（应用数学专业论文）基于三类模糊情况下库存问题的研究.pdf

基于三类模糊情况下库存问题的研究 摘要 该选题来源于国家自然科学基金项目：基于随机需求与不对称信息的供应 链协调与量折扣研究( 项目号：7 0 4 7 1 0 4 5 ) 本文针对供应链中常见的三类模糊情况下的库存问题进行研究。( 1 ) 需求 模糊情况下的单物品订购问题。本文从两个角度出发对单物品订购批量问题进 行研究，首先仅仅针对需求为离散和连续两种情况运用模糊理论进行模糊库存 模型的建立和求解；然后在需求和损耗率看成模糊数的同时，将物品的销售价 格分成两部分来进行处理，即：没有损耗的产品以正常价格出售，有部分损耗 的产品则以折扣价格出售：构建使得总的利润达到最大的模糊库存模型，同时 采用了概率论置信区间估计的方法来构建模糊变量的波动区间，利用模糊理论 求出满足条件的最优订购批量。( 2 ) 模糊约束下的多物品订购问题。本文针对 模糊环境下多物品的模糊随机库存问题进行研究，利用模糊规划的方法构建其 相应的数学模型，然后采用多目标规划知识、机会约束规划知识以及模糊非线 性规划知识对模糊随机库存模型进行算法分析，最后用m a t l a b 、l i n g o 等优化 软件对模型进行求解。( 3 ) 模糊市场环境下的委托代理问题。基于市场需求依 赖于代理人的工作努力水平和模糊外部市场条件的假设下，运用博弈论中的委 托一代理理论和相应的激励机制对模糊信息不对情况下的委托代理问题进行系 统的研究和分析。 关键词：订购批量；三角型模糊数；模糊非线性规划：机会约束规划；信息不 对称；激励机制 r e s e a r c ho ni n v e n t o r yp r o b l e m sb a s e do n t h r e et y p e so ff u z z yc o n d i t i o n a b s t r a c t t h es t u d i e dt i t l ei sc o m ef r o mn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o np r o j e c t ( g r a n t n u m b e r ：7 0 4 7 1 0 4 5 ) ：s u p p l yc h a i nc o o r d i n a t i o na n dq u a n t i t yd i s c o u n tr e s e a r c hb a s e do n s t o c h a s t i cd e m a n da n da s y m m e t r i ci n f o r m a t i o n t h ep a p e rd i s c u s s e si n v e n t o r yp r o b l e m so ft h r e et y p e so ff u z z ye n v i r o n m e n ti ns u p p l y c h a i n ( 1 ) t h eo r d e r i n gl o t - s i z i n gp r o b l e mo fs i n g l ei t e mu n d e rf u z z yd e m a n dc o n d i t i o n t h i sp a p e rr e s e a r c h e st h es i n g l ei t e mo r d e r i n gl o t - s i z i n gp r o b l e mf r o mt w op e r s p e c t i v e s ； f i r s t l y , t w od i f f e r e n tf u z z yd e m a n dm o d e l sa r ec o n s t r u c t e d ：o n ei st h em o d e lo fd i s c r e t e d e m a n d ，t h eo t h e ri st h em o d e lo fc o n t i n u o u sd e m a n d ，也e n ，t h ef u z z yt h e o r yi sa d o p t e d t o c o n s t r u c ta n dc o m p u t et h ef u z z yi n v e n t o r ym o d e l sr e s p e c t i v e l y ；s e c o n d l y ，t h ea r f i t i o nr a t e a n dd e m a n da r er e g a r d e da sf u z z yn u m b e r sa tt h es a m et i m e ，t h es a l ep r i c eo fp r o d u c ti s