（物理学专业论文）相空间中离散力学系统的对称性理论研究.pdf

摘要 近代对称性理论主要通过对系统所具有的对称性的分析得到系统相应的守恒量这 些守恒量的存在对了解系统的物理状态和性质十分重要对离散力学系统的对称性和守 恒量理论的研究具有重要的理论价值和实际意义本文在连续力学系统的对称性和守恒 量理论的研究基础之上，利用变时间步长的差分离散变分方法，研究了相空间中离散力 学系统的对称性及其导致的守恒量首先，由差分离散形式的作用量原理导出了相空间 中离散完整系统、离散非完整系统和离散变质量系统的动力学方程，包括离散形式的正 则方程和能量演化方程；其次，研究了相空间中离散完整系统、离散非完整系统和离散 变质量系统的n o e t h e r 对称性，分别给出了三种系统离散形式的n o e t h e r 等式，以及系统 n o e t h e r 对称性导致的离散形式的n o e t h e r 守恒量；然后研究了相空间中离散完整、离散 非完整系统和离散变质量系统的m e i 对称性，分别给出了三种系统离散形式的m e i 对称 性确定方程( 离散形式m e i 等式) ，以及系统m e i 对称性导致的离散形式的m e i 守恒量；最 后，研究了相空间中离散完整系统、离散非完整系统和离散变质量系统的n o e t h e r - m e i 联合对称性，给出了系统n o e t h e r - m e i 联合对称性离散形式的确定方程，讨论了系统联 合对称性导致n o e t h e r 守恒量和m e i 守恒量的条件和形式 关键词：相空间，离散力学系统，对称性，守恒量 t h e o r e t i c a lr e s e r c ho ft h es y m m e t r yo fd i c r e t em e c h a n i c a ls y s t e m i np h a s es p a c e l uk a i ( p h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f f a n gj i a n h u i a b s t r a c t i nm o r d e nt h e o r yo fs y m m e t r y , t h ec o r r e s p o n d i n gc o n s e r v e dq u a n t i t i e so ft h es y s t e ma r e o b t a i n e dm a i n l yt h r o u g ht h es y m m e t r ya n a l y s i so ft h es y s t e m t h ee x i s t e n c eo fc o n s e r v e d q u a n t i t i e si sv e r yi m p o r t a n tt ou n d e r s t a n dt h ep h y s i c a ls t a t ea n dp r o p e r t i e so ft h es y s t e m t h e r e s e a r c h e so nt h et h o e r yo fs y m m e t r i e sa n dc o n s e r v e dq u a t i t i e so fd i s c r e t em e c h a n i c a ls y s t e m h a v ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a lv a l u ea n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h e s y m m e t r i sa n dt h e i rr e s u l t i n gc o n s e r v e dq u a n t i t i e so fd i s c r e t em e c h a n i c a ls y s t e m si np h a s e s p a c ew i t ht h ed i f f e r e n c ed i s c r e t ev 撕撕o n ma p p r o a c ho fv a r i a b l et i m es t e p ，b a s e do nt h e t h o e r yo fs y m m e t r i e sa n dc o n s e r v e dq u a t i t i e so fc o n t i h u o u sm e c h a n i c a ls y s t e m f i r s t l y , w e