（计算数学专业论文）约束与孤子方程的解.pdf

2 0 0 9 上海大学博士学位论文 摘要 本文的主要内容包括： 1 介绍极限解的概念，以反散射变换、d a r b o u x 变换、h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧等求解方法为例介绍求孤子方程极限解的各种直接途径，辅以说明极限解与普 通解之间的极限关系以k d v 方程为例，介绍基于平方本征函数的极限对称的概念 2 分别利用h i r o t a 方法与w r o n s k i a n 技巧给出k d v 、修正k d v 、s i n e - g o r d e n 方 程在平方本征函数对称约束下的精确解，为了证明验证w r o n s k i a n 解，我们发展了一 些技巧进一步给出k d v 方程的极限对称约束，并且求出k d v 方程在极限约束下的 单孤子解和双孤子解 3 给出一个带极限源的k d v 方程，证明该方程是l a x 可积的，利用h i r o t a 方法 给出该方程的单孤子解和双孤子解进一步讨论该方程的解与原带源k d v 方程及 其解之间的极限关系，利用极限的方法给出了带极限源k d v 方程的- 孤子解，最 后给出原带源k d v 方程的多重极点解 4 利用广义的穿衣算子和相应的波函数构造带源的修正k p 方程族这个方程 族包含了带两种源修正k p 方程并且允许约束为修正k p 方程的k - 约束方程族和 带源的修正g e l f a n d - d i c k e y 方程族推广了s a t o 理论的相关结果，得到带源的修正 k p 方程的l a x 对以及一些新的方程 5 用反散射变换求解了非等谱的t o d a 链方程族 关键词： 极限解；极限对称；对称约束；带t l 相容源方程；双线性方法；拟微分算子； 反散射变换 a b s t r a c t t h ed i s s e r t a t i o nm a i n l yc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n g ： 1 w er e v i e ws t r a i g h tw a y sa n dl i m i tp r o c e d u r e st og e tl i m i ts o l u t i o n sv i am a n y s o l v i n gm e t h o d si n c l u d i n gi n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ，d a x b o u xt r a n s f o r m a t i o n ，h i r o t a m a t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e w ea l s oi n t r o d u c el i m i ts y m m e t r yc o n s i s t i n go fw a v e f u n c t i o n s ，t a k i n gt h ek d ve q u a t i o na s0 2 1e x a m p l e 2 w es t u d ys y m m e t r yc o n s t r a i n t sr e l a t e dt os q u a r e de i g e n f u n c t i o n s ( o rw a v ef u n c - t i o n s ) f o rt h ek d ve q u a t i o n ，t h em o d i f yk d ve q u a t i o na n dt h es i n e - g o r d e ne q u a t i o n t h e nw es o l v et h e s es y m m e t r yc o n s t r a i n t sb ym e a n so fh i r o t am e t h o da n dg e tn s o l i t o n s o l u t i o n s t h e nt h e s es o l u t i o n si nw r o n s k i a nf o r ma x ev e r i f i e d w ea l s os t u d yt h es y m - m e t r yc o n s t r a i n to fk d ve q u a t i o nr e l a t e dt ol i m i ts y m m e t r y a n dg e t1 - s o l i t o ns o l u t i o nf o r t h ek d ve q u a t i o n 3 w eg i v eae q u a t i o nw i t hs o u r c e sr e l a t e dt ot h ea b o v el i m i ts y m m e t r i e s t h i s