（控制理论与控制工程专业论文）降阶Hlt∞gt控制器与滤波器的设计.pdf

摘要 摘要 本文研究了显式构造降阶h 。控制器与滤波器的方法，主要的研究工作包括 以下几个方面。 首先，研究广义连续系统的降阶h 。滤波器的设计问题。目的是设计出的线 性滤波器的阶数要低于给定系统的维数，同时使得滤波误差动态系统是容许的， 并且满足一定的h 。性能指标。主要的工作是提出了降阶h 滤波器阶数的一个 新的上界，并给出了相应的降阶算法。降阶滤波器问题的可解性的充分必要条件 是矩阵不等式和非凸秩约束组成的方程组的可解性，这里是使用显式构造的算法 来解决这个非凸优化问题，并且给出了一个计算方法来求得相应矩阵不等式方程 组的可行解。数值例子说明了该降阶设计算法的有效性。 其次，研究一类混合h 2 h 。降阶控制器的设计问题。已知在h 。控制问题中存 在着降阶h 。控制器阶数的一个新上界，并且可以通过计算两个传递函数矩阵在 非稳定区域中矩阵束的最小秩来求得这个新上界。当对应的非稳定不变零点存在 时，本文指出，对于所述对象，若混合h 2 如控制问题可解，则必存在阶数小于 相应系统的新上界的降阶h 2 h 。控制器。由于构造性的证明过程，可以给出设计 此降阶h 2 h 。控制器的算法。这个证明过程只和l m i 算法和凸优化有关。本文的 结果同时适用于连续与离散的情形。 最后，研究基于l u e n b e r g e r 观测器的广义系统降阶h 。控制器的设计问题，并 且该观测器是关于干扰解耦的。首先是给出了广义系统h 。状态反馈控制问题的 一个充要条件，并利用线性矩阵不等式方法求解出广义系统的h 。状态反馈增益。 然后对该h 。状态反馈增益进行渐进降阶观测，基于广义s y l v e s t e r f 疆阵方程的显式 通解的参数化设计方法，实现了广义系统的降阶h 。控制。主要的工作是给出了 相应的广义线性系统降阶h 。控制器的设计算法。数值例子说明了降阶算法的有 效性。 关键词：降阶滤波器；线性矩阵不等式；h 。滤波；混合h 2 h 控制；降阶 控制器；广义系统；h 。控制；l u e n b e r g e r 观测器 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，r e d u c e d o r d e rh c o n t r o l l e ra n df i l t e rd e s i g nm e t h o d sa r e i n v e s t i g a t e d t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s f i r s t l y , w ec o n s i d e rr e d u c e d - o r d e rh 。f i l t e r i n gd e s i g nf o rc o n t i n u o u sd e s c r i p t o r s y s t e m s t h ep u r p o s ei st od e s i g nl i n e a rf i l t e r sw i t has p e c i f i e do r d e rl o w e rt h a nt h e g i v e ns y s t e ms u c ht h a tt h ef i l t e r i n ge r r o rd y n a m i cs y s t e mi sa d m i s s i b l ea n ds a t i s f i e sa p r e s c r i b e dh 。op e r f o r m a n c el e v e l o n em a j o rc o n t r i b u t i o no ft h ep r e s e n tw o r ki st h a ta n e wu p p e rb o u n do fo r d e rr e d u c t i o ni s p r o p o s e di nc o n t i n u o u s - t i m ec o n t e x t a n a l g o r i t h mf o rc o n s t r u c t i n gt h er e d u c e d - o r d e rh 。