（基础数学专业论文）有限个增生算子族隐迭代过程的收敛性.pdf

摘要 在一般b a n a c h 空间中研究了针对非扩张映象导出增生型算子的隐迭代过程。我们 的结果改进了h k x u 的结果，把条件从严格伪压缩映射推广到了增生型算予，讨论了 不带误差和带误差两种情形，并证明了他们的收敛性定理，所以我们的结果改进和推广 了参考文献中的相应结果。 关键词西强增生映象；强伪压缩映象；强增生算子；一致l i p s c h i t z 隐式迭代序列 a b s t r a c t i na r b i t r a r yb a n a c hs p a c e si m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s s e sf o raf i n i t ef a m i l yo fa c c r e t i v e m a p p i n g sa r es t u d i e d o u rr e s u l t si m p r o v et h em a i nr e s u l t so fh k x u w ed i s c u s s e dt w o i t e r a t i o nm e t h o d sa n dp r o v ec o n v e r g e n c et h e o r e m s r e l e v a n tr e s u l t so fr e f e r e n c el i t e r a t u r ea r e i m p r o v e da n de x t e n d e d k e yw o r d s ：o - s t r o n g l ya c c r e t i v em a p p i n g s ；s t r o n g l yp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n g s ；s t r o n g l y a c c r e t i v em a p p i n g s ；u n i f o r m l yl i p s c h i t zi m p l i c i ti t e r a t i o ns e q u e n c e i i 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 壶囊盘! i日期：丝年卫月丛日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阀。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月目解密后适用本授权声明。 2 、不保密盯。 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名： 导师签名： 日期：丝! 垒年生月旦e 1 日期：丝年丛月且日 b l 言 1 、引言 在本文中，我们处处假设e 为b a n a c h 空间，e + 是e 的共轭空间，( ，) 表示e 和e + 间的广义对偶序对e 一2 p 是由下式定义的正规对偶映射： 删= ，e e = l i x l l - ，1 1 4 1 = l n i ，垤e e 众所周知，如果f 一致光滑，那么，是单值的且在f 的每一个有界子集上一致连续 ( 见 1 】) ，所以我们用歹来表示单值对偶映射下面我们介绍在本文中所用到的定义和 引理。 定义1 1 ：设k 是e 的非空子集，称映射r ：k 斗e 是p 强增牛映象，若存存严格 增函数弘r + _ 胄+ ，妒( o ) = o ，使得 ( t x 一砂，( ，一y ) ) 妒0 k y 1 1 ) l l x y 0 定义1 2 ：设足是e 的非空子集，称映射孔蜀_ 层是强增生的，如果对所有的x 邵，存在，( x - - y ) e j ( x 一力和一个常数女 0 ，使得 ( ：r x _ ：r y ，( z y ) ) l j | 卜一y 旷。 特别的当k ：0 时，称r 为增生算予。可以看出强增生映射是伊强增生映象当妒( x ) = 舡 时的特别情形。 条件 ( a 一黟，( x 一一) ) - k l l x y l l 2 可以等价于对任意v x ，y d 盯) 及， 0 i i x - y l l - l l x y + ，盱一材b 一仃一材b 】4 ( 见 2 】) 定义1 3 ：设算子r 的值域月( 即ce ，定义域d ( 乃cf ，称算子丁是强伪压缩的， 如果对所有的x ，y d ( 丁) ，存在o y ) ， 一y ) 和一个常数o k l 一 使得 ( a 一7 v i ( x 一v 1 ) 订一) i i x - ) w 2 一 1 河北大学理学硕士学位论文 有时，( 强) 增生算子( 强伪压缩映象) 也称为严格增生算子( 严格伪压缩映象) 。 已熟知，列鼍( 强) 伪压缩映象当且仅当( j 一7 1 ) 是( 强) 增生算予。 增生映射的概念最先是由b r o w d e r 和k a t o 在1 9 6 7 年分别引入的。