（运筹学与控制论专业论文）图的嵌入分布的平均亏格.pdf

a c k n o w l e d g e m e n t s ih a v er e c e i v e dh e l pa n ds u p p o r tf r o mm a n yp e o p l e t ow h o mio w ef a rm o r eg r a t i - t u d et h a nic a np o s s i b l ee x p r e s sh e r e 1w o u l dl i k et oe x p r e s sm yd e e p e s tt h a n k st om yd o c t o r a la d v i s o rp r o f l i uy a n p e i f o rg i v i n gm eac h a n c et os t u d yw i t hh i ma n df o rh i su n s p a i r i n gi n s p i r a t i o n ，c a r e f u l a d v i c ea n di n v a l u b l eh e l p h i sd e v o t i o n om a t h e m a t i c s e n t h u s i a s mt ou n c o v e rt h e u n k n o w nw o r l da n dh i sh i g hl e v e lo fe x p e c t a t i o nw o u l dg r e a t l yi n f l u e n e em ea n d1w i l l i n d e b t e dh i mf o rn o to n l ye n c o u r a g e m e n ti um yp e r s u i to fm a t h e m a t i c a lc o m p e t e n c y , b u ta l s oe d u c a t em ei nt h ew o r l do u t s i d eo fm a t h e m a t i c s i t sm yg r e a th o n o u r e dt o s t u d yu n d e rt h eg u i d eo fp r o f l i uy a n p e i 1w i l le n j o yt h e mt h r o u g h o u tm yf u t u r e c a r e e r t h a n k sa r ea l s og i v e nt om ym a s t e ra d v i s o rp r o fs uj i a n j if o rt e a c h i n gm eal o t o fe l e m e n t a r yg r a p ht h e o r ya n dg i v i n gm es o m eg o o da d v i c ew h e nis t u d yi ng u a n g x i n o r m a lu n v e r i s t y t h a n k sa r ea l s og i v e nt om rh ew e i l f o rg i v i n gm es o m ep a p e r sw h i c hh e l p e dm e c h o o s et h i sw o n d e r f u lt o p i c a l s ot od rh a or o n g x i af o rl i s t e n i n gt om yr e p o r ti ns o m e t o p i co ft h ed i s s e r a t i o na n dh e l p i n gm ei no t h e rt h i n g s t h a n k sa r ea l s og i v e nt op r o f c h e nj i a n e r p r o f ss t a h l a n dp r o f iat m i t e f o rg i v i n gm eb o r n eo ft h e kr e c e n tp a p e r s t h a n k sa r ea l s og i y e nt ow a n gt a ow h oc h e c k e ds o m ec a l c u l a t i o n su s i n gc o m p u t e r p r o g r a m m i n go nt h eb a s i so ft h et h e o r yi n i t i a l e di n 1 4 】a n de s t a b l i s h e di nf 1 6 】b yl i u y a n p e i a l s ot oa l lo ft h el i u 8s t u d e n t sp a s ta n dp r e s e n t w h oh e l p e dm ei na l ls o r t s o fw a y st og e to v e rt h i sh u r d l e ， f r o mt h eb o t t o mo fm yh e a r t1w a n tt ot h a n k sm yf a m i l y ：g r a n dm o t h e r ，m o t n ， d a d s i s t e r b r o t h e ra n dm yu n c l ee t c i tw a st h e i rs u p p o r ta n dl o v et h a tg e tm e t h r o u g hg r a d u a t es c h