f i l t e r i n gi sg i v e n i ti sk n o w nt h a tt h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h e s o l v a b i l i t y o ft h i s p r o b l e m a r e c h a r a c t e r i z e di nt e r m so fm a t r i x i n e q u a l i t i e s a n dac o u p l i n gn o n c o n v e xr a n k c o n s t r a i n t t h ea l g o r i t h mt od e a lw i t ht h en o n c o n v e xo p t i m a lp r o b l e mi sc o n s t r u c t i v e ， w h i c hl e a d st oac o m p u t a t i o n a lm e t h o dt os o l v et h em a t r i xi n e q u a l i t i e s a ni l l u s t r a t i v e e x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h ee f f i c i e n c yo fo u ra p p r o a c h s e c o n d l y , w ec o n s i d e rr e d u c e d - o r d e rc o n t r o l l e r sf o rac l a s so fm i x e dh 2 h c o n t r o lp r o b l e m t h e r ei san e wc o n t r o l l e rd e g r e eb o u n df o rt h eh c o n t r o lp r o b l e mi n t e r m so ft h em i n i m a lr a n ko ft h es y s t e mm a t r i xp e n c i l so ft h e s et w ot r a n s f e rf u n c t i o n m a t r i c e si nt h eu n s t a b l er e g i o n w h e nt h eu n s t a b l ei n v a r i a n tz e r oe x i s t s ，t h i sp a p e r s h o w st h ef o l l o w i n gi m p o r t a n tr e s u l t ：i ft h em i x e dh 2 h mp r o b l e mi ss o l v a b l e ，t h e n t h e r em u s te x i s tr e d u c e d o r d e rc o n t r o l l e r sw i t ho r d e r sl e s st h a nt h a to fg e n e r a l i z e d p l a n t m o r e o v e r , w ec a na l s og i v en e wf e a s i b l el m i - b a s e dd e s i g nm e t h o d sf o r c o n s t r u c t i n gt h er e d u c e d o r d e rc o n t r o l l e rb e c a u s eo ft h ec o n s t r u c t i v ep r o o f , w h i c h o n l yi n v o l v ea l g o r i t h m sa n dc o n v e xo p t i m i z a t i no fl m i t h er e s u l td e v e l o p e di nt h i s p a p e ra r ev a l i db o t hf o rt h ec o n t i n u o u s a n dd i s c r e t e t i m em i x e dh 2 h mc o n t r o l p r o b l e m s f i n a l l y , r o b u s tr e d u c e d o r d e rl u e n b e r g e ro b s e r v e r - b a s e dh c o n t r o l l e rd e s i g nf o r d e s c r i p t o rs y s t e m si si n v e s t i g a t e t h i so b s e r v e ri sw i t hd i s t u r b a n c ed e c o u p l i n g f i r s t l y , an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eh 。