（工程力学专业论文）磁浮轴承—转子系统动态特性研究.pdf

独创性声明 秉承学校严谨的作风和优良的科学道德，本人声明所呈交的学位论文 是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，不包含本人或他人已申请学位或其他用途使用过 的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任 论文作者签名 砷：；月二扫 保护知识产权声明 本人完全了解谣安理工大学有关保护知识产权的规定，即：研究生在 校攻读学位期间，论文工作的知识产权单位属西安理工大学。本人保证 毕业离校后，发表论文或使用论文成果时署名单位仍然为西安理工大学。 学校有权保留送变论文的复印件，允许论文被查阅或借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：牲导师签名：镪必弓年弓月参 日 摘要 本文根据磁浮轴承一转子系统研究现状，针对非线性电磁力及磁浮轴承一转子 系统动态特性展开分析，主要工作有以下几个方面： ( i ) 首先研究了五自由度磁浮轴承一转子系统的相关特性。采用二元t a y l o r 级 数将电磁力展开，为讨论非线性电磁力对轴承转子系统的影响和研究磁浮轴承一 转子系统的动态特性奠定理论基础。 ( 2 ) 研究轴承转子系统动态特性分析的数值方法。针对滚珠轴承一转子系统 模型，应用集总质量法、粱单元法和有限元法三种不同的数值方法进行分析，通过 数值计算结果比较选择虽优方法用于磁浮轴承一转子系统的动态特性研究。 ( 3 ) 研究在线性电磁力作用下的磁浮轴承一转子系统动态特性。采用有限元法 分析滚珠轴承和磁浮轴承一转子系统，获得相应线性系统的固有频率和模态振型等 动态特征量。 ( 4 ) 研究在非线性电磁力作用下的磁浮轴承一转子系统的动态分岔特性。应用 p 0 i n c a f c 映射、h o p f 分岔理论和f 1 0 q u e t 稳定性理论研究非线性磁浮轴承一转子系统 动态分岔及稳定性。利用h o p f 分岔理论和c p n f 法对系统平衡点解与周期解动态行 为进行研究，井给出数值仿真结果。 ( 5 ) 为进一步探讨磁浮轴承一转子系统的非线性动卷特性及稳定性规律本文 进行理论研究：c p n f 法在不平衡磁浮轴承一转子系统周期解分析中的应用； p o j n c a r e 型胞映射在磁浮轴承一转子系统全局性态分析中的应用。 关键词：电磁力非线性轴承一转子系统动态特性分俞稳定性p o i n c a ”映射 本课题为陕西省科委2 0 0 0 年攻关项目( 0 0 k 1 2 1 ) i a b s t r a c t s u 巧e c t ：旦塑垫丛! 旦星h y ! q bq 煦殓r 墨y 墨i 基m 墨婴q 幽堕旦q 盟m 丛量垦星趔q s s p e c i a l t y ： 量娶g i 坠照旦g 丛h 垣 m a t e rc a r i d i d d c e ：l i h 蛩醒 t u t o r ：鹜q 塾毯i 堑g a b s t i 硷c t c o n s i d e r i n g 廿l ea c n 】a l 时o f e l e a 的- m a 印鲥cb e 撕r l g - r o t o r 饵m b r ) s y s t e m ，1 1 em a g n e t i cf o r c ea i l dt | l ed y n 锄i cb e h a v i o r so f t l l ee m b rs y s t e m i si r i v e s t i g a c e di l lt l l i sp 印c r s t l l d y i n gw o r k sa r c 部f o l l o w s ： 1 ) 1 1 1 e 凫砌so f 血ef i v e 一疗e e d o me ra r ef e s e a f c h e d u s 啦t i l e 1 1 w o - n a b l e st a y l o rs e r i e s ，t h es p c c i n cf o 加u l ao fm 姆l e t i cf o r c ec a i lb e s p 陀a da st h cb a s eo fg o i n gi n t 0t l l ee f r e c to fm a g n e t i cf b r c eo ne m b rs y s t e m a n di t sd ”姗i cb e h a v i o r s 2 ) t h en u m e r i c a im e t h o d st o 柚a j y z ed y n 柚i cc h a m c t 鲥蚓c so f 龇e 皿r s y s t e mi st a ：l k e da b o u t t bt l en a t l i 陀lb e a r i n g m t o rs ”把m ，也ed i 丘b f e n tt h r e e k i n do fn u