（信号与信息处理专业论文）混沌时间序列预测方法及其应用.pdf

中文摘要 混沌现象是自然界广泛存在的一种不规则运动，是一种由确定的非线性动力 系统生成的复杂行为。相空间重构是用动力学方法分析非线性时间序列的基础， 而相空间重构的关键是其参数的选取。笔者首先讨论了相空间重构理论及现有的 相空间重构方法，然后讨论了延迟时间的选取方法和嵌入维数的选取方法。 基于反映线性相关的协方差阵的选取嵌入维数的奇异值分解法，本质上是一 种线性方法，其可靠性受到质疑。用能反映非线性结构的高阶统计量函数代替相 关函数构造矩阵，对奇异值分解法进行改进。对比分析了用高阶统计量函数构造 矩阵的多种方法，得到两种较好的构造矩阵的方法。其中当四阶累积量函数的两 个变量分别在矩阵的对角线方向和偏离对角线方向取值并且第三个变量取零时， 得到的矩阵的分析效果最好。并用此方法分析由h e n o n 映射、l o r e n z 模型生成的 混沌时间序列。实验结果表明了改进后方法的有效性及稳定性，并且改进后方法 适合小数据量的情况且计算效率高。 混沌时间序列对初值敏感，具有混合性及拓扑传递性，即初值的微小扰动将 以指数倍数被放大，所以混沌时间序列难于预测。但是混沌系统是由非线性动力 机制决定的确定性系统，貌似随机运动的混沌系统内部存在确定性规律，所以混 沌时间序列是短期可预测的。笔者分析了现有的混沌时间序列预测方法的优点及 不足，并通过数值仿真说明了现有的混沌时间序列预测方法的预测性能。 针对自适应预测方法在多步预测时预测器系数无法调节的问题，根据混沌时 间序列的短期可预测性及自适应算法的自适应跟踪混沌运动轨迹的特点，笔者提 出了一种新颖的多步预测方法，并把这种新颖的多步预测方法用于改进自适应预 测法和局域自适应预测法，仿真结果表明改进后算法的多步预测性能明显提高， 这一结果为重新认识混沌的可预测性有重要的理论意义和工程应用价值。 大量的研究表明股票信号源于混沌系统，具有混沌特性，笔者还尝试把混沌 时间序列相空间重构理论和预测方法应用于股票数据的分析，得到的多步预测结 果好于文献中基于神经网络的方法的多步预测结果。 关键词：嵌入维数：高阶统计量；局域自适应预测法；多步预测方法 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t c h a o si sa ni r r e g u l a rb c h a v i o u rw h i c hi sa 、蕊d ee x i s t e n tp h e n o m e n o n c h a o si sa c o m p l i c a t e db e h a v i o u rw h i c hi sf r o mad e t e r m i n i s t i cn o n l i n e a rd y l 删c a ls y s t e m p h a s e s p a c er e c o n s t r u c t i o ni st h eb a s eo fu s i n gd y n a m i c a lm e t h o d st oa n a l y s en o n l i n e a rt i m e s e r i e s t h ek e yo fp h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o ni st h ee s t i m a t i o no fi t sp a r a m e t e r i nt h i s p a p e rw ed i s c u s st h et h e o r ya n dm e t h o d so fp h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o na n dm e t h o d so f c h o o s i n ge m b e d d i n gd i m e n s i o na n dd e l a yt i m e 。 s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n i s e s s e n t i a l l y al i n e a rm e t h o db a s e do nt h e c o v a r i a n c em a t r i xw h i c hr e f l e c t st h el i n e a rd e p e n d e n c e n u m e r i c a le x p e r i e n c el e d s e v e r a lr e s e a r c h e r st oe x p r e s ss o m ed o u b t sa b o u tt h er e l i a b i l i t yo fs v d i nt h i sp a p e r t h em a t r i xc o n s t r u c t e db yh i g h - o r d e rs t a t i s t i c sf u n c t i o ni n s t e a do fc o r r e l a t i o nf u n c t i o ni s u s e dt