（语言学及应用语言学专业论文）维特根斯坦和哥德尔定理.pdf

论文摘要 1 9 5 6 年，维特根斯坦的r e m a r k so nt h ef o u n d a t i o no fm a t h e m a t i c s 一书出版。这本书得到的 评价与哲学研究截然不同。在很长一段时间罩，维特根斯坦的数学哲学都被认为价值较低， 甚或不知所云，亲维特根斯坦的研究者常常也感到难以为其辩护。 其中两个具体的问题的批评之声尤甚。一个是维特根斯坦对矛盾的评论，另一个是他对哥德 尔定理的评论。不少名家认为，维特根斯坦没弄懂哥德尔定理就胡乱评论，哥德尔本人读过其中 几段之后，称其毫无意义。如此权威的批评使人们加深了原本就有的印象：维特根斯坦的全部数 学哲学非常可疑。 1 9 8 8 年至今，开始有一些学者试图为维特根斯坦辩护，维特根斯坦论哥德尔俨然成了个热门 的题目。本文的动机也正是要为维特根斯坦辩护。 本文首先介绍了哥德尔定理及其背景，并通过对微积分史的一个研究，描述了古代数学到近 代数学的转变。随后，对维特根斯坦后期的数学哲学作了介绍：既提及维特根斯坦数学哲学的要 点，同时也要理解它们。论文还为“维特根斯坦论矛盾 提供了一个辩护。论文的最后一部分概 述了“维特根斯坦论哥德尔”的研究现状，提出了为维特根斯坦辩护的一条思路。 本文的结论是：维特根斯坦对哥德尔定理的评论是可以辩护的，即便不是以反对者们设 想的那种方式。澄清这个论题，有助于我们关注或承认维特根斯坦数学哲学的价值，进而为批评 当代分析哲学提供一条“釜底抽薪”的线索。 关键词：维特根斯坦，哥德尔定理，数学基础，自然推理，必然性 a b s t r a c t r e m a r k so nt h ef o u n d a t i o no fm a t h e m a t i c sw a sp u b l i s h e di n1 9 5 6 c o m p a r e dw i t hw i t t g e n s t e i n s m a j o rw o r kp h i l o s o p h i c a li n v e s t i g a t i o n ，t h i sb o o kg o tav e r yd i f f e r e n tr e p u t a t i o n i n al o n gt i m e ， w i t t g e n s t e i n sp h i l o s o p h y o fm a t h e m a t i c sh a v eb e e nc o n s i d e r e dt ob eo fv e r yl i t t l ev a l u e ，o r u n i n t e l l i g i b l e e v e ns y m p a t h i z i n gs c h o l a r so f t e nf e e li ti sd i f f i c u l tt od e f e n d t h e r ea r et w os u b j e c t sw h i c hh a v er e s e i v e de s p e c i a l l ys e v e r ec r i t i c i s m o n eo ft h e mi s w i t t g e n s t e i n sr e m a r k sa b o u tc o n t r a d i c t i o n ；a n o t h e ri sh i s r e m a r k sa b o u tg 6 d e l st h e o r e m m a n y f a m o u ss c h o l a r st h o u g h tw i t t g e n s t e i nw a sm a k i n gr a n d o mr e m a r k sw h i l eh ed i d n tu n d e r s t a n dg 6 d e l s t h e o r e m g 6 d e ih i m s e l f , a f t e rr e a d i n gs o m eo ft h o s er e m a r k s ，s a i d 。i ts e e m sn o n s e n s et om e s u c h c r i t i s i z md e e p e np e o p l e si m p r e s s i o n ：t h ew h o l ep h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c sb yw i t t g e n s t e i ni s d i s t r i l l s t f u l s i n c e1 9 8 8 ，。