m e 打c a lm e t h o d s ( c e n t r a l q u a l j t ym e 协o d ，b e a r n _ e i e m e n tm e m o da n d 6 n i t ee l e m e n tm e t l l o d ) a r ca p p l i e d n 啪e r i c a i 锄a i y s j si su s e dt og i i nn a 似r a i f e q u e n c i e sa n dm o d e so ft h es y s t e mi nd i s 6 n c tm e 硒u r e s ，c o m p a 托锄ds e i e c t 出e b e s t w a y t ou s e 3 ) n cd ”枷i cc h a m c t e r i s t j c so f 也ee m b rs ”t e ms u p p o r t e db yl i n e a r m 矗g n e t i c 缸r c ea r e 锄时y z e d u s i n gm ef i n i t ee j e m tm e t l l o d st os t u d yt h c n a 咖la n di i n e 盯b r i n ge l 幢b rs y s t e m t h ei n h e r e n tf 把q u e n c i e s 锄dm o d 蹦 a r e m t a i n e d 4 ) c o n s i d e r i n gt h en o n - l i n e a rm a g n e t i cf o r c e ，t h ed y n a m i cb e h a “o r so f t he m b rs y s t e mi s i n v e s t i g a t e d a p p l y i n g p o i n c a r e m a p p h g h o p f b i f u r c a t j o nt h e o r ya n df l o q u e ts t a b i l i t yt h e o r yt on o n - 1 i n e a re m b r s y s t e m ，t h e c o r r e s p o n d i n gb i f u r c a t i o nb e h a v i o r si sr e s e a r c h e d s e l e c t i n gp dc o n t r o l ，h o p f b i f u r c a t i o nt h e o r ya n dc p n fw a yi su s e dt o 咖d yt h ed y n a r n i cc h a r a c t e r i s t i c s o f e q u i l i b r i u ma n dp e r i o d cs o l u t i o n t h en m e r i c a lv a l u er e s u l t sb ys i m u l a t j o n a r eg i v e n ( 5 ) l no r d e rt od i s c u s st h ed y n a m i cb e h a v i o r sa n ds t a b i l i t i e so ft h ee m b r s y s t e md e e p i y ，t h e o r yr e s e a r c hi sc a r r i e do u t ：t h ea p p l i c a t i o no fc p n fw a y i ni m b a l a n c ee m b rs y s t e m p e r i o d i cs o i u t i o n t h e印p i j c a t i o no f p o i n c 盯e - c e i l - m 印p j n gw a yi ne m rs y s t e mg l o b a ld y n a r n i cc h 黝c 硎s 石c s k e yw o r d s ： m a g n e t i c f o r c en o n - 1 i n e a r b e 州n r o t o rs y s t e i n d ”a m i c b e h a v i o r sb i f u r c a t i o n s t a b i | l t y p o i n c a r e m 印p i n g i i i 1 绪论 本文旨在对磁浮轴承一转子系统动态特性进行理论研究和数值仿真，课 题来源于陕西省科委2 0 0 0 年攻关项目。 1 1 轴承一转子系统动态特性研究 概况 1 8 6 9 年，r a l l k i n e 在题为“o nt h ec e n 砸m g a lf o r c eo f f o t 捌n gs h 啦”的 论文中研究一根两端刚支的无阻尼均质轴在其平衡位置的稳定问题，提出临 界转速的概念和转子不能稳定运行于一阶临界转速之上的结论。