（光学专业论文）bec和bcs混合体系的相干态理论及其量子特征.pdf

摘要 本文主要研究碱性费米金属原子气及其组成的玻色分子的混合体系，利用量子的方法 研究此混合体系的相干态理论及其量子特征首先，利用相干态理论及平均场近似把体系 哈密顿量进行线形化，求解体系的薛定谔方程，得出体系态的表达式，然后，在此基础上， 改变了外界条件，并对体系哈密顿量进行合理的简化，类比j - c 模型，研究原子对的几率反 转这一量子特征。 结果表明：在绝对零度下，混合体系处在s u ( 2 ) 固s 【，( 1 ，1 ) 相干态，利用李代数方 法计算体系的本征值与玻戈留玻夫变换所得结果一致，它的娩点在于不仅可以计算本征值 而且可以给出态函数，从而可以进一步研究它的量子特征。相干态的本征态作为初态， 突然改变磁场，在b e c 的区域内，可以观测到原子对的c o l l a p s e 和r e v i v a l 现象，这完 全是一种量子现象。 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚；f e s h b a c h 共振；s u ( 2 ) o s u o ，1 ) 相干态； 崩塌与复苏； a b s t r a c t w es t u d yt h es y s t e mo ff e r m ia t o ma n dt h eb o s em o l e c u l ew i t has p i na r r a n g e m e n tt h a t d i f f e r sf i o mt h et r a p p e da l o ms p i n s t h eq u a n t u mm e t h o dw a su s e dt os t u d yt h ec o h e r e n ts t 如 t h e o r ya n dt h eq u m l t u mc h a r a c t e f i s t i c s f i r s t , w eu s em 啪f i e l dt h e o r yl i n e a r i z i n g t h e h a m i r o n i a na n du s et h ec o h e r e n t - s t a t et h e o r yt os o l v et h es c h r o d i n g e re q u a t i o nw eg a i r it h e e x p r e s s i o no ft h es t a t e t h e n , c h a n r i n gt h ea c t e m a la g n e t i c - f i e l d , w es t o d yt h ee v o l u t i o no f p o p u l a t i o ni n v e r s i o no f t h ea t o m i cp a i r w ec o n c l u d e ： t t 卸，t h es y s t e mi si nt h e s u ( 2 ) s u ( 1 , 1 ) c o h e r e n t - s t a t e s o u r r e s u l t o ft h eg r o u n ds t a t e 朗日彰i st h e 锄e 口t h a to fb o g o l i u b o vt r a n s f o r m a t i o n h o w e v e r , 0 1 f f c o h e r e n ts t a t em e t h o di sc o n v e n i e n tt h a nb o g o l i u b o vw a n s f o r m a l i o ni n 订e 础t h eb e c - b c s s y s t e m 5b e c a u s et h i sm e t h o dc a ng i v et h eb o t ht h es t a t ef u n c t i o na n dt h ec o n e a p o n d i n g e i g e n v a l u e so f t h es y s t e m s f u r t h e r m o r e , b a s eo nt h i ss 吼巳w e 啪e a s i l yd i s c u s st h eq u a n t u m c h a r a c t e r i s t i c so f t h es y s t e m t h ec o l l a p s ea n dr e v i v a lp h e n o m e n o no f t h ef e r m ia t o m i cp a i r s w a sf o u n dw h i c hi st h eq u a n t u mp h e n 姗日l o r l k e y w o r d s ：b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s 商o n ；f e s h b a c hr e s o n a n c e ；c o l l a p s ea n dr e v i v a l 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果。