w i t t g e n s t e i no ng s d e l s e e m st oh a v eb e c o m eah o ts u b j e c t s o m es c h o l a r sh a v e b e e nt r y i n gt od e f e n df o rw i t t g e n s t e i n t h ei n i t i a lm o t i v eo ft h i sp a p e ri sa l s ot h i s a tf i r s t ，t h i sp a p e rg i v e sa ni n t r o d u c t i o no fg 6 d e l st h e o r e ma n di t sb a c k g r o u n d a tt h es a m et i m e ， i td e s c r i b e st h ec h a n g ef r o ma n c i e n tm a t h e m a t i c st om o d e r nm a t h e m a t i c st h r o u g has t u d yo fc a l c u l o u s a f t e rt h a t ，i tt r i e st o 。i n t r o d u c e p h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c so fl a t t e rw i t t g e n s t e i n ：n o to n l yt ob r i n g f o r w a r dm a j o rp o i n t so fw i t t g e n s t e i n ，b u ta l s ot ou n d e r s t a n dt h e m p a r t i c u l a r l yi tg i v e saj u s t i f i c a t i o n f o rw i t t g e n s t e i n sr e m a r k sa b o u tc o n t r a d i c t i o n f i n a l l y , t h i sp a p e rs u m m a r i z e sr e c e n tp a p e r s c o n c e r n i n gt h et h e m e 。w i t t g e n s t e i no ng 6 d e l , a n dp r o p o s e sa n o t h e ra p p r o a c h t od e f e n df o r w i t t g e n s t e i n t h ec o n c l u s i o no ft h i sp a p e ri s ：w i t t g e n s t e i n sr e m a r k sa b o u tg 0 d e l st h e o r e ma r ej u s t i f i a b l e - - e v e ni f i ti sd o n et h r o u g had i f f e r e n tw a yf r o mw h a tt h ec r i t i c ss u p p o s ei ts h o u l db e a n dc l a r i f y i n gt h i s t h e m ew o u l db eh e l p f u lf o ru st op a ym o r ea t t e n t i o nt oo rt oa d m i tt h ev a l u eo fw i t t g e n s t e i n s p h i l o s o p h yo fm a t h e m a t i c s ，a n di nd o i n gt h i s ，w o u l dp r o v i d ear a d i c a l c r i t i s i z ma tt h eh e a r to f c o m t e m p o r a r ya n a l y t i cp h i l o s o p h y , s u p p o s e d l y k e yw o r d s - w i t t g e n s t e i n ig s d e l 3 st h e o r e m 。f o u n d a t i o no fm a t h e m a t i c s ，n a t u r a l r e a s o n i n g ，n e c e s s i t y 书目缩写 维特根斯坦的著作 t l p p r p g r f m t r a c t a t u sl o g i c a ) - p h i l o s o p h i c u s ，d ep e a r sa n db em c g u i n n e s s ，( t r a n s ) ( l o n d o n ， r o u t l e d g e & k e g a np a u l 19 61 ) p h i l o s o p h i c a lr e m a r k s ，r r h e e s ( e d ) ，2 h ae d n , r h a r g r e a v e sa n dr w 1 1 i t e ( t r a