（运筹学与控制论专业论文）出版社的资源配置.pdf

人迂理i ：人学硕士学位论文 摘要 在以发展为主题的现代社会中，市场竞争越来越激烈，图书市场的竞争日趋白热化， 为了在市场上占有一席之地，各出版社必须提高自身的管理水平，降低生产成本、提高 经济效益。本题中给出的a 出版社合理分配资源的以量化分析为基础的种实用的、可 行的运算模型。 在市场分析方面，通过统计汇总得到了a 出版社历年的市场占有率情况，销售量与 书号之| 日j 的关系，说明市场占有率高并不表明该产品的销售量就大，从而澄清了以往靠 单纯的市场占有率来衡量强势产品的误区，给出以单位书号带来的实际销售量为衡量标 准的强势产品的新定义。在成本方面分析了各种教材的印章单价，在人力资源方面分析 了生产能力。 以增强强势产品的支持力度为原则来优化资源配置，为此本文建立了预测与优化的 两阶段模型，首先我们建立了灰色理论g m ( 1 ，1 ) 模型用以预测学科的强势度( 即单位书 号所带来的实际销售量) ，在此基础上建立起了以最大销售额为目标函数的非线性整数 规划模型，得到了2 0 0 6 年总社对各分社及各分社对各类课程( 见表6 1 卜6 1 2 ) 的书 号分配方案。 通过本文提出的模型，预测出2 0 0 6 年销售额达到2 6 6 7 9 9 6 0 ( 单位) ，比0 5 年销 售额增加了4 9 1 5 ，经济效益显著增加，由此说明了本模型的实用性。 关键字：强势产品，灰色模型，整数规划模型，市场占有率 出版社的资源配置 ar e s o u r c ea ll o c a t i o no fp u b l i s h i n gc o m p a n y a b s t ra c t w i t ht h ea m a z i n gd e v e l o p m e n to ft h es o c i e t y ，t h eb o o km a r k e tc o m p e t i t i o nh a sb e c o m e m o r ea n dm o r ef i e r c e l y i no r d e rt op o s s e s st h em a r k e t ，e v e r yp u b l i s h i n gc o m p a n yh a st o i m p r o v et h el e v e lo fm a n a g e m e n t ，r e d u c ec o s ta n di m p r o v ee c o n o m i cp e r f o r m a n c e t h e m o d e lf o rt h ea p u b l i s h e rh o w t or a t i o n a l i z ea l l o c a t i o no fr e s o u r c e si sa ni s s u e f i r s t ，o u ra n a l y s i so ft h em a r k e ts u r v e yd a t a , c o n s i d e rt h em a r k e tf o rt h es a t i s f a c t i o no f t h ea p u b l i s h e re v e r yy e a ra n dt h eq u a n t i t yo fs a l et w oi n d i c a t o r s ，a c c o r d i n gt ot h em a r k e t s u r v e yi n f o r m a t i o nt h a ts h o w st h a tt h eh i g hm a r k e ts h a r ed o e s n tm e a nl a r g ev o l u m eo fs a l e s ， w h i c hm a k e si tc l e a rt h a tn o tt oo n l yd e p e n do nm a r k e ts h a r et om e a s u r et h eg o o d si sp o p u l a r h e n c e ，w ec a ng e tt h en e wd e f i n i t i o nt h a ti sp r a c t i c a l l yv o l u m eo fs a l e sc a u s e db yt h eu n i t n u m b e ro ft h eb o o ki st h es t a n d a r dt om e a s u r et h eg o o d s m a r k e t s e c o n d l y ，w eh a v et h ed a t a a n a l y s i s ，t h es a l e sp r i c eo fa t e x t b o o kp u b l i s h i n ga n dc o m p e t i t i v e n e s si n d i c a t o r s ，i m p a c to n p r o f i t sa saf u n c t i o no fi m p o r t a n tf a c t o