d i v i d e di n t ot w op a r t s ，i e ，n oa t t r i t i o np r o d u c ti ss o l dw i t hn o r m a lp r i c e ，t h ep a r t i a la t t r i t i o n p r o d u c t i ss o l dw i t hd i s c o u n tp r i c e ；a ni n v e n t o r ym o d e lm a d et h et o t a lp r o f i t sm a x i m i z e di s c o n s t r u c t e d ，t h et h e o r yo fp r o b a b i l i t ya c o n f i d e n c ei n t e r v a li su s e dt oe s t i m a t ef l u c t u a t e i n t e r v a lo ft h ef u z z yv 积a b l e s w ec a ns o l v et h em o d e la n do b t a i nt h eo p t i r e a lo r d e r i n g l o t s i z i n gb yf u z z yt h e o r y ( 2 ) t h eo r d e r i n gl o t s i z i n gp r o b l e mo f m u l t i i t e m su n d e rf u z z y c o n s t r a i n t s t h i sp a p e rr e s e a r c h e sf i r s t l yt h ep r o b l e mo ft h e 蜘s t o c h a s t i ci n v e n t o r y , c o n s t r u c t st h ef u z z ys t o c h a s t i ci n v e n t o r ym o d e lu s i n gt h em e t h o d o f f u z z y p r o g r a m m i n g ，t h e na n a l y s e st h em a t h e m a t i c a lm e t h o d so ff u z z ys t o c h a s t i ci n v e n t o r yb y m u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g 、c h a n c e c o n s t r a i n tp r o g r a m m i n ga n df u z z yn o n 。l i n e a r p r o g r a m m i n g f m a l l y , w es o l v et h em o d e l su s i n gm m l a bo rl i n g oo p t i m a ls o f t w a r e - ( 3 ) p r i n c i p a l - a g e n tp r o b l e mb a s e do nf u z z ym a r k e te n v i r o n m e n t a s s u m i n gt h a tt h ed e m a n d d e p e n d so nt h ea g e n t se f f o r tl e v e la n d t h ef u z z ym a r k e tc o n d i t i o n ，t h i sp a p e rr e s e a r c h e s a n da n a l y z e st h ep r i n c i p l e - a g e n tp r o b l e mu n d e rf u z z ym a r k e ti n f o r m a t i o na s y m m e t r y c o n d i t i o nu s i n gt h et h e o r yo f p r i n c i p a l a g e n ta n di n c e n t i v em e c h a n i s m k e yw o r d s ：l o t s i z eo r d e r ；t r i a n g u l a rf u z z yn u m b e r ；t h ef u z z yn o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ；t h e c h a n c ec o n s t r a i n t p r o g r a m m i n g ；i n f o r m a t i o na s y m m e t r y ；i n c e n t i v e m e c h a n i s m 独创性说明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知。