早期的关于增生 映射理论的基本结果应归功于b r o w d e r ，他用这一理论证明初值问题： _ d u ( t ) 4 - t u 似= o “( o ) = l o a l 是可解的，如果，在e 上是局部l i p s c h i t z 的且是增生的。 关于含有增生型算子方程解的迭代法的讨论，由于它在解的存在性和解的逼近理论 中的重要性，吸引了许多学者进行研究。从上个世纪8 0 年代这一内容一真是增生型算 子理论的重要研究课题之一。总结起来，迭代法的发展有以下几个阶段。 1 p i c a r d 迭代： 任取e ，做以下迭代 x l = t x o ，x 2 = t x l = t 2 x o ，- - ，x ”l = t ”x o ， 在一定条件下，该迭代序列 x 。) 收敛，设憋k = x ，则a 。：x ，即扛。) 收敛到r 的不 动点。这一迭代法是建立压缩映象原理的基础，它是1 9 1 1 年l 扫p i c a r d 导出的。 2 m a n n 迭代：任取x o e ，做以下迭代 x = ( 1 一o f 。) x 。十口。t x 。 在一定条件下，该迭代序列扛。 q 殳敛n t 的不动点。它是1 9 5 4 年由m a n n 导出的。 3 i s h i k a w a 迭代：任取e ，做以下迭代，这是由两步来进行的迭代 y 。= ( 1 一芦。h 。+ 卢。t x 。 x 。“= ( 1 一口。) x 。4 - d 。印。 所得到的两个序列x 。 ，扣。 ，都可以收敛于丁的不动点。它是1 9 7 4 年由i s h i k a w a 导 出的。 4 三重迭代：该迭代法予2 0 0 0 年左右由n o o r 等人导出。这是由三步来完成的迭 一， 引吾 代 毛= ( 1 一以h 。十以致。， 0 y 。= ( 1 一羼b 。+ 成弛。，n 0 z 肿1 = ( 1 一a 。h 。+ 口。砂。，玎0 所得到的三个序列扛。) ，p 。 ，扛。 在一定的条件下都可以收敛于r 的不动点。这三种 迭代一步比一步更深入，收敛性越来越强。有例子表明存在序列 x 。 使得l s h i k a w a 迭代 收敛于t 的不动点，而m a n n 迭代不收敛于r 的不动点( 见 3 】) 。三重迭代首先由n o o r 4 ，5 在研究h i l b e r t 空间中变分不等式解的迭代遏迸时引入，后来g l o w i n s k i 和pl e t a l l e c 6 】利用三重迭代程序考虑了粘弹性问题、清澈流体理论和特征值计算阀题，他 们证明了三重迭代逼进在数值上的优越性。h a u b r u g e 等人在【7 中利用三重迭代得到了 变分不等式的分裂型算法，并用于解决凸规划和两个凸函数和的最小化问题。由此他们 还得出了许多与三重迭代类似的许多算法。 从迭代法的构造可以看出如果凡= 0 ，则三重迭代算法简化为i s h i k a w a 迭代，如 果，。= 0 且成= o ，则三重迭代算法简化为m a n n 迭代。 最近，x u 和o r i 8 】针对非扩张映象导出了有限个非扩张映射族的隐迭代过程。设 王，正，不是个由d 到其自身的非扩张映射，且 f ：= n ：。f ( z ) o 是正，互，0 的公共不动点。对章。 c ( o ，1 ) ，x 。d ，我们定义有限个非扩张映射族的 隐迭代过程如下。 定义1 4 ： ) c 1 = f l x o + ( 1 一f 1 ) 互x 】 z 2 = f 2 x 】十( 1 一t 2 ) r = x 2 z = t , v x 1 + ( 1 一f ) 瓦，x 河北大学理学硕士学位论文 | | ! e j 一i i i i i ii 墨 x + l = f + 1 x + ( 1 一t , v + 1 ) 互x + ：1 1 ) 也可以写成以下简略形式： x 。= f 。一1 + ( i t 。 f o x 。， 一1 ， 其中瓦= 疋。“。，k 1 = 1 ，2 ，n 。他们证明了这一迭代过程在h i l b e r t 空间内弱收敛 予五，t ，瓦的公共不动点。同时，还可以引出这一迭代有误差的情形。 注意到以上形式的迭代与 “= ( 1 一t 。) x 。一l + x 。， 以1 ， 其中正= t 。的形式的迭代是等价的。本文的讨论以等价形式出现。 当t 是严格伪压缩映射时，o s i l i k e 9 3 将上述关于x u 和o r i 【8 】针对非扩张映象导出 的隐迭代过程用于严格伪压缩映射并得到一系列收敛性结果。在本文中我们试图将这一 隐迭代过程用于增生型算予，引出增生型算予的隐迭代法，讨论了不带误差和带误差两 种情形，并证明它们的收敛性定理。 磊璧翟箸篓王鎏璺璧垡鎏堡鎏錾譬兰 2 、有限个增生算子族隐迭代过程的收敛性 2 1 不带误差的情形 引理2 1 ：( 见 9 ) 设妇。 ，溉 ，喊) 是三个非负实数序列，满足 口。蔓( 1 + 瓯) 口。+ t 如果 ：t 1 一生， 所以 o n f ，一等1 疗。 啼0 ( n - - + o o ) 。 j = l j = l 即密 一讣。， 因此l i r a x 。= p 。 推论2 1 ：f ：x x 为一致l i p s c h i t z 连续强增生算子( f = 1 , 2 ，n ) 。