oi m p r o v et h em e t h o do fs v d m e t h o d su s e dh i 曲一o r d e rs t a t i s t i c sf u n c t i o nt o c o n s t r u c tm a t r i x e si ss t u d i e da n dt h eb e s tt w om e t h o d sa r cf o u n d w h e nt w op a r a m e t e r s o ff o u r - o r d e rc u m u l a n tf u n c t i o nc h o o s ev a l u e so ft h ed i a g o n a ld i r e c t i o na n dt h e o f f - d i a g o n a ld i r e c t i o no ft h em a t r i xa n dt h et h i r dp a r a m e t e ri sz e r o ，w ec a ng e tt h eb e s t m a t r i x i nt h i sp a p e rw ei l l u s t r a t et h i sm e t h o dt oa n a l y z ec h a o t i ct i m es e r i e sf r o mh e n o n a t t r a c t o ra n dl o r e n zm o d e l s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h ev a l i d i t ya n dt h es t a b i l i t yo ft h e i m p r o v e dm e t h o d a n dt h i sm e t h o di s f i tf o rt h es m a l ls e tn o n l i n e a rt i m es e r i e sa n di s c o m p u t a t i o n a l l ye f f i c i e n t c h a o t i ct i m es e r i e sa r ee x t r e m e l ys e n s i t i v et oi t si n i t i a lc o n d i t i o n s t h ec h a n g eo f t h ei n i t i a lv a l u ew i l lb ee x p a n d e di nt h er a t eo fe x p o n e n t s oi ti sv e r yd i f f i c u l tt op r e d i c t c h a o t i ct i m es e r i e s b u tc h a o si sad e t e r m i n i s t i cs y s t e md e t e r m i n e db yt h en o n l i n e a r d y n a m i c a lm e c h a n i s m t h e r ei sad e t e r m i n i s t i cr u l ei nt h ei n t e r i o ro ft h ec h a o t i cs y s t e m w h i c hi ss e e m e da sar a n d o mm o v e s oc h a o t i ct i m es e r i e sc a nb ep r e d i c t e di nt h es h o f t t e r m i nt h i sp a p e rw ea n a l y s et h ee x i s t i n gp r e d i c t i o nm e t h o d s a n ds i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h ep r e d i c t i o np e r f o r m a n c eo f t h ee x i s t i n gp r e d i c t i o nm e t h o d s b a s e do nt h es h o r t - t e r mp r e d i c t a b i l i t yo fc h a o t i ct i m es e r i e sa n dt h ea d a p t i v e 啊o ， t r a c k i n gc h a o t i ct r a j e c t o r yo fa d a p t i v ea l g o r i t h m ，an e wm u l t i - s t e p p r e d i c t i o nm e t h o di s p r o p o s e di nt h i sp a p e r , a n dt h i sm e t h o di s u s e dt oi m p r o v et h ea d a p t i v ep r e d i c t i o n m e t h o