（计算数学专业论文）dynamics+of+linear+multistep+s+for+delay+differential+equations.pdf

m a s t e r d i s s e r ta t i o n 摘要 滞时微分动力系统在神经网络、光学、生态学、自 动控制等许多领域具有广泛 的应用。在基本理论、稳定性理论、周期解理论、分歧理论等许多方面都出现了重 要的成果。 数值模拟是了解滞时微分方程动力学性质的方法之一。数值方法的古典收敛性 只能保证在有限求积区间上数值解序列是收敛的，而无法保证数值解序列具有原始 微分方程的动力学性质。因此，研究数值方法求解滞时微分方程的动力学性质具有 非常重要的意义。 本论文研究多步法和b 一 方法求解滞时微分方程的一些动力学性质。主要内容包 括: 0 线性8 一 方法和多步 法的 数值耗散 性， 线性多 步法的正则性， 线性b 一 方法的 伪周期二解的稳定性。 关键词:滞时微分动力系统，耗散性，吸收集，正则性，双曲平衡点，渐近性，伪 周期二解。 第1 页 ab s t r a c t d e l a y d i ff e re n t i a l d y n a m i c a l s y s t e m s h a v e a p p e a r e d i n a r e a s o f a p p l i c a t i o n s a s d iv e r s e a s n e u r a l n e t w o r k s , o p t i c s , b i o l o g y , a u t o m a t ic c o n t ro l t h e o ry . t h e r e a r e m a n y s i g n ifi c a n t a c h i e v e m e n t s o n b a s i c t h e o ry , s t a b i l ity t h e o ry , p e r i o d s o l u t i o n t h e o ry a n d b i fu r c a t i o n t h e o ry o f d e l a y d i ff e r e n t i a l s y s t e m s . n u m e ri c a l s i m u l a t i o n i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t m e t h o d s t o u n d e r s t a n d d y n a m i c a l p r o p e rt ie s o f d e la y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s . a n u m e ri c a l m e t h o d w h i c h is c o n v e r g e n t i n a fi n i t e in t e r v a l d o e s n o t y ie l d t h e s a m e a s y m p t o t i c b e h a v i o r a s t h e u n d e r ly in g d iff e r e n t i a l e q u a t i o n . t h e re f o re , i t i s v e ry i m p o r ta n t t o in v e s t i g a t e t h e d y n a m i c s o f n u m e ri c a l m e t h o d s f o r s o l v i n g d e l a y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s t h e p u 印 o s e o f t h i s p a p e r is t o s t u d y s o m e d y n a m i c a l p r o p e rt i e s o f 0 - m e t h o d s a n d m u l - t i s t e p m e t h o d s s o lv in g d e l a y d i ff e re n t i a l e q u a t i o n s . i t c o n t a i n s n u m e ri c a l d i s s ip a t i v i ty o f l i n e a r 0 - m e t h o d a n d m u l t i s t e p m e t h o d s , r e g u l a r i ty o f li n e a r m u l t i s t e p m e t h o d s , a n d s t a b i l ity o f s p u r i o u s p e ri o d t w o s o l u t i o n o f l i n e a r 0 - m e t h o d . k e y wo r d s : d e l a y d i ff e r e n t i c a l d y n a m i c a l s y s t e m , d i s s i p a t iv ity , a b s o r b i n g s e t , r e g u l a ri ty , h y p e r b o l i c e q u i l ib ri u m , a s y m p t o t i c b e h a v i o r , s p u ri o u s p e ri o d t w o s o l u t i o n . 第i i 页 y 7 0 8 2 9 0 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了 解上海师范大学有关保留， 使用学位论文的规定，即:学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅;学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名: 日期: 导 师 签 名 : 丝鱼 业 日期: 迹些玉止 . m a s t e r d i s s e rt a t i o n c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n 1 . 