r s t h i se s s a ys e tu pt w om o d e l s ，f o rt h i sr e a s o n ，t h i sp a p e rb u i l d i n gf o r e c a s ta n do p t i m i z e m o d e lo ft w os t a g e s f i r s t ，w eb u i l dg r e ym o d e lo fg m ( 1 ，1 ) a n dt h ed e g r e eo ff o r e c a s t s u b j e c t s ( t h a ti sp r a c t i c a l l yv o l u m eo fs a l e sc a u s e db yt h eu n i tn u m b e ro ft h eb o o k ) b a s e d o ni tt os e tu pn o n l i n e a ri n t e g e rp l a n n i n gm o d e lt o w a r d st h el a r g e s tv o l u m eo fs a l e sf u n c t i o n o ft a r g e t t h e nt oo b t a i nt h ep l a no fr e s o u r c ea l l o c a t i o nt h a ti st h eh e a d q u a r t e ra s s i g n st ot h e b r a n c h e s ，w h i c ha s s i g n st ot h ed i f f e r e n td e p a r t m e n t s t h r o u g ht h em o d e ll h a v em e n t i o n e di nm ye s s a y ，w ec a nf o r e c a s tt h es a l e r o o mi n2 0 0 6w i l lr e a c h 2 6 6 7 9 9 6 0 ( u n i t ) ，h a si n c r e a s e4 9 15p e r c e n tc o m p a r e dw i t hi n2 0 0 5 t h ee c o n o m i ce f f e c t i v e n e s si n c r e a s e s r e m a r k a b l y ，h e n c ei tc a np r o v et h ep r a c t i c a b i l i t yo ft h i sm o d e l k e yw o r d s ：s t r o n gp r o d u c t ；g r e ym o d e l ；i n t e g e rp l a n n i n gm o d e l ；m a r k e ts h a r e 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期：丝眵j 丛二 大连理一l ：入学硕七研究生学俜论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 导师签名丝差鑫 坦墨年丑月止同 人迮理1 ：人学硕十学位论文 1 引言 1 1 课题的提出及论文的研究背景 随着计算机技术的迅速发展，通过建立数学模型来解决实际问题越来越受到关注。 数学建模已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济活动到社会生活的各个 领域。本课题主要分析a 出版社合理分配资源的以量化分析为基础的一种实用的、可行 的运算模型，从而建立了预测与优化的两阶段模型。首先我们建立了灰色理论g m ( 1 ，1 ) ， 模型用以预测学科的强势度( 即单位书号所带来的实际销售量) ，在此基础上建立起了 以最大销售额为目标函数的非线性整数规划模型。本课题研究领域是属于数学中通过建 立数学模型应用统计学理论研究最优化的问题。 灰色系统理淦主要研究“小样本不确定问题”，具有多学科的综合性，交义性和抽 琢性。灰色建模足灰色系统理论的核心，足沟通扶色理论j 实践应用的桥梁。随着科! 学 技术的发展，人类所涉及的系统越来越复杂，复杂的火系统所表现的信息的狄度也越水 越人，需要解决的实f ，j ：问题也越来越多，灰色建模理论也面临i 新的发展契机。本文旨存 从数学的角度对灰色系统模型方法进行深入研究，在其理论毡础、技术力法和：其际心用 等方而获得突破，从而进一步加深对灰色系统理论的理解，统一对扶疗法思想的认识， 使狄色系统方法能史大范啊地解决工飘：实际问题。这螳研究对促进灰色系统胛论的不断 发展和完善，提离理论的j 蟛用效果具有十分重要的意义。 在市场竞争越来越激烈，图书市场的竞争日趋白热化的今天，本课题的成果，可以 使某出版社在市场上占有一席之地，提高其自身的管理水平，降低生产成本、提高经济 效益。本论文的推广前景和预期经济效益强，此论文的成果适用性非常广，实用性非常 强，对其它领域的资源分配都可以起到借鉴作用。 1 2 资源配置基本理论 资源配置是指资源在不同用途之间的分配。