e q u a t i o ni sl a xi n t e g r a b ea n di t s1 - s o l i t o ns o l u t i o na n d2 - s o l i t o ns o l u t i o na x eo b t a i n e db y u s i n gh i r o t am e t h o d t h e s eo b t a i n e ds o l u t i o n sa x es h o w nt ob ed o u b l e - p o l es o l u t i o n so f t h ek d ve q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ( t h es o u r c e sw i l lb ec h a n g e dt ot h el i m i t o n ei nt h el i m i tp r o s e d u r e ) w et h e nd e r i v en - s o l i t o ns o l u t i o nf r o mt h ek d ve q u a t i o n w i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c eb yl i m i tp r o c e d u r e f u r t h e rt h em u l t i - p o l es o l u t i o no ft h ek d v e q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c ei sp r e s e n t e d 4 t h em o d i f i e dk a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l ih i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e si s d e r i v e df r o mag e n e r a l i z e dd r e s s i n go p e r a t o ra n dt h ec o r r e s p o n d i n gw a v ef u n c t i o n s t h i s h i e r a r c h yi n c l u d e st w ot y p e so f t h em o d i f i e dk pe q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e 6a n d a d m i t sr e d u c t i o n st ok - c o n s t r a i n e dt h em o d i f i e dk ph i e r a r c h ya n dt om o d i f i e dg e l f a n d - d i c k e yh i e r a r c h yw i t hs o u r c e s 5 t h en o n i s o s p e c t r a lt o d ah i e r a r c h yi ss o l v e db yi n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m k e yw o r d s ：l i m i ts o l u t i o n s ；l i m i ts y m m e t r i e s ；s y m m e t r yc o n s t r a i n t s ；s o l i t o ne q u a t i o n s w i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s ；b i l i n e a xm e t h o d ；p s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ； t h en o n i s o s p e c t r a lt o d ah i e r a r c h y ；i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ：掣工7 第一章绪论 1 1 引言 非线性科学是- - l - j 研究非线性现象共性的基础学科，它几乎涉及了自然科学和 社会科学的各个领域非线性科学的研究不仅具有重大科学意义，而且对国计民生 的决策和人类生存环境的利用也具有现实意义孤立子与可积系统是当今非线性科 学研究的主流方向之一，它把应用数学与数学物理完美地结合在一起，并且在光纤 通讯、浅水波、等离子体、磁流体、超导、生物通讯、材料等科技领域有着重要的应 用其研究涉及众多主干数学分支，包括常微分方程、偏微分方程、泛函分析、微分 几何、椭圆函数、代数函数、代数曲线、微分拓扑、辛几何、李群与李代数及表示论 