（基础数学专业论文）测度的联合lq维数及发散点.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了有限个测度的联合口一维数及有限个自相似测度 的联合发散点集合的填充维数 第一章绪论中我们简单回顾了分形几何的产生，给出了包括 h a s u d o r f 维数，计盒维数，填充维数，测度维数在内的分形 维数及强分离条件的一些基本概念及主要性质 第二章我们主要讨论了q 1 情形下单个测度的下口一维数的一些 性质，并给出了q 0 , 1 1 时，单个测度的下口一维数与下计盒维数之 间的大小关系另外，对q d r ) ，则称集合e 为分形集，简称为分形 显然，d r 但) 和d i m h ( e ) 都大于等于o 而小于等于n ，前者总是一个整数，而 后者则不然，可以是分数，两个维数无须相同，它们只满足苏比尔拉( s z p i l r a j n ) 不等式： d i m ( e ) d r 但) ( 1 2 1 ) 由此可知，每个具有非整数h a u s d o r f f 维数的集合一定是分形然而，分形的 h a u s d o r f f 维数也可以是一个整数，例如：靠朗运动的轨迹是分形，它的h a u s d o r f f 维数d i i n 但) = l ，而它的拓扑维数d r ( ) = 2 根据定义1 2 1 可知，只要计算出集合的h a u s d o r f f 维数和拓扑维数，就可以 判断出该集合是否为分形然而在实际应用中，一个集合h a u s d o r f f 测度和 2 江苏大学硕士学位论文 h a u s d o r f f 维数的计算是非常复杂和困难的，这就给该定义的广泛使用带来了很大 的影响 1 9 8 6 年m a n d e l b r o t 又给出了白相似分形的定义： 定义1 2 2 局部与整体以某种方式相似的集合称为分形 这一定义体现了大多数奇异集合的特征，尤其反映了自然界中广泛一类物质的基 本性质：局部与局部、局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面具有 统计意义上的自相似性但是定义1 2 2 只强调了自相似特性，具有相当的局限性， 而定义1 2 1 比定义1 2 2 的内涵要丰富得多 可以说如何定义分形至今尚无定论，无论应用何种方法来定义分形都会遗留 掉一些分形思想的精髓而且人们对分形的定义有不同的要求，数学家要求“严 密”和“公理化”，物理学家要求“简洁”，工程师们要求“简单适用 因此如何 定义分形已经成为了一个重要的科学问题 针对以上问题，f a l c o n e r 2 ，3 】对分形提出了一个新的认识，即把分形看成是某 些性质的集合，而不去寻求它的精确定义他提出一个分形可以描述如下： 定义1 2 3 考虑e u c l i d 空间中的集合e ，如果它具有下面所有的或是大部分 的性质，它就是分形： ( 1 ) e 具有精细结构，即有任意小比例的不规则细节 ( 2 ) e 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用微积分的或传统的几何 语言来描述 ( 3 ) 通常e 具有某种白相似或者自仿射性质，可能是近似的或者是统计意义上 的 ( 4 ) 一般地，e 的“分形维数 ( 以某种方式定义) 大于它的拓扑维数 ( 5 ) 在大多数令人感兴趣的情形下，e 以非常简单的方法定义，可能由迭代产 生 ( 6 ) 通常e 有“自然的外貌 类似地，e d g a r 4 ，5 】在1 9 9 0 年对分形给出了一个更加粗略的定义 定义1 2 4 分形集就是比在经典几何考虑的集合更加不规则的集合这个集 合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到 定义1 2 3 和定义1 2 4 尽管不严格，但确实使人们( 特别是工程师们) 很容 3 江苏大学硕士学位论文 易去理解什么是分形、粗略地说，分形几何就是不规则形状的几何，而且这种不 规则性( 粗糙性) 具有层次性，即在不同的层次( 尺度) 