除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金胆王、业态堂 或其他教育机构的学位或证书 丽使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：荪锈签字日期：p 戽占月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 盒世王些盍堂 有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 盒世王些盍堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：荔 签字日期：一，年，月日 学位论文作者毕业后去向；毫鸯板 工作单位：j 耋谋之丸罾 通讯地址：堙三粕品钾事摩肋西影罗 电话：彬一垆彬芦 邮编：j 和妒 致谢 在此论文完成之际，我的三年硕士研究生生活也即将结束。在这里，首先 要感谢我的导师周永务教授，在这三年的学习与研究过程中，他以悉心的关怀 与严谨的治学态度给予了我莫大的帮助和激励，该毕业论文也是在他的精心点 拨和指导下才得以顺利完成的；所以在此谨向周老师表示深切的感激之情。 在研究生课程的学习期间，我有幸学习了分别由杜雪樵教授、苏化名教授、 周永务教授、惠军教授和凌能祥教授所讲授的随机过程论、数学建模、决 策理论与应用、存储论原理、概率论基础和排队论等专业课程，这 些课程为我三年的研究工作和本毕业论文打下了坚实的理论基础，并且将给我 今后的研究工作提供巨大的智力支持。在此，对他们的辛勤工作，谨向他们表 示诚挚的谢意。 另外，在三年的学习过程中，我也得到了师兄赵明和我的同学包裕玲、冉 翠玲、鲍忠奎、曾伟以及我的朋友王莉的大力帮助和支持，在此也向他们表示 衷心的感谢。 最后，我还要由衷地感谢答辩委员会的全体老师以及莅临答辩现场的各位 老师和同学，感谢大家在百忙之中抽出时间参加和指导我的毕业论文答辩工作。 作者：殇分 跏s 年fa 碡e t 第一章绪论 1 1 模糊库存问题的研究背景和意义 对于经典的库存问题的研究主要分为确定型库存问题和随机型库存问题这 两类；其中确定型库存模型一般假设所有的变量都是实常数或实变量，而忽略 不确定因素的影响；但在现实的生产和生活中，由于存在种种不确定性的因素， 例如：供应链库存系统结构的复杂性、低效率的信息传递系统、牛鞭效应、供 应链系统中的不确定性和不可预测性、供应链中各级之间的信息不对称性等等； 从而使得采用经典库存方法来解决实际生产和生活中所遇到的许多库存问题变 得越来越不符合实际的要求，甚至有时所得到的结果与实际所需要的结果大相 径庭，这样久而久之，就会导致供应链系统的利润降低、误导产能计划、生产 计划失误等严重后果；比如一定时期内的商品需求因市场情况的变化会发生一 定的波动，从而存在着不确定性。然而对于经典的随机库存模型的研究，大多 数都是利用概率论的知识和方法，把随机变量看成服从某一概率分布来处理， 但此方法的前提是必须有充足而可信的历史数据作为保证；然而，在很多情况 下，能够说明概率分布的数据是非常有限有时甚至是一无所知的，或者即使有 历史数据但也可能不完全可靠，此时再利用随机变量来描述就可能会出现偏差， 从而导致生产计划的安排失误。因此对经典的库存问题的研究已经不能满足现 实的需要，所以就引起了许多国内外学者对随机的、不确定的问题的研究，同 时也就产生了许多研究的方法和手段。处理不确定的库存问题的方法和手段有 很多，由于模糊的方法解决库存问题不象随机方法那样需要的大量的历史数据， 所以比随机方法更具有一定的适用性和可行性，所以本文用模糊的方法对库存 问题进行研究，将其中的不确定的决策变量看成是模糊数进行数学建模和分析， 从算例的分析中我们可以看出模糊情况下的库存问题的研究比经典库存问题的 研究更能贴近实际生产和生活的需要：所以具有一定的研究意义和价值。 1 2 模糊库存问题的研究现状 由于库存以及其相关费用占企业或公司总费用的2 0 一6 0 ，因此库存控 制和管理对企业的赢利起着至关重要的作用。传统的库存模型中对于不确定性 的处理大多都是采用随机概念或概率知识进行处理，如【4 】中所述。而这些方法 和手段都依赖于充分有效的历史数据，一旦历史数据缺乏，决策者只能依据自 己的主观经验来进行估计和判断，这样会带来很大的系统误差。