o o la n dil o v et h e ma l lf r o mt h eb o t t o mo fm yh e a r t f i n a l l y ，1w a n tt oe x p r e s sm yt h a n k st om yg i r l f r i e n dh ex i a o y i a ga n dm yg o o d f r i e n d sp a s ta n dn o wl i k el vy o n g h o n g ，x i af e i l u n g ，e t c f o rt h e f te n c o u r a g i n ga n d h e l d 摘要 拓扑图论研究的一个重要内容为图在曲面上的嵌入的性质回顾 历史，拓扑图论学家们首先研究的是图的最小亏格由于确定图的 最小亏格是n p - 困难的【2 5 】，因此求解图的最小亏格或者确定图的最 小亏格的界是一类十分困难的问题，在这方面的研究远不够理想 随后也就是上个世纪7 0 年代初，n o r d h a u s ，s t e w a r t 和w h i t ef 1 7 等人提 出了图的最大亏格的概念，因此研究也就转向了确定图的最大亏格 的问题和刻划，由于n h x u o n g 【2 8 l ，l i uy a n p e i 【1 4 等于上个世纪7 0 年 代未分别独立地给出或部分的给出了刻划图的最大亏格的示性定 理和n e b e s k y 1 8 1 于上个世纪8 0 年代初又给出了图的最大亏格的另外 一种对偶形式的刻划，因此关于图的最大亏格的研究取得了很重要 的一步关于图的最大亏格最近研究可参见黄元秋的博士论文【1 3 】 在他的博士论文里对图的最大亏格进行了进一步的研究总结及简 化s s t a h l 2 1 】及j l g r o s s 【8 , 9 i 等于上个世纪8 0 年代提出了图的平均 亏格的概念对图的平均亏格的研究有助于对图在曲面上的嵌入有 更深入细致的了解，由于确定一个图的最小亏格是n p - 困难的，而 确定一个图的平均亏格的值必须先求出最小亏格，因此确定一个图 的平均亏格是n p - 困难问题从目前的参考文献来看，国际上主要 有两个人s s t a h l 【2 1 2 5 i 和c h e r t j i a n e r 2 - 7 l 在图的平均亏格领域内作了 深入的细致的研究其中s s t a h l 侧重于研究一些特殊图类的平均亏 格 2 1 ，2 2 ，随机图的平均亏格 2 4 】等c h e n j i a n e r 侧重于研究任意单个 图的平均亏格【2 - 4 ，6 】，主要考察将图的平均亏格作为一个不变量是否 为图同构的一个不变量( 后来发现并不是) 虽然他们着眼及出发点 和所用的方法不一样但从结果上看起来确是殊途同归的( 最终还是 要得到一好的上下界) ，他们在图的平均亏格的研究成果可参见文献 2 4 ，6 ，2 1 2 5 】等 图的平均亏格还有一般性的问题还没有解决，从数学理论上看 仍然需要进一步的研究 第一类问题应该是确定一些有对称性结构的图的平均亏格( 不可 定向平均亏格) ，或者求出他们的渐近值例如说完全图，完全二 部图。立方体骗等等两者比较而言，求出平均亏格具体值要 比渐近值要容易这两方面的结果很少f 3 ，8 ，2 1 ，2 2 第二类问题应该是确定平均亏格( 不可定向平均亏格) 的一些好 的上下界已经知道确定一个图的平均亏格是n p 一困难问题我们 不可能把所有的图的平均亏格都给算出来，因此这是不现实的一个 问题所以很自然的就是给出平均亏格的一些好的上下界虽然已 经有部分的结果【6 , 2 3 ，2 5 ，】，但这方面仍然不够 本文沿着c h e n j i a n e r 的思路研究了任意图的可定向平均亏格及首 先对任意图不可定向平均亏格进行了研究，共分为六章 第一章主要研究了不含三种禁用构形的图的平均亏格的下界的 问题得到了平均亏格的一些新的下界c h e n j i a n e r 在他的论文 2 , 3 ，6 i 里的结果可看作这些结论的一个直接推论( 实际上推广了( 2 ，3 ，6 中的结论) ，而且这里的证明要比2 , 3 ，6 1 简单 第二章c h e n j i a n e r 在1 6 1 得到了三正则图的平均亏格的最好下界 在这一章节里，我们刻划了三正则图的平均亏格达到下界的图的结 构的问题作为附带的一个结果，也得到了一个图跟它的子图有相 同的平均亏格的结构问题 第三章对不可定向平均亏格进行了研究，它可看做是可定向平 均亏格在不可定向曲面上的推广我们首先研究了两类图：仙人掌 图和项链图的不可定向平均亏格得到了仙人掌图的不可定向平均 亏格的精确值和项链图的不可定向平均亏格的递推表达式并由此 确定了最大亏格为1 的任意图的不可定向平均亏格的值 第四章借助计算机确定了b e t t i 数不超过4 的图的不可定向平均亏 格的值并由此我们确定了一些最小的不可定向平均亏格的值和发 现了一些不同构的图而有相同的不可定向平均亏格及有相同的可 定向平均亏格而不可定向平均亏格却不同的图，跟可定向平均亏格 一样不可定向平均亏格也不是一同构不变量。