s t a t e f e e d b a c kc o n t r o lp r o b l e mo f i i i 降阶比控制器与滤波器的设计 d e s c r i p t o rs y s t e m si s e s t a b l i s h e d t h e ng e tt h eh 。s t a t e f e e d b a c kg a i nm a t r i x sb y s o l v i n gl m i s t h i sp a p e ro b s e r v et h eh 。s t a t e - f e e d b a c kg a i n sg r a d u a l l y b a s e do n t h e p a r a m e t r i cd e s i g na p p r o a c h f o r g e n e r a l i z e ds y l v e s t e rm a t r i xe q u a t i o n s ，t h e r e d u c e d o r d e rh 。c o n t r o l l e rd e s i g nf o rd e s c r i p t o rs y s t e m si sr e a l i z e d o n em a j o r c o n t r i b u t i o no ft h ep r e s e n tw o r ki st h a tad e s i g na l g o r i t h mf o rc o n s t r u c t i n gt h e r e d u c e d o r d e rh c o n t r o l l e ri sg i v e n a ni l l u s t r a t i v ee x a m p l ei sg i v e nt os h o wt h e e f f i c i e n c yo fo u ra p p r o a c h k e yw o r d s ：r e d u c e d - o r d e rf i l t e r s ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ；h o of i l t e r i n g ；m i x e d h 2 h c o n t r o l ；r e d u c e d o r d e rc o n t r o l l e r ；d e s c r i p t o rs y s t e m s ；h 0 0c o n t r o l ；l u e n b e r g e r o b s e r v e r s i v 符号与缩写 a r e代数r i c c a t i 方程 a r i 代数r i c c a t i 不等式 d i a g 对角矩阵 l m i 线性矩阵不等式 l q g 线性二次高斯 i 。 ，l n 的单位矩阵 j合适维数的单位矩阵 彳r 彳的转置 彳- 1彳的逆 彳+ 么的m o o r e - p e n r o s e 逆 r a n kaa 的秩 州i a 的范数 k e r aa 的核空间 i m aa 的值域空间 a b a b 为正定矩阵 a 0 l i g ( s l l 。 g o ) 的h m 范数，即 m a x 孑( g ( ，w ) ) m i n ( a ，b )a ，b 的最小值 m a x ( a ，b )a ，b 的最大值 r实数域 r +正实数域 c复数域 c 一实部小于0 的复数域 r “胂 实元素n m 线性空间 r e c t口c 的实部 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：币次 声明人( 签名) ：i 巧欲 口移年厂月习日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“4 ”) 作者签名：币，) 螽日期：沙。莎年期习日 导师签名： 蟠日期：瑚年5 月7 7 日 第一章绪论 1 1h 控制理论发展概述 第一章绪论 经典线性系统理论在二十世纪五十年代中期就已经发展成熟了，主要的分析 和综合方法是频率响应法。经典频率法对单输入单输出( s i s o ) 线性定常系统颇有 成效，局限性是难于有效地处理多输入多输出( m i m o ) 系统和深刻地揭示系统的 内部特征。在五十年代兴起的航空航天技术的推动下，控制理论开始了从经典阶 段向现代阶段的过渡。其重要的标志是k a l m a n 系统地把状态空间法引入到系统 与控制理论中，逐步发展了以l q g 最优控制理论为代表的近代线性系统理论， 极大地推动了控制理论的发展和应用。然而，这种反馈设计方法过于依赖数学模 型，设计的系统只对数学模型保证预期的性能指标，对实际系统的控制效果则完 、 全取决于建立的数学模型的精确程度。