早在1 9 6 5 年 z a d e h 首先将模糊集理论运用于鳃决不确定性问题，而后其又将模糊理论运用 于复杂性的分析和研究上，如文献【6 7 】；自从1 8 5 1 年，s i l v e r 给出了e o q 公 式之后，z a d e h 又进一步将模糊集理论运用于库存管理上，文献f 8 1 2 1 基于经典 的e o q 模型研究的基础上将库存成本、缺货成本看成模糊数，采用函数原则的 方法对模糊库存问题做了一定的研究；而文献 1 7 1 9 】中，基于经典的e o q 模 型的基础上将需求看成是模糊数进行订购批量的确定。上述文献的研究都是基 于经典的e o q 模型研究的基础上将其中的部分变量看成是模糊数进行研究具 有一定的局限性。 随着研究的不断深入，人们发现在大多数学者的研究中都没有考虑物品自 身的磨损或损耗，但在实际生产和生活中不但损耗现象是大量存在的，而且损 耗现象将导致物品的库存水平持续下降：近年来，已有不少研究者从不同角度 研究了变质现象对库存以及订购补给策略的影响，如文献【2 1 2 3 ；而上述研究 都认为变质的物品会被废弃或没有利用价值，这种考虑也有一定的局限性，因 为在实际生活中有些产品虽然有些损耗，只要没有变质就有其使用的价值，所 以文献 2 4 - 2 5 考虑了有部分损耗的产品的订购问题，他们都将损耗率看成是随 机变量进行模型构建，运用概率中的数学期望的方法来对模型求解，从而确定 出使得成本达到最小的订购批量问题。 以上所说的文献都是对单个物品的模糊库存问题进行研究，而随着库存问 题的现实化，我们发现对需求不确定环境下的单个物品的库存问题的研究已经 不能满足现实供应链的需要，所以订货商开始考虑多种产品联合批量订购的形 式来进行采购，然而在同时订购多种商品的时候，可能会受到多种因素的限制， 这就要求在做出批量决策时，对总成本、总库容等多方面问题进行权衡；文献 2 7 3 1 】对确定情况下有一种或多种资源限制的多种产品联合订购情况进行了 研究：另一方面，在订货时，由于种种因素的限制，如：总的订购次数的限制、 总库存容量的限制等等，文献 4 4 - 5 1 1 针对模糊情况下具有约束的多物品联合订 购问题作了一定的研究；所以销售商一般会针对不同的限制条件采用不同的应 对方法和策略来进行协调，从而导致种种因素具有一定的弹性，我们称这类库 存问题为模糊库存问题。上述文献具有一下两点共性：即( 1 ) 仅仅针对模糊库 存问题进行研究，运用常用的模糊规划的方法进行模型构建，对模型采用遗传 算法进行求解，如文献 5 6 - 6 0 】：( 2 ) 上述文献只是将一个或多个决策变量看成 是模糊数，然而在实际生产生活中，除了有模糊性之外，还有随机性：这势必 使得模糊库存问题从某种程度上不一定能满足现状的要求，从而对于模糊随机 问题的研究也就变得尤为重要了。 近年来，对于供应链协调方面的文献有很多，如 6 1 - 6 9 】：但这些文献在讨 论供应链的协调运作时，均假定供应链各成员之间拥有完全的信息；而在实际 的非体化供应链中，各成员在获取信息的手段和投入上不全相同。再加上各 自利益间的冲突而导致不可能共享共同的信息，因此供应链各成员实际上拥有 不对称的信息。因此信息不对称问题便引起了很多研究者们的广泛关注。如文 献 7 0 】在供应链合作伙伴领域中进行了非对称信息条件下批量订购问题的研 究，利用信息揭示原理，给出了保证销售商说真话的激励机制。在一般的文献 研究中都没有考虑决定需求的因素是什么，而只把它看成是一个随机变量或模 糊变量，这必然会增加生产企业和经营者的经营风险，因此对于模糊信息不对 称情况下的委托代理问题的研究就有一定的研究意义和研究价值。 模糊数学在库存管理中的运用除了上述文献所提到的之外，最近人们又将 模糊数学的其他方面运用于库存管理之中，文献 7 9 8 0 运用符号距离法、积分 排序法、重心法以及相应的模糊知识和模糊性质对单周期的随机库存问题进行 数学建模。并运用隶属函数的相关知识和模糊的性质并结合概率论中的对于随 机问题的处理手段对模糊库存模型进行求解和仿真。文献【8 1 8 4 针对多物品的 多个等式或不等式约束的模糊库存问题进行研究，并利用可能性规划的方法进 行模型求解和模型分析。文献f 9 5 8 6 1 就模糊环境下的互交方式在库存中的运用 进行了初步研究。文献 8 7 8 8 将模糊逻辑的方法运用于模糊库存问题的研究之 中，有效地降低了库存中的牛鞭效应。文献【8 9 9 3 将模糊数学运用到供应链管 理之中，运用模糊理论的相关知识对模糊供应链问题进行数学建模，通过模型 的仿真为供应链的链上各节点企业提供有效的决策支持。文献 9 4 在考虑个多 个物品、多个模糊约束条件情况下的模糊库存问题的同时，运用几何规划对模 糊库存模型进行求解。 1 3 主要工作 本文共分四个章节，从第二章起为作者所做的主要工作。基于模糊库存问 题的研究在实际生活中的适用性，本文在前人的研究和上述研究现状的分析的 基础上，对三类常见的模糊环境下的库存问题研究进行推广和引申研究，具体 工作如下： 1 前人都是基于经典的e o q 模型研究的基础上进行分析将其中的部分变 量看成是模糊数进行研究，而这些研究大多只是逆模糊化的方法上有所不同， 而且大多只对离散或连续这两种情况中的一种情况进行研究，具有一定的局限 性和不系统性；再加之，所考虑的变质的库存问题中，都认为变质的物品会被 废弃或没有利用价值，这种考虑也有一定的局限性：所以第二章在前人研究的 基础上主要对需求模糊情况下的单物品的模糊库存问题分两小节进行研究。