（基础数学专业论文）多体qutrit纠缠的slocc分类.pdf

摘要 本文对两体和三体q u t r i t 纯态进行ts l o c c 分类通过对纯态在 任意一组基下系数矩阵结构的研究，我们得出，两体和三体的q u t r i t 纠 缠在s l o c c 下可以分别分成2 种和1 2 种不同的等价类此外，我们还将 结论推广到了态空间为佗x 竹佗的情形 关键词：q u t r i t ，纠缠态，s l o c c a b s t r a c t w ec l a s s i f yb i q u t r i ta n dt r i q u t r i tp u r es t a t e su n d e rs t o c h a s t i c1 0 - c a lo p e r a t i o n sa n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n b yi n v e s t i g a t i n gt h er i g h t s i n g u l a rv e c t o rs p a c e so ft h ec o e m c i e n tm a t r i c e so ft h es t a t e s ，w eo b t a i ne x p l i c i t l yt w oi n e q u i v a l e n tc l a s s e so fb i q u t r i ts t a t e sa n dt w e l v ei n e q u i v a l e n tc l a s s e so ft r i q u t r i ts t a t e sr e s p e c t i v e l y a n da l s o ，t h ew a yo f c l a s s i f y i n gp u r es t a t e sh a sb e e ng e n e r a l i z e dt o 礼钇nc a s e k e yw o r d s ：q u t r i t ，e n t a n g l e ds t a t e ，s l o c c 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其它个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：彳勿农时1 日期：瑚3 年么月砷日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名：才幻农，j l l 1 日期：分年参月冲日 1 引言 自从量子力学的基本理论形成以来，对量子纠缠的研究就一直是 量子理论研究的重要课题量子纠缠态已成为当代量子理论的一个关 键性概念，它在量子信息处理，如量子计算、量子离物传态、量子密钥 建立、量子纠错中起着非常重要的作用【1 9 有些研究工作表明，不同 类型的纠缠态有不同的性质：量子纠缠q u d i t 态比量子纠缠q u t b i t 态的有 着更好的抗“噪音”能力【1 ，2 1 ；在量子密码理论中，用q u t r i t 或者q u d i t 宝q 缠比用q u b i t 能更好地防止被“窃听”f 3 ，4 ，5 ，6 以上研究工作更加激 发了我们对于高维( 维数3 ) 纠缠态的兴趣 由于量子纠缠是一个与非局域性相联系的概念，因而局域上的量 子算子不会影响纠缠的本质7 1 ，这是纠缠的一个特性，也是s l o c c ( s t o c h a s t i c l o c a lo p e r a t i o n sa n dc l a s s i c a lc o m m u n i c a t i o n ) 分类的理论基础之一文 献 8 的作者提到，s l o c c 等价纯态可以不同非零概率完成相同的 量子信息“任务”，且对于两个体纯态皿和圣，它们在s l o c c 下等 ，价的充分必要条件是存在可逆局域算子( i l o s ) f i l l ，f n i 使 得皿= f 【1 f 2 1 of 【】中 最近几年，人们已经在基于s l o c c 的多体纠缠态的分类方面做 了许多工作f 3 1f 9 一1 8 1 ：l l a m a t a ，j l e 6 n ，d s a l g a d oa n de s o l a n o 给 出了对于体q u b i t 坌q 缠的一个推理分类方法，并且得到了三体和四体 纠缠的分类 1 5 ；对于两体q u b i t 纯态的分类，文献3 1 中用到了一些纠 缠检测；值域判据也被用来检验两个纯态是否在s l o c c 下等价，并且 