x 。，z ) ，比e 性质1 3 ( 见 1 8 ，注记1 3 3 】) 设q 是r 中一个开子集， ) c ( q ) ，1 0 口e z q ，则称缸为方程( 最) 的一个正弱解 对任意a 0 ，我们定义泛函厶：d o p ( q ) hr ， 厶( u ) = ；1 上i v 让i p 如一r 上，( 刮u 1 1 口如一声b 上9 ( 刮乱i 斛1 如 我们定义集合 毋= 让或p ( q ) ： y 札i p 如一上，( 刮u t l _ a 如一a 上9 ( 刮u i 斛1 出= 0 ) ( 1 1 ) 5 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 一预备知识 由( 1 1 ) 和定义1 3 可知，如果方程的解存在，则它必属于取为此我们将毋作如下 分解：取= 哎u 巧u 职，其中酸，写，职定义如下： e 爻= 【t 正取：( p + 口一1 ) l l u l l p 一入( a + p ) g ( x ) l u l p + 1 d x o ) ， 互芰= t 正e 又：( p + 口一1 ) l l u l l p 一入( q - i - p ) g ( x ) l u l 口+ 1 d z 0 ，具体可参见 1 5 】 1 2引理及其证明 为了得到主要结果，我们需要证明以下引理 引理1 1 存在常数a 0 ，使得对任意a ( 0 ，a ) ，有砹0 ，巧o 且磁= o ) 证明：取u o 或( 2 ) 满足 f ( x ) l u o l l _ n d x 0 和g ( x ) l u o l p “d x 0 ， - ，n，n 由，( z ) ，g ( z ) 满足的条件可知这样的u 0 是存在的令 妒( t ) = t p - - 1 - - 卢| i 咖i l p t - a - 卢f ( x ) l u o l 卜n d x ，vt 0 ，n 注意到： 妒( t ) = 一c o , t _ ：h m o 。v ，( t ) = 0 显然妒( ) 是可导的且 妒7 ( ) = ( p 一1 一p ) 矿- 2 - p i 咖| p + ( 口 4 - p ) t - e t - p 一1 f ( x ) l u o l l - e t d x ，n 令妒他) = 0 ，解得 扣 者赫貉 南， ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 一预备知识 绯沪( 帮) ( 等) 躺赢备 9 ， 又当z ( o ，t o ) 时，( ) 0 ，当z ( t o ，+ 。) 时， 妒他) 0 ，从而t o 是妒( t ) 的一个极 大值点，由极值点的唯一性知妒( t ) 在t o 处取得最大值妒( t o ) 根据( 1 5 ) 和h s l d e r 不等 式得 厂他) i 如i 一口出 0 由最= 0 解得 a ：( 岩) ( 等) 糟川，u 圹船需， 记 a ：( 帮) ( 等) 船川州j 篇需 m 7 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 一预备知识 当a = a 町，经辽，蔺旱计舁b j 得j x = 0 所以j x = 0 当且仪当a = a 义凼力j x 天于 入是单调递减的，所以 足 0 ，v 入( 0 ，a ) ，( 1 1 4 ) 其中a 由( 1 1 3 ) 给出 由( 1 6 ) ，( 1 1 2 ) 和( 1 1 4 ) 我们得到 。 a 上咖) l u o l 卢+ 1 d x 0 ) 从而存在0 石 t o 碚 0 ，妒( t 手) 。 ( 1 1 9 ) 由( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 利用前面寻找t o 的方法可知存在t l 0 ，使得 肛( 岩) ( 等) 耥而岛，2 。， 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 一 预备知识 足i j 铆i i 斛1 妒( 以) 一a 上9 ( 圳毗i 斛1 如 ( 1 2 1 ) 因此由( 1 1 4 ) ，( 1 1 8 ) ，( 1 1 9 ) ，( 1 2 0 ) 和( 1 2 1 ) 我们得 0 兄慨咿1 0 和一个连续函数h = ( ) ，满足： 九( o ) = 1 ， ( u ) ( t + u ) e 尊( 点i ) ，vu d b p ( q ) ，l i , 1 1 证明：定义函数f ：d j p ( q ) xrhr 为 f ( u ，t ) = 垆托4 i v ( 缸+ u ) l p 如- m a + 卢f n 夕( 划缸+ u 尸“如一f nf(刮u+uiitj n j n 卜a 如 ， 。 以下证明参见【1 3 ，引理3 】引理证毕 口 引理1 3 设连续函数，( z ) ，夕( z ) 满足0 在l 岳( q ) 中有界又由s o b 。