下均能观察到事实上， 不规则几何的抽象化经常比在经典几何中光滑曲线和光滑曲面的规整几何更能精 确地拟合自然世界正如m a n d e l b r o t 1 ) 折说：“云彩不是球面，山峰不是圆锥，海 岸线不是圆周，闪电也不是以直线传播 它们都可能是分形 1 3 分形几何中几种常见的维数 测度与维数是分形理论中两个重要概念，它是定量刻画分形集合的两个基本 参量，它们在分形的理论及其应用研究中占据着十分重要的地位 1 3 1h a u s d o r f f 测度及其维数1 h a u s d o r f ! f i 贝0 度是分形几何中最基本的概念之一h a u s d o r f f 澳l j 度将传统几何( 例 如：e u c l i d 几何、r i e m a n n 几何) 中规则几何形体的长度、面积和体积的概念，以 及整数维空间中k b e s q u e 测度的概念和计算方法推广到非整数维空间中首先回顾 一下定义 如果妙，) 为可数( 或有限) 个直径不超过万的集构成的覆盖f 的集类，即 f c i = i u ：，且对每一个f 都有oq u ；l 0 ，定义 r 1 日；( f ) _ i 1 1 f t 蕃i 玑r ：鼽) 为f 的扣覆盖 ( 1 3 1 ) 当万减小时，式( 1 3 1 ) 中能覆盖f 的集类是减少的，从而下确界日；仃) 随着增 加，且当万一0 时趋于一个极限( 可能为有限，也可能为无穷) ，记 h 5 ( f ) = l i m h ；( f ) ( 1 3 2 ) - ，v x c r ”中的任何子集f 这个极限都存在( 极限值可以是0 或o o ) ，我们称h5 妒) 为f 的j 一维h a u s d o r f f 测度 4 江苏大学硕士学位论文 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等类似概念f a l c o n e r 7 1 证明r “中任何 l c b e s q u e 可测集的1 1 维h a u s d o r f f 测度与n 维l e b e s q u e 测度( 即通常的n 维体积) 相差一个常数倍更精确地，若f 是n 维e u c l i d 空间中的b o r e l 子集，则 f 俨) = c n h ”( f )( 1 3 3 ) 这里常数c 。= 万；( 2 “r ( ；以+ 1 ) ) ，即直径为1 的n 维球的体积类似地，对于r “中 “好的 低维子集，日o f ) 是f 中点的个数；h 1 ( f ) 给出了光滑曲线f 的长度； 若f 为光滑曲面，则h2 俨) = - x a r e a ( f ) ；而h 3 ( f ) = - x v o i ( f ) 根据h a u s d o r f f 测度的定义( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 可知，对于任意给定的集合e 和 0 万 1 ，h ；( e ) 是s 的减函数，从而h a u s d o r f f 测度日5 婵) 也是s 的减函数进 一步证明可以得到结论【2 l ：若ecr ”，则存在唯一的一个实数s o 【o ，聆】，使得 日。但，= 吾耋三三乏筹 c 1 3 4 ) 图1 1 集e 的日5 但) 对s 的图h a u s d o r f f 维数d i m 日但) 是使得从0 0 “跳跃”到0 发生的s 的数值 由此可知，h 5 俾) 关于s 的图( 图1 1 ) 表明，存在s 的一个临界点使得日5 但) 从o o “跳跃”到0 这一临界值称为e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m h 但) 精确地 d i m 日但) = i n f s ：h 5 口) = o t = s u p p ：h 3 俾) = o o t ( 1 3 5 ) 当s = d i m he 时，即当j 取e 的h a u s d o r f f 维数时，e 的h a u s d o r f f 测度日5 怛) 可以为零或者无穷或者满足： 0 h 。