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构造性方法在若干非线性问题中的应用 摘要 本文讨论可积系统和对称约化的构造性方法在一些非线性问题中的 应用。这两类构造方法在许多数学物理及微分几何的问题中起着重要的 作用全文分为四章； 第一章，绪论在这一章中，我们简单介绍两类构造方法，及我们所 要讨论的问题的发展历史与研究现状，并简要地介绍作者的主要工作 第二章，约化的m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 的d a r b o u x 变换我们构造了 从约化m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 的任何解出发的d a r b o u x 变换这种构造方 法可以用纯代数运算来实现，并且可以无限构作下去，从而可以用代数 算法得到多孤子解这将【1 】中从特殊解出发构造1 一孤子解的方法推广 到一般的情形 第三章，仿射球和l o o p 群方法我们在这一章中利用l o o p 群方法研 究仿射球的构造问题先证明了一个相应的1 w s a w a 型l o o p 群分解定理， 然后用它来给出双曲型和椭圆型仿射球的w e l e r s t r a s s 型表示我们利用 w e i e r s t r a s s 型表示来讨论双曲型和椭圆型仿射球的有限型构造方法在这 样的框架下还讨论了i n d e f i n i t e 仿射球的各种构造方法 第四章，复双曲空间中s o ( n ) 一不变的h a m i l t o n 极小子流形我们利 用对称约化的方法显式地构造了复双曲空间b ”中具有s d ( n ) 对称性的 h a m i l t o n 极小子流形证明了这些例子是完备的而且当参数k 0 时得 到的h a m i l t o n 极小子流形在通常意义下( 即体积泛函对任何正常变分的临 界点) 不是极小的 关键词，约化m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) ，孤子解，d a r b o u x 变换，仿射 球，有限型，d m m g 变换，l o o p 群，b i r k h o f f 型分解，1 w s a w a 型分解， w e i e r s t r a s s 型表示，辛约化，e u l e r - l a g r a n g e 方程，h a m i l t o n 极小子流形， m o m e n tm a p a p p l i c a t i o n so fc o n s t r u c t i v em e t h o d s i ns e v e r a ln o n l i n e a rp r o b l e m s a b s t r a c t t h ep r e s e t ；p h d d i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h ea p p l i c a t i o n so fc o n s t r u c t i v e m e t h o d si ns o m en o n l i n e a rp r o b l e m s w ew i l ln s eb o t ht h em e t h o do fi n t e g r a b l es y s t e m s a n dt h em e t h o do fr e d u c t i o nw i t h s y m m e t r i e s t h e s e m e t h o d sh a v e p l a y e di m p o r t a n t r o l e s i na l a r g en u m b e r o fp r o b l e m sa r ef r o m p h y s i c a lm a t h e m a t i c s a n dd i i f e e n t i a lg e o m e t r y t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e rj 8a 8f o l l o w s c h a p t e r i ：p m f a c o t h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h ee x p o e i t i o no ft h ed e v e l o p m e n ta n d t h er e s c a c hs i t u a t i o no ft h e s ep r o b l e m sw h i c hw i l lb ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h em a i n r e s u l t so ft h i sp h d d i s s e r