（基础数学专业论文）球幂零轨道与酉表示.pdf

一一一 一 南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ：( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、f 载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 l非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 7 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 。1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：毖明筮 2 0 1 0 年6 月3 日 论文题目球幂零轨道与酉表示 姓名张明敬 学号2 12 0 0 7 0 0 0 9答辩日期2 0 1 0 年5 月2 6 日 论文类别博士口学历硕士一硕士专业学位口高校教师口 同等学力硕士口 院系所陈省身数学研究所 专业基础数学 联系电话 13 7 5 2 0 4 6 5 7 3 e m a i l 0 31 0 0 3 0 m a i l n a n k a i e d u c n 通讯地址( 邮编) ：天津市南开大学西区公寓3 3 5 0 6 ( 3 0 0 0 71 ) 备注： 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 55獬9 3卅肌mi8 miii洲丫 。擎徘曳革拱珥毒妊珏非晕t 审苇车搜丢￥拦掣荆蟛萃融科丢拦妤非勘 华园辫虿兽考焉( 粉丝毕一) 鲁藓晕勒甲。萃礤科毒明千照干斟晕埘明士群辫錾甘娶毕雄斟卓：票 ：嚣号 ( i l 0 0 0 ) 9 0 9 。e 革妤因墅杀￥妊掣靶截￥：( 骘卿) 弭骈世甄 u o 。n p o ! g ) l u e u i 碍m o o 【i 妒m i s 9 加乙乳i 娶胃显油 杀骠啦髯i 不每i抬西抱杀磉暂幕蜘鳕呈，豳 口千逊华杀岛刨口坐6 磋辫掣口再毒不牟千通千避鲋杀口干科暗椠茸现 目9 e 恸o t o zl 睁目挺嚣l 6 0 0 0 l o o e i i 鲁杀i 骤醣滟 男辅 些擎豆与靴嗡霪盏轻目骚茸砚 冒翳晕勒萃礤珥毒鬲筚妊毒￥拦掣 甚1 | 甚乡奄o 虢 甓歹防：专玛y 砰群磊票勃 。晕禺勘皓圈瞠翱雨距抱甲辑盟摹一苦蜀锋砰群卓。革酵娶丁皋癸晕刨y 卓 。百目y 卓甲酱詈司业雅疑刨业囡蹲琏一晕甲驯茸砚章驾拼写硝士申茸观珥杀朝蕈群：挺 嚣茸砚裂觋昌# 智勤朝貊毕勤飓刨麟区索杀￥妊掣翠髻茸珏珥秦阴y 卓：密凄y 卓 。叫q x o p u y l 0 0 8 ：1 9 o z ii z o ? , l ：d q ：辏幽勘牛国辫豆蕈瞥列士目茸砚 。茸拱拦移刨暂殂哇革瞢g 毋硝暂酯滑篱咄萆蕾蝤掣业e f j 割睁翠龄茸锲砑杀拄导非 。胖砰驹茸识擎髯璐新耐髯翠曷哿y 卓轴刨。暂甜冒粤身狭蟛鞑鼻圈* 醉并轻娶犁辨醵 茸砚珥素翠醉y 劲冀硎士审嚣谣茸现珥杀朝国鲜第群雄瞥穗狲印壬甲( 翠椠) 肚睁半杀国七b 瞠岿琶抱冒署辑性国七b 叫辫嘉雄群岩勘茸观珥索( 妒) ：茸砚再秦明拦影蕈群再责晕群僻革辚 刨嘉￥妊卑犁群￥晕勰旦骣群诽( e ) ：暂殂冒身兽丐翕肄i 、甄孵茸弓茸现谣厢群茸、率 群誊目茸现话群丁豳国鸷翠罄断磊蛳掣辫渭篱蚓瞬参勘锋囤翠僻壤椠勘茸砚珥嘉驹拦罾 琳厢卫辫杀朝目擅性瞠杀磷( z ) o 犁群骠茸弓茸砚珥杀千避斟嘉￥妊单y 嘴冀茸 观珥杀币延地型哿旨圭陴善珊髯疆 1 刍黔、由缮自滥相辽珥嘉( 硎壬印疆章0 曾由驺狮辨母) 茸拱珂杂蕈瞢晕群辫澎硒岩勘罪珂嘉( i ) ：曲砰茸班茸砚珂秦明早图娶罩群餮砰勤鐾： 翠单衅素￥妊单。犁群醢戛朝甘陛唑攀劲茸现珂杀雨距拽* 晕杀￥妊单蝴上弓辈y 章 。列士审翠群疆章驾掳茸观觋朵明y 卓适群秦￥妊阜叫蟛解昙舒 蜂碍杂千班、千科朝辫錾餮峰蟊舄甘唑哇鞲劲茸砚觋杀雨g 擅壬* 杀￥拦掣辨群 锋砰群甘科革弧珥毒毒￥岳掣 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：韭塑墼2 0 1 0 年6 月3 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 4 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限2 0 年月日至2 0年月 日 审批表编号批准日期 2 0 年月 日 南开大学学位办公室盖章( 有效) 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长1 0 年，可少于l o 年) 中文摘要 中文摘要 当一个容许幂零轨道对应的迷向子群的连通分支群的不可约表示是平凡的， 并且这个轨道的复维数不小于2 的时候，我们把轨道上的正则函数空间和轨道相 关的丛上的代数截面空间联系起来，并且计算出了典型代数上的球幂零轨道上的 正则函数空间通过齐性空间上的正则函数和抛物诱导表示的理论，我们可以计 算某些不可约酉表示的髟有限向量组成的空间比较这两部分，我们在g l ( n ，c ) 中的某特殊情况下，验i 正t v o g a n 猜想的成立最后，我们给出了更多其他的例子 关键词：球幂零轨道容许表示v o g a n 猜想酉表示 一一一一 a b s t r a c t a b s t r a c t w h e nt h ei r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no ft h eg r o u po fc o n n e c t e dc o m p o n e n t so ft h e i s o t r o p i cs u b g r o u pa s s o c i a t e dt oa l la d m i s s i b l en i l p o t e n to r b i ti st r i v i a l ，a n dt h ec o r n - p l e xd i m e n s i o no ft h eo r b i ti sn o tl e s st h a n2 ，w er e l a t et h es p a c eo fr e g u l a rf u n c t i o n s o nt h eo