（光学工程专业论文）基于参数还原的cad逆向建模技术.pdf

f iij iiii ii i lll lli llllf y 17 4 5 8 2 8 ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt og u a n g d o n gu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g yf o rt h ed e g r e eo fm a s t e r i ne n g i n e e r i n g t h et e c h n o l o g yo fc a dr e e n g i n e e rm o d e l i n g b a s eo np a r am e t r i cr e t r i e v i n g c a n d i d a t a ：w uw e n t i n g s u p e r v i s or ：p r o f z h a n gx i a n g w e i m a y2 0 10 f a c u i t yo fe l e c t r o m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g g u a n g d o n gu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y g u a n g z h o u ，g u a n g d o n g ，p r c h i n a ，5 1 0 0 9 0 摘要 摘要 随着计算机图形学、计算机辅助几何设计和高性能计算等相关技术的 发展，三维c a d 技术已在制造业中被广泛使用，产品的三维c a d 模型已 成为现代产品开发、制造、改型和使用维护的基础和平台。因此，获取产 品的三维c a d 模型有着非常重要的意义。在没有产品c a d 模型和没有设 计图纸或者设计图纸不完整的情况下，按照现有产品样件，利用各种数字 化技术及c a d 技术重构其c a d 模型的过程，被称为实物反求工程。本文 围绕实物反求工程，研究和讨论c a d 建模理论和方法。 从产品创新的角度讲，反求工程是在消化、吸收现有技术基础上进行 更高水平再创造的过程，是对现有设计的再设计。反求工程必须走向再设 计或二次设计才能显现出其在新产品开发和市场快速反应中的重要作用。 本文的主要内容是针对逆向工程建模的研究，详细地介绍了曲面重构 的基本理论，其中包括了曲面曲线的拟合的概念和参数表达式。曲面重建 是逆向工程软件系统的重要发展趋势。通过从点云生成c a d 曲面的流程分 析了曲面重建系统的典型代表g e o m a g i cs t u d i o 软件的设计思路和应用特 点，并结合g e o m a g i cs t u d i o 软件对曲面建模的相关操作流程进行了分析。 在g e o m a g i cs t u d i o 软件建立的模型基础之上，对可参数化部分和自由 曲面部分分别作不同的重新再设计。对于可参数化部分，导入至s o l i d w o r k s 软件中进行参数化编辑：对于自由曲面部分，导入至c a t i a 软件中进行变 形设计。对于一个整体模型来说，这两部分的分开处理，可达到精密建模 和重新再设计的双重目的。 关键词：逆向建模，参数化，g e o m a g i cs t u d i o ，再设计 a bs t r a c t 3dc a dt e c h n o l o g yh a sb e e nw i d e l yu s e di nt h em a n u f a c t u r i n gi n d u s t r y w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rg r a p h i c s ，c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ， h i g hp e r f o r m a n c ec o m p u t i n ga n do t h e rr e l a t e dt e c h n o l o g i e s t h ec a d m o d e l i s t h eb a s i so f p r o d u c td e v e l o p m e n t ，m a n u f a c t u r i n g ，r e d e s i g n a n d m a i n t e n a n c e t h e r e f o r e ，i t i s n e c e s s a r y t o a