t a t i o na r eb r i e f l yi n t r o d u c e di nt h i sc h a p t e r c h a p t e r i f ：w ec o n s t r u c td a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nf o rr e d u c e dm a x w e u - b l o c he q u a - t i o n si nt h i sc h a p t e r d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nw i l lb ec o n s t r u c t e df r o ma r b i t a r ys o l u t i o n o ft h ea b o v ee q u a t i o n s m o r 跏r ，t h i sc o n s t r u c t i o nc o u l db er e a l i z e di na l la l g e b r a i ca n d i n d u c t i v ew a y h e n c em u l t i - s o l i t o ns o l u t i o n sc o u l db eo b t a i n e d t h i sg a l 池e dt h ew o r k i n 【l j c h a p t e ri i i ：a 妇日丑es p h e r e s v i a l o o pg r o u p m e t h o d i nt h i sc a p t e rw ec o n s t r u c t 缸h e s p h e r e sb yu 8 i n gl o o pg r o u pm e t h o d s f i r s tw ep r o v ea n1 w n s a w at y p ed e r o m p o s i t i o n t h e o r e mf o rt h el o o p g r o u p ，a n dt h e n n s ei tt oo b t a i nt h ew e i e r s t r a s st y p er e p r e s e n t a t i o n f o rd e f i n i t ea 赶i n es p h e r c s w ec o n s i d e rf i n i t et y p ec o n s t r u c t m ni nt e r m so fw e i e r s t r a s s d e t a t h ei n d e f t n i t ec a 8 ew i l la l s ob ed l s s c u s s e d c h a p t e r i v ：w ec o n s t r u c th a m i l t o n i a nm i n i m a ls u b m a n i f o l d sw i t hs o ( m s y m m e t r y i nc o m p l e xh y p e r b 。l i cs p a c e 丑冉w ep r o v et h a tt h e ee x a m p l e sa r ec o m p l e t e m o r c o v e r , t h e s ee x a m p l e sa r en o tm i n i m a ls u b m a u l f o l d si nt h ec o m m o m s e n s ew h e nt h ep a r a m e t e r 耳o k e y w o r d s ：d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s ，r e d u c e d m a x w e l l - b l o c he q u a t i o n s ，s o l i t o n s o l u t i o n s ，a 伍n es p h e r e ， b i r k h o f fd e c o m p o s i t i o n ，d r e s s i n gt r a n s f o r m a t i o n s ， f i n i t e t y p e ，1 w s a w ad e c o m p o s i t i o n ，l o o pg r o u p ，w e i e r s t r a s st y p er e p r e s e n t a t i o n ，e u l e r - l a g r a n g i a ne q u a t i o n ，h a m i l t o n i a nm i n i m a ls u b m a n i f o l d s ，m o m e n tm a p ，s y m p l e c t i c r e d u c t i o n 第一章绪论 随着科学的发展，人们越来越多地将各种实际应用和理论研究中出 现的问题归结为一些非线性微分方程，而且在很多情形下人们需要知到 这些非线性微分方程的解的精确表达式要研究这些非线性微分方程是 非常复杂的可积系统和对称约化方法已经在许多重要的非线性问题的 研究中起了重要的作用前者通常要将问题描述为一个带谱参数的零曲 率条件( 即l a x 对) ，从而可以通过对应的线性问题来研究原来的非线性 问题。