等它的研究对许多数学分支及交叉学科的发展都有重要影响和促进作用 孤立子往往也称为具有弹性碰撞的孤立波，它是指一大类非线性偏微分方程的 具有的特殊性质的解从数学观点看，这类特殊解一般具有以下两种性质： ( 1 ) 能量有限( 能量分布在有限的空间范围内) ( 2 ) 弹性碰撞( 在碰撞后波形和波速恢复到原来的情形) 孤子的发现最早应追溯到1 8 3 4 年的夏日，英国科学家r u s s e l l 偶然发现了一种 奇妙的水波，这种水波在行进过程中波形和速度并无明显的变化后来他在“论波 动”一文中称其为孤立波，并认为这种孤立波是流体力学方程的一个稳定解”限 于当时数学理论和科学条件的限制，r u s s e l l 当时未能从理论上证明并使物理学家相 信他的发现直到1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 在长波近似和 小振幅的假设下，由e u l e r 方程导出了流体中单向传播的浅水波运动方程 塑o t = 罢吴( 差r 2 + a t + 1 2 塑0 2 、 舻面t h ( 1 1 1 ) 经过g a l i e a n 和尺度变换后可写为 让t + 6 让u z + 让z z z = 0 ，( 1 1 2 ) 这就是著名的k o r t e w e g - d ev r i e s 方程【2 】，简称k d v 方程k o r t e w e g 和d ev r i e s 进而 求得了k d v 方程的行波解 u ( z ，t ) ：等融2 k ( z k 2 t + f ( 。) ， 这里常数k 2 是波速，百k 2 是振幅显然当k 固定时，波速和振幅保持不变其动力学 性质与r u s s e l l 的描述完全一致，从而为r u s s e l l 的观察提供了完美的理论解释然而 1 2 约束与孤子方程的解 这种波是否稳定? 两个波碰撞之后是否会变形? 长期以来没有得到解答由于担心 其稳定性，对这种波的研究并没有大规模的展开 直到1 9 5 5 年，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 三人在研究非线性弹簧联结下的 质点系统时，设计了一个数值计算实验 3 】：将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条 非线性振动弦，初始时能量集中在一个质点上，期望经过相当长时间后非线性作用 会使能量均分、各态历经等现象出现结果发现与期望的完全相反，几乎全部能量 又回到初始分布，这与经典的理论相矛盾由于当时只在频率空间来考虑问题，未 能发现孤立波，f p u 问题也未能得到正确的解释之后t o d a 4 研究类似的问题一晶 体内部非线性振动时提出t o d a 链方程，并由此得到了孤立波解，该现象才得到解 释从而进一步激发起人们对孤立波的研究兴趣 1 9 6 5 年，美国数学家m d k r u s k a l 和n j z a b u s k y 5 用数值模拟的方法详细分 析了等离子体中的孤立波碰撞的非线性相互作用过程，发现孤立波在相互作用后仍 保持原来的形状和速度而呈现出完全弹性散射的性质，亦即两个孤立波在相互碰撞 后具有粒子般的行为和特性因此k r u s k a l 和z a b u s k y 将这种孤立波命名为“孤立 子”( s o l i t o n ) k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项研究工作是孤立子理论发展史上的一个重 要里程碑孤立子概念的正式引入标志着建立孤子理论的开始从此以后，在世界 范围内一个研究非线性发展方程与孤立子理论的热潮蓬勃的开展起来 1 2 孤子方程的求解 在诸多孤立子理论的研究课题中，寻找孤子方程的精确解并讨论解的性质不但 在理论上有助于进一步了解孤子方程的本质属性和代数结构，而且在应用上可以合 理地解释相关的自然现象，因此是该领域中一直倍受关注的问题目前已有许多成功 的方法：如反散射方法【6 】_ 【1 0 、b i c k l u n d 变换 1 l 】- 【2 0 】、d a r b o u x 变换 2 1 一 3 0 】、h i r o t a 方法【3 1 ，3 2 、w r o n s k i a n 技巧【3 3 - 4 0 、p a i n l e v 6 分析法 4 1 卜 4 s 】以及一些构造性的代 数方法，如齐次平衡法【4 9 】一陋3 1 、变量分离法【5 4 】一 5 6 】、双曲函数法【5 7 1 一 6 5 1 、对称分 析方法【6 6 ，6 7 1 等 反散射变换方法 1 9 6 7 年，g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g k m ) 发现可以用s c h r 6 d i n g e r 方程的反散射理论求解k d v 方程的初值问题 6 卜【9 】后来反散射方法已被成功地应 用到了其它的非线性发展方程中，并逐渐形成一种系统的求解方法这一方法有其 严格的物理背景和数学严谨性，而且可以求出与同一谱问题相联系的整个等谱发展 