（基础数学专业论文）欧氏空间中球面的刚性定理.pdf

j i i i l iii i i ii 11 1 i i iiii y 1 7 3 6 916 r i g i d i t yt h e o r e m f o rs p h e r e si na ne u c l i d e a ns p a c e at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：x i o n gj u a n s u p e r v i s o r ：p r o f w uc h u a n x i h u b e iu n i v e r s i t y 肋h a n 。c h i n a 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者始垒娟 0 ，入r + i i ) 在r + c a i f ( a ) o ) 的分支r ( f ) 上，f 是椭圆的( 即瓦o f o ，v i ) ，并且对于 某个非零的m ，f m 是凸的( 即【a 2 f m 】o ) 如果 f4 - e = 0 ， 其中正数e 依赖于死，贝l j x ( m ) 是一个球面 关键词：平均曲率流，球面，w e i n g a r t e n 面，凸的 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t t h et h e s i sc a nb ed i v i d e di n t ot h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h e b a c k g r o u n da n d t h ec o n t e n t so ft h i st h e s i s i nt h es e c o n dp a r t w er e c a l lt h eb a s i ck n o w l e d g eo fm e a nc u r v a t u r ef l o w , w h i c h i n c l u d e st h es h o r tt i m ee x i s t e n c e ，t h es t r o n gm a x i m u m p r i n c i p l e ，a n ds o m ew e l l k n o w n f a c t so fc o n v e xh y p e r s u r f a c e s t h et h i r dp a r ti st h em a i nc o n t e n to ft h i st h e s i s i tg i v e san e w s u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rac o m p a c th y p e r s u r f a c ei n 口+ 1t ob eas p h e r e t h a ti st h em a i nt h e o r e mo ft h i s t h e s i s m a i nt h e o r e ml e tx ：m n 叫舻+ 1b eas m o o t hc o m p a c th y p e r s u r f a c ei m - m e r s e di n 卸e u c l i d e a ns p a c e w i t hp o s i t i v em e a nc u r v a t u r eh a s s u m ef = f ( a ) i s as m o o t hs y m m e t r i cf u n c t i o no fa = ( a 1 ，a 2 ，k ) w i t hh o m o g e n e o u sd e g r e eo n e s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s i ) f ( a ) 0 ，入r + i i ) o nt h ec o m p o n e n tr ( f ) o f a i f ( a ) o ) c o n t a i n i n gr + ，fi se l l i p t i c ( i e 装 o ，) ，a n df m i sc o n v e x ( i e 【伊f 仇】o ) f o rs o m en o nz e r on u m b e rm t h e n f + e = 0 ， f o ra p o s i t i v ec o n s t a n t d e