（基础数学专业论文）krull型整环的刻画.pdf

k r u l l 型整环的刻画 基础数学专业 研究生杨杰 指导教师王芳贵( 教授) v7 1 8 7 8 3 论文摘要：本文用通常的星型算子来刻画k r u l l 型整环首先，讨论y k r u l l 型 整环的内部性质证明了r 是k r u l l 型整环，当且仅当r x i 是k r u l l 型整环，当且 仅当兄陋 肌是k r u l l 型整环，当且仅当兄】m ，是有限特征的p r i i f e r 整环，当且仅 当r 【x ，是有限特征的b 6 z o u t 整环；接着证明了若r 是k r u l l 型整环，那么品 臼每 个有限生成平坦理想是投射理想；同时，还证明了若尼黾k r u l l 型整环，那么同j q 每个非零理想是强w 一二元生成理想其次，研究了k r u l l 型整环与其它特殊整环 之间的关系证明了兄是赋值环当且仅当忌黾局部的k r u l l 型整环，且尼黾t l 整环， s p e c ( r ) 是全序；另外，论证了若盈是h 整环，d i m ( r ) = 1 ，则r 是k r u l l 型整环当且 仅当忌黾k r u l l 整环；以及若d i m ( r ) 2 ，r 的每个素w 一想的高度均为l ，且为u 一理 想，那么兄是k r u l l 型整环当且仅当r 是k r u l l 整环；此外，还论证了k r u l l 型整环与最 大公因子整环的几个等价条件；论证了k r u l l 型整环r 的形式幂级数环并不一定 是k r u l l 型整环；并论证了若r 既是k r u l l 型整环，又是p r i i f e r 整环，则r 是阿基米德 整环当且仅当r i 拘每个非零非单位的元素o ，都存在崩 q 极小素理想p ，使得a j p 最后，研究了k r u l l 型整环兄上的一些整环扩张的性质。证明了若忍黾k r u t l 型整环， 则同 勺每个t - l i n k e d 扩环是k r u l l 型整环；论证了对于k r u l l 型整环r ，冗有p i t 性质 当且仅当叫一d i m ( r ) = 1 ；同时还证明了若k r u l l 型整环尉甄是t l 整环，又是伪s m 整 环则r ”g ：k 关键词：分式理想；”一理想；t - 理想；w 一理想；k r u l l 整环；k r u l l 型整环 t - l i n k e d 扩环 第i 页，共3 3 页 c h a r a c t e r i z a t i o n so fk r u l lt y p ed o m a i n s b a s i cm a t h e m a t i c s w r i t e r ：y a n gj i e s u p e r v i s o r ：w a n gf a n g g u i a b s t r a c t ：a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r w ec h a r a c t e r i z ek r u l lt y p ed o m a i l 2 8b y u s i n gg e n e r a ls t a ro p e r a t i o n s f i r s t l y , w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fk r u l lt y p e d o m a i u s w ep r o v et h a tri sak r u l lt y p ed o m a i ni fa n do n l yi f 兄mi sak r u l l t y p ed o m a i n ，i fa n do n l yi fr x 】肌i sa l s oak r u l lt y p ed o m a i n ，i fa n do n l y i f r x n 。i s ap r s f e rd o m a i na n dr 。h a sf i n i t e c h a r a c t e r ，i fa n do n l yi f 兄i x 】肌i s ab d z o u td o m a i na n dr 【x 】肌h a sf i n i t ec h a r a c t e r m o r e o v e r ，w e a l s os h o wt h a te a c hf i n i t eg e n e r a t e df a i t hf l a ti d e a lo fak r u l lt y p ed o m a i nj s ap r o i e c t i v ei d e a l b e s i d e s ，w ei n d i c a t et h a te a c hn o n z e r oi d e a lao fak r u l l t y p ed o m a i ni sas