有很多非线性问题并不能找到相应的可积条件( 特别是在高维的情 形) ，这时如果考虑在某种群作用下不变的解往往能降低维数我们将用 这两种方法讨论一些非线性问题 1 1 约化的m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 及其d a r b o u x 变换 a g r o t i s ，m e r c o l a n i ，n m g l a s g o w ，s a m o l o n e y , j v 等人在【1 】中从m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 出发在一些物理假设下推导了约化的m a x w e u - b l o c h 方程 ( 组) ，推广了【1 】中的半经典模型他们在【1 】中还给出了相应的l a x 对，并 构作了单孤子解 d a r b o u x 变换方法起源子d a r b o u x ，g 对一维s c h r 6 d i n g e r 方程： 一+ u 忙) 2 咖 的研究，其中“是一个给定的函数， 是谱参数。他对这个方程给出了 最初的d a r b o u x 变换，即若( u ，) 满足上面的s c h r 6 d i n g e r 方程，则( u ，) 也 满足s c h r ；d i n g e r 方程，其中( “，) 由 “，= “+ 2 恤n 。扛= 州) 一孚坼 决定。后来人们发现这个方法对许多其它的非线性偏微分方程都适用， 从而使得这个方法越来越受到人们的重视，并发展为d a r b o u x 变换方法， m a t v a e v ，v b 等人在这方面做了重要的工作 5 9 】谷超豪教授在这方面作出 了一系列的工作，例如将d a r b o u x 变换方法发展到高维的情形，并且应用 到一系列重要的数学物理的问题的研究中，见文献【2 5 2 6 】 2 7 】【2 8 】谷超豪 教授和胡和生教授还将d a r b o x t x 变换方法成功地应用到许多受到普遍关 注的微分几何问题的研究中，见文献【3 0 】【3 l 】【3 2 】【4 2 【4 3 】关于d a r b o u x 变换 的一些文献还见【2 4 】【7 9 】【8 0 】 3 3 】d a r b o u x 变换的存在性本身也反映了可积方 程的一个特点，即解空间上有无限维的对称群，并在很多情况下可以写 出显式解a g r o t i s ，m 等人在【1 】中从极为特殊的解出发构造了b & c k l t m d 变 换并希望能一般地构造多孤子解( 【l 】p 1 5 2 - 1 5 3 ) 我们将用d a r b o u x 变换方 法构造约化的m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 的孤子解，并且用纯代数的算法实 现由于构造d a r b o u x 矩阵的条件在经过d a r b o u x 变换之后仍被保持，这 就使得我们可以用纯代数运算依次作出多孤子解这将有助于人们对这 个物理模型的研究 1 2 仿射球和l o o p 群方法 仿射球的研究已经有相当长的一段历史，其中一个重要的问题就是 关于双曲型仿射球分类的c a l a b i 猜想邱成桐教授、郑绍远教授和s a s a k i ，t 教授等人在欧氏完备的条件下证明了；在n + 1 维仿射空间中每个完备双 曲型仿射球的渐近于一个凸锥的边界；反之每个非退化的凸锥有一个双 曲型仿射球渐近于它边界( 被其仿射平均曲率唯一确是匀( 见 1 6 】【1 7 】【6 7 】) 后 来李安民教授对此作了重要的补充( 【5 4 】【5 6 】) 这些都是在整体的条件下得 到的结果，从局部上看仿射球的构造仍然是很复杂的 最近可积系统的方法被引入到仿射球的研究中来，见【1 0 】【7 3 】事实上 一个和仿射球密切相关的问题( 即t z i t z e i c a 方程) 早就出现在可积系统的 研究中1 0 0 p 群方法已经在一系列可积系统问题中起了重要的作用 t e r a g ，c l 和k u h l e n b e c k 在【7 3 】中研究了l o o p 群作用和b 莓d d u m t 变换的关 系，并且在用简单因子作用时得到显式的变换1 0 0 p 群方法成功地应用到 微分几何中的一个典型的例子是曲面调和映照问题( 7 5 】) ，随后引起了相 关领域的许多重要工作( 见文献【8 【1 0 】【9 】 1 1 1 2 l 2 1 1 1 3 6 3 0 3 2 ) d