p e n d i n go n l yo nn ，x ( m ) i sas p h e r e k e yw o r d s ： m e a nc u r v a t u r e ，s p h e r e ，w e i n g a r t e ns u r f a c e ，c o n v e x 目录 目录 摘要 i a b s t r a c t ( 英文摘要) i i 1 引言 1 1 1 本文的研究背景 1 1 2 论文的研究内容和组织结构2 2 平均曲率流的基础知识 4 2 1 欧氏空间中超曲面的平均曲率流4 2 2 短时间存在性及极大值原理7 2 3 凸超曲面的一些基本事实8 3 欧氏空间中球面的刚性定理1 1 3 1 计算1 l 3 2 主要定理的证明1 5 参考文献1 8 致谢：2 l 1 1 i 1 1 本文的研究背景 1引言 设m n 是一个n 维光滑流形，令x ：m n 一形+ 1 是欧氏空间r 叶1 中的一个 光滑浸入超曲面设日是x 的平均曲率，疗是单位法向量，其中h 0 ，在参考文 献 1 9 1 中，h u i s k e n 完全将满足条件( 1 1 1 ) 的子流形x 进行了分类， 日+ = 0 ， ( 1 1 1 ) 当m n 紧致时，唯一可能的情况是舒+ 1 中的球面 事实上，设有某个初始超曲面x o = x ( m ，0 ) ，酽+ 1 中满足条件( 1 1 1 ) 的子流 形称为平均曲率流方程( 1 1 2 ) 的自相似解 掣圳州味z m n ，t 0 ， x ( x ，0 ) = x o ( z ) ，z m n ( 1 1 2 ) 如果初始超曲面的第二基本形式是有界的，那么平均曲率流方程( 1 1 2 ) 在最大有 限的时间间隔内有光滑解而且通过重新参数化，发展方程( 1 1 2 ) 的第一型解和 方程( 1 1 1 ) 的一样是渐近自相似的 对于任意余维数的平均曲率流的自相似解，s m o c z y k 3 9 将这些具有平行主 法向量场的自收缩解进行了分类 显然，如果x ：m n 一舻+ 1 是浸入在册+ 1 中的球面，则对于仅依赖于n 的某 个非零实数， f 去= 5 ， ( 1 1 3 ) 其中f 是定义在正锥f + c 舻上具有齐性度数为m 的一个光滑对称函数当所有 的变量都取相同的球面主曲率时，( 1 1 3 ) 成立 当f 在向量 九( z ) ) 上取值时，它的分量是m 的主曲率，曲率f 的超曲面m 称 作w e i n g a r t e n 超曲面 h u i s k e n 1 9 的定理表明，当f = h 时，其逆定理也是成立的在这篇文章中， 我们将证明，如果w e i n g a r t e n 超曲面的w e i n g a r t e n 率f 满足以下主要定理所 湖北大学硕士学位论文 给出的一些性质，那么( 1 1 1 3 ) 的逆对于一大类w e i n g a r t e n 超曲面也是成立的， 曲率函数f 的经典例子就是m 次的初等多项式，称为m 的m 阶平均曲率， 定义 h m = 九。k a 钿 m = 1 ，2 ，n ， ( 1 1 4 ) i l 2 0 ，a r + i i ) 在r + c 【入i f ( a ) o ) 的分支r ( f ) 上，f 是椭圆的( 即瓦o f o ，v i ) ，并且对于 某个非零的m ，f m 是凸的( 即 a 2 f m l o ) 如果 f + e = 0 ， 2- ( 1 2 7 ) 其中正数g - 依赖于n ，贝i j x ( m ) 是一个球面 下面是本文的组织结构 第二部分简要介绍平均曲率流的基础知识，包括短时问存在性及极大值原 理，凸超曲面的一些基本事实 第三部分是本文的主要内容，给出了引理3 2 1 及其它的证明，通过以上引理 结合其它的结论，我们完成了主要定理的证明 3 湖北大学硕士学位论文 2 平均曲率流的基础知识 2 1 欧氏空间中超曲面的平均曲率流 设m n 是n 维光滑流形，令 x ( ，t ) ：m n _ 形“ 是舻+ 1 的一族单参数光滑浸入超曲面若 是x ( 州) = 日( 础) 砸，z 胪，亡o ， ( 2 1 1 ) 则称x ( ，亡) 是平均曲率流的解其中日( z ，t ) 是x ( z ，t ) 处的平均曲率，元( z ，亡) 是单位 法向量 取定m n 的一个局部坐标系 z 1 ，扩) ，m n 上的度量张量和第二基本形式 分别为 咖一= ( 可o x ( z , t ) ，掣) ， 坼，t ) 邓巩笔警) v 和分别表示舰上的联络和b e l t 瑚m 1 i l 印l a c e 算子，则度量矩阵( ) 的c h r i s t o 疵l 记号为 r 易= 互1 y k l 。