《半群和群的性质》PPT课件.ppt

2019/12/5,1,回顾,代数系统：封闭性半群：封闭性，可结合性独异点：(含幺半群)封闭性，可结合性，有单位元群封闭性，可结合性，有单位元，有逆元,群独异点半群,2019/12/5,2,群的阶和元素的阶,群G的阶G的基数，通常有限群记为|G|元素a的n次幂元素a的阶|a|：使得ak=e成立的最小正整数k,有限群的元素都是有限阶，比群的阶小（为群的阶的因子！）；元素都是有限阶的群不一定是有限群,2019/12/5,3,例10.6（元素的阶）,(1)无限群，|0|=1(2)模6整数加群，元素的阶(3)模4整数加群，元素的阶(4)Klein四元群G=e,a,b,c(5)群中元素的阶,2019/12/5,4,群的性质（消去律）,定理10.2：设是一个群，对于任意的a,b,cG，如果有a*b=a*c或者b*a=c*a，则必有b=c(消去律)。,2019/12/5,5,群的等价定义,定义:满足(1),(2)及消去律且不含零元的有限代数系统是群，即满足消去率且不含零元的有限半群做成群。,(1).运算*是封闭的(2).运算*是可结合的,aG=ag|gG=G,群的性质,例10.5设G=a1,a2,an是一个n阶群，令aiG=aig|gG，则aiG=G。证：由群中运算满足封闭性有aiGG。若aiGG，即|aiG|i，s.t.bi=bj，令p=j-i1，有bj=bp*bi，即bi=bp*bi.,2019/12/5,9,泵原理,2019/12/5,10,幂等元构造,bi=bp*bi.,bi=bkp*bi,bq=bkp*bq,其中q=kp,bi=bp*bi=bp*（bp*bi）=bp*bp*（bp*bi）,bi=bkp*bi,可找到k使得kpi,设a=bkp，则a*a=a,2019/12/5,11,证明,性质：设是一个半群，如果S是一个有限集，则必有aS，使得a*a=a.,证明：(构造法)bS，由S对*封闭及S有限，则对序列b，b2，b3，bn，必定存在ji，s.t.bi=bj，令p=j-i1，有bj=bp*bi，即bi=bp*bi，且可知对任给的qi有bq=bp*bq。因为p1，所以总可找到k1，s.t.kpi。因此对于S中的元素bkp，有bkpbp*bkpbp*(bp*bkp).=bkp*bkp.设a=bkp，则aS，且a*a=a,2019/12/5,12,群中元素的性质,定理10.3G为群，aG,且|a|=r,则(1)ak=er|k(2)|a|=|a-1|(3)若|G|=n,则rn.证(1)充分性.ak=arl=(ar)l=el=e必要性.k=rl+i,lZ,i0,1,r-1e=ak=arl+i=aii=0r|k(2)(a-1)r=e|a-1|存在,令|a-1|=t,则t|r.同理r|t.(3)假设rn,令G=e,a,a2,ar-1,则G中元素两两不同，否则与|a|=r矛盾.从而|G|n，与GG矛盾.,2019/12/5,13,群中幂等元唯一,例：在群中，除单位元e外，不可能有任何别的幂等元(即a*a=a),证：e*e=e，e为幂等元现设aG，ae且a*a=a则有a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a)=a-1*a=e,2019/12/5,14,元素的阶的性质（1）,例：G为群，aG，|a|=r,证明|at|=r/(t,r),证：令|at|=s,设(t,r)=d,t=dp,r=dq,r/(t,r)=r/d=q只要证s=q(at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=es|q(at)s=eats=er|tsq|psq|s（p,q互素）,2019/12/5,15,元素的阶的性质（2）,例10.7:G为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个。,证：a2=ea2=a-1aa=a-1，所以阶大于2的元素必有aa-1，且成对出现。,2019/12/5,16,元素乘积的阶,例:G为群，a,bG且可交换，|a|=m,|b|=n，若(m,n)=1,则|ab|=mn.,2019/12/5,17,元素乘积的阶（2）,例10.6:G为群，a,bG是有限阶元，则：(1)|b-1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|,证：(1)|设|a|=r,|b-1ab|=t，则1)(b-1ab)r=(b-1a