方程族的多孤子解一般说来，如果给定谱问题的位势，求此谱问题的本征函数及 所对应的离散谱、连续谱等散射数据称为正散射；反之给定散射数据，要求恢复谱问 2 0 d 9 上海大学博士学位论文 3 题的位势称为反散射问题它的主要步骤是先从与方程相联系的线性问题出发，将 所求的位势归结为g e l f a n d l e v i t a n - m a r c h e n k o ( g l m ) 线性积分方程，并建立散射数 据与时间的关系；然后由g l m 积分方程的解来获得初值问题的解反散射方法利 用了大量的分析技巧和算子谱理论分析的有关知识，已被大家认为是非线性方程的 f o u r i e r 分析方法a b l o w i t z 、k a u p 、n e w e u 和s e g u r 则建立了更一般的反散射框架包 括了k d v 、修正k d v 、耦合k d v 、s i n e - g o r d o n 和n l s 等方程，甚至已将该方法推广 到了高维和离散情形目前，仍有许多学者对其作各种推广，例如：b o i t i 等考虑了二 维不衰减势非静态s c h r 6 d i n g e r 方程的反散射理论；s t e u d a l 和k a u p 研究了有限区间 上的反散射问题；c a l o g e r o 等研究了连续变量的非等谱方程的反散射问题；曾云波 等成功地运用反散射方法求解了带自相容源的方程族 b i i c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换 b i c k l u n d 变换是由瑞典几何学家b i c k l u n d 首先发现的1 8 8 3 年，b i k ：k l u n d 在研 究负常曲率曲面时，发现由s i n e - g o r d o n 方程t = s i n u 的一个解珏通过变换 ， t 正：一+ 2 n s i n ( 竿) ，乱，- 毗+ 2 。8 i n ( 半) ， ( 1 2 1 ) 可以得到另一个解乱，( 1 2 1 ) 即为s i n e - g o r d o n 方程的b i i e k l u n d 变换之后人们发 现其它的孤子方程也有类似的变换【6 8 1 9 7 3 年w a h l q u s t 和e s t a b r o o k l s 【1 3 】直接从 k d v 方程的两个解出发，消去这些解的高阶导数，得到联系两个解的微分方程组， 这个方程组就称为w e 形式的b 五c k l u n d 变换1 9 7 6 年他们提出求非线性偏微分方 程b i c k l u n d 变换的延拓结构法1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v o a e 利用偏微分方程 的p a i n l e v 6 分析法获得可积方程的b 托k l u n d 变换利用b 托l d u n d 变换，可从孤子方 程的已知解出发求出新的孤子解，并可进一步以新解作为已知解，周而复始即可生 成方程的一系列解d a r b o u x 变换是由d a r b o u x 6 9 1 在研究一维s c h r 6 d i n g e r 方程的 特征值问题时发现的若，为一维定态s c h r 6 d i n g e r 方程 屯叼+ u = a ，( 1 , 2 2 ) 在a = a o 时的一个解，即 + u = 知，( 1 2 3 ) 则在变换 瓦= 乱+ 2 ( 1 n ，) 茹，= 纯一( i n f ) z ，( 1 2 4 ) 下，西与万亦满足方程( 1 2 2 ) 1 9 7 5 年，w a d a t i 等将d a r b o u x 变换推广到修正k d v 方程和s i n e - g o r d o n 方程 1 4 】，后来m a t v e e v 做了一些列的开创性的工作，谷超豪等 又将其推广到k d v 方程族、a k n s 族、( 1 + 2 ) 维可积系统，并将d a r b o u x 变换应用 4 约束与孤子方程的解 到微分几何中的曲面论和调和映射中最近周子翔等在d a r b o u x 变换方面也作了许 多出色的工作d a r b o u x 变换的基本思想为：从非线性方程的一个解及其l a x 对的 解出发，用代数算法及微分运算来获得非线性方程的新解和l a x 对相应的解有时 人们将d a r b o u x 变换也称为d a r b o u x 形式的b 托k l u n d 变换，或者称为求b i c k l u n d 变换的d a r b o u x 方法。它已被应用到求解各种不同类型的孤子方程。 