应用到了2 仇佗态空间 9 】；2 2 几系统中的多体纠缠可以分为 两类 1 0 ；m f c o r n e l i o 等工作者证明了四体q u b i t 纯态可以由行列式 为1 的s l o c c 算子转化为九种不同的类别【1 3 1 ；利用态在基下的标准型 和局域酉算子多项式不变量，文献 1 4 给出3 - - 体q u b i t 纯态的分类 本文中，我们学 - - 3 了文献【1 5 】所给出的分类方法，利用该方法研究 了两体和三体q u t r i t 纯态基于s l o c c 的分类，并且将结果推广到了态 空间是几凡死的情形( 并与别人的工作做了一些比较) 2基本概念和基本知识 2 1态空间 量子力学系统中态由h i l b e r t 空间中的矢量描写，称表示量子态的 矢量为态矢量h i l b e r t 空间就是态矢量张起的空间，在量子力学中称为 态空间严格说来，量子力学中的态空间是扩充了的h i l b e r t 空间，因为 在量子力学中除去包括有限矢量外，还包括长度无限的矢量，而这些矢 量在数学h i l b e r t 空间中是没有的 由于量子态从数学上讲可以用h i l b e r t 空间的复矢量表示d i r a c 【2 0 引用一个称为右矢( k e tv e c t o r ) 的符号表示态矢量：i 矽) 妒是表征 具体态矢的特征量或符号，1 ) 表示这是一个向量d i r a c 还引进符号( i 称为左矢( b r av e c t o r ) 左矢( 妒i 是矢量i 妒) 的共轭向量引进共轭向量 后，态矢空间两矢量l 矽1 ) ，l 矽2 ) 的内积记为( 矽li 矽2 ) 量子态的内积满足 下面的性质【2 l 】： ( 1 ) 线性的 ( 矽l 忱) = ( 矽懈 i i ( 2 ) ( 矽l i 妒2 ) = ( ( 妒2 i 矽1 ) ) ( 3 ) ( 矽i 矽) o 等号成立当且仅当l 砂) = 0 ( 4 ) 矽) i i 兰 ( 矽l 矽) 最简单的量子力学系统为一个量子位即二维h i l b e r t 空间记二 维h i l b e r t 空间的两个互相独立的态分别为1 0 ) 和1 1 ) 一个量子位可以处 在叠加态 i 妒) = a 1 0 ) 4 - h i l ) 中其中。和6 是复数条件i 矽) 是一个单位向量，( 妒i 妒) = 1 ，等价于i o l 2 + i b l 2 = 1 似l 移) = 1 称作态矢量的归一化条件 2 2 张量积 张量积就是把若干个向量空间放在一起成为一个更大的空间这 种构造对于理解多体量子系统是非常重要的【2 1 2 设y 和彬分别是m 和佗维的态空间，为方便起见可以假定y 和彬 是h i l b e r t 空间，则y 圆w 是一个m 维的态空间y w 的元素 是y 中的向量i 口) 与w 中的向量i 伽) 的张量积 i 叫) 的线性组合特别 地，若l t ) 和l j ) 分别是态空间y 和w 的正交基，那么i i ) i j ) 是y w 的 正交基我们可以将张量积i u ) pl w ) 简记作i v ) 1 w ) ，i u ，叫) 或者i v w ) 例 如，若y 是基为i o ) 和1 1 ) 的二维向量空间，贝, j i o ) 1 0 ) - - i - - 1 1 ) o1 1 ) v 矿 由定义张量积满足下列基本性质： ( 1 ) 对任意的标量z 和y 中的l u ) ，w 中的l 叫) 有 z ( i u ) l ) ) = ( z l 影) ) ( i 伽) ) = i 影) o ( z l w ) ) ( 2 ) 对y 中的l 秽1 ) ，i 钞2 ) ，w 中的i 叫) 有 ( i 钞1 ) + i 移2 ) ) i w ) = i v l ) pi i t ) ) + i v 2 ) i 训) ( 3 ) 对y 中的i u ) ，w 中的i 训1 ) ，l w 2 ) 有 l 钞) ( i 训1 ) + i 趔2 ) ) = l u ) ol 铷1 ) + l u ) 圆1 w 2 ) 对于矩阵来说，设a 为m 礼的矩阵，b 为p q 的矩阵，则矩阵的 张量积a b 可定义作 = ( 篇a l l b 三a 1 2 b a 1 佗b a 2 死b a m n b 其中a i j b 为p q 的矩阵，因i l l a0b 为唧xn q 的矩阵 例如，向m - ( 1 ，2 ) t 与向量( 2 ，3 ) t 的张量积为 ( 三) 。( 三) 3 矩阵x = ( 呈。