n s ) ( o x f o r d ，b a s i lb l a c k w e l l ，19 7 5 ) p h i l o s o p h i c a lg r a m m a r , r r h e e s ( e d ) ，a j p k e n n y ( t r a n s ) ( o x f o r d ，b a s i l b l a c k w e l l ，19 7 4 ) r e m a r k so nt h ef o u n d a t i o n so fm a t h e m a t i c s ，g h y o nw d 曲t ，r r h e e sa n d g e m a n s c o m b e ( e d ) ，g e m a n s c o m b e ( t r a n s ) 3 me d n ( o x f o r d ，b a s i l b l a c k w e l l 19 7 8 ) p h i l o s o p h i c a li n v e s t i g a t i o n s ，g e m a n s c o m b ea n dr r h e e s ( e d s ) ，g e m a n s c o m b e ( t r a n s ) ，2 衄e d n ( o x f o r d ，b a s i lb l a c k w e l l ，19 5 8 ) 维特根斯坦的讲座笔记 a 缪三 l f m w i t t g e n s t e i n sl e c t u r e s ，c a m b r i d g e19 3 2 19 3 5 ，a a m b r o s e ( e d ) ( o x f o r d ，b a s i l b l a c k w e l l ，19 7 9 ) w i t t g e n s t e i n sl e c t u r e so nt h ef o u n d a t i o n so fm a t h e m a t i c s ，19 3 9 ，c d i a m o n d ( e d ) ( h a s s o c k s ，s u s s e x ，t h eh a r v e s t e rp r e s s ，19 7 6 ) 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知， 除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 乏亏艺 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国 家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复 制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将 学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：夏扃艺 日期：钐口口i ， 导师躲心馅嫂 日期： 斗文彳 b 寸百 1 9 5 6 年，维特根斯坦去世5 年之后，r e m a r k so nt h ef o u n d a t i o no fm a t h e m a t i c s 出版。同他的 大部分著作一样，这本书由他的学术遗嘱执行人从他的遗稿中选编。到1 9 7 8 年此书第三版时，编 辑作了修订，内容增加到4 0 0 多页。但维特根斯坦一生所写下的数学哲学笔记远远大于这个篇幅。 最初在曼彻斯特学习工程时，维特根斯坦因为对数学感兴趣，读了罗素和弗雷格的数学基础著作， 而后才投到罗素门下学习哲学。一开始维特根斯坦就与数学哲学结缘。有趣的是，1 9 2 9 年维特根 斯坦重回剑桥研究哲学，据说又是因为听了直觉主义数学家布劳威尔的一次讲座。三四十年代， 他写下了大量对数学基础的评论，其中的一部分收进了后来出版的p h i l o s o p h i c a lr e m a r k s 、 p h i l o s o p h i c a lg r a m m a r 等书中。 通常认为维特根斯坦的后期代表作哲学研究与他的数学哲学并无太大关系。但是，按维 特根斯坦的原计划，哲学研究中遵行规则的部分结束之后，接下来要做的并不是对心理概念的 考察，而是对数学基础的考察。 1 9 4 4 年初时，有这么件轶事。j o h nw i s d o m 为一本名人辞典撰写“维特根斯坦”词条，他把 拟稿给维特根斯坦过目，维特根斯坦只在结尾处加了一句话：“他的首要贡献在于数学哲学。”1 几 个月后，维特根斯坦就把重心移到了心理哲学。但r a ym o n k 说，“尽管如此，维特根斯坦继 续把他对数学的评论视为哲学研究的一部分。因此在1 9 4 5 年写下的哲学研究序言中， 他仍旧把数学基础列为此书的主题之一，而直到1 9 4 9 年他还在笔记中写道：我想把我的哲 学研究中对数学的考察称为“数学的开端 。2 r f m 的第一部分，其原始打印稿是哲学研究一个早期版本的后半部分。