h i r o t a 方法 h i r o t a 方法是h i r o t a 于1 9 7 1 年提出的一种获得孤子解的简单直接的方法【3 1 】 其一般步骤为：首先通过引入位势的适当变换，将孤子方程化为双线性导数方程，然 后把扰动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下该展开式可以截断至有限 项，并可得到线性指数函数形式的单孤子解、二孤子解和三孤子解等具体表达式，并 由此猜测出孤子解的一般表达式对于一般表达式可利用数学归纳法验证其成立 【7 】，但过程比较复杂这种方法的优点在于，它足一种代数而非解析的方法；而且求 解仅与方程有关，不依赖于方程的谱问题或l a x 对，具有广泛的适用范围，几乎遍及 所有反散射变换可解的方程，这些年来，许多学者致力于h i r o t a 方法的各种推广和 应用h i r o t a 、i t o 求得孤子的共振解7 0 ；s a t s u m a 、a b l o w i t z 和m a t s u n o 等以h i r o t a 方法为基础分别利用不同的技术求得k p 方程的l u m p 解【7 1 【7 3 】，这种解在各个方 向上不是以通常的指数方式衰减而以代数幂次衰减；h i e t a r i n t a 和h i r o t a 构造出d s 方程的d r o m i o n 解，即在所有方向都呈指数衰减的一类相干结构 7 4 1 ；a n a k a m u r a ， 利用h i r o t a 方法求出非线性连续孤子方程的拟周期解 7 5 】- 7 8 】，范恩贵等将该方法推 广到半离散的孤子方程中【7 9 】；胡星标利用h i r o t a 方法构造带源方程的孤子解；刘 青平将h i r o t a 方法应用到超对称方程上8 0 一 8 2 1 ；陈登远等又直接推广h i r o t a 方法， 构造出许多孤子方程一类新的具奇性的精确解 8 3 一 8 8 w r o n s k i a n 技巧 w r o n s k i a n 技巧是以h i r o t a 方法为基础，即首先要得到孤子方程的双线性导数形 式或双线性b i c k l u n d 变换，然后选择适当的函数构成w r o n s k i 行列式( 妒l ，妒2 ，妒) ， 再代入到双线性导数方程或双线性b 瓿k l u n d 变换中，利用w r o n s k i 行列式的性质和 l a p l a c e 定理进行验证。在w r o n s k i a n 解的验证中最终都化归为p l f i c k e r 关系式或j 和 c o b i 恒等式等行列式等式，其证明过程非常简洁能够进行解的直接验证，这恰是 w r o n s k i a n 技巧的优势所在因此w r o n s k i a n 技巧也是一种应用广泛且直接有效的孤 子求解方法f r e e m a n 和n i m m o 应用w r o n s k i a n 技巧获得了一系列发展方程和方程 的b 戋c k l u n d 变换的w r o n s k i a n 解【3 4 】- 3 7 1 ， 4 0 】1 9 7 2 年d a r b o u x 8 9 1 提出双w r o n s k i 行列式的概念1 9 8 3 年，n i m m o 证明非线性s c h r 6 d i n g e r 方程具有双w r o n s k i 行列式 解后来发现许多方程，如二维t o d a 方程、d a v e y - s t e w a x t s o n 方程、a k n s 方程族以 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 5 及经典的b o u s s i n e s q 方程等都具有双w r o n s k i a n 解 除孤子解外，其它许多类型的解也可用w r o n s k i 行列式表示，例如有理解、p o s i t o n 解、n e g a t o n 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解等有理解的w r o n s k i a n 形式是由n i m m o 和 f r e e m a n 9 0 】根据a b l o w i t z 和s a t s u m a 9 1 】提出的长波求极限的观点首先给出的1 9 8 8 年s i r i a n u n p i b o o n ，h o w a r d 以及r o y ( s h r ) 9 2 1 将w r o n s k i a n 元素满足的条件进行推 广，用标准w r o n s k i a n 过程得到k d v 方程的p o s i t o n 解，n e g a t o n 解和混合解等许多 解。