由于实际系统中存在着不可忽视的时变、 非线性和不确定因素，而这些因素很难被精确描述，故系统的数学模型不可避免 地存在各种形式的不确定性，这就使得依据精确数学模型的现代控制理论对于处 理不确定性系统或带扰动的系统十分困难。为了解决这个问题，一些诸如摄动分 析、灵敏度分析等方法被陆续提了出来，这就开始了鲁棒控制广泛和深入的研究。： 研究鲁棒控制的方法有很多，例如由k h a r i t o n o v 定理发展起来区间系统理 论，jcd o y l e 提出的结构奇异值( u ) 理论，vm p o p o v 提出的超稳定理论等等， 这些方法各有特色，其中z a m e s 在1 9 8 1 年开创的h 控制理论是其中的一个重 要分支【l 】。z a m e s 考虑了一个s i s o 系统的设计问题：对于属于一个有限能量信 号集合的干扰信号，设计一个控制器，使得闭环系统稳定，且干扰对系统期望输 出的影响最小。由于传递函数的h 范数可描述有限输入能量到输出能量的最大 增益，所以用从干扰信号到期望输出的传递函数的h 。范数作为目标函数，对系 统进行优化设计，就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出影响最小。 z a m e s 的h 控制思想一经提出，立即成为控制理论研究的一个热点问题。经过 2 0 多年来长足的进步和发展，h 控制理论目前是解决鲁棒控制问题比较成功且 比较完善的理论体系，而且一直是这些年来自动控制理论及工程应用研究的热门 课题之一【2 3 j 。 降阶h 。控制器j 滤波器的设计 与一些控制理论设计的控制器相比，h 。控制器具有较好的鲁棒性，但是缺 点是控制器阶次较高。阶次较高的控制器不但不利于实现，而且可能会引起时滞， 从而导致系统控制品质恶化，甚至影响系统稳定。因此研究低阶h 。控制器的设 计方法，一直是h 。控制理论的重要研究课题之一，受到了广泛的关注。尽管目 前已经有大量的学者和研究人员提出了许多低阶h 。控制器的构造方法，但是该 问题依然是h 。控制理论中一个尚未完全解决的问题。 在过去的二十多年里，h 。控制理论及其应用问题得到广泛和深入地研究， 各种期刊、专业杂志和会议报道了大量的研究文献。全面概述这些h 。控制理论 研究成果是困难的，本文拟以解决h 。控制问题的主要方法的进展，将h 。控制理 论分为三个阶段进行综述【4 5 】。 1 1 1 初期( 1 9 8 1 - 1 9 8 4 ) 1 9 8 1 年，z a m e s 在其论文中引入h 。范数作为目标函数对系统进行优化设计， 标志着h 。控制理论的诞生【1 1 。解决h 。控制问题的早期方法主要有逼近方法和插 值方法，两种方法在数学上是等价的和完美的，各有特点。插值方法使用 n e v a n l i n n a - p i c k 插值理论以及矩阵形式的s a r a s o n 理论，具有概念直观和清晰等 优点，但没有给出好的算法；逼近方法在计算上取得了一定的进展，不足之处是 所用理论比较深奥难懂【6 】。在此时期的代表方法首推1 9 8 4 年在h o n e y w e l l 公司 举办的h 。控制研究会上，d o y l e 和g l o v e r 等人对当时的h 。控制进行总结所形成 的所谓“1 9 8 4 年方法 【4 】。“1 9 8 4 年方法”在状态空间中求解m i m o 系统的h 。 最优控制问题，过程包括传递函数矩阵的状态空间内夕b ( i n n c r - o u t e r ) 分解和互质 分解，然后降低成一个用状态空间方法可解的n c h a r i h a n k e l 范数问题。“1 9 8 4 年方法”的一个不足之处是每个步骤都要增加状态，最后得到的控制器状态数是 对象状态数的1 0 3 0 倍，即使使用控制器降阶方法，所得到的控制器阶数也是对 象状态数的2 3 倍。这一时期得到的h 。控制问题解法所用数学工具非常繁琐， 计算量大，并不象控制问题本身那样具有明确的工程意义。 1 1 2 成熟期( 1 9 8 5 1 9 8 9 ) 在这一阶段，人们发现可以将鲁棒控制中的灵敏度极小化问题、鲁棒镇定问 2 第一章绪论 题、跟踪问题、两自由度问题、滤波问题和模型匹配问题等许多控制问题，统一 于标准的h 。控制问题p 】，这就使得对h 。控制理论的研究更加条理化，对h 。控 制理论体系的深入发展产生了重要的影响。 这一时期出现了许多对h 。控制理论发展具有重要意义的概念和方法，大量 的科研成果使得h 。控制问题的研究取得了重大进展。1 9 8 8 年g l o v e r 和d o y l e 提 出了著名的标准h 控制问题“2 一a r e ”解法【7 l 。“2 - a r e 方法通过求解两个非 耦合的a r e 的一对稳定解( 唯一) ，并验证其稳定解是否满足一个谱条件，可判 定h 。控制问题的可解性。当h 。