1 9 1 9 年， 英国动力学家j e 疵o t t 旧通过研究个两端刚支的单质量弹性转子得出转子 可以在超临界状态f 稳定运行的结论，而且由于转子的自动对中效应，质量 偏心引起的振动将逐渐减小而且有利于转子的稳定运行。但由于在稳定性问 题中忽略了轴承的作用，使得对于转子系统稳定性的认识十分片面，大量设 计工作于一阶临界转速之上的机组在运行中不断发生严重的振动事故，当转 速超过某一界限值时，系统就出现剧烈的低频振动。赢到1 9 2 4 年n e w k i r k 【1 0 】 在研究中指出轴承油膜力是造成上述自激振动的内在原因，这一结论标志着 人hj 对转予系统动力稳定性的认识有了一个质的飞跃。 随后，著名的轴承油膜力线性化八系数模型被提出，在线性范围内轴承 油膜力被表示为轴径位移和速度的线性函数： 考 = 乏乏 习+ 乏乏 b t ，山 这种线性化的方法将在线性范围内转子和轴承的作用放在一个系统运 动方程中研究，从而为建立轴承一转予系统稳定性研究的线性理论及方法奠 定了基础。然而，由于轴承一转子系统的非线性本质和线性理论本身的局限 性，使得分析结果与油膜轴承转子系统实际运转情况仍有一定的差距。 西安理工大学硕士论文 油膜轴承一转子系统的动态特性研究 在对油膜轴承一转子系统动力稳定性有了深入认识之后，国内外许多研 究者作了大量探求油膜力非线性引起自激振动机理的工作，并从各个角度分 析油膜轴承一转子系统的动态特性与失稳性因素的关系。理论与实验都表 明：轴承油膜力具有强非线性动力特性，而且在实际运行中的转轴、密封装 置、联轴器和基础等都将产生不同程度的非线性特性。针对油膜轴承一转子 系统平衡点解的稳定性分析建立起来的线性稳定性理论，适用于系统线性失 稳转速之下平衡点附近微小幅值振动的稳定性分析，却无法令人满意地解释 系统实际运行和实验中出现的自激振动极限环、跳跃迟滞等许多非线性振动 所特有的现象。因此，研究者在油膜轴承一转子系统动态特性分析中，应用 了现代非线性转子动力学和稳定性分岔及混沌理论，对不同油膜轴承模型、 参数及工况下的轴承一转子系统进行理论分析；在研究刚性平衡和不平衡油 膜轴承一转子系统的动态特性以及探求不平衡量对非线性轴承一转子系统 动力响应的影响等方面都进行了大量的模拟计算和试验，并已取得比较详细 和完善的研究成果。 磁浮轴承一转子系统动态特性研究 ( 1 1 研究现状 由于传统上用油膜力作为约束力的方式使得设计中必须有润滑装景、密 封装置等配套设施，这就不可避免地导致这种传统的约束方式具有可靠性 低、工作转速低、维修保养费用大等缺点。电磁悬浮技术的发展引起了对传 统支承技术的革命，优于油膜力支承的磁浮轴承一转子系统将电磁力作为约 束力引入轴承一转子系统。1 8 4 2 年，e a m s h a w 阐述了仅靠永久磁铁本身无 法维持铁磁体在空间6 个自由度上都稳定的悬浮。必须根据物体的悬浮状态 不断地调节磁场力的大小才能实现。k e m p e r 在1 9 3 8 年，首先采用一个可控 电磁铁对一个重量为2 1 0 k g 的物体成功地实现了稳定悬浮，这一研究成为磁 2 浮列车的雏形。 随着现代控制理论和电子技术的飞跃发展，国际上从上世纪6 0 年代中 期，对磁浮技术的研究进入了一个全新的时期，英国、日本和德国都相继开 展了对磁浮列车的研究。美国、日本和法国则将磁浮轴承相继运用到陀螺仪 表和卫星姿态控制方面，在此期间对磁浮轴承的研究基本上走完了从理论到 实验的全过程，进入了商品化新阶段。在我国电磁轴承的研究始于上世纪 6 0 年代，由于起步相对较晚和发达国家的技术封锁，使得我国在电磁轴承 的研究与应用方面落后于国外先进国家。从7 0 年代末以来，许多高校及科 研院所在电磁轴承研究方面投入了大量的人力和物力。目前许多高校和科研 单位，如西安交通大学、上海交通大学、哈尔滨工业大学、清华大学、西安 理工大学等几卜家科研院所都在电磁轴承方面进行研究，已取得一些成果。 磁浮轴承是目前唯一投入使用的可以实施主动控制的支承，它具有一般 传统轴承和支承技术所无法比拟的优越性：磁浮轴承支承的转子可在超临 界、每分钟数十万转工况下运行：由于无接触，磁浮轴承磨擦功耗极小，同 时也不存在类似于滚动轴承、滑动轴承因磨损和接触疲劳所产生的寿命问 题；在一些极端的工况f ，磁浮轴承更是支承方式中的上佳选择。在工程实 际中，将电磁力用来支承转子使其在无机械接触中悬浮的原理已被广泛应 用。因此，深入研究这种有着宽广应用前景的磁浮轴承一转子系统的动态特 性，延长使用寿命、保证其工作性能稳定已成为一个迫切而且重要的任务! ( 2 ) 研究的理论与方法 磁浮轴承一转子系统动态特性的线性分析方法己比较成熟，一般分为两 个步骤：首先利用理论或实验方法求得轴承电磁力的线性化系数；然后利用 线性系统的稳定性理论，研究支承在线性轴承上的线性转子的稳定性。通过 计算求得的系统失稳界限转速实际上就是平衡轴承- 转子系统稳态平衡点解 的失稳转速，即所谓“线性失稳转速”。