d e r i v et h ed y n a m i c se q u a t i o n s ，w h i c hi n c l u d ed i s c r e t ec a n o n i c a le q u a t i o n sa n dd i s c r e t e e n e r g ye v o l u t i o ne q u t i o n , o ft h ed i s c r e t eh o l o n o m i cs y s t e m ，t h ed i s c r e t en o n h o l o n o m i c s y s t e ma n dt h ed i s c r e t em e c h a n i c a ls y s t e m 谢mv a r i a b l em a s si np h a s es p a c e ，f r o md i f f e r e n c e d i s c r e t ea c t i o np r i n c i p l e s e c o n d l y , w es t u d yt h en o e t h c rs y m m t r yo ft h ed i s c r e t eh o l o n o m i c s y s t e m ，t h ed i s c r e t en o n h o l o n o m i cs y s t e ma n dt h ed i s c r e t em e c h a n i c a ls y s t e mw i t hv a r i a b l e m a s si np h a s es p a c e t h ed i s c r e t en o e t h e re q u a t i o n sa n dt h e i rr e s u l t i n gd i s c r e t en o e t h e r c o n s e r v e dq u a n t i t i e so ft h et h r e ek i n d so fs y s t e m sa r eg i v e n t h e n ，t h em e is y m m e t r yo ft h e d i s c r e t eh o l o n o m i es y s t e m ，t h ed i s c r e t en o n h o l o n o m i cs y s t e ma n dt h ed i s c r e t em e c h a n i c a l s y s t e mw i t hv a r i a b l em a s si np h a s es p a c ea l es t u d i e d t h ed i s c r e t ed e t e r m i n i n ge q u a t i o no f m e is y m m e t r y ( d i s c r e t em e ie q u a t i o n ) a n dd i s c r e t em e ic o n s e r v e dq u a n t i t i e sl e db ym e i s y m m t r yo ft h es y s t e ma r eg i v e n f i n a l l y ，w es t u d yt h en o e t h e r - m e iu n i f i e ds y m m e t r yo ft h e d i s c r e t eh o l o n o m i cs y s t e m ，t h ed i s c r e t en o n h o l o n o m i cs y s t e ma n dt h ed i s c r e t em e c h a n i c a l s y s t e mw i t h v a r i a b l em a s si np h a s es p a c e t h ed i s c r e t ed e t e r m i n i n ge q u a t i o n so ft h e n o e t h e r - m e iu n i f i e ds y m m e t r yo ft h es y s t e m sa leg o t t h ec o n d i t i o n sf o rt h en o e t h e r c o n s e r v e dq u a n t i t i e sa n dt h em e ic o n s e r v e dq u a n t i t i e sl e bb yt h eu n