且具有强增 生常数k = 1 ，设i 一，的l i p s c h i t z 常数为厶( 厶1 ) ，关于口。的假设如定理2 ，1 ，则出( 2 1 ) 式得到的隐式迭代序列k ) 收敛到 r , x = f 的一个公共解。 证：由于z 是强增生算子，且强增生常数k = 1 。所以r 一，是增生算予。又方程 r x = f 等价于方程 x + ( r i ) x = f ， 因此，根据定理1 ，当以z 一，代替z 时结论成立。 定理2 2 ：z ：x 呻x 是p 一强增生映象( f = l 2 ，) ，即觇、y d ( t ) , 3 j j ( x y ) 和严格增函数纯：r + 寸r + ，识( o ) = 0 ，使得 x z y ，) p ，0 k y 1 1 ) l l x y l l 若z 是l i p s c h i t z 一强增生的， t x = 厂( f = 1 , 2 ，n ) 有公共解p 。设 s i x = 厂+ 0 一z 扛， 则s ，有公共不动点，设缸。 由 x 。= ( 1 - 。) x 。+ 口。s 。工。s 。= 鼠。( 1 0 1 ) ，扛。) c o ，1 】 生成的溉出隐式迭代序列得到，且 口。= c 。，2 ! 业- y 1 1 ) + l j x - 一y j j = 仃( x ，y ) ，。茎口扛。，p ) 1 。 舣一s 。扣a 如，y ) 一0 一s j h 一口g ，y ) y ，) 0 由k a t o 1 的结果有 i x - y l l - 。，则( 2 4 ) 可写为 i x - p l l 1 + c g r 生_ a , 2 l 恢 。一p l 因斗0 ，故存在，当力时 ( 1 + 口1 一扣) ( 1 鸲，叫2 上) 小瓯2 - 1 + 扣飞r + 了r 2 咐2 啪2 一l 9 河北大学理学硕士学位论文 “( ，+ 等心一上 0 因而有 蒜1 ( ，2 ) 。 + 口。r 一口：三 l “ 于是( 2 4 ) 成为 i i x - p t l ( 一引| i x 。_ , - p j l ， 类似定理1 1 的证明，从 口。= o o 可知 l i r a x 。= p 。 若 l i m i n f c r ( x 。，p ) = 0 注意到 1 十口。盯g 。，p ) 一口：上1 一， i 端有界鼠宝n = o 2 o ， 由( 3 3 ) 式有 i i x - p l l 2 x _ l - p 1 1 2 + 一f 2 a 眠妒( a ) a ( 3 4 ) 由 _ 0 。o o ) ，知存在自然数，当一n 时有 妒( 占) ，由( 3 3 ) 、 ( 3 6 ) 、和( 3 7 ) 式，我们有 2 2 带误差的情形 h p k 。 p + 篙一惫胁 h r p l | 2 此与假设矛盾，故有峙一p 忙成立。由归纳法易知v 脚l ，有 i x + ，一p | i 占 成立。最后出s 的任意性可知 x 。 j ， 。o ) 。 河北大学理学硕士学位论文 3 、结论 我们在一般b a n a c h 空间中研究了针对非扩张映象导出增生型算子的隐迭代过程讨 论了不带误尊和带误差两种情形，主要结论如下： 定理2 1 ：设j 是实b a n a c h 空间，f ：x z 为一致l i p s c h i t z 连续增生算子 ( f = 1 , 2 ，n 1 。令 s ，x = f 一7 , x ， 则s 的不动点即为方程x + z x = f 的解，设f ( s ，) 代表s ，的不动点集，且假设 n f ( s ，) = f o ， ，= i 书j ) ：。的隐式迭代序列扛。 ，定义如下 若 矗= ( 1 一口。) x h + 口。s 。矗，最= s 。“0 1 ) ，扛。 c o ，1 】 ( 2 1 ) 熙铲o 萎铲。， 则上面隐式迭代序列x 。) 收敛到z + z x = ，的一个公共解p 。 推论2 1 ：l ：x _ z 为一致l i p s c h i t z 连续强增生算予( i = 1 , 2 ，n ) 。且具有强增 生常数k = 1 ，设z 一，的l i p s c h i t z 常数为l ( l 1 ) ，关于口。的假设如定理2 ，1 ，则由( 2 1 ) 式得到的隐式迭代序列x 。) 收敛到z x = 厂的一个公共解。 定理2 2 ：z ：斗x 是妒一强增生映象( f = 1 , 2 ，) ，即v x 、y d 口l 影j ( x y ) 和严格增函数妃：r + 斗r + ，纯( o ) = 0 ，使得 ( 互x t , y ，) 妒，0 卜一y 1 1 ) l t x y l l 1 6 3 、结论 | 自目自一i l 自! 自t e ! ! e 皇 若z 是l i p s c h i t z 够, 一强增生的，z x = f ( i = 1 , 2 。，) 有公共解p 。设 s t x = f + ( ，一z ) x ， 则s 有公共不动点，设扛。) 由 x 。= ( 1 一口。) x 。一。+ 盯。s 。z 。 s 。= 叉。埘) 0 1 ) ， 缸。 c o ，1 生成的$ ， 羔，隐式迭代序列得到，且 a 。= 。