c q u i r e t h ec a dm o d e lb y a b s t r a c t d e v i d eo ft w op a r t m e n t sw h i c hc o u l da c h i e v et h et a r g e t so fp r e c i s i o na n d r e d e s i g n k e y w o r d s ：r e e n g i n e e r i n gr e b u i l d i n g ，p a r a m a t r i c ，g e o m a g i cs t u d i o ，r e d e s i g n i i i 备。 广东工业大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s tra c t ii 目录i v c o n t e n t s v i 第一章绪论1 1 1 课题来源1 1 2 逆向工程技术1 1 2 1 逆向工程的概念1 1 2 2 逆向工程的测量方式2 1 2 3 逆向工程软件3 1 3 研究现状、内容及创新之处4 1 3 1 研究现状4 1 3 2 研究内容6 1 3 3 创新之处7 1 4 本章小结8 第二章逆向工程曲面重建的技术与方法9 2 1 曲线曲面拟合9 2 1 1 拟合的概念9 2 1 2 曲线的参数表达1 1 2 1 3 曲面的参数表达1 4 2 1 4 模型多边形网格化的基本方法16 2 2 基于g e o m a g i cs t u d i0 软件的重构方法19 2 2 1 采集点云及其点阶段预处理1 9 2 2 2 多边形处理阶段2 0 2 2 3 曲面阶段2 1 2 3 本章小结2 7 第三章基于参数还原的建模技术2 8 i v 目录 3 1 前言2 8 3 2 参数还原技术2 9 3 3 截面轮廓参数表达3 0 3 3 1 截面轮廓特征单元表达3 0 3 3 2 截面轮廓特征单元之间的约束表达31 3 4 基于参数还原的参数化建模技术3 2 3 4 1 平面的参数化建模3 4 3 4 2 圆柱的参数化建模3 4 3 4 3 圆锥的参数化建模3 6 3 4 4 拉伸类的参数化建模3 7 3 4 5 拔模类参数化建模3 9 3 4 6 旋转类参数化建模4 0 3 5 本章小结4 0 第四章自由曲面再设计方法4 2 4 1 引言4 2 4 2 基于n u r b s 曲面的控制点再设计4 2 4 3 基于参考点或参考轴缩放再设计4 4 4 4 基于参考曲线引导再设计4 5 4 5 应用实例4 7 4 6 本章小结4 7 第五章工程实践4 8 5 i 引言4 8 5 2 逆向建模4 8 5 3 参数化建模5 0 5 4 本章小结5 6 总结与展望5 7 参考文献5 9 攻读学位期间发表的论文6 3 独创性声明6 4 致谢6 5 v 广东工业大学硕士学位论文 c o n t e n ts a b s t r a c t ( c h i n e s e ) i a b s t r a c t ( e n g l i s h ) i i c o n t e n t s ( c h i n e s e ) i v c o n t e n t s 3t h et e c h n o l o g yo fr e b u l i d i n gb a s i so np a r a m e t e rr e d u c t i o n 2 8 3 1p r e f a c e 2 8 3 2t h et e c h n o l o g yo fp a r a m e t e rr e d u c t i o n 2 9 3 3p a r a m e t e re x p r e s s t i o no fc o n s t r a i n tr e c o g n i t i o n 3 0 3 3 1f e a t u r ee x p r e s s t i o no fc o n s t r a i n tr e c o g n i t i o n 3 0 3 3 2c o n t r a i n te x p r e s s t i o no nt h te a c hc o n s t r a i n tr e c o g n i t i o n 31 3 4t h et e c h n o l o g yo fp a r a m e t e rb u i l d i n gb a s i so np a r a m e t e rr e d u c t i o n 3 2 3 4 1p a r a m e t e rb u i l d i n go ft h ep l a n e 3 4 3 4 2p