i f i e ds y m m e t r ya n dt h e i i f o r m so ft h ec o n s e r v e dq u a n t i t i e sa r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：p h a s es p a c e ，d i s c r e t em e c h a n i c a ls y s t e m s ，s y m m e t r i e s ，c o n s e r v e d q u a n t i t i e s 岛离散l a g r a n g e 函数 脱 离散h a m i l t o n 函数 离散作用量 离散广义坐标 离散广义动量 离散时间点 饼讲离散非势广义力 主要符号表 广义动量无限小生成元 离散时间无限小生成元 离散广义坐标无限小生成元 离散广义动量无限小生成元 等时变分算符 全变分算符 离散导数算符 人：砖 离散广义非完整约束反力 也 离散函数的递推算符 露掌 离散广义反推力x ? 零阶离散无限小生成元向量 无限小参数g 嘉瓯离散规范函数 时间无限小生成元k离散n o e t h e r 守恒量 广义坐标无限小生成元k离散m e i 守恒量 仇 致等 旌 艿 4 矿 露 气 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外，本 论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油大 学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料与我一同工作的同志对研 究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文作者签名：显鑫红l一日期：伊加年 月1 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩 印或其他复制手段保存学位论文 保密学位论文在解密后的使用授权同上 学位论文作者签名：曼叁红l 指导教师签名：= 兰芝三童二夤= 日期：阳如年月f 日 日期：劫矿年月z 日 中国石油大学( 华东) 硕j ：学位论文 第一章绪论 1 1 分析力学对称性理论的研究现状 1 1 1 分析力学研究进展概述 分析力学是现代力学和物理学的一个重要的分支，同时也是近代物理学发展的阶梯 在处理工程学科以及各种高新技术领域中的复杂力学问题时，分析力学的理论及方法具 有独特的优越性，它不仅为众多工科领域提供了坚实的理论基础，而且已逐渐成为许多 新兴学科的生长点 1 7 8 8 年l a g r a n g e 在其著作分析力学中成功的把力学理论与数学分析方法结合 起来，建立了具有严谨数学结构的力学体系，提出了建立质点系运动微分方程的普遍而 有效的方法，他所提出的这套力学理论被称为l a g r a n g e 力学【1 1 h a m i l t o n 及其后继者在 l a g r a n g e 力学的基础上，对理想、完整、有势系统的动力学进行了更深入的研究，在1 8 3 4 年、1 8 3 5 年发表的两篇论文论动力学中的一个普遍方法和再论动力学中的一个普 遍方法中提出了h a m i l t o n 原理和正则方程，后经j a c o b i 和l i e 等人的努力，h a m i l t o n 力学逐步建立并完善起来在h a m i l t o n 力学理论中出现了很多新的概念，如，力学量的 正则共轭对，h a m i l t o n 函数与能量的关系，正则方程组的p o i s s o n 形式，h a m i l t o n 主函数 以及h a m i l t o n j a c o b i 方程所引入的“波动”观念等，这些概念都有非常普遍的意义，除了 适用于一般的宏观物理学领域，在经典力学理论无法涉足的微观物理学领域中，上述成 果却依然适用这就使得h a m i l t o n 力学成为经典力学向近代物理学观念过渡的桥梁 h a m i l t o n 力学在非线性科学中也扮演着重要角色【2 胡，k a m 定理成为混沌理论的开端 h a m i l t o n 力学促成广义h a m i l t o n 力学的形成和发展，并促成辛几何这一新数学分支的建 立 1 8 9 4 年h e r t z 将约束力学系统分为完整和非完整两大类，开辟了非完整力学的新时 期经过a p e l l 、b o l t z m a n n 、h a m e l 等人的研究，非完整系统动力学很快发展起来并逐步 得到完善我国学者在这一领域也作出很大的贡献1 9 6 4 年，年仅2 2 岁的牛清萍在力 