1 ) 与矩阵y = ( ：言) 的张量积为 x y = ( 呈：；三：；) = 2 3密度算子 00 一t 0 i0 一t00 o 0 o 密度算子为描述不完全确定的态的量子系统提供了更为简单的方 法 2 1 密度算子也经常称作密度矩阵确切地，设量子系统以概率砘处 在一组状态i 呲) 的某一个，其中t 是一个指标，则称 仇，) ) 为一个纯态 的系综系统的密度算子定义为 p 三鼽( 呲 t 一个算子p 是相应于某个系统 轨，l c d 的密度算子当且仅当它满 足下列条件 2 1 ： ( 1 ) ( 迹条件) t r ( p ) = 1 ； ( 2 ) ( 正条件) p 是一个正算子 密度矩阵有一些简单的性质： ( 1 ) 幺正不变性：若p 是密度矩阵，贝u u p u t 仍是密度矩阵，其中u 是 幺正矩阵 ( 2 ) 凸性：若p l ，p 2 是密度矩阵，贝, z j a m + ( 1 一入) p 2 仍是密度矩阵， 0 入1 ( 3 ) 转置不变性：密度矩阵的转置仍是密度矩阵 ( 4 ) 张量积不变性：两个密度矩阵的张量积仍是密度矩阵 4 2 4 纯态和混合态 有了密度算子的定义，可以给出纯态与混合态的一个更明确的刻 画下面两个定义是等价的 定义2 4 1 对密度矩阵p ，韶r ( p ) = 1 ，则枷是纯态j 韶7 ( p ) ( 移k l = p k p k ， kk 2 5可分态和纠缠态 2 5 1纯态情形 ， 主1 用态矢量的语言描述： 对两体纯态l 矽) h i - 2 ，如果存在i 矽1 ) h i 和i 矽2 ) - 2 ，使 得l 矽) = i 妒1 ) i 矽2 ) ，则称i 矽) 为可分态，否则称i 矽) 为纠缠态 例如，去( 1 l o + 1 1 1 ) = 1 1 ) o 去( 1 0 ) + 1 1 ) ) 为可分态，而去( 1 0 0 + v 么v 么、么 1 1 1 ) ) 为纠缠态 乏t ) 用密度矩阵的语言来描述： 纯态p = i 矽) ( 矽i ，i 矽) h ioh 2 ，如果存在l 矽1 ) 日1 和i 矽2 ) h 2 ， 使得p = p l 圆p 2 = i 妒1 ) ( 砂1 l0l 穆2 ) ( 妒2 i ，则称p 为可分态，否则称为纠缠 态 显然上述两种定义是等价的 以上讨论的复合量子系统是由两个子系统构成的如果复合量子 系统是由佗个子系统构成的，即日= h i - 2 圆0 日n ，则上述定义 可以自然地推广如下： 5 纯态i 砂) h ，如果存在l 砒) 凰，i = 1 ，2 ，n 使得i 矽) = l 矽1 ) qi 也) p 圆l ) ，则称i 矽) 为可分态，否则成为纠缠态。 纯态p = i 矽) ( 砂i ，i 矽) h ，如果存在) 觑，i = 1 ，2 ，几使 得p = p iop 2 p n = i 妒1 ) ( 矽1 ipl 矽2 ) ( 妒2 iq i 矽n ) ( 妒n i ，则称p 为 可分态。否则称为纠缠态 纯态是直积态当且仅当它是可分态因此，直积态可以看成是可分 态的特殊情况 2 5 2 混合态情形 t ) 用系综语言来描述： 设有两体混合态p h i 圆h 2 ， p = 鼽( 蚓= 硪鼢( 讥 t i 其中l 他) ，i 渡) h io - 2 利用密度矩阵的凸性，可以证明上式的分解 方式有无穷多种如果存在一种分解，使得对其中出现的任意i ，) 都 是可分的，则称p 为可分态，否则称p 为纠缠态 i i ) w e r n e r 定义【2 2 】： 对两体混合态p 巩 如，如果存在l 砂- ) h a 和i 矽乌) h b ，p i 0 ，tp i = 1 ，使得 p = 阢圆p 尹- - m 见慨) ( 缟i 惦) ( 矧， ii 其中p 尹= i 矽盖) ( 妒二i 是矾上的密度矩阵，j d 尹= l 砂刍) ( 矽刍l 是上的 密度矩阵，则称p 为可分态，否则称p 为纠缠态 显然上述两种定义是等价的，关于混合态可分的以上两种定义也 可以推广到多体日= h i 圆尻 p 的情形 设混合态p h ， p = p 列他) ( 讹i = 赢l 厩) ( 渡i ， 其中) ，i 他) h 如果存在一种分解，使得对其中出现的任意i ，慨) 都是可分的，则称p 为可分态，否则称p 为纠缠态 6 设混合态j d h ，如果存在l 织) 马，歹= 1 ，2 ，他和阢 0 ，tp i = 1 ，使得 p = p i p ；q 房。q 露= 鼽吣( 蚓。旧( 硼。固( 吼 i i 其中房= i 谚) ( 谚i 是马上的密度矩阵，则称p 为可分态，否则称p 为纠 缠态 2 。6谱分解、极式分解和奇异值分解 引理2 6 1 储分解 2 i d 向量空间v 上的任意正规算子m 。