另外也找到一些数学 方法来构造了具有相同不可定向平均亏格而不同构的图类当然也 得到了不可定向平均亏格的一些其它的性质如所有图的不可定向 平均亏格在实数轴上的分布是稀疏的和不存在极限点( 这与可定向 平均亏格不一样【2 ，3 1 ) 等 第五章我们得到了不可定向平均亏格的紧的上下界该上下界 是最优的另外也刻划了任意图的不可定向平均亏格达到上下界的 图的结构的问题 第六章由于研究者本人的能力及时间的限制，我们对本文未能 解决的一些问题进行了论述 从上面的论述可以看出本论文的主要的工作点在于提出研究了 不含三种禁用构形的图的平均亏格的问题及首先对不可定向平均 亏格进行了研究并得到了不可定向平均亏格的紧的上下界最后无 关紧要的说明一下本论文中大部分内容用的l i u y a n p e i 教授提出的 2 方法来进行研究的，因此在方法上与s s t a h l 和c h e n j i a n e r 不一样， 在研究可定向平均亏格( 不可定向平均亏格) 的问题中过程中得到一 些有趣的结果( 如第一，三章节中的辟分运算，第三章节中的l e m m a 2 2 ，及第四章节的一些构造方法等) 可能跟原问题一样有意思 论文的最后部分列出了本论文的参考文献和到目前为止作者在 博士研究生期同所接收和发表的论文， 关键词：最小亏格，最大亏格，可定向平均亏格，不可定向平均 亏格 3 a b s t r a c t t o p o l o g i c a lg r a p ht h e o r i s t sf i r s tc o m p u t e dm i n i m u mg e n e r ao fs o r t i ec l a s s e 8o f g r a p h s i nt h e1 9 7 0 s ac o n s i d e r a b l ea m o u n to fa t t e n t i o nw a sg i v e nt om a x i m u m g e n u so tag r a p h l a t e r ac o n s l d e r a b l ea m o u n to ta t t e n t i o nw a sg a v e nt oa v e r a g eg e n u s o fag r a p h h o w e v e rt h es t u d yo nt h ea v e r a g eg e n u so fa ni n d i v i d u a lg r a p hi sp r e s e n t l y o n l yi nt h ep r e p r i n ts t a g e ，t h i sd i s s e r a t i o np r o p o s e st ol o o ka tt h ea v e r a g eg e n u s ( a v e r a g ec r o s s c a pn u m b e r ) o fg r a p h s i tc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n v e s t i g a t e dt h eg r a p h sw h i c hd o e sn o tc o n t a i nt h r e ef o r b i d d e n c o n f i g u r a t i o n si t i ss h o w nt h a tt h el o w e rb o u n do fa v e r a g eg e n u so fag r a p hgw h i c h d o e s n tc o n t a i nt h r e ef o r b i d d e nc o n f i g u r a t i o n si sal i n e a rf u n c t i o no fb e t t in m a b e r t h e o r e m1l e tgb eac o n n e c t e dg r a p h 砸境m m i m u md e g r e ea tl e a s t3 a n dgd o e s n o tc o n t a i nt h es t r u c t u r eo | f i g 1t h e n c g ) r a i n 掣，毕2j ) t h e o r e m2l e tgb ea2 - e d g e - c o n n e c t e dg r a p hw i t h o u ts e 驴l o o p s 可i t sm i n i m u m d e g r e ea tl e a s t3a n dd o e sn o tc o n t a i nt h es e c o n ds t r u c t u r eo ff i g ，t h e n 谰捌“学，掣) a l s os o m en e wl o w e rb o u n d so fa v e r a g eg e n u sa r eo b t a i n e da n dt h er e s u l t s o f 【2 , 3 ，6 】 a r eg e n e r a l i z e d t h em a i nt h e o r e m sa r e t h e o r e m3 l e a s t3 t h e n l e tg 妇a2 - e d g ec o n n e c t e ds i m p l i c i a lg r a p h 砸砘m i n i m u md e g r e ea t 谰猢n 学，掣 t h e o r e m4t h ea v e r a g eg e n u sl ag r a p ho | m a x i m u md e g r e ea tm o s tdi sn o tl e s s t h a n 击i t sm a x i m u mg e n u s t h e o r e m5l e trb eaf i n i t en u m b e r t h e n 口n 西f i n i t em a n yg r a p h sw h i c hd o e sn o t c o n t a i nt h es t r u c t u r eo ff i g 1h a v ea v e r a g eg e n u sl e s st h a nr ， 3 t h e o r e m6 l e trb ea n yr e a ln u m b e r t h e no n