随着旋转机械的功率日益增大、转 3 登耋翌三_ 丈兰竺圭当三 速不断提高，系统的动力学行为日趋复杂，工程应用中对理论分析的要求也 越来越高，采用线性化电磁力形式往往不能获得满意结果，系统稳定性较 差。这使得对于非线性系统的动态特性研究更加为人们所关注。文献”1 采用 延续p n f 法研究了不同模型及参数下油膜轴承一转子系统的动态分岔特 性。文献口1j j 讨论了非线性电磁力对转子系统不平衡响应的影响和相应的界 限碰摩转速，并对转子位移和电磁力变化进行数值计算。文献田埂出轴承 一转子系统非线性动态特性研究主要是利用打靶法和p n f 法进行分析，四 自由度以上的轴承一转子系统除数值积分外尚无更好的方法。而且对于非线 性高速磁浮轴承一转子系统动态分岔特性的研究尚有待完善。正是鉴于上述 工程背景和学术现状的考虑，本课题的主要研究内容为磁浮轴承一转子系统 的动态特性及稳定性分析。 1 2 本文的工作 本文根据磁浮轴承一转子系统的研究状况，针对非线性电磁力及磁浮轴 承一转子系统动态特性展开分析： ( 1 ) 首先在第二章研究了五自由度磁浮轴承一转子系统的相关特性， 分析可调节的电磁力作用于转子上使其始终在预定位置附近运动的基本原 理。采用二元t a y l o r 级数将电磁力展开，为讨论非线性电磁力对轴承一转 子系统的影响和研究磁浮轴承一转子系统的动态特性奠定理论基础。 但) 在第三章中研究轴承一转子系统动态特性分析的数值方法。针对 滚珠轴承支承的轴承一转子系统模型，应用集总质量法、梁单元法和有限元 法三种不同的数值方法进行理论分析，通过数值计算获得不同方法下的系统 固有频率和模态振型，比较选择最优方法用于磁浮轴承一转子系统的研究。 ( 3 ) 研究在电磁力作用下的线性磁浮轴承一转子系统动态特性。采用 有限元法在第四章中研究滚珠轴承和磁浮轴承线性力作用下的轴承一转子 4 系统，通过数值仿真获得固有频率和模态振型等系统动态特征量。 ( 4 ) 考虑非线性电磁力分析磁浮轴承一转子系统的动态分岔特性。在 第五章中应用p 0 i n c a r e 映射、h o p f 分岔理论和f l o q u e t 稳定性理论研究非线 性磁浮轴承一转子系统动态分岔及稳定性问题。选择p d 控制，利用h o 口f 分岔理论和c p n f 法对系统平衡点解与周期解动态行为进行研究，并给出数 值仿真结果。 ( 5 ) 为进一步探讨磁浮轴承一转子系统的非线性动态特性及稳定性规 律，在第六章中进行以下方面的理论研究：c p n f 法在不平衡磁浮轴承 一转子系统周期解分析中的应用；p o i n c a r e 型胞映射在磁浮轴承一转子系 统全局性态分析中的应用。 虽后，在第七章给出了本文的主要研究结论。 1 3 本论文的研究意义 本课题紧扣学科发展的前沿，针对非线性电磁力及磁浮轴承转子系统 动态特性展开研究。先对三种数值方法进行分析比较，选择最优方法应用于 磁浮轴承一转子系统。利用非线性系统动态分岔及稳定性理论考察非线性电 磁力作用的刚性平衡磁浮轴承一转子系统平衡点解与周期解的动态分岔特 性，并在此基础上探讨不平衡磁浮轴承一转子系统周期解和系统全局性态的 分析理论。 本文选题为陕西省科委2 0 0 0 年攻关项目，此研究曾得到国家重点基金 的资助。本文研究结果可以为磁浮轴承一转子系统动态特性进一步分析奠定 理论基础，以及磁浮轴承一转子在实际高速工况中的应用提供理论依据。 西安理工大学硕士论文 2 磁浮轴承一转子系统 2 1 磁浮轴承一转子系统组成及工作原理 在磁浮轴承一转子系统中如图2 1 所示，通常依靠调节电磁力来控制转 子运动，即当转予位置变化时不断地调整电磁力使转予始终在预定位置附近 运动。目前，所采用的获得位置信号的传感器多为非接触式、电容式和电涡 流式传感器。由传感器拾取信号与给定信号比较后得到误差信号，根据控制 理论或给定控制策略求出转子回复到初始的平衡位置时所需要的矫正信号 并送入功率放大器，再经由执行单元将校正信号变成足够的电流和电压输 出，以驱动电磁铁产生相应的恢复力迫使转子回复到平衡位置，实现转子在 无接触状态下的稳定悬浮。 图2 - l电磁轴承一转子系统衙豳 在磁浮轴承一转子系统控制中，一般需要两个径向磁浮轴承支承转子重 量并控制径向位移；一个轴向推力轴承限制转子的轴向位移，即至少应有五 个位移传感器来测量转子在水平、垂直、轴线方向上的线位移如图2 2 所示， 转子的空间位置转角变化可由位移信号换算而不必单独测量。在测量信号送 人控制器后，经模拟或数字运算由放大器产生控制电流或电压以驱动电磁铁 6 蹩鋈翌至：錾：至筌 形成维持转子稳定悬浮的电磁力。 2 2 电磁力分析 图2 2 五自由度电磁轴承一转子系统 对于任意工作状态下的磁浮轴承一转子系统如图2 3 所示，当忽略电磁 铁铁芯磁阻和漏磁时，可设转子与定子铁芯轴线重合时气隙为c 0 ，若转子发 生位移y ，则转子与上、f 磁极间的气隙分别为( c 。+ 蜘、( c o y ) ，则这 对磁极产生的电磁合力为： 式中 = 华 ( 等h 等 ， t ， 。；4 石x l o 一真空磁导率 4 一气隙横截面积 一线圈匝数 厶。一偏磁电流 0 一动态控制电流 7 西安理工大学硕士论文 k 一平衡转子自重所需要施加的静态控制电流 j ，o = m g c j p o 钆妒i 。