机的某个标准正交基下可对角化 反之任意可对角化的算子都是正规的 定理2 6 1 做式分解，) 令a 是向量空间v 上的线性算子，则存在酉算子u 和半正定算子j 和k 使 得 a = u ，= j k 其中，和k 是难一满足这些方程的半正定算子，定义为j 三、a t a 和k 三 a a ，而且，如果a 可逆，v 还是难一的 称表达式a = u t j r 为a 的左极式分解，而a = k u 为a 的右极式分解 证明j 兰 a t 4 是一个半正定算子，于是可以进行谱分解，= t 沁l 乏) ( 引( 九o ) ，定义) 三a 鼢从定义出发，有( 慨1 咖) m 久2 下面 只考虑那些满足入o 的t 对这些i ，定义l e i ) 三i 饥) h 于是i c i ) 是归一 化的，而且它们还是正交的，如果i j ，则( e 引勺) = ( i l a t a l i ( k e k d ) = ( i t j 2 l i ) ( 久i ) = 0 我们考虑了满足入0 的毫现在利用g r a n m - s c h m i d t 过程来扩展 标准正交组l e i ) ，以形成标准正交基，仍记为i e t ) 定义酉算子u 兰 ii e ) ( 主i ，当a o 时，我们有u d l i ) = 入i 旧) = 慨) = a 1 1 ) ，当入e = 0 时，我们有u j i 薯) = 0 = l 咖) 我们已证明a 和u j 在基i t ) 上的作用一致， 于是u = a j t j r 是唯一的，因为u = a ，的左边乘以伴随方程a t = j u ? ，给 出，2 = a t a ，也就看出j 兰、4 t 4 是唯一的容易知道若4 是可逆的， 7 则j 也可逆，于是u 唯一地由方程u = a ，一1 确定，可以得到右极式分 解，因为a = u t j r = u j u t u = k u ，其中k 三u j u t 是半正定算子又 因为a 4 t = k u u t k = k 2 ，故必有k 三a 9 2 一- 2 ，证毕 推论2 6 1 倚异值分例 令q 是一个m 行仡列矩阵，n q ，总可以表示为 q = v e w t ，( 1 ) 其中v 和w 分别为m 阶和n 阶酉矩阵，e a i m n 是一个非负对角矩阵 证明由极式分解，对某个酉矩阵s 和半正定矩阵了，成立q = s j 由谱分解定理，对酉矩阵t 和非负对角阵，成立了= t e t t 令v 三s t 和彤= t ，证明完毕 2 7 左( 右) 奇异向量、左( 右) 奇异子空间 定义2 7 1 对于奇异值绷= y w t ，我们称列句量y = v lv 2 v 仇 ( w = 1 ：w lw 2 w 文) 为q 的左( 右) 奇异向量称对角矩阵中的菲负 对角元素为q 的奇异值， 定义2 7 2 我们称由左( 右) 奇异向量张成的线性空间为左( 右) 奇异子 空间，记衍( ，夕即r = s p a n v 1 ，u _ i ；) ( ，= s p a n w l q 叫” 3 两体q u t r i t 坌q 缠的分类 定理3 1 令皿，画c m 圆c n 为n # s l o c c 等价态，即 画= f 【1 1o f 【2 1 ( 圣) ， 其中舟l , n f 磷分别为空间c m 和c n i 的菲奇异算子那么它们在任意 一组张量基下相应的系数矩阵c 。e 有以下关系： 0 = ( e l ”1v ) e ( f 2 l t w ) 8 证明令 e t ) 讧l ，m 和 乃) j ：1 ，胡分别为空间c m 和c 佗中的一组基， 那么任意向量皿c 仇oc n 可以写为 其中c e ，为的复系数矩阵c = ( q ，) m ，凡为的系数矩阵 由奇异值分解定理，任何一个mx 佗矩阵c 总可以分解为c = y w t ， 其中y ，w 为酉矩阵，是一个非负对角矩阵( 其非负对角元为奇异值) 所以 mnm i n ( m ，n ) 皿= v i k o k w j k e i 。疗 i = lj = l k = l 我们有 f 【1 】 f 【2 】( ) = 幻，七哆七伽硝1 e z 。叫裂 = 2 1 m 七砖1 r 耽忌口惫伽氛砖裂e f = f m ( ( f i l i t v ) e ( w t f 翻) ) 溉e 圆，m = f m ( ( f f l 广v ) ( f 【2 t w ) t ) l m e z 因而0 = ( f i l l t v ) e ( f 2 1 t w ) t ，证毕 由于奇异向量只与那些非零的奇异值有关，因此，我们约定，我们 提到奇异向量时指的是那些奇异值不为零的奇异向量也就是说，我 们只考虑这样的和叫，使得某个口岔 0 由两体纯态的s c h m i d t 分解，态( 2 ) 可分当且仅当d i mw = 1 ( 或d i mv = 1 ) 1 5 】 由上述定理不难得出，若u ，和叫，分别为系数矩阵c 的左右奇异向 量，那么新系数矩阵e 的左右奇异向量将分别为f 【1 1 t ( 吻) $ 船f 2 l t ( w j ) 为了简化记号 1 5 】，我们将s l o c c 等价态皿，画之间的关系表示 为量= f i l l 丁 f 【2 1 + ( 皿) 接下来我们考虑两体( 佗= m = 3 ) 情形此时，空间c 30c 3 中任意 一个纯态的系数矩阵可以表示为 c 1 3j 引 q疗 。