第 一节主要基于经典库存问题的基础上针对需求为离散和连续两种模糊情况进行 系统的研究，利用模糊知识进行数学建模，并运用逆模糊化和模糊截集的知识对 模型进行求解：第二节在文献【2 4 2 5 】的基础上考虑了商品存在损耗的情况，并 将有损耗产品的销售价格分成两部分来进行处理，即：没有损耗的产品以正常 价格出售，有部分损耗的产品则以折扣价格出售，同时将需求和损耗率看成模 糊数，构建使得总的利润达到最大的模糊库存模型，文中采用概率论中的5 呈信 区间估计的方法寻求模糊量的波动区间，并利用三角模糊数和符号距离的方法 进行模型求解，得出满足条件的最优订购批量。 2 第二章对需求模糊情况下单物品的模糊库存问题做了研究，在第三章， 我们将其推广到多个物品并带有多个约束条件的情形。在对多个物品、多个约 束的文献进行总结的过程中，我们发现，它们要么将变量看成是模糊的，运用 模糊规划的方法进行建模，再运用几何规划或遗传算法对模型进行求解；要么 将变量看成是随机的，但对这类随机库存问题的处理都是基于该随机变量的分 布函数或者其期望和方差已知的基础上进行探究的，也具有一定的局限性；而 且前面所述的文献很多都没有考虑到企业或公司的服务水平这个评价因素，但 在实际生产中服务水平的好坏对企业的整体绩效的评价也起到至关重要的作 用，因此第三章在考虑到服务水平的同时，将需求、总库容量和总订货费用看 成不确定的情况下，对多物品多约束的模糊随机库存问题进行了探讨。文章采 用多目标规划和机会约束规划建立模糊非线性规划的数学模型，然后利用优化 软件对模型求解。 3 上述两章就需求模糊以及总库容量模糊情况下的库存问题进行了初步的 拓展行研究，随着信息时代的发展，信息不对称问题也成为当今在物流供应链 协调中较为重视的问题，而将信息不对称问题与模糊库存问题相结合进行研究 的文献几乎很少，而且对这方面的研究也不是很多。所以第四章就市场环境模 糊情况下的委托代理问题进行初步研究，这是第一次将模糊数学与信息不对称 问题结合起来进行研究的，在本章中我们假设需求线性地依赖于代理人的努力 水平和市场条件，而代理人的努力水平和市场条件都是代理人的私人信息，其 中，努力水平是一个一维的实变量，市场条件是由代理人观测的一个三角型模 糊变量，在此基础上我们构建了基于模糊信息不对称情况下的委托代理模型； 首先给出了委托人最优产量的确定方法；然后就代理人的努力水平可观测和不 可观测两种情况对委托人的最优激励合同的制定做了研究：最后分析了模糊的 外部市场条件对委托一一代理双方利益的影响。 由于目前模糊库存理论还处于起步阶段，本文在分析前人所做的研究的基 础上运用模糊数学的方法对库存问题进行建模方法和模型处理手段上进行了部 分的拓展性的研究：因此，本文无论是对库存理论本身还是实际库存管理方法 都起到了重要的丰富和发展作用，从而具有一定的研究价值和参考价值。 4 第二章需求模糊情况下的单物品的模糊库存问题 本章从两个角度出发对单物品订购批量问题进行研究，第一节对需求不确 定情况下的单物品订购批量问题进行研究，将模糊需求分成两种情况进行建模， 即一种是离散的需求模型，另一种是连续的需求模型，采用三角模糊数及相关 的逆模糊化和模糊截集知识来对其进行模型求解，并确定使得总费用达到最少 的最优订购量；由于在实际产品运输中损耗是不可避免的，所以第二节在文献 2 4 2 5 的基础上，将需求和损耗率同时看成模糊数，构建使得总的利润达到最 大的模糊库存模型，并利用三角模糊数和符号距离的方法进行目标函数的处理， 并采用了概率论信区间估计的方法来构建模糊变量的模糊区间，从而采用最优 化理论得出满足条件的最优订购批量。 2 ，1 基于需求模糊情况下的单物品订购批量问题的研究 2 1 1 引言 传统的库存模型中对于不确定性的处理大多都是采用随机概念或概率知识 进行处理。而这些方法和手段都依赖于充分有效的历史数据，一旦历史数据缺 乏，决策者只能依据自己的主观经验来进行估计和判断，这样会带来很大的系 统误差。本节就离散的需求模型和连续的需求模型分别进行建模；采用三角模 糊数及相关的逆模糊化和模糊截集知识来对其进行模型求解，并确定使得总费 用达到最少的最优订购量。 2 1 2 问题引入和介绍 文献 2 9 对传统的不确定问题进行 研究，即在某个时期内，己知需求的 概率分布，通过确定最优的订购量q 使得总的期望成本达到最小。在该问题中 需求的概率分布是从历史数据中得到，一旦历史数据的缺乏，我们对其就没有 办法了。本文就是要研究在历史数据缺乏的情况下，问题应该如何解决。在这 种情况下，有的估计是基于决策者的主观判断并且只能模糊地给出。文中仅对 需求是不确定情况进行研究，并将需求分为离散和连续两种情况进行讨论。