a r a m e t e rb u i l d i n go ft h ec y l i n d e r 3 4 3 4 3p a r a m e t e rb u i l d i n go ft h ec o n e 3 6 3 4 4p a r a m e t e rb u i l d i n go ft h et e n s i o n 3 7 3 4 5p a r a m e t e rb u i l d i n go ft h es k e t c h 3 9 知 3 4 6p a r a m e t e rb u i l d i n go ft h et a p e r 4 0 3 5b r i e fs u m m a r y 4 0 4t h em e t h o d so fr e - b u i l d i n go nf r e e s t y l es u r f a c e 4 2 4 1p r e f a c e 4 2 4 2r e d e s i g nt h es u r f a c eb yc o n t r o lp o i n t s 4 2 4 3r e d e s i g nt h es u r f a c eb yz o o m 4 4 4 4r e d e s i g nt h es u r f a c eb yr e f e r e n c ec u r v e 4 5 4 5e n g i n e e r i n gp r a c t i c e 4 7 4 6b r i e fs u m m a r y 4 7 5e n g i n e e r i n gp r a c t i c e 4 8 5 1p r e f a c e 4 8 5 2b u i l d i n gb yr e e n g i n e e r i n g 4 8 5 3b u i l d i n gb yp a r a m e t r i c 5 0 5 4b r i e fs u m m a r y 5 6 s u m m a r ya n df u t u r e 5 7 r e f e r e n c e s 5 9 p a p e rp u b l i s h e dd u r i n gt h ep e r i o do fm a s t e r i n gd e g r e e 6 3 v l l 广东工业大学硕士学住论丈 t h ed e c l a r a t i o no fo r i g i n a lc r e a t i o n 6 4 t h a n k s 6 5 v i i i 第一章绪论 1 1 课题来源 第一章绪论弟一早珀y 匕 逆向工程( r e v e r s ee n g i n e e r i n g ，r e ) 也称反求工程，它是相对常规的设 计而言。传统的产品实现通常是从概念设计到图样，再制造出产品，而产 品的逆向工程是从一个存在的零件或原型人手，首先对其进行数字化处理， 然后构造c a d 模型，最后制造产品【1 1 。 在对已有产品反求的基础上进行设计，起点高，更容易得到有所创新 的产品。如今，数字化测量和快速原型技术及其装备在国内大中型企业开 始普及，促使反求工程技术现代化，产品开发周期进一步缩短。但是许多 反求产品只是对同行企业样品的复制，缺乏消化吸收，更谈不上改进或二 次开发，不但没有带来产品的自主创新，还屡屡引发知识产权问题。随着 我国加入w t o ，知识产权问题尖锐化，通过传统反求工程实现产品复制的 方法受到严重制约，研究开发支持产品创新的反求设计方法变得更加重要 【扣5 1 。 1 2 逆向工程技术 1 2 1 逆向工程的概念 “逆向工程” ( r e v e r s ee n g i n e e r i n g ，r e ) ，也称反求工程、反向工 程等。逆向工程也俗称抄数，是产品设计中的一种流程，广泛应用于电脑 仿型，礼品，结构开发等。广义的逆向工程包括形状( 几何) 反求、工艺 反求和材料反求等诸多方面，是一个复杂的系统工程。目前，有关逆向工 程的研究主要集中在形状反求方面。所以本文所提及的逆向工程，是指用 一定的测量手段对实物或模型进行测量，根据测量数据采用三维几何建模 方法重构实物的c a d 模型的过程；是一个从样品生成产品数字化信息模 广东工业大学学位论文 型，并在此基础上进行产品设计开发及加工制造的全过程。 与传统的设计制造方法不同，逆向工程是在没有设计图样或图样不完 整，而在有样品的情况下，利用数字化量测仪器准确快速地测量样品表面 数据或轮廓外形，加以点数据处理、曲面创建、三维实体模型重构，然后 通过c a m 系统进行数控编程，直至利用c n c 加工机床或快速成型机来制 造产品，如图1 1 所示为逆向工程的产品设计流程。 