t r o n g l yw t y p e2i d e a l s e c o n d l y ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nk r u l lt y p ed o m a i a sa n ds e v e r a lo t h e ri m p o r t a n td o m a i n s 龟p r o v e t h a tri sav a l n a t i o nd o m a i ni fa n d o n l yi fr i sal o c 出k r u l lt y p ed o r a a i na n d ri sat ld o m a i na n ds p e c ( r 1i st o t a l l yo r d e r e d m o r e o v e r 、w jh a v es h o w e d t h a tri sak r u l ld o m a i ni fa n do n l yi f ri sak r u l lt y p ed o m a i na n d 兄i sah d o r a a i na n dd i m f 兄) = 1 b e s i d e s ，w eo b t a i nt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n sb e t w e e n k r u l lt y p ed o m a i n sa n dg c dd o r a a i n s a n dw ei n d i c a t et h a tri sak r u l l t y p ed o r a a i n ，t h e nr x 1 1i sn o tn e c e s s a r yt ob eak r u l it y p ed o m a i n w ea l s o p r o v et h a tak r u l lt y p ed o m a i nr i sap r i i f e rd o m a i n ，t h e nri saa r c h i m e d e a n d o m a i ni fa n do n l yi fbi sc e n t a i n e di ns o m em i n i m a lp r i m ei d e a lo frf o re v e r y n o n z e r on o n u n i tb ，f i n a l l y , w es t u d yt h ee x t e n s i o n so fk r u l lt y p ed o r a a i n s w e s h o wt h a te a c ht - l i n k e do v e r r i n go fak r u l lt y p ed o m a i ni sak r u l lt y p ed o r a a i n m o r e o v e r w ep r o v et h a tt h ew i n t e g r a lc l o s u r er 掣o fak r u l lt y p ed o m a i nh a s p i tp r o p e r t yi fa n do n l yj f 州一d i m ( r 1 = 1 ，ea l s oo b t a i nt h a tak r u l lt y p e d o m a i nri sat ld o r a 越na n dp s e u d o - s md o m a i n t h e n 9 = k ， k e y w o r d s ：f r a c t i o n a l i d e a l ；”一i d e a l ；t - i d e a l ； 一i d e a l ；k r u l l d o m a i n k r u l lt y p ed o m a i n ；t - l i n k e do v e r r i n g o ( 2 ) ( 2 ) ( ) n u c ( a ) h t 尸 d i m ( r ) w d i m ( r ) o o 甓 础 a 部分符号说明 模的张量运算 集合的包含关系 集合的真包含关系 大于或等于( ，j 、于或等于1 不等于 元素与集合的属于关系 集合的交 集合的并 。