， ( 2 2 ) 由于功放元件的性能限制，控制电流t 并不能在任意范围内调节，为 了满足功率放大管正输出特性，当偏磁电流一定时应有： 一般情况下，平衡转子自重的静态控制电流0 - 相应地，x 向电磁合力为 图2 3 y 方向的电磁力 一= 华( 等 2 一( 等 2 c o 抄 c i y ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 由函数关系可以看出：转子所受到的电磁力是依赖于电流和位移的非线 性函数。对于线性电磁力作用下的磁浮轴承一转子系统的动态特性，许多学 者采用集总质量法对系统固有频率和模态振型及稳定性等方面进行了研究： ) ) ， y 一 o o 0， + + ，0 ( ( 0 0 ，一 0 ，ll i i 0 鳘登翌至= 登王至鎏! 但对于怍线性电磁力作用的磁浮轴承一转子系统的动态特性则涉及较少。因 此，本文将非线性电磁力采用二元1 钾l o r 级数展开，获得位移平方项及位 移速度交错项等非线性项。在采用有限元方法研究线性电磁力作用的基础 上，考虑电磁力的非线性项利用现代非线性分岔及稳定性理论分析非线性磁 浮轴承一转子系统的动态特性。 具体电磁力表达式推导过程如下( 仅以_ y 方向为例说明) ： ：型芒 ( 尘立立) ：一( 蝎：】：州，y ) ( 2 5 ) 4 c + yc q y 式( 2 - 5 ) 是一个二元函数，其中自变量为f ，j ，采用多元分析中的二元 1 对l o r 级数展开： 令厂( o ，o ) = o ， = 朋，o ) + 击( 去+ y 言) o ，o ) + r ( 2 啕 其中：b = 志( 毫+ y 争“旭圳舵( o ，1 ) 则：，( t 力= ：! ! ! 竽【2 ( + y ) 。( 厶+ j o + f )( 2 7 ) + 2 ( c 0 y ) 2 ( 厶一f 0 一f ) ( t y ) = j 生华 一2 ( c o + y ) 。3 ( 厶+ + j ) 2 2 ( 岛一y ) 4 ( 厶一乇一f ) 2 】 加华 6 ( 训飞+ 彬 一6 ( c 0 一y ) - 4 ( 厶一毛一f ) 2 】 ，：( f ，j ，) = ，上0 以2 【一( 吒+ y ) - 3 ( 厶+ f o + f ) + ( c 0 一y ) 刁( 厶一乇一f ) ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 西安理工大学硬士论文 且 ( f ，y ) = ( j ，_ y ) 灿：置彩麓0 刮华一半 ( 2 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( f 晏+ y 当2 厂( o ，o ) = f 2 一( o ，o ) + 2 何( o ，o ) + y 2 厶( o ，o ) 伪 砂 ( 2 1 3 ) 利笔由警 又因为：，( f ，y ) 厂( o 0 ) = o 则得到 其中 删= 警，一半帆 协 = k f + k x + 如 b ，b 。为电流和位移三阶以上的高阶小量，电磁力五( f ，x ) 仅有线性 项，而电磁力 ( f ，j ，) 包括线性项和位移平方项及位移电流交错项等非线性 项。本文以式( 2 1 4 ) 和式( 2 1 5 ) 为基础，先分析电磁力线性项的作用 再研究电磁力非线性部分在磁浮轴承一转子系统中的影响。 1 0 陋 砜一 等坞 州 呻 盟 如盟四” 丝 v 蔓 等争 力 一 班 由 西安理工大学硕士论文 3 转子系统动态特性研究的数值方法 在磁浮轴承转予系统中，随着旋转机械功率增大、 作转速提高使得 运转可靠性、稳定性及使用寿命成为衡量系统的重要指标，而转子动态特性 的研究又是可靠性和稳定性的分析基础。大量文献川表明磁浮轴承一转 _ f 系统的动态特性分析主要集中于直观、简洁、易于定性研究的集总质量法， 而对于粱单元法和有限元法涉及较少。考虑到有限元法精度高、适应性广、 便于系统动态特性研究，本章采用集总质量法、梁单元法和有限元法对比分 析轴承一转子系统，选择最优方法用丁- 研究磁浮轴承一转子系统动态特性。 3 _ 1 轴承一转子系统模型及参数 采用集总质量法、梁单元法和有限元法分析的轴承一转子系统的参数及 模型如表3 一l 和图3 1 所示。 表3 - l 轴承一转子系统参数 弹性模量e ；2 i o g p d 转子密度p = 7 8 6 l 一培，打 转动角速度h = 8 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 r ，m i n 等截面轴段号轴段直径轴段长度 _ v d df 吼| f m l l1 0 6 0 2j 56 5 31 33 0 4 1 5 6 5 51 27 0 61 04 5 793 0 81 04 5 985 0 转子系统动态特性研究的数值方法 圈3 - 1 轴承转子系统模型 在采用数值方法对同一模型进行分析时，为便于与实验结果相对比，此 处选用滚珠轴承约束，通过比较所获数值结果的精度、准确性，分析各种方 法的优劣，为研究施加电磁力载荷和等效结构阻尼的轴承一转子系统选择最 优方法。 