图1 1 逆向工程的产品设计流程 f i g 1 1p r o d u c t sd e s i g np r o c e s sb a s e do nr e 逆向工程在某些方面就像我们常说的“仿制 。逆向工程为制造业提 供了一个全新、高效的重构手段，实现从实际物体到几何模型的直接转换 【6 7 】 o 1 2 2 逆向工程的测量方式 随着传感技术、控制技术、图像处理和计算机视觉等相关技术的发展， 出现了各种各样的物体表面几何数据获取方法，检测设备为产品三维数据 的获取提供了硬件条件。目前，使用较多的有三坐标测量机、三维扫描仪、 多轴关节式机械臂等。三坐标测量机的测量属于接触式测量，测量精度高， 但测量速度慢，受接触力影响大，一般多用于精密测量。三维激光扫描仪 2 第一章绪论 属于非接触测量，具有测量速度快，可测量柔软物体，不会损坏工件表面 的优点，但测量精度较低，多用于自由曲面的立体造型。关节式测量机是 一种便携式测量仪器，对空间不同位置测量点的接触实际上模拟人手臂的 运动方式。仪器由测量臂、码盘、测头等组成，各关节之间测量臂的长度 是固定的，为了保证测量臂的精度，要选好的材料，大部分仪器带内部温 度补偿器，以消除温度变化对长度的影响，总的来讲测量精度要比三坐标 测量机的精度低 8 - 9 】。 非接触式测量可分为光学法、工业c t 、超声波法和磁共振( m r i ) 等。 在逆向工程中，光学测量法应用最为广泛。典型的光测头是运用光学与激 光的原型，包括激光扫描、光学扫描。近几年来，扫描设备有了很大的发 展。例如，英国雷尼绍公司的c y c l o n 2 高速扫描仪，可实现激光测头和 接触式扫描头的互换，激光测头的扫描精度达o 0 2 m m 。可对易碎、易变形 的形体及精细花纹进行扫描。德国g o m 公司的a t o s 扫描在测量时，可。一 随意对被测物体进行移动，利用光带经数据影像处理器得到实物表面数据， 扫描范围可达8 m 宰8 m 。 不同的测量对象和测量目的，决定了测量过程和测量方法的不同。在实 际三坐标测量时，应根据测量对象的特点以及设计工作的要求确定合适的 扫描方法及相应的扫描设备。例如，材质为硬质且形状比较简单、容易定 位的物体，应尽量使用接触式扫描仪。这种扫描成本较低，设备损耗费相 对较少，且可以输出扫描形式，便于扫描数据的进一步处理。但在对橡胶、 油泥、人体头像或超薄形物体进行扫描时，则需要采用非接触式测量方法， 它的特点是快速化，工作距离远，无材质要求，但设备成本较高。由于近 年在分区域测量技术上的突破，使得投影光栅法的测量精度得到进一步的 提高。 1 2 3 逆向工程软件 当前，市场上提供了逆向建模功能的c a d 软件达数十种之多，按软件 提供的方式不同大致可以分为两类：一是专用逆向软件，如i m a g ew a r e 、 g e om a g i c 、p o l yw o r k s 、c o p yc a d 、i c e ms u r 卿r e s o f t 等；二是提供逆 广东工业大学学位论文 向处理模块的正向c a d c a e c a m 软件，如p t c 的p r o s c a n t o o l s 、u g 的p o i n t c l o u d y 等。曲面重建的算法内核主要有三种：一是以b s p l i n e 或n u r b s 曲 面为基础的曲面构造方案；二是以三角b 6 z i e r 曲面为基础的曲面构造方案： 三是以多面体方式来描述曲面物体的方案。由此，根据不同的算法内核， 从用以构建3 d 模型的建模策略上分析一般来说根据系统在曲面模型重建 方面的特点不同，逆向c a d 建模系统又可以根据下述分为三种建模方案进 行划分：其一是人工方案，这种方案主要使用在动画制作领域。在动画制 作中，造型的视觉效果远比造型的精度重要，所以制作过程中往往是采用 样条曲面片来对测量点云人工拟合；其二是半人工方案，这种方案广泛应 用于机械c a d 领域，在建模时，往往是根据用户的引导，系统对用户识别 好的测量点集使用参数化曲面片拟合来生成曲面模型。目前很多商用逆向 软件如c o p yc a d 、s t r i m 和i m a g ew a r e 等都是采用这一方案；其三是自动建 模方案。这种方案往往都是假定所有的测量数据点都通过边和三角形连接 到一个曲面，通常的实现方法可以分为切片重构、密集数据点重构和3 d 复 合形重构三种方法。目前商用的逆向c a d 系统中，g e om a g i c 便是这种建模 方案的突出代表，我国浙江大学的r e s o f t 逆向c a d 系统也具备一定自动建 模能力【10 1 。 本文中使用的逆向建模系统是g e om a g i cs t u d i o 软件。