o f f m e i s t e r ，j p e d i t ，f w u ，h 等人在【2 l 】中提出由面调和映照的全纯( 和亚纯) 势的概 念，即给出了相应的w e r e r s t r a s s 型表示这个方法后来被称为d p w 方法 ( 见 3 8 1 a o 】 4 0 1 1 4 1 7 3 ) 我们将要用d p w 方法来统一地讨论双曲型和椭圆型 仿射球( 即d e f i n i t e 仿射球) d o r f m e i s t e r ，j 和e i t n e r ，u 在( 19 中用d p w 方法出 了i n d e 4 i n i t e 仿射球的w e x e r s t r a s s 型表示，但是在d e f i n i t e 仿射球的情形我们 必须考虑一个非紧的实李群，这使得已有的l o o p 群分解不再适用我们 2 借助于w e r e r s t r a s s 型表示研究了仿射球的有限型构造事实上有限型构造 在许多情况下可用t h e t a 函数表示出来( 见1 4 1 5 8 1 ) ，而我们将用w e r e r s t r a s s 型 表示中的势函数来描述有限型的仿射球，证明了有限型的仿射球对应于 常值的势 从w e r e r s t r a s s 型表示的一个特殊情况可知：对任意复数n ，b a ( 6 o ) 由1 w a s a w a 型分解 毗00 。卜矿 i b o o a ；s l ( 3 ，g k a g ， 确定的矿的最后一行给出一个双曲型( 或椭圆型) 仿射球( 见第三章) 关于有限型构造可参考 4 1 1 1 0 1 1 2 2 1 | 3 s 】【3 9 1 1 4 0 1 ( 4 1 1 1 6 6 1 仿射球在可积系统中还被从其它角度大量地研究着在( 1 9 l 中作者在 一定条件下将仿射球的可积条件约化为p a i n l e v 6i i i 方程。b o b e n k o 等人还 考虑了仿射球的离散化，并且利用离散可积系统来研究离散的i n d e f i n i t e 仿 射球，见嘲f 6 】 1 3h a m i l t o n 极小子流形及其对称约化 h a m i l t o n 极小子流形最早是由o h y g 提出并开始研究的( 【6 2 】【6 3 】【6 4 】 1 6 5 1 1 6 s 6 9 ) ，这类子流形可以看成是极小子流形的推广。因为c a l a b i - y a u 流形中的h a m i l t o n 极小子流形具有调和的l a g r a n g e 角，而我们知道s p e - c i a ll a g r a n g e 子流形有常值的l a g r a n g e 角，所以c a l a b i - y a u 流形中的h a m i l - t o n 极小子流形可以看成是s p e c i a ll a g r a n g e 子流形的推广但事实上所知 道的h a m i l t o n 极小于流形的倒子非常的少在h a m i l t o n 极小曲面的情形 h e l e i n ，f 和r o m o n ，p 将问题描述为一个可积系统，并用上面提到d p w 的 方法给出了h a m i l t o n 极小曲面的t r 一型表示并由此研究了有限型构 造 3 s 1 1 3 9 4 0 4 1 】在高维的情况并不能将问题转化到可积系统，为此在【1 8 】 中利用对称约化的方法构造了大量的h a m i l t o n 极小子流形的例子，并给 出了相当一般的方法s p e c i a ll a g r a n g e 子流形作为h a m i l t o n 极小子流形 的特殊情形在弦理论和镜对称理论的研究中起着极为重要的作用，而且 3 h a m l m n 极小子流形本身也和一些力学模型密切相关，例如，设 ( 西，妒) ：u _ + u ( 阢舻) 是微分同胚，且是不可压缩的，即 d e tf 如如1 _ l 协咖 考虑如下泛函 i = l u 乒丽丽丽守蛐 的( 保持固定边界和不可压缩条件的) 变分问题。则有( 见【3 8 或【7 7 】) ( 丸妒) ： u - + 矿所对应的图e = ( 屯口，( 。，v ) ，妒( ”) 1 ( 文”) u t 是h a j z d t , o n 极小的 当且仅当( ，妒) 是j 的临界点 h a m i l t o n 极小子流形是体积泛函限制到h a m i l t o n 形变时的临界流形 介于通常极小的l a g r a n g e 子流形和h a m i l t o n 极小子流形之间的是l a g r a n g e s t a t o n a r y 子流形，即体积泛函限制到l a g r a n g e 形变的临界流形。