da n dt h el o c a la d a p t i v ep r e d i c t i o nm e t h o d s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h e m u l t i s t e pp r e d i c t i o np e r f o r m a n c eo ft h ei m p r o v e dm e t h o di sr a p i d l yi m p r o v e d t h i s r e s u l ti sv e r yi m p o r t a n tt on e w l yu n d e r s t a n dt h ep r e d i c t a b i l i t yo fc h a o t i ct i m es e r i e s an u m b e ro fr e s e a r c hs h o wt h a tt h e r ei sc h a o t i cp h e n o m e n o ni ns t o c kd a t a i nt h i s p a p e rw ea t t e m p tt oa p p l yt h ep h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o nt h e o r ya n dp r e d i c t i o nm e t h o d s t os t o c kd a t a , a n dt h i sm e t h o d sm u l t i - s t e p - p r e d i c t i o np e r f o r m a n c ei sb e t t e rt h a nt h e p r e v i o u sa l g o r i t h m s k e y w o r d s ：e m b e d d i n gd i m e n s i o n ；h i g h o r d e rs t a t i s t i c s ；l o c a la d a p t i v ep r e d i c t i o n m e t h o d ；m u l t i - s t e pp r e d i c t i o nm e t h o d i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：垂区整 e t e t期：墅三：亘：! 叟论文作者签名：童丛塑期：墅三：亘：! 叟 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在 论文作者签名：孟厌芳导师签名割镪肛 ”。7 ”上“。7 u 7 7 。“， 1 引言 1 1 课题来源 混沌现象的惊人之处是一个完全确定的简单非线性模型也会产生有如随机过 程的复杂行为特征，混沌时间序列的自相关函数类似冲激函数，相应地，其功率 谱密度类似白噪声，所以传统的数字信号处理的理论与方法不适合混沌序列的分 析，仅根据混沌序列的自相关和功率谱密度无法提取混沌序列的内部信息。因此 在未来的研究中，应该使用适合于非线性动力系统的数学工具来分析混沌时间序 列。 在过去人们用线性方法对现实世界进行建模，但是线性模型并不适合现实世 界的情况。混沌系统的对初值的敏感特性使得系统输入的变化能迅速地反映在输 出中，这一特点表明混沌模型更接近现实世界的情况并且已有的研究表明，混 沌系统在自然界和人类社会中普遍存在所以，混沌理论提供了一种适合现实世 界的非线性建模方法 由非线性机制确定的混沌时间序列对初值敏感，具有混合性及拓扑传递性， 即初值的微小扰动将以指数倍数被放大，所以混沌时间序列难于预测。但是混沌 系统是由非线性动力机制决定的确定性系统，貌似随机运动的混沌系统内部存在 确定性规律，所以混沌时间序列是短期可预测的。混沌时间序列难于预测，现有 的混沌时间序列预测方法的可预测尺度都较小，混沌时间序列预测方法有待于进 一步的改进和发展 在导师的指导下，本课题的研究内容主要集中在相空间重构和混沌时间序列 预测方法两个方面 1 2 混沌理论的发展历史 有关混沌的数学研究的历史可以追溯到1 8 9 0 年左右，p o i n c a r e 有关太阳系稳 定性的研究，他发现即使只有三个星体的模型，仍产生明显的随机结果他把动 力学系统和拓扑学有机地结合起来，并提出三体问题在一定范围内，其解是随机 当奎盔兰霉主主笔鎏塞 一。 的，实际上这是一种保守系统中的混沌1 9 5 4 年，前苏联数学家k o l m o g r o v 发表 了 = 五，( f ) ( 3 1 1 ) c k “，7 2 ) = e 一) 工o + f 1 ) 霄加+ f 2 ) ( 3 1 2 ) ，“，f 2 ，f 3 ) z e x ( ，1 ) 缸一+ f i ) 撑+ f 2 ) 一+ f ，) 卜 。 孟。( f 1 ) 太，( f 2 - r 3 ) - r ，( f 2 ) 置，( f 3 - r i ) 一 ( 3 1 3 ) 震，( f ，) 置，( f l f 2 ) 在实际应用中，人们经常使用高阶累积量而不使用高阶矩，主要原因如下：理论 上高阶累积量的使用可避免高斯有色观测噪声的影响，而高阶矩却不能；累积 量问题的解具有唯一性而矩问题的解却不具有唯一性；两个统计独立的随机过 程的累积量等于各个随机过程的累积量之和，而该结论对于高阶矩却不成立【i 卿 3 2 2 用四阶累积量估计嵌入维数的方法 用四阶累积量函数代替相关函数构造矩阵瓦。