以逆向建模软件 g e om a g i cs t u d i o 为例，其完整的流程如下： 步骤1从点云中重建出三角网格曲面。 步骤2对三角网格曲面编辑处理。 步骤3模型分割，参数化分片处理。 步骤4栅格化并n u r b s 拟合成c a d 模型。 1 3 研究现状、内容及创新之处 r 1 3 1 研究现状 目前为止，逆向工程的研究热点主要集中在以建立综合测量模型为目 的的三维重构技术、以实现零件的复制、模型制造为目的的快速建模技术 4 第一章绪论 ( 上一节己具体分析了逆向工程的概况) ，然而，无论是专业的逆向建模 软件还是集成逆向建模模块的软件对点云进行n u r b s 曲面化都提供了比 较系统的解决方案，但是模型的精度问题仍然是逆向建模的最大困扰。另 一方面，参数化建模软件拥有比逆向建模软件更长的发展历史，同样具有 很成熟的曲面建模方案，然而建立自由曲面等复杂模型的精度和效率依然 没有得到保证。总而言之，常规建模软件的长处就是逆向建模软件的短处， 反之亦然。 因此，基于对当前反求工程、反求设计的研究，提出原始设计参数还 原即依据实物原型的三维重构数据、配合组件及其工作环境等信息反求出 原型在制造之初的设计参数。原始设计参数还原在整个逆向工程中，它是 精度化再现实物原型的关键。其直接目的是解决实物反求之去伪存真的问 题，即剔除可能包含在产品中的制造、装配、磨损、测量、计算等误差， 在防止误差扩散的前提下还原其设计参数。但是，其根本目的是从本质上 耘 理解原始设计对于各种设计因素及关系的处理方式、方法，找出经过实践 证明是正确的设计思想及设计结果，从而提高再设计水平。 虽然原始设计参数还原概念本身刚提出来不久，完整的理论体系还没 有形成，其研究处于探索阶段，但是不能趋于固定的狭小范围( 局限于原 始基本尺寸的还原和原始精度参数的还原) ，应该不断地充实、丰富其内 蘑 容。目前，基于参数还原的前瞻性研究主要包括： ( 1 ) 源数据( 测量数据或三维重构模型数据) 的统计处理与误差分析、选 择与构造样本保证采样数据的代表性、合理选择置信水平正确进行参数估 计。 ( 2 ) 统一建模技术研究，包括适宜的知识表示与提取技术研究，推理与 决策方法研究、反求对象建模技术研究。 ( 3 ) 科学计算可视化研究，利用计算机支持下综合可视化技术构造适 合于设计人员的自然交互方式，加强人机之间的信息交流，将设计人员从 繁杂的重复性工作中解脱出来，转到从事更具创造性的工作上来。 除了可参数还原的曲面之外，自由曲面的建模同样是逆向工程中的重 要一环，也是逆向工程的优势所在，这一点是其他c a d 建模软件所无法比 拟的。因为自由曲面逆向工程中重构曲面的实现常采用的方法是n u r b s 广东工业大学学位论文 曲面重构法，所以基于n u r b s 曲面重构法的再设计方法，理论上可以归 结为通过改变控制顶点、权因子以及节点向量三者中任何一个或多个，都 能够实现对曲面的修改、优化等再设计。从技术层面来说，为了便于交互 式操作和基于直观性的考虑，主要表现为对控制点的改变。因为控制点间 的变化规律和影响域的引入，使得再设计曲面容易预测、控制。 主控制点修改可根据要修改的曲面变化中心来确定，即把主控制点近 似作为作用域的中心。作用域的范围根据曲面修改的范围或约束条件确定， 其形状可以是自定义的几何形状，也可以是根据判断符合约束条件决定的 随机性形状。 以上就是逆向工程技术，参数还原技术以及自由曲面控制点无参数编 辑的研究现状。这三种技术本来在各自领域发挥作用，然而在本论文中， 通过研究高精度、高效率以及可重新再设计的完整建模系统，将以上三种 建模技术进行了融合。至于具体点的研究方案，请详见下一节内容。 1 3 2 研究内容 本课题主要对逆向建模与参数化建模的技术进行了相关的应用研究。 模型根据可否参数化建模可划分为可参数化编辑曲面和不可参数化编辑曲 面( 即自由曲面) ，对于以上两种类型的曲面分别给出了不同的解决方案。 本课题给出的解决方案就是通过逆向建模软件和正向建模软件的配合使用 完成对初等可参数化编辑曲面的参数还原、修改以及自由曲面的再设计。 该方案在高效率建模的同时，实现可参数编辑曲面特征的参数化建模，从 而得到高精度的数字模型，并通过对自由曲面的再设计实现对原有模型二 次开发和创新。 由于本论文的核心部分是把模型根据可否参数化建模划分为参数化编 辑曲面和自由曲面，所以用两个章节分别对两种曲面形式进行研究，其中 对于可参数化编辑内容的理论和技术研究详见本论文第三章；自由曲面的 再设计内容详见本论文第四章。 研究的具体内容如下： 1 ) 使用逆向建模系统对点云数据进行编辑，曲面轮廓划分及特征识别， 6 第一章绪论 建立n u r b s 曲面模型；就逆向工程的重要环节，如特征分割、曲面造型的 特点与建模策略进行论述；结合逆向c a d 系统并针对不同的曲面造型，对 曲面建模的特点、技巧与作业流程以及建模品质评价等方面进行了具体的 分析。 