r b i tw i t ht h es p a c eo fa l g e b r a i cs e c t i o n so ft h ea s s o c i a t e db u n d l e a n da l s o f w ec a l c u l a t et h es p a c eo fr e g u l a rf u n c t i o n so nas p h e r i c a l n i l p o t e n to r b i to fc l a s s i c a l l i eg r o u p s t h r o u g ht h et h e o r yo ff u n c t i o n so nh o m o g e n e o u ss p a c e sa n dp a r a b o l i c i n d u c t i o n ，w ec a nc a l c u l a t et h es p a c e so fk - f i n i t ev e c t o r so fs o m ei r r e d u c i b l eu n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s c o m p a r i n gt h e s et w op a r t s ，w ev e r i f yv o g a n sc o n j e c t u r ei ns o m es p e c i a lc a s eo fg l ( n ，c ) f i n 批w eg i v em o r eo t h e re x a m p l e s k e yw o r d s ： s p h e r i c a l n i l p o t e n to r b i t a d m i s s i b l er e p r e s e n t a t i o n v o g a n s c o n j e c t u r eu 越t 町q 耽s e n t 如o n c o n t e n t s 一一一 l c o n t e n t s 中文摘要 上 a b s t r a c t c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 一：l c h a p t e r2 p r e l i m i n a r i e s ：j 2 1r e d u c f i v eg r o u p sa n dr e p r e s e n t a t i o n s 2 5 2 2 f i n i t e d i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o n so fc l a s s i c a lg r o u p s 4 2 3 r e g u l a rf u n c t i o n so no r b i t s 6 2 4 s e c t i o n so f t h e a s s o c i a t e d l i n e b u n d l e s 7 2 5 n i l p o t e n to r b i t s 8 2 6 s p h e r i c a lo r b i t s 1 2 c h a p t e r3v o g a n sc o n j e c t u r e o nq u a n t i z a t i o n f1 4 3 1 a d m i s s i b l ec o a d j o i n to r b i t s 1 4 3 2 v o g a n sc o n j e c t u r e 1 6 c h a p t e r4 m a i nr e s u l t s 1 9 4 1 r e g u l a r f u n c t i o n s o n n i l p o t e n t o r b i t s 1 9 4 2 r e g u l a rf u n c t i o n so nh o m o g e n e o u ss p a c e s 厶： 4 3 p a r a b o l i ci n d u c t i o n 2 2 4 4 g = g l ( n ，c ) ，研2 ，p 2 1 2 r ) c a s e 2 7 4 5s o m es p e c i a le x a m p l e s 2 9 4 5 1 g = s o ( 4 n ，c ) ，d y 2 z n lc a s e 3 0 4 5 2 g = s p ( 2 n ，c ) ，d y 2 n 1 2 1c a s e j 1 4 5 3 g = s o ( 4 r + 2 ，c ) ，铣2 ，1 2 1c a s e 儿 r e f e r e n c e s j z 致谢 3 4 个人简历 3 5 i u c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n s u p p o s e t h a tgi sas e m i s i m p l el i eg r o u p t h ep h i l o s o p h yo fc o a d j o i n to r b i t s ， a sp r o n o u n c e db yk i r i l l o va n dk o s t a n t , s u g g e s t st h a tu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n so fga r e c l o s e l yr e l a t e dt ot h eo r b i t so f g 0 1 1t h ed u a lg o f t h el i ea l g e b r ago f g o n eh a sk n o w n h o wt oa t t a c h r e p r e s e n t a t i o n st os e m i s i m p l eo r b i t s s o ，p e r h a p st h e m o s ti n t r i g u i n ga n d d i f f i c u l tp r o b l e m ；nt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fr e d u c t i v el i eg r o u pi st h i s ：h o wc a n o n ea t t a c hu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n st on i l p o t e n tc o a d j o i n to r b i t s ? a c t u a l l y , d u f l o ( s e e 【11 ) f o u n dt h a t ，t ot h em o r eg e n e r a lg r o u p s ，t h eo r b i tm e t h o d s e e k st oa t t a c hu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n st ot h o s ec o a d j o i n to r b i t ss a t i s f y i n gac e r t a i ns u b - f i er e q u i r e m e n to fa d m i s s i b i l i t y a na d m i s s i b l eo r b i td a t u mi sap a i r ( 九，z ) w i t ha f g ；a n dza ni r r e d u c i b l eu n i - t a r ya d m i s s i b l er e p r e s e n t a t i o no fg ( a ) n o te v e r yn i l p o t e n tc o a d j o i n to r b i ti sa d m i s s i b l e b u tw h e nt h el i eg r o u pgi s c o m p l e xa n dr e d u c f i v e ，w eg e tt h a te v e r yn i l p o t e n to r b i ti sa d m i s s i b l e ，a n dt h ea d m i s s i b l er e p r e s e n t a t i o n so fc ( z ) a r ei no n e t o o n ec o r r e s p o n d e n c ew i t hi r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n so f t h eg r o u pg ( z ) g ( z ) 0o f c o n n e c t e dc o m p o n e n t so f g ( 元) a s s u m ea l s ot h a tgi sa c o m p l e xr e d u c t i v eg r o u p ，a n dk i sam a x i m a lc o m p a c t s u b g r o u po fg a b o u tt h eo r b i tp h i l o s o p h yf o rn i l p o t e n to r b i t s ，d v o g a ng a v ea c o n j e c t u r ea sf o l l o w e d ： s u p p o s et h a tg i sac o m p l e xr e d u c t i v el i eg r o u p , a n dx = g 九2g g ( z 、i s an i l p o t e n tc o a t i j o i n to r b i t s u p p o s ew ea r eg i v e na ni r r e d u c i b l eg - e q u i v a r i a n tl o c a ls y s t e mo nx je q u i c a l e n t l y , a ni r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n ( z ，v z ) o ft h ef i n i t eg r o u p g ( z ) g ( z ) o ，o ra ni n d e c o m p o s a b l eg e q u i v a r i a n th o l o m o r p h i cv e c t o rb u n d l e 吃o n xw i t ha f l a tc o n n e c h o n t h e nt h e r ei sa t t a c h e dt o ? ca ni r r e d u c i b l eu n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n 兀( | ；l ，z ) o f g t h es p a c eo f k - f i n i t ev e c t o r so f 万( 九，z ) i si s o m o r p h i ct ot h es p a c e o f a l g e b r a i cs e c t i o n so f t h eb u n d l e 砭 i nt h i sp a p e r , w ew i l lv e r i f yt h ec o n j e c t u r ei ns o m es p e c i a lc a s e s l e tab ea n i l p o t e n te l e m e n t , a n d 汐t h eo r b i ta t t a c h e dt o 九w h e nt h ei s o t r o p yg r o u po ( z 1i s l 一一一 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n i s i m p l yc o n n e c t e d ，w ek n o wt h a tt h e r ei so n l yo n ea d m i s s i b l ed a t u m a n da l s ow h e n d i m e 汐2 ，t h es