的容度 直积 素理想尸的离度 环r 的k r u l l 维数 整环用拘w 一维数 无穷大 环r 在l 中的整闭包 环r 在l 中的w 一整闭包 指标集 第i v 页，共3 3 页 引言 在整环中，k r u l l 整环的研究受到广泛的关注1 9 7 2 年，g i l m e r 在书1 1 中定 义，设 k ) 是r 的一簇赋值扩环，考虑下列条件： ( 1 ) r = n k f 2 ) 每个k 是一维的 ( 3 ) 每个k 是一维的的离散赋值环 ( 4 ) 任给0 z r ，且z 不是单位，n x 仅在有限多个坛中不是单位 f 5 ) 每个是本质的 若满足上述条件( 1 ) ，( 4 ) ，则称环r 是有有限特征的环 若满足上述条件( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，则称环r 是k r u l l 整环 若满足上述条件( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，则称环见黾k r u l l 型整环特别地，若兄的每个 素t 一理想仅含在唯一的极大t 一理想中，则称r 黾独立的k r u l l 型整环 在此后的一段时间里，不少的数学研究者从事k r u l l 整环的研究自上个世 纪8 0 年代以来，由于星型算子( s t a r - o p e r a t i o n ) i 具的引进，k r u l l 整环的研究也显 得非常活跃，其研究结果已把k r u l l 整环刻画得非常清楚在( 2 】 【3 】1 【4 】 5 】 m 7 】等 文中，研究者们对k r u l l 整环与赋值环，离散赋值环，n o e t h e r 整环，s m 整环， m o r i 接环，t v 整环，h 整环等整环之间的关系刻画得比较清楚遗憾的是，相 对k r u l l 整环来说，从事k r u l l 型整环研究的工作者要少得多下面我们来回顾一 下k r u l l 型整环的发展过程： 1 9 6 8 年，g r i f f i n 在8 1 中用赋值环中的赋值函数证明了k r u l l 型整环满 足w e a ka p p r o x i m a t i o n 定理在此文中，g r i f f i n 证明了k r u l l 型整环的等价定 义：兄黾p v m d ，且蚓拘每个非零元素仅含在有限多个极大t 一理想中 1 9 8 1 年，m o t t 丰l z a f r u l l a h 在【9 】中，用星型算子作为基本的研究工具，利 用p v m d 研究的结果，对k r u l l 型整环作了进一步的研究我们知道，r 是k r u l l 整 环当且仅当r 陋】是k r u l l 整环，当且仅当r x n o 是k r u l l 整环在【1 中指出： 若r 是k r u l l 型整环，则对r 上的任意一个未定元x ，r 1 是k r u l l 型整环以 及若咒黾k r u l i 型整环，则对刷拘任意一个乘法集s ，有r s 是k r u l l 型整环但 第1 页，共3 3 页 引言 在g i l m e r 以后，就几乎没有k r u l l 型整环r 与其多项式环尺1 的研究了 本文的第一章就是这一工作的继续本人在前人对p v m d 研究的基础上， 应用一个整环的平坦扩张的性质，以及满足u t z 条件的整环的性质等作为基本 研究方法，在本文的定理1 2 1 证明了冠是k r u l l 型整环，当且仅当r x 1 是k r u l l 型 整环，当且仅当r 】脯是k n f l l 型整环，当且仅当r 】t ，是有限特征的p r i i f e r 整 环，当且仅当兄】t ，是有限特征的b 6 z o u t 整环从而把k r u l l 型整环r 与r x 1 ， r 1 肌的关系刻画得更加清楚1 9 7 7 年，g l a z 和v a s c o n c e l o s 在文【1 0 中定义 了h 整环即对整环兄若r 的任何理想，只要，_ 1 = 兄，就有一个有限生成 理想j ，使得j - 1 = 尼同时，g l a z 和v a s c o n c e l o s 提出了如下猜测：在h 整 环r 中，例拘每个忠实平坦理想是投射理想1 9 8 8 年，h o u s t o n 和z a f r u l l a h 在f 1 1 1 中 证明了r 为极大w 一理想是拟有限的独立的k r u l l 型整环当且仅当月既是t v 整环， 又是p v m d 另外、h o u s t o n 和z a f r u l l a h 还证明了r 是h 整环当且仅当刷 勺每个极 大w 一理想是 一理想；并证明了t v 整环，即每一t 一理想是u 一理想的整环，是h 整环 对h 整环而言，我们暂时不能对上述猜测作出肯定回答，但在本文的第一章中， 本人证明了上述猜测对于k r u l l 型整环和t v 整环是成立的其证明的方法就 是利用k r u l l 型整环具有有限特征，以及利用弘星型算子与局部整体原理性质： 设m 是无挠模，a ，b 是m 的子模，则a 。