资源配置之所以成为研究的问题，是出 于两方面的原因：首先是资源的有限性，即资源的稀缺性，而人类对资源需求的欲望却 是无限的。其次，既定的资源往往具有不同可供选择的用途，换言之，资源具有替代性。 资源配置以稀缺性为基础，使稀缺性的资源最大限度的保持一种合理的使用方向和 数量比例，其最终目的是通过资源配置提高稀缺性资源的增量，以满足不断增长的需求。 资源配置的基本方式有两种：计划配置和市场配置。 ( 1 ) 资源计划配置方式 出版社的资源配置 资源的计划配置方式，是通过计划进行的。资源计划配置方式是国家实行宏观调控 和促进国民经济发展的重要手段。资源计划配置过程通过对自然资源、人力资源和资本 资源的约束实现资源的有效配置。但是，由于计划配置很大程度上反映了“计划制定者 的偏好”，从而增加了主观决策的因素。 ( 2 ) 资源市场配置方式 资源的市场配置是市场经济条件下资源配置的主要方式。它通过对自然资源、人力 资源和资本资源以及信息资源在市场上的流动，实现其在各部门、各地区和各企业之间 的有效配置。在市场运行机制中价格机制、供求机制和竞争机制是相互联系、相互作用 和相互制约的。三大机制的整体功能就是通过相互联系、相互制约的作用，共同调节经 济资源的优化配置，实现社会生产和社会需求的平衡。 人连理f 人学硕十学位论文 2 资源优化配置研究常用的数学模型 2 1 线性规划模型 线性规划模型通常把目标函数及约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划， 一般可表示为： m l n 厂( 五，吃，无) c l x i + 巳恐+ + c 。吒 q l 而+ 口1 2 恐+ + q 。毛岛 a 2 l x l + 呸2 恐+ + 呸一6 2 a m l 五+ q 砣而+ + q 删吒屯 薯0 ( i - - - 1 ，2 ，功 2 2 非线性规划模型 设厂，g ，( f _ 1 ，2 ，所) ，勺( _ ，= 1 ，2 ，) 均为r ”上的实值函数，我们称 ( n te ) mi n f ( x ) “ g ，( x ) 0 ，i = 1 ，m h ，( x ) = 0 ，= 1 ， 为非线性规划模型的标准( 一般) 形式。 2 3 多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为， m i n ( f l ( x ) ，六( z ) ，厂口( z ) ) 。 ig ，( x ) o ( i = 1 , 2 ，m ) 盯。诹x ) = o ( = 1 ，2 ，) 称之为多目标规划问题的数学模型。 2 4 动态规划模型 动态规划模型的基本概念： 出版社的资源配置 ( 1 ) 多阶段决策问题，状态变量，允许决策变量材。，决策集合d 。，最优函数 ( ) 。其中状态变量必须满足无后效性( 即马尔科夫性) 条件。即：给定某一阶段的 状态，以后各阶段的行进不受以前个阶段状态的影响。 ( 2 ) 阶段指标：用d = d ( x 川，以) 表示状态吒和状态黾+ ，间对应的指标，并称为阶段 指标。 ( 3 ) 策略：当每一阶段的策略都确定以后，由初始状态而出发到终止状态x 。每阶段 的决策所构成的决策序列就成为一个整体策略，简称策略。记为舅。= “( 而) ，。( z 。) ， 而吃= u 。( x 。) ，u n ( x 。) 称为子策略。达到最优的策略成为最优策略。 ( 4 ) 状念转移方程：把过程由一个状态变到另一个状态的变化叫做状态转移。它与 状态有关，由与策略有关。逆序时，如果第k 阶段的状态x b ，和决策u 。都确定以后，第 k + i 阶段的状态坼+ ，就随之确定，那么把这个对应称为状态转移方程吒一。= t ( x 。，u h ) 。 最短路问题的状态转移方程是x k 一。= u ( x k ) 。 ( 5 ) 指标函数：用来衡量所实现过程优劣的一种指标成为指标函数，用e 。或鼻- 表 示。指标函数有和与积二种形式。又分逆序和顺序二种情形。 即 ( 6 ) 动态规划方程： 逆序情形： 顺序情形： 吒= d ( x ，“，) j = k 瓦= 兀d ( x ，q ) e = d ( x l c ，u 川) j = 2 七 e = 兀d ( x 川) 逆序情形 顺序情形 l ( x t ) = o p t d ( x k ，“t ) + + ( x k + j ) l z “u k e d * 0 ，( 七：以，r 一l ，2 ，1 )jz + l ( x 。+ ， ，( 七= 以，一l ，2 ，) j f k ( x t ) = o p t d ( x k , u k ) 五+ - ( x k + 1 ) l 厶+ i ( x 川) = 1 ，( 七= 刀一1 ，2 ，1 ) j 人连理厂人学硕十学位论文 l ( x 女) = o p t d ( x t ，“l 1 ) + 厶一1 ( x 女一1 ) i 一e 仇一 z ( 戈1 ) = o ，( 尼= 2 ，3 ，甩+ 1 )j ( 坼) = o p t d ( ，”) 一。( h 一。) ) 1 l ；仇一l z ( x 1 ) = o ，( 尼= 2 ，3 ，力+ 1 )j 2 5 排序统筹模型 排序与统筹方法是研究在含有某些先后顺序工序的工程中如何安排以及如何制定 和控制工作计划和进度表，使得完成全部工程所需的时间最短或费用最小。