矩阵论—Jordan标准形.ppt

机动目录上页下页返回结束,数学科学学院陈建华,矩阵论,机动目录上页下页返回结束,1.3Jordan标准形,一、-矩阵,二、Jordan标准形,三、Jordan标准形简单应用,目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan矩阵。,1.定义,设P是一个数域，是一个文字，作多项式环,P.,一个矩阵，如果它的元素是的多项式，即,P的元素,就称为-矩阵.,讨论-矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上,关于若尔当标准形的主要定理.,因为数域P中的数也是P的元素，所以在,-矩阵中也包括以数为元素的矩阵.,一、-矩阵,矩阵称为数字矩阵.,以下用A()，B()，等,表示-矩阵.,我们知道，P中的元素可以作加、减、乘,三种运算,并且它们与数的运算有相同的运算规律.,而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法,与乘法，因此，我们可以同样定义-矩阵的加法,与乘法,它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.,把以数域P中的数为元素的,行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此,同样可以定义一个nn的-矩阵的行列式.,一般地，-矩阵的行列式是的一个多项式,它与,数字矩阵的行列式有相同的性质.,例如,对于-矩阵的行列式，矩阵乘积的行列式,等于行列式的乘积，,这一结论，显然是对的.,既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念.,利用这个概念，我们有秩和可逆矩阵等。,秩如果-矩阵A()中有一个r(r1),级子式不为零，而所有r+1级子式(如果有的话),全为零，则称A()的秩为r.,零矩阵的秩规定为零。,可逆矩阵一个nn的-矩阵A()称为可逆,的，如果有一个nn的-矩阵使,A()B()=B()A()=E,(1),这里E是n级单位矩阵.,适合(1)的矩阵B()(它,是唯一的)称为A()的逆矩阵，记为A-1().,定理1一个nn的-矩阵A()是可逆的,充分必要条件是行列式|A()|是一个非零数.,证明,先证充分性.,设,d=|A()|,是一个非零的数.,A*()是A()的伴随矩阵，它也,是一个-矩阵，而,因此，A()可逆.,再证必要性.,设A()可逆，则有,A()B()=B()A()=E,上式两边取行列式，得,|A()|B()|=|E|=1.,因为|A()|与|B()|都是的多项式，所以由它,们的乘积是1可以推知，它们都是零次多项式，,也就是非零的数.,证毕,例1求下列-矩阵的秩,秩为3,秩为2,例2下列-矩阵中，哪些是可逆的？若可,逆求其逆矩阵.,初等变换的定义,定义下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：,(1)矩阵的两行(列)互换位置；,(2)矩阵的某一行(列)乘以非零常数c；,(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的(),倍，()是一个多项式.,和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.,2.-矩阵的Smith标准形,三种初等变换对应三个初等矩阵,同样地，对一个sn的-矩阵A()作一次,初等行变换就相当于在A()的左边乘上相应的ss,初等矩阵；,对A()作一次初等列变换就相当于在,A()的右边乘上相应的nn的初等矩阵.,初等矩阵都是可逆的，并且有,P(i,j)-1=P(i,j),P(i(c)-1=P(i(c-1),P(i,j()-1=P(i,j(-).,由此得出初等变换具有可逆性：,设-矩阵A()用,初等变换变成B()，这相当于对A()左乘或右乘,一个初等矩阵.,再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(),就变回A()，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由,B()可用初等变换变回A().,我们还可以看出在第,二种初等变换中，规定只能乘以一个非零常数，这,也是为了使P(i(c)可逆的缘故.,-矩阵的等价,定义-矩阵A()称为与B()等价，,可以经过一系列初等变换将A()化为B().,等价的性质:,等价是-矩阵之间的一种等价关系。