但) 0 0 ( 1 3 6 ) 5 江苏大学硕士学位论文 满足不等式( 1 3 6 ) 的集合e 称为s 一集 h a u s d o r f f 维数是一个严格的数学概念，它在分形理论的建立和推导过程中起 着十分重要的作用然而，对于具体的分形结构来说，要确定其h a u s d o r f f 维数却 非常艰难，即使是一些经典的规则分形结构，对于其h a u s d o r f f 维数的计算至今人 们仍然无能为力因此，在实际应用中人们很少讨论其h a u s d o r f f 维数，而是讨论 其计盒维数 1 3 2 计盒维数 计盒维数( b o x c o u n t i n gd i m e n s i o n ) 或称盒维数( b o xd i m e n s i o n ) 是应用最 广泛的维数之一，它的普遍应用主要是由于这种维数的计算及经验估计相对容易 一些这一维数的研究可以追溯到二十世纪三十年代，并且对它还有许多其它的 称呼：k o l m o g o r o v 熵、熵维数、容度维数、度量维数、对数维数和信息维数等等 定义1 3 1 回 设f 是尺“上任意非空有界子集，占俨) 是直径最大为万，可 以覆盖f 的集合的最少个数，则f 的下、上计盒维数分别定义为 d i m 口f ：匦攀， ( 1 3 1 3 ) d 训一i o go d i m 小l 甄i m 等竽 ( 1 3 m ) 占珈一l n o 万 、 如果这两个值相等，则称这个公共值为f 的计盒维数或盒维数，记为 d i m 丹l j i 枷m 等竽 ( 1 3 1 5 ) 通常人们所说的分形维数就是指计盒维数从定义可知，对于一系列码尺万， 只要确定出相应的盒子数艿( f ) ，就可以通过公式( 1 3 1 3 ) - ( 1 3 1 5 ) 计算出集合f 的上、下计盒维数和计盒维数然而，如何来确定上面定义中的盒子数占( f ) ? 这仍然足一个难以解决的问题为此，人们给出了下面的等价定义 等价定义1 3 1r “上任意非空有界子集f 的下、上计盒维数以及计盒维数分别 由公式( 1 3 1 3 ) - ( 1 3 1 5 ) 给出，其中占( f ) 是f 列五个数中的任意一个： ( i ) 覆盖f 的直径为占的集合的最少个数； ( i i ) 覆盖f 的半径为万的闭球的最少个数； 6 江苏大学硕士学位论文 ( i i i ) 覆盖f 的边长为万立方体的最少个数； ( i v ) 中心在f 上半径为万的不交球的最多个数； ( v ) 与f 相交的万一网立方体个数 ( 万一网立方体是形如 【n h 8 ，( 鸭+ 1 ) 回【万，( 鸭+ 1 ) 回【万，( + 1 ) 万) 的立方体，这里n ，m 2 ，是 整数) 1 3 3填充维数及其测度 除了上述的h a u s d o r f f 维数与盒维数外，集合的p a c k i n g 维数也常常用到令 g 但) = s u p 蚤b i1 5 ) ( 1 3 1 6 ) 这里饿盔是中心在e 上，半径最大为万的互不相交的球族，由于劈僻) 随万减少 而递减，极限 g 但) = l 占i 枷m 劈( e ) ( 1 3 1 7 ) 存在s 一维p a c k i n g 测度定义为 p 3 但) = i n f g 但；) ：c；)( 1 1 8 ) 通过 测度，类似于z 维数的e 定义u ，e e 的维数定义3packing h a u s d o r f f p a c k i n g 为 d i m pe = s u p s ：p 俾) = o 。