l yf i n i t e l ym a n yr e a ln u m b e r sl e s st h a n ra r ep o s s i b l ev a l u e so fa v e r a g eg e n u s ! g r a p h sw h i c hd o e sn o tc o n t a i nt h es t r u c t u r e o f f g ， t h e o r e m7 l e trb ea n yr e a ln u m b e r t h e no n l yf i n i t e l ym a n yg r a p h sw h i c hd o e sn o t c o n t a mt h es t r u c t u r eo ff i g h a v ea v e r a g eg e n u se q u a lt or t h e o r e m8t h es e to f p o s s i b l eo fa v e r a g eg e n u s 如rg r a p h sw h i c hd o e sn o tc o n t a i nt h e s t r u c t u r eo ff t 9 ，ih a sn ol i m i tp o i n t s t h e o r e m9l e t g ； ( i = 1 ，2 ，) b eas t r i c t l ym o n o t o n es e q u e n c eo f g r a p h ss u c ht h a t t h ev a l u e so | a v e r a g eg e n u so fg r a p h sa p p r o a c haf i m t el i m i tp o i n t t h e nt h e r ee z i s ta n i n d e xns u c ht h a ta l lb u tof i n i t en u m b e ro fg r a p h si nt h es e q u e n c ec a nb eo b t a i n e db y a t t a c h e de a r ss e r i a l l yo rb a r - a m a l g a m a t i o nac a c t u s f o rt h ed e t a i l s ，s e ec h a p t e r1 i nc h a p t e r2 ，t h es t m c t u r ef o rag r a p ho fm a x i m u md e g r e ea tm o s t3w i t ha v e r a g e g e n u se q u a lt oi 1 i t sm a x i m u mg e n u si sd e s c r i b e d i na c t u a l l y , w eh a v et h ef o l l o w i n g t h e o r e m s t h e o r e m1l e thb eas u b g r a p ho f ga n dt h em i n i m u md e g r e eo f g 话a tl e a s t3 1 | 1 w ( g ) = 1 w g ( 日) ，t h e ng c a nb eo b t a i n e db yas e r i e so p e r a t i o n so ft y p eia n di io n 日 t h e o r e m2 l e tgb eag r a p hw i t hm a x i m u md e g r e ea tm o s t3w h o s ea v e r a g eg e n u s e q u a lt oi 1 i t sm a x i m u m g e n u s 妒a n do n l y 矿g a f o rt h ed e t a i l s 。s e ec h a p t e r2 i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h ea v e r a g ec r o s s c a pn u m b e ro fg r a p h s t h ev a l u e so f a v e r a g ee r o s s c a pn u m b e ro ft h ec a c t ia n dt h en e c k l a c e sa r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r ew e c a do b t a i nt h ea v e r a g ec r o s s c a pn u m b e ro fa l lg r a p h sw i t hm a x i m u m g e n u slb yu s i n g t h em e t h o do fc h a p t e r3 t h e o r e m1 gl s l e tg = ( ke ) b eac a c t u s t h ea v e r a g ec r o s s c a pn u m b e ro ft h ec a c t u s ( g ) 2 而9 a ( g ) - i 卢( g ) t h e o r e m2t h ea v e r a g ec r o s s c a pn u m b e rd ，t h eg r a p h ( o ) sg i v e nb yt h e1 0 r r n u l a ； 。