眈 叼 n 芦 m 汹 = 皿 q q 岛 9 q q q ， 一 = c 若d i m = 1 ，我们可以选择i l o sf t l 和f 2 1 使得 f n ( u 1 ) = i 1 e 1 f 2 1 ( 伽1 ) = e 1 ， 其中e i ，i = 1 ，2 ，3 ，为c 3 的一组基那么新系数矩阵口将有如下形式 。= ( 1 o o ) ， 其对应于可分态皿o = 1 0 0 ) ( 以下我们记e l = l o ) ，e 2 = i l 和e 3 = 1 2 ) ) 若d i mi i = 2 ，选i l o sf 1 s df 2 1 使得 础z ，1 ) = 石1e l ，砒秽2 ) = 1 批叫- ) = e 1 ，f 2 = e 2 。= ) 其对应于纠缠态皿1 = 1 0 0 ) + i i i ) 者：d i m1 - i = 3 ，选i l o sf i l l 和f 【2 】使得 f 【l 】( z ) = i 1e 1 ，f 【1 】( 秽2 ) = 五1e 2 ，f f l 】( 姐) = 石1 e 3 ， f 【2 】( w i ) = e 1 ，f 【2 】( 叫2 ) = e 2 f【2】f叫31：e冀, 那么e 变成了一# - 3 3 单位阵，其对应的于纠缠态皿2 = l o o ) + 1 1 1 ) + j 2 2 ) 因而，两体q u t r i t 纯态基于s l o c c 有两种不同的纠缠方式：皿l 和皿2 而参考文献 3 中提到两体q u t r i t 纯态有三种不同的纠缠类： i o o ) ) ，i 删= 去( 1 1 1 ) + 1 0 0 ) + i - i - i ) ， i 一1 1 ) + 1 1 0 ) + 1 0 1 + i o 一1 ) + i 一1 0 ) ) 1 0 + + l 1 l 1 土以上佰 = = rr j r f， 我们发现类l j j ) 事实上与l j ，) 是s l o c c 等价的：l i i i ) 可以写为 l l l i ) = 击【1 1 ) 去( 1 1 ) + 1 0 ) ) + 1 0 ) 。击( 1 1 ) + l 一1 ) ) + l 。) o 去( j _ 1 ) + | o ) ) 】， f 川= 1 0 0 ，f 吲= 击( 二1 j 1 ) ， 我们有f 【l 】of 1 2 i h i ) = i ，) 这个结果也可以由文献 8 中所提到 4 三体q u t m t ，q 缠的分类 任意一个三体q u t r i t 纯态皿c 3 c 30c 3 有如下形式 若我们将系统看做两部分：第一部分和剩下的部分，皿的系数矩阵可写 为 当然，还有其它两种方法来写出皿的系数矩阵：q 1 1 3 和q 1 1 2 不失 一般性，我们接下来只用系数矩阵q 1 2 3 三体q u t r i t 纯态的分类思想是选择i l o sf i l l ，f 【2 】和f 【3 】使得最终 的系数矩阵化简为一个标准形式因此，我们必须找到c 的右奇异子空 间n 的所有结构 令皿，量c m c 扎 c 2 为两个s l o c c 等价的三体q u t r i t 纯态，即 画= f 1 l r 圆( f t 2 1pf 【3 】) t ( 皿) ，( 4 ) 1 1 七 epe0 眈q 3 胆 = 皿 、liil， 鼹 a q 仍 驼 驼 驼 q q 仍 札 札 n研q 晚 船 捣 船 o q 仍 毖 毖 毖 q q 仍 虬 殂 殂口q 仍 坞 埒 坞 q q 仍 2 2 2 屹 他 拢研q 晚 n n n d 仍伪 ， = 3孙 c = c 其中f 1 l ，f 2 1 和f 【3 】分别为空间c m ，c n 和c 。上的非奇异算子类似地， 我们可以证明态霍和画在任意一组张量基下的系数矩阵c 和e 有以下关 系 亏= ( e 1 1 】y ) ( f 【2 】 f 【3 】w ) t ( 5 ) 对于其右奇异子空间n 的维数，同样有三种情形：d i ml i = 1 ， d i mh = 2 $ 3 d i mi - i = 3 4 1d i mn = 1 情形 叫i 可写为伽1 = p 矽选择：i l o sf 1 1 ，f i 2 】矛1 3 f 3 使得 f 【1 1 ( 2 ，1 ) = 妄e l ，f 【2 1 ( ) = e l ，f 【3 】( 矽) = e 1 口= q1 ； a l0 ：量) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) = ( 1 0 0 0 0 000 0 0 0 ， = l， l 方法，我们可以得到态e lqe l 圆e l + e l e 2 e 2 ，其对应于标准向 量1 0 0 0 ) + f 0 1 1 ) 3 i i = s p a n 2 = s p a n c 1o 矽1 + 2o 矽2 + 加圆矽3 ) 。