事实上这部分的 起首两节与哲学研究的1 8 9 、1 9 0 两节几乎完全相同。由此也能依稀想见它与哲学研究 的关系。 可是，r f m 出版之后，得到的评价与哲学研究截然不同。在很长一段时间罩，维特根斯 坦的数学哲学都被认为价值较低，甚或不知所云，亲维特根斯坦的研究者常常也感到难以为其辩 护。批评者不乏g e o r gk r e i s e l 、p a u lb e r n a y s 、r l g o o d s t e i n 这样的名家3 。尤其是k r i s e l ，他不仅 是有名的逻辑学家和数学家，还在三四十年代跟随维特根斯坦学习过哲学，他的批评显得相当权 威。 有两个具体的问题的批评之声尤甚。一个是维特根斯坦对矛盾的评论，另一个就是他对哥德 尔定理的评论。后者的判词则更为铁板钉钉。这是因为，维特根斯坦对哥德尔定理的评论数量不 多、容易判断，而且，在这些评论中他似乎并不了解哥德尔定理是怎么回事。哥德尔本人读过其 中的几段评论之后，称其毫无意义( 见第三章) 。这些使人们放心地宣称维特根斯坦没弄懂哥德尔 定理就胡乱评论。更进一步的，这个例子又使人们加深了原本有的印象：维特根斯坦的全部数学 哲学非常可疑。 1 r a ym o n k , w i t t g e n s t e i n ：t h ed u t yo fg e n i u s ，p 4 6 6 r a ym o n k , w i t t g e n s t e i n ：t h ed u t yo fg e n i u s ，p 4 6 7 3 参见s m a r ts h a n k e r 主编，l u d w i gw i t t g e n s t e i n ：c r i t i c a la s s e s s m e n t sv o l u m et h r e e 中收集的论文。 直到1 9 8 8 年，s g s h a n k e r 才为“维特根斯坦论哥德尔 作了第一个全面的辩护。随后，9 0 年代至今，又有不少学者作出这样的努力，如j u l i e tf l o y d ，h i l a r yp u t n a m ，v i c t o rr o d y c h 等。“维 特根斯坦论哥德尔”俨然成了个热门的题目( 详见第三章) 。本文的动机也正是要为维特根斯坦辩 护。 本文主要分为四章。第一章本意是要介绍哥德尔定理及其背景。哥德尔定理是在形式主义的 方向上作出的贡献，形式主义的背景是2 0 世纪初数学基础的热潮，当时，集合论悖论、罗素悖 论等悖论形成了所谓的第三次数学危机。但数学基础的肇始在1 9 世纪，弗雷格、罗素、皮亚诺 等人在悖论出现之前就已在为数学奠基。而“奠基”可再追溯到1 9 世纪的分析算术化。要介绍 哥德尔定理的背景，把这些交待清楚是题中之意。在写作过程中，我发觉若将微积分的历史追思 一遍，将是一举两得之事。一方面这有助于说明分析算术化的背景，另一方面，它同时还可以是 一个哲学考察，与维特根斯坦的数学哲学有着密切联系。因此，第一章起到了两个作用，一是介 绍了哥德尔定理，二是通过对微积分史的考察，描述了古代数学到近代数学的转变：从绝对真理 到绝对推理。近代以来，数学明确拒绝自然推理，拒绝形而上学公理，而要求算术化，要求形式 化，“数学真理”的观念逐渐被“绝对推理”的观念所取代。 第二章介绍维特根斯坦后期的数学哲学。但它并非一个概述，而是两种努力的混合：既要提 及维特根斯坦数学哲学的要点，同时也要理解它们。第二章或许是全文最重要的部分。可以想见， 维特根斯坦对哥德尔定理的评论，只能在维特根斯坦的数学哲学背景下才能获解。而且，它本就 该是个引子，由它引出对维特根斯坦数学哲学的理解，才是最有意义的。这一章也是最艰难的。 但它当然没有介绍维特根斯坦的全部数学哲学。回过头看，它主要谈论的是“必然性”，逻辑必然 性和数学必然性，我相信这一点是维特根斯坦数学哲学的一个核心之处。它自然地与维特根斯坦 对逻辑主义和形式主义以及数学基础观念的批评紧密相关4 。同时，第二章也对第一章提出的一些 问题作了进一步思考。比如说，维特根斯坦并不反对“近代数学的形式化”，但指出人们往往夸大 或误解“形式化的意义。在某种意义上数学从来就是形式化的，只不过近代数学家明确地排除 自然推理。但若就此把数学的必然性理解为“绝对的推理”，将是非常误导的。最后，势所必然的， 第二章对另一著名问题，即“维特根斯坦论矛盾”，尽力作出了一个辩护。 第三章具体谈维特根斯坦对哥德尔定理的评论。首先介绍了s h a n k e r 和f l o y d 为维特根斯坦辩 护的几篇论文。这几篇论文提供了很好的全景。我并未试图再提供一个全景的辩护，但前两章和 第三章连起来，也可视作提供了一个全景。最后我作了几点评论，提出了我为维特根斯坦辩护的 一条思路。 第四章是一个简短的总结。 4 维特根斯坦对直觉主义也有批评，但本文并未专题谈论。 2 第一章哥德尔定理 第一节数学真理：哲学家的观念 数学一直是西方哲学家关注的一门学问。不少著名的哲学家自己就是一流的数学家，比如笛 卡尔、莱布尼茨、帕斯卡尔和罗素。数学哲学成为一个专门的哲学分支，是1 9 0 0 年左右的事。 这一时期，数学哲学与数学基础的工作是相互交叉的。