p o s i t o n 解p 3 ，9 4 是由m a t v e e v 在1 9 9 2 年引入的，这种解是由稳态s c h r 6 d i n g e r 方程的特征值取正值时得到的解类似的，稳态s c h r s d i n g e r 方程的特征值取负值时 得到的解称为n e g a t o n 解 近年来关于w r o n s k i a n 技巧有很多深入推广的工作例如，2 0 0 2 年马文秀提出 了k d v 方程的c o m p l e x i t o n 解 9 5 】，它是稳态s c h r d d i n g e r 方程的特征值为复数时得 到的解，这种解本质上是呼吸子或高阶的呼吸子【9 6 】在离散情形，得到t o d a 链 的c a s o r a t i a n 形式的有理解【9 7 】对于一些带自相容源的孤子方程及非等谱发展方 程成功的得到其p f a f f 形式或w r o n s k i a n 形式的n 孤子解p 8 卜 1 0 9 马文秀首先考 虑了k d v 方程的w r o n s k i a n 条件方程组的通解，他们利用常数变易法，解决了当 w r o n s k i a n 条件方程组中系数矩阵为j o r d a n 块时如何获得通解的问题，并给出获得 通解的递推公式 1 1 0 ，1 1 1 张大军 1 1 2 】提出构造w r o n s k i a n 条件方程组解空间基的 简单方法，通解可以利用下三角t o e p l i t z 矩阵给出解的显式表示，并讨论了不同解 之间的关系陈登远等把w r o n s k i 行列式元素满足的矩阵方程由下三角形式推广到 任意的矩阵形式，从而得到a k n s 方程的新w r o n s k i a n 解1 1 3 p a i n l e v d 分析 1 9 7 8 年a b l o w i t z 、s e g u r 和l ：k l n a l l 发现：对可用反散射方法求解的非线性发展 方程，通过相似约化所得的常微分方程都具有p a i n l e v d 性质因此他们给出一种猜 测一p a i n l e v d 猜测或p a i n l e v g 检验：一个完全可积的偏微分方程的每一个相似约 化的常微分方程都具有p a i n l e v d 型，或者约化的常微分方程经过变量变换之后具有 p a i n l e v 舌型这个猜测提供了判断一个偏微分方程是否完全可积的必要条件1 9 8 3 年，w e i s s 、t b o r 和c a r n e v a l e ( w t c ) 将常微分方程的p a i n l e v d 判定方法推广到偏微 分方程的可积性问题【4 1 】，提出了偏微分方程p a i n l e v 可积的检验条件，它可以直接 应用于给定的偏微分方程而无需化为一个常微分方程为了扩大偏微分方程p a i n l e v d 可积检验的使用范围，w e i s s 引入了条件p a i n l e v d 性质的概念【4 2 】1 9 8 9 年，c o n t e 给 出了不变p a i n l e v 百分析方法在利用偏微分方程p a i n l e v d 检验判定方程的可积性的 同时，也得到了一些其它的可积性特征，例如l a x 对、b i i c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换 等1 9 9 2 年k r u s k a l 等提出一种简化的方法，从而大大减少了计算量【4 3 】楼森岳进 6 约束与孤子方程的解 一步推广了c o n t e 的不变p a i n l e v d 分析方法，并利用扩展的方法引入非标准截断展 开法，从而得到了非线性系统更丰富的解阻，4 5 】 1 3 可积系统 众所周知，有限维h a m i l t o n 系统具有优美的几何理论，其中著名的l i o u v i l l e 定 理指出【1 1 4 ：一个定义在某一区域q r 2 上的n 维h a m i l t o n 系统 p i t ：一罢，钕：罢卢1 ，2 2 一面钕2 雨忙1 ，玉一“。 只要存在n 个在区域q 上彼此对合的运动积分就是完全可积的，即解可用积分表 示然而，对于无限维的广义h a m i l t o n 方程情形，尽管已有许多进展，但建立象有 限维h a m i l t o n 系统这样完美的几何理论还有一段漫长的路要走到目前为止，还没 有完全了解无限维h a m i l t o n 系统完全可积性的本质我们通常采取两种特殊的可积 性定义：l a x 可积性和l i o u v i l l e 可积性 l a x 可积 如果非线性偏微分( 差分) 方程( 组) 可以表示成一对线性问题 l 咖= 入，( 1 3 1 a ) c t = ，( 1 3 1 b ) n 戥 九= 妙，( e 如= m 如)( 1 3 2 a ) c t = y ，( ，t = n )( 1 3 2 b ) 的相容性条件 l t + 三，n 】= 0 ，( 1 3 3 ) 或 阢一k + 盼v 】_ 0 ，( m t = ( e n ) m m )( 1 3 4 ) 则称此微分方程是在l a x 意义下的可积系，( 1 3 3 ) 称为它的l a x 表示或l a x 方程，而 ( 1 3 4 ) 称为l i e 群结构方程或零曲率方程 可积理论的一个基本问题是：对于给定的非线性偏微分方程，如何判别它为l a x 可积，即寻求算子三与或u ( m ) 与y ( ) ，使得该方程具有l a x 表示或满足零曲 率方程；反之，给出l 与或u 与y 所满足的条件，使l a x 方程或零曲率方程表 示为一个有意义的微分方程前者的解决是非常困难的，迄今较为成功的方法是延 拓结构法，但更多的仍足凭直觉和经验后者的解决同样困难1 9 8 3 年，d r i n f