( ( 删) = 2 ( r + 4 硒) z r 万- 2 习 - 3 一 + i + 2 4 t h e o r e m3t h ea v e r a g ec m s s c 印n u m b e rd ，t h eg r a p h ( ”) ，d rs 1 ，i sg i v e nb y t h ef o r m u l a ： ，( ( 删) 2 翕o r 丽1 r 南蕊w ( + s +n 1 ) ) + 知( n i l + i , - 1 ) r 4 - l , s - - 1 ) 十黼- ) ) + ；w ) 十锄祷 t h e o r e m4t h ea v e r a g ec r o s s c a pn u m b e ro ft h ec a c t u sga 8p ( g ) _ o 。i s 警 t h e o r e m5t h ea v e r a g ec s s c a pn u m b e ro ft h en e c k l a c e ( 。o ，o ) i s 丛生2 出 t h e o r e m6t h ea v e r a g ec r o s s c a pn u m b e ro ft h en e c k l a c e 【s 华十 i nc h a p t e r4 ，w ec o m p u t et h ea v e r a g ec r 0 8 8 c a pn u m b e ro fg r a p h sw i t hb e t t ih u m - b e ra tm o s t4 i ti ss h o w n 妇a tn o ta l lr a t i o n a ln u m b e r sa r ep o s s i b i l i t i e sf o rt h ea v e r a g e c r o s s c a pn u m b e ro fa ni n d i v i d u a lg r a p h ，m o r e o v e r ，t h ed i s t r i b u t i o no fa v e r a g ec r o s s c a p n u m b e ri ss p a r s ei nr t h es m a l l e s ts u c hv a l u e sa r ed e t e r m i n d e d a n dd i 行e r e n te x a m - p i e sa r ec o n s t r u c t e dt od e m o i l s t r a t et h a tas i n g l ev a l u eo fa v e r a g ec r o s s c a pn u m b e rc a l l b es h a r e db ya r b i t r a r i l ym a n yd i f f e r e n tg r a p h s t h em a i nt h e o r e m sa r e t h e o r e m1t h ea v e r a g ec r o s s c a pn u m b e ro fag r a p h 妇n o tl e s st h a nt h ea v e r a g e e r o s s c a pn u m b e ra n y 一 拈s u b g r a p h s t h e o r e m2l e tgb ea2 - e 由ec o n n e c t e dg r a p h t h e ngh a sa v e r a g ec r a s s c a pn u m b e r l e s s t h a no re q u a l t o2 毡a n do n l y 毽gt sh o m e o m o 叩h i e t o b l i b 2o r d 3 t h e o r e m3l e tgb ea1 - e d g ec o n n e c t e dg r a p h t h e ngh a sa v e r a g ec r o s s e a pn u m b e r l e s s t h a no re q u a l t o2 玎a n do n l y 矿g 妇h o m e o m o r p h i c t o b l o e b lo r b l o e d 2 t h 。e o r e m ，4t h e ：m a l 。l e s tv a l u e sd ，a v e r a g ec r o s s c a pn u m b e r a r e1 ，l ，1 ；，l 刍2 ，2 矗 2 矗，2 ，2 矗，2 ；，2 ，2 ， i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i g a t et h eb o u n d sf o rt h ea v e r a g ec r o s s e a pn u m b e r ，t h e b o u n d sa r es h o w nt ob eb e s tp o s s i b l e t h e o r e m1l e tgb eac o n n e c t e dg r a p hw h i c hi sn o tat r e e ，t h e n 竺2 0 ( a ) 竺1 邸) 酬g ) 0 1c r o s s c a p s ar e p r e s e n t a t i o np ( g ) o fag r a p ho nas u r f a c esw i t hv e r t i c e sa sp o i n t sa n de d g e s a sc u r v e sp a i r w i s en oi n t e r s e c t i o no fi n n e rp o i n ti 8c a l l e da ne m b e d d