可以说，现代对数学哲学的热情，相当程 度上来自于为数学奠基的要求。这种要求是近代以来才有的。在数学的漫长历史中，数学通常都 被视为确定知识的典范。虽然哲学家对于数学的对象和本性是什么，向来有着不同的看法，但他 们几乎都没有怀疑过数学的真理性。然而到了近代，如克莱因的书名数学：确定性的丧失所 暗示的，人们开始怀疑这一点了。 古代数学和现代数学的差异，为解释这个转变提供了一个角度。简单地说，古代数学倾向于 留在大地上，现代数学则飞到了缥缈的大气层之外。“正如我们可以从尼柯玛库斯的算术引论 中看到的那样，在古代的数学观念中，数只有有限的几种类型。尽管我们可以脱离任何被计数的 东西而对数本身进行处理，但一个数总是被数的东西的数量。所以它总是正整数。”5 无论柏拉图 或亚里士多德对数学对象的看法有多少分歧，一个基本的事实是，古代数学拒绝负数、无理数甚 至分数这类“不可理解的数。古代的几何或算术，其对象看起来总像是实际存在的东西。而到 了现代，随着代数、抽象数学的发展，数学的对象直觉上就己变成了一些子虚乌有的东西。虚数 就是一个典型的例子。 如此一来，古代数学自然地就有了某种基础。现实世界是不可能彼此矛盾的，这是矛盾律的 坚定信念。即使在现代数理逻辑中，这一信念依然屹立。数理逻辑当中有这么一条定理：如果一 个形式理论有一个模型，那么它就是一致的。也就是说，只要有一个解释把此理论诸公理中的符 号对应到现实中的此物彼物之后，使得这些公理是真的，那么这些公理就是一致的，不可能从中 推出矛盾。按照这个信念，既然古代数学的对象似乎是现实中的，那么，只要公理似乎是对的， 推理步步必然，那么就不可能推出任何矛盾。欧式几何就是这么个系统。虽然大家一向都承认， 欧式几何的点、直线、圆是理想化的，但它们当然比虚数、超穷数更接近现实，甚而人们情愿说 它们是另一种现实。而欧式几何的公理又是那么的显然正确，因此，古代不会有什么人怀疑会在 欧式几何里推出矛盾。矛盾则被用来证明某个假设是错误的反证法本身就说明了欧式几何一 致性( 以及排中律对其适用) 的不可怀疑。 反证法现在依然是最重要的数学方法之一。不过在现代数学里，“无矛盾 与其说是自然信念， 不如说是要求。非欧几何出现之后，人们开始认为欧式几何并非关于空间的真理，欧式几何的公 理并无独特的真理地位。彭加勒说：“几何学公理是一些惯例。我们在所有可能的惯例中所作 的选择是受到实验事实的指导的。不过，尽管如此，它们仍然是自由的，而唯一能够对它形成限 5 西方大观念，第一卷，8 7 5 页。 3 制的，只是避免出现矛盾的需要”6 无论是欧式几何还是非欧几何，不过是一些纯形式的推导 而已，没有什么东西来保证它们不会推出矛盾，因此，现代数学家觉得有必要证明欧式几何的一 致性。 在柏拉图的c h a r m i d e s 中，苏格拉底说，“算数的技艺要处理的就是奇数和偶数的数量关系以 及相互关系。”7 哲学家们大多都同意，代数的对象是数，几何的对象是图形。不过进一步的解释 却可能旨趣各异。柏拉图和亚里士多德代表了古代世界的两类倾向。 一点不奇怪，柏拉图认为数和图形是独立的类似理念的实体。“虽然他们( 几何学家) 利用各 种可见的图形讨论他们，但是处于他们思考中的实际上并不是这些图形，而是这些图形所模仿的 那些东西，他们所讨论的并不是他们所画的某个特殊的正方形或某个特殊的对角线等等，而是正 方形本身，对角线本身等等”8 柏拉图的中世纪传人奥古斯丁理所当然地将此归结为上帝的荣 耀：“神他是他觉得是真理的东西得到其真的源泉，那些东西得到其真和其不可变化性的源 泉。 不过，这样的实体实在有点怪异。欧几里得在几何原本里把点定义为没有部分的东西， 把线定义为没有宽度的长度，诸如此类。一方面，所有人都看到几何学家处理的点确实不是任何 画在纸上的点，另一方面，“没有宽度的长度”这样近乎悖论的说法几乎要引起智性的痉挛。然而， 在忽略了这些定义造成的不适之后，一旦进入几何原本的各定理，一切却又变得如此自然、 顺畅和无可置疑9 。柏拉图因之将数学实体称为“假设”1 0 ：“在他们【数学家】各自的学科分支 中事先认定了奇数、偶数、图形、角的三种类型以及类似的各种东西；这些是他们的假设，是被 他们以及所有人都认作是已经知道了的东西，所以他们也就不会屈尊为他们自己或者别人给这些 东西提供任何的说明；他们所做的只是以此为起点，通过一种一致的方式不断前进，直到达到他 们的结论。”1 1 亚里士多德的一般倾向是不承认有独立于可感事物的实体。他把数学对象视为抽象的结果。 “数学家研究抽象事物( 在他开始研究前，先剥离了一切可感觉性质，如轻重、软硬、冷暖，以 及其它可感觉的诸对子，剩下的就只是量与连续) 。 ( m e t a p h y s i c sb k x lc h 3 ) “抽象”的意思是从 可感实体中拿掉一些东西后剩下来的，也许亚罩士多德不愿意称这剩下来的为实体，但数学对象 还是与实体绑在了一起数学对象似乎是实体的一个部分，是从实体中剥除可感的部分后剩下 来的东西。( 弗雷格的类的类或集合论也是如此) 这“剥离”显得很古怪，就像剥掉球的表面积一样古怪。维特根斯坦的一句话或可供参照： “每当我们的语言让我们揣测该有个实体而那里却并没有实体，我们就想说：那里有个精怪。”