s c h o e n ，r 和w o l f s o n ，j 在【6 8 】中证明了k 五h l e r - e i n s t e i n 流形中闭的l a g r j a n g es t a t i o n a r y 子 流形一定是通常极小的我们将用对称约化方法显式地构造复双曲空间 口n 中的具有舳加) 一对称性的h a m l o n 极小子流形并且得到大量非通常 极小的h a m i l t o n 极小子流形的例子( c a s t r o ，i m o n t e a l e g r e ，c i t u r b a n o ，f 等人在 【1 4 】中构造了复双曲空间伊中通常极小的l a g r a n g e 子流形的例子) 我们 还证明了这些子流形是完备的 关于对称约化方法在微分几何问题中的应用可参见文献 2 4 7 l 4 8 l 4 9 5 0 【5 1 【5 2 1 4 第二章约化m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 的d a r b o u x 变换 a g r o t i s ，m e r c o l a n i ，n m g l a s g o w ，s a m o l o n e y , j v 等人在【l 】中在一些物理 假设下推导了约化的m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) ，这推广了【2 3 】中描述电磁孤 波的一个半经典模型构造约化的m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 的孤子解将有 助与人们对这个新的物理模型的认识 文【l 】中的另个主要结果是给出了约化的妇w e l l - b l o c h 方程( 组) 的 l a x 对，并由此作出了从特殊解出发的1 一孤子解【l 】中没有在一般情况 下证明相应的l o o p 的实性和奇性在变换后能被保持，从而不能说明可以 由此构造多孤子解 这里我们用矩阵d a r b o u x 变换给出构造约化m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 的 多孤子解的一般方法而且可以通过纯代数的算法实现。这种方法已经成 功地应用到许多数学物理和微分几何问题的研究中，见f 2 8 】 4 锄，f 4 5 j 【7 8 】 2 2 约化的m a x w e i i - b i o c h 方程( 组) 及其l a x 对 a g r o t i s ，m 等人在【l l 中在一定的物理假设下推导了如下约化的m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) ； 祟= 一雾+ h 2 2 一加)( 1 ) 折甜。 、7 警= 一 【( 1 2 i 妇( 口) e ) p 1 2 + ( 2 c o s ( 0 ) e a p ( 2 ) t o a p ：一2 i e ( 2 c o s ( o ) ( p 1 2 一m 2 )( 3 ) 其中e 是反映电场强度的一个实值函数；p = ( 脚) ( 1sl ，j 2 ) 是反映介质 的量子光学性质的密度矩阵；a p = p i i - - 舶。，n 和口是物理常数，h ) 譬 是时间变量和空间变量 a g r o t i s ，m 等人( 【1 1 ) 还给出了约化的m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 的l a x 对t 拆= ( a 日+ e 0 g ) 妒 血= 一b h 。h + e o g + r 兰蠢( - h + a f ) + i _ 兰两e t g 冲 5 ( 4 ) ( 5 ) = n8 e c ( 口) j p 1 2 ， 事实上e ，p 1 2 ，p 和e o ，e l ， g = ( ：三) n ；t 舰( 日) p + 见m 】 1 = 一；【2 p 一2 t a n ( p ) 凡。p 1 2 】 ，h - 可以互相决定，即 e = t 2 e o + s i - ( o ) p = 三【e l b i ( 口) 一 lc 0 8 ( 目) 】c 0 8 徊) 跏。= 丢【e 。酬口) + h is i n ( 】c o e ( 口) , p 1 2 = 等产 9 2 3d a r b o u x 变换的构造 下面我们构造约化的m a x w e l l - b l o c , h 方程( 组) 的d a r b o u x 变换，为此我 们要找g l ( 2 ) 一值的函数s 使得函= n + s ) 壬，和而，矗，五，一起满足l “对 ( 4 ) ，( 5 ) 于是，南，西，五，扁就是约化的m a x w e l l - b l o c h 方程( 组) 的一组新的 解将每，面，西，矗，后代入( 4 ) 得 爵西+ ( + s ) ( a h o h + e 0 g ) 西= ( a h o h + 面g ) 协+ s ) 咖 按a 的次数比较，可知这等价于下面的( 6 ) ( 8 ) 品= e o g ，s + j 1 0 暇明s 而g = e o g + h o s ，明 ( 7 ) 暇明8 p a n g ) 对任意的( n ) ( 8 ) 其中s p n g ) 表示由g 在a ”( 2 ) 中张成的实子空间将孑，而，矗，矗，l 代 入( 5 】得 c 1 一a 2 ) & + ( + s ) _ ( 1 一 2 ) o 日一a ( h l 丑+ a f ) 一e l g 一( 1 一 2 ) 8 0 g 】西 = 卜 ( 1 一妒) o 日一 ( ，矗日+ a f ) 一西g 一( 1 一入2 ) z o g i ( x + s ) r ，= 一吖 吼 0 d k ，一 h 一 f 叫 m ， l 一2 、 一 o 1 i | 1 o e ，iii 一 日 1 - 一n i l b 中其 同样按a 的次数比较，可知这等价于下面的( 9 ) 一( 1 2 ) 面g = e o g4 - h o s , 卅 最= ( h i h 1 ) h + ( 一 ) f4 - e o s g 一而g s & = ( e 04 - e 1 ) s g 一( 面+ 西) c s ( e l 一西) g = 1 日s 4 - f s 一 l s 日一 s f 为了保证存在实值函数岛， 使得( 9 ) ( 1 0 ) 成立，我们应当要求 最+ e o g ，s 14 - h o s , h s 8 p a n 且f 对任意的 0 和k 0 时我们称e 是d e f i n i t e 的，当k 0 时，可取仿射度量h 的共形坐标( 毛j ) 使得h ，g 在这组坐 标下为 h = 2 e w d z d 牙，e = e 叫厶加g = d + d # 3( 1 2 ) 其中u ：- + r ，a ：e _ + g 是定义在上的函数 取标架场n = ( 厶，坛吼则我们有标架场的运动方程 其中 h = 一$ - - w “口一a 冱e 一“ 称为仿射平均曲率 ( 1 3 ) 的可积条件是 也= e - ”a 凡一e - w ( 山e b( 1 4 ) 皿= e 一鼬a = 互一e “( 五e “k( 1 5 ) 定义设，：+ 舻是d e f i n i t e 仿射曲面，如果 = 一r ( 一知) ，h 0 在e 上成立，则称是一个真( p r o p e r ) 仿射球其中 是仿射法向量场，日是 仿射平均曲率，z o 是帮中一个固定点当h 0 时我们称e 是椭圆型 的，当h 0 时我们称e 是双曲型的 注。在上面的定义中，h 前面的负号是由于我们假定了仿射度量 h 是正定的( 见( 1 2 ) ) 不失一般性我们总取知为的舻的原点 命趣1d e f i n i t e 仿射瞳面，：e _ + 舻是一个真仿射球当且仅当a 产0 和 h 0 在上成立，其中a ，h 由0 2 ) c t 3 ) 定义并且此时有h = 常数 1 7 3 q n 、i 0 0 o 忱坷 u 缸 o 旷 直屯 ，ji。 | | c ： 、， o 0 u 知 r o e a 如 比。 坷 ，j，ti l | 吼 西 = ( 1 一三一2 - ；) s z “ c 。， d 雪1 ( 垂1 ) 一l ：a - i - 一1 d i + 如竺生堡；竺型兰+ 碡d z( 1 7 ) 其中 下面我们将要在l o o p 群的框架下讨论仿射球的局部构造，为此先引 进和l o o p 群有关的一些概念 设g 是一个实李群，一：g 一+ g 是一个自阶自同构，我门定义如下的 t w i s t e dl o o p 群 a g ，= 幻：s 1 - + gi9 ( o x ) = 叼( ) 相对应的李代数是 a 靠= 氆：争_ + gl ( 叭) = 孵( a ) ) 其中g 是g 的李代数口= e 簪，并且我门仍用，记由它在9 上诱导的自同 构 此外我们还要用到如下的t w i s t e dl o o p 群； a + g ，= g a g ，ig 解析延拓至 l 时g 。= 如a g ，ig 解析延拓至 1g ( o o ) = 玎 a + 如= 馋a 如l 解析延拓至 l a ：- 岛= 代a 鲧l 解析延拓至 1 ) = o ) 1 9 叭y 0 o o ，一、 = o 毋。 如 u 、l“习肘： 。孝山p w | | 0 一e o 矗 ，=-一 = h t 删 ， 上；= ( ) i ；) ， p = e 乒 c 2 2 ， 易知这是一个6 阶自同构，在s l ( 3 ，g ) 上诱导的自同构是 记a 的e 警一特征子空间为毋9 ，则巧毋具有如下的形式 x“=(毫1；。i：)，；t+t=(：。三a：12艺0a：) r ，o + 4 = 1 0 i 、一口2 3 00j o 0 2 3l ，+ 5 ooj 则k 是。的不动点集为了能用l o o p 群方法来讨论仿射球的局部构造的 问题，我们需要下面的定理 耀1 设d 是舻中的区域，对任何在d 上满足( 巩) 2 3 0 的 口：= ( + a 巩) 如+ ( v o + a - l 眨1 ) d 乎：d - + a 靠o t d 如果存在蛋使得d 驴( 垂1 ) 一1 = 则一定存在d ：d - + k 使得西 = g 西1 a ( p ) 是一个d e f i n i t e 仿射球的拓广的标架场，其中p 是d 任一固定点 1 有垂 ( d ) a g ，因此我们只要取适当的c 使得d c c 一1 + c a c 一1 具有( 1 7 ) ( 1 8 ) 一( 享。