由于四阶累积量函数有三个变 当奎盔兰霉主兰簦鲨銮 量，而矩阵瓦只有两个变量，所以矩阵瓦有多种形式 四阶累积量函数的两个变量取正交方向；横向f 和纵向j ，第三个变量分别取 o , j ，p 一彳， t + j - d - l l ，那么矩阵瓦具有以下四种形式 砭( f - ) = c ( f ，o ) ， 露( j ，d t ( i , j , j 3 。 ， 露c i , j ) = c 。( f ，p 一巾t ，t ：q ，n = c j 。j 冉+ j - d 邻 其中矗( f ，力表示矩阵瓦的第f 行第，列的元素图3 - 1 为对以上四种形式的矩阵 分解得到的奇异谱( 仿真数据取h 咖映射生成的2 0 0 0 个数据) ，其中，口，o ，分 别表示矩阵露，砭，露，的奇异谱，可见矩阵砭的分析效果最好 圈3 1 矩阵的奇异谱( 用最大值归一化) 四阶累积量函数的两个变量取正交方向：对角线方向p + ，一d 一4 和偏离对角 线方向p 一爿，第三个变量分别取o p 一席，那么矩阵瓦具有以下四种形式 ，。d = c 啦一一，9 + 歹一d 一1 l o ) ， ( ，) z 气q f 一砖l f + 一d 一日，i , - a ) ， i f , j ) = c 乖一爿，l _ f + - d - q ，0 ， ( f ，力；日f 一爿，p + ，一d i i ，力 r li 一省奎盔兰要圭主丝鲨銮其中瓦0 ，力表示矩阵瓦的第f 行第，列的元索图3 - 2 为对以上四种形式的矩阵 分解得到的奇异谱( 仿真数据取i - i e n o n 映射生成的2 0 0 0 个数据) ，其中，口，o ，分 别表示矩阵，砭，的奇异谱，可见矩阵的分析效果最好 圈3 - 2 矩阵的奇异谱( 用最大值归一化) 矩阵砭和的分析效果最好，可见两个变量取为两组正交方向，第三个参数 取为零的四阶累积量已充分反映了数据内在关系，第三个参数取其它值反而使得 数据问的相关性减弱同时考虑了以上几个矩阵之和的分析效果，仿真结果表明 矩阵和的分析效果无实质性变化 分别对矩阵瓦和进行奇异值分解( 将对砭和进行的分析方法分别称作 h 1 s v d 法和1 - 1 2 s v d 法) ，得到奇异谱，取奇异谱的百分比大于阙值的个数为最 小嵌入维数 通常系统的前面若干个奇异谱具有较大的值，代表信号成分，其余的值较小， 代表噪声平台，因此阈值取接近零的数，下面仿真中阈值取0 0 3 ，即取能量百分 比大于0 0 3 的个数为最小嵌入维数仿真结果如图3 - 3 图3 5 所示，图中d 为矩 阵阶数 当矩阵的阶数变化时，该类分析方法有可能得到不同结果，因此该类方法必 须考虑矩阵阶数的取值问题根据实验结果，矩阵阶数可在时序自相关函数的第 一个极小值所对应的自变量值附近取值。这是针对该问题的一种方法，该问题有 待进一步解决 一省奎銮宝霉主主磐鎏塞 3 2 3 仿真结果及讨论 ( 矗) 自相关函数 c o ) s v d 得到的奇异谱 ( c ) h i o s v d 得到的奇异谱 ( d ) h 2 - s v d 得到的奇异落( e ) 信噪比为7 d b 时h 2 s v d 得到的奇异谱 圈3 - 3h c n o n 映射生成时问序列的奇异谱( 用量大值归一化) d k l 0 。1 2 分析由h e n o n 映射的z 分量生成的时问序列，该时序的白相关函数类似冲激 函数，只在原点处有较大值，用于分析的矩阵的阶数值可取较大一点，如l o 。1 2 图3 - 3 ( d ) 为延时分别取2 ，3 ，嵌入维数取l o 及延时分别取2 ，4 ，嵌入维数取1 2 时， i 您- s v d 得到的奇异谱的分布图从图3 3 可看出，当数据长度为2 0 0 0 时，对不 一当銮銮主要圭兰丝鎏茎 同的延时及嵌入维数，h 2 - s v d 法得到最小嵌入维数所= 2 ( 图3 - 3 ( d ) ) ，且不受高 斯白噪声的影响( 图3 - 3 ( e ) ) ，而s v d 和h 1 s v d 得到的奇异谱却不能反映原系统 的维数特征，但h l - s v d 的效果明显好于s c d ( i 娶i3 - 3 ( b ) 、( c ) ) 因此对该时间序 列，h 2 - s v d 法适合小数据量、对不同的延时及嵌入维数稳定、对噪声不敏感 ( i ) 采样时问为o o l 时的自相关 c ) s v d 得到的奇异谱 d ( e ) h 2 - s v d 得到的奇异谱 ( b ) 采样时间为0 0 2 5 时的自相关 ( d ) h i s v d 得到的奇异谱 d ( o 采样时间为0 0 2 5 时h 2 - s v d 得到的奇异谱 口 ( 曲信噪比为7 d b 时h 2 - s v d 得到的奇异谱 图3 _ 4k 惝z 模型生成时闻序列的奇异谱( 用最大值归一化) ( c ) ( d ) ( e ) ( g ) 彳3 0 , 3 5 , 4 0 ， ( 0 d - 1 5 , 2 0 一一一 一一一 一 一 分析由l o r e n z 模型的j 分量生成的时间序列，采样间隔a t = 0