丽a 鲫+ 品鳓一刍) ， 其中夕烈是矩阵( 仇f ) 的第七行第f 列元9 k l 的逆根据g a u s s w e i n g a r t e n 公式 曲率流方程可以写成 g a u s s 方程 塑o x i o x i = r 易篆一吼 1 t 38 z ki t j 、 岛咄扩券，丽2 锄旷丽， 等= g x 况 一g 。 埘= h i k h f l 一九甜七 4 ( 2 1 2 ) 2平均曲率流的基础知识 r i c c i 张量 数量曲率 r 七= h h i k h i t g t j h j k r = h 2 一i a l 2 ，其中川2 = g i j g 削h i k h f l 引理2 1 1 ( 4 5 p r o p o s i t i o n 2 2 ) 沿平均曲率流的发展，有 ( 1 ) 袅= - 2 h h t j ， ( 2 ) 番元= 一v h 丽o x ， ( 3 ) 爰 玎= x h _ i j 一2 h h i t g m 喇+ i a l 2 九巧， ( 4 ) 爰日= a h + l a l 2 h ， ( 5 ) 瓦0i a l 2 = a i a l 2 2 1 v a l 2 + 2 1 a 1 4 证在下面的计算中我们将用到度量，法向量和第二基本形式的定义，并且也 会用至1 g a u s s w e i n g a r t e n 公式 ( 1 ) 瓦0 ( 2 ) 塑o t ( 3 ) 警 o ? o 凡o a 、 o t 、如t o x j ， 。 ( 未( 日矾丽o x ) + ( 丽o x ，刍( 日勒 日( 嚣，丽o x ) + 爿( 丽o a ，面o x ) 一2 h ( g ，石o 丽2 x ) ( 誓，筹) 筹 出去篆) 筹 一( 元，o - 刍( h g ) ) g i j 丽o x o hi 48 x 一一i 1 ，一 o z i jo x j 卅日篆 0 ，伊x小 瓦【丽，佗) ( 志( 硐问一( 0 2 x 万，丽o h 扩器) ( 昙( 筹元+ 日( 一咖h 筹) ) 回一( k 丽o x + 厩o 时h g t m 吲o x 。i 5 湖北大学颀十学位论文 = 器州丽0 ( 也扩募肺) - r 乞争 = 器瓣o h 圳一t t g t m 0 2 x 而问 = v i v j h h h j t g m h i m 引理2 1 2 ( 4 5 l e m m a2 3 ) ( 1 ) 巧= v i t j h + h h i t g m 叮一i a l 2 h 嵇， ( 2 ) 三z 土l a l 2 = + i v a l 2 + 互 其中z = h t r ( a 3 ) 一i a l 4 ，t r ( a 3 ) = 夕玎夕舣g m n h 镰h l m 让我们回到( 3 ) 式的证明将引理3 2 2 中的( 1 ) 式代入上面的计算中，我们可以 得到 ( 4 ) ( 5 ) 然而 0 h i j 8 h 疣 舢2 玎一2 h h i t g 。m 喇+ i a l 2 h 玎 爰( 鳓嵇) 。警朋臼舻百o h i j 2 h h 叼九巧+ 夕巧( a h i j 一2 日 ? m j + i a l 2 h ) a h + i a l 2 h 爰( 夕诀蚴脚 4 h ( g m h m n g n 七) 矿2 危巧 肼+ 2 9 诀矿。( a h 巧一2 h h m 夕九巧 + l a l 2 k ) 危斛 4 h h 讥 巧7 砭+ 2 一4 h h ? h n j h i j + 2 1 a 1 4 2 + 2 1 a 1 4 a i a l 2 = 9 m v k v t = 2 9 埘v 知 = 2 1 v a l 2 + 2 6 2 j i 均曲率流的基础知识 因此 裘- i a l 2 = x l a l 2 2 1 v a l 2 + 2 1 a 1 4 2 2 短时间存在性及极大值原理 为了应用严格抛物方程的标准理论得到平均曲率流的短时间存在性，采 用d e t u r c kd 【4 】的技巧，通过参量空间m n 的微分同胚形变曲率流只需解微分 方程 等_ g 贾+ v k v 文 ( 2 2 3 ) 这里将取特殊的向量场护使方程是严格抛物的事实上，若贾( z ，t ) 是( 2 1 3 ) 的解， 选取 则 满足 现在取 方程( 2 i 3 ) 化为 慌? l x ( x ，t ) = x ( 可( z ，t ) ，t ) 坚=坚-ii-oto tv 知贾鲎d t 一= 一vl 一 一。 = 9 贾+ ( 矿+ d y r k ) v 奄又 = 9 x 扩= ( r 易一憨) 喾= g z a ( ( 丽0 2 2 喵- k 万o f ( ) 此方程是严格抛物的，由抛物方程的标准理论【2 4 有下面的结论 7 湖北大学硕+ 学位论文 引理2 2 1 是m 竹到留+ 1 的光滑浸入超曲面，设凰的第二基本形式是有界 的则存在u 0 ，使得在m n 【o ，u ) 上，c a u c h y l h 题 滗支 有光滑解x ( ，t ) 而且，若m n 是紧致的，则解是唯一的 极人值原理是研究抛物方程的有用工具给定对称张量，对任意向量， 若脱j 0 ，则称坞0 设= p ( m , j ，) 是由坞通过度量张量与自身 的缩并得到的多项式现在给出张量形式的极大值原理 引理2 2 2 ( h a m i l t o nr 1 1 4 ) 对任意t 【0 ，t 1 ，设 蕊om , 巧= + u k v k 蚝+ 满足：m t j v j = o 时，v j 0 其中= p ( m i j ，) 若t = o 时，m , j 0 ，则对 任意t 1 0 ，刀，都有m , j 0 由此，可以直接得到关于第二基本形式的两个估计【l6 ，2 6 ，2 9 1 引理2 2 3 ( p i n c h i n g 估计) ( 1 ) 若t = 0 时，h o 0 ，则z 0 时，也有h i j 0 ( 2 ) 对于某个( 0 ，击】，若初始曲率h o 且e h g i j ，则 o 时，也 奄h i j2 h 9 硒 设x ( ，t ) ：m n _ 舻+ 1 ，若x ( ，t ) 是嵌入超曲面，且其第二基本形式是正定 的，则称x ( ，t ) 是( 严格) 凸超曲面 推论2 2 4 ( 保持凸性) x ( ，亡) 是平均曲率流的解设初始超曲面x ( ，0 ) 是紧 致凸的，则亡 0 时，x ( ，t ) 也是紧致凸超曲面 2 3 凸超曲面的一些基本事实 凸超曲面x ( ，t ) ：m n r ，l + 1 的第二基本形式是正定的，其单位外法向量定 义g a u s s 映射v ：m n _ 铲由于超曲面是紧致凸的，b 1 g a u s s 映射是处处非退化 8 及度量 = h i k g 烈h o 定义凸超曲面x ( ，t ) 的宽度函数为： w ( z ) = s ( z ) 4 - s ( - z ) ，z 铲 下面引用a n d r e w sb 【2 】的一个定理来控制n 超曲面的宽度 引理2 3 1m 竹是彤+ 1 的光滑紧致凸超曲面对任意z m n ，若存在正数g ， 使得m n 满足逐点p i n c h i n g 估计入m 联( z ) g 入m i n ( z ) 则估计 w m a xsc o w m i n 成立，其中a m 雠( z ) 和入m i n ( z ) 分别表示m n 在点z 处主曲率的最大值和最小值， w m a x = ：m ：a j x ，w ( z ) ，w m i n = = 。m j i n 。w ( z ) 由此引理，即可得到铲的内半径和外半径的p i n g c h i n g 估计【2 ，2 6 ，4 5 推论2 3 2m “是舻+ 1 的光滑紧致凸超曲面对任意z m n ，若存在正数g ， 9 湖北大学硕十学位论文 使得m “满足逐点p i n c h i n g 估计入m 娃扛) g a m i n ( z ) 则存在正数a 使得 t a 对于任意凸超曲面，也可以将其表示成单位球面伊的图【2 ，9 ，2 6 ，4 5 1 设 巾) = 龋：m n 胡， 于是，可以将方程( 2 1 1 ) 的每个解x ( ，亡) 写成径向图 x ( x ，t ) = r ( z ，t ) z ：s n j 矿+ 1 ，( 2 3 5 ) 其中r ( z ，t ) = i x ( 7 r 一1 ( z ) ，t ) 1 直接计算舰上关于r 的度量得 = r 2 勤+ v i r v j r ， 其逆为 夕岵r - 2 ( 弘蔫) 舰上关于r 的单位外法向量和第二基本形式分别为 和 v 2赤vrv r l ( 一 v = = = = = = ( r z v r l + i 2 、 = 南( 吖亏t 髟r + 2 瓤r 髟r + r 2 勤) 1 0 3 欧氏卒f r j l f i 球卣的埘4 件定理 3 1 计算 3欧氏空间中球面的刚性定理 如果f 是主曲率向量入= ( a 1 ，入2 ，k ) 的光滑函数，则f 可以被看作是定义 在对称矩阵空间妒上的一个函数，或者更准确的说，令( h i j ) = 妒，其中九为特征值， 定义妒上的函数户 f ( h 巧) = f ( 九) 从参考文献【3 】中，我们可以知道户和f 都是光滑的，岛= 蔫满足 岛晒= 丽o f 衅 ( 3 1 1 ) 除非特别说明，本文省略求和符号 另外，如果f 是凸的或凹的，那么户也是凸的或凹的，即对于任意对称矩 阵( ) 有 彪) ( 削) 讥l o 或钇) ( 南f ) 啦l 0 ( 3 1 2 ) 其中彪m 1 ) = o h i i 生o h k t 为简便起见，我们记岛= ，魂) ( 蜘= ) ( 螂 令e l ，e 2 ，e n 是m n 上的单位正交标架场，对方程( 1 2 7 ) 微分得 v j f = 咒l v j h k t = = 其中是m 的第二基本形式，再对上面的方程求导可得 碟z ) ( ，。) v i ，。