1 d e la y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d d y n a m i c a l s y s t e m s d e l a y d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ( d d e s ) o r m o re g e n e r a l l y f u n c t i o n a l d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ( f d e s ) h a v e b e e n s t u d i e d r a t h e r e x t e n s i v e l y i n t h e p a s t t h i r ty y e a r s a n d a r e u s e d a s m o d e l s t o d e s c r i b e d iv e rs e p h e n o m e n a i n b i o s c i e n c e s , e c o n o m i c m a r k e t s , c h e m ic a l r e a c ti o n s , p o p u la ti o n d y n a m i c s a n d s o o n a d i s t i n g u i s h i n g f e a t u r e o f d d e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n i s t h a t t h e e v o l u t i o n r a t e o f t h e p r o c e s s e s d e s c r i b e d 勿s u c h e q u a t i o n s d e p e n d s o n t h e p a s t h i s t o ry . w e g i v e s o m e m o d e l s w i t h d e l a y i n t h i s s e c t i o n w h i c h c a n b e f o u n d i n t h e b o o k s b y k o l - m a n o v s k i i ) b y w) 二 艺a . 3 a n d。 ( ) j 二0 = 艺a w. ( 1 .9 ) j =0 i f p ( ) a n d o r( c ) h a v e n o c o m m o n f a c t o r s t h e n t h e l m m ( 1 .7 ) is s a i d t o b e ir r e d u c ib l e , o t h e r w is e i t is s a i d t o b e re d u c i b l e . w e w i l l a s s u m e t h r o u g h o u t t h a t t h e m e t h o d i s c o n s i s t e n t a n d z e r o - s ta b l e . t h i s i m p li e s t h a t p ( 1 ) =0 , p ( 1 ) =0 ( 1 ) 尹0 . ( 1 . 1 0 ) l e t e 1 r p *r p b e t h e t r a n s l a t i o n o p e r a t o r d e fi n e d b y u n + 1 =e u n f o r a l l i n t e g e r n - 0 . t h e n t h e k - s t e p l a m ( 1 .7 ) m a y b e w r i tt e n i n a c o m p a c t f o r m a s p ( e ) 二 。 =o t a ( e ) f ( u n ) . ( 1 . 1 1 ) t h e a s s o c i a t e d o n e - l e g m e t h o d i s d e fi n e d b y 七几 艺a j v n + j = l t f 艺q j v n + j ) - ( 1 . 1 2 ) 1 = 0 j = 0 h e r e v . a p p ro x i m a t e s t h e e x a c t s o l u t i o n u ( t n ) . i n c o m p a c t f o r m t h i s m e t h o d m a y b e w ri tt e n a s p ( e ) v . =a t f ( o ( e ) v n ) . ( 1 . 1 3 ) a p p l y in g t h e l m m ( 1 .7 ) to e q u a t io n ( 1 .4 ) g iv e s p ( e ) u . =,l t a ( e ) f ( u , , u 。 一) ，( 1 . 1 4 ) w h e r e 。 : =w ( t ; b i =- m， 一 ， 0 . t h e a s s o c i a t e d o n e - l e g m e t h o d i s d e fi n e d b y p ( e ) v , =o t f ( a ( e ) v n , a ( e ) v n _ _ ) . ( 1 . 1 5 ) h e r e v i 二w ( t i ) , i =一 。 ， 一 ， 0 . t h e p o p u la r ity o f 6 - m e t h o d s is d u e in l a r g e p a rt to t h e i r s im p l ic i ty - m a k in g th e m e a s y t o p r o g r a m a n d e ff i c i e n t o n l a r g e s c a l e p ro b l e m s . t h e o n e - s t a g e 0 - m e t h o d a p p l i e d t o ( 1 . 