，口。2 。， ”；0月一0 则x 。) 强收敛于i x = 厂的公共锯p 。 定理3 1 ：设是实b a n a c h 空间，正：x x 是尹一强增生映象( f = 1 , 2 ，n ) ，且 u r ( i r ) 有界，设。0 ，= 。， 每。) 是x 中满足0 “。i i = d ( ) 的序列，定义 。 月。o s ，x = 厂+ ( i 一正) x ， 若i x = 厂( j = l 2 ，) 有公共解p ，则由( 3 1 ) 得到的扛。 强收敛于z 工= 厂的公共解p 。 我们的结果把条件从严格伪压缩映射推广到了增生型算子，讨论了不带误差和带误 差两种情形，并证明了他们的收敛性定理，所以我们的结果改进和推广了相应结果。 4 、参考文献 【1 】t k a t o ，n o n l i n e a rs e m i g r o u p sa n de v o l u t i o ne q u a t i o n s ，j m a t h s o c j a p a n1 9 ( 1 9 6 4 15 0 8 5 2 0 【2 曾人川：b a n a c h 空间中关，增生箅子方程的迭代法的强收敛定理+ 数学年刊，2 4 a ：2 ( 2 0 0 3 ) ，2 3 1 2 3 8 3 】c e c h i d u m ea n ds a m u t a n g a d u r a , a ne x a m p l eo nt h em a n ni t e r a t i o nm e t h o df o r l i p s c h i t z p s e u d o c o n t r a c t i o n s ，p r o c a m e rm a t hs o c ，1 2 9 ，8 ( 2 0 0 1 ) 2 3 5 9 - - 2 3 6 3 ma ，n o o r t h r e e 。s t e pi t e r a t i v ca l g o r i t h m sf o rm u k i v a l u c dq u a s iv a r i t i o n a li n d u s i o n s 【j j m a t h a n a l a p p l ，2 5 5 ( 2 0 0 1 ) 5 8 9 - 6 0 4 【5 】man o o r t h r e e - s t e pi t e r a t i o n sf o rn o n l i n e a ra c c r e t i v eo p e r a t o re q u a t i o n s 【j 】j m a t h a n a l a p p t 2 7 4 佗0 0 2 ) 5 9 - 6 8 【6 】r g l o w i n s k ia n dpl et a l l e c , a u g e m e n t e dl a g r a n g i a na n do p e r a t o r - s p l i t t i n gm e t h o d si nn o n l i n e a r m e c h a n i c s ，”s i a m ，p h i l a d e l p h i a1 9 8 9 t 7 s h a u b r u g e ，v h n g u y e na n dj , j s t r o d i o tc o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n so f t h eo l o w i n s k i - l e t a l l e c s p l i t t i n gm e t h o df o r 丘n d i n ga z e r oo f 出es a mo ft w om a x i m a lm o n o t o n eo p e r a t o r s j , o p t i m t h e o r ya p p l 9 7 ( 1 9 9 8 ) ，6 4 5 - 6 7 3 8 h - k x u ，r g o r i ，a ni m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s sf o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g ，n u m e r f u n c t a n a lo p t i m2 2 ( 2 0 0 1 ) 7 6 7 7 7 3 9 m o o s i l i k e ，i m p l i c i ti t e r a t i o np r o c e s s f o rc o m m o nf i x e dp o i n t so faf i n i t ef a m i l yo fs t r i c t l y p s e u d o c o n t r a c t i v em a p s j 。m a t h a n a l a p p l2 9 4f 2 0 0 4 ) 7 3 8 1 1 0 l ，q i h o u ，l t e r a t