v j 危削+ 砭l v i 码 斛= v 乳f = + 嘭+ v t 磅) = g 九巧一f h i ，h + v 巧， 湖北大学硕士学位论文 由此可以推出 f k l v i v j h k l = e h q f 尼订磅+ v 。 巧一磁1 ) ( ，。) v i h ，。v j h k t ( 3 1 3 ) 由r i c c i 公式可得 v r 埘= v 岛v l 危玎+ h i t a ；j h k l a 2 j + a 毛一 幻a ； 其中用到了a 孑= h i t h t k 幻( m 个因子) ，用对( 3 1 3 ) 进行缩并运算可得 f ：i v k v i h = e h + e v h 只l h a 2 k l 一碟1 ) ( ，。) g q v i h r 。v j h k l 由此可以进一步可以推出 最f v k v t h m = m ( m 一1 ) h m - 2 f v 七日v j 日+ m e h m + v 。日m m 碟1 ) ( ，。) 日m - 1 一m l h 仇a 毛 ( 3 1 4 ) 通过直接的计算，我们可以得到 f v 七v f ( f ”) = z v 血( ( p ) 0 v l b ) = r f ( f m ) ) ( ，。) v t h q v k h ，。+ ( p ) 0 v 七v 1 ) = l ( f t ，1 ) ) ( ，。) v t h i j v k h ，。+ ( f m ) 0 f v k v t h 0 = f ( f m ) 乙) ( ，。) v t h i j v k h r 。 + ( f 帆) 0 f v 马h k t h i t a 2 k j + h k t a ；j 一a l l + h k j a i t ) = z ( f ”) 乙) ( 伸) v f b v 七7 0 。+ ( f m ) 0 “ 巧一f a 嘉+ v h 玎 一乏) ( ，。) v i k 。v j h k l + f 【危从a 豸一h q a 2 k f 】) = 疋z ( f 仇) 乙) ( ，。) v t h q v k h t - 。+ m f m + v ，帆一m f m z a 毛 一磉f ) ( r 。) ( p ) 0 v t 危伸取h 鲥 其中在第四个等式中我们用到了励c 西公式，在第五个等式中用到了( 3 1 3 ) 式， 在第五个和第六个等式中用到了齐性对称函数的性质 1 2 ( 3 1 5 ) 通过( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 我们可以推出 咒v 七v f ( 参) 2 而i 。f 埘f ( p ) 恐v 1 v k k + 眦p + v f 仇 一仇p r 斛2 一) ( r 。) ( f m ) 0 v ，。v j h k l 一言丽 m ( m 一1 ) 日m 一2 z v k h v t h + m e 日m + v h m m f 翟) ( ，。) 日m 一1 一m l h m a 磊) 一。g z 。mf ：l v 詹f m v f 日m + 百a _ r 磊。- - - ，肼! v 凫h m v f 日m = v 。( 南) 一参砭v 七h m v f ( 蒜) + 南礁1 ) ( 叫v i 危，。 脚( p 一hr ，巧i ) + 去硝( p ) v 1 v 加。一m ( m 而- i i 广) j t m v 七日v l h ( 3 1 6 ) 在最后一个等式中，我们用到了 ) 肌 “聊 一赢v 七p v l h m + 蒜v 知h m v i h m 一而z v 七驴v l ( 蒜) 所以 育丽1 疋i ( p ) ) ( ，。) ( h v 七 玎一v 屉h h 玎) ( 日v l 九r 。一v 1 日九，。) = 育磊1 + z f 斛；( j m ) ) ( ，。) 【日2 v 奄 巧v f k 。+ v 七日v 1 日 玎 ，一2 日九巧v 日v z 九，。】 = 刍f ( p ) ) ( r 。) v 七 巧v z ，l ，。