,如果,-矩阵等价的条件：,矩阵A()与B()等价的充分必要条件是有一,系列初等矩阵P1,P2,Pl,Q1,Q2,Qs使,A()=P1P2PlB()Q1Q2Qs.,-矩阵的标准形,本段主要是证明任意一个-矩阵可以经过,初等变换化为Smith标准形.,引理,设-矩阵A()的左上角元素a11()0，,并且A()中至少有一个元素不能被它除尽，那么,一定可以找到一个与A()等价的矩阵B()，它的,左上角元素也不为零,但是次数比a11()的次数低.,证明,根据A()中不能被a11()除尽的元素,所在的位置，分三种情况来讨论：,1)若A()的第一列中有一个元素ai1()不能,被a11()除尽，则有,ai1()=a11()q()+r(),其中余式r()0，且次数比a11()的次数低.,对A()作初等行变换.,把A()的第i行减去,第1行的q()倍，得：,再将此矩阵的第1行与第i行互换，得：,B()左上角元素r()符合引理的要求，故B(),即为所求的矩阵.,2)在A()的第一行中有一个元素a1i()不能,被a11()除尽，这种情况的证明与1)类似，但是,对A()进行的是初等列变换.,3)A()的第一行与第一列中的元素都可以被,a11()除尽，但A()中有另一个元素aij()(i1,j1)不能被a11()除尽.,设,ai1()=a11()().,对A()作下述初等行变换：,=A1().,矩阵A1()的第一行中，有一个元素,aij()+(1-()a1j(),不能被左上角元素a11()除尽，这就化为已经证,明了的情况2).,证毕,定理2任意一个非零的sn的-矩阵A(),都等价于下列形式的矩阵,其中r1,di()(i=1,2,r-1)是首项系数为1,的多项式，且,di()|di+1()(i=1,2,r-1).,证明,经过行列调动之后，可以使得A()的,左上角元素a11()0，如果a11()不能除尽A(),的全部元素，,由,可以找到与A()等价的,B1()，它的左上角元素b1()0，并且次数比,a11()低.,如果b1()还不能除尽B1()的全部元素,由引理，又可以找到与B1()等价的B2()，它的,左上角元素b2()0，并且次数比b1()低.,如此,下去，将得到一系列彼此等价的-矩阵A(),B1(),B2(),.,它们的左上角元素皆不为零，而,且次数越来越低.,但次数是非负整数，不可能无止,境地降低.,因此在有限步以后，我们将终止于一个,-矩阵Bs()，它的左上角元素bs()0，而且,可以除尽Bs()的全部元素bij()，,bij()=bs()qij()，,对Bs()作初等变换：,即,在右下角的-矩阵A1()中，全部元素都是可以,被bs()除尽的,因为它们都是Bs()中元素的组合.,如果A1()O，则对于A1()可以重复上述过,程，进而把矩阵化成,其中d1()与d2()都是首项系数为1的多项式,(d1()与bs()只差一个常数倍数)，而且,d1()|d2()，,d2()能除尽A2()的全部元素.,如此下去，A()最后就化成了所要求的形式.,证毕,最后化成的这个矩阵称为A()的标准形.,例3用初等变换把下列-矩阵化为标准形.,行列式因子,在上一段，我们讨论了-矩阵的标准形，其,主要结论是：任何-矩阵都能化成标准形.,但是,矩阵的标准形是否唯一呢？,答案是肯定的.,为了证,明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念.,3.行列式因子与不变因子,不变因子,设-矩阵A()的秩为r，对于正整数k，,1kr，A()中必有非零的k级子式.,A(),中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式,Dk()称为A()的k级行列式因子.,由定义可知，对于秩为r的-矩阵，行列式,因子一共有r个.,行列式因子的意义就在于，它在,初等变换下是不变的.,行列式因子,性质,定理3等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级,行列式因子.,证明,我们只要证明，-矩阵经过一次初等,行变换，秩与行列式因子是不变的.,设-矩阵A()经过一次初等行变换变成B(),f()与g()分别是A()与B()的k级行列式因子.,我们证明f()=g().,下面分三种情形讨论.,1)A()经初等行变换(1)变成B().,这时B(),的每个k级子式或者等于A()的某个k级子式,者与A()的某一个k级子式反号,因此f()是B(),的k级子式的公因式，从而f()|g().,2)A()经初等行变换(2)变成B().,这时B(),的每个k级子式或者等于A()的某个k级子式,者等于A()的某一个k级子的c倍,因此f()是,B()的k级子式的公因式，从而f()|g().,或,或,3)A()经初等行变换(3)变成B().,这时B(),中那些包含i行与j行的k级子式和那些不包含i行,的k级子式都等于A()中对应的k级子式；,B()中,那些包含i行但不包含j行的k级子式，按i行分,成两部分，而等于A()的一个k级子式与另一个,k级子式的()倍的和，也就是A()的两个k,级子式的组合.,因此f()是B()的k级子式的公,因式，从而f()|g().,对于列变换，可以完全一样地讨论.,总之，如,果A()经一次初等变换变成B()，那么,f()|g().,但由于初等变换是可逆的，B()也可以经一次初,等变换变成A().,由上讨论，同样应有,g()|f().,于是f()=g().,当A()的全部k级子式为零时，B()的全部,k级子式也就为零；,反之亦然.,因此，A()与B()既有相同的各级行列式因,子，又有相同的秩.,证毕,标准形的唯一性,标准形的行列式因子,设标准形为,其中d1(),d2(),dr()是首项系数为1的多项,式，且di()|di+1()(i=1,2,r-1).,不难证明,在这种形式的矩阵中，如果一个k级子式包含的行,与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为,零.,因此，为了计算k级行列式因子，只要看由,i1,i2,ik行与i1,i2,ik列(1i1i2ikr),组成的k级子式就行了，,而这个k级子式等于,显然，这种k级子式的最大公因式就是,定理4-矩阵的标准形是唯一的