控制问题可解时，基于2 - a r e 的稳定解，可以 构造出阶数为广义对象m c m i l l a n 阶的所谓中心控制器。通过引入一个稳定且满 足给定h 。范数界的传递函数矩阵，可构造出所有可允控制器的参数化表示，即 q 一参数化( 无限维) 。1 9 8 9 年，d o l y e 等人对h 。控制问题的状态空间分析方法进 行了总结，并强调了h 。控制问题和l q g 控制问题的联系【8 】。该文在h 。控制研 究领域广为引用，其中的2 - a r e 方法以其四位作者的名字代称2 - a r e 方法，即 d g k f 方法。2 - a r e 方法的出现，使得h 。控制问题在概念和算法两方面均被极 大地简化了，加上含有上述解法的软件包的推出，如m a t h w o r k s x 公司的r o b u s t c o n t r o lb o x 训，使得h 。控制开始成为一些实际系统设计的有效工具。 1 1 3 继续发展期( 1 9 9 0 至今) 在这一阶段，陆续涌现了诸如微分对策方法和极大值原理方法和基于 ( ，) 一无损分解理论的h 。控制问题解法等方法【l o 】，然而这一时期最突出的成 果是基于线性矩阵不等式( l m i ) 解法的提出和完善。 在2 - a r e 方法和其它一些方法中，均假定传递函数片：( s ) 和昱，( j ) 在包含无 穷远点在内的虚轴上不含零点。通常称在上述提及的两个传递函数之一含有虚轴 零点的h 控制问题为奇异或非标准h 。控制问题。对奇异控制问题，包括2 - a r e 方法在内的许多结果不再成立，而基于有界实引理的l m i 方法是有效的解决奇 异h 。控制问题的方法。 使用l m i 对控制系统进行分析和综合起源于18 9 0 年l y a p u n o v 关于运动稳 定性的工作。但是由于通常的l m i 并不能得到解析解，加之一段时间内缺乏有 效的求解l m i 数值解的工具，使得l m i 在初期没有得到重视。随着凸优化算法 3 降阶h 。控制器j 滤波器的设计 的发展，特别是二十世纪九十年代初发展起来的内点算法，能够有效的求解一般 l m i 1 i 】，使得应用l m i 方法解决实际的控制问题成为可能。之后求解l m i 的标 准程序的开发和完掣1 2 】，更是方便了l m i 在控制系统中的应用。 基于有界实引理，1 w a s a k i 和s k e l t o n 直接从时域上用代数方法获得了3 l m i s 的h 。控制问题可解条件【1 3 】。基于3 l m i s 的可行解集，还可以给出所有可允的h 控制器的参数化表示( 有限维) 。g a h i n e t 和a p k a r i a n 也考虑了离散对象的h 。控制 问题，得到了与连续情形对应的结梨1 4 】。基于l m i 的h 。控制方法的一个优点是 对广义对象限制少，可以统一处理标准和奇异的h 。控制问题。事实上，基于l m i 的h 。控制方法的意义已远超出求解奇异问题一则，成为继续2 - a r e 方法之后又 一基本的h 。控制解法。不仅如此，越来越多的控制问题可以转化为l m i t b 以7 1 ， 而且一些控制问题的l m i 可解条件与h 。控制问题3 l m i s 可解条件具有相同的结 构，使得这些控制问题可以在同一框架内加以解决。目前l m i 方法受到广泛的 重视，成为众多控制问题分析与综合的有力工具之一。 由于h 。控制器的不唯一性，多出的自由度可用于满足其它的设计目标。多 目标h 。优化问题受到人们关注【1 8 啦】。现在，h 。控制理论的研究已拓展到时变系 统、非线性系统、分布参数系统( 无限维) 、广义系统和大系统，并取得了不少有 意义的结果。 h 。控制理论的应用目前已有不少报道，如d o y l e 等对航天飞机重返大气层 的侧轴飞行控制系统设计，s a f o n o v 对飞机俯仰轴控制系统和对大型空间结构的 控制系统设计，l i m e b e e r 同步涡轮发电机的控制，d a l e 对火箭穿越大气层时的 镇定控制设计，g u e s a l a g a 对环境试验箱温湿度的控制等。 1 2 广义系统的降阶h 滤波器 在系统状态空间模型中，系统的状态往往不能直接测量得到，因此需要用系 统的输入输出信息来重构系统的状态向量，或估计系统状态向量的某个线性组 合，这样的思想不仅可用在系统的控制中，而且在测量技术的发展中也得到了深 入的研究和应用，形成了一个新的方向软测量技术。l u e n b e r g e r 观测器和最优 线性二次型k a l m a n 滤波器的提出为这一思想的实现提供了方法和技术。 对一个精确已知的系统，如果系统和测量中存在的扰动已知是白噪声或具有 4 第一章绪论 已知谱密度的噪声，则可以用估计误差方差作为衡量滤波器好坏的一个性能指 标，进而通过这一性能指标的最小化，来设计最优滤波器。