l e v 嵌入定理得 瑞p ( q ) q ql 乙( q ) ，跏( 1 ，p ) ， 从而有_ 牡在l 乞( q ) 中，所以_ t tn e z q ，继而有 i t 上。1 1 一口i u l l 一n 口e z q 利用性质1 3 就得i 1 1 一a l u l l 一口在l 岳中，从而( i ) 成立综上引理证毕 口 引理1 4 设a 由( 1 1 3 ) 式给出，则对任意a ( o ，a ) ，巧在d j p ( q ) 中是闭的 证明：设 t n ) c 五且一札在或p ( q ) 中，我们要证让五百由 u n ) c 五c 取， 一t 在d j p ( q ) 中以及引理1 3 可知 b 因为t ) c 耳，由( 1 3 ) 即得 ( p + 口一1 ) 1 1 t 上n 1 1 p a ( q - i - 卢) 夕( z ) i i 卢+ 1 d x 0 ， j 1 2 又由u n _ u 在或p ( q ) 中以及引理1 3 可知 + q z ) l l t , l l p a ( a - - i - p ) g ( x ) l u l 卢+ 1 d xs 0 ，n 所以缸芦iu 磁 下面证明缸g 磁由巧，( 1 5 ) 和h s l d e r 不等式可知 o + a 一1 ) l l u 。i i p 。 ( 1 2 3 ) 由引理1 1 可知磁= 【o ) ，从而由( 1 2 3 ) 可知t 磁，所以t 巧综上引理证毕口 引理1 5 设a 由( 1 1 3 ) 式给出，则对任意a ( o ，a ) ，厶在取上是强制的且厶在b 上有下界 厶( ) = i 上i v u f p 出一r b z ，( 刮让i l - 口如一p - l i - i 上9 ( 刮u i 斛，如 。( 三一南) 上附如一( 击一南) 上m r 口如 ( 三一南) 胪一( 击一南) f j ，f | n f | 训， 因为d j p ( q ) qp ( q ) ，所以存在a 0 ，使得l p a i i ，即得 孙) ( ；1 一万11 ) 1 1 让j j p q ( 击一南) 删卜 因为1 一q p ，所以。1 四厶( 让) = + o 。，由定义1 2 即得厶在职上是强制的1 u li - - # o o 。一7 一。 下证厶在取上 f - f 界- 为此我们令 螂) = ( 石1 一南) 矿一q ( 击一南) 忖彬一m 。 容易算出妒( ) 在幻= 尘笔掣磐 ；南处取得最小值，且最小值 蚓= ( 三一击) + p ) c 2 1 1 f l l n i 南堕错苎 所以厶在b 上是强制的且厶在e xe 有下界综卜引弹证单门 1 2 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 二 主要结果的证明 第二章主要结果的证明 2 1 磁中解的存在性 本节我们证明方程( r ) 第一个解的存在性，这里的难点在于方程( 最) 所对应的泛 函不是f r e c h e t 可微的，因此不能应用经典的临界点理论来求解，在此我们应用e k e l a n d 变分原理和n e h a r i 流形分解技巧来解决这个问题 证明：由引理1 5 可得厶在职上有下界，从而厶在砹u 磁上也有下界由于 范数恻i 具有弱下半连续性，又由引理1 3 可知泛函f 1 ，而是弱连续的，所以i x ( u ) 弱 下半连续，从而厶( 乱) 下半连续( 见注记1 1 ) 由引理1 1 可知磁= o ) ，从而 i x ( u ) + o c ，v u 砹u 职 易见反u 磁在d j p ( q ) 中是闭的，所以砍u 磁是完备空间将e k e l a n d 变分原理 ( 性质1 2 ) 应用于极小化问题i n f 。厶，它给出了一个极小化序列 钍。) c 欧u 耿且具 d i u d x 有以下性质： 厶( ) 0 也即 a 厶俐i + 1 揪等荸娜1 1 1 - ( 2 3 ) ，n “ 一 从而由( 1 1 ) 和( 2 3 ) 有 酶，= ( 三一击) p + 入( 击一南) 上如脚“如 ( 三一击) 1 1 册i i ( 击一南) 帮p 、 = 岩( 南一跏俨 o ， fi ( 咖a i - - a 如字i p 。 由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 利用引里1 1 中寻找t o 的方法我们可知 眦炉弋( 帮) ( 等) 耥( f of(蛙x)uad x ) p + o - 1 然而从( 1 1 4 ) ，( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 我们有 0 。 又因为砑，即有 + 口一1 ) 0 t 正。