= i n f s ：p 仁) = 田( 1 3 1 9 ) 上述三种维数分别从不同方面刻画了分形集的复杂程度盒维数可以认为是 一个集合能被相同形状的小集合覆盖的效率h a u s d o r f f 维数则涉及的可能是相当 不同形状的小集合的覆盖而p a c k i n g 维数表示的是用半径不同的互不相交的小球 尽可能稠密的填充的程度，其中h a u s d o r f f 维数和p a c k i n g 维数是建立在严格的测 度论基础上的，因而特别引起数学理论工作者的关注，但是盒维数的直观和易于 计算则更受到物理与工程方面的青睐这使得盒维数成为应用最广泛的维数之 一这三种维数的关系如下： d i m 日e d i m p e d i m 口e ( 1 3 2 0 ) 7 江苏大学硕士学位论文 1 4 强分离条件和不满足强分离条件的情形 一个迭代函数系( i f s ) 由一族x 上的压缩映射 石，厶，厶 组成，这罩 m 2 对于迭代函数系 五，厶，厶 ，存在唯一的非空紧集e ，满足 e = uz 但) ， ( 1 4 1 ) i = 1 这罩的集合e 就是不变集 如果式( 1 4 1 ) 右边的并是一个不交并，则我们说迭代函数系 五，2 ，l ) 满足 强分离条件( s s c ) ，比如康托三分集的迭代函数系满足强分离条件实际上强分 离条件是一个非常强的条件，我们经常研究的分形都不满足比强分离条件弱的 通常有下列几种情形 1 开集条件( o s c ) 称迭代函数系 石，厶，厶，满足开集条件是指存在一个非空有界开集y 使得 u 正) c v 且这个并集为不交并比如生成科赫曲线的迭代函数系满足开集条件 i - - 1 2 强丌集条件( s o s c ) 称迭代函数系 五，厶，厶) 满足强开集条件指满足开集条件，同时满足 yn e f 2 j 3 有重叠结构 1 5 测度的维数 自从2 0 世纪早些时候，不规则集最初吸引了数学工作者的注意以来，测度已 成为研究这些现在称之为“分形 集的基本工具测度的维数研究实际上是研究本 身作为分形实体的测度，以及与它们相联系的那些集合的相关性质设是上 的有限b o r e l 规则测度，我们希望知道的质量是如何分布的，支撑它的集合的几 何性质如何影响质量的分布反之，给定一个集合，它能支撑什么样的测度要给 出这些问题的一般回答比较困难，事实上，它们本身是分形几何的基本问题 设是尺d 上的有限b o r e l 规则测度，那么, u 在, f i , x e r 4 处的上、下局部或逐点维 数为 r 江苏大学硕士学位论文 删“凹f 掣， d p “翟p 掣1 0r r 加 2 并且如果上两式相等，则称在x 点局部维数存在，记这个共同值为d u ( x ) ，即 啪) _ l ，i 川m 掣 下面我f r 禾u 用测度的局部维数去给出集合维数的明确表达式 定理1 5 1 翻设e r d 是非空的b o r e l 集，云表示e 的闭集，则 d i m 日e = s u p s ：存在满足o ( ) o o 的，且对一几乎所有的x e ，垡( x ) s ) = i n f s ：存在满足o ( 面) o o 的，且对所有的x e ，厶( x ) s ) 和 d i m ee = s u p s 存在满足o ( e ) o 。的肛且对一几乎所有的x e ，一d ( x ) s ) = i i l f s ：存在满足o o 的b o r e l 集) 类似地，我们定义测度的上h a u s d o r f f 和填充维数，分别记为d i m 二r 和d i m ：, d i m ；= i n f s ：对一几乎所有的x ，垡( x ) s ) 和 9 江苏大学硕士学位论文 d i m eg = i n f s ：对一几乎所有的x ，瓦( x ) s ) 同样，这些维数也可以通过集合的维数来表示 d i m p = i n f d i m e ：e 是使( r d e ) = o i 簦j b 。r e l 集) 和 d i m ；= i i l f d i m pe ：e 是使( e ) - - 0 的b 。r e l 集 最后，我们给出测度的上、下计盒维数的定义设k 是尺d 空间上的子集，支撑 在紧子集k 上的所有b o r e l 概率测度构成的集合称为概率测度族，简记为p ( k ) 记 d i m 口，面面分别表示测度p ( k ) 的下计盒维数和上计盒维数设e 冬k ，我 们有 d i m 曰u = l i m d 训i n f ( o l m 厅ei ( e ) 1 一万) ， 一d i m 何t = l i m 存训i n f 、d - - 而m b ei ( e ) l 一万) 1 6 本文研究的主要内容 