我f i 、 得到 4 2 d i m = 2 情形 我们首先考虑= s p a n 皿o ，皿o ) 的情形这里面又分为三种情况， 其中之一为n = s p a n e l ，矽 矽2 ) 此时，硼1 = u l l 矽。矽l + 心1 2 。矽2 1 2 和叫2 = u 2 1 b 砂1 + u 2 2 矽q 砂2 ，其中由元素u 巧组成的矩阵的秩为2 由 于伽l 和叫2 的线性无关性，我们选择i l o sf f l 】) 川2 】和f 【3 】使得 刮1 】) c 仃1 o o ：)( 10 0 0 0 0 0 00 、 = i o1 0o o o o o o l ， o0 0 0 o00 00 其它两种情况可以类似地写出当= s p a n e l ，皿1 ) 时，我们不 必考虑i i = s p a n b lo 矽l + 咖2 矽2 ，1 矽2 + 2 矽1 ) 的情形，因 为( 1 矽1 + 矽2 妒2 ) + ( 矽1 矽2 + 2 妒1 ) = ( 矽1 + 移2 ) 圆( 矽l + 矽2 ) 是 1 3 、lf， 0 0 o 0 0 0 0 o 0 0 0 o 0 o 2 2幸l 木2 u u 1 工1 上车l 木2 心 u 种类标准向量 1 0 0 0 ) + 1 1 0 1 ) s p a n 皿o ，皿o 1 0 0 0 ) + 1 1 1 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 1 1 1 ) 1 0 0 0 ) + j 0 1 1 ) + j 1 0 1 ) + j 1 1 2 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 1 2 ) + j 1 2 0 ) s p a n 、i l ，皿1 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 2 0 ) + 1 1 0 1 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 2 0 ) + 1 1 0 2 ) 1 0 0 0 ) + f 0 1 1 ) + f 1 0 1 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 1 2 ) s p a n 皿0 ，皿1 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 2 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 2 2 ) s p a n i i o ，霍2 )1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) s p a n 皿1 ，皿2 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 1 2 ) + 1 1 2 0 ) f 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 2 0 ) + 1 1 0 1 ) 其中我们没有考虑情形i i = s p a n 2 ，皿2 主要是因为c 3 区) c 3 的任 何一个二维子空间至少包含一个可分向量皿。或一个系数矩阵秩为2 的 纠缠向量皿1 这个结论可以这样得到：令y 为c 3 c 3 的任意一个2 维子 空间假设y 由两个系数矩阵秩为3 的纠缠向量所张成，不妨设这两个 纠缠向量在任意一组张量基下的系数矩阵分别为o = ，和q 那么我 们总可以找到非零复数q 和p ，使得口j + 矽q 的秩为1 或2 ：选一口q 为矩 阵q 的一个特征值，且若q 的两个特征值相同，则q j + # c 2 的秩为1 。 