= b w 当且仅当对任何p w m a x ( r ) ， 有以p = b 尸从而研究出k r u l l 型整环中的有限生成平坦理想与投射理想之间的 关系， 从k r u l l ( 型) 整环的定义可以看出，k r u l l ( 型) 整环与赋值环之间的关系非 常密切在文f 1 2 1 中指出，赋值环r 是k r u l l 整环当且仅当冗是一维的离散赋值 环显然，若r 是赋值环，那么r 一定是k r u l l 型整环但反之未必成立在第二 章中，本人通过赋值环与p v m d 之间的关系，利用t l 整环的性质，构造了赋 值环与k r u l l 型整环的等价条件f 见本文的定理2 1 1 ) 另外，本人从不同维数 证明了k r u l l 整环与k r u l l 型整环的等价条件，进一步将k r u l l 整环的某些结果推 广至f k r u l l 型整环g i l m e r 在中证明了若尼黾k r u l l 整环，n r x i 是k r u l l 整环 本人试图去证k r u l l 型整环有同样的结论，遗憾的是，结论是否定的本人通 过1 3 1 ，构造了一个反例，见本文的例2 3 1 ，此例的构造帮助解决了 1 4 】中提出的 问题1 0 的一个方面1 9 6 6 年，o h m 在文 1 5 】中证明了若r 是p r f i f e r 整环，且r 的每 y a n g j i e j i e 0 1 1 6 3 c o n l 第2 n ，共3 3 页毕业论文 引言 个非零非单位的元素a 仅含在有限多个极大理想中，则尼黾阿基米德整环当且仅 当存在用拘极小素理想p ，使得a p ，本人通过证明p v m d 有性质：若p 是蚓拘 素w 一理想，f = qiq 只q 是同拘素w 一理想 ，则r 是一个良序集在本章证明 了若兄既是k r u l l 型整环，又是p r i i f e r 整环，则尼是阿基米德整环当且仅当对r 中 的每个非零非单位的元素a ，存在冗的极小素理想p ，使得a 尸 1 9 8 1 年，m o t t 和z a f r u l l a h 在9 中证明了k r u l l 型整环的子交是k r u l l 型整环， 本人以此为基础，在第三章中证明了k r u l l 型整环尉 勺每个t l i n k e d 扩环是k r u l l 型 整环从而进一步研究出了k r u l l 型整环的完全整闭包以及伪整闭包的一些 性质，2 0 0 4 年，王在文f 1 6 】中证明了r 是u m t 整环，则r ”有p i t 性质当且仅当w d i m ( r ) = 1 本人利用f 1 6 d p 的结果，也就是亿黾u m t 整环，l 是的有限代数扩 域，则r z 是p w n m d 从而在本章证明了若尼黾k r u l l 型整环，n r t ( r z ) 有p i t 性 质当且仅当w d i m ( r ) = 1 若r 是k r u l l 型整环，则月z 是k r u l l 型整环吗? 在本 文中，因还未能保证础是有限特征的整环，从而暂时不能对此问题作出肯定 的回答2 0 0 2 年，p a r k 在文1 1 7 1 中证明了忌黾s m 整环并且训一d i m ( r ) = 1 ，则俨g = 本人通过定义伪s m 整环，并得出伪s m 整环的一些性质，研究了当r 既 是k r u l l 型整环，又是伪s m 整环时，r 与k r u l l 整环，h 整环之间的关系同时，证 明了若k r u l l 型整环冗既是t l 整环，又是伪s m 整环，则兄w = k 本文将整环上的星型算予作为基本的研究工具，更进一步寻找到k r u l l 型整 环与k r u l l 整环、s m 整环等特殊整环之间的差距，把k r u l l 整环以及s m 整环等整 环的性质推广到k r u l l 型整环，从而更加丰富了整环的理论知识，解决了整环中 的一些具体问题可见，k r u l l 型整环的研究是值得重视的 y a 由砑i e 0 1 1 6 3 c o m第3 页，共3 3 页 毕业论文 第一章k r u l l 型整环内部的性质 本文中，r 均是有单位元的整环，耳是同拘商域设a 是k 的非零子模，如果 存在非零元素a ，b k ，使得a r m 垦b r ，则称a 是冗的分式理想用f ( 咒) 表 示尉拘分式理想，( 兄) 表示尉 勺有限生成分式理想定义r 上的一个星型算子为 映射 ：f ( r 1 一f ( r ) 满足： 对4 ，b f ( r ) ，c k ，c 0 ，有以下各式成立： ( 1 ) ( c ) + = ( c ) ，( c a ) ，= c a 。， ( 2 ) a a 且若a b ，则有a + b + ( 3 ) ( a + ) + = a + 对刷挣分式理想a ，若a = a + ，则a 就叫做+ 一分式理想对整环r 上的任意一个星 型算子，定义 t 。：a + ，= u 以ij 是a 的有限生成子理想) ， 则称+ 。由棚导的有限型的星型算子若+ = + 。，则称+ 是有限特征的显然， 任给a 厂( r ) ，有a 。= a 。 对r 的分式理想a ，定义v ：f ( r ) 一f ( 兄) ，v ( a ) = a 。，则 就是仆星型算 子若a 。