( 哲 学研究3 6 节) 亚里士多德在讨论数学对象是否是实体时，一如既往地诚恳和公允，答案大约也 是否定的，但其谈论的方式已经埋下了相反结论的种子。亚里士多德的中世纪传人阿奎那接受了 “抽象说，他在神学大全里写道，“被计数的事物相分离的数只存在于智性之中。”( p a r tiq 3 0 a 1r e p4 ) 6 转引自两方大观念“数学章” 7 王晓朝，柏拉图令集第一卷，1 5 2 页。 8 郭斌和，张竹朋译，理想国，第六卷，2 6 9 页。 9 这些定义的作用因而显得町疑，实际， ：，现代数学将几何形式化之后，不再需要这些定义。 1 0 欧几罩得出于柏拉图后，但这不是问题，古希腊几何早就达到很高的水准了。 1 1 郭斌和，张竹朋译，理想国，第六卷，2 6 9 页。 4 近代以来，情况有了变化。笛卡尔在d i s c o u s e 中说：“我也注意到，这些证明里面并没有什 么东西使我确信，它们( 几何学) 的对象是存在着的。然而，当我回头再看我心罩的一个完满的 是者的观念时，却发现这个观念里已经包含了存在，就像三角形的观念三角形包含着它的三只角 等于两直角，神这个极完满的是者是或者存在，这个命题至少同几何学上任何一项证明同样 可靠。1 2 笛卡尔承认几何的对象是否存在是个疑问，但他同时也怀疑其他对象的存在。怀疑切的笛 卡尔最终依赖的是确定无疑的直觉和推理，数学正是主要的幸存者。笛卡尔相信数学的真理性， 是因为数学不可怀疑。几何证明与上帝存在一样确定。这种“无可怀疑”才是要紧的，至于数学 对象是否存在，倒是次要的了。在谈“维度”时，他说，“可明显地推出，在同一个目标上可以有 无数个维度，拥有这些维度并不使对象增加任何东西，这些维度，无论是基于对象中真实的东西， 或不过是我们心灵的任意发明若只从维度的角度来看，所有这些细分都完全类似，它们 是否基于真实的东西，当由物理学研究。 比如说，笛卡尔认为年月日是基于实际事物的，而小时、 秒则是人类的发明，但这在数学中根本不重要，数学只在乎量度和次序的比较，无所谓它们是否 实际存在。 笛卡尔翻过来又说，真j 下存在的是那些不可怀疑的东西。我可怀疑自己其实在做梦，那么一 切所见皆可是幻觉，然而即便在睡梦中，2 加3 也等于5 ，正方形也刚好有4 条边。由此从不可 怀疑推出了存在。“真正的三角形包含在这个图形里，就像墨丘利的雕像包含在一块粗糙的木 头罩。但因为我们已经有了真正三角形的观念，我们当然不能只看看画在纸上的东西，就认 出几何图形，除非我们的心灵已经占有了从别处得来的它的观念。”( m e d i t a t i o n s ，1 ) 于是，在笛卡尔那里，一方面数学因其不可怀疑而有资格称为真正的存在，另一方面这“真 正的存在”又无所谓是否“实际存在 。就像物理学家一边说，“电子”是否存在并不重要，重要 的是数学公式，一边又说，其实存在的不是桌子，而是一堆电子。看似矛盾的说法，背后是“存 在 意义的翻转。存在的不再是与感觉牵连着的现实，而是死硬的非人的“数学事实”。这样的存 在就丧失了“矛盾律”的天赋豁免权，不得不在后天自己打拼来争取地位。万一“不可怀疑”的 欧式几何中出了值得怀疑的状况呢? 负数、虚数、四元数、群和超穷数，它们凭什么就不会导出 矛盾呢? 仅仅靠“不可怀疑”，似乎难以支撑越来越不“实际存在”的数学的真理性。 然而所谓“真正的存在”怎么一来就有了呢? 笛卡尔似乎并没说清楚。洛克以讽刺的口吻写 道：“人类的心灵是否自然就印有广延和数的观念，我把这问题留给先天原则的保护人来回 答。”( h u m a nu n d e r s t a n d i n g ，b k1 ，c hl l j ，s e c t6 ) 总的来说，经验主义否认数学对象的存在。洛 克的“白板说 认为人心是一块白板，感觉印象在上面印出了简单观念。至于抽象观念，则是人 心以简单观念为原料做出的东西，并不指向任何实际存在的东西。不过，数学却仍然是不可动摇 的真理。虽然数学家说的矩形和圆并不存在，但数学家意指的是正好满足某些几何命题的矩形和 圆。换句话说，数学命题之所以是真理，皆因其为同义反复。这样，“无需存在来使抽象知识为真” ( b ki v , c hi v , s e c t5 8 ) ，数学命题之为真不是与现实符合，所以其实算不上“真正的知识”。 贝克莱则说，“因此，在算术中我们思考的不是事物，而是符号，它们不是因其自身而被思考， 1 2 笛卡尔，谈谈方法，3 0 页。 5 而是因为它们指导我们如何处理与事物的关系，并正确地安排事物。 ( h u m a nk n o w l e d g e ，s e c t 1 1 8 1 3 2 ) 他同样把数学对象看作人心的产物，并以此来反对数学中的无限( 因为人心是有限的) 。 休谟大致同意洛克和贝克莱的看法，并追随贝克莱，认为“抽象出的东西不可想象”。数学对 象不是像亚里士多德说的那样，是从事物中抽象出来的。当我们试图想象一个任意三角形时，我 们总是想象一个具体的三角形，“普遍观念实际上是个别观念”。 经验主义同样剥夺了数学对矛盾律的豁免权。“同义反复”看起来能保证数学的真理性，然而， 人心构造的复杂观念也许其定义就己隐藏着矛盾，光是同义反复似乎不足以让我们信赖。因此， 洛克本人在谈复杂观念的本质“是被设想为稳定不变的”时，也加上了一句“只要其中无矛盾 ( b ki i ic h1 1 1s e c t1 9 ) 。