也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 第一章绪论 第一章：绪论 1 1 课题相关的实验及理论发展 自从1 9 2 4 年玻色和爱因斯坦预言b e c 以来，人们就b e c 的实现及其量子统计性质进行 了长期的深入系统的理论研究与实验探索并取得了一系列重大的进展。迄今为止，国际上 已有4 0 余个实验室采用各种冷却、囚禁与操控技术实现了八种元素的b e c 。其中碱金属的 b e c 包括：具有正散射长度的碱金属原子( ”n a ，”r b ) ；具有负散射长度的碱金属原子 ( 7 l i ，”k “r b ，”c s ) 以及由费米原子形成的6 l i ：和柚k2 分子转剐值得指出的是： 2 0 0 2 年4 月，中国科学院上海光学精密机械研究所量子光学开放实验室的王育竹院士小组， 采用射频蒸发冷却技术，实现了我国第一千磁囚禁”r b 原子的b e c ，获得了1 0 4 个凝聚原子 1 ；2 0 0 4 年4 月，我国北京大学信息科学技术学院电子学系陈徐宗，王义遒小组，实现了 我国大陆第二个”r b 原子的b e c ，获得了大约5 1 0 5 凝聚原子数 2 】。在原子b e c 实现的众 多实验中，c s 甄子的实现，具有2 个偾电子的器”y b 贩子的5 e c 麴实现、全光型原 子激光的产生、纯量子”3 c s 分子气体的形成、全光型6 l i2 和”k 2 分子b e c 的实现等重大 实验进展，导致了一个原子的新兴分支学科一量子原子光学的诞生及其快速发展。主要包括 原子量子态的实验制备、原子激光的产生及其量子相干性、费米原子气体的量子简并的制备 等实验的研究等。以上所有实验是我们研究对象产生的不可缺少的实验条件 碱金属分子的实现是通过f e s h b a e h 兆振技术，调节外磁场，对低温费米原子之问相互 作用从连续的强吸引区到捧斥的转变，使得费米原子形成c o o p e r 对( 强吸引区) 和弱束缚 态分子( 弱排斥区) ，进而实现费米原子对的超流b c s 到玻色分子的凝聚b e c 近几年，随 着低温实验技术的突破和成熟国际上关于该领域的研究非常活跃一方面b 岱和b e c 交 叉区域不断有新的结果出来；另一方面，理论上对这些实验结果的解释和相应的理论发展的 相关论文也额频在项级杂志上看到。这些理论研究包括：在统计学上，利用格林函数研究超 流相变温度、化学式以及牲子数( 包括分子和费米原子) 随f e s h b a c h 失谐频的变化 3 - s 】 有关原子激发谱的研究 6 ，超流漩涡结构的变化从b c s 区域到b e c 区域【7 ；动力学方面研 究c o o p e r 对的集体r a b i 振荡、孤子 8 及同步现象【9 ，| 立子数的振荡 1 0 。我们知道b e c t 东南大学硕士学位论文 基态是相干态，然而量子的相干态理论却很少出现在该研究区域中。我们的主要工作是研究 这个体系的相干态理论，然后进一步研究其量子特征。 图1 1 是关于费米原子对与分子相互转换的图示 1 1 ，通过它我们可以对整个系统有个 感性的认识并有助于区分c o o p e r 对原子与束缚态分子。 t h o m a sb o u r d e l , j c u b i z o l l e s ，l k h a y k o v i c h , j 砜s k o “e l m a n s , m t e i c h m a n n , l t a r m e l l , j m c k e e v e r , f c h e v y 。c s a l o m o n l a b o r a t o i r ek a s l e rb r o s s e t , e c o l en o r m a l es u p 舒e u r e 图1 1 从图中我们看到，费米原子对与分子不同。费米原子对类似于c o o p e r 对，这里我们直 接称它为c o o p e r 对。它是由二个费米原子通过偶极长程相互作用形成的原子对，而不是分 子。而处在凝结态的准束缚分子是由二个费米原子通过弱束缚相互作用形成的同核双原子分 子，寿命一般很短，而不是寿命极长的化学稳定的分子。处在b c s b e c 之间的交叉区域同 时存在分子和原子对，只有在完全的b e c 区域和b c $ 区域才有纯的分子或原子对我们的 研究区域在交叉区域及靠近b e c 的区域， 1 2 论文的主要研究工作及安排 目前，据我们所知，对于该系统处理问题的理论方法一般是统计的方法，利用格林函数 及玻戈留玻夫正则变换求解问题。