解决此类问 题的方法一关键路线法( c p m ) 和图解评审法( p e r t ) ，两者统称为统筹法( p e r t c p m ) 。 2 6 决策模型 决策分析是在决策环境不确定和风险的情况下对几种被选方案进行决策的准则和 方法。决策分析一般分为不确定性决策和风险决策。 不确定性决策一只知道所面临的状态，但各种状态出现的概率不知情况下的决策； 风险决策一对于各种自然状态发生的概率，决策者可以预先估计或计算出来。 此外还有图与网络模型中的最大流问题、最短路问题、最小费用最大流问题，都是 最优化理论的基本方法。对于本文所应用的层次分析法和模糊综合评判的方法是进行系 统评价的一种定性与定量相结合的技术方法，是模拟人的思维过程，以解决多因素复杂 系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。它的具体理论和方法将在下一章做 详细地讨论。 本章从资源的界定和资源配置、资源配置的基本方式、资源配置与产业结构的关系、 资源配置的调整方法以及资源配置的目标效益、资源优化配置的基本原则和基本方法等 几个方面论述了关于资源配置的调整理论，并由此构建了本篇论文的整体理。 出版社的资源配置 3 灰色系统理论的研究发展 3 1 灰色系统基础 3 1 1 灰色系统理论的产生 灰色系统理论，是在一般系统理论的基础上产生的，它是系统科学思想发展的必然 产物，是社会经济深入发展对科学刺激和需要的产物。人们在认识社会，认识自然的过 程中，就产生了系统的思想。系统是客观世界普遍存在的一种物质运动形式，它和运动 性一样，是物质存在的一种根本属性。因此，当我们认识与研究自然和社会时，要从系 统的角度出发，从宏观上对其进行深入地剖析和整体把握。 在实际中，我们首先要对事物进行系统性的认识，进而对已有的系统进行有效的控 制以及设计一些最优系统来为人类服务。对系统进行控制就要通过系统内部和外部的信 息和信息流来加以实施，通过对信息的控制进而达到对系统本身的控制。但是无论是现 代控制理论，还是经典控制理论，它们的一个基本共同点，都是要依赖于j 下确而精确的 数学模型。否则，一切都很难取得满意的结果。在现实生活中，有许多情况不大可能求 得精确的数学模型，如工业系统、生物系统、经济系统、社会系统等等。若得不出精确 的数学模型，现代控制理论的方法和手段就无法施行。因而，现代控制理论对一些研究 对象也鞭长莫及。 当人们对这些问题进行潜心研究时，查德于1 9 6 5 年首创模糊经理论，第一次用精 确的数学方式束分析和研究模糊量，取得新的突破。因而，模糊集合论迅速应用于控制 领域，收到了良好的效果。模糊控制能够对一些无法构造数学模型的系统进行控制，但 模糊控制也表现出固有的弱点，即信息利用率不高，控制粗糙，精度较低等等。假若在 要求高精度控制的情况下，这种控制难以胜任，并且它也未能对被控对象的运动规律作 深刻的阐明。因而，模糊控制有它的局限性，它适应的控制对象是一些特有的模糊系统。 因此，经典控制理论、现代控制理论和模糊控制理论都有一个基本的共同点，那就 是它们所研究的对象系统必须是白色系统( 信息完全确知的系统) 。显然，一些实质性的 关键问题仍然没有得到很好的解决，需要进一步深入地研究。 事实上，无论是自然系统还是社会系统，宏观系统还是微观系统，无生命的系统还 是有生命的系统，对我们认识的主体来讲，总是信息不完全的，很难说明一个系统的内 部参数是完全的。毫无疑问，内部参数不完全的系统具有极为普遍的意义。就像模糊理 论的诞生一样，灰色系统理论也应运而生。 火连理f ：大学硕i 卜学位论文 3 1 2 灰色系统理论的发展动态 灰色系统理论是我国学者邓聚龙教授于1 9 世纪8 0 年代初创立并发展的理论，它把 一般系统论，信息论和控制论的观点和方法延伸到社会，经济，生态等抽象系统，结合 运用数学方法发展的一套解决灰色系统的理论和方法。2 0 多年来，灰色系统能够理论引 起了国内外学者的广泛关注。 目f i ，许多国家( 如英国、美国、德国，中国等) 及联合国等国际组织也有许多学者 从事灰色系统的研究和应用。据不完全统计，灰色系统论著被s c i ( 科学引文索引) 、e 1 ( 工 程索引) 、i s t p ( 科技学术索引) 、m r ( 美国数学评论) 、s a ( 英国科学文献) ，m a ( 德国数学 文献) 等国际权威性检索机构跟踪、摘引我国学者的灰色系统论著3 0 0 0 多次，国内外有 1 6 0 多项灰色系统成果获得国家或省部级奖励，有6 0 余种灰色系统学术著作出版问世， 有3 0 0 余种学术期刊接受并刊登灰色系统论文，有1 0 0 多所大学开设了灰色系统理论课 程，有很多高校招收灰色系统专业方向的博士研究生，有数千名博士、硕士研究生运用 灰色系统的思想方法开展科学研究，撰写学位论文。同时，每年都有一大批灰色系统理 论或应用研究项目获得各类基金资助。 总而言之，灰色系统理论一诞生就受到国内外学术界和广大实际工作者的极大关 注，不少著名学者和专家给予充分肯定和支持，许多中青年学者纷纷加入狄色系统理论 研究行列，以极大的热情丌展理论探索及在不同领域中的应用研究工作。目前，在许多 国家、地区及国际组织有许多知名学者从事灰色系统的研究和应用。灰色系统理论的应 用范围己拓展到工业、农业、社会、经济等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和 科学研究中的大量实际问题。 