另一位思想家帕斯卡尔也说，“我们叫做真空的东西是一个空间，有长、 宽、高，是静止的，能够接受和包含一个同样尺寸和形状的物体。”( v a c u u m ) ，他接着说，“叫做” 不同于“断言”，定义不等于承认其存在，定义之后，若矛盾，则定义是错误的。于是，“数学真 理”仍然需要矛盾律的检验。 不止如此，“同义反复”还否定了数学真理的唯一性。你同义反复出一个欧式几何，他就能同 义反复出一个非欧几何，于是可以有多种不相兼容的数学。这是康德不能接受的。康德当然反对 “同义反复”说，因为他想证成的是牛顿物理学和数学之为真理的绝对和唯一。康德的“哥白尼 革命”将必然真理的来源归于心的先天范畴，牛顿物理学和数学的命题都属于先天综合命题。这 是一条极富意义的思路。不幸的是，数学和物理学的发展很快否定了康德的结论，非欧几何和相 对论令康德看起来像个老古董。 第二节从真理到推理以微积分为例 近代哲学对数学的反思之所以有此变化，其原由当然是复杂的，在此无法诠释。但有一点似 较清楚，即在同一个时期，数学自身也有了显著的变化。“数学研究的许多新的、广泛的领域是在 十七世纪开辟的，使得这个时期成为数学发展中最富有成果的时期。”伊夫斯是这么概述的： “这个世纪初，耐普尔发表他对对数的发现，哈利奥特和奥特雷致力于代数的记号和编纂， 伽利略创立动力学，刻卜勒宣布他的行星运动定律。这个世纪后叶，德沙格和帕斯卡开辟纯几何 的一个新领域，笛卡儿创立现代解析几何学，费尔马为现代数论奠基，惠更斯在概率论和其它领 域中作出了杰出的贡献。后来，接近这个世纪末，在一大批十七世纪数学家做好准备之后，牛顿 和莱布尼茨创造了微积分这一划时代的业绩。”1 4 伊夫斯将十七世纪称为“现代数学的开端”，并且通报说，这本数学史的处理从此将不那么平 衡。理由有二，一是发展实在太快，“以致许多人的名字必须被略去，而要是在成果比较少的时期， 他们是一定会被考虑的；二是“展开十七世纪的画面，出现了越来越多的不能被一般读者理解的 1 3 数学史概论，3 6 3 页。 1 4 数学史概论，2 9 3 页。 6 数学研究成果”。 这第二个理由值得注意。“不能理解 是什么意思? 伊夫斯似乎指现代数学的难度大大增加了， 因而无法在一本可用作大学教材的数学史中讲解清楚。然而这难度是什么性质的呢? 仅就计算而 言，几何原本中的立体几何部分相当难，康托尔的超穷数算术和对角线方法则很简单。若就理 解而言，欧式几何再复杂，其意义也相当清楚。在介绍牛顿时，伊夫斯谈到自然哲学的数学原 理中的一个定理：“与一四边形的各边相切的所有圆锥曲线的中心的轨迹是通过其两对角线中点 的直线( 牛顿线) 。”伊夫斯没有给出证明，证明看起来不会容易，但这个定理的意义却很好理解。 而超穷数的计算固然简单，其理解却相当难，激起了一大堆数学哲学的讨论。 在另一地方，伊夫斯说，“普通的大学生，只能领悟最近二三百年的材料中的极小部分；事实 上，要理解大量这类材料需要很深的数学素养。 又说，“二十世纪到现在，一般化和抽象化 已经成为当代数学的显著特征。1 5 显然，伊夫斯谈的“理解 依赖于“数学素养”。若你没学过 数理逻辑，怎么可能理解哥德尔不完全性定理呢? 这么说不仅是指你看不懂哥德尔定理的证明， 还是指，你根本不能理解哥德尔定理说的是什么。“象空间、维、收敛性和可积性( 这里只指出很 少几个) 这样的概念，经历了引人注目的一般化和抽象化的过程。 1 6 于是，若你不懂什么是“收 敛性”或“可积性”，当然不能理解由之抽象出的新的数学门类，更理解不了再由之抽象出的更一 般门类。“数学素养”似乎不仅提供解决问题的方法，还提供问题的意义。 这个特点看起来不是数学独有的。不了解术语的意思，当然无法了解问题的意义。不光是自 然科学，在人文学科中，专业期刊里头也尽是看不懂的术语。当问题恰好是研究这些术语之间的 关系时，其意义自然也就无着落了。不过在现代数学中，我们不理解的不仅仅是其中的某些术语， 我们根本不理解其基本概念。或者说，其基本概念都是术语。不仅群论的拉格朗日定理让人一头 雾水( “有限群g 的子群的阶是g 的阶的因子”) ，整个群论都有点让人摸不着头脑。而在譬如说 哲学中，近代的专业化确实产生了许多术语，但其基本概念和基本问题仍直接连到我们的自然理 解，难解是难解，终有家园可归门径可寻。 不过，公平地说，譬如群论也不是凭空得来的，而是“抽象化和一般化”得来的。在抽象数 学中，例子的重要性超出一般的想象。固然数学家说，自然数是某某群的一个实例，或者初等算 术可以如何规约为集合论数学，可这种规约颇为可疑。维特根斯坦就对这样的还原论提出了尖锐 批评。抽象数学与其数学实例之间的关系不止这么简单。那么，群论的基本概念是否能以自然数 为桥梁，连接到自然理解呢? 我们首先要问，自然数是否连接到自然理解昵? 既然是“自然数”，自然是自然的。不过，问 题恰恰是，当后世将自然数看作群的一个实例时，便已不再把自然数当成自然的了。这样简单的 概念游戏，就似乎能切断群论回到自然理解的道路。这是因为，抽象数学不单单进入了数学，而 且似乎占领了数学，成为新的典型的数学，旧的数学都要照此改造。