运用此方法一个缺点就是我们无法明确态的描述。而我们 的理论计算正好弥补了这一缺点。众所周知。体系的基态处在相干态，我们主要利用平均场 近似和李代数s u ( 2 ) o s u o ，1 ) 相干态理论求解体系的基态的能量，利用此方法计算可以得 出与玻戈留玻夫计算相同的结果。也可以得到态的表达形式。从而为下一步的计算做准备 处在基态的混合体系，突然改变外磁场，在此条件下，可以忽略粒子间的相互作用，则体系 2 - 第一章绪论 的哈密顿董形式与量子光学中二能级原子类似。于是，借助量子光学知识我们计算了体系 中原子库柏对的几率反转这一量子特征。通过数值计算我们看到了原子对的c o l l a p s e 和 r e v i v a l 这一量子现象。 论文工作的主要安排如下t 第一章：绪论部分。主要介绍了课题选择的背景资料，对前人工作在理论和实验上做一 个简单的总结并简单区分了分子与原子对介绍了本论文选题的主要原因及 工作安排 第二章：介绍f e s h b a c h 共振现象以及由费米原子形成分子b e c 实现的实验情况。从而 对我们的研究对象产生感性和理性认识是本文研究对象产生的主要通道。 第三章：介绍一些相关的基础知识一相干态理论，是研究本论文用到的理论方法 第四章：利用平均场理论及李代数的相干态理论计算体系的基态能量，并从中得到态的 表达式，这是论文工作的主要工作之一 第五章：在第四章的基础上，利用量子光学的方法研究体系的量子特征。这也是论文工 作的重中之重。 第六章：研究两对费米原子对与玻色分子场相互作用 3 东南大学硕士学位论文 第二章f e s h b a c h 共振及分子b e c 的实验 2 1f e s h b a c h 共振 实现 f e s h b a c h 共振 1 2 最早是物理学家f e s h b a c h h 在原子核物理研究中首先发现的 在2 0 世纪9 0 年代初，t i e s i n g a 等预言了在碱金属气体系统中存在f e s h b a c h 共振，他 们提出在这些系统里原子碰撞的散射长度可以通过改变磁场来调节在1 9 9 9 年，i ( i t 的k e t t e r l e 实验组首先在钠系统中观测到了f e s h b a c h 共振。目前f e s h b a c h 共振己拨 应用到玻色一爱因斯坦凝聚领域里的多个方面 我们知道，采用f e s h b a c h 共振技术可以形成分子，它的形成与原子的超精细结构 有关。在碱金属原子里，最乡 层电子只有一个电子，当两个碱金属原子碰撞时，他们总 的电子自旋可以处在单重态或三重态。由于原子核的磁矩远小于电子磁矩，原子总的磁 矩主要是由电子磁矩决定的，所以在双原子系统中三重态的磁矩远大于单重态的磁矩 当存在， 磁场时，三重态里最大的塞曼能绝对值远大子单重态的塞曼铯绝对值，因此通 过调节外加磁场可以改变三重态和单重态的能量差距。一般来说，在气体里的大多致原 子中任两个原子都处在自旋三重态的散射态上，有少量原子结合成白旋单重态的取原子 分子，所以透过改变磁场大小可以使双原子分子态能量接近散射态，当散射态和分子态 能量相同时，系统里发生f e s h b a c h 共振，此时原子的散射长度发散。在原子气体中， 散射长度与原子之间的相互作用强度成正比。两碱金属原子系统的能量随两原子之同距 离酚变化如图2 1 ，舀中箭头代表自旋方向，红实线代表处在总自旋s = l 的散射态上的 原子对能量随两原子距离之间的变化，兰线代表总自旋s = 0 的单重态的分子束缚能原 子之间距离的变化。当处在束缚态的分子的能量( 兰线) 与散射态能量( 红虚线) 相等 时，系统中便发生了f e s h b a c h 共振 4 第二章f c s l l b a c h 共振及分子b e c 的实验实现 e n e r g y 6 u b e s c a t t e d n gl e n g t ha e n e r g y 图2 1图2 2 在f e s h b a c h 共振系统中，散射长度口随磁场b 的变化关系( 见图2 2 ) 可以用以下的 简单公式描述。正= 口。( t 一面瓮 ，其中玩是共振发生韵磁场位置，当远离共振时，在& 两侧，散射长度分别向正无穷和负无穷发散，发散宽度a 是一个常数。在风的左侧，也就 是散射长度大于零的区域，两原子有排斥作用，在实验中把外磁场调到小于风的位置 就会有分子形成，然后利用冷却技术把分子冷却就会出现分子的b e c ，在远离岛的区域我 们把它叫做b e c 区域在远离磁场风的右侧由于散射长度小于零，原子之间形成弱吸引 作用，使两个自旋不同的费米原子配对，类似超导中的不同电子配对，所以这个区域我们也 把它叫做b c s 区域。在b e c - b c s 的中间区域。我们把他叫做交叉区域。