学学报上发表了重要论文一经典力学基本微分原理与不完整力学组的运动方程1 5 】， 此文在国内外产生了深远的影响1 9 8 5 年梅风翔出版了非完整系统力学基础1 6 1 ，这是 我国第一本非完整力学专著，同时也得到了国内外学者的高度认可b i r k h o f f 系统动力 学是分析力学进一步发展的产物1 9 2 7 年美国著名数学家b i r k h o f fc t d 在其名著动力 第一章绪论 系统川中提出一类新型方程和新型积分变分原理，比h a m i l t o n 方程和h a m i l t o n 作用量 原理更为普遍1 9 7 8 年s a n t i l l ir m 改进了b i r k h o f f 的结果并建议将方程命名为 b i r k h o f f 方程，将这个新原理称为p f a f f - b i r k h o f f 原理【8 】b i r k h o f f 动力学具有重要的理论 意义和实际价值h a m i l t o n 原理是p 觚二b i 曲。行原理的特殊形式，h a m i l t o n 正则方程是 b i r k h o f f 方程的特殊形式，b i r k h o f f 力学在理论上具有高度概括性它不仅可用于 h a m i l t o n 力学、l a g r a n g e 力学和n e w t o n 力学，同时也可用于非完整力学、量子力学、 统计力学、原子分子物理、强子物理、生物物理、工程等领域二十世纪九十年代，我 国学者梅凤翔教授和他的合作者们研究了非完整系统动力学方程的b i r k h o f f 表示及其积 分方法，对b i r k h o f f 系统的对称性理论进行了细致的研究，给出了b i r k h o f f 系统的动力 学稳定性、b i r k h o f f 方程的几何描述，构造了b i r k h o f f 系统动力学的理论框架，出版了专 著( ( b i r k h o f f 系统动力学【9 】，被学术界称为经典力学的又一次飞跃，并且引发了国内外 学者对b i r k h o f f 系统动力学的研究热潮1 m 13 1 在近代，分析力学出现了很多分支领域，如分析力学的张量方法，分析力学的微分 几何方法，分析力学的群论方法，约束系统的代数表示和几何表示【h 。5 】以及分析力学的 专门问题如运动稳定性和小振动理论，刚体绕固定点转动问题，相对运动力学，可控力 学系统分析动力学，打击运动的分析动力学，变质量问题的分析动力学，机电系统的分 析动力学，事件空间分析动力学，分析动力学逆问题等1 6 7 】在这些研究领域，我国学 者作出了非常多的贡献 随着现代工程技术的迅速发展，许多新兴学科，特别是一些边缘交叉学科的迅速出 现，这些新学科通常是在许多旧学科综合基础上或边缘之中发展起来的，它要求更为宽 广而坚实的理论基础在此背景下，分析力学得到越来越广泛的应用，日益受到人们的 重视 1 1 2 近代对称性理论的研究进展 对称性是数学、力学、物理学等领域的重要研究课题对称性理论在常微分方程的 积分和降阶，偏微分方程的约化和线性化，由已知解导出新解等许多领域拥有广泛的应 用，其中有一个非常重要的用途就是寻找守恒量众所周知，动力学系统的守恒律在力 学、物理学中具有十分重要的作用寻求力学系统的守恒量问题，不仅具有数学意义，而 且反映深刻的物理本质 力学系统的对称性与守恒量之间存在着联系，这种联系是由德国女数学家n o e t h e r 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 a e 于1 9 1 8 年首次发现并在其论文不变变分问题中提出来的她在研究h a m i l t o n 作用量在无限小变换下的不变性质时，发现作用量的每一种连续对称性都有一个守恒量 与之对应，后来就提出了著名的n o e t h e r 定理【1 8 1 n o e t h e r 对称性理论对近代力学和理论 物理学的发展给予很大的推动作用，在对称性理论和守恒量研究中具有里程碑式的意义， 被广泛应用于研究各类力学系统近3 0 年来，我国学者把对n o e h t e r 理论进一步推广， 给出了线性非完整力学系统、高阶约束系统、非完整非保守正规和奇异系统、v a c c o 动 力学系统等一系列约束力学系统的n o e t h e r 命题【1 9 - 2 5 1 ，对相对论力学系统和转动相对论 力学系统的n o e t h e r 对称性的研究也取得了一些重要成果【2 6 。