4 3d i m = 3 情形 我们首先考虑= s p a n 皿o ，皿o ，皿o ) 的情形其中一种情况是= s p a n 鲫i ，圆妒2 ，p 矽3 ) 此时，w l = z t l l 1 8 ) 矽l + u 1 2 矽2 + 乱1 3 o 砂3 ， w 2 = u 2 1 矽固矽l + u 2 2 也+ u 2 3 矽0 矽3 和钮3 = u 3 1 o 矽1 + u 3 2 q 砂2 + 钆3 3 矽3 ，其中由元素u 巧组成的矩阵的秩为3 由向量加1 ，w 2 和叫3 1 4 线性无关性，我们选择i l o s 川1 i ，f 【2 】和f 【3 】使得 酬1 1 ( u 1 ) = 五1e 1 ，列1 1 ( 勘2 ) = 五1e 2 ，酬1 1 ( 秽3 ) = 瓦1 e 3 ， p f l 】 工2 f 【1 】 f 【3 】( 矽1 ) 刮1 】 = r 。1 f d 可1 】列1 i ，f 【2 】( 妒) = e l ，f 【3 】( 矽2 ) = e 2 ，f t 刮( 砂2 ) = e 2 其对应于态i o o o ) + l1 0 1 ) + 1 2 0 2 ) 用相类似的方法考察其它各类情况，我们也可以得出如下分类表： 1 5 一 、lii， 3 3 3 术1幸2术3 u u u 2 2 2木l木2幸3 u u u 1 1 1 幸1木2丰3 u u 让 ，、 、lii， 0 0 0 o o 0 o 0 0 0 o 0 o o 0 o o 0 3 3 3木l章2术3 u u u 2 2 2 幸l木2牢3 u u u l u u u 、llij 0 o o眈o、 叽o 0 0 o o ，0 o o 、_o o 0 0 o 0 o 上现o 0 o 0 0 o 1 0 1 o 种类标准向量 1 0 0 0 ) + 1 1 0 1 ) + 1 2 0 2 ) 1 0 0 0 ) + 1 1 1 0 ) + 1 2 2 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 1 1 1 ) + 1 2 0 2 ) s p a n o ，皿o ，皿o 1 0 0 0 ) + 1 1 1 1 ) + 1 2 2 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 1 1 1 ) + 1 2 0 1 ) 1 0 0 0 ) + 1 1 1 1 ) + 1 2 2 2 ) s p a n 皿o ，皿o ，皿1 )1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 垆) + 1 2 ) ( 矽) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 2 0 2 ) s p a n 皿o ，皿o ，皿2 )1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 1 0 ) + 1 2 2 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 2 1 2 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 妒) s p a n 皿t ，皿1 ，皿o )1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 1 2 0 ) + 1 2 矽妒) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 2 0 ) + 1 1 0 1 ) + 1 2 矽妒) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 0 2 ) + 1 2 2 1 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 1 0 ) + 1 2 0 2 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 2 1 ) + 1 2 1 0 ) s p a n 皿l ，皿1 ，皿1 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 1 2 0 ) + 1 2 0 2 ) + 1 2 2 1 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 1 2 0 ) + 1 2 2 1 ) + 1 2 1 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 1 2 0 ) + 1 1 0 1 ) + 1 2 2 1 ) + 1 2 1 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 