测度和维数是研究分形的主要工具而将测度本身作为分形实体成为研究对 象也已经是我们分形研究的一个重要课题为此，测度维数的研究构建了一个测度 与维数之间的桥梁本文中，我们研究了测度维数中的一种，即有限个测度的联合 口一维数与盒维数之间的关系，主要包含以下几个方面； ， 1 q o ，1 1 时，单个测度的下口一维数与下计盒维数之间的大小关系 2 q 0 ，记曰( ，) = 矿p ( k ) 陋( ，y ) 0 ，定义函数，：k 专r 为 ，( f ) = ， i fi x - t i ，； - x - t + 2 r f ， x - t i 2 ，； 0 i f2 r x - t i 注意到如果，1 ，那么，是l i p s c h i t z 函数且满足i ，i = 1 和l i p ( f ) 1 特别地，若 ，l ，贝0 对，y p ( k ) ，有 i 弘，d 一儿d y 阻( 缈) 称紧子集k 上的单个t y p i c a l 测度具有性质p ，如果所有不具有性质p 的概率 测度构成的集合，即 尸( k ) l 不具有性质p ) 是第一纲的 设k 是欧氏空间尺d 上的紧子集，则在点工k 上的上、下局部计盒维数可定 1 2 江苏大学硕士学位论文 义为 d i m n ，_ c d c o ，k ) 2 觋d i m b ( kn b ( x ，) ) 和 d i m 口，跏o ，k ) _ l ，i 川r ad i m 口( kn b ( x ，r ) ) 在文献【1 3 ，1 4 】中，l 0 1 s e n 研究了留1 时单个t y p i c a l 测度的上、- f l 覃一维 数本章的目的是研究g 1 时单个测度的下口一维数下面我们首先给出文献 【1 3 ，1 4 】中已有的有关g 1 时单个t y p i c a l 测度的下口一维数的结论和留 0 时单 个t y p i c a l 测度的下口一维数的一个猜想 定理2 1 11 1 3 1 设k 是欧氏空间r d 上的紧子集记 曼= 啦d i m b 。觇 ，k ) ， 工e s = i n f d i m b ，加 ，k ) ， 工e k s = 面口悸) 显然墨s s 当q 1 时，单个t y p i c a l 测度p 悸) 满足 s ( 1 一q ) d 爿( - - - s o 目) ， 瓦( q ) = o 定理2 1 2 t 1 4 i 设k 是欧氏空间尺d 上的紧子集记s 和；定义如同定理2 1 1 当留【o ，1 】时，单个t y p i c a l 测度p ( k ) 满足 墨( 1 一d d ( 留) s o d 猜想2 1 3 1 1 4 1 设k 是欧氏空间r d 上的紧子集当q 0 ， 由于k 是紧集，我们可以选取= ，( k ) 个开球 b ( 鼍，争，曰( h ，争使得k 垒曰“，) 令k = 曰( 五，争， k = 曰( 五，) 耍曰( x j ，争，j = 2 ，注意到若x k i ，则k 曰 ，) 由此我 们可推出 l ( ；g ) = p ( b ( x ，；，) ) q q d a ( x ) t q 是凹函数，根据j e n s e n 不等式有 l ( ；g ) ( k ) 吁 j = 万1 ( v k ) q 嘉 将上面不等式两边分别除以一l o g r ，再令，一0 取下极限，即可得证 1 4 0 k k 化 心 1 一 厂1；跨曙椎喀唯烈 江苏大学硕士学位论文 2 3 反例 设是r 4 上的概率测度，q 是实数，记 心( ，g ) = v ) ) i i n 。f 。