3 1 3 灰色系统基本原理 ( 1 ) 差异信息原理 “差异是信息，凡信息必有差异。信息i 的信息含量越大，它与原信息的差异越 大。 ( 2 ) 解的非唯性原理 信息不完全、不确定的解是非唯一的。在决策上的体现是灰靶思想。灰靶是目标非 唯一与目标可约束的统一。“非唯一性的求解途径是定性分析与定量分析相结合的求 解途径。 ( 3 ) 最少信息原理 灰色系统理论的特色是研究“小样本”、“贫信息不确定性问题。其立足点是“有 限信息空间”， “最少信息 是灰色系统的基本准则。 出版社的资源配置 ( 4 ) 认知根据原理 信息是认知的根据。 ( 5 ) 新信息优先原理 新信息对认知的作用大于老信息。 ( 6 ) 灰性不灭原理 “信息不完全( 灰) 是绝对的。 3 1 4 灰色系统与概率、模糊的比较 灰色理论、概率论与模糊理沦是三种理论、三种概念、三种不确定性。 三种理论的研究宗旨分别为： ( 1 ) 灰理论：强调信息优化，研究现实规律。 ( 2 ) 概率与数理统计：强调统计数据与历史关系，研究历史的统计规律。 ( 3 ) 模糊理论：强调先验信息，依赖人的经验，研究经验认知的表达规律。 在下表之中对三种理论作了全面的对比和区分。 表3 1 “灰”、“概率”、“模糊”的区别 3 2 建模机理及数学原理 3 2 1g m 模型建模机理 g m 模型即灰色模型( g r e ym o d e l ) 。一般建模是用原始的数据序列建立差分方程； 火连理下火学硕十学位论文 灰色建模则是用原始数据序列作生成数后建立微分方程。由于系统被噪音污染后， 所以原始数据序列呈现出离乱的情况，这种离乱的数列也是一种灰色数列，或者灰色过 程，对灰色过程建立模型，便成为灰色模型。灰色系统理论其所以能够建立微分方程型 的模型，是基于下述概念、观点和方法。 ( 1 ) 灰色理论将随机变量当作是一定范围内变化的灰色变量，将随机过程当作是在一 定范围、一定时区内变化的灰色过程。 ( 2 ) 灰色理论将无规律的原始数据经生成后，使其变为较有规律的生成数列再建模， 所以g m 模型实际上是生成数列模型。 ( 3 ) 灰色理论按开集拓扑定义了数列的时间测度，进而定义了信息浓度，定义了灰导 数与灰微分力一程。 ( 4 ) 灰色理论通过灰数的不同生成方式，数据的不同取舍以及参差的g m 模型来调 整、修正、提高精度。 ( 5 ) 灰色理论模型基于关联度的概念及关联度收敛原理。 ( 6 ) 灰色g m 模型一般采用三种检验，即参差检验、关联度检验、后验差检验。参差 检验是按点检验，关联度检验是建立的模型与指定函数之间近似性的检验，后验差检验 是参差分布随机特性的检验。 ( 7 ) 对于高阶系统建模，灰色理论是通过g m ( 1 ，n ) 模型解决的。 ( 8 ) g m 模型所得数据必须经过逆生成作还原后才能使用。 3 2 2 灰色动态模型的数学原理 灰色系统理论与方法的核心是灰色动态模型，其特点是生成函数和灰色微分方程。 灰色动念模型是以灰色生成函数概念为基础，以微分拟合为核心的建模方法，灰色 系统理论认为：一切随机量都是在一定范围内、一定时段上变化的灰色量和灰过程，对 于灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分布，而是将杂乱无章的原始数据列，通 过一定的方法处理，变成比较有规律的时问序列数据，即以数找数的规律，再建立动态 模型。对于原始数据以一定方法进行处理，其目的有二：一是为建立模型提供中间信息； 二是将原始数据的波动性弱化。 若给定原始时问数据列：x o = ( x o ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，x ( o ( 甩) ) 。这些数据多为无规律 的、随机的、有明显的摆动，若将原始数据列进行一次累加生成，获得新的数据列 x ( 1 = ( x 1 1 ) ( 1 ) ，x 1 ( 2 ) ，x 1 印) ) 。其中 ， x ( f ) = x ( o ( 七) ， k 1 , 2 ，刀 出版卒十的资源配置 新生成的数据列为一条单调增长的曲线，增加了原始数据列的规律性，而弱化了波 动性。 灰色系统建模思想是直接将时间序列转化为微分方程，从而建立抽象系统的发展变 化动态模型( g r e yd y n a m i cm o d e l ) ，简记为g m 。建立的g m ( h ，n ) 模型，是微分方程的 时间连续函数模型，括号中的h 表示方程的阶数，n 表示变量的个数。即： 竽+ 口1 等婴4 o o a l l 耻州) + 6 ：聃峨钟 则微分方程的系数向量a ：a = 【a l , 口2 ，a 。i b l ，6 2 ，b 川r 可以用最小二乘法求解： a = 【( 彳i 8 ) 7 ( a i b ) 。1 】( 彳i 8 ) 7 y 。 式中( 彳i 曰) 为a ，b 组成的分块矩阵。 3 2 3 灰色系统五步建模思想 研究一个抽象系统，建立系统的数学模型，就是对系统的整体功能、协调功能以及 系统各因素间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。