+ m ( m 万- 矿1 ) f ”l v 七日v f 日 一等碧蹦f m ) 泖批 1 3 湖北大学硕十学位论文 = 去死( f m ) $ ) v f v 丘危r 8 一可m ( m - i ) f v 七日v f 日) + i m - lt - 百2 f 赢m ，触, v 七日m v l 日仇- l v 七f m v l 日m ) 其中在第二个等式中我们用到了( p ) 如) ( ，。) b ，。= m ( m 一1 ) f m 因此( 3 1 6 ) 的 最后两项等于 万而1 f ( p ) ) ( r 。) ( h v 七 嵇一v 七日 巧) ( 日v l k 。一v 1 日危，。) 一等_ 【而2 f m - iv 知日日价一去或v 忌p v 】， 此时，( 3 1 6 ) 式变为 b m 硝v 七v z ( 靠) = v ( 器) 一去斋v 七日m v t ( 罴) + 万笔e l ( p ) ) ( ) ( h v 七一v 七h h i j ) ( h v l k 。一v 1 日k 。) ( 3 1 7 ) + 南碟j ) ( 嘲v r 。v j h 斛( p 一h i ) ( 3 1 8 ) 下面我们计算最后两项 ( 3 1 7 ) + ( 3 1 8 ) = i 去再( f m ) ) ( ) 夕埘( h v 知h o v k h h o ) ( h v l h t 。一v 1 日 ，。) + 一百蕊r , l 蛔i t 鼬+ 而1 雨r 斛i ( f m ) ) ( h v k h i i v k h h i j ) ( h v t h ，。一v t h h ，。) + 南瑶1 ) ( 哪v t ，。v j 舰( p 一条( p ) o ) 百枭( p ) ) ( r 。) 鲰l ( h v 七九玎一v 七h h 巧) ( 日v l k 。一v l 打以。) 一而南( p ) 锡) ( r s ) ( f r o g 斛一日p 。) ( h v k h i j v k h h i j ) ( h v t h 一v t h h ，。) + 南碟1 ) ( 州v 办。v j ( p 一豢( p ) o ) 1 4 3 欧氏审f n j 巾球面的刚件定理 = 百杀( p ) 饬) ( r 8 ) 蚴( h v 詹一v k h h i y ) ( h v l h , 。一v t h h r s ) + 翥附。) ( p 鼬一日p - 1 ) 【h 2 v k h ，。v t h i l 一( h v k h i j v k h h i j ) ( h v t h ，。一v i h h , 。) 】 一裂群。弓( p 1 弛一日r - 2 或) ( h v k h i j v k h h i j ) ( h v l h ，。一v 1 日 ，。) = 斋( f m ) 锡) ( 删鲋( h v 七h i j v k h h i j ) ( h v t h r 。一v t h h r 。) 一等等( 一h f i 删罴风( 知 其中我们用到了结论) ( 埘) h i j h k t = 0 ，因为f 是具有齐性度数的对称函数同时 我们用到了 ) ( ，。) h 嵇h v t h ，。v 蠡日= h v k i v , ( f j h i j ) 一v 1 】- 0 因此最后我们得到 f k l v 溉( 罴) v ( 罴) 一去斋吒v 七日m v l ( 罴) + 丽r l ，蛔i ! ( ，。灿( h v 岛b v 七h h i j ) ( h v l k v f h h ，。) 一等等( 。一日喇v 七( 罴风( 罴) ( 3 1 9 ) 3 2 主要定理的证明 主要定理设x ：m n r n + 1 是浸入在欧氏空间中的光滑紧致超曲面，具 有正的平均曲率日，假设f = f ( a ) 是入= ( a l ，a 2 ，a 。) 的具有齐性度数的光滑 对称函数，满足以下条件 i ) f ( a ) 0 ，a r + i i ) 在r + c a i f ( a ) o ) 的分支r ( f ) 上，f 是椭圆的( 即瓦o f o ，v i ) ，对于某个 非零的m ，f m 是凸的( 即【铲f m 】o ) 1 5 湖北大学硕十学位论文 如果f + e = 0 ，其中正数依赖于礼，则x ( m ) 是一个球面 由假定可知，( 3 1 9 ) 的右边第三项是非负定的，因为f m 是凸的，现在m 是紧致 的，由f 的椭圆性假定和极大值原理可得 芸：c o n s t ( 3 2 1 0 ) 一= i 1 z i u l 日m r 。 