我 们采用模糊理论来描述和解决上述两种不同需求类型，我们约定不确定的需求 用d 表示，对上述模糊量我们采用三角隶属函数来进行研究，其所对应的三角 隶属分布如图2 1 。 现在，我们可以将传统的不确定需求问题转化成下面的模糊问题，其表述 如下：给定不确定的模糊需求d ( 分离散和连续两种情况) 的隶属函数和隶属 度，其它成本和费用都是常数的情况下，确定最优的订购量q 使得总的期望成 本达到最小。 0 d td m d r d 图2 1不确定需求的隶属分布 现在，我们可以将传统的不确定需求问题转化成下面的模糊问题。其表述 如下：给定不确定的模糊需求d ( 分离散和连续两种情况) 的隶属函数和隶属 度，其它成本和费用都是常数的情况下，确定最优的订购量q 使得总的期望成 本达到最小。 在对隶属函数选取或确定上虽然有较浓的主观色彩，但它也是从实际问题 的具体特征出发，总结和吸取人们长期积累的实践经验，虽然隶属函数的确定 有一定的人为技巧，但最终还是要以符合客观实际为标准的；然而判断隶属函 数是否符合实际，主要是看它是否正确反映了元素隶属集合到不属予这一变化 过程的整体特征，而不在于单个元素的隶属度数值如何。 2 1 3 模型建立及求解 2 1 3 1 需求为离散的情况 2 1 3 1 1 需求为离散情况下模型的建立 假设不确定需求d 有一个范围q 1 d l ，d ：d 。 其对应的模糊隶属度分别为 “。( 珥) ，i = 1 ，2 ，玎；单位产品的购买成本、存储费用以及短缺费用分别为p 、h d 和s 。由于需求的不确定，所以导致储存费用和缺货费用的不确定，为了方便 起见，分别记f 一和f 。为模糊的储存费用和模糊的缺货费用。对于任意的q 和 d q ，由于不确定需求服从的是三角模糊数，而q 和d 之间是线性关系，我们 可由分解原理得： “瓦( 吒( q ，d ) ) = “五( d ) d 刨 ( 2 1 ) “瓦( c ( q ，d ) ) = u b ( d ) d o 其中只( q d ) = h - m a x ( 9 一d ，0 ) ；c ( q ，d ) = s m a x ( d q ，o ) 。 6 我们用f m 代表 f h ( q ，d ) + c ( q d ) 】e 民。， ，由前面对可能性度量 的知识可得：vd q 有”一( 瑶，) = m a x n ( d ) j = 1 , 2 门 ( 2 2 ) 其中吆，= e ( q ，d ) + 疋( q ，d ) 我们可得总成本死为：t c ( q ) = p a + d e f u z z ( f h , ) 。 ( 2 3 ) 其中a e f u z z ( f h , ) 是逆模糊化，它就是在模糊数集和实数集之间构造一个映 射，从而给模糊数建立一个序，因此可以通过实数的序关系对它们比较大小， 从函数的构造结果看其过程就是求均值。 2 1 3 1 2 模型求解 首先我们引入逆模糊数定义15 1 6 】。 假设a 是一个定义在区问【a ，b 上的模糊集，j i b a ，“一( x ) 为j 的隶书函数， 且0 u ( x ) 1 。若区间 a ，b 按一定顺序( 从小到大) 进行排序得： 矗= x 1 x 2 o 贝蝴面有极，j 、点。 所a i 。( t c ) ：( p - s ) + o 。5 ( s + ) 三( 9 ：o = 上( q ) ：_ 2 ( s - p ) d g s + h 所以q = l - i ( i 2 ( s - p ) ) ，这里o 塑兰粤( 1 js p p + 矗 ( 2 1 2 ) s + hs+n 情况2 ：m q r 异( 口) i ( t c ) = f o 5 p q + h ( q l - 1 ( c f ) ) 】+ o + 5 p q + s ( r 1 ( 口) 一q ) a c t + j o 5 p q + h ( q r 1 ( 口) 】+ o 5 p q + s ( q r 一1 ( 口) ) 】d 口 r ( 0 ) 2 p q + 罢( 邮( q ) + 聊砌( q ) 】一尝卜沁) 妇 + 吾8 知。c 球，d 口一告k 一 ，出 o - r f q ) 对i ( t c ) 中的q 进行一阶、二阶微分结果如下 ( 2 1 3 ) 百0 1 ( t o = ( p + ) 一。5 ( 5 + ) r ( q ) ， _ 0 2 i 焉( t - c ) ：一o 5 0 + h ) r ( q ) a d 2 、 由图2 3 可咖q ) 减函数，从积( q ) o ，舢( 面有极，j 、点。 所以令百o i ( t c ) = ( p + h ) 一。5 + 的震( q ) = 。j 最( q ) = 等筹 所心坷( 等h ) 这里o ( ) 考虑个需求服从三角形的模糊需求d = 【6 ，1 0 ，1 4 ，其中单位产品的购买 成本、存储费用以及短缺费用分别为p = 3 、h = 1 和s = 4 。