i n go ft h eg r a p hi n t h es u r f a c es t h ec o n n e c t e dc o m p o n e n t so fs 一“( g ) a r e2 - c e l l sa n da r ec a l l e dt h e 血c e 8o ft h ee m b e d d i n g i nt h i sp a p e r ，as u r f a c ee m b e d d i n gi s a l s oc a l l e dac e l l u l a r e m b e d d i n g b yap o l y g o nw i t hrs i d e 8 w es h a l lm e a na2 一c e l lw h i c hh a si t sc i r c u m f e r e n c e d i v i d e di n t ora r e sb yrv e r t i c e s ，i nf a c t as u r f a c ec a nb es e e na sw h a ti so b t a i n e d b yi d e n t i f y i n ge a c hp a i ro fe d g e so nap o l y g o no fe v e ne d g e sp a i r w i s e a c c o r d i n gt o f 1 5 - 1 6 ，2 0 1 ，i ti ss h o w nt h a tt h ef o l l o w i n gt h r e eo p e r a t i o n sd on o tc h a n g et h ec l a s so fa s u r f a c e o p e r a t i o nha a a 一车号a o p e r a t i o n2 ：a a b b a b 错a c b c o p e r a t i o n3 ：a b = = 争( a u ) ( a b ) n o t i c et h a taa n dba r ea l ll i n e a ro r d e ro fl e t t e r sw i t he m p t ya sad e g e n e r a t ec a s e i nt h e s eo p e r a t i o n s n o mt h et h r e eo p e r a t i o n s t h ef o l l o w i n gr e l a t i o n sc a nb ed e r i v e d r e l a t i o n1 ：a x b y c x d y e a d c b e x y x y 一 r e l a t i o n2 ：a z b z e a b c z z r e l a t i o n3 ：a x x y z y z 一一a x x y y z z r e l a t i o n1 i sa l s oc a l l e dh a n d l en o r m 甜i z a t i o n a n dr e l a t i o n2a n d 弛l a t i o n 3a r e a l s 0c a l l e dc r o s s e a pn o r m a l i z a t i o n i nt h r e er e l a t i o n s a ba n dca r ep e r m i t t e dt ob e e m p t y b i st h ei n v e r s eo fb b yr e l a t i o n s1 , 2a n d3 ，w ec a na l w a y so b t a i n e dt h e n o r n l a lf 0 1 t ao fas u r f a c ea 8o u eo f 0 0 = a a 一 m o m = 啦b , a ；b i - ( m o ) 0 = 1 n 帆= 叩。 o ) 2 = 1 ac o n n e c t e dg r a p hw i t h o u tc i r c u i tj sc a l l e dat r e e ，as p a n n i n gt r e eo fag r a p hi s s u c has u b g r a p ht h a ti sat r e ew i t ht h es a m eo r d e ra st h eg r a p h f o ras p a n n i n gt r e e o fag r a p hg t h en u m b e r so fe d g e sn o to nt h et r e ea r ec a l l e dt h eb e t t in u m b e ro ft h e g r a p ha n dd e n o t e db yp ( g ) 7 am t n t i d na tav e r t e x 盯o fag r a p hg i sac y c l i co r d e ro fa l ls e m i e d g e si n c i d e n tw i t h u ap r er o t a t i o ns y s t e mpo ft h eg r a p hi st h ec o l l e c t i o no fr o t a t i o n s ，o n ef o re a c h v e r t e x o fg w ek n o wt h a tt h et o t a ln u m b e ro fp u r er o t a t i o ns y s t e mp o fgi sg i v e n b yt h ef o r m u l a