4 ) t a k e s t h e f o r m 。 。 + ， =。 。 +,l t f ( ( 1 一 0 ) u + o u+ 1 , ( 1 一 o ) u一 二 +0 一 ， + : ) .( 1 . 1 6 ) t h e t w o - s t a g e 0 - m e t h o d a p p l i e d t o ( 1 .4 ) t a k e s t h e f o r m 。 、 + : =u n +a t ( 1 一0 ) f ( u n , u 。 一 ， ) + a t o f ( u n + 1 , u 。 一 。 + 1 ) . ( 1 . 1 7 ) h e r e 。 。 ， 。=1 , 2 ， 二 a r e t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n t o u ( n a t ) , a n d t h e u n i f o r m s t e p - s i z e a t s a t i s fi e s t h e c o n s tr a i n t r =ml t w i t h a p o s i t i v e i n t e g e r m w e a s s u m e t h a t t h e fi x e d p a r a m e t e r 0 i s c h o s e n s o t h a t 0 0 0 , t h e re i s a p e r i o d t w o s o lu t i o n ( 。 ， 。 ) w i t h v a n d t o d e p e n d i n g c o n t i n u o u s l y u p o n l t a n d w i t h f ( v ) a n d f ( w ) b o u n d e d a w a y fr o m z e r o f o r s m a l l l t . i t h a s b e e n p r o v e d t h a t f o r 0 e 0 , 雀 ) t h e p e r io d t w o s o lu t io n is u n s t a b le fo r s u ff ic ie n t ly s m a ll l t , a n d fo r 0 。 ( 丢 , 1 th e p e r io d t w o s o l u t i o n i s s t a b l e f o r s m a l l s u f fi c i e n t ly l t . i n c h a p t e r 4 , w e s t u d y t h e s t a b i li ty o f p e r i o d t w o s o l u t i o n s o f t h e l i n e a r 0 - m e t h o d f o r d d s s . w e p re s e n t s o m e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c h t h e p e r i o d t w o s o l u t i o n m a y b e s t a b l e o r u n s t a b l e . w e a l s o p ro v e th a t th e l in e a r 9 - m e t h o d is u n s t a b le f o r p u r e d d e s . s o m e n u m e r ic a l e x p e r i m e n t s a r e g i v e n t o i l l u s t r a 沈o u r r e s u l t s . 第4 页 * ma s t e r d i s s e r t a t i o n c h a p t e r 2 d i s s i p a t i v i ty o f n u m e r i c a l me t h o d s 2 . 1 i n t rod u c t i o n m a n y p r o b l e m s a r i s i n g i n t h e fi e l d s o f p h y s i c s a n d e n g i n e e r i n g a r e m o d e l l e d b y d i s s i p a t iv e d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s . t h e y a r e c h a r a c t e r i z e d b y p o s s e s s i n g a b o u n d e d p o s i t i v e l y i n v a r i a n t a b s o r b in g s e t w h i c h a l l t r a j e c t o r i e s s t a rt i n g fr o m a n y b o u n d e d s e t e n t e r i n a fi n i t e t i m e a n d t h e r e a ft e r r e m a i n i n s i d e ( s e e s t u ar t 112 _ 4 施 一 ( r +- y ) h e n c e 3 k e 价 , g 一月 ， s o th a t llv n o + , 112 g 砒 t h is im p l ie s th e s e q u e n c e o f th e n u m e ri c a l s o lu t io n c o m e s b a c k in t o t h e b a l l b ( 0 , r o ) a g a in a ft e r n o m o re t h a n n o + k s te p s . f o r a ll n 卜 。 ， 。 。 +k 一1 , w e h a v e ( 1 一 2 a t o b ) 11 u , 112 2 ! a t a + ( 1 + 2 ,r y 一 2 a t o 8 ) r o + t 2 b ( 1 一 b ) f 1 a n d 11u112 6 ) t a + 4 ( ( 1 + 2 r y 一 2 a t # b ) 璐+ a t 2 0 ( 1 一 b ) f i ) 3 ( 1 一2 o t )9 0 ) :=r 2 , wh i c h t h e b a l l b ( 0 , r ) i s a n a b s o r b i n g s e t a n d t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f . 第7 页 ma s t e r d i s s e r ta t i o n 2 . 3 n u m e r i c a l d i s s i p a t iv i ty o f mu l t i s t e p me t h o d s i n t h i s s e c t io n , w e c o n c e n t r a te o n t h e d i s s ip a t iv it y o f l m m s a n d o n e - l e g m e th o d s a p p l ie d to ( 1 . 4 ) s a t i s f y i n g ( 2 . 1 ) w i t h ,3 + y0 . w e i n t r o d u c e t h e d e fi n it i o n o f g - s t a b i l i t y . d e fi n i t i o n 2 . 3 . 1 t h e i r re d u c i b l e o n e - 勺 m e t h o d ( 1 . 1 3 ) is g - s t a b l e if t h e re e x is ts a s y m m e t r i c p o s i - t i v e d ef in i te m a tr ix g = (g ; j ) k j = 1 s u c h t h a t f o r a l l 二 。 ， 二 ， ， 二 、 r x t g x 1 一 叮g x o 2 o ( e ) x o p ( e ) x o w h e r e 弋 = ( x i ,二 : + 、 一 ， ) t , i = 0 , 1 n o t e t h a t f o r i r r e d u c ib l e o n e - l e g m e t h o d , a - s t a b i l i ty i s e q u i v a l e n t t o g - s t a b i l i t y 1 0 ) . m e a n - w h i l e , a l m m a n d i t s a s s o c i a t e d o n e - l e g m e t h o d a p p l i e d t o o d e s a r e e q u i v a l e n t u n d e r a n o n l i n e a r tr a n s f o r m a t i o n 1 0 . s i m i l a r l y w e m a y s h o w : l e m m a 2 3 . 2 1 0 g i v e n a n i r re d u c i b l e l i n e a r m u l t i s t e p m e t h o d ( 1 . 1 4 ) a n d a s s o c i a t e d o n e - l e g m e t h o d ( 1 . 1 5 ) d e f i n i n g t h e p o ly n o m i a l s ( 1 . 9 ) , t h e r e e x is t t w o p o ly n o m ia ls 只 q o f d e g re e n o t e x - c e e d i n g k 一1 s u c h t h a t p ( z ) o ( z ) 一 q ( z ) p ( z ) =1 .( 2 . 8 ) 扩 。 。 乏。t h e l i n e a r m u l t is t e p m e t h o d ( 1 . 1 4 ) a n d w e d e f in e v=p ( e ) u 。 一 t q ( e ) f ( u, u- m ) ,( 2 .9 ) t h e n u=o ( e ) v a n d v n 0_ o s a t i sf ie s t h e o n e - l e g m e th o d ( 1 . 1 5 ) . c o n v e r s e ly , if v n 0 0-_ c t h e o n e - l e g m e th o d ( 1 .1 5 ) , a n d w e d e f in e %=a ( e ) v , t h e n u ; . o s a t isf ie s t h e li n e a r m u l t is t e p m e t h o d ( 1 . 1 4 ) a n d v s a t i s f i e s ( . 9 ) . w e r e q u i r e t h e f o l l o w i n g l e m m a t o p ro v e o u r m a i n r e s u l t . l e m m a 2 . 3 . 3 1 0 s u p p o s e t h a t t h e p o ly n o m i a l s p i ( z ) 一 艺p ,i z l - 1 , 一 1 ， 一， r 了 -1 f o r m a b a s i s f o r t h e s p a c e o f p o ly n o m i a ls o f d e g r e e l e s s t h a n o r e q u a l t o r 一1 a n d t h a t w= ( 。 r ， ， w t ) tr r p r is g i v e n . t h e n t h e s y s t e m o f e q u a t io n s 又p ;7 u j j =1 po s s e s s e s口u niq u es o l u t io n 。 =( 。 r i 二1 . . . r f u r t h e r m o re , 犷 尸is t h e r x r m a t r ix p ip th e n th e r e is a c o n s ta n t c=c ( p ) s u c h th a t a n y 。二( 好， ， 嵘) tr pr i n e q u a l i ty wi t h e n t r i e s o b e y i n g t h e f o r a l l i , a l s o 11e p iu i 11, c lig i11 j =1 liu 11 2 _二s c iib ii . .二 ， w h e re g =( 9 i ， , 9 t ) t e r a n d、二 二 : i 二 1u 4 第8 页 * m a s t e r d is s e r ta t i o n f o r s i m p li c i ty w e a s s u m e t h a t t h e e q u a t i o n ( 1 .4 ) i s u n i q u e ly s o l v a b l e f o r s u f fi c i e n t l y s m a l l t i m e - s t e p a t =希w h e r e m i s s o m e p o s i ti v e in t e g e r . t h e o r e m 2 .3 . 4 a n i r re d u c i b l e o n e - l e g m e t h o d ( 1 . 1 5 ) a p p l i e d t o e q u a t i o n ( 1 . 4 ) w i t h 0 +，0 is d i s s ip a t i v e if a n d o n ly if t h e m e t h o d is a - s t a b l e p r o o f . i t i s o b v i o u s t h a t a - s t a b i l i ty i s n e c e s s a ry f o r d i s s i p a t i v i ty . w e s h a l l p r o v e t h a t a - s t a b i l i ty i s a s u ffi c ie n t c o n d it io n t o e n s u r e d is s i p a t iv ity . l e t 。 。 篡。 b e t h e s o lu t io n s e q u e n c e f o r th e o n e - le g m e t h o d ( 1 . 1 5 ) . d e fi n e 几 b y z n = ( n ， ， 。 n 卜 1 t( v + , v + k - t ) a n d i t s n o r m b y iiz n llc 二 艺艺二 ; (、 十 、 一 : ， 、 + ， 一 1 ) . i =1 l = t f ro m t h e d e fi n i t i o n o f g - s t a b i l i ty w e w i l l h a v e iiz n + 1 11c 一 ” zi1 2 2 ( p ( e ) v n , a ( e ) v n ) =2 a t ( f ( a ( e ) v n , a ( e ) v a - - ) , a ( e ) v n ) g 2 a t ( a + r llu ( e ) v n 112 + 7 1i o ( e ) v n -112 ) . de n n e ( 2 . 1 0 ) f=s u p 11f ( u , v ) 11 a n d ip = 11 u 11 . 11v 11 5- ( -_ 7j , , 5 ) 3 s u p 一 爪二 t 二 0l l a ( e ) v , ll . th e n 件一了 性一1 11z 11c 一 ilz o llc 2 n a t a + 2 a t ,3 艺ila ( e ) v i ll2 + 2 d t y艺 11a ( e ) v j 2 2 n ,l t a + 2 m a t ,y rp 2 + 2 a t ( o + -y ) 艺ilo ( e ) v ; i12( 2 . 1 1 ) c o n s i d e r t h e c a s e a裤0 . l e t 。 _i - r a - 2 r rpa 1 iiz n 112 1， _ _ j : ， 二 _ _ 。 一11， r 孟口 “ j 皿蕊 以=几了 邢占 l乙尤r比j s u m m i n g u p ( 2 . 1 0 ) fr o m 0 t o m g iv e s iiz m ii2c 一 iiz - 1120 2 m o ta + 2 m a t7 ip 2 + 2 0 t (,o + y ) 艺ila (e ) v + 112 . (2 .1 2 ) s i m i l a r l y , s u m m i n g u p ( 2 . 1 0 ) fr o m 0 t o m 一 m , w e g e t 九全 - -l iiz m 一 二 ilc 一 ilz o llc 2 ( m 一 二 ) o t a 一 2 m l t 2 + mt (q + y )艺 iia (e ) v s 112 . t h u s iiz m llc + ilz m - m 112 2 11z ,) 112 + ( 4 m一 2 m ) l t a 一 4 m l d 2 第9 页 m a s t e r d i s s e r ta t i o n + 2 a t ( 0 + : ) 又( ila ( e ) v i ll2 + lia ( e ) 、 一 。 l12 ) , w h i c h im p l i e s 艺( iia ( e ) v i llz + 11- ( 二 ) v i- . 11 ) 4 m a 4 k ms a 一 ( p +7 ) 一 ( q +7 ) ( 2 . 