当f 是日的常数倍时，我们不能得到任何结论，用不同的方法处理这种情况， 实际上就是日“i s 南e 礼【1 9 】的一个结论，下面给出简单的证明 引理3 2 1 如果子流形x ：m n 一彤+ 1 是紧致的，平均曲率是非负定的，并 且对于某个正数，满足 + 日= 0 ，那么x ( m ) 是一个球面 证1 主t ( 3 1 3 ) 式和f = h ，可得 日= e h h i a l 2 + v 2 h ( 3 2 1 1 ) 又由极大值原理，我们可以推出日 0 ，并且 z x l a l 2 = 2 i v a l 2 + 2 e l a 2 2 1 a 1 4 + v i a l 2 ( 3 2 1 2 ) 由( 3 2 1 1 ) 和( 3 2 1 2 ) ，通过和第二部分类似的计算，我们可以得到 ( 雠) = 州, 而i a l 2 ) + 杀v 。日一v 日1 2 一萨1 ( 3 2 1 3 ) 因为m 是紧致的，由极大值原理我们可以推出 而i a 2 = 常数和 i h v t 危斛一v h h 削1 2 三。 记 v l h h 犷日v 九削= ( v i h h k l + zv t h h 七i 一日v + v i h h k 可t - 一v i h h k t 1 6 3 欧氏卒只j 巾球血的刚性定理 那么 v t h h 旷日v 划2 = i v i h h k t r + v t h h k i 一日v 删2 + iv i h h k t - 2 v t h h k i 1 2 ， 我们可以推出 v i h h k t v t h h k t1 2 三0 ( 3 2 1 4 ) 如果i v 日i 三0 ，则日= 常数因为m 是紧致的，通过( 3 2 1 4 ) 我们可以看 到i v a l 兰o 因此由l n 叫s 帆【2 5 】的一个定理，又因为m 是紧致的，所以x 是一个 球面 如果在x 上的某个点，i v 日i 0 ，可得 0 = i v i h h k l v t h h k i l 2 = 2 1 a 1 2 i v h l 2 2 a 毛v i 日v j 日， 它表明对称因子a 弓对应特征向量v 研h 仅有一个非零特征值，所以在这个点 有i a l 2 = h 2 ，因此在整个子流形m 上，i a l 2 = h 2 成立和【1 9 】中的讨论一样，- q - 得 o2 f m a h = l m h j m h 3 + j m v t h = m h l m h 3 一 m n h j m h 2 = ( 1 - - n ) h 由此推出矛盾 最后通过以上的引理和( 3 2 1 0 ) ，我们完成了主要定理的证明 1 7 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【l 】a n d r e w sb ，c o n t r a c t i o no fc o n v e xh y p e r s u f f a c e si ne u c l i d e a ns p a c e s j c a l c v a t p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 。1 9 9 4 ，2 ：1 5 1 1 7 1 【2 】a n d r e w sb ，v o l u m e - p r e s e r v i n ga n i s o t r o p i cm e a nc u r v a t u r ef l o w j i n d i a n au n i v m a t h j 2 0 0 1 ，5 0 ：7 8 3 8 2 7 【3 】c a f f a r e l l il ，n i r e n b e r gl a n ds p r u c kj t h ed i r i d h l e tp r o b l e mf o rn o n l i n e a rs e c o n do r d e r e l l i p t i ce q u a t i o n s ，h i ：f u n c t i o n so ft h ee i g e n v a l u e so ft h eh e s s i a n a c t am a t l l 1 5 5 ( 1 9 8 5 ) 。 2 6 1 3 0 1 【4 】d e t u r e kd ，d e f o r m i n gm e t r i c si nd i r e c t i o no ft h e i rr i c c it e n s o r s j j d i f f e r e n t i a lg e o m 。 1 9 8 3 。