2 ) 结合g e o m a g i cs t u d i o 软件自身的特点对参数还原的理论基础进行研 究，并根据工程实例说明本论文的核心内容( 即可参数化建模) 将n u r b s 曲面模型的可参数化编辑曲面部分导入到常规建模系统中，对可参数化编 辑曲面部分进行参数化建立、修改。 3 ) 对自由曲面控制点无参数修改技术进行阐述，对自由曲面进行再设 计的概念，同时结合工程实例予以说明。 4 ) 最后，对一个数据模型实例使用本论文提出的建模流程进行建模， 以确定其可行性。 1 3 3 创新之处 从事逆向设计工作或研究者们一直尝试将逆向建模的高效率和参数化 建模的高精度这两点相结合，并提供了相关设想和理论算法等的研究文献， 工程研究者对两者的结合提供各自的思路以及方法，从应用本身来说，具 有一定的参考性，但是无可避免以下两种情况： 1 、缺乏标准，来自软件操作流程的标准，各工程人员都是根据自身开 发产品所遇到的困难提出相关的解决方法，并没有一个高度的概括和总结。 2 、操作难度大，操作人员需要精通多种建模软件。根据各个软件的特 点和需要解决的问题相结合，提出相对应的解决方法。 直至近期发布的逆向建模软件模块才部分解决以上的两个问题，第一 是提出标准，第二是降低操作难度。本课题对前人的研究成果进行学习和 总结，并结合全球最新发布的逆向建模软件模块对本课题研究提出并推广 个人的解决方法。 综合本论文的创新之处，可分为两点：1 、首次将参数化设计与逆向 c a d 建模相结合，使逆向建模曲面质量达到常规建模曲面质量的高精度。2 、 引入创新再设计概念，将模型的自由曲面部分导入到常规建模系统中进行 7 广东工业大学学位论文 再设计。 1 4 本章小结 从产品创新的角度讲，反求工程是在消化、吸收现有技术基础上进行 更高水平再创造的过程，是对现有设计的再设计。反求工程必须走向再设 计或二次设计才能显现出其在新产品开发和市场快速反应中的重要作用。 为了使重构的产品数字化模型能够有力支持新产品开发，反求工程中三维 几何模型的重构必须考虑所建立的数字化模型是否能够进一步支持产品的 后续再创新设计。创新设计是反求工程的灵魂，模型的重建是创新的基础。 因此注重重建后模型的再设计功能是当前反求工程研究的重要方向，将逆 向设计与正向设计有机结合起来是必然之路。 8 第二章曲面重建的技术与方法 第二章逆向工程曲面重建的技术与方法 本文的重点是对逆向工程技术与可参数化建模技术进行结合，其中可 参数化建模技术在逆向工程建模基础之上而进行的，所以本章是对逆向工 程建模理论与技术进行说明，内容主要分为两个部分：前半部分是对逆向 建模的理论基础进行阐述，后半部分是使用了g e o m a g i cs t u d i o 软件对逆向 建模技术的说明、归纳和总结。 2 1 曲线曲面拟合 在正向工程曲面造型中，曲线是构建曲面的基础，而在逆向工程中， 曲线拟合造型也是一种常用的模型重建方法。它先将数据点通过插值 ( i n t e r p o l a t i o n ) 或逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 拟合成样条曲线或参数曲线，再利用 曲面造型工具，如扫描( s w e e p ) 、混成( b l e n d ) 、放样( l o f t ) 或边界曲面 ( b o u n d a r y ) 等完成曲面片造型，再通过延伸、裁剪和过渡等曲面编辑，得 到完整的曲面模型。然而，通常由曲线通过曲面造型工具进行曲面造型的 方法只适合处理数据量不大( 如c m m 测量数据) 且数据呈有序排列的情 况。曲面模型重建的另一种方法是直接对测量数据点或者通过测量数据点 的多边形化模型上的面片网格进行曲面片拟合，获得曲面片经过过渡、混 合、连接形成最终的曲面模型。 2 1 1 拟合的概念 给定一组有序的数据点只( f _ 0 ，l ，川，这些点既可以是从实物测量得到 的，也可以是设计人员给出的。要求构造一条曲线顺序通过这些数据点， 称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线，所采用的数学 方法称为曲线插值法。 以插值方式来建立曲线，其优点是所得到的曲线必会通过所以测量的 数据点，因此曲线与数据点的误差为零。缺点是当数据点过大时，曲线控 9 广东工业大学硕士学位论文 第二章曲面重建的技术与方法 2 1 2 曲线的参数表达 在c a d 系统中，几何实体在数学上往往是采用参数多项式的形式来表 示的。 1 ) 参数三次曲线 在大多数应用案例中，参数三次曲线应用最为广泛，事实上，大多数 c a d 实体形状的表示与设计也都是用三次参数化来实现的。