利用f e s h b a c h 共振 可以使散射长度达到任何一个值，任意改变原子问的相互作用，所以目前f e s h b a c h 共振在 玻色一爱因斯坦凝聚领域应用地非常广泛。 2 2 量子简并及分子b e c 的实验实现 近年来，人们采用各种冷却与囚禁技术实现了费米原子气体的量子简并，还实现了由费 米原子构成的玻色分子的b e c 和费米原子对的凝聚等下面我们做一下简单介绍。 5 一 东南大学硕士学位论文 2 2 i 费米原子的量子简并的实现 我们知道，具有半整数自旋的粒子称为费米子，如电子、质子、中子和费米原子和分子 等，它们服从费米一狄拉克量子统计。费米量子简并现象在自然界中普遍存在。然而由于 费米原子阃存在较强的相互作用，在实验上一般很难实现费米原子气体的量子简并。随着激 光冷却和囚禁技术的快速发展以及玻色原子量子简并( 即b e c ) 的实现，使费米原子量子简 并的实现成为可能。由于泡利不相容原理，同态费米原子不能同时处在相同的量子态因此 费米原子同难以产生有效的弹性碰撞，从而使得同态费米原子的蒸发冷却速率很低，甚至无 效 1 3 。为了解决这一问题，1 9 9 9 年，j i n 小组利用二个自旋分量的费米原子获得了有效的 蒸发冷却，从而实现了费米“k 原子气体的量子简并 1 4 】。在实验中，她们首先帚j 用磁光囚 禁技术在低真空室中制备第一个费米”k 原子磁光阱( m a g n e t o - o p t i c a l ，m o t ) ，接着利用一 激光脉冲把冷原子推到高真空室中的第二个m o t ，并利用磁光囚禁技术将冷原子冷却到 1 5 0 a k ，然后再将冷原子装入i p ( i o f f e - p r i t c h a r d ) 磁阱。由于自旋偏振相同的费米原子 间不发生弹性碰撞，当蒸发冷却到1 0 0 k 时，蒸发冷却效率极低，原子温度无法继续下降， 然而，两种不同自旋态间的费米原子不受泡利不相容原理的限制，可发生有效的弹性碰撞。 因此他们将费米”k 原子制备在二个自旋态：i f = 9 2 ，所f - - 9 2 ) 和1 f = 9 2 ，脚f = 7 2 ) 采用蒸发冷却到3 0 0 uk 时他们发现最低能级上的原子数从零增至6 0 ，费米原子的量子 简并出现了。此外，他耵 还观测了一个非经典动量分布，发现费米原子的总能量大于经典期 望值，这一多余的能量是由于在低于r ，巧( 耳是费米温度) 时泡利不相容原理促使原子 填充到二次囚禁势的较高运动态所致，甚至当温度接近0k 时，理想费米气体中的一个原子 仍然具有能量3 k 耳1 4 的确，在最低的r ，巧= 0 5 女t ，他们测量到的能量仅是r = o k 时极限的2 2 倍。 在同时囚禁与冷却两种不同自旋态的费米原子时，入们发现当进入有效的量子简并区域 后，蒸发冷却效率降低，只是因为可占用量子态的逐渐减少，出现了热动力学碰撞的冻结， 这个过程称为泡利冻结。为了克服这个缺点h u l e t 小组利用玻色子6 l i 与费米子7l i 的混 合与阿兹气体间的弹性碰撞实现有效的蒸发冷却，使它们同时进入量子简并 1 5 。在实验中 他们利用费米原子6 l i 和已蒸发冷却的玻色7l i 原子混合。由于它们之间的热动力学弹性碰 - 6 - 第二章f e s h b a e h 共振及分子b e c 的实验实现 撞而使费米原子l i 冷却到0 2 5 耳。从而实现了费米原子l i 的量子简并。2 0 0 2 年，t h o m a s 等人提出了一种采用c o j 激光阱及其光学势蒸发冷却技术实现费米6 l i 原子量子简并的全 光学方法( 1 6 】首先，他督j 荦j 异 磁光囚禁技术将费米原子6 l i 预冷至i s g p k ，然后装载进 入稳定的单束聚焦的c 0 ：激光阱，通过降低c 0 l 激光功率，实现了费米原子t i 的光学是 蒸发冷却，使原子温度降至4 a k 以下( 即费米温度耳= 8 # 的一半) ，从而实现了1 0 个 费米原子t i 的量子简并，实验结果如图2 3 所示。由图中可以看出，当蒸发冷却时间为6 0 s ， r t 耳= o 4 8 时，几乎所有原子的速率均小于费米速度咋= 1 4 c m s 这表明- 几乎所 有的原子t i 均处在费米量子简并状态。 图2 3 费米量子简并原子数随原子速度的分布 2 2 2 分子b e c 的实现 从2 1 节率，我们知道，当两个自由原子与准束缚分子态的能量一致时。将发生f e s h b a c h 共振，因此，在f e s h b a c h 共振附近，通过调节磁场强度，可以有效地改变原子间的相互作 用从而实现原子散射长度的符号改变和大小的调谐。近年来，人们采用全光学囚禁与冷却 7 东南大学硕士学位论文 办法和f e s h b a c h 共振技术实现了费米原子的量子简并及其超冷分子的产生，并在此基础 上实现了全光型分子的b e c 2 0 0 3 年1 1 月，g r i m 小组首先采用全光学冷却与囚禁技术实现了原子6 l i 的费米量子 简并；然后，通过聚焦y a 6 激光的光学势蒸发冷却和f e s h b a c h 共振技术实现了超冷2 分子；最后通过进一步的光学势蒸发冷却。