.,证明,设(1)是A()的标准形.,由于A()与,(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，,因此，A()的秩就是标准形的主对角线上非零元,素的个数r;,A()的k级行列式因子就是,于是,(3),这说明A()的标准形(1)的主对角线上的元素是被,A()的行列式因子所唯一确定的，所以A()的标,准形是唯一的.,证毕,不变因子,定义标准形的主对角线上非零元素,d1(),d2(),dr(),称为-矩阵A()的不变因子.,性质,定理5两个-矩阵等价的充分必要条件是,它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的,不变因子.,证明,等式（2）与（3）给出了-矩阵的行,列式因子与不变因子之间的关系.,这个关系式说明,行列式因子与不变因子是相互确定的.,因此，说两,个矩阵有相同的各级行列式因子，就等于说它们有,相同的各级不变因子.,必要性已由定理3证明。,充分性是很明显的.,因为若-矩阵A()与B(),有相同的不变因子，则A()与B()和同一个标准,形等价，因而它们也等价.,证毕,例4试求下列矩阵的不变因子:,定义,现在我们假定讨论中的数域是复数域C.,上面已经看到，不变因子是矩阵的相似不变量.,为了得到若尔当标准形，再引入初等因子。,把矩阵A(或线性变换A)的每个次数大于零,的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，,所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计,算)称为矩阵A(或线性变换A)的初等因子.,4.初等因子,例如设12级矩阵的不变因子是,(-1)2(+1)(2+1)2.,按定义，它的初等因子有7个，即,(-1)2,(-1)2,(-1)2,(+1),(+1),(-i)2,(+i)2.,其中(-1)2出现三次，+1出现二次.,不变因子与初等因子的关系,首先，假设n级矩阵A的不变因子,d1(),d2(),dn(),为已知.,将di()(i=1,2,n)分解成互不相同,的一次因式方幂的乘积：,则其中对应于kij1的那些方幂,就是A的全部初等因子.,我们注意到不变因子有,一个除尽一个的性质，即,di()|di+1()(i=1,2,n-1),从而,因此在d1(),d2(),dn()的分解式中，属于同,一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即,k1jk2jknj(j=1,2,r).,这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方次最高的必定出现在dn()的分解式中，方次次,高的必定出现在dn-1()的分解式中.,如此顺推下,去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子,在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.,上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩,阵的级数唯一地作出不变因子的方法.,设一个n级,矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将,同一个一次因式(-j)(j=1,2,r)的方幂的,那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的,个数不足n时，就在后面补上适当个数的1，使得,凑成n个.,设所得排列为,于是令,则d1(),d2(),dn()就是A的不变因子.,这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数,字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变,因子，因而它们相似.,反之，如果两个矩阵相似，,则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初,等因子.,综上所述，即得：,定理8两个同级复数矩阵相似的充分必要条是它们,有相同的初等因子.,初等因子的求法,初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.,但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而,方便一些.,在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明,关于多项式的最大公因式的一个性质：,如果多项式f1()，f2()都与g1()，g2()互素，则,(f1()g1(),f2()g2()=(f1(),f2()(g1(),g2().,事实上，令,(f1()g1(),f2()g2()=d(),(f1(),f2()=d1(),(g1(),g2()=d2().,显然，,d1()|d(),d2()|d().,由于(f1(),g1()=1,故(d1(),d2()=1，因而,d1()d2()|d().,另一方面，由于,d()|f1()g1(),可令,d()=f()g(),其中f()|f1(),g()|g1().,由于,(f1