e l d 和 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 7 s o k o l o v 以k a c - m o o d y 代数为工具系统地构造了k d v 方程的l a x 表示1 9 8 6 年，谷 超豪、胡和生基于曲面论中的基本方程提出一类方程的可积性判别准则，是这一方 向上的一项重要进展【1 1 5 l i o u v i l l e 可积 设非线性发展方程 u t = g ( x ，t ，似)( 1 3 5 ) 可以表示成 u t = k ( z ，t ，让) = j c u ) f ( t ，z ，u ) ，( 1 3 6 ) 其中g ( u ) 是逆辛算子，而，( t ，z ，珏) 是泛函日的泛函导数= 瓦6 h ，则此方程称为广 义h a m i l t o n 方程，而日称为方程的h a m i l t o n 泛函 可积理论中另一个基本问题是寻找h a m i l t o n 算子j = ，( u ，u ) 和h a m i l t o n 函数 h = h ( u ，口) ，使得零曲率方程或l a x 方程可以写成广义h a m i l t o n 形式1 9 8 8 年，屠 规彰等提供了建立孤立子方程h a m i l t o n 结构的简单途径 i 1 6 后来，屠规彰又运用 约束形式变分技巧给出著名的迹恒等式【1 1 7 ，1 1 8 运用这一迹恒等式，可以十分有 效地建立相应方程族的h a m i l t o n 结构f 1 1 9 一 1 2 5 1 马文秀称这一格式为屠格式胡星 标将屠格式由l o o p 代数五1 推广到a 2 上，给出迹恒等式的推广表示，从而扩大屠格 式及其应用范围1 2 6 ，后来胡星标、马文秀又将迹恒等式推广到超l i e 代数中，给 出了超迹恒等式，从而得到超可积系统的h a m i l t o n 结构 1 2 7 ，1 2 8 研究h a m i l t o n 结构的另一系统的方法是由f u c h s s t e i n e r 、f o k a s 和a n d e r s o n 等人 提出的1 2 9 ，1 3 0 该方法中，递推算子l 发挥着关键作用它具有由谱问题导出的发 展方程族的遗传强对称性质，并且可以分解为两个与h a m i l t o n 算子有关的算子针对 具有遗传强对称性质的递推算子l 的等谱发展方程族陈登远【1 3 1 ，1 3 2 】给出该方程 族具有h a m i l t o n 结构的一个条件：工具有逆辛一辛分解张大军将f u c h s s t e i n e r 、f o k a s 和a n d a r s o n 等人的结论进行了改进使其适用于离散系统 若广义h a m i l t o n 方程存在无穷多个相互对合的独立泛函，且它们都是方程的 守恒量，就称此方程在l i o u v i l l e 意义下是可积的 对一些具有广泛应用背景的非线性偏微分方程( 如k d v 方程) 及场论中的一些 基本模型( 如自对偶y a n g - m i l l s 场) ，已经证明它们有无穷多个相互对合的独立泛函， 并已找到它们丰富多采的特解这类方程有许多美妙的代数和几何性质，其中最根 本的是它们都是一对线性问题的可积条件即都满足l a x 方程2 0 世纪6 0 年代，人们 发现许多不同背景下与孤立子有关的非线性偏微分方程都是l i o u v i u e 意义下完全可 积的虽然完全可积性在小扰动下被破坏，但原问题的不变环面上的一个大子集却 8 约束与孤子方程的解 保存下来，组成一个具有正测度的c a n t o r 子集，这就是著名的k a m 理论【1 3 3 之 后进一步研究发现在w h i t n e y 可微意义下扰动系统在上述c a n t o r 集上仍然是完全 可积的因此，对可积系统的研究再度兴起 可积系统的约束 随着对可积系统研究的深入，人们逐渐发现很多可积系统之间的内在关系f l a s c h k a 指出“多数有限维可积系统都可以通过无穷维可积系统在有限维不变子流形上的约 束得到”该思想的最好诠释之一是曹策问在1 9 8 8 年提出l a x 对非线性化方法【1 3 4 ， 该方法给出了从无穷维可积系统构造有限维可积系统的有效途径其主要思想是： 通过给出谱问题中位势与特征函数之间的一种约束关系，把这种约束代入原谱问 题，将其约束为有限维h a m i l t o n 系统，并且可以证明该系统在l i o u v i l l e 意义下是 完全可积的a k n s 系统、k d v 系统、修正k d v 系统、k n 系统、j m 系统等非线 性化所得的有限维系统均是典型的例子这种约束大部分来自于方程的对称，所以 通常又称为对称约束( 1 + 1 ) 维可积系统非线性化已成功推广到( 2 + 1 ) 维孤子系统 k o n o p e l c h e n k o 、s t r a m p p 、程艺、李翊神、张友金等研究了k p 方程的对称约束与 约束【1 3 5 1 3 7 楼森岳和胡星标给出了k p 方程的无穷多非局部的对称，构造了新 