由于s - p = 1 ，而 j ， 一 旧 慷 p + h = 4 ；所以由( 2 1 6 ) 式中的第一个等式我们可以得到最优经济批量 e = 7 6 “8 ；如果单位成本降至p = 1 5 而其它变量不变，我们可知s p = 2 5 ， 而p + h = 2 5 ；由( 2 1 6 ) 式中的第二个等式我们可以得到最优经济批量 g = 1 0 ；如果单位成本降至p = l 的同时其它变量不变，则有s p = 3 ，而 p + h = 2 ，由( 2 1 6 ) 式中的第三个等式我们可以得到最优经济批量 q = 1 0 8 “1 1 直观看来，当销售单位商品所获得的利润小于没有销售所带来的损失，则 订购量会比较小，其目的是为了减少产品剩余；相反，当销售单位商品所获得 的利润大于没有销售所带来的损失，则订购量会加大，其目的是为了满足顾客 的需求；当销售单位商品所获得的利润等于没有销售所带来的损失，则订购量 的多少将没有什么差别。在研究中，我们发现较小的订购批量与模糊需求的隶 属函数图象的左边区域相吻合；较大的订购批量与模糊需求的隶属函数图象的 右边区域相吻合；没有数量差别的部分与隶属函数图象中隶属度为1 的部分吻 合。 2 1 3 模型结果分析和小结 单周期库存问题已被广泛运用于解决实际问题。传统的研究集中于解决需 求是概率分布的情况，换句话说也就是需求服从某种特定的分布函数。本文集 中考虑可能的情形，将需求用模糊数中的隶属函数来描述；对于每个订购量q 有采购成本、销售成本和库存存储成本所组成的总的模糊成本被考虑。通过运 用y a g e r 的模糊数排序法，最小成本所对应的最佳订购批量被计算出来。 当需求是模糊数时，计算最佳订购批量的等式包含了需求为概率形式的 解。然而，从需求服从概率分布的角度看，最优批量的解是唯一的；但从模糊 数角度看，则在隶属度为1 的时候的解是最优的。 由于单周期库存问题缺乏大量的历史数据去建构可能的概率分布函数，从 而很难计算出其最优的订购批量，而本文模糊模型的建立对解决现实问题提供 了有益的方法和工具。 2 2 基于需求和损耗率模糊情况下的单物品订购批量的研究 2 2 1 引言 在实际生活中，由于多种不确定性因素的影响，使得经典的确定型的e o q 模型越来越不适应现实的要求；但上述的研究都认为变质的物品会被废弃或没 有利用价值，这种考虑也有一定的局限性，文献 2 4 - 2 5 考虑了有部分损耗的产 品的订购问题，在该文献中将变质物品看成具有部分损耗的形式，并将物品的 销售价格分成两部分来进行处理，即：没有损耗的产品以正常价格出售，有部 分损耗的产品则以折扣价格出售，来考虑使得成本达到最小的订购批量问题。 本文在上述文献研究的基础上，将需求和损耗率同时看成模糊数，构建使得总 的利润达到最大的模糊库存模型，文中采用概率论中的置信区间估计的方法来 找出模糊变量的置信区间，并利用三角模糊数和符号距离的方法进行模型处理， 得出满足条件的最优订购批量。 2 2 2 符号约定与假设 q ：单位周期的订购批量： d ：年需求量： c ：单位产品的购买成本； k ：单位产品的订购费用； 0 ：订购产品的损耗率； p ：销售单位非损耗产品的价格： d ：销售单位损耗产品所提供的折扣率； h ：单位产品的库存费用； x ：单位时间产品发生损耗的比率； 口：单位时间内监控产品发生损耗的费用； 丁：单位周期； ，：单位周期内，订购量为q 的产品中发生损耗的时间； 我们假设( 1 ) 损耗的产品并不被废弃； ( 2 ) 在库存产品中，损耗产品优先于非损耗的产品被销售； ( 3 ) 不考虑缺货； 2 2 3 模型建立 由上述假设和符号约定，我们可知在每次订购的产品中非损耗产品的数量 为：n ( q ，日) = q 一口q = 0 - 口) q( 2 1 7 ) 1 4 由于假设条件中要求不允许缺货，所以( q 疗) 2 d t ( 2 1 8 ) 用垒代入( 2 1 8 ) ，在将( 2 1 7 ) 代入( 2 18 ) ，可得：0 - 1 一旦( 2 1 9 ) 而总利润如下式： 总利润；非损耗产品的销售利润+ 损耗产品的销售利润值 一( 订购费用+ 购买成本+ 发现产品发生损耗的费用+ 库存费用) 即：兀c ( q ) = 【p q ( 1 一目) + p d q o 一 ( 足+ c g ) + g + q ( 1 - ，0 ) t + 譬】) ( 2 2 0 ) 则单位时问内的总利润为= 总利润单位周期 【p q ( 1 一口) + p d q o 一 ( 足+ c q ) + 艘+ m 垒骘竖+ 堡】) 即：1 - i ( q ) = _ - l j l 其中r ；( 1 - 。o ) 9 _ ，代入上式，化简为： n = d c p p d + h _ x q q ) + d ( p d h x e 十一矽k 而1 ) - 芈 ( 2 2 1 ) ( 2 2 1 ) 是在经典库存条件下的利润模型。 