= a ，则称a 是u 一分式理想定义扣星型算子为t 一，j s ，即a = u 五f j 是a 的有限生成子理想1 设l ，是矧搀的有限生成理想，如果j - 1 = r ，则我们称j 是g l a z v a s c o n c e l o s 理 想或g v - 理想，通常用j o v ( r ) 表示g v - 理想若m 是无挠模，如果 由je g v ( r ) ，z k o m 和j z m ，能推出z m ，n m 就叫做叫一模特 别地，若m 是冗的分式理想，则m 就叫做 分式理想 本章首先证明- y k r u l l 型整环r 与r f 卅，r i x l r o 整环之间的等价关系另 外，证明了k r u l l 型整环矧拘有限生成平坦理想与投射理想的关系最后，证明 t k r u l l 型整环r 中的非零理想的性质，以及r 的一类特殊的非零索理想与刷拘极 大w 一理想之间的关系 第4 页，共3 3 页 第一章k r u l l 型整环内部的性质 1 1 准备知识 定义1 1 1 1 8 任给r 的极大t 一理想m ，都有r m 是赋值环，则称咒黾p v m d 定义1 1 2f 19 r 是整环，p 是r i x 的非零素理想，若尸n r = 0 ，则 称p 是兄】中的u t z 定义1 1 3 【9 】设 k ) 是矧拘一簇赋值扩环，考虑下列条件： ( 1 ) r = n 坛 ( 2 ) 每个k 是一维的 ( 3 ) 每个是一维的的离散赋值环 ( 4 ) 任给0 。r ，且。不是单位，则z 仅在有限多个吆中不是单位 ( 5 ) 每个k 是本质的 若满足上述条件( 1 ) ，( 4 ) ，则称环r 是有有限特征的环 若满足上述条件( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，则称环兄是k r u l l 整环 若满足上述条件( 1 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，则称环冗是k r u l l 型整环特别地，若尉拘每个 素t 一理想仅含在唯一的极大t 一理想中，则称尼黾独立的k r u l l 型整环 k r u l l 型整环除了上述定义外，下面我们再给出在文f 8 1 的等价定义： 尼是k r u l l 型整环当且仅当r 的每个有限生成理想是t 一可逆的，且月中的每个 非零元素仅含在有限个极大t 一理想中 由上述定义易知，k r u l l 型整环一定是p v m d ，k r u l l 型整环与p v m d 有着密 切联系在f 9 1 中，m o t t 和z a f r u l l a h 对p v m d 作了大量的工作，得到了p v m d 很多 很好的性质本文对k r u l l 型整环的研究，正是基于p v m d 的研究结果 1 2 k r u l l 丹2 j 整环r 与r 】，r 陋】风整环 本节主要证明t k r u l l 型整环r 与冗】，r 帆整环之间的等价关系 在给出k r u l l 型整环r 与r 】，r i x i n 。整环的等价性的定理之前，我们先给 出几个引理 y a n g j i e j i e 0 1 1 6 3 c o r n 第5 页，共3 3 页毕业论文 整二主坚! 竺! ! 型墼墅盘苎塑丝堕 引理1 2 1 9 】对整环r ，以下几条等价： ( 1 ) r 是p v m d j j _ r 具有有限特征 ( 2 ) 只是p v m d 且具有有限特征 ( 3 ) 冗是p v m d 且剧中的每个非零非单位的元素只有有限多个互素的非单 位的因子 ( 4 ) r 是k r u l l 型整环 引理1 2 2 2 0 】对整环r ，以下几条等价： ( 1 ) r 是p v m d ( 2 ) 冗 x 】是p v m d ( 3 ) r i x i o 是p v m d ( 4 ) r 】肌是p r t i f e r 整环 ( 5 ) 咒阳肌是b 6 z o u t 整环 引理1 2 3 2 0 j 设+ 是r 上的星型算子，设由柏孳导的有限型的星型算子为+ 。 令眠一 ，冗】f a = 兄) 那么有： ( 1 ) 肌= r 】um i x ，其中r 是r 中的极大，。理想的集合 m e r ( 2 ) m 畔 肌) e r 是兄i x 】肌的极大理想的集合 显然，扣是俨诱导的有限特征的星型算子从而，上述引理对t 一星型算子成 立 在引理1 2 1 中，对k r u l l 型整环给出了四个等价刻画 在文f 2 1 中， k w a k 和p 跗k 证明了r 是p r e k r u l l 整环当且仅当冗【吲是p r e k r u l l 整环类比此定 理，就得到下面的定理： 定理12 1 对于整环r ，以下几条等价： ( 1 ) r 是k r u l l 型整环 ( 2 ) r 】是k r u l l 型整环 ( 3 ) r 】批是k r l l l l 型整环其中，眠一 ，r x 】lc ( ，) 。