0 2 ) + 1 2 2 1 ) s p a n 皿1 ，皿1 ，皿2 )1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 1 0 ) + 1 2 0 2 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 2 1 ) + 1 2 1 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 0 2 ) s p a n 2 ，皿1 ，皿o )1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 2 0 ) 1 0 0 0 ) + 1 0 1 1 ) + 1 0 2 2 ) + 1 1 0 1 ) + 1 1 1 2 ) + 1 2 2 1 ) 其中矽，妒，) ( ，矽为空间c 3 中的纯态 由右奇异子空间n 的结构，我们得出：三体q u t r i t 纯态纠缠可以分 为1 2 个s l o c c 等价类，表中由类d i m1 7 = 1 得到的态，由类s p a n o ，皿o ) 和s p a n 皿o ，皿o ，皿o ) 得到的前两个态，要么完全可分，要么部分可分 1 6 5 结论及其推广 本文中，我们通过研究纯态在任意一组张量基下的系数矩阵的右 奇异子空间的结构，给出了两体和三体q u t r i t 纠缠基于s l o c c 的分类， 作为文章的最后一部分，我们将结果与其他人的结果做一些比较，并 推广到系统n 7 1 lx 死 值域判据 9 】，通过分析态的值域结构来对多体纠缠进行分类，并 且可以判断任意两个态是否s l o c c 等价事实上，通过进一步分析， 我们可以看到，研究态的系数矩阵右奇异子空间的结构和研究态的值 域结构是等价的至于纠缠的类型，文献f 9 1 中的定理2 也包含在我们的 结果中( 4 2 节) 当然，这种分类的方法也可以推广到更高维的系统中很显然，系 统空间c n c n 中的纯态一共可以分为死个s l o c c 等价类对于系统空 间c 礼 c n o c n 中的纯态，我们可以用通过考察其在任意一组正交基下的 系数矩阵的右奇异子空间的维数来确定其分类：若维数是2 ，则有c 尝+ 一1 ) 个纠缠类；若维数是3 ，则有碟+ 2 ( 暖一1 ) + ( 凡一1 ) 个纠缠类“； 若维数是n - 1 ，则有叼- 1 + ( n 一2 ) ( 四一1 ) + + 2 ( 暖一1 ) + ( n 一1 ) 类我 们将所有这些情况所得的数值都加起来，便得到系统空间c 礼0 c n o c n 中 的纯态的纠缠类种数为( n 一1 ) 2 + 坠2 ( 1 + i 一主) ) g 嚣一一i ( 死一t ) ， 其中锑川= 礼! 主! ( 竹一主) ! 例如，若取仡= 2 ，我们便得到了和文献【8 】一 样的结果：三体q u b i t 坌q 缠可以分为2 类 1 7 参考文献 【1 1 1 d k a s l i k o w s k ie ta 1 ，骱够r e v l e t t 8 5 ，4 4 1 8 ( 2 0 0 0 ) 2 】d c o l l i n se ta 1 ，p h y s r e v l e t t 8 8 ，0 4 0 4 0 4 ( 2 0 0 2 ) 3 1 3f p a na n dg y l u ，n t j m o d p h y s b2 0 ，1 3 3 3 ( 2 0 0 6 ) 【4 h b e c h m a n n p a s q u i n u c c ia n da p e r e s ，p h y s r e v l e t t 8 5 ，3 3 1 3 ( 2 0 0 0 ) 5 】m b o u r e n n a n e ，a k a r l s s o n ，a n dg b j s r k ，鼽盼r e v a 6 4 ， 0 1 2 3 0 6 ( 2 0 0 1 ) 6 n j c e r f ，m b o u r e n n a n e ，a k a r l s s o n ，a n dn g i s i n ，p h y s r e v l e t t 8 8 ，1 2 7 9 0 2 ( 2 0 0 2 ) 【7 】f v e r s t r a e t e ，j d e h a e n e ，b d em o o ra n dh v e r s c h e l d e ，p h y s r e v a6 5 ，0 5 2 1 1 2 ( 2 0 0 2 ) f 8 1w d i i r ，g v i d a la n dj i c i r