抽象数学生来就是要跟自然 理解断绝关系的，数学家对此也乐意承认，虽然他们更喜欢用的词是“直觉”而不是“自然理解”。 于是在数学史中，便有这样一条逐渐脱离“直觉”的线索1 7 。这条线索与数学哲学史的线索 似乎是平行的，引向的结论都是只需对数学作逻辑限制。也许微积分的发展史能提供一个更具体 1 5 数学史概论，4 0 3 - 4 0 4 页。 1 6 数学史概论，4 0 4 页。 1 7 但后文将对这个说法提出某种异议。 7 的画面。 古希腊的无穷小概念 卡尔波耶在微积分概念发展史中说： “微积分起源于古希腊数学家在试图表达其关于直线的比率或比例的直觉观点时所遭遇的逻 辑困境，他们认为数是离散的，按照数的观点，迷迷糊糊地认为直线是连续的。这样一来，几乎 立刻就涉及在逻辑上不够满意( 但是在直觉上很吸引人) 的无穷小概念。然而，古希腊严密的思 想却将无穷小排除在几何证明之外，并代之以穷竭法它避开了芝诺悖论所展示的困境。”1 8 波耶所说的“直线比例的逻辑困境”是指毕达哥拉斯学派发现无理数。其实，说他们发现“无 理数”是不正确的，因为当时并没有这样的概念。数和量( 几何幅度) 的性质直觉上不同，前者 ( 正整数) 是离散的，后者是连续的。算术和几何是两门分开的学问。两条线段之比并不被看作 一个数，比例就是比例，与数不同。当毕达哥拉斯学派“试图等同数与量的范畴”时，他们是想 要把线段之比等同于数之比。由于正方形对角线与边的不可公度性，这事做不成。但他们并没把 这个比视为一个数，更不用说一个新类型的数了，否则，他们不必将那个不幸的门徒扔到海里。 因为正如后世的发展所表明的，无理“数 并不损害“万物是数”的信念。恰恰相反，无理数之 “无理”，后来倒道出了数之为数，或许还可以说，古人所谓数的“自然”或“有理”，是一种假 象。 波耶介绍最早的无穷小概念时，从阿布底拉学派的物质原子论讲起，接着又强调了德谟克利 特的影响他把原子论引入数学。这看起来有点奇怪，因为原子论和无穷小似乎不相容。但波 耶没有说错，只是没明讲。无穷小概念实际上正是一种原子论。当原子论进入数学，并遭遇不可 公度性之后，便出现了无穷小这个神秘的概念。无穷小( 说无穷小量更清楚) 是几何的原子，它 的幅度不能是有限的，否则直线便可公度，它的幅度又不能是无，否则它不能是原子。欧几里得 把“点”定义为“没有部分的东西”，把直线定义为“没有宽度的长度”，正是一种数学原子论， 然而既已没有宽度，如何又能有长度? 这介于有和无之间的东西是什么? 是无穷小。 这个神秘的东西遭到了芝诺的攻击。芝诺的第三个和第四个悖论，即飞矢悖论和时段悖论， 是攻击空间和时间的原子论的。第一个和第二个悖论，即二分法和阿基里斯悖论，攻击的则是空 间和时间的无限可分性。这两个箭靶看起来相对而立，但在无穷小那里，却似乎统一了起来。一 方面无穷小是一种奇异的原子，另一方面，由于无穷小不是任何有限量，它恰恰指出一切有限量 都是无限可分的。 波耶评论道：“希腊数学家无法清楚地回答芝诺悖论，这使得他们必须放弃给运动和可变性现 象一个定量解释的努力。因此，这些经验要么限制于形而上学假想的领域，如赫拉克利特的工作， 或者局限于定性描述，如亚里士多德的物理学。”1 9 这段话暴露了波耶的历史观。虽然他每隔几行就会提示我们要公允地看待古人，要把古人的 1 8 微积分概念发展史，第4 页。 1 9 微积分概念发展史，2 5 页。 观点放在其历史境地中考察，但这种公允主要是指不要夸大古人的成就，譬如，不要把欧多克斯 的比例定义与魏尔斯特拉斯对实数的定义等同起来。一方面他说古人尚未具有某些现代的观念， 另一方面，他却用现代的观念来裁决古人的思想。这与弗雷泽在金枝中将远古巫术视为原始 的科学类似。波耶把古人的观点看作黑暗中的摸索，当然是自居于当代的光明中。虽然他承认当 前的光明也可能是未来的黑暗，但这不改变基本的倾向。这种错误与历史的诠释学方法有着微妙 的区别。 波耶随后说：“亚里士多德未能清晰地辨别经验世界和数学思想世界的区别，结果导致他在芝 诺悖论问题上对一个相似的混淆缺乏清楚认识。亚里士多德通过求助于感性认识和否认瞬时速度， 来驳斥时段悖论和飞矢悖论中的论点。而近代数学仅仅根据建立在导数概念基础上的思想就已经 回答了这两个问题”2 0 他似乎没有意识到，古希腊数学并未就此“放弃”无穷小，无穷小原本而且仍然在其中潜伏 着。“两条不平行的直线交于一点”，这依赖于把线看成一个个点组成的，这些点之间不能有缝隙， 且每个点不能有长度，否则如何保证“交于一点”而不是交于两点的连接处? “两点之间可作一 直线”，也伏下了这些假定。按照“直觉 ，线由点组成，面由线组成，那么如何保证“两点之间 可作一直线”? 在电脑屏幕上就不能总是做到，假如这条线足够斜，超过了屏幕分辨率的限度， 就会出现锯齿而不再是直线。要满足这条欧式几何的公设，必须假定平面上的点是无穷细密的， 或者，连续的。 不过，波耶并不是从这个角度来谈无穷小的。欧式几何的公设被认为符合我们对连续的直觉， 更重要的是，它们是一些公“设”，而非逻辑论证的方式。波耶所谈的无穷小，是数学证明中使 用的无穷小。假定虚幻的东西，然后由此开始推理，这似乎不是很要紧。但若推理的方法是虚幻 的东西构成的，那么这推理就非常可疑，不能为逻辑接受。 波耶所称的无穷小，主要指两类东西。一是把几何体无限切割后得到的薄