这种研究，必须 以定性分析为先导，定量与定性紧密结合，因此，系统模型的建立，一般要经历思想丌 发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。 第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、 措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。 第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前 因、后果。 一对前因后果( 或一组前因与一个后果) 构成一个环节。一个系统包含许多个这样的 环节。有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一环节的后果。将所有这些关系连 接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图，即为网络模型。 第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为 量化模型。 第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态g m 模型，即动态模型。动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之 间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。 第五步：对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统 重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。这样得到的模型，称为优化模型。 1 0 一 大连理r 大学硕十学位论文 五步建模思想在社会科学与自然科学之间架起了一座桥梁，使之相互沟通。它使社 会科学研究数学化、计一算机化、自然科学化，同时也使自科学研究高度概括，便之更 为精辟，更富于哲理性。 灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点： ( 1 ) 定性分析是建模的| j 提。 ( 2 ) 定量模型是定性分析的具体化。 ( 3 ) 定性与定量紧密结合，相互补充。 ( 4 ) 明确系统因素，弄清因素问的关系及因素与系统的关系是系统研究的核心。 ( 5 ) 因素分析不应停留在一种状态上，而应考虑到时间推移、状态变化，即系统行为 的研究要动态化。 ( 6 ) 因素问的关系及因素与系统的关系不是绝对的，而是相对的。 ( 7 ) 为了将控制论中卓有成效的方法和成果推广到社会、经济、农业、生态等研究 领域中，系统模型应控制化。 ( 8 ) 要通过模型了解系统的基本控制性能，如是否可控，变化过程是否可观测等。 ( 9 ) 要通过模型对系统进行诊断，搞清现状，揭示潜在的问题。 ( 1 0 ) 应从模型获得尽可能多的信息，特别是发展变化信息。如系统是能够持续不断 发展的，还是有限度的? 对于持续发展的系统，它是单调地发展，还是有波动地发展? 是 迅猛地发展，还是缓慢地发展? 对于有一定发展限度的系统其极限值是多少? 它是单调地 达到极限，还是有摆动地达到极限? 是迅速地达到极限，还是缓慢地达到极限? 系统发展 过程中有没有冲击等。 3 2 4 灰色微分方程 许多系统研究学者对微分方程很感兴趣，认为微分方程较深刻地反映了事物发展的 本质。而面对离散的数据序列，人们常常感到束手无策。因为只有连续可导函数，才可 以考虑其微分方程。灰色系统理论通过对一般微分方程的深刻剖析定义了狄导数。从而 使我们能够利用离散数据序列建立近似的微分方程控型。 定义3 2 4 1 ：设微分方程为_ d x + 锻：b 坝。称冬为x 的导数；x 为冬的背景值；口，b mmd f 为参数。 因此，一个一阶微分方程白导数、背景值和参数三部分构成。 定义3 2 4 - 2 ：设x ( ，) 为定义在时问集t 上的函数，若当缸一0 时，恒 有x ( f + ，) 一x ( t ) 0 ，则称x ( ，) 在t 上的信息浓度为无限大。 出版社的资源配置 使微分方程冬+ a x ：6 成立的x ( f ) 满足信息浓度无限大条件( 由导数的定义即知) 。 a l 定义3 2 4 3 ：设a ，b 为集合，r 为a 与b 元素之间的一种运算，v a l ，a 2 a ，v b b ， 如果口i r b = a 2 r b ，则称b 对a l ，口2 为平射。 定义3 2 4 4 ：若r 为取绝对差运算，即a r b = i a b i 。当口l r b = a 2 r b ，亦即 l a 。- b j = l a ：一6 i 时，则称r 为算术平射或简单平射。 定理3 2 4 一l ：若x ( f ) 为正值函数，即对任意f ，x ( ，) o 。则微分方程冬+ 蕊：b 口f 中的导数车与背景值中元素满足简单平射关系。 讲 定理3 2 4 2 ：微分方程构成的条件有以下三条： ( 1 ) 信息浓度无限大； ( 2 ) 背景值是灰数； ( 3 ) 导数与背景值满足平射关系。 定义3 2 4 - 5 ：设i 为计时单位的集合。若i = ( ，年，月，同，时，分，秒，) ， 则称i 为习惯计时单位集或习惯时间序号集。 