：r ( 4 ) r x n o 是有限特征的p r i f e r 整环 ( 5 ) 月】帆是有限特征的b 6 z o u t 整环 y a n g j i e j i e 0 1 1 6 3 c o r n 第6 页，共3 3 页 毕业论文 第一章k r u l l 型整环内部的性质 证明由弓f 理1 2 1 知，要证明环r 是k r u l l 型整环当且仅当证明r 是有限 特征的p v m d 又由引理1 22 知，r 是p v m d 当且仅当n i x 是p v m d 当且仅 当r 【吲肌是p v m d 故要证明上述环r 是k r u l l 型整环，仅需证明尼是有限特 征的整环 ( 1 ) 辛( 2 ) 任给0 f ( x ) r x l ，如果c ( ，) = r ，由 2 1 ，r e m a r k1 5 知，( 。) 仅 含在n i x 的有限多个极大叫一理想中故刷x 1 是k r u l l 型整环， 若c ( f ) r ，则任给0 a c ( ，) ，仅有吲拘有限多个极大”一理想包含a ，不 妨记为尬， 靠1 妇：j ：a n x nr = ( n ) ，故对上述的每个i ，a r x 尬陋】 我们断定这些 4 】是包含a n x 的极大w 一理想事实上，若m 陋 不是吲矧的 极大w 一理想，则必存在n i x 】的极大w 一理想，使得a r x 】尬i x n ，从而 0 ( o ) = a r x n r 舰i x 】n r n n r 显然，不是刷拘u t z ，故n = ( n n r ) 加，其中n 兄是r | 拘极大 理 想从而舰= 坛i x 】f - i 冗= n n r ，即= 五】另外，我们还断定 含a n x 的r x l 的极大w 一理想必为上述的尬i x 若不然，存在兄1 的极 大 理想，使得a r x 】cn ，但对任给的上述尬【矧，均有n 舰i x 故( o ) = a r x 】nr nnr 是刚搀极大叫一理想，而含( n ) 的极大w 一理想必为上述 的理想尬故存在某个蛆，使得n r = m t 又知不是u t z ，故n = 必i x ， 故含a r x 的r 的极大w 一理想必为有限多个从而，( z ) 仅含在n i x 的有限多 个极大”理想中故n i x 是k r u l l 型整环 ( 1 ) 乍( 2 ) 任给0 a r ，即有a a r x nr ，n a r x 仅含在r x 】的有限 多个极大w 一理想中，记为p 1 ，r 故( ) = a r x n r 只n r ，首先可断 定只n 尼黾用拘极大w 一理想事实上，显然有只nr 是刷拘w 一理想若不是兄的极 大w 一理想，则存在冗l q 极大w 一理想，使得( n ) 只n 兄，从而有a r x ( 只nr ) 】cn i x 其中】是n i x 的叫一理想由只的极大性知：只= n i x ， 故只n r = n i x n r = n ，矛盾另外，可断定含( o ) 的极大叫一理想只能是 上述的只nr 假若是含a 的极大叫一理想，但n 只nr 由n r 瞵】cn i x ， 但n i x 不是含a n x l l 拘极大w 一理想，则存在某个只，使得a r x 1 n i x l r ， ( a ) cn 只nr ，这与是r 的极大叫一理想矛盾从而，含( o ) 的极大叫一理想仅 y a n g d i e j i e 0 1 1 6 3 c o r n 第7 页，共3 3 页毕业论文 第一章k r u n 型整环内部的性质 有有限多个故尼黾k r u l l 型整环 ( 2 ) ( 3 ) 由f l ，e x e r c i s e4 3 1 1 ，结论成立 ( 3 ) 净( 1 ) 因r x l n o 是p v m d ，由引理1 22 知，n x j n 。是p r f i f e r 整环又任 给p t - m a x ( r ) 由引理12 3 知，p n o e m a x ( r x n )故有r 尸= r 吲尸i n k = ( n x u ) e xj n on k 由【1 ，t h e o r e m1 91 6 知：r p 是赋值环， 又由r x n o 是k r u l l 型整环，则 n i x n o = f1 ( r x n o ) e t x l 。= f1 r x p t x l 所以，r x n 。n k = n ( r 【x 】p 吲n k ) 由f 2 0 ，p r o p o s i t i o n2 8 】知：r = n r _ p ； 任给0 y r ，除了对有限个极大w 一理想只，我们证明，掣兄r = r r 若 不然，存在无穷多个只，使得y r p i r r 从而有无穷多个只使得，y n x 1 只例 r x a 这与r x n o ：是k r u l l 型整环矛盾故毋黾k r u l l 型整环 ( 3 ) 甘( 4 ) 斡( 5 ) ：由引理1 2 2 ，结论显然成立 1 3 k r u l l 型整环的有限生成平坦理想 本节主要证明了k r u l l 型整环r 的有限生成平坦理想与投射理想的关系，以 及t v 整环吲约有限生成平坦理想与投射理想的关系 1 9 7 7 年，g l a z 和v a s c o n c e l o s 在文1 0 1 中定义了h 整环，对整环r ，若同拘任何 理想j ，只要。