下面我们考虑在损耗率和需求都不确定情况下，如何确定其订购批量使得 总的利润达到最大。为了方便起见，我们记y = 1 0 ，这样我们可以将( 2 2 1 ) 式化为如下形式： 兀( q ) ：d ( p 一胁h ，0 ) 粤( 警+ 美+ c + 卢一p d ) + h q ，y ( 2 _ 2 2 ) x ，xuz 然后，我们将，和d 看成是三角模糊数，即；= ( ，一a 。，y ，y + a 2 ) ， d = ( d 一3 ，d ，d + a 4 ) 其中o l y ，0 a i 1 - y = 学。0 3 0 ( 2 2 7 ) 而；的口( 0 口1 ) 截集的所得到的闭区间的左、右端点的值分别为： y l ( g ) = ( y 一1 ) + l 口 0 ，( d ) = ( ，+ 2 ) - a 2 口 0 ( 2 2 8 ) 由于。 九 ) h ( 口) ，又由性质2 ，我们可以得到号的口( 。口1 ) 截集的所 得到的闭区间的左、右端点的值分别为： ( 弘) = 型y r ( a ) = 丽( d - a 3 ) + a 3 g ，9 胁鬻。黼 则由定义6 ，结合( 2 2 8 ) 式可得： d 争，= 圭峥删+ 9 删d 口 2 【鲣a 产h 矗aa a l + 掣h 学一刍a 2 iy liy ( 2 2 9 ) ( 2 _ 3 0 ) ( 2 3 0 ) 式为正值，因为在( 2 2 9 ) 式中的呈的口( 0 - a 1 ) 截集的所得到的 y 闭区间的左、右端点的值都为正的。 d ( d ，j t ) 、d ( 尹，6 - ) 以及d 粤，6 i ) 的结果代入( 2 2 4 ) 式，得： 1 6 = ( d + 垒净) ( p 一朋+ 等) _ 【等( y + 垒) + ( 竽+ 吾+ c + p p d ) 争产- n 去一舍+ 等产- n 学一争 泣， 其中n + ( 9 是模糊单位总利润。 现在，我们的目的是从( 2 3 1 ) 式中利用最优化原理确定出最优的经济订 购批量q ，使得r i + ( 9 的值达到最大。对( 2 3 1 ) 式求一阶、二阶导数得： 警争+ 毕每+ 学， + 圭( 妻一参，e 鱼垒气茅堂- n 寿i 一等+ 立垒嗉产h 与譬一每，c z 。z ， 孥一歹kdoc 盥a 产h 矗一等+ 掣h 学一争 眩，s ， 2 q 。 ；，一1 】i一y，。 由于望字 o ，所以一定存在最优的q ，使得n + ( q ) 的值达到最大； 黔警- o ，脯： q + = ( 2 3 4 ) 这里j ： , t a 。+ o a l ) i n 去一垒+ 丝掣l i l 出互一垒】 q ly - 1a l a j， a 2 2 2 5 特例 ( i ) 当3 = 4 2 0 时，即年模糊需求d = ( d - a 3 ，d ，d + a 4 ) 变成了b = ( d ，d ，d ) ， 在这种情况下，d ( d ，6 i ) = d 。则 d c 扣2 罢嘧- 池去一酉1 n 焘舢d 扣， 上述模型变成了需求是确定的、而损耗率是模糊的情况： 1 7 d 2 丢螃如m 抄，如= 丢c 击h n 去一百1 ，n k 去， 将( 2 3 5 ) 和d ( 5 ，6 1 ) = n , f 2 * ( 2 2 4 ) 式，化简后将( 2 3 1 ) 式变为： 兀：( q ) = a ( f i ，i 一) _ d ( 尸一p d + h - - y - q x ) 一 罢( 等+ 石k 由 (击h矗一i1a a ah 南+ 丝2 ( ，+ 必4 ) 】 、l ，一i2，+ 2 7“，j 岔=( 2 3 7 ) ( i i ) 在( i ) 的讨论的基础上，再考虑l = a 2 = 0 ，则很容易发现，模型退化 成经典的库存模型，即( 2 2 1 ) 式；通过对( 2 2 1 ) 式采用如上的最优化处理， 我们可以得到在经典库存情况下的最优订购批量为： 残= 忘焉高 ( 2 3 8 ) 综上所述，我们可以得到在三种情况下的最优订购批量和相应总利润的表 ( 见表2 5 ) 表2 5三种情况下的最优订购批量和相应总利润 * 最优订购批量 利润 经典库存 模型残= 后焉高 n ：( 苡) n 卓确 定，而y 是 删、1 n 而l 酉2 h 赤) + 2 。 。，、 妫= 昧，+ 垒，+ 詈c 击- n 矗一面1h 矗叫，“八圳 模糊的库 1 存模型 ) ) ” 弘 2 2 ( ( ( 注：上表中，= 1 - 0 ) 2 2 6 模糊损耗率和模糊需求的确定 在一般的模糊优化中，实际的损耗率，( 为方便起见令，= 1 - 口) 和需求数量d 都是未知的，所以我们很难用( 2 3 4 ) 式来确定最优的库存策略；再加上，1 、 2 、3 、4 除了满足0 1 ，0 l 1 - y ，0 3 t m l ( a 3 】= i = l ，2 我们可以从上面所给的置信区间内任取一点( 用瓦代替) 。如果_ 0 ：五， 则相关误差为