p a c eo fa l g e b r a i cs e c t i o n so ft h eb u n d l e 吃w r i t t e ni nt h ec o n j e c t u r e ， w i l lb ea c t u a l l yi s o m o r p h i ct o 纺( 汐) ，t h er e g u l a rf u n c t i o n so nt h eo r b i t 纱 s u p p o s ei na d d i t i o nt h a tg i sac l a s s i c a ll i eg r o u p ，a n d 九i sa s p h e r i c a ln i l p o t e n t o r b i t , w ec a ng e tt h eg e n e r a t o r so f 历( 汐) t h e nw h a tw en e e dt od oi sf i n d i n gau n i t a r y r e p r e s e n t a t i o ns u c ht h a ti t ss p a c eo fk - f i n i t ev e c t o r si si s o m o r p h i ct o 纺( 扩) ，a sag - r e p r e s e n t a t i o n i nt h eg l ( n ，c ) c a s e ，l e tt h ep a r t i t i o no fa s p h e r i c a ln i l p o t e n to r b i tb e 2 7 ，l - 2 r ， w h e r en 2 r w ew i l ls e et h er e p r e s e n t a t i o ni n d 舅l ( n c ) ( 1 ) ，w h e r epi ta p a r a b o l i cl i e s u b g r o u po fg w i t ht h el e v if a c t o rg l ( r , c ) g l ( n 一c ) a n dw ew a n tt op r o v et h a t t h i sr e p r e s e n t a t i o nw i l ls a t i s f yt h ec o n d i t i o n si nv o g a n sc o n j e c t u r ef o ra t t a c h m e n tt o t h eo r b i t a b o u th o wt of i n dt h i sr e p r e s e n t a t i o n ，t h ep a p e r 【2 】m a yg i v eu ss o m ec l u e s b yt h et h e o r yo fp a r a b o l i ci n d u c t i o na n dt h er e g u l a rf u n c t i o n so nh o m o g e n e o u ss p a c e s ， w ec a nc a l c u l a t et h es p a c eo fk - f i n i t ev e c t o r so ft h er e p r e s e n t a t i o ni n d e a l ( n c ) ( 1 ) t h e n b yw e y l su n i t a r yt r i c k ，w ef i n dt h a tt h i ss p a c ei se x a c t l yi s o m o r p h i ct ot h es p a c eo f r e g u l a rf u n c t i o n so nt h eo r b i t 研2 1 一知1 m o r e o v e r , w ep r o v et h a tt h i sr e p r e s e n t a t i o n i si r r e d u c i b l ea n du n i t a r y s o ，i ts a t i s f i e sa l lt h ec o n d i t i o n sr e q u i r e di nt h ec o n j e c t u r e t h a ti s ，w ev e r i f yv o g a n sc o n j e c t u r ei nt h i sc o n d i t i o n f i n a l l y , w eg i v em o r eo t h e re x a m p l e s i ne a c hc a s eh e r e ，w eg i v eau n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n , w h o s es p a c eo fk - f i n i t ev e c t o r si si s o m o r p h i ct ot h es p a c eo ft h er e g u l a r f u n c t i o n so n 血eo r b i t 2 c h a p t e r 2p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e r , w ef i r s t l yr e c a l lt h ed e f i n i t i o n sa n ds o m ep r o p e r t i e sa b o u tr e d u c f i v e l i eg r o u p sa n dr e p r e s e n t a t i o n s t h e nw ei n t r o d u c et h er e g u l a rf u n c t i o n so no r b i t sa n d 也es e c t i o n so ft l l ea s s o c i a t e dl i n eb u n d l e s w ew i l lu s et h e s et or e l a t et h es p a c eo fa l g e - b r a i c ；s e c t i o n so