j j p a ( + 励9 ( z ) 札+ 1 d x 0 ， ，0 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 二 主要结果的证明 所以存在常数q 0 ，使得 白+ a 一1 ) i l l j p a ( q + p ) 夕( z ) t 上2 + 1 d x q ，n = 1 ，2 ，3 ， ( 2 1 1 ) j n 0 = ，壤( ) 0 t 正。+ t 妒l l p a + 1 ( t ) 9 ( 。) ( t 上n + 妒) p + 1 d x t , 1 - - a ( ) ，( z ) ( t + t 妒) 1 一a d x ，( 2 1 2 ) j n j l - 1 0 = i l u 。i i p 一入夕( 。) u 纩1 d x 一f ( x ) u ：- a d x ( 2 1 3 ) ，n，n a 【醒“( t ) 一1 】夕( z ) ( “n - i - 如) 肚1 d x 一入9 ( 。) 【( - t - t q o ) z “一醒“】如 ，n- ，n 一【 口 ) 一1 】，( z ) ( t + t 妒) 1 - - a d x 一，( z ) 【( - i - t 妒) 1 一a u a 】d z j 1 2j n h p n ( t ) 一l 】i l t + t 妒l l p - 1 - ( i i + t 妒l l p i l u , , l l p ) 一入【危+ 1 ( t ) 一1 】夕( z ) ( t h + t 妒) 3 + 1 d x ，n a 夕( z ) ( 钍。+ t 妒) p + 1 一t 2 + 1 】d z 一【九 。( t ) 一1 】f ( x ) ( u n - i - t 妒) 1 一口d x - ，n，n o p 九o ( 0 ) 1 1 t 厶, , 1 1 p + p 厶i v r 2 v u , t v j妒如一a ( p + 1 ) _ ( o ) j 厶9 ( z ) u 扩1 如nn a ( p + 1 ) g ( x ) u 知d x 一( 1 一口) + ( o ) f ( x ) u ：- 口d x j n，n 乩c _ 训卜砌删加蚶1 刊加订叫泣 + p 上i v 让竹i p 2 v v 妒出一a ( 卢+ 1 ) 上9 ( z ) 仳尝妒如 。 = ( 。) ( p + o r - - 1 ) 1 1 1 1 k 删上如) 札叫 + p i v u n p 一2 v u n v o d x a ( p + 1 ) 9 ( z ) 钍2 妒d z ，nj 0 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 二 主要结果的证明 冥中 0 ( 0 ) 为k ( t ) 在t = 0 处的石导效_ 为j 简早起见，我们1 岌议h n ( 在t 2 0 处 的右导数存在，如果不存在的话，我们令k _ 0 ，选取缸 o 使得= 熙掣，然 后用骱代替k + ( o ) 因为u n 磁，则有 ( p + q 一1 ) 1 1 1 1 p a ( 口+ 卢) 夕( z ) t 正2 + 1 d x 0 ， ( 2 1 5 ) j n 。 从( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 我们得出h - + ( o ) 一o o 接下来我们证明 0 ( o ) + o o 反证，假设存在+ ( o ) 的子列，我们不妨仍记为 + ( o ) ，使得+ ( o ) = + o 。，则对t 0 足够小有k ( t ) 1 从而对t 0 足够小，根据 m i n k o w s k i 不等式有 i i h n ( t ) ( - i - t 妒) 一i i = j ri ( h n ( t ) 一1 ) v + t k ( t ) v 妒i p d x ； ( 2 1 6 ) ( ，h ( t ) 一1 ) l l u 。0 + t k ( t ) l l 妒1 1 由( 2 2 ) ，( 2 1 6 ) ，牡。e z 以及k ( t ) ( t 住+ t 妒) 砹，我们就有 ( k ( t ) 一1 ) l l u n j + t k ) 1 1 妒n 1 1 业玉丛塾 刿厶( t 正n ) 一厶( k ( t ) ( u n + t 妒) ) = p - 1l l u i i p r bfl ( z ) “ 口如一方击上9 ( z ) u 纩1 如一p - i i h 。( 州u n + 印) 1 1 p + r 1 _ 上，( z ) ( 州+ t 妒) 】1 - 口如+ 赢上夕( z ) k ( 州+ 妒) 尸“如 = 暑去哥 1 l u n + t 妒i i p i i u n 酽】+ 暑去哥【7 瑶( t ) 一川让n + t 妒垆 一百 纩1 ( 亡) 上9 ( z ) n + 亡妒) 斛1 一碟+ l 】+ 【蟛“( t ) 一1 】上9 ( z ) 碟+ 1 ， 上式两边同除以t 0 且令t _ 0 ，注意到h n ( o ) = 1 ，由l e b e g u e 控制收敛定理得 砭+ ( 0 ) l l u n 1 _ _ a i + 掣岩fl v i p - 2 v u 。