1 3 ) t h e i n e q u a l i t y ( 2 . 1 3 ) c a n b e r e w r i tt e n a s ， -1 .( i +1 ) 一1 艺 艺 i = o了 = m福 k ( j +1 ) - 1 艺 ( 11- ( 二 ) v 1 112 + ila ( 二 ) 。 一 二 112 ) 4 k ms a 一 ( ,0 +7 ) t h e r e f o r e t h e re e x i s t s a n i o 0 , s 一1 s u c h t h a t m( i o +t ) - 1 k ( j +1 卜 t 艺艺 (ii-(二 ) v : ii2 + 11- ( 二 ) v ,_ _ 112 ) j = mi o l =k j 4 无 饥a 一 ( )3 +7 ) t h e r e e x is t s a j o e m i o , m ( i o +1 ) 一 小u c h th a t 介 ( 为+1 ) -1 艺 ( ila ( e ) v j ii2 + ila (二 )v 1- - 111 ) _ t =七 j a 4 k a 一 ( 0 +7 ) h e n c e , f o r a l l n k j o , k 臼 。 + 1 ) 一1 1 11a ( e ) v 112 +11a ( e ) 一 ， 112 _ 4 k 一 ( r 十， ) ( 2 . 1 4 ) a n d iip ( e ) v j 2 =11 a t f ( a ( e ) v n , a ( e ) v . - - ) 11 l s t 2 f 2( 2 . 1 5 ) s in c e t h e m e t h o d i s ir r e d u c ib le it fo l lo w s t h a t th e p ( z ) a n d a ( z ) h a v e n o c o m m o n f a c to r s . t h e p o ly n o m i a l a ( z ) i s o f d e g r e e k s in c e t h e m e th o d is a - s t a b le a n d h e n c e im p l i c i t . i t f o l lo w s t h a t z p ( z ) , z 4 a ( z ) , i =0 , . . . , k 一1 ) f o r m a b a s is f o r t h e s p a c e o f p o ly n o m i a l o f d e g r e e le s s t h a n o r e q u a l t o 2 k一1 ( s e e 1 0 1 ) . w e n o w a p p l y l e m m a s 2 .3 . 3 t o ( 2 . 1 4 ) a n d ( 2 . 1 5 ) w i t h :=2 k , v i = (v k j o , . . . , v k (i o + 2 ) 一 1 ) t a n d 119 : 11 !5 ,7 , i =0 , - - - , 2 k 一 1 , w h ere ，m ax l 了 - 9 + , , l tf . 、 d ed u ce th a t th 。 二 is : c o n stan t c 1 d ep en d in g 。 * u p o n p ( 二 ) a n d a ( z ) s u c h t h a t !“ c 1 r 1 fo r a ll n (k i o , k ( j o +1 ) 一1 j . h e n c e , 妙n o r m e q u i v a le n c e , th e r e i s a c o n s t a n t 汤 d e p e n d in g u p o n p ( z ) a n d 。 ( : ) s u c h t h a t ii z 1i c _r , 第1 0 页 m a s t e r d i s s e r t a t i o n w h e r e r=c 2 77 . t h u s z e n te r s t h e b a l l b ( 0 , r ) a ft e r k j o m s t e p s . w e n o w s o l u t i o n s e q u e n c e 百 凡 袅。 m u s t r e t u rn t o b ( 0 , r ) a t l e a s t o n c e e v e ry m s t e p s , w h e r e j+l 一 一 二 a + r 2 + 8 k r o 0 / ( q + y ) 2 k r a a n d 几 4= k ms . l e t n=k j o . a n a l o g o u s l y t o ( 2 . 1 3 ) w e h a v e a - 1 m( i +1 ) -1 k ( j + l - 1 e 艺e ( 11- (e ) v n + 1 112 + iia (e ) v n + 1- - 112 ) _ i =0 j =mi = 灯 一 ( q +,y ) , t h e r e f o re th e re e x is t s a n i i e (0 , 3 . 一1 1 s u c h t h a t m( i i + 1 ) 又 - 1 k 自+ 1 ) - 1 ( il a ( e ) v n + 1 112 + i1o ( e ) v n + 1 - m ll2 ) 0 s u c h t h a t 1a ( e ) v . 11 f o=s u p if ( u , v ) ii . 1 1u i i , ii v ii _ e 第i 1 页 ma s t e r d i s s e r ta t i o n th e n 11p(e)v. 112 = we d e d u c e t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t q ilo t f ( a ( e ) v n , a ( e ) v 。 一) a t 凡. d e p e n d i n g o n l y u p o n p ( z ) a n d