删；( b 【v ) ) g ， 其中s u p p 表示测度的支撑现令 洲= n 哗笔笋， 砌= n 磐rp 笔掣_ o l u z 厂 其中数毛( q ) 和f ( q ) 可以看作是口一维数d ( g ) 和d ( q ) 的盒维数形式事实 上，根据文献【1 6 】可知如果是倍测度，对任意实数q ，有毛( q ) = d ( g ) 和 f 芦( q ) = d ( g ) 当q ( 1 - q ) d i m 口( s u p p ) 特别地，当q d i m 口( s u p pj u ) ( 2 3 1 ) 然而，设k 是欧氏空间r 4 上的紧子集，单个t y p i c a l 测度p ( k ) 满足 s u p p = k t l 7 1 ( 2 3 2 ) 联合( 2 3 1 ) 式和( 2 3 2 ) 式可知，设k 是欧氏空间上的紧子集，那么 当q 0 时，单个t y p i c a l 测度p ( k ) 满足 毛( g ) d i m b ( s u p p ) = d i m 口k ( 2 3 3 ) 令k = o ，1 】和倍测度p ( 【o ，1 】) ，再利用不等式( 2 3 3 ) 可得，可推出 厶( q ) 血口【0 , 1 】- 1 而当g 1 ) ， i 一= f ，l 吼 s l v 。x 。，c t g ，+ 。一后， ，g r 。) 下面我们将证明f 1 是第二纲的，其证明方法类似于文献【1 4 】中2 3 节中的证明 对实数f ，令 r ：= c h ，段，尸。c k ，i 旦c g ， 。蕃c 一吼，+ c 一后， ，留r ) 1 9 江苏大学硕士学位论文 f l a i r l2 盆c ，要证r 1 是第二纲的，只需要证明对每一个满足； o ) 根据上面人1 的定义，对名人1 ，存在x o k 和 0 使得d i m 口( kn 曰( 而，) kt 且 兄( 曰c 而，2 ，) 。，其中么= 等五( b ( x o , 鲁， 令 m 1 = ，u ，b ( 五，) z e a l 记f 1 = m 1 x m l 在文献【1 4 】中，l o l s e n 已经证明了m 1 在p ( k ) 中是稠密的且 是g 的那么再根据f 1 的定义方式可知f 1 在p 僻) 中是稠密的且是g 占的因此， 我们只需要证明f 1 f ：即可下面我们将在性质3 2 2 中完成此证明在证明性质 3 2 2 之i j i ，我们先引入证明中所需用到的性质3 2 1 性质3 2 1 设严格测度1 6 ，几p 咩) ，e 为k 的子集且满足肛( e ) o ， i = 1 ，k ，则对所有的留= ( 9 1 ，吼) r 七，有 厂1 旦( 口) f ( 1 一呸) + ( 1 一七) i d - 盂m e l f ，+j 证明：由于以是严格测度，则根据定理3 1 1 ，对以一几乎所有的点k ，有 畋( t ，) = d i m n t ，注意到e _ c k 且雎( e ) o ，可知对以一几乎所有的点k ，有 d i m e e = d i m 口k = 九( ) 再根据吐( ) 的定义，对任意的s o ，存在o 0 而根据文献【1 4 】中性质2 3 2 的证 明可知 以( kn b ( 薯，) ) 4 b ( x , ，考) 这罩i = 1 ，k 由上面不等式可推出4 ( u k n b ( x , ，) 鸬( k n b ( x ，i ) ) 0 i = 1 再根据计盒维 由上面不等式可推出 i，) i 鸬( ，i ) ) 再根据计盒维 、一， 数的有限稳定性可得 一d i m 占( 自k 悯w ， = m a x d i m 舭啊) ) ，叫 r 因此，结合性质3 1 1 的结论，对所有的q = ( g l ，q k ) r ，我们有 隆训廿后，恼( u k n b ( x , i i = l朋h l 沙咖叫 旦( 口) l ( 1 一呸) + ( 1 一后) i 面刮，；) h ( 1 一g f ) + ( 1 一七) 1 l f e ，+ f e ，+ j 3 3f 2 是第二纲的 要证明t y p i c a l 测度( h ，段) 满足不等式( 3 1 4 ) ，只需要证明f 2 是第二纲的即可 记 r 2 = ( h ，心) 尸c k ，l 旦c q ，s 拒z r ( 1 - q , ) + s 妊z ，一c 一吼，研。，= ，后) 下面我们将证明f 2 是第二纲的，证明方法类似于文献【1 4 】中2 2 节的证明 对实数，令 睁卜川c k ，卜圈否c h 小蕃c 砒研巩一，后， 由于f 2 = nf ；，要证i 2 是第二纲的，只需要证明对每一个满足f 曼的有理数 t c - q t 0 都存在一个测度p ( k ) 满足下列两个条 件： ( 1 ) s u p p f lc _ k n b ( x o ，t o ) ： ( 2 ) 对所有的x k ，有( 双x ，) ) 下面我们进行集合f 2 的构造设( ) 。