定义3 2 4 6 - 设l ，和l ，分别为f 级计时单位和_ ，级计时单位下的一个时间单位。 若1 1 ，则称f 级计时单位比，级计时单位密。 定义3 2 4 7 ：设x = ( x o ，) ，x ( 2 ，) ，x ( n f ) ) 为f 级计时单位时间序列，则称： d 。= x ( k ，) - x ( k ，- 1 a 露。= l ，2 f 一，以，为i 级计时单位下的信息增量。 定义3 2 4 - 8 ：设x 为计时单位可无限密化的序列，l ，为f 级计时单位下的一个时间 单位。若当1 哼o 时，d = x ( t ) - x ( k , - 1 ，) 0 则称为具有微分方程内涵的序列，或 称灰色微分序列，并称：d o ( 七，) = i m ( x ( k ，) 一x ( k ，一l ，) ) ；七= 1 ，2 ，一，l 。为序列x 的灰导 i 7 。 数。一般序列的灰导数计为d ( k ) 。 命题3 2 4 - 1 ：设原始序列 x o = ( x o ( 1 ) ，o ( 2 ) ，x o ( 刀) ) ，x 1 = ( x 1 ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，x 1 ) ) 量 其中x 1 ( 七) = x o ( 耽七= 1 , 2 ，以为x o 的1 一a g o 序列，则x 1 的灰导数为 i = l d ( 女) = x 0 ( 七) 。 大连理一f ：人学硕士学位论文 3 2 5 g m ( 1 ，1 ) 模型的建立 定义3 2 5 一l ：称x o ( 七) + 识1 ( 七) = b 为灰微分型方程。 命题3 2 5 1 ：对于灰微分型方程x o ( 后) + 甜1 ( 后) = b 。灰导数x o ( 七) 与背景值 x ( o ( 七) ，x ( 七一1 ) ) 中元素不满足平射关系。 命题3 2 5 2 ：若背景值取x 中元素的均值，即令z 1 ( 七) = 0 5 x o ) ( 七) + 0 5 x 1 ( j | 一1 ) ， 则背景值z 1 ( 七) 与灰导数成分x 1 ( 七) ，工1 ( j j 一1 ) 具有算术平射关系。 定义3 2 5 - 2 ：若灰色微分型方程满足下列条件： ( 1 ) 信息浓度无限大； ( 2 ) 序列具有灰微分内涵； ( 3 ) 背景值到灰导数成分具有平射关系； 则称此灰色微分型方程为灰色微分方程。 命题3 2 5 3 ：方程x o ( 七) + 巧1 ( 七) = b ，其中z 1 ( 七) = 0 5 x 1 ( 七) + 0 5 x 1 ( 七一1 ) 为灰微分方程。 定义3 2 5 3 ：称x o ( 七) + 窈1 ( 七) = b 为g m ( 1 ，1 ) 模型。 符号g m ( 1 ，1 ) 的含义如下： gm ( 1 ， 1 ) ffft g r e y m o d e l1 阶方程1 个变量 ( 灰) ( 模型) 定理3 2 5 1 ：设x o 为非负序列， o = ( x o ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，x o ( 拧) ) 其中 x o ( 七) 0 ，k = 1 , 2 ，刀。x 1 为x o 的1 一a g o 序列，x 1 = ( x o ) ( 1 ) ，x 1 ( 2 ) ，x 1 ( 甩) ) k 其中x 1 ( 七) = x o ( 耽七= 1 , 2 ，2z 1 为尉1 的紧邻均值生成序列 i = l z ( o ) = ( z o ( 1 ) ，z o ( 2 ) ，z o ( 玎) ) 其中z ( 1 ( 七) = 0 5 x 1 ( 七) + 0 5 x 1 ( 七一1 ) ，k = 1 , 2 ，刀。若a = ( 口，6 ) 7 为参数列 y = ( 2 )l o ) ( 3 ) l ， 口： l 1 0 ) ( 疗)i z 1 ( 2 ) 1 一z 1 ( 3 ) 1 z ( 1 ) ( 刀) 1 则灰色微分方程z ( o ( 七) + 甜1 ( 七) = b 的最小三乘估计参数列满足： 出版礼的资源配置 ( 口，6 ) 。= ( b 。召) 叫b 。y 定义3 2 5 - 4 ：设x ( o 为非负序列，x ( 1 为x ( o 的1 - - a g o 序列，z ( 为x 1 的紧邻 均值生成序列， ( 口，6 ) 丁：( b ，b ) 一一b r y 称堕当+ 烈( 1 ) ：b 为灰微分方程 x o ( 七) + 2 x ( 1 ) ( 七) = b 的白化方程，也叫影子方程。 定理3 2 5 2 ：设b ，y ，a 如定理3 2 5 ：l 所述，( 口，6 ) 7 = ( b 7 召) 一b 7 y 。则有： ( 1 ) 白化方程型霉兰+ 甜( 1 ) ：b 的解或称时间响应函数为： a t 石m ( ，) ：( x ( o ) 一鱼) p 一讲+ 鱼 口口 ( 2 ) g m ( 1 ，1 ) 灰微分方程工o ( 七) + a x ( 七) = b 的时l , j p j 应序列为： ：( 七十1 ) ：( x ( o ) 一鱼弦一4 r + 鱼，七：l ，2 ，刀 口口 ( 3 ) 取x 1 ( o ) = x 0 1 ( 1 ) ，则 ：( 七+ 1 ) ：( x ( 1 ) 一鱼) p 一讲+ 鱼，七：l ，2 ，疗 a， a ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( i ) ( 4 ) 还原值：x ( 七+ 1 ) = a 1 x ( 七+ 1 ) = x ( k + 1 ) 一x ( 七) ，k = 1 , 2 ，刀 定义3 2 5 - 5 ：称g m ( 1 ，1 ) 模型中的参数一a 为发展系数，b 为灰作用量。 ( 1 ) ( 0 ) a 反映了x 及x 的发展态势。一般情况下，系统作用量应是外生的或日仃定的，而 g m ( 1 ，1 ) 是单序列建模，只用到系统的行为序列( 或称输出序列、背景值) ，而无外作用 序列( 或称输入序列、驱动量) 。g m ( 1 ，1 ) 中的扶作用量是从背景值挖掘出来的数据，它 反映出数据变化的关系，其确切内涵是灰的。灰作用量是内涵外延化的具体体现，它的 存在，是区别灰色建模与一般输入输出建模( 黑箱建模) 的分水岭，也是区分灰系统观点 与灰箱观点的试金石。 火连理j r 大学硕十学位论文 4 问题的重述 4 1 基本情况 出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书 号上，经过各个部门的运作，形成成本( 策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、 销售成本、财务与管理成本等) 和利润。 某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申 请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社， 使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于 总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配 置完成后，各个分社( 分社以学科划分) 根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每 个课程做出出版计划，付诸实施。 资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发 展战略。由于市场信息( 主要是需求与竞争力) 通常是不完全的，企业自身的数据收集 和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。 本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利 用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源( 书号) 配置 方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。 附录 ： 附件1 ：问卷调查表； 附件 附件 附件 附件 问卷调查数据( 五年) ； 各课程计划及实际销售数据表( 5 年) ； 各课程计划申请或实际获得的书号数列表( 6 年) ； 9 个分社人力资源细目。 4 2 问题的分析 ( 1 ) 明确问题：根据给出的数据资料( 附件卜附件5 ) ，我们要提出一个以量化分析 为基础的资源( 书号) 的配置方法。这里要求我们以增加强势产品支持力度的原则来优 化资源配置，这样确定了我们的主要目标有两个，第一，要明确什么是该出版社( a 出 版社) 的强势产品：第二，按原则提出了一个明确的分配方案。怎样定义一个强势产品 呢? 我们从以下几个主要因素来考虑：竞争强度、出版物的市场占有率、消费者对出版 物的满意程度、市场需求及产品成本等。然后在第一个问题的基础上建立模型来解决第 出版社的资源配置 二个问题，我们把问题归结为求出版社的最大利润，最后针对我们提出的方案，为a 出 版社提供有益的建议。 ( 2 ) 数据分析：对于给出的大量数据，我们从两个大方向来进行分析。 首先，纵向分析每个附件。附件2 是一份抽样的调查表，从中我们能够得到a 出版社 所生产的每种教材的市场占有率以及a 出版社的所有出版物的市场占有率、包括a 出版社 在内的二十四家出版社在读者心中的满意程度以及a 出版社生产的教材在读者心中的满 意程度，同时考虑成本，来确定印张与定价间的关系，利用趋势性指数平滑预测法 ( e x p o n e n t i a ls m o o t h i n gw i t ht r e n d ) 来预n a 出版社的强势产品及其各类教材在0 6 年的市场占有率；在附件3 中利用相对误差来确定实际销售量与计划销售量的差异；因 为最终目标是提出明确的方案，我们在附件4 中求出o 卜0 5 年每门课程实际分得的书号数 所占学科书号数的比例，以及占总书号数的比例，用趋势性指数平滑预测法或时间序列 的方法( a r i m a ) 来预测0 6 年各类各科分得的书号数；而由附件5 我们可以得出各分社每 年的最大的工作量，给出了一个约束条件。 其次，横向分析附件。由附件3 、4 n 用灰色预测模型来确定实际销售量与书号间的 关系；由附件2 、4 利用非线性整数规划来预测出0 6 年各分社的实际书