在y a g 激光阱中实现了全光型气i2 分子的b e c ， 获得了l o 凝聚分子，钆2 分子嗽的寿命约为2 0 s 。2 0 年1 2 月，k e t t e r l e 小组采用类 似的单束聚焦的y a g 激光囚禁及其光学势蒸发冷却和f e s h b a c h 共振技术。也实现了全光型 气i2 分子的b e c ，获得了9 x 1 0 5 个凝聚分子跃迁温度为6 5 0 n 1 ，t i2 分子b e c 的寿命约为 4 0 0 m s 1 7 ，同年1 1 月，j i n 小组首先采用全光学冷却与囚禁技术，实现了”k 原子的费米量 子简并，然后通过单束聚焦y a g 激光( f 1 5 5 r a m ) 的光学势蒸发冷却和f e s h b a c h 共振技术， 实现了超冷”k 2 分子；最后通过进一步的光学势蒸发冷却。在y a g 激光阱中实现了全光 型”k2 分子的b e c ，获得了2 x l o 个凝聚分子，实验结果如图2 4 所示 1 8 。其中图2 4 ( a ) 为共振吸收像，图2 4 ( b ) 为分子云的一维光学密度分布实验结果表明在r = o 0 6 瓦 情况下，磁场在l o m s 内从2 0 2 7 8 g 扫描到2 0 1 5 4 g 时，分子b e c 出现了。 伽- 1 0 001 枷 p 妇舢n i - - 2 - i o o01 2 0 0 阳蜘舢删 图2 4 ”k2 分子b e c 的实验结果 3 一 l罩蕾口一盥-do 第二章f e s h b a c b 共振及分子b e c 的实验实现 2 2 3 费米原子对的凝聚 当磁场调谐到f e s h b a c h 共振的b e c ( a 0 ) 一侧时，原子能形成弱束缚的分子态，其束 缚能严重依赖磁场和f e s b b a c h 共振的失谐量因而采用光学势蒸发冷却和f e s h b a c h 共振技 术可以实现分子b e c 而当磁场调谐到f e s h b a c h 共振的b c s ( a ( o ) 一铡对，二个费米原子 通过长程偶极相互作用可以形成费米原子对。同样，利用f e s h b a c h 共振技术，可实现分子 b e c 到费米原子对的凝聚的演化，因此，在费米气体情况下，分子b e c 代表b c s b e c 交叉区 的弱排斥作用一侧，而费米原子对的凝聚( b c s ) 或等效的费米凝聚为b c s - b e c 交叉区的强 吸引作用的另一侧。2 0 0 4 年1 月，j i n 小组首先采用全光学( 蒸发) 冷却与囚禁技术实现了 ”k 分子b e c 。然后利用f e s h b a c h 共振技术控制原子相互作用，实现了第一个费米原子对的 凝聚，获得了1 0 4 个凝聚的费米原子对 1 9 。 2 0 0 4 年3 月，k e t t e r l e 小组实现了t i 原子的费米原子对凝聚体【2 0 。他们首先在磁 阱中利用l i 费米原子和n a 玻色原子间的协同冷却，获得t 3 x 1 0 7 个温度约为0 3 t 耳 的简并t i 原子，接着利用光学囚禁与光学势蒸发冷却技术，制备了3 1 0 6 + k i2 分子的 b f 范。此时磁场为7 7 0 g ，而f e s h b a c h 共振的磁场为8 2 2 3 g ，然后，在实验中，适当增 加光阱深度。使磁场能在5 0 0 m s 内实现6 5 0 一1 0 2 5 g 的调谐，从而实现t i 费米原子对凝聚 到6 l iz 分子的b e c 韵演化在探攫l 样品对。先关掉光阱。释放原子气体。然后使磁场以 3 0 g 艘的初始速度从9 0 0 g 按指数规律衮减到零，从而实现费米原子对到紧束缚分子的绝 熟转换。形成的分子云吸收成像如图2 5 所示其中三个图的初始温度分别为纠耳z o 2 0 1 和0 0 5 ，相应的分子数为2 x 1 0 6 个，费米原子对的凝聚百分比分别为0 0 ，0 1 ，0 6 图中实线为径向密度分布虚线为高斯拟合的热分布在这里，实现费米原子对到分子的转 换过程是我们理论研究的一个条件 一9 东南大学硕士学位论文 图2 5l i 原子对凝聚的实验结果 1 0 - 第三章压缩相干态理论及场分布 第三章压缩相干态理论及场分布 3 1 压缩相干态理论 压缩相干态是相干态的一种，在量子光学中是用来描述态函数的一种方式。根据压缩相 干态的性质，可以实现某一噪音的放大和缩小，这在量子光学及光通讯上有重要应用。下面 介绍一下它的性质。 3 1 1 压缩相干态 光场宁双光于哈卺锻重可以表不为以f 形式： h = 历+ 2 一g 口2 ) ( 3 1 ) 这里，窖是双光子耦合常数，双光子场的态矢量随时问的演变： j q ( o - - ”。，”i o ) ( 3 2 ) 上式中10 ) 是用f o r k 态表示的真空态。