然而，当系统扰动的 统计特性难以确定时，可以将扰动看作是具有有限能量的任意信号，因此可以用 扰动输入到估计误差的传递函数的h 。范数作为滤波器的性能指标，通过使这一 性能指标小于某个给定的值来设计系统的h 。滤波器。h 。滤波器在雷达设计、故 障检测、信号处理等领域中已有了广泛的应用。 k a l m a n 滤波器已经被广泛地应用于控制和信号处理领域当中【2 3 】。k a l m a n 滤 波方法要求系统是用一个特定的模型来描述，对外部噪声也有统计特性上的要求 【2 3 ，2 4 1 ，但在实际应用中通常是不能够满足这些要求的。当一个系统模型存在参 数不确定性时，标准的k a l m a n 滤波算法并不能够保证实现满意的性能【2 5 1 。为了 克服以上这些困难，出现一个替代的方法称为h 。滤波。h 。滤波器的设计目标 是要求使误差系统是稳定的，并且系统的h 。范数要低于事先确定的指标。h 。滤 波技术与k a l m a n 滤波方法相比的优点是，h 。滤波对于干扰噪声没有统计特性 上的要求，而且拥有更好的鲁棒性【2 6 ，2 7 1 。这些良好的特性也使得它在实际应用 中有着很好的前景。许多文献中都提出了有关于h 。滤波的相关结论【2 8 , 2 9 , 3 0 】。 另一方面，对降阶滤波器设计的研究在过去的几十年里受到了更多的关注。 对于这个问题的研究是有其实际的应用背景，阶数过高的滤波器不但不利于实 现，而且可能会引起时滞等因素从而导致系统滤波品质恶化。当然可以直接使用 优化的算法实现滤波器的降阶【3 l 】，但是这种方法有它的缺点，即存在着较大的 不确定性，有许多因素决定着最后的计算结果。 由于广义系统( 也称为奇异系统、广义状态空间系统等) 模型广泛存在于社会 生产诸多领域，例如：电力系统、经济系统、机器人系统、电子网络、核反应堆 等都是用广义系统模型来刻画的，并且这些模型还往往具有维数高、结构复杂、 不确定性、时变性等特征，使得对于广义系统的研究具有极大的挑战性。关于广 义系统的滤波问题也被许多学者所研究【3 2 ，3 3 1 ，并已经取得了一定的研究成果。 但是到目前为止，对于广义系统的降阶h 。滤波问题还未被充分地研究，仍然有 很多问题亟待进一步解决、完善与深化。 在此关注的是广义连续系统的降阶h 。滤波器的设计算法。本文是在文献 3 4 】 研究结果的基础上进行降阶h 滤波器的设计。由文献 3 4 】可知降阶滤波器问题 5 降阶控制器与滤波器的设计 的可解性的充要条件是矩阵不等式和非凸秩约束所组成的方程组的可解性。求解 降阶滤波器问题的主要困难在于这个非凸秩约束的存在。这使得所研究的优化问 题成为一个非凸优化问题，但是对于非凸优化问题并没有统一的较好解决方法。 本文在此是使用显式构造的方法解决这个非凸优化问题，并实现滤波器的降阶设 计，然后给出了一个计算方法来求得相应矩阵不等式方程组的可行解。使用构造 性方法来实现h 滤波器降阶的优点是，比较直观清楚，减少了不确定性。 1 3 混合h 2 l i 。降阶控制器 系统 在实际设计问题中，通常所需要设计的系统满足多种性能要求。特别地，对 i c = a x + b u + b lw l + b 2 w z z l2c i x + d l o u + d l l l h z 22c z x + d z o u + d 2 2 w z 我们希望设计一个控制器，使得闭环系统是渐进稳定的，且从w l 到z 。的闭环传 递函数r w , 玉的h 。范数不超过一个给定的上界y 。，以保证闭环系统对由w l = a z 。进 入的不确定性具有鲁棒稳定性；同时使得从w 2 到z ：的闭环传递函数乇：的h 2 范数尽可能的小，以保证用h 2 范数度量的系统性能处于一个好的水平( 例如对白 噪声输入w 2 ，z ，具有小的稳态方差；或对脉冲输入，被控输出z ：具有小的能 量) 。 作为h 。控制问题的推广，混合h 2 i - i 。控制问题是一种重要的鲁棒性能问题。 混合h 2 h 控制问题的意义在于使系统具有稳定性和鲁棒性的前提下，保持良好 的性能。另一方面，控制器的阶次是涉及能否工程应用的重要因素，在实际应用 中，设计出低阶控制器有着重要的意义。但是对于广义对象的h 2 h 。控制问题， 构造出严格小于系统m c m i l l a n 阶的降阶控制器是比较困难的。 文献 3 5 】首先提出了混合h 2 h 。问题，但仅得到一组充分条件；文献 3 6 】考 虑混合h 2 h 。控制问题的对偶问题，其解都归结到耦合的a r e ，但难以计算。文 献 3 7 ，3 8 分别研究了连续和离散系统的混合h 2 h 问题，给出了充分必要条件， 且算法可归结为二元二次矩阵不等式的凸优化问题，但这些都是在对系统施加额 外限制的情况下取得的。文献 1 3 】的将混合h 2 h 。指标中的h 2 指标加以简化，但 6 第一章绪论 仍保证对系统暂态误差的要求。