v 妒出+ 岩 ：l + ( 0 ) 1 1 缸n i i p 一訾上出心妒如一訾( 0 ) 上如蚶出， 1 7 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 二 主要结果的证明 掣磐”叫”小咖如一宰洲 汜 + 等fl v r 2 v v 妒如一酱芝孚上9 ( z ，钍：甲如 又显然当n 足够大时有学 0 ， n 让佗足够大，综合( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 知 0 ( o ) + o o 因此i h 十( o ) i 0 ，使得l h + ( o ) l c 5 从( 2 2 ) 我们推出： i k ( ) 一1 1 1 1 饥, , 1 1 + ( t ) 】扣 。( ) ( 钍n + t 妒) 一i i 厶( u 。) 一i , x ( h n ( t ) + t 妒) ) = 一 竿卜酽+ 吖学竽协酬“出 + 等竿 zm 仰) 1 - q 出+ 等川训k h u n + t 妒i i p 】 + 南胁) ( 坳卢1 一阱趔堂哔学， 上式两边同除以t 0 ，令t 一0 ，推出 扣o ( o ) 1 1 1 1 1 + 1 1 妒1 1 a + ( o ) 上夕( z ) u 扩1 如一政+ ( o ) 1 1 让, 1 1 p + 九：+ ( o ) 上，( z ) 缸n 1 - - a 如一上i v r 2 v 札n v 妒如，n，j ，z + 入肛) 让妒如+ 酣击上趔盟掣如 = 一九o ( 。) i i i i p 一入上夕( z ) 让纩1 如一上，( z ) 让n i - - 口如卜上l v u n i p - 2 v u , , v 妒如 + 入肛嵫妒如i 鼎m i n 而1 上趔盟掣如 = a 上9 ( z ) u 2 妒如一fl v u 。| p _ 2 v v 妒如+ l i 扣m 。i n + f1 - - - - s 1s 上丛堕陋生坐字趟如， 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 二 主要结果的证明 所以就有 t 豫r 而上趔哔牛塑如， ( 2 1 9 ) 寺1 i 九o ( o 1)il l u ni l 十】+ 上l v i p 2 v v 妒如一入上9 ( z ) u 妒如 ，( z ) 【( t 正n + t 妒) 1 一q 一牡 a 】o ，v x q ，t 0 ， 上m k 蚀t 酣击上趔坠掣如， ( 2 2 。) 又i h + ( o ) i 晚，l i 0 c 3 ，联合( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 我们有： ，( z ) 蛎a 9 d x ，n 去_ ( 0 ) | i | o + + 上i v r 2 v v 妒如一a 上夕( z ) 仳2 妒如 ( 2 2 1 ) 鱼掣+ fl v l p _ 2 v v 妒如一a 上9 ( z ) u 妒如 tim上vunn-+oo p 一2 v u n v p d z 。j r i v t 正a l p 一2 v t 正a v p d z ( 2 2 2 ) l v u 。i p - 2 v u n v u ) , d z ，( z ) u 二d 钍a d z + 入上9 ( z ) 乱缸a d z 一兰羔二掣( 2 2 3 ) r ( z ) = ( i v u 。i p 一2 v 一i v 乱a i p v u a ) ( w u n v t 上a ) 利用性质1 4 我们得r ( z ) 0 结合( 1 1 ) 和( 2 2 3 ) 我们有 。上r ( z ) 如；i i l p 一上i v i p - 2 v u n v u 入如一上i v 乜a l p - 2 v u a v 如+ 忆刘p 上，( z ) u 口+ 入上g ( z ) 罐+ 1 一上，( z ) 钍：a u 入如一入上9 ( z ) 乱：缸入如 + 坠剑+ ：i v u a i p 如一! i v u a i 冲v “入v u n d x n ，n，o ( 2 2 4 ) 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 二 主要结果的证明 由引理1 3 有 。l i r ai nf ( z ) 疗a 如= f or ( z ) u p 如， ( 2 2 5 ) 溉上g ( z ) 札驴1 如= 上9 ( z ) 缸p 1 如= 溉上9 ( z ) u 让a d z ( 2 2 6 ) 定义泛函f 3 ：瑞p ) hr 为 f 3 ( 秽) = 上i v u 舻以v u a v 口如， 显然f 3 是线性有界的，从而b ( d j ，p ( q ) ) 。