(),g2()=1,故(f(),g2()=1.,由f()|f2()g2()又得f()|f2()，因而,f()|d1().,同理g()|d2().,所以,d()|d1()d2().,于是,d()=d1()d2().,证毕,引理设,如果多项式f1()，f2()都与g1()，g2()互素，,则A()和B()等价.,下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，,它不必事先知道不变因子.,定理9首先用初等变换化特征矩阵E-A,为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不,相同的一次因式方幂的乘积，,式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全,部初等因子.,则所有这些一次因,证明,设E-A已用初等变换化为对角形,其中每个hi()的最高项系数都为1.,将hi()分,解成互不相同的一次因式方幂的乘积：,我们现在要证明的是，对于每个相同的一次,因式的方幂,在D()的主对角线上按递升幂次排列后，得到的,新对角矩阵D()与D()等价.,此时D()就是,E-A的标准形而且所有不为1的,就,是A的全部初等因子.,为方便起见，先对-1的方幂进行讨论.,令,于是,而且每个,都与gj()(j=1,2,n)互,素.,如果有相邻的一对指数ki1ki+1,1,则在D(),中将,与,对调位置，而,其余因式保持不动.,根据,与,等价.,从而D()与对角矩阵,等价.,然后对D1()作如上的讨论.,如此继续进行,直到对角矩阵主对角线上元素所含-1的方幂是,按递升幂次排列为止.,依次对-2,-r作,同样处理，最后便得到与D()等价的对角矩阵,D()，它的主对角线上所含每个相同的一次因式,的方幂，都是按递升幂次排列的.,证明,例5已知-矩阵A()的初等因子，秩r与,阶数n，求A()的标准形.,机动目录上页下页返回结束,(1)解,把A()的初等因子,令,机动目录上页下页返回结束,则d1(),d2(),d3(),d4()是A()的不变因子.,以A()的标准形为,机动目录上页下页返回结束,(2)解,把A()的初等因子,按降幂排成如下两行，每行3个因子(因A()的秩,令,等于3):,机动目录上页下页返回结束,则d1(),d2(),d3()是A()的不变因子.,所以,A()的标准形为,例6求下列矩阵的不变因子，行列式因子与,初等因子,机动目录上页下页返回结束,(1)解,把E-A化为标准形,初等变换,所以不变因子为,行列式因子为,初等因子为,(2)解,把E-B化为标准形,初等变换,所以不变因子为,行列式因子为,初等因子为,机动目录上页下页返回结束,二、Jordan标准形,Jordan标准形的存在定理,任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下Jordan标准形：,其中,称为Jordan块矩阵。,为A的特征值，可以是多重的。,机动目录上页下页返回结束,说明：（1）2阶以上Jordan块矩阵一定不能对角化；,（4）Jordan标准形是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan块矩阵的位置可以变化。,（5）Jordan标准形中各Jordan块矩阵的阶数均为1时，即为对角形矩阵。,机动目录上页下页返回结束,Jordan矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB,元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan矩阵,机动目录上页下页返回结束,2.Jordan标准形的求法,方法一特征向量法,P9-10,注：1.属于某一个特征值的若当块个数由它的几何维数确定。2.该方法只适用于阶数较低的矩阵,机动目录上页下页返回结束,例7求下列矩阵的Jordan标准形。,1的几何维数是1，故它对应一个若当块。,2的几何维数是2，故它对应两个若当块。,机动目录上页下页返回结束,方法二初等因子法,（1）求出特征多项式,的初等因子组，设为,（2）写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个Jordan块矩阵）,（3）合成Jordan矩阵：,例8求下列矩阵的Jordan标准形。,由例6A初等因子为：,B初等因子为：,机动目录上页下页返回结束,方法三行列式因子法,（1）求E-A的各阶行列式因子,（2）求E-A的各阶不变因子,（3）求E-A的初等因子，确定Jordan标准形。,机动目录上页下页返回结束,例9求下列矩阵的Jordan标准形。,机动目录上页下页返回结束,第1-4行与第1、2、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为,机动目录上页下页返回结束,第1、2、3、5行与1、3、4、5列交叉的元素形成的四阶子式为,机动目录上页下页返回结束,这两个子式的公因式为1，故,机动目录上页下页返回结束,第1-5行与第1、2、3、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为,机动目录上页下页返回结束,第1、2、3、5、6行与第1、3、4、5、6列交叉的元素形成的五阶子式为,机动目录上页下页返回结束,其它五阶子式均含,