3 2 不同分析方法及数值结果比较 3 2 1 集总质量法 集总质量法将转子视为由一根变截面轴和多个圆盘组成的系统，用集中 参数法对其进行离散化处理，使连续的转子简化为由许多无质量弹性轴段联 接的多个集总质量所构成的系统。 当节点间第- ，个轴段由j 个截面尺寸不同的轴段组成时，对于这种阶梯 轴可简化为将质量和转动惯量集中到左、右两端构成刚性薄圆盘，而轴段本 身简化为无质量的等截面弹性轴。集中到两端的质量按照总质量和质心位置 不变的原则进行分配： 。j ：主毕 。 ( 3 - 1 ) m j = ( ，) 。一m ? 在计算原轴段中第七个子段的转动惯量式( 3 2 ) ( 包括极转动惯量和赤 道转动惯量) 的基础上，计算集总到两端的转动惯量式( 3 3 ) ： 1 2 西安理工大学硕士论文 咖喜焉厶 呓= 砉鹅厶t ( 3 2 ) ( 3 - 3 ) 呓= 喜南 止，+ 壶r 一肠( 一a ) 。 呓：喜夏华若等 山z + 壶p 一肠( 一。) l 。4 因此对于节点j 的集中质量和转动惯量可以用式( 3 - 5 ) 表示： = 朋；+ 嗲+ 喊 j 。= j 乞+ j 乞七j 乞。 j = j ：+ j ；+ j ；+ 其中： 吼为第t 个等截面轴段的质心到左端面的距离 ( 3 5 ) 哆，t ，为简化到节点_ ，处的质量、极转动惯量、赤道转动惯量 ，嵋，髟，巧为初始位于节点_ ，处的质量、极转动惯量、赤道转动惯量 ，厶，厶，。为对应单位长轴段质量、极转动惯量、赤道转动惯量和长度 无质量弹性轴的等效抗弯刚度可以按照纯弯曲时轴段两端截面的相对转 角保持不变的原则来确定。当考虑轴承外扭转时，无质鼍弹性轴的等效抗扭 刚度可以按照纯扭转时，转轴两端的相对扭转角保持不变来计算。当采用集 总质繁法将连续阶梯轴离散为若干个集中质量后，可以通过在建立每个集中 段 似j 坦 ，“吼出 一 ，、【 质量点的运动方程的基础上，考虑力和位移的边界条件，按不同情况进行无 量纲化处理、组合，从而形成整个系统的运动微分方程。 根据上述理论可建立第，个质点运动方程： 甜 0l l j o0l 0 00 ，3 6 e j 一，2 2 e j 一， i 由圆盘施加给第- ，个轴段的矩应为 + 幽 麓l = j 呈 ( 罚，+ 蔓。焉。 ， 宙， 通过分析以及中间代换过程，可以得到完全用位移、 的各子段力及力矩的平衡方程 m 2 m口2。，。：。，。1，妻，一 1 2 占j ，1 0 6 e j ，1 0 l2 压j ， o 一6 e j ，1 o 0 1 2 j 0 6 且j o 1 2j e o 6 占， 6 e j 0 2 盯 o 一6 占j 0 4 e j 0 12 j p 0 6 e j f 2 o o 6 e j ? 1 0 2 e j j 0 6 e j 0 4 e j o 12 且， f o 6 e f 2 融。 一6 f j 0 2 e j 0 i2j e 丫 0 6 e j 0 ( 3 6 ) ( 3 - 7 ) 转角及其导数表示 0 6 e j 0 2 e ， 0 1 2 e j 0 6 e ， 6 e j f 2 o a e j ， 0 0 6 e ， j 2 o 4 e j f ( 3 - 8 ) 在建立系统运动方程时，考虑边界条件并进行无量纲化处理就可形成整 川引 rlllll， r，。l + h 训 + 川纠 西安理工大学硕士论文 个系统的运动微分方程。 本章研究的模型应用集总质量法，考虑边界条件凝聚后最终保留八个系 统自由度，质点、处的位移自由度被约束，获得的广义坐标包括：3 个 线位移坐标、3 个线位移加速度坐标、5 个角位移坐标和5 个角加速度坐标， 如剧3 2 所示。 m 1m2m 1 ，m 1 mlk ! 竺釜拿釜 珊0 t -珊4 z 五脯0 山，眦五山舳厶厶 阁3 2 集总质量法模型 3 2 2 梁单元法 采用梁单元法分析时，研究工p y 平面内的情形，x 叩平面内与之类似。 假设单元为均匀参数，在不计外力和惯性力的刚性转子系统中，梁在置y 平 e 矽。= m 1 警。 口 可得： y ( x ) = o ( 3 1 0 ) 若设其通解为： j ，( x ) = 1 ，工，x 2 ，x 3 口= q + 钙x + x 2 + x 3 ( 3 _ 1 1 ) 由已知假设单元端部的位移和转角方分别是： y ( 0 ) = y ， y ( 0 ) = 曰。 j ，( f ) = y ， y ( ，) = 甘。 ( 3 1 2 ) 茎王至釜2 变兰兰2 圣兰茎堡互鎏 将式( 3 - 1 2 ) 代入式( 3 _ 1 1 ) ，设广义坐标：g 。2c a ，则 口= g 。c = y ( x ) 1 ， x ，x 2 ， x 3 ( 3 1 3 ) 故：y ) = 吼 在式( 3 - 1 4 ) 基础上，采用能量法综合叫面和材面 由 搿：麓和= l 2 码4 】 可得单元势溉 ( 3 - 1 4 ) 单元动能为： t 斗。掣驯纠 ，、 。2 。 ( 3 - 1 6 ) * ，、7 雌地 其中：k ，= t e i n 。t n 。出，m ，= t p a n t n 出，j 。= 2 t p i n l n d ) c k ，= 等 1 26 ，一1 26 ，l 6 ，4 ，26 ，2 ，2 1 2 6 f1 26 f i 6 ，2 ，26 ，4 ，2 辔 止：型 1 5 ， 1 5 6 2 2 ， 5 4 1 3 ， 3 6 3 f 2 3 6 3 f 2 2 ， 4 ，2 1 3 ， 3 ，2 3 f 2 4 ，2 3 ， 一f 2 3 6 3 f 3 6 3 ， 5 4 1 3 ， 1 5 6 2 2 ， 3 f f 2 3 f 4 ，2 一1 3 ， 一3 ，2 2 2 ， 4 ，2 6 ( 3 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) ( 3 - 1 9 ) p m 呸门j哇跏嘶 ：扛 西安理工大学硕士论文 这样，依据 t 以e 组合得到整体mj 正和整根转轴的梁单元 下的势能和动能，代入e m g r a n g e 方程即可建立运动方程： m + l ，2 。，+ ，。 妻 + n ，j 曼 + 足足 曼 = 。 c s z 。， 其中： g 7 = y ，q 。，y ：，q ：儿，】g ：7 = 眩，芝。，z ：，见：z 。，色。】 写成一般形式： 叫x ) + 【c 】+ 【k 】= 。 ( 3 2 1 ) 在式( 3 - 2 1 ) 基础上，采用广义特征值问题的求解方法可计算得到系统 的固有频率和模态振型。 本章研究的系统模型被划分为7 个梁单元，节点和处的位移自由度 被约束，广义坐标包括：6 个线位移坐标和8 个角位移坐标，如图3 3 所示。 3 2 3 有限元法 图3 - 3 粱单元法模型 有限元在研究具有轴对称性特点的模型时，由于轴对称位移、应变、应 力都与截面内的角度无关，因此空间三维问题就可以简化为二维问题。用有 限元法求解，将弹性体划分为有限个单元确定节点后寻求节点的位移值， 单元内任一点的位移值可通过单元节点位移值插值求得。由位移函数，可求 出相应的弹性体总位能的表达式，再应用最小位能原理，列出以节点位移量 为未知量的线性代数方程组，求解这组线性代数方程组就可咀得到各节点的 位移值。 转子系统动态特性研究的数值方法 在单元分割时，三个节点f ， 研的坐标分别为：( 墨，) 、【，o ) 、 ( 靠，_ ) ，节点位移为“， ) 、( 叶，o ) 、( ，) 。取位移函数为； p 2 口l + 口2 斛吖( 3 2 2 ) 【v = 嘞+ 口5 x + a 6 r 利用节点位移值，可得出： q = 击( q 珥+ q 叶+ ) 呸= 击( 6 j 蚱+ q 叶+ k ) 吩= 击( q q + q “，+ c m ) 吼= 击( 口q + 巳。+ ) ( 3 2 3 ) 日；= 寺( 岛_ + 6 j _ + k ) 吼= 击( c j v f + 勺。+ ) 式中：q = _ _ 一靠0 ：6 f = 0 一；o = k 一_ 彳= 昙( 噍q q q ) 为三角形单元面积。 又= 阱m ) 。 协m ， 式中，为形状函数，且 t ，= j ：f 是警置台是 c ，甾， = 刍( ”虹+ c j ，) m = 寺( q + q 工+ 叮) ( 3 - ：s ) 虬= 击( + 6 m h ，) = 摊 v i 叶0“m ( 3 2 7 ) 单元的应变和应力可以通过求偏导获得，又根据 仃) = 【d 】 s ) ，三角 1 8 形环单元刚度矩阵为 f t ， 七 k ， f 【b n d p 】础卉 j k u k m ，竹 k 、。 k i m k 。 ( 3 ，2 8 ) 其中： 】8 = m e n d 】 e 卜姗( s ，f = f ，m ) ( 3 _ 2 9 ) 阢r = 陵湖绷“川_ 嘲 将已知量代入( 3 2 9 ) 可得： ( 3 3 0 ) 似，= 器卜m + 半g q 吲叫) 2 硒桶 ( + ) h + 半包q 玩 ( 叫) = 面而蒜葡 ( 一+ 。+ _ ) 卜c ，+ 半以q 十z 五 。 砭( 蹦) 2 面商缸两( + 。) ( 1 一“) c ，。 + 半m z 毗训+ 竿+ 胆坐兰掣虬】 在( 3 。3 4 ) 式中，最后一项商接积分也较复杂，讨论后即可求得三角形 单元的刚度矩阵【七】8 各个项，再将每个单元刚度矩阵按“对号入座”方式迭 9 转子系统动态特性研究的数值方法 加，则得到整个系统的刚度矩阵【k 。 在动载荷作用下的任一瞬时，假定结构得到虚位移 占田，结构内部也 产生和 j d ) 相协调的虚应变 巧耐，则对于已知的瞬态应力分布舻 ，就可 以计算结构在给定瞬时的应变能的增量： 6 u = ( ) 7 ( 盯冲 ( 3 _ 3 5 ) y 考虑外力除了体积力、面力和集中力外，还有因加速度和速度引起的惯 性力和阻尼力，则由各外力所做的虚功占为 占= j m 占d ) 7 b 冲+ f 甜) 芦 枷+ 却) 7 ( p ) 一j p 品九讪一瓜删渤咖 p 。