fs o m eb u n d l ew i t ht h es p a c e o fr e g u l a rf u n c t i o n so nan i l p o t e n to r b i t f i n a n y , w ew i l lr e c a l lt h ep r o p e r t i e so fn i l p o t e n to r b i t s ，a n dg i v et h ec l a s s i f i c a t i o n so f n i l p o t e n to r b i t sa sw e l la st h es p h e r i c a ln i l p o t e n to r b i t si nc l a s s i c a ll i ea l g e b r a s 2 1r e d u c t i v eg r o u p sa n dr e p r e s e n t a t i o n s d e f i n i t i o n2 1 1ar e d u c t i v el i eg r o u pi sa c t u a l l ya4 - t u p l e ( g ，k ，o , b ) c o n s i s t i n go f a 1 2 eg r o u pg - ac o m p a c ts u b g r o u pko fg ，al i ea l g e b r ai n v o l u t i o n0o f t h el i ea l g e b r a g oo yg 册, a n dan o n d e g e n e r a t e , a d ( g ) i n v a r i a n t , o - i n v a r i a n t , b i l i n e a rf o bo ng o s u c ht h a t i1 ) 0 0t sar e d u c t i v el i ea l g e b r a ； f 2 j t h ed e c o m p o s i t i o no f o oi n t o + 1a n d 一1e i g e n s p a c e su n d e r 0 sg o = + p o ， w h e r e i st h el i ea l g e b r ao f k ； ( 3 a n d p 0a r eo r t h o g o n a lu n d e r & a n d bi s p o s i t i v ed e f i n i t eo np oa n d n e g a t i v e d e f i n i t eo n 它o ； ( 4 ) m u l t i p l i c a t i o n a sam a pf r o mk e x p p 0i n t og ，i sad i f f e o m o r p h i s mo n t o ； a n d 阿e v e r ya u t o m o r p h i s ma d ( g ) o f g = ( g o ) ci si n n e r f o rg g ，f 巴，括g i v e nb y s o m e x 伽i n t g w ec a l l ( g ，k ) ap a i ri fg ，ka l ea l g e b r a i cg r o u p se n d o w e dw i t h ： ( 1 ) a l li n c l u s i o no fl i ea l g e b r af ：芒_ g ；a n d ( 2 ) 。a l la l g e b r a i ca c t i o na do fk o ngb ya u t o m o r p h i s m s ，c o r n p a t i b l ew i t hf a p a i r ( g ，k ) o f r e d u c t i v ea l g e b r a i cg r o u p si sc a l l e dar e d u c t i v es y m m e t r i cp a i r , i f i ti se n d o w e di na d d i t i o nw i t h ： ( 3 ) a l li n v o l u t i o na u t o m o r p h i s m0 o fg ，c o m m u t i n gw i t ha d ( k ) ，w i t hf i x e dp o i n t 3 一一一一 c h a p t e r2p r e l i m i n a r i e s j s e t 霉 w _ es a yt h a t ( g ，k ) i so fh a r i s h c h a n d r ac l a s si ft h ea u t o m o r p h i s m si na d ( k ) a r e i n n e r f h a ti sa u t o m a t i ci f 足i sc o n n e c t e d ) w r em a ya g a i ns p e a ko ft h ep a i r ( i t , k ) d e f i n i t i o n2 1 2a r e p r e s e n t a t i o no f t h el i eg r o u pg o nt h ec o m p l e xv e c t o rs p a c ev 细 ac o n t i n u o u sa c t i o n ： p ：gxv v 矿g o nvs u c ht h a t f o re a c hg gt h et r a n s l a t i o n 珞：v 卜p ( g ，v ) i sal i n e a r m a p w e c a l lt h ep a i r ( p ，v ) ac o m p l e xr e p r e s e n t a t i o na n dv t h e , r e p r e s e n t a t i o ns p a c e w h e n vi s 觚t e - d i m e n s i o n a l , t h ed i m e n s i o no fv i a sac o m p l o