n 一1 ) v e v ( a ) a 口e n e r a lr o t a t i o ns y s t e mi sap a i r ( p a ) ，w h e r epi s ap u r er o t a t i o ns y s t e ma n d i sam a p p i n ge ( g ) - o ，1 i fa ( e ) = 1 ，w em e a nt h ee d g eei s t w i s t e do t h e r w i s e ei 8 “扎t 叫妇t 耐i t ，sw e l lk n o w nt h a te v e r yo r i e n t a b l ee m b e d d i n go fag r a p hg c a nb e d e s c r i b e db yag e n e r a lr o t a t i o ns y s t e m ( 只a ) w h e r ea ( e ) = 0f o re a c he d g eeo fg b va 1 1 r i n gat ot a k en o n z e r ov a l u e sw ec a nd e s c r i b en o n o r i e n t a b l ee m b e d d i n g so f dt h ed 苴a i l sc a nb ef o u n di nf 1 0 ，1 4 at r o t a t i o ns y s t e m ( 尸a ) o fg i sag e n e r a l r o r a t i o ns y s t e ms u c ht h a t 天( e ) = 0 ，e e 伍) t h ef o l l o w i n gt h e o r e mi sw e l lk n o w n ： t h e o r e m1 1 f 5 ，e t c l e ttb es p a n n i n gt r e e 吖ga n d ，( p ，a ) i sog e n e r a lr o t a t i o n s 。s e m ，t h e nt 。h e r ee x i s tng e n e r a lt r o t a t i o ns y s t e m ( p ，a ) s u c ht h a t ： 门j ( p ，a ) y i e l d st h es a m ee m b e d d i n go yg ( p ，a ) a n d 俐a 7e ) = o ，v e e ( 丁) n o w w ef i xas p a n n i n gt r e eto fag r a p hg l e t 略b et h es e to fa l lt - r o t a t i o n s y s t e m so fg i t 7 sk n o w nt h a t l 垂否l = 2 4 ( 回( 磊一1 ) ! v e v t s u p p o s et h a ti nt h e s ei 醒ie m b e d d i n g so fg o no r i e n t a b l es u r f a c eo ；a n dbf o rj = 1 ，2 t n ，w ec a t it h ep o l y n o m i m t h e r ea r e 啦，f o r i = 0 ，1 ，一，e m b e d d i n g s ，e m b e d d i n g so nn o n o r i e n t a b l es u r f a c e 皤( 文g ) = a i x z + 6 j 矿 i = o j = l t h et d i s t r i b u t i o np o l y n o m i a lo fg b vt h et o t a l4 e n p o l y n o m i a lo fg ，w es h a l lm e a nt h ep o l y n o m i a l i a ( x ，幻= g i x + 五矿 i = o t = i n o t et h a t 吼i st h en u m b e ro fe m b e d d i n g so nt h eo r i e n t a b l es u r f a c eo ia n d 厶i s t h e n u m b e ro fe m b e d d i n g so nt h en o n o r i e n t a b l es u r f a c e w jc a l lt h ef i a s tp a r to f 坫ky ) t h eg e n u sp o l y n o m i a lo fg a n dd e n o t e db y 始( z ) = m 8 尼( ) = 五扩， i = l i st h ec m s s pn u m b e rp o l y n o m i a lo fg o fc o u r s ei gx ，9 ) = g g ( x ) + f c ( ) t h e o r e m1 2 5 】t h et o t a lg e n u sp o l y n o m i a l 玷( z ，y ) i se q u a lt ot h et d i s t r i b u t w n p o 咖n o m i a l 瑶b 小a n dt h et o t a ln u m b e ro je m b e d d i n g so | t h eg r a p ha r c 2 4 ( g ( 也一1 ) ! v e v ( a ) t h ea b o v et w ot h e o r e m si m p l yt h a tt h et o t a l