为集合k 上的一稠密序列因为对整 数刀， 心= i ，n 馥f d i m 跏( 班) d i m b ( kn 鼬，黔歹= l ，船 根据引理3 3 1 ，存在一个常数q ，j 使得对每一个r o 都存在一个测度p ( k ) 满 足： ( 1 ) s u p p k n b ( x f l ) ； 仃 ( 2 ) 对所有的x k ，：7 0 2 t 比( b ( x ，) ) q ，j 现令= 万1 ，选取一测度以，j p ( k ) 满足： ( 1 ) s u p 眠j 互k n b ( x i ，寺) ； ( 2 ) 对所有的z k ，有以，j ( b ( 而2 ) ) 巳( 2 ) f 对正整数疗，令 人：= 喜p ，以，i p ，。，喜p ，= 1 ) 再令 江 苏大学硕士学位论文 a l = u 曰( 允i 。t + 1 ) ， z e 二 然后定义集合m 2gp ( k ) 为 一 m 2 = nu q m 拥 下面记f 2 = m 2 x m 2 在文献【1 3 】中，l o l s e n 已经证明了m 2 在p ( k ) 中 是稠密的且是g 。的那么根据f 2 的定义可知，2 在( k ) 中是稠密的且是g 。的 因此我们只需要证明f 2 p 即可 性质3 3 2 f 2 f ； 证明：设( h ，以) f 2 下面分两种情形说明 ( i ) 若fel + ，对固定的整数聊，因为“m 2 ，那么存在整数挖m 和测度五砖 使得( 以，以) r 。t + 1 另外， 由于忍人：，则存在序列仇，既，其中 p o ，j = 1 ，nn _ 4 = p 乒以，乒注意到对所有的k ，有 j 以( b ( ，) ) ( 1 + “) ( ， 其中= m a x 2 ，1 ，2 乞，。) 0 由于k 是紧集，所以我们司选取覆盂球序列 曰( 五，) ，b ( k ，) 使得kc _ u ，b ( 毛，厶) 为方便起见，记= 氍( k ) 令 置= 曰( 鼍，) ，e ，= 曰( x ，：1 ) u ：b ( 而，) ，1 = 2 ，这里注意到如果e ， 则e ，b ( t ，2 厶) 因此，我们可以推出 上以( b ( ，2 ) ) 旷1d “( t ) = ；“( b ( ，2 ) ) ”1d 鸬( ) 量以( e ) 旷1 比( ，) = 以( t ) 皤 j 当呸( o ，1 ) 时，函数：f - - t 吼是凹函数，利用j e n s e n 不等式，上式不等式可化为 江苏大学硕士学位论文 粪鸬( 弓) 呸嘉隆( ) 丁 = 嘉e w = 上q 1 - 1 ( 以( k ) ) 啦 ：卜q 结合( i ) 和( i i ) ，再利用f u b i n i 定理，可得对呸0 ，i = 1 ，k ，有 ，( ；口) = f“( b ( t 。，r n ) ) q l - i 以( b ( t k ，) ) 吼。1d ( 一又以) ( f i , - - - , t k ) 一n 口( d i ，) - f i 【鸬( b ( ，) ) 比( ，f ) ( 1 + q ) 参h - 1 ) 4 善 。1 j r 兀【“( b ( ，2 ) ) q , - id t u ，( f j ) ( + 巳) 参c 岱叫4 舌h 卅t n u 一 将上述不等式代入下式，可得 纵) _ l i 掣等 l h 时! ! 二i 堡! “+ 。一l o g 鲥卿( 学l o g暖如_ 1 ) ( 掣n l o g n 一， ”+ 。i 一 一“。” 