g 义压缩算gs ( o 1 s ( o = 既p ( 寺f 矿一 如“) ( 3 ，3 ) 二 善= r e x p ( i s ) 是任意的复数，r = l 纠。从上式，我们很容易验证压缩算符为幺正算符 s + ( 0 = s - l ( 0 = s ( 一0 利用p 。髓“= 占+ d ，丑卜五1 a ，- ，占卫+ ，很容易算出以下关系式 s + ( o a s ( o = a o a s h r - a + e ”s i a h r s + ( o a + s ( 国= 口+ c o s h r d e l 9s i g h t 定义一个旋转角度为a 2 的复数，有 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 五+ 啦= ( 五+ x 2 ) e 一悱 ( 3 ，7 ) 其中r 墨= 圭( 口+ 口+ ) x ：= - 刍ic a - a ) ，且k ，口+ 】= l 。如果( 3 7 ) 式满足以下关系 s + ( o c r l + f e ) s ( d ；b ”+ i y 2 e 7 ( 3 8 ) l l 苎要查竺堡圭兰竺丝苎 符合上述条件的压缩算符右面放一移位算符d ) = e 衄+ 4 _ ，两个算符依次作用 在真空态上时，这个态称为压缩相干态，记为j 口，爵，且有 盯，0 = s ( o d ( a ) i o )( 3 9 ) 在压缩相干态下，利用( 3 5 ) ，( 3 6 ) 式，我们可以计算湮灭算符口，湮灭算符平方口2 ， 及粒子数口+ 口在此态下的平均值。 砖= p ，f h 口，力= 口c d s h ，一口f ”s i n h ，( 3 1 0 ) ( 口2 ) = 仁，f i 口2 f 口，善) = 口2 c o s h ：，+ ) 2 e 2 1 0s i n h ：， 一2 l 爿2 e ”s i r 邀r e o s h r - - f r o c o s h rs i d h r( 3 1 1 ) 0 + a = j a l 2 ( c o s h 2 ，+ s i a h 2 r ) 一 ) 2 e t s i n h ，c o s h ， 一a 2 e 一”s i n h r e o s h r + s i n h 2 ， ( 3 1 2 ) ( 口+ 口+ 绷) = c o s h r l 口1 4 + s i n h 4r ( 2 + 4 1 a 1 2 + 盯) 一s i n h ，c o s h 3 ，f ( 2 j 叫2 口2 + 口2 ) 口叫。+ ( 2 | 口1 2 口2 + 口2 扣讲】 + s i n h ：r c o s h 2 ，( 4 扣r + 口4 p ”9 + 口”e 脚+ 8 p 1 2 + 1 ) 一s i n h 3r c o s h ， ( 2 1 a 1 2 口2 + 5 a 2 弦一”+ ( 2 j 盯1 2 口2 + 5 a 2 ) p ”】( 3 t a ) 接下来，看一下涨落问题。式( 3 7 ) 也可以表示为 】；+ 啦= a e x p ( - i 纠2 )( 3 1 4 ) 捌用式( 3 1 0 ) 一( 3 1 2 ) ，分剔计算算符墨，匕的涨落。有 ( 五) 22 佴2 ) 一( 墨2 ) = 三e 。 ( 3 1 5 ) ( a y 0 2 = 似) 一般) = r 1 ( 3 1 6 ) 巧e2 ( 3 1 7 ) 我们知道，对于两个算符和b ，满足对易关系0 ，曰】= i c ，如果两算符在压缩态 下，不确定度满足关系a 日= 去i q ，则此态为理想压缩态从( 3 1 7 ) 式可以知道， 压缩相干态是一理想的压缩态。因此可以通过增大其中一个力学量的不确定度去减小另一 第三章压缩相干态理论及场分布 个力学量的不确定度。 3 1 2 压缩态下的光子的统计分布 首先，介绍一下q 函数q 函数是算特反正常排序的关联函数，它的定义如下： q 【口，口) 2 h j d d 【口一a ) o ( a a 儿 【3 1 8 ) 方程的两边加上完备性条件三l 口) 他p 2 1 2 - _ - - 1 ，则有 烈盯，口) 2 去开p 2 口【户占 一酬口) 仁j 艿 一口) 】 = 昙t r f d 2 a p 莎( 口一口) i 口) p i 占【口一( a ，) 】) = 砉什( d 口) = 妻( 口i 纠口) ( 3 r ，。) 方程中p 为密度算符，对于q 函数具有归一化性质，即 i d 2 a q ( a ，口) = 1 ( 3 ，2 0 ) 接下来，我们借助于q 函数求解出压缩相干态光场的粒子分布情况由( 3 1 9 ) 式及压 缩相干态的密度算符p = i 户，善) ( ，引联立有 q ，口) = 昙仁i p l 口) = i 1 仁l ，f ) ( ，宇i 口) = 寺i 扛i 卢，f 1 2 ( 3 ，z 1 ) ( 口i ，f ) = 仁i s ( 0 d ) io ) = 仁p ( 0 i ) 2 寺( 口邮( 酬p ，曲 = 专( 口j s ( 。