= 圮就有一个有限生成理想l ，使得j = r 同时， 在1 9 8 8 年，g l a z 和v a s c o n c e l o s 提出了如下猜测：在h 整环r 中，刷j 勺每个忠实 平坦理想是投射理想在文( 1 1 】中，h o u s t o n 和z a f r u l l a h 证明了兄为极大w 一理想 是拟有限的独立的k r u l l 型整环当且仅当兄既是t v 整环，又是p v m d 另外， h o u s t o n 和z a f r u l l a h 还证明了尼黾h 整环当且仅当r 的每个极大训一理想是 一理想， 并证明了t v 整环，即每一t 一理想是口一理想的整环，是h 整环在此，我们证明了上 述猜测对于k r u l l 型整环和t v 整环是成立的 引理13 1 1 0 设，是兄的忠实平坦理想，则是局部主理想，即对尉 勺任何素 理想p ，昂是r 尸中的非零主理想，即局部秩为1 的自a r e 一模此外，若r 是整环， 则非零理想，是忠实平坦理想当且仅当是局部主理想 y a n g j i e j i e 0 1 1 6 3 ，c o m 第8 页，共3 3 页毕业论文 第一章k r u l l 型整环内部的性质 引理1 3 ，2 2 2 】设m 是无挠模，以，b 是m 的子模则a 。= b 0 当且仅当对任 何q w m a x ( r ) ，有a o = b q 引理1 3 3 2 3 】设，是整环r 的平坦分式理想若有的有限生成子分式理 想b ，使得i - 1 = b ，则，是可逆分式理想因此，有限型的平坦分式理想是投射 分式理想 引理1 3 ，4 【1 1 】设兄是t v 整环，j 是r 的一理想则，只包含在有限多个极大” 理想中 定理13 1 若r 是k r u l l 型整环，则吲搀每个忠实平坦理想是投射理想 证明设a 是忠实平坦理想取0 a a ，则只有有限个极大w 一理想， 譬如说m ，眠，包含a 由引理1 3 ，1 ，a 尬是主理想，可记a 帆= a i 兄m ， a a ，i = 1 ，礼令b = ( a ，a 1 ，a n ) 对r 的任何极大廿理想m ，若 对i = 1 ，n ，m j 】l 五，则n 不在m 中因此a m = r m = b m 若对某一i ， 1 i 几，有m = 尬贝i j a m = 胍= a i r 尬b m 因此a m = b m ， m w m a x ( r ) 由引理1 32 ，a 。= b 0 是有限型的因此，由引理1 3 3a 是投射 理想 定理1 3 2 若r 是t v 整环，则刷搀每个忠实平坦理想是投射理想 证明由引理1 3 4 ，r 中的任何非零非单位的元素a 仅含在有限多个极 大w 一理想中，由定理1 - 3 1 的证明知，结论成立 1 4k r u l l 型整环中的理想 本节主要证明 k r u l l 型整环r 中的非零理想的性质，以及一类特殊的非零 素理想与r 的极大叫一理想之间的关系 定义1 4 1 2 4 】若a 是刷拘非零理想，任给z a o ) ，存在y a ，使得a = ( z ，j ，那么就叫月是强二元生成理想若+ 是r 上的星型算子，a 是r 的非零理想 任给z a o ) ，存在y a + ，使得a + = ( z ，! ，) 。，那么就叫a 是强 一二元生成理想 y a n g j i e j i e 0 1 1 6 3 c o m 第9 页，共3 3 页毕业论文 第一章k r u l l 型整环内部的性质 r 是d e d e k i n d 整环，则r 的每个非零理想是强二元生成的而我们对k r u l l 型整 环矧约研究，通常是通过r 上的 一理想，t 一理想，w 理想的刻画因此，下面这个引 理就告诉我们：一般的整环r 中的非零理想在什么条件下是强十一二元生成理想 引理1 4 1f 2 5 1 设 是冗上具有有限特征的星型算子，是同拘 一可逆理想若 有一个a ，仅含在有限多个极大+ 一理想中，则存在一个b i ，使得l = ( a ，6 ) + 证明显然，只包含在有限多个极大+ 一理想中，譬如说为b ，只 设q ，q t 是包含a 的，但不同于尸1 ，只的极大+ 一理想由于，是+ 一可逆的， 则对任何极大+ 一理想p ，昂是主理想所以有b 1 一( q 1u u q ) ，使得对 所有i ，1 i s ，b r p , = i p , 因此，设p 是剜拘极大 一理想，则当p = 只时， 有a ，b ) p = i e 现设p 不同于b ，只，则昂= r p 若对某个j ，p = 岛，则6 r p = r p 若对所有，p q n 贝u a r v = r 尸从而对一切极大 一理想p ，( a ，b ) p = b 又 因( 。，6 ) 也是+ 一可逆理想所以有( n ，6 ) ，= ( ( n ，6 ) + ) _ p 因此有 l = u ( l ) p = u 昂= u ( 。，b ) p = u ( ( 。