由乱n 一让a 在d j p ( q ) 中，即得 又由f a t o u 引理可得 。l i mf l v 让ai p - 2 v u a v u 如= 上i v 乱舻如 ( 2 2 7 ) 吧簪f nf ( z ) 缸：口钍a d x lf ( z ) u 卜a 如， 从而就有( 适当的时候取子列) 拦上m ) 铲让a d x _ f f ( 咖r a 如 ( 2 2 8 ) 又显然有 l i m 鱼：鱼剑坐 n + 。 1 z 结合( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 我们得 = 0 1 i mf ( o ) = 0a e z q ， n - - - o o 继而由标准的做法( 具体可参见 1 9 】) 可得v 一v 让aa e z q ，从而 弋t u n p 一2 v 一i w u xi p 一2 v u x 口e z q ， 又显然引v | p - 2 v u 。) 在l 石马( q ) 中是有界的，根据性质1 3 我们得到 v 让n l p 一2 弋7 u n i v t 上a i p 一2 v u a 在l 石刍( q ) 中， ( 2 2 9 ) 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 二 主要结果的证明 从巾( 2 2 2 ) 厩豆 在( 2 2 1 ) 中我们令n _ o 。即得 l i mi 。n ff nl ( z ) 乱妒d z 0o e z q 且满足 上l v 酬p 2 v u ) , v 妒d x - aj f n 夕( z ) 仳2 妒如一fl ( z ) 钍产妒如。，如碟p ( q ) ，妒。( 2 3 1 ) 特别的，在( 2 3 1 ) 中取妒= e t a 就有： 帆i i p 入“( z ) u r ld x 一，( z ) 钍 口d x ( 2 3 2 ) ，n，n 另一方面，由范数的弱下半连续性以及引理1 3 有： i l u a l l p l i m i n f | | i i p n o 。 = n - - t - m 。o o 上，( 。) u 口如+ a 上夕( z ) 乱舻1 叫 = 上，( z ) 缸卜口如+ 入上夕( z ) u r l 如， 从而推出 i l u 入l l ps 上，( z ) u n 如+ 入上9 ( z ) “如( 2 3 3 ) 结合( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 我们得到： 忆刘p = 上，( z ) u a 如+ a 上9 ( z ) u r l 如 ( 2 3 4 ) 假设d 护( q ) ， 0 ，定义霍三( u a + 毒妨+ ，皿d 护( q ) ，则皿0 再结合( 2 3 1 ) 和( 2 3 4 ) 我们得到 os 上 i v u 舻q v u a v 皿出- a g ( z ) u 皿一，( z ) 让i a 皿 如 = ，ii v u a i p 一2 v 乱a v ( u a + f 西) 一a 9 ( z ) u ( t 正 + ) 一，( z ) t 工i n ( t a + 专) ld x j ， u + 妒 o ) l 无界区域上奇异p - l a p l a c i a n 方程的多解性问题 二 主要结果的证明 = 上 i v 让a i p _ 2 v u a v ( u a + f ) - a g ( z ) u ( 姒+ f ) 一，( z ) 乱i q ( 也a + f ) 如 一，、li v u a l p 一2 v 札a v ( u a + f ) 一幻 ) ( 牡a + f ) 一，( z ) t 正i 。( u a + 毒) i , i x ， u + f o o 一 o = 刘p a 上夕( z ) “出一上，( z ) u j 咄如，n，n + f 上 1 v 让ai p 以v 乱a v 咖一幻( z ) u 2 一，( z ) 贩a 叫如 一，、ll v 乱a i p 一2 v t 正入v ( u a + ) 一入夕( z ) t 上安( “a + f 西) 一，( z ) u i 。( t 正a + ) ld x ， t + 和o o 一一 j = 上 i v u 舻i2 v u a v 一吲咖宝咖一m ) 仳i a d x 一：，ii v u j ) , l p 一2 v t a v ( u a + f 西) 一a g ( z ) 让( t 上入+ 毋) 一，( z ) t 上i 。( t a + ) id x ， u + f 毋s o l 一 j = f 上 i v 坝l p - 2 v u a v 一幻( z ) u 一，( z ) u i a d x 一厶。+ 。) i v u a i p 如 f ，i v u ) ,