s + ( o 口+ s 硎肘) = 卜咖，( 刍+ 三卢) - - e - l e p s 址r c 口陬纠) c s 忽， 上式中用到了压缩算符的幺正性及( 3 6 ) 式。把上式方程两端乘因子口。左端移到右端， 得到一个方程 c o s h r e - ，9 s 劬，+ b 卢c o 曲，一口凇陬纠力= 。 c 。用， 求解上方程，我们有 仁阳) i ) = x e x 卧扣 + a p s e c h r + i 2 e - i o 2t a n h ，) ( 3 2 4 ) 东南大学硕士学位论文 其中 坤，口属从旧= ( 辩c 啦e x p 一弘1 2 _ _ p 1 气口) 2t a n h ， ( 3 z s ) 这样把上式代入( 3 2 4 ) 式就有 仁i s ( 酬力= ( s e c l m , - ) ；zc x p _ 丢。纠2 + i 口1 2 ) + 口s 胁一丢p ”p ) 2 一e ”卢2 】恤h r ) ( 3 2 6 ) 光场的分布函数p o ) = 肛l p ，善) 1 2 可以通过上式进行计算 f ) = 封甩) ( 懈) i 峰等( 槲i , a ) z z ， 式( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 进行峨稠胁i t e 多项式的性质e 哪州2 ) = 薹孚 我们得到 i p 沪豢蒜券e 啦! c 孵e “2 以 羞盎) 渤 舯方罢鲁斗忻+ 妒删w 】讪，壮弓叠1 2 c s z 。， 下面主要借助妇n d e lq 参量分析光场光子的分布特性。 v , , a m d e iq 参量描述了光场的光子统计对泊松分布的偏离- 定义为； q = 铲= 可( n 2 ) - c s 。， f 0 。 q = = o 【 s i n h 2 ，c o s h 2 7 万e 4 r 时，为亚泊松 分布，此时场的平均光子散( ) 对应于场分布几率最大处。当2 0 时。有q 恒大于o ，始终为超泊松分布。此时 ( ( ) 2 ) = 1 翻2 ( c o s h 4 r + s i n h 4 r ) - ( c o s h 2 r + s i r h 2 r ) + s i n h z m s h 2 r = 泖( e “一口2 7 ) + s i n h 2r c o s h 2 r ( 3 3 3 ) 考虑l j 2 与s i n h ：r 的比值，我们发现当_ j s i n 旦h 2r 1 时震荡消失结果如图3 3 和图3 ，4 s i g h 。7 一l s 东南大学硕士学位论文 图3 3图3 4 p = 7 7 5 3 5 ，r = o 6 ，( ) = 2 0 0，= o 9 2 5 2 , r = 2 6 ，( ) = 2 0 0 图3 3 ，图3 4 为超泊松分布 3 2s u 0 ，1 ) 和s u ( 2 ) 相干态理论 3 2 1s u o ，1 ) 相干态 s u ( 1 。1 ) 相干态是与李群相联系一种的厂义的相干态。返荚相干态司以由大量的非线住 光学过程产生我们知道，s u ( 1 。1 ) 群的李代数由生成元k o ，也组成- 它们满足对易关系 k ，凰】- 墨，k + ，k _ = - 2 k o ， ( 3 3 4 ) 定义相应的c a s i m i r 算符 c = 霜一：i 、k + j 【十足一k + ) ( 3 3 5 ) 选择力学量完全集c 凰的本征态f 七，疗) ，有 l 未，行) = r ( 2 的，【斑r ( 疗+ 2 t ) 】p 2 k ：t k ，o ) ，n = 0 , l ，2 ， ( 3 3 6 ) 在c 。k o 共同本征态下，各算符满足下列关系 k o l k ，鸡= + 叫七，妨 ( 3 3 7 a ) c i 七，玎) = | j ( 七一叫七，砖 o 3 t o ) k + j k ，一) = 托鬲网| ，n + 1 ) ( 3 3 7 c ) k 一旧n ) = 4 n ( + 2 t 5 1 ) l k ，疗一1 ) ( 3 3 7 d ) 1 6 一 第三章压缩相干态理论及场分布 在c k o 共同本征态的基础上，我们定义s u ( 1 ，1 ) 相干态 z ，砖= f ( ：) i 豇，一) 这里丁( z ) = e x p ( z k + 一z k 一) = e x p ( r k + ) c x p ( f l k o ) e x p ( - - r 疋) ， ( 3 3 8 ) ：= 一罢e x p ( - f 们，= t a n h ( o 2 ) e x p ( - f 办夕= l i l ( 1 一l r l 2 ) ，口( 曲，m ) ，妒【0 ，2 万】。 s u ( 1 。