由于所研究的最广泛的对象，考虑的是一类奇异 h 2 h 。控制问题，因此文献【1 3 】的问题也具有重要的工程和理论意义。以上这些 方法往往只给出阶次不超过广义对象m c m i l l a n 阶次的控制器的设计准则。目前 对降阶h 2 h 。控制器的研究并不充分。基于文献【4 0 】中的相关结果，文献 4 0 ，4 1 】 指出，在一定条件下，若混合h 2 h 。问题可解，则必存在降阶控制器。并且给出 了设计算法。 本文是在文献 4 0 ，4 1 ，4 2 的基础上，研究降阶h 2 h 。控制器新的存在判据和 设计准则。当对应的非稳定不变零点存在时，本文指出，在一定条件下，若混合 h 2 h 控制问题可解，则必存在阶数小于对应系统的新上界的降阶h 2 h 。控制器。 而且由于构造性的证明过程，可以给出设计此降阶h 2 h 。控制器的算法。 1 4 基于l u e n b e r g e r 观测器的广义系统降阶h 控制器 多数控制系统都采用基于反馈构成的闭环结构。反馈系统的特点是对内部参 数变动和外部环境影响具有良好的抑制作用。状态反馈是以系统状态为反馈变量 的一类反馈形式，很多控制问题都有赖于采用状态反馈才能够实现。而状态观测 器的提出，主要是为了解决状态反馈在性能上的不可替代性和物理上的不能实现 性的矛盾。如果所设计的观测器在干扰存在的条件下还能观测到我们所要求的信 号，则称此观测器是关于干扰解耦的【4 3 】。自l u e n b e r g e r 观测器提出以来【4 4 1 ，在 线性系统理论中得到了广泛的研究。而在利用l u e n b e r g e r 观测器来设计反馈控制 器的问题上，也取得了一些重要的结剽4 。 对降阶控制器设计的研究受到了很多的关注。对于这个问题的研究是有其实 际的应用背景，阶数过高的控制器不但不利于实现，而且可能会引起时滞等因素 从而导致系统控制品质恶化。在观测器设计中经常会遇到带约束的广义s y l v e s t e r 方程的求解问题 4 8 4 9 1 以及解的表达形式的限制，使得很难实现广义系统的降阶 控制。文献 5 0 研究了干扰解耦观测器设计问题，提出了基于s y l v e s t e r 矩阵方程 的显式通解的参数化表示及设计算法，该方法极大地降低了计算的复杂性，提高 了设计的自由度和灵活性。本文首先给出了广义系统h 。状态反馈控制问题的一 个充要条件，利用线性矩阵不等式方法求解出广义系统的h 。状态反馈增益。然 后对该h 。状态反馈增益进行渐进降阶观测，基于文献 5 0 中s y l v e s t e r 矩阵方程 7 降阶h 。控制器j 滤波器的设计 的显式通解的参数化设计方法，实现广义系统的h 。降阶控制。主要的工作是给 出了广义线性系统降阶h 。控制器的设计算法。数值说明了降阶算法的有效性。 1 5 本论文的研究工作 阶数过高的控制器和滤波器不利于实现，而且可能会引起时滞等因素从而导 致系统控制品质恶化，因此降阶问题具有深刻的实际应用背景。本文是在前人研 究的基础上，进一步丰富和完善降阶控制器与滤波器方面的内容。下面简述一下 本文的研究工作： ( 1 ) 研究连续广义系统的降阶h 滤波器的设计问题。目的是设计出的线性 滤波器的阶数要低于给定系统的维数，同时使得滤波误差动态系统是容许的，并 且满足一定的h 性能指标。主要的工作是给出了降阶h 。滤波器阶数的一个新 的上界，并给出了相应的降阶算法。降阶滤波器问题的可解性的充分必要条件是 矩阵不等式和非凸秩约束组成的方程组的可解性，这里是使用显式构造的算法来 解决这个非凸优化问题，并且给出了一个计算方法来求得相应矩阵不等式方程组 的可行解。数值例子说明了该降阶设计算法的有效性。 ( 2 ) 研究一类混合h 2 h 。降阶控制器的设计问题。已知在h 控制问题中存在 着降阶h 。控制器阶数的一个新上界，并且可以通过计算两个传递函数矩阵在非 稳定区域中矩阵束的最小秩来求得这个新上界。当对应的非稳定不变零点存在 时，本文指出，对于所述对象，若混合h 2 h 。控制问题可解，则必存在阶数小于 相应系统的新上界的降阶h 2 h 。控制器。由于构造性的证明过程，可以给出设计 此降阶h 2 h 。控制器的算法。这个证明过程只和l m i 算法和凸优化有关。本文的 结果同时适用于连续与离散的情形。 ( 3 ) 研究基于l u e n b e r g e r 观测器的广义系统降阶h 。控制器的设计问题，并且 该观测器是关于干扰解耦的。首先是给出了广义系统h 。状态反馈控制问题的一 个充要条件，并利用线性矩阵不等式方法求解出广义系统的h 。状态反馈增益。 然后对该h 。状态反馈增益进行渐进降阶观测，基于广义s y l v e s t e r 矩阵方程的显式 通解的参数化设计方法，实现了广义系统的降阶h 。控制。主要的工作是给出了 相应的广义线性系统降阶h 。控制器的设计算法。数值例子说明了降阶算法的有 效性。 