2 8 1 ，除了对经典力学系统的 n o e t h e r 对称性进行了研究外，李子平教授还将n o e t h e r 定理应用于电磁场、规范场和连 续介质力学等【2 3 之5 1 我国学者梅凤翔教授于1 9 9 3 发表文献( b i r k h o f f 系统的n o e t h e r 理 论1 2 9 ，用p f a f f 作用量或p f a f f - b i r k h o f f - d a l e m b e r t 原理在无限小变换下的不变性建立 了n o e t h e r 理论，开辟了n o e t h c r 对称性研究的新途径 2 0 世纪7 0 年代，l u t z k y 、p r i n c e 和e l i e z e r 等人将数学家s o p h u s l i e 研究微分方程 不变性的扩展群方法引入到力学领域，提出了使运动微分方程不变的l i e 对称性【3 0 侧 自上世纪8 0 年代以来，l i e 理论迅速发展，并得到了非线性科学中l o r e n z 模型和 e e n o n h e i l e s 模型的l i e 对称性和相应的守恒型3 4 1 l i e 对称性与n o e t h e r 对称性不同，它 并不总能导致守恒量，只有在满足一定的条件时才能导致守恒量1 9 9 2 年h o j m a n 既不 用l a g r a n g e 函数，也不用h a m i l t o n 函数，从微分方程出发，直接由时间不变的特殊l i e 对称变换导出了一类新的守恒量【3 5 1 ，被称为h o j m a n 守恒量19 9 5 年l u t z k y 将h o j m a n 定理作了进一步的推广【3 6 】1 9 9 8 年以来，l i e 对称性方法迅速发展，我国也形成了一个对 于l i e 对称性理论的研究热潮，取得一些重要结果 3 7 - 4 4 2 0 0 2 年梅风翔教授将h o j m a n 定 理扩展到事件空间 4 5 l ，其后，人们将h o j m a n 定理从时间不变的特殊无限小群变换推广 至时间可变的一般无限小群变换下的广义h o j m a n 定理【4 6 ，4 7 1 ，并且通过研究还发现l i e 对称性除可直接导致h o j m a n 守恒量之外，还可间接导致n o e t h e r 守恒量和m e i 守恒量i 犏， 使l i e 对称性理论获得了重要的发展 本世纪初我国学者梅风翔教授提出了一种新的对称性形式不变性【4 9 , 5 0 1 它是指 力学系统动力学方程中出现的动力学函数在无限小群变换下仍满足原来方程的一种不 变性为了使对称性的称谓相一致，人们将梅风翔教授提出的形式不变性称为m e i 对称 性1 5 1 , 5 2 1 m e i 对称性理论自提出以后，受到学术界的关注，被迅速拓展到a p e l l 系统【5 3 彤】、 n i e l s e n 系统 5 6 , 5 7 、c h a p l y g i n 系统5 引、b i r k h o f f 系统【5 9 - 6 1 1 、相空间中的力学系统【6 2 1 、变 第一章绪论 质量系统【5 4 1 ，成为一种新的寻求守恒量的通用性方法对于经典力学系统、相对论力学 系统和转动相对论力学系统的m e i 对称性与守恒量理论研究取得了一系列重要成果 f 6 3 - 6 6 2 0 0 7 年方建会教授通过引入协调函数研究了力学系统的m e i 对称性导致的一类 新守恒量广义m e i 守恒量 6 7 , 6 8 】，为寻求力学系统的守恒量提供了一种新的方法此方 法后来被应用于经典力学系统的其他两种对称性导致的新守恒量 6 9 , 7 0 1 及相对论力学 系统的对称性导致的新守恒量 7 1 , 7 2 】 2 0 0 4 年，梅凤翔教授出版专著约束力学系统的对称性与守恒量，全面、系统的 总结了经典力学系统n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称性及其导致的三种守恒量 方面的研究成果【4 s 】最近几年，人们基于这三种单一对称性又提出了经典力学系统更高 层次的对称性联合对称性和统一对称性【7 3 7 5 1 联合对称性和统一对称性的理论具有 更一般的意义，是对称性理论研究的升华和发展自2 0 0 4 年以来，力学系统对联合对称 性与统一对称性理论的研究已取得了重要进展【7 6 - 7 8 1 2 离散力学的研究进展 随着科学技术的进步和电子计算机技术的蓬勃发展，离散模型的理论已成为计算 机、信息系统、工程控制等领域的重要理论基础之一，而近年来由于医学、生物数学等 自然科学和其它边缘学科的进一步发展，出现了由各种常差分方程( 描述离散时间系统) 和差分方程描述的具体数学模型，而且，在微分方程的离散化方法的研究中也出现了许 多差分方程由于这些原因，离散力学理论近年来受到高度的关注 1 9 7 0 年，c a d z o “7 9 】在研究离散系统的优化问题时，提出了关于差分序列的变分学理 论，给出了离散变分原理和离散形式的e u l e