参数三次曲线 既可以生成带有拐点的平面曲线，又能生成空间曲线次数最低的参数多项 式曲线。三次多项式可以使用4 个点的拉格朗日插值来定义，如式( 2 1 ) ， 也可以使用两个点和两个端点的斜率来进行定义，如式( 2 - 2 ( a ) 与( b ) ) ， 后一种形式通常被称为h e r m i t e 插值。 p c “，= 垂 = 墨 b 1 b 2 b 3 1 “ 甜2 “3 3 ：y k u z 一 o o 其中：k ，是未知系数向量。 由于美国波音公司的f e r g u s o n 首先引入参数三次方程，因此参数三次曲 线又称为f e r g u s o n 曲线。 2 ) h e r m i t e 曲线 假如给定曲线的两个端点p o 和a 及其对应的曲线斜率风和p t 作为边界条 件，则可以由( 2 1 ) 式推出，其结果可以等价表示为( 2 。2 ) ( a ) 、( b ) 两式。 p ( “) = p o ( 1 - 3 u2 + 2 u 3 ) + p l ( 3 “2 2 u 3 ) + p j ( “一2 u 2 + “3 ) + p ：( 一甜2 + “3 ) ( 2 2a ) p ( “) = 1 “2 “3 l 0 oo 一33 22 0o 1 o 一21 l1 p o p 1 p o p i 上式表示的即是h e r m i t e 参数曲线。在h e r m i t e 参数曲线上任意参数u 所对 应的位置由方程( 2 - 2 ) 中的4 个u 的函数和表示，这4 个参数u 的函数称 广东工业大学硕士学位论文 之位h e r m i t e 参数曲线的基函数( 如图2 - 3 所示) ，它们和边界条件一起， 用于描绘任意h e r m i t e 三次多项式曲线的形状。 0 图2 - 3h e r m i t e 曲线的基函数 3 ) b e z i e r 曲线 应用上，用户并不能通过h e r m i t e 曲线边界条件的变化来直观地预期 曲线的形状，因此，法国雷诺汽车公司的b e z i e r 提出使用一个控制多边形 来取代点和斜率来定义边界条件。通过逼近控制多边形的控制点可以产生 一条阶次等于控制点数的曲线，如图2 4 所示，而且通过控制的改变，用 户可以直观的预期曲线形状的改变。 p ： 一 p t ，一，7 一_ i i p n 图2 - 4 三次b e z ie r 曲线 。jf i g 2 4c u b i cb e z i e fc u r v e 和h e r m i t e 曲线相似，b e z i e r 曲线也是对控制多边形的首尾两个控制点进 行插值。通常应用的b e z i e r 表达式是使用b e r n s t e i n 多项式来表示的，如 ( 2 3 ) 所示。 p z l = = 丢b ，t 。f i ，0 u 1 ( 2 3 ) 1 2 第二章曲面重建的技术与方法 其中：& “5 两舌兰丽( 1 一功”是b e r n s t e i n 多项式，它构成的是b e z i e r 曲 线的基函数；易“= o ，1 ，功为b e z i e r 曲线控制多边形的疗+ 1 个控制顶点，且 刀表示的是b e z i e r 曲线的阶数。 b e z i e r 曲线具有很多的优良特性，如对称性、凸包性、几何不变性等， 用户通过调整曲线的控制点便可以直观的对b e z i e r 曲线进行修改，但有两 点不足：其一是b e z i e r 曲线或曲面不能作局部修改；其二是b e z i e r 曲线或 曲面的拼接比较复杂。 4 ) b 样条曲线 19 7 2 年，g o r d o n 、r i e s e n f e l d 等人提出了b 样条方法，在保留b e z i e r 方法全部优点的同时，克服了b e z i e r 方法的弱点。b 样条曲线是b e z i e r 曲 线的一般化，与b e z i e r 曲线采用b e r n s t e i n 多项式作为基函数不同，它采用 样条函数作为其基函数，这可以允许在保持曲线阶数不变的情况下而使用 毒 更多数量的控制点来进行曲线的构建 样条是分段连续的参数曲线，每段曲线以特定的参数值( 称为参数节 点) 相连接。b 样条曲线方程可写为： “ p ( “) = d ，n 啦( “) 0 z f l i = 0。 。( 2 。4 ) 其中，d r ( f _ 0 ，1 ，刀) 为控制顶点，顺序连接成的折线称为b 样条控制多边 形。m ，t ( 甜) ( 汪o ，1 ，玎) 称为k 次规范b 样条基函数，且有 ，tc。，=；ii蹴-也一，t一cz，r蹦，、，t一c。，。