o )巩= ( 三三虽) = ( i 昙o ) n t = g 三三) u、 o o 吣o o o 吣o o o 吣 虮。” ， 5 但 g c 一 s口 叭 0 一口0 厶、 ( | | k 令 令。尚t g = 池g a ，瓦l 记曲 ( 圣i ) 一1 = 驴如+ 矿出则有疗= 伉g _ 1 + c u c 一1 ，矿= 岛g 一1 + c v c 一1 从而 奶= 奶一h 吼= ( 0 匀 = o ) 玩七 和 再由零曲率条件 ，0 0 e 、 访：l 五。一。 oo i i o。等o j ( 晚) 。= 嗽，蚴( 证i ) ；= 啸，讧1 1 啦2 i 这样面 就是双曲型仿射球的拓广的标架场证毕 注由定理1 可知，对任意p ：d _ + a 岛如果帆) 船o 且( 2 6 ) 成立则 p 的最后一行给出的一个帝仿射球下面即便( u d z s 0 不成立我们也 称p 是一个仿射球的标架场( 因为这在局部上总可由初值保证e ) 。由上 2 2 o 幻o _ 姐o 0 乱0 0 o o 啦 加r水凡m v八“卅 = r w 玩 证 护。 生o | | 得可 叫一， ， 现在我们可以叙述l o o p 群的分解定理： 定理2 乘法映射 a 昌暖a g 一斗a g ； 是到其像的微分同胚，并且像是f 在a g ；中的开邻域 证明见本节最后 定理3 乘法映射 a - s l ( 3 ，q 口a + , s l ( 3 ，g boa s l ( 3 ，g b 是到其像v 的微分同胚，并且像是j 在a s l ( 3 ，q ，中的开邻域 证明：由b i r k h o f f 分解定理可知乘法映射 a s l ( s ，a ) a + s l ( 3 ，0 ) _ + s l ( 3 ，g ) 是到其像h 的微分同胚，并且v l 是，在a s l ( 3 ，c ) 中的开邻域令v = , i n a s l ( 3 ，研，只要证对任意g y 有分解g = g - 9 + a s l ( 3 ，g ) ，a 十s l ( 3 ，回， 由b i 幽丘分解定理可得g = g - 外a - s l ( s ，g ) 时s l ( 3 ，g ) ，再由g 满足 的条件得到 9 ( e 蛩 ) = 口9 ( ) = a g 一( ) 。r 9 耳( a ) 因为 9 ( e 譬a ) = g - ( e 警 ) 9 + ( e 譬 ) 由b i r k h o f f 分解定理的唯一性可得 盯9 生( ) = 9 士( e 警 ) 所以 g 一a s l ( 3 ，g ) 口，9 + a + s l ( 3 ，g ) a 2 3 有了这些准备，我们可以讨论仿射球的w e i e r s t r a s s 型表示 意义令 a 一刚： ：d + a 鲧i = 6 ( z ) ，囊：d _ + s 1 ( 3 ，g ) 是全纯映射 ( 2 8 ) k 曼1 任意s a 一刚称为一个全纯势 定理4 设d r 2 是单连通区域，对任意全纯势可以由如下方法构 造一个双曲型仿射球 1 求 虬= 鼬 ( 2 9 ) 满足皿( o ) = j 的解，得到全纯映射皿：d + a s l ( 3 ，g b 2 利用定理2 得到分解 皿= 雪二1 壬 a ；g ；a g 0 ( 3 0 ) 则妒是一个拓广的标架场，由定理1 可知，取适当的规范变换p 的最 后一行就给出一个双血型仿射球 证明：只要证抛1 ( 雪1 ) 一- 中仅含有a - 1a 0 ， 而且 的系数只含d z ， - 1 的系数只含积 由 皿= 皿二1 圣 a ；g c a g 得到妒= 皿一皿，所以 d o ( 西 ) 一1 = 摊一霍：1 一m 一棚皿一1 m 二1 = 锄一m 二1 一皿一皿二1 ( 3 1 ) 由此可知拯1 ( 雪1 ) 一t 中 的次数不大于1 ，并且 的系数不含d 牙 再由g 的定义( 1 9 ) 可以知道晒1 ( 圣1 ) 一1 中 的次数不小于l ，并且a _ 1 的系数不含d z 这就完成了定理的证明 事实上所有双曲型型仿射球都可以这样( 局部地) 作出。这就是下面 的定理5 定理5 设d r 2 是单连通区域，对任意拓广的标架场矿存在全纯 势 a 一州和垂一：d _ + a 吾s l ( 3 ，g ) ，使得d 雪皿一1 = ，其中皿一西一垂1 证明：为了找到一个全纯势，我们只要考虑 丢( 西j ) = o 并且垂一：d _ + a ；s l ( 3 ，d ) ，上面的方程等价于 岳( 叫= 叫砺+ 一亿t ) 这样在局部上总可解出取值在a 三s l ( 3 ，研，中的垂一 取 现) 为d 的一组局部有限的开覆盖，( d 。，西一。) 是满足上面的条件 的一组局部解当d 0 n 功庐时令 卵= 蛋一。西二； 则上述方程可知h 础是d 到a i s l ( 3 ，g ) ，全纯的映射由推广的g r a u e r t 定 理可知存在全纯映射 。