的对称约束，得到一些( 1 + 1 ) 维，( 2 + 1 ) 维的可积系统【t 3 8 刘青平研究了k p 方程 族约束系统的修正系统及m i u r a 变换1 3 9 ，修正k p 方程族约束系统的m i u r a 变换 并证明该系统的第二个h a m i l t o n 结构在此变换下有简单形式 1 4 0 程艺和张友金 给出了k p 方程族约束系统的双线性导数方程和w r o n s k i a n 解等1 3 7 ，1 4 1 1 9 9 4 年， 马文秀提出l a x 对及其共轭l a x 对的非线性化双非线性化【1 4 2 这种方法是将方 程族原有l a x 对及共轭l a x 对结合起来考虑，找到位势与特征函数及其共轭特征函 数之间的对称约束，并代入l a x 对及其共轭l a x 对，得到有限维系统可以证明该 有限维系统是h a m i l t o n 系统，并且是l i o u v i l l e 可积的 非线性化方法关键是找到位势与特征函数( 或位势与特征函数及其共轭特征函 数) 之间的对称约束，或引出谱参数关于位势的变分导数l a x 对非线性化方法可 以将高维可积方程分解为较低维方程，将无穷维可积系统非线性化为有限维可积系 统目前，这种方法主要有三个方面应用【1 4 3 1 4 5 】： ( 1 ) 通过对孤立子方程相应的谱问题非线性化可获得大量新的可积有限维 h a m i l t o n 系统，极大地促进了有限维可积系统的深入研究和发展 ( 2 ) 给出了“无限维系统可以约化成有限维系统”这一论断实现的途径，揭 示了有限维与无限维可积系统的内在联系 ( 3 ) 提供了求孤立子方程精确解的方法，如对合解与拟周期解等 2 0 0 9 上海大学博士学位论文 9 可积分解 一般地，对于一个( 2 + 1 ) 维可积系统，通过对称约束可以分解为两个( 1 + 1 ) 维 的系统进一步，对于任意一个( 1 + 1 ) 维的可积系统，通过对称约束可以分解为两 个相容的常微分方程组，从而可以通过解低维方程或常微分方程组来得到高维方程 的解 最近，马文秀等介绍了f r o b e n i u s 可积分解【1 4 6 】与可积时间一空间分解【1 4 7 f r o b e n i u s 可积分解与对称约束不同，这种分解不需要偏微分方程的任何结构，如 l a x 对和对称性质等 若一个标量偏微分方程( 组) 具有形式解 q ( u ，u t ，珏z ，钆z z ，) = 0( 1 3 7 ) u = 9 ( 皿) = g ( ( z ，t ) ) ， ( 1 3 8 ) 这里g 是关于皿的函数且皿满足两个相容的常微分方程( 组) ： 皿茁= t ( 皿) ，皿t = a ( 皿) ， ( 1 3 9 ) 这里t 和a 是皿的函数，则称方程( 1 3 7 ) 具有一个f r o b e n i u s 可积分解 通过寻找f r o b e n i u s 可积分解，可以把一个非线性偏微分方程变换为两个常微 分方程，从而把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解 1 4 可积系统的扩展 可积系统有多种推广 旷形变可积系统 近几年，受到理论物理以及量子代数研究的大力推动，对旷形变可积系统的研 究引起了人们的广泛兴趣【1 4 8 一 1 5 7 g _ 形变可积系统又称量子形变可积系统，它 的构造足将经典可积系统中对z 的微分a 替换为纩微分如 ( 训瑚= 群) g c ( 1 4 1 ) 当形变常数q _ 1 时，( 1 4 1 ) 退化为经典的可积系统，因此它可以看作经典可积系统 的一种形变q 一形变可积系统有着深刻的数学背景并且在物理等学科有着潜在的应 用价值【1 5 8 如g - 形变在一定程度上反应了多体相互作用的效应，而且这个效应不 可能通过增加强度来吸收最近q - 形变阶k d v 系列，q - k p 系列以及q - a k n s d 1 0 约束与孤子方程的解 系列被广泛研究已经获得了g - 形变阶k d v 系列的无穷守恒律，双h a m i l t o n 结 构，b i i c k l u n d 变换等一些代数几何结构q - k p 系列的丁函数，双h a m i l t o n 结构以及 附加对称等都被广泛研究q - a k n s d 系列的双线性恒等式和丁函数也已被发现 超对称可积系统 在研究非线性经典场中的类粒子行为时引出一个新的领域一超对称超对称可 积系统一般是通过引入奇变量把标准的可积系统超扩展1 9 8 4 年k u p e r s h m i d t 提出 一个超对称的k d v 方程，后来m a n i n ，r a d u l 和m a t h i e u 等在n = 1 的超空间提 出领域超对称的k d v 方程，接着m a t h i e u 等又提出n = 2 超k d v 方程等g u r s e s 以及李翊神提出超a k n s 格式 1 5 9 】用于构造许多超可积系统许多超可积系统已 被广泛研究，如超对称k d v 方程族，超对称的修正k d v 方程1 6 0 ，超对称的k p 族，超对称的s i n e