j ：v e c t o rs p a c e ) i sc a l l e dt h e d i m e n s i o nd i m vo f t h er e p r e s e n t a t i o n i fvi sa c o m p l e xr e p r e s e n t a t i o no fg ，a l lh e r m i t i a ni n n e rp r o d u c tv v - - + c ， ( h ，v ) 卜( h ，v ) i sc a l l e dg i n v a r i a n ti f ( g u ，g v ) = ( “，v ) f o r a l lg ga n dh ，v v a r e p - r e s e n t a t i o nt o g e t h e rw i t hag - i n v a r i a n ti n n e rp r o d u c ti sc a l l e dau n i t a r yr e p r e s e n t a t i o n 2 2f i n i t e - d i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o n so fc l a s s i c a lg r o u p s w h e ngi sac o n n e c t e dc l a s s i c a lg r o u p ，af i n i t e d i m e n s i o n a li r r e d u c i b l er e p r e s e n - r a t i o no fg d e c o m p o s e si n t oad i r e c ts l l mo fw e i g h ts p a c e sr e l a t i v et ot h ea c t i o no fa m a x i m a lt o r u so fg t h et h e o r e mo ft h eh i g h e s tw e i g h ta s s e r t st h a ta m o n gt h ew e i g h t s t h a to c c u ri nt h ed e c o m p o s i t i o n ，t h e r ei sau n i q u em a x i m a le l e m e n t , r e l a t i v et oap a r t i a l o r d e rc o m i n gf r o mac h o i c eo f p o s i t i v er o o t sf o rg t h em a x i m a ld e m e n t ，c a l l e dt h e h i g h e s tw e i g h t , o c c u r sw i t hm u l t i p l i c i t yo n ea n du n i q u e l yd e t e r m i n e st h er e p r e s e n t a - t i o n w ea s s u m et h a tgi sac l a s s i c a lg r o u pw h o s el i ea l g e b r agi ss e m i s i m p l e ，a n dbi s ac a i ns u b a l g e b r ao fg d e f i n i t i o n2 2 1w ed e f i n et h ew e i g h tl a t t i c ef o rga s e ( g ) = _ p f ) + f ( p ，h a ) gf o ra l la 西) 矿v 括ag - m o d u l ea n dv ( u ) o ，t h e nw es a yt h a tpi saw e i g h to f v c h o o s eab a s i s 凰，憨，砀加rbn g ，g 】，t h e nd e f i n et h ed o m i n a n tw e i g h t s f o r 垦j ( r e l a t i v et ot h eg i v e n c h o i c eo f p o s i t i v er o o t s ) t ob e p + + ( g ) = p p ( g ) i ( p ，髓) 0y o r i = 1 ，z 4 一一一 c h a p t e r2p r e l i m i n a r i e s t h ed o m i n a n tw e i g h t sf o rga r e 户+ + ( g ) = p ( g ) n p + + ( g ) w h e ngi ss l ( n ，c ) o rs pn ，c ) ，p + + ( g ) = 4 + ( g ) ；a n dw h e ngi ss o ( n ，c ) ， p ( g ) i p ( g ) 型z 2 z d e f i n et h el i n e a rf u n c t i o n a l se io n1 ) b y ( e ，a ) = a if o r a = d i a g a l ，a z b t h e n 1 ，f ) i sa b a s i sf o r 旷 p r o p o s i t i o n2 2 2 ( 【3 】，p r o p2 5 1 1 ) f o re a c ht y p eo fc l a s s i c a lg r o u p , t h ed o m i n a n t w e i g h t sa r eg i v e ni nt e r m so f 舭w e i g h t s f ) a s f o l l o w s ： r nl e tg = g l ( n ，c ) o rs l ( n ) t h e np + + ( g ) c o n s i s t so f a l lw e i g h t s 肛= k l e l + + k 岛，w i t hk l 娩a n d 勉一缸+ l z f 2 j l e tg = s 0 ( 2 l + 1 ，c ) t h e np + + ( g ) c o n s i s 拈o f a l l