1 8 ：1 5 7 - 1 6 2 【5 】d i e t e rs ，n o n l i n e a rd e g e n e r a t ec u r v a t u r ef l o w sf o rw e a k l yc o n v e xh y p e r s u r f a c e s c a l c v a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 2 ( 2 0 0 5 ) ，2 2 9 2 51 【6 】d oc a r m om ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fc u r v e sa n ds u r f a c e s m p r e n t i c e h a l l ，i n e ，1 9 7 6 【7 】e c k e rk a n dh u i s k e ng ，i n t e r i o re s t i m a t e sf o rh y p e r s u r f a e e sm o v i n gb ym e a nc u r v a t u r e 【j 】 i n v e n t m a t h ，1 9 9 1 ，1 3 0 ：5 4 7 5 6 9 【8 】g e r h a r d tc ，e v o l u t i o n a r ys u r f a c e so fp r e s c r i b e dm e a nc u r v a t u r e j j d i f f e r e n t i a le q 眦 t i o n s ，1 9 8 0 ，3 6 ：1 3 9 1 7 2 【9 】g e r h a r d tc 。f l o wo fn o n c o n v e xh y p e r s u r f a c e si n t os p h e r e s i j d i f f e r e n t i a lg e o m ，1 9 9 0 ， 3 2 ：2 9 9 3 1 4 【1 0 g e r h a r d tc ，c l o s e dw e i n g a r t e nh y p e r s u r f a e e si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d j d i f f e r e n t i a lg e o m 4 3 ( 1 9 9 6 ) ，n 0 3 ，6 1 2 - 6 4 1 【1l 】g e r h a r d tc ，t h ei n v e r s em e a nc u r v a t u r ef l o wi na r ws p a c e s - t r a n s i t i o nf r o mb i gc r u n c ht o b i gb a n g j 2 0 0 4 ，a r x i gm a t h d g l 0 4 0 3 4 8 5 【1 2 】g e r h a r d tc ，t h ei n v e r s em e a nc u r v a t u r ef l o wi nc o s m o l o g i c a ls p a c e t i m e s j 2 0 0 4 a r x i v m a t h d g 0 4 0 3 0 9 7 【1 3 】g o d d a r da js o m er e m a r k so nt h ee x i s t e n c eo f s p a c e l i k eh y p e r s u r f a e e so f c o n s t a n tm e a n c u r v a t u r e o m a t h p r o c c o m b r i d g ep h i l s o c ，1 9 7 7 ，8 2 ：3 【1 4 】h a m i l t o nr ，t h r e e - m a n i f o l d sw i t hp o s i t i v er i c c ic u r v a t u r e j j d i f f e r e n t i a lg e o m ，19 8 2 ， 1 7 ：2 5 5 3 0 6 参考文献 【1 5 】h a m i l t o nr ，h a r n a c ke s t i m a t e sf o rt h em e a nc u r v a t u r ef l o w j j d i f f e r e n t i a lg e o m ，1 9 9 5 ， 4 1 ：2 1 5 2 2 【16 】h u i s k e ng ，f l o wb ym e a nc u r v a t u r eo fc o n v e xs u r f a c e si n t os p h e r e s j d i f f e r e n t i a lg e o m 2 0 ( 19 8 4 ) ，n o 1 ，2 3 7