：d a _ 十a ；s l ( 3 ，g b 使得 邸= k 1 b 令 西一= h n 壬一n 则有 壬一( d ) a ；9 工( 3 ，g ) ， 并且 未( 叫= e _ 一o h a c - - a + k 未 = h n 圣一a ( + 以亿l ) = 垂一( 砺+ a - 1 r _ 1 ) 所以垂一= eh 。垂一。给出满足条件的整体解 2 5 注t 对一个给定的仿射球，全纯势并不唯一，而且在局部上可以作如 下的规范化设p 是一个拓广的标架场，且矿( o ) = j ( 总假定舻的原点 o d ) 由定理3 有局部分解 西 = 圣二1 皿a s l ( 3 ，g ) ，a s l ( 3 ，g ) 从而有 鼬皿一1 = d 西一西二1 + 西一d 西 ( 圣 ) 一1 雪二1 比较 的系数可知d 9 9 。是砂的一个全纯势，且仅含有 的1 次项。 记定理2 中乘法映射的像为“，则有u a ；s l ( 3 ，g k = a g 。从而“在 a 岛上有自然的右作用我们又知道双曲型仿射球的拓广的标架场是取 值在a g ，中的，所以一个自然的问题是上述作用是否诱导仿射球之间的 作用这就是下面的定理6 定理6 ( d r e s s i n g 变换) 对任意拓广的标架场矿和r a g c ( 与z ，j 无关) ， 如果c x r “，则妒是一个新的拓广的标架场，其中妒由壬恤= 三二1 矿 a ；啡a g ，决定 证明；由 西 r 慧工二1 霍 a ；g ；a g ， 可知妒= l p r 所以 d 雪 ( 雪 ) 一1 = 犯一三二1 + 三一陋 ( 垂 ) 一1 三二1 ( 3 2 ) 由此可知棚1 ( 妒) 一- 中 的次数不超过1 _ 再由g 的定义( 1 9 ) 知道d 9 1 ( 皿1 ) 一1 中 的次数不低于一1 从( 3 2 ) 可知d 驴( 皿1 ) 一，中 的系数仅含如，仍由g 的定义( 1 0 ) 知道抛1 ( 妒) 一- 中 一- 的系数仅含出所以由定理1 知道妒是 一个拓广的标架场 由k 的定义可知 卜o0 、 k 。= 10 i 1 oi io g o h ( 3 3 ) b o 1 再由b 的定义可知有如下群的分解 xx b _ k c ( k ，6 ) 卜+ k b( 3 4 ) 于是有相应的李代数分解r o 且= c ，对任意如咒c 我们分别用( 如) 芄， ( 如) 8 记岛的k 一部份，b 一部份 对任何f ：- b o o6 a 鲧，令 i = 一o o 一= t i a ip = 矗” i 0 则有l o o p 代数的分解 a 鲧= 蟾绣c a 靠 e h ( 毒一一t 专+ t + ( 如) b ，毒+ + t 言+ t + ) k ) 所以加法映射 a 吾鳐x a 靠- + a 鳐 偿，口) 卜+ + q( 3 5 ) 是双射 以下我们用代) a ；口；，m ) a o 表示 的上述分解- 对任何整数d - 1 r o o d6 ，定义 d a d = 代a 鲧l = 6 膏) ( 3 6 ) i = - d 定义拓广的标架场矿称为是有限型的( w r t ) ，如果存在：d _ + a d ( d - - - 1 * n o d6 ) ，使得 砖= 【( a ”4 如) 以，目 ( 3 7 ) d 西 ( 西1 ) 一1 = ( a 1 一d 毒d z ) 口o ( 3 8 ) 注。( 3 8 ) 保证了娅1 ( 矿) 一，具有( 2 6 ) 的形状，而( 3 7 ) 实际上是有限维线 性空间a d 上的对交换的h a m i l t o n 流( 见【1 1 】) ，所以总是可积的 下面我们将用全纯势给出有限型构造的一个简单描述 定理7 拓广的标架场一是有限型的当且仅当存在 a d 使得对任何 z o d 总有 e 扛一邱) 1 4 面 ) = 圣二1 西 a ；g ；a i ( 3 9 ) 在加附近成立 证明；只要对z o = 0 ，妒( o ) = ，来证否则用z z o 代替z ，用p ( p ) ) 一， 代替矿即可。 充分性：设p = 垂一霍，皿= ”“ ，则有 帕 ( 雪 ) 一1 = d 圣一垂二1 + 西一d 皿m 一1 垂二1 = 帕一西二1 + a 1 - d 西一雪二1 d z = 拯一西二1 十 1 一d 西一皿专田一1 圣：1 d z = 搪一垂二1 + 一一d 雪 ( 雪 ) 一1 d z ( 4 0 ) 令 = 矿( 矿) 一。( 4 1 ) 由上面的第二个等式和第四个等式得到 毒= 壬一g 垂二1 ( 4 2 ) 由的定义式( 4 1 ) 可知e a 靠 在( 4 2 ) 中比较的 系数可以知道中关于 的次数不超过d ，再由9 的定义( 2 0 ) 可知中关于a 的次数不低于一d 所以山 从( 3 5 ) 和( 4 0 ) 得到d p ( 矿) 一1 = ( ”一弋出) 城，由此式和( 4 1 ) 可知( 3 7 ) 自 动成立当驴定义在整个d 上时 自然也定义在整个d 上，这就证明了 矿是有限型的 必要性；设驴是有限型的( w r t ) ，令= d o ) 定义驴如下 e j 1 4 f ：西。矿 由充分性部分的证明可知 d 矿( 矿) 一= ( a 1 - d ”如h