8 第二章基于l m i 的比控制理论 第二章基于l m i 的h 控制理论 通常h 。控制问题的求解，主要有基于代数r i c c a t i 方程和线性矩阵不等式这 两种方法。基于a r e ，h 。控制问题被转化为2 个a r e 的求解问题，通过这两个 a r e 求出的镇定解在满足一个谱约束的条件下，可以得到参数化表示的所有h 。 控制器，即q 一参数化。基于l m i ，h 。问题被转化为3 个l m i 表示的可解性条 件，形成一个凸优化问题，可以用二十世纪九十年代初发展起来的内点算法等凸 优化算法方便的求解【1 4 】。基于3 l m i s 的一对可行解可以构造得到一簇h 。控制器。 本章将主要介绍基于l m i 的h 控制理论，给出了其解法和控制器的构造方 式。 2 1i - i o o 控制问题【5 l 5 2 】 图2 1 是h 。控制问题的最一般的结构框图，其中，尸是包括对象与加权函数 的阶广义对象，该广义对象描述为 ； = 尸c 万， w = 曩： 喜； 厂 8 啪：( 8 ) m j l u j = i l 万在连续情形代表算子s ，在离散情形代表算子z ，k ：= w r ”为外部输入，u r 为控制输入，z r 为外部输出，j ，r 为控制输 出。 图2 1h 。控制框图 定义2 1h 控制问题( 最优问题) 对于广义对象p ，设计合适的控制器k ，使 得闭环系统内稳定，且从w 到z 的闭环传函l ( 6 ) 范数最小，即 m x i n ( 砜2 ( 2 2 ) 9 、， ， q 器 j i ，带控为 1j 降阶也控制器j 滤波器的设计 与此对应的次优问题定义为： 定义2 2h 。控制问题( 次优问题) 对于广义对象p ，设计合适的控制器k ，使 得闭环系统内稳定，且从w 到z 的闭环传函l ( 6 ) 满足 l b 忆 1 ， ( 2 3 ) 在实际控制中通常都考虑次优控制问题。另外，由于0 l 忆 o r s r q 一1 s 0 ； ( i i i ) r 0 q s r _ 1 s r 0 。 s c h u r 补引理可以推广到非严格矩阵不等式的情形： 推论2 1 【1 1 1 如下陈述等价： 暖舢 ( i i ) r 0 ，q s r + s r 0 ，s ( i 一尺尺+ ) = 0 。 利用s c h u r 补引理，可以将许多控制问题转化成l m i 的形式，例如，对控 制问题常见的a r ha r p + p a + p b r - 1 b7 p + q 0 ，其中a 、b 、q = q7 和 r = r r 0 是给定的矩阵，尸= p r 0 为矩阵变量。可将其转化为如下的l m h 卜，尸：以一q 船l o i b r pri 一 通常的l m i 不能得到解析解，而对于如下一类特殊的l m i ，可以得到解析 解： b g c + ( b g c ) r + q ，i i 、 。 s ：= r _ b r o r r ) 一g 眈 定理2 1 【1 6 1 给定矩阵b 、c 和q = q7 ，如下陈述等价： ( i ) 岛p ，c ，q ) a ； ( i i ) b 上q 曰上7 0 ，c n q c 孔r 0 。 若k p ，c ，q ) f 2 j ，贝j jl o ( b ，c ，q ) = 二鲫( 艿，c ，q ) 。 2 2 2 连续情形下基于l m i 的h 。控制理论 本节主要讨论h 。输出控制问题，对于状态反馈的情形，可以参考文【5 2 】，不 赘述。对于广义对象p ，首先考虑控制器k ( s ) 为静态输出控制器的情形，这时由 p ，k 组成的闭环系统为 z = 推 w ( 2 8 ) 咎e 州廿c g 叫 亿9 ， 对于给定的阶的动态输出控制器k c s ，= 驯l e 乎, 剁珈岛见jq 。j 【- d l ：j l 1 2 ，闭环系统为： ( 2 1 0 ) ( 2 1 l a ) 第二章基于l m i 的也控制理论 彳o oo c l 0 c 2 0 qi e o d l l d 2 o 垦0 0j q 2 0 噬噬 毽 ( 2 1 l b ) 淝2 。5 气b 。u n d e dr e a ll 一曲连续情肌对于系统 半 ，如下陈述 ( i ) a 稳定，i i d + c ( s i b ) 。1 8 0 1 5 降b p 朋- i d * 亿12)cd i rr i o ( 2 1一，i 定理2 2 【1 3 1 对连续系统( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，如下陈述等价： b k c + ( b k c ) 7 + q 0 ， b 宰牛 避ip a + a r p 码o 0 p b 一i 珥。 i q ： c 1 日 一， 一；一t 一百一瓦：一丁 证明：根据有界实引理，并将( 2 8 ) ，( 2 9 ) 中的参数代a ( 2 1 2 ) ，贝j j