r - l a g r a n g c 方程；1 9 7 3 年，l o g a n 8 0 捌1 通过研 究离散l a g r a n g e 函数的不变性，得到了离散的e u l e r - l a g r a n g e 方程的第一积分，这个结 果后来被人们称作离散版本的n o e t h e r 定理；m a e d a 8 2 - 8 6 】在上世纪八十年代前后，首先将 离散差分变分学原理运用在力学系统中，较系统地研究了e u c l i d e a n 位形空间中离散力 学系统的二次形式不变量和正则结构、离散系统的l a g r a n g e 形式以及离散n o e t h e r 定理 的推广和差分概念，在1 9 8 3 年，物理学家李政道 8 7 - 9 0 首次提出将时间视为一个动力学 变量，在讨论离散变分原理时与空间变量一起离散化，给出了离散变分原理的一个新形 式从这个新的离散变分原理出发，他不仅给出了离散保守力学系统的运动方程以及离 散形式的能量守恒律，并用它分别讨论了经典力学、非相对论量子力学和相对论量子场 论：v e s e l o v 等【9 1 ，9 2 】在上世纪八十年代后期也提出了离散变分原理，几乎与李提出的方法 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 一样，所不同的是他们没有将时间t 作为动力学变量离散化，所以他们的方法得不到离 散的能量守恒形式；上面两个方法，由于没有定义离散的l e g e n d r e 变换，所以只能处理 离散的l a g r a a g e 力学几乎是在同一时间，r u t h 9 3 1 和冯康f 9 4 】提出了h a m i l t o n 力学的等时 间步长的辛算法，它可以保持系统的辛结构，但不能保持系统的离散形式的能量守恒 辛算法在计算数学、计算力学、计算物理以及许多其它科学领域都有着非常重要的应用 由于能量的重要性，自从辛差分格式提出以来，人们一直企图寻找保能量的辛格式，但 始终没有成功 1 9 9 7 年w e n d l a n d t 和m a r s d e n 【9 5 l 利用v e s e l o v 的离散变分原理导出完整系统的保持 辛形式离散运动方程，在此基础上他们进一步构造了l a g r a n g e 形式的辛一动量力学积分 子，进而提出了力学变分积分子的理论随后的几年中，力学系统保结构积分子的研究 成为离散力学研究领域的一个热点，受到人们的广泛关注1 9 9 8 年，m a r s d e n 、p a t r i c k 和 s h k o l l e r l 9 6 】利用变分原理和多辛几何理论研究了非线性偏微分方程的多辛一动量积分子； 1 9 9 9 年，k a l l e 、m a r s d e n 和o r t i z l 9 7 等采用变时间步长构造了保守系统的辛一能量一动量 积分子；2 0 0 0 年，k a n e 、m a r s d e n 和w e s t t 9 8 】研究了保辛一能量一动量形式的力学变分积 分子及其性质和数值算法，证明了经典n e w m a r k 算法与变分算法是紧密相关的，并讨论 了保守和耗散形式的力学系统的变分积分子的形式和一类数值算法；c o r t e s 和m a r t i n e z 凹】引入离散d a l e m b e r t l a g r a n g e 原理，研究了非完整力学相应的离散变分学问题，给出 了非完整系统力学积分子的形式和辛结构等几何结构的形式；2 0 0 2 年，l e 6 n 和d i e g o 1 0 0 利用李的思想，基于离散的变分原理研究了含时l a g r a n g e 系统并构造了变分积分子 近几年，我国学者对离散力学的变分原理和动力学方程理论在约束力学系统中的运 用和推广做出了一定贡献郭汉英和他的合作者遵循保结构准则【蚓( 即在离散原来的连 续系统时，我们应该尽可能多地保留原系统的固有性质，比如象辛结构和守恒量等) 提 出一类新的离散力学变分方法一差分离散变分方法d o l q 0 9 1 ，这个方法不仅保留了李方法 的优点( 即保持离散形式的能量守恒) ，同时也具有v e s e l o v 方法的优点( 即保持原系统的 辛结构或多辛结构) 同时这个方法不仅可以研究l a g r a n g e 形式的离散力学，也可以处 理h a m i l t o n 形式的离散力学和离散的经典场理论，受到普遍的关注这个方法的一个要 点是：将差分( 无论是固定步长的差分还是变步长的差分) 视作一个几何对象，它与连续情 况中的导数有着相似的性质刘荣万【1 1 0 1 、张宏彬等【l l l 川4 1 基于d a l e m b e r t - l a g r a n g e 