1 ) 相干态满足完备性条件l z ，七，功( z ，k ，玎j - i ，利用量子力学知识，很容易计 算下列关系式： r + 局r = e o s h ( 0 ) k o 一三s i n h ( 0 ) c e - f 丘+ 疋) ( 3 3 9 a ) r + k i t = s h 2 ( 罢) 疋+ e x p ( 土f 2 们s i n h 2 ) b 一“p ( 动s i n h ( 0 ) ( 3 3 9 b ) 在s u ( 1 ，1 ) 相干态下，如果体系的哈密顿量有下列形式，则它的本征值就很容易得出 h = w k o + g 置+ + g 。k 一，g = i g l e x p ( i b ) h i z ，k ，疗) = e ( z ，酬毛j i ，n ) 利用( 3 3 9 ) 一( 3 4 1 ) 式- 计算体系的能量得 e ( z ，开) = ( 以+ j i ) ( 珊2 4 i g i 2 ) 驷 其中t a 蚴= 型盟c o s ( 伊+ 回，伊+ j = 埘万，m = o ，士l ，蛇，。 3 2 2s u ( 2 ) 相干态 s u ( 2 ) 相干态也是李代数的一种，用j 六加) 表示，其定义为 ( 3 4 0 ) ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) 博j 确= t 僦j ，呐= 刚。一 1 j 一嚏j ，确0 4 3 ) 式中宇= 罢e x p ( - f 咖，口( 0 ，石) ，尹e o ，2 露) ，l 加) 态为d i c k c 态，以， ，以为s u ( 2 ) 李代数生成元，满足对易关系 k ，j _ f 2 j 3 鼽，以】= 以 且有关系 以j 川= 刊州，j j 肋) = 面而而丽一l 加土1 ) 一1 7 - ( 3 4 4 ) 东南大学硕士学位论文 当册= 一，时态i 与, - j ) 是通常的s u ( 2 ) 相干态。 态i f ，加) 非正交的，当孝= 芋时有归一关系 ( f ，j m l 善, j m ) = 颤， ( 3 4 6 ) 同样利用量子力学知识r 很容易得到以下关系 r + ( o 以7 僧) ：以c o s 2 导一口“2 ，s i n 2 昙厶一p “，s i n t 7 厶( 3 4 7 a ) r ( o 以t ( o = j 3c o s 8 + 去s i n e ( e o r - + p “j + ) ( 3 ，4 咖 在s u ( 2 ) 相干态下，如果体系的哈密顿量有如下的形式，它的本征值很容易求出 h = 2 吐以4 - 6 i + + ， ( 3 4 8 ) h i 孝，户磅= 司磊如) 则体系的能量为 e ：2 m 网 其中留口= 一l 掣，这里= f e i 8 且伊= 口。 l s 一 0 4 黔 ( 3 s o ) 第四章b e c - b c s 混合体系的相干态理论 第四章b c s b e c 混合体系的相干态理论 4 1 哈密顿的线性化 上面我们已经介绍了绝对零度下，碱性费米气体在外磁场的情况下，体系发生f e s h b a c h 共振，从而系统中有双原子分子形成，形成的准束缚分子化学势不稳定，因此分子寿命不长 很容易再次转化为两个原子。由于分子的这个特殊的特点。成为人们研究的焦点。分子形成 以后，体系不仅有处在三重态的原子，我们把它称为散射态，而且有处在单重态的由双原子 形成的分子。有关这个体系哈密顿量的描述是用唯象的方法描述体系的状态。在这里我们 同样沿用这种方法。多考虑了准束缚分子之问的相互作用有关哈密顿量的描述可以看相关 文献 4 儿1 2 ；考虑碱性费米气体，体系中原子处在两个不同的超精细自旋态盯= 个，j ，并 且n 1 = i2n 2 ，代表总原子数- 在f e s h b a c h i 共摄的情况f ，考虑s 渡散射r 体系的 哈密顿量描述如下： 宜= a 一心= ( 占，一，) c ：，c ，。一u ，c ：c ：，c - p c ， + ；峨+ 2 v 一以店：玩+ g o ，西：咄b qb qs q ：- q ：q 。 7 q q ：q 吼 + g ，；( 6 ：c ， 姐c j 4 1 式子中知，6 | 分别是原子和分子的湮灭算符；盯= 个，上代表原子处在不同的自旋 态；p ：旦一，f ：j 分别代表原子、分子的动能；是化学势，分子化学势与原子化 。2 m上一4 m 学势酌关系为。t2 i z 2 a ；u 2 4 瘢2 a l l h i m 为原子问相互作用，它与散射长度 口培，原子密度珂，原子质量所有关：原子分子耦合系数g ，- ( m 7 ，茁是一个与磁场和单 重态与散射态磁矩差有关的物理量，g 。也是与磁场有关的量：2 p 是f e s h h a c h 共振失谐量 也是一个与磁场有关的物理量，其大小可以通过改变外磁场调节 有很多文献处理上面的哈密顿量，都是采用玻戈留玻夫变换求解其本征值，然后处理 各种热力学镯题。鲡粒子数( 包括原子，分子) ，化学势，临界温度等随失谐频的变化，但 却不涉及杰的描述在这里，我们用平均场近似，不仅可以求解体系的总能量，同样可以处 1 9 理上面的问题而且可以得到态的描述，这不能说不是一种好的方法 首先，考虑分子绝大多数都处在凝结春，即q