6 根据虚位移原理6 【，= 艿得： j ( 出) 7 a 西= f j d 7 执) 西+ 甜 7 芦) 副+ rr 7 p ) 一肌删) 7 矗) 咖一f v 唧7 由咖 pr 因为 d ) = 【】 g ) 8 ； s ) = b g 。，所以 田= 【】( 口) 。； d ) = 】 互 2 ； j d ) = 【】 占g ) 。； 捃) = 【b j g y 可得单元动力平衡方程式： ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) 【kj 。t g + 【( 一。j 。t g j + 【 蔓j 。i g j 。 = 肌】7 娩渺+ f 九芦+ p ) 3 。3 9 式中： k 】= j m 明7 d 】 b p p 为单元刚度矩阵； 【m 】。= j m r 所l 如为单元的质量矩阵： c 1 。为单元的阻尼矩阵： 西安理工大学硕士论文 m 7 芦社d 为作用在单元上的面积力所引起的等效节点载荷。 肌r a 咖为作用在单元上的体积力所引起的等效节点载荷 r 将单元的质量集中分配在节点上，则成为集中质量矩阵。对于平面三角 形单元，单元质量 r l 平均集中分配于每个节点，则集中质量矩阵为 o 考虑轴对称性，研究模型的单元节点数为1 8 2 个，单元数为4 1 7 个，网 格划分如示意图3 4 所示。 图3 4 有跟元法网格划分 3 2 4 数据结果及分析 三种方法获得轴承一转子系统固有频率和模态振型分别如表3 2 和图 3 - 5 所示： 表3 2 不同方法获得的固有频率列表 m 集总质量梁单元法 有限元法 实验数据 脚 1 4 5 5 01 4 6 3 01 5 0 8 01 5 1 1 4 q 2 4 8 9 02 5 1 7 02 6 6 3 0 2 6 4 2 0 屿3 7 5 3 03 7 8 6 03 9 5 8 03 9 3 3 0 峨 4 3 5 0 04 4 3 1 04 8 5 8 04 8 2 6 1 鸭 6 3 8 3 06 5 0 2 07 1 2 9 07 0 3 7 1 l 哦 7 9 5 4 07 8 4 l o9 0 9 8 09 9 6 8 0 l 9 8 3 2 09 2 7 3 01 1 8 8 6 01 2 3 2 l o 2 转子系统动态特性研究的数值方法 l i m m ) ! 卫一 寥9 d l 。l 雾莎l 9 、 。z 9 1 摹 夕 、 懒0 ： l ( m m ) 悉枢，一一垫渗 幺j i 职够： r o d ef j “孱：矿飞l 童( 二 髯 一誓t i 咚n m 胡e s l ( m m ) l ( m m ) 图中：c e n 廿a i 一集总质量 圭、i j 柚g 一粱单元法、廿j 锄脚e 一有限元法 图3 5模态振型图 与文献中的实验数据比较可知： 1 ) 集总质量法、梁单元法和有限元法三种方法在分析轴承一转子系统 时特征值误差范围分别为：9 3 2 0 2 ，7 6 1 7 o ，1 3 1 0 7 a 2 ) 若提高集总质量法的计算精度需将单元细划，这将导致弹性轴过短 而对计算结果产生更大影响。 要耋罂三盔兰翌圭兰三 3 ) 梁单元法特征值解的精度可基本满足工程应用要求，但由于划分单 元时要求轴向尺寸与径向尺寸之比满足一定条件：一般，d 5 因而应用 范围受到限制。 4 ) 有限元法在实际使用中，可任意划分单元和调整精度，实现在尽量 减小求解规模的前提下，获得良好的计算精度。特别当外载荷为变量时，有 限元法可直接通过改变单元受力情况研究系统运动特性。 5 1m o d e l 、m o d e 2 、m o d e 3 、m o d e 4 、m 0 d e 5 为轴承一转子系统采用 三种不同方法获得的前五阶模态振型图。在前二阶模态振型中，三种方法的 最大振幅在转子系统中位置基本致、幅值相当：随着模态增加，集总质量 法与梁单元法求出的最大振幅与实验结果偏差较大，而有限元法所获最大振 幅与实验结果吻合较好。 结论： 集总质量法的建模与求解过程直观、简洁、易于实现，适用于对模型进 行初步定性分析。粱单元法困其特性要求适合研究细长转子系统。有限元法 在轴承一转子系统理论分析中有较高的精度，在油膜轴承、磁浮轴承支承的 高速转子系统动态特性研究中有广泛的适应性。 兰兰塑至：鐾王至垫銎奎箜兰翟圣 4 线性轴承一转子系统动态特性研究 4 1 磁浮轴承一转子系统模型及参数 本文研究的磁浮轴承一转子系统模型及参数如图4 1 和表4 1 所示 为简化磁浮轴承一转子系统的分析与计算，系统中轴套的质量计入转子中 回转半径按转子的半径计算。 表4 - l磁浮轴承一转子系统模型的主要参数 转子弹性模量b = 2 1 0 印a 转子密度 78 6 x 1 0 蟾，一 铜套密度8 9 l 旷堙，m 3 铁磁材料密度 7 7 1 0 3 姆詹 转子转动角速度 n = 8 0 0 0 0 r ，m i n 1 2 0 0 0 0 r ，m i n 等截砸轴段号轴段直径 轴段长度 d ，小小 i | m m l 6 2 3 21 64 0 4 32 8 1 0 42 0 2 2 51 7 3 8 61 65 1 7 2