7 llj = ；澍一( 1 一吼) + ，矧+ ( 1 - q f ) 江苏大学硕士学位论文 3 4 本章小结 在本章中，我们首先回忆了有限个测度的联合口一维数的有关概念及与多重 分形谱之间的关系，并在此基础上给出了有限个t y p i c a l 测度的联合口一维数与局 部盒维数之间的大小关系主要结论由定理3 1 2 给出接着在第三节和第四节 中，我们分别构造出合适的第二纲集对定理进行了证明 江苏大学硕 士 学位论 丈 第四章自相似测度的联合发散点及填充维数 4 1 简介及主要结论 假f gs , ：j 尺d ，i = 1 ，n 为相似压缩映射以及( a ，p n ) 是一个概率向量 对每一个i ，我们用( o ，1 ) 表示置的l i p s c h i t z 常数用k 和来表示与 ( s ，a nr , 1 1 ，肌) 相关的自相似集合和自相似测度设k 为r d 上的唯一非空紧 子集且 k = u 墨衅) ， i 以及为定义在r d 上的唯一b o r e l 概率测度且 = n 厮1 【2 1 j j 由以上定义易知的支撑为k ，记为s u p p z = k 下令 + = 丫 1 ，) ”， = 扎，) 上述为所有形如缈= q f i gs - 限序列组成的集合，其中q 札，n ) ； 表示所有形如( - o = q 吃的无穷序列组成的集合，其中q 仕，n ) 对任意 一个无穷序列国= q 哆及j 下整数聆，记国h = q 嚷表示将国截取至第，z 个位置对任意的缈= q 嚷，我们记s 。= s q s q 以及如= s 。k 有了上述两个符号序列定义，我们再在其基础上定义映射万：蝴d 为 万( 缈) ) = n 畅。 设概率向量弓= ( e ，) j 山州，| = 1 ，k 而，表示与( 置，p ，jl 相关的自相似测 度且为唯一的b o r e l 概率测度 弘j = p j i “j s _ 1 江苏大学硕士学位论文 假如4 ，以具有相同的支撑且为k 测度以在国= q 吃( 符号空间) 的局 部维数可定义为l i m 。1 。g p j ( k , , i 。) l 。gd i a m k 咖) ，这罩讹小吃h 表示。的直径 对所有的h ，以，若这些测度在点缈的局部维数 l i m 。1 。g , u j ( k o , i ，) l 。gd i a m k , o l 。) ，= l ，一，七 都不存在，此时我们称这个点彩为做联合发散点 我们定义：r 一r 为 磁熊护= 1 ， 其中口= ( 呸，q k ) 根据隐函数定理我们知道是可微的 令 由 岱，= 百l o g p j , j ， 仅，= ( 呸，f ) 2 ( q ) = i n f ( a ； ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) = 1 ( 4 1 3 ) i t ( 吒旧) = 五( g ) 其中口= ( 9 1 ，吼) r ，我们定义五( 口) 及z ( 留) ：尺j 月明显地有z ( 口) o 最后，我们将介绍本章的主要结论在此之前，我们有必要先引入定理4 1 1 及 两个定义对距离空间x 中的一个序列( ) 。，我们用彳( 吒) 来表示序列( 毛) 。中所 彳( 矗) = x x i 存在一个序列( x 使得专x 记( 一w ) ( r ) = ( 一哆( g ) ) 一“) 定理4 1 1 蚴假设满足开集条件( o s c ) 如果( 一v ) ( ) ，则有 卜- i 文则l o g d i a mk 4 , , ，掣h 以吐 江苏大学硕士学位论文 卜l 侣魁，裂h 吵卜 定理4 1 3 假设满足开集条件( o s c ) 如果c 尺是( 一v ) ( 尺) 的一个下连续 的凸子集，则有 卜f 懵糕，一l o g , u k ( k o , 1 ) = c ) = 吵_ 4 2 一些记号 对任意的刀= o 1 ，2 ，定义。= 4 ，) ”记。为所有长度为刀的序列 国= q 嚷所组成的集合，其中哆氆，) 注意到。= u 。及 = 扎，) 对任意的( de 。，我们记h = n 表示元素的长度为门另外，对 正整数m ( m s u p a 。c + ( 仪) ( i i ) 现在我们证明d m p 万( e ) _ s u p a 。c ( 仅) 根据定理4 1 2 的结论可以立即得到 d i m pz ( e ) d i m 尸万( e ) = s u p 。c ( 仪) 证毕 4 本章小结 在本章中，我们首先介绍了有限多个自相似测度的联合发散点的定义及已有 的结论，