，6 ) ，) 尸= ( a ，6 ) + r 是d e d e k i n d 整环，r 中的每个非零元素仅含在引均有限多个极大理想中 而k r u l l 型整环r 中的每个非零元素仅含在罔 白有限多个极大w 一想中故类比定 理：整环兄是d e d e k i n d 整环当且仅当冗的每个非零理想是强二元生成的我们有 下面的定理： 定理1 4 1 若r 是k r u l l 型整环，a 是矧拘非零的有限生成理想任给0 a a ，则存在b a ，使得a 。= ( a ，6 ) 。，且( n ，6 ) 。是w 一可逆的 证明a 是r i 拘有限生成理想，则a 是w 一可逆的从而a 。是w 一可逆的 对任给的0 a a ，n 仅含在r i 拘有限多个极大训一理想中又因a 是w 一可逆 的，故由引理1 4 1 知，存在b a ，使得a 。= ( a ，6 ) 。 设r 是几乎d e d e k i n d 整环，j 4 是r 的真理想，若只有r 的有限多个极大理 想包含a ，不妨设为尬，尬，则存在正整数e l ，e 2 ，e 。，使得a = y a n g j i e j i e 0 1 1 6 3 c o i n 第1 0 页洪3 3 页毕业论文 堑二主坚翌! ! 型苎墅盘塑塑丝堕 埘1 孵2 螈“对于k r u l l 型整环，我们有相应的性质首先，我们给出一 些引理 引理1 4 2 【2 6 】设，是r 的理想，则 以= u p ip 是素理想且，p ) = u p lp 是j 上的极小素理想) 引理1 4 3 2 6 设q 是刷拘准素理想，则p = 、，位是蚓拘素理想，且是q 上的 极小素理想 引理1 4 4 【2 6 设a 是刷拘真理想，若娟是极大理想，则a 是准素理想，特别 地，极大理想的幂是准素理想 定理1 42 如果r 黾k r u l l 型整环，a 是矧拘非零理想，若含a 的极大w 一理想都 是a 上的极小素理想，则存在正整数e 1 ，e 。，以及极大叫一理想 矗，蝎。，使 n 得a = n 孵 t = 1 证明a 是刷约非零理想，因为r 是k r u l l 型整环，所以a 含在r 的有限多个 n 极大叫一理想中，不妨记为尬，眠故a = n ( a r 尬n r ) 又由题设知： i = 1 坛是a 上的极小素理想，故m i r m , 是含a r m , 篚j 唯一索理想，从而由引理1 4 2 ， 1 4 3 ，l4 4 ，a r 坛是m , r m f 的某次方幂，即存在正整数e l ，使得a 兄m = nnn 晖r m , ，所以a = n ( a 尺m n r ) = n ( 晖n r ) = n 孵i t = 1i = 1i = l 推论1 4 1 如果r 是k r u l l 型整环，w d i m ( r ) = 1 ，任给月的非零理想a 若h t a 1 ，则存在正整数e 1 ，e 。，及其极大 理想 矗，尬，使得a = n n 孵 t = 1 证明”一d i m ( r ) = 1 ，则含a 的极大w 一理想都是a 上的极小素理想由定 理1 4 2 结论显然成立 y a n g j i e j i e 0 1 1 6 3 g o m 第1 1 页，共3 3 页毕业论文 第二章k r u l l 型整环与几类特殊整环之间的关系 1 9 7 2 年，g i l m e r 在 1 中给出k r u l l 型整环，k r u l 整环的定义从定义可以看 出，k r u l l 型整环是i z k r u l l 整环更广泛的整环，二者之间的关系非常紧密另外， 在 1 】中，曾指出k r u l l 型整环与最大公因子整环( g c d 整环) 之间的关系本章首 先证明了k r u l l 型整环r 与赋值环翮 勺等价条件，接着证明了k r u l l 型整环r 有不 同的k r u l l 维数时，k r u l l 型整环与k r u l 整环的等价条件；以及证明了k r u l l 型整环 与g c d 整环的等价关系另外，还研究t k r u l l 型整环r 的形式幂级数环的性质 最后，证明了若兄既是p r f i f e r 整环，又是k r u l l 型整环，则兄是阿基米德整环的等价 条件 2 1 k r u l l 型整环与赋值环 本节证明了k r u l l 型整环r 与赋值环刷构等价条件 定义2 ，1 ，1f 2 7 】若整环兄中任何两个非零元素有最大公因子，等价于说，任 何有限个非零元素a 1 ，( 礼 1 ) 有最大公因子，则称亿黾最大公因子整环 引理2 1 1f 2 8 1 对整环r ，以下各条等价 ( 1 ) r 的每个极大理想是叫一理想 ( 2 ) g v ( r ) = 埘 ( 3 ) r 的每个理想是w 一理想 f 4 ) 每个无挠昂模是廿模 满足以上等价条件之一的整环叫做t lf t - l i n k a t i v e ) 整环 我们知道，一维的离散赋值环是k r u l l 整环，k r u l l 整环的w 一维数是1 但二维 的赋值环r 的w 一维数是2 ，从而一定不是k r u l l 整环，但r 是k r u l