25， b 样条基是多项式样条空间具有最小支承的一组基，故被称为基本样 条( b a s i cs p l i n e ) ，简称b 样条。b 样条曲线具有能描述复杂形状的功能和 局部性质，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一，是已成为关于 工业产品几何定义国际标准的有理b 样条方法的基础。 5 ) n u r b s 曲线 b 样条方法在表示与设计自由型曲线、曲面形状时显示了强大的威力， 然而在表示与设计初等曲线、曲面时时却遇到了麻烦。因为b 样条曲线( 包 括其特例的b e z i e r 曲线) 都不能精确表示除抛物线外的二次曲线，b 样条曲 面( 包括其特例的b e z i e r 曲面) 都不能精确表示除抛物面外的二次曲面，而 只能给出近似的表示。提出n u r b s 方法，即非均匀有理b 样条方法，主 要是为了找到与描述自由型曲线、曲面的b 样条方法既相统一，又能精确 表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。n u r b s 方法的主要优点：既为标 准的解析形状( 即前面提到的初等曲线曲面) ，又为自由型曲线曲面的精确 表示与设计提供了一个公共的数学形式。可修改控制顶点和权因子，为各 种形状设计提供了充分的灵活性。 与b 样条方法一样，具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术( 包 括节点插入、细分、升阶等) 。对几何变换和投影变换具有不变性。非有理 b 样条、有理与非有理b e z i e r 方法可以处理为它的特例1 16 - 1 7 】。 不过，目前在应用n u r b s 方法中，还有一些难以解决的问题：比传 统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间，如： 1 ) 空间圆需7 个参数( 圆心、半径、法矢) ，而n u r b s 定义空间圆需 38 个参数。 2 ) 权因子选择不当会引起畸变。 3 ) 对搭接、重叠形状的处理很麻烦。 4 ) 反求曲线、曲面上点参数值的算法不稳定。 n u r b s 曲线是由分段有理b 样条多项式基函数来定义的： 缈，n i 。( “) p ， p ( “) = 上号- 一0 u 1 丢缈，t 。l ( 2 6 ) f = o iz - nl 其中：c o ，( i - 0 ，l ，1 一，门) 是控制顶点的权重系数，啪 ) 是尼次规范b 样条基函 数，p ，是控制顶点。 2 1 3 曲面的参数表达 c c a d 系统中最常用的曲面造型方法是大多数参数多项式曲线方法在 两个参数方向的推广，曲面的基本表示形式如式( 2 7 ) 所示。因此，不同 形式表达的曲面具有与之相对应的曲线所具有的优缺点，且与参数曲线的 1 4 第二章曲面重建的技术与方法 -，c。，、，：=至=：蓁；妾。：， p ( u ，v ) = k “v 7 设p o ( 扛o ，l ，刀；= 0 , 1 ，聊) 为0 + 1 ) 似+ 1 ) 个空间点列，则聊门次张量积形 p ( u ，1 ，) = p 口e ，。( u ) b j 。( v ) 【o ，1 】 或使用矩阵形式表示为： p ( u ，) = b 0 ，。( “) b i , n ( “) b m , n ( “) 】 p o op o lp o m p l o p 月0p 月lp m 玩肼( ，) b 1 。( 1 ) 吃。( v ) 其中e ，。( 甜) = c j ：，甜( 1 一砧) m - i 色，( y ) = c v j ( 1 一v ) 肛7 是b e r n s t e i n 基函数。依次用线 段连接点列p i ( f _ 0 ，l ，；j = 0 ，l ，掰) 中相邻两点所形成的空间网格称之为 特征网格。在一般实际应用中，刀，聊不大于4 ，且与b e z i e r 曲线控制点修改 的全局性相同，通过b e z i e r 曲面控制网格顶点的移动将该网格定义的曲面 广东工业大学硕士学位论文 整体形状产生影响。 3 ) b 样条曲面和n u r b s 曲面 b 样条曲面和n u r bs 曲面分别是b 样条曲线和n u r b s 曲线在曲面空间的 推广，它们的数学表达式分别如( 2 1 1 ) 式和( 2 一l2 ) 式所示。 p ( u ，v ) = e y n 从( u ) n j s ( v ) p “ 甜，1 ， 0 9 l 】 址( 甜) ( v ) c o 口p 口 p ( u ，v ) = 艺等一【0 ，1 】 j ，七( “) n j ，( v ) t = 0j = 0， 其中：m , 分别为“，v 参数方向上b 样条曲线或n u r b