原理， 得到带非保守项、非完整约束力项的离散力学变分原理，研究了离非保守系统、非保守 非完整系统的离散动力学方程和第一积分，并把位形空间的离散坐标扩展至事件空间， 第一章绪论 得到了事件空间的离散变分原理和动力学方程，同时还研究了h a m i l t o n 系统和b i r k h o f f 系统离散形式的变分原理和第一积分傅景礼等 1 1 5 将离散形式的d a l e m b e r t - l a g r a n g e 原理推广到一类特殊的约束系统l a g r a n g e m a x w e l l 机电祸合系统，给出了该系统离散形 式的变分原理和动力学方程的第一积分 离散约束力学系统的对称性与离散守恒量的研究起步较晚，取得的结果较少2 0 0 0 年左右，l e v i 等人【1 1 6 。1 18 】从数学角度研究了差分方程和微分差分方程的l i e 对称性； 2 0 0 1 年，d o r o d l f i t s y n t l l 9 将n o e t h e r 定理应用到离散l a g r a n g e 系统，建立了离散保守 l a g r a n g e 系统的n o e t h e r 对称性与守恒量理论。导出了离散形式的n o e t h e 恒等式和 n o e t h e r 守恒量的判据方程之后，傅景礼等【1 2 0 1 2 11 研究了离散机电系统、离散非完整系统 的n o e t h e r 对称性理论施沈阳等【1 2 2 。1 2 8 1 研究了位形空间中可变时间步长情况下的多种 离散约束力学系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称性及其守恒量理论，包括机 电系统、l a g r a n g e 系统、一般完整系统、变质量系统、非完整系统的n o e t h e r 对称性、 l i e 对称性和m e i 对称性及其守恒量而以往这些研究成果大都是关于位形空间中的离 散力学系统，对于相空间中离散力学系统的对称性和守恒量理论很少涉及 1 3 本文研究内容 本文根据分析力学中近代对称性与守恒量理论的有关知识，利用无限小群变换理论， 以差分离散变分方法为基础，研究了相空间中离散完整系统、离散非完整系统和离散变 质量系统的动力学方程：对离散力学系统的n o e t h e r 对称性、m e i 对称性和n o e t h e r - m e i 联合对称性及其导致的n o e t h e r 守恒量和m e i 守恒量进行系统的研究与讨论 第1 章：简要阐述了约束力学系统近代对称性理论以及离散力学的研究历史与现状 第2 章：介绍h a m i l t o n 系统的对称性理论以及离散h a m i l t o n 系统的动力学理论，包 括h a m i l t o n 系统的运动微分方程，h a m i l t o n 系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对称性、m e i 对 称性以及它们导致的守恒量 第3 章：利用差分离散变分方法，建立相空间中离散完整系统的动力学方程，包括 离散形式的运动微分方程和能量演化方程；并将这一方法扩展到相空间中离散非完整系 统和离散变质量系统，建立这两种系统离散形式的动力学方程 第4 章：研究相空间中离散完整系统、离散非完整系统和离散变质量系统n o e t h e r 对称性和n o e t h e r 守恒量给出系统离散形式的n o e t h e r 对称性判据方程，即离散n o e t h e r 等式，导出并证明这三类系统n o e t h e r 对称性直接导致的离散n o e t h e r 守恒量的存在条件 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 和形式 第5 章：研究相空间中离散完整系统、离散非完整系统和离散变质量系统m e i 对称 性和m e i 守恒量给出系统离散形式的m e i 对称性判据方程，即离散m e i 等式，导出并证 明这三类系统m e i 对称性直接导致的离散m e i 守恒量的存在条件和形式 第6 章：将n o e t h e r 对称性和m e i 对称性及进行联合，研究相空间中离散完整系统、 离散非完整系统和离散变质量系统的n o e t h e r - m e i 对称性，给出系统离散形式的 n o e t h e r - m e i 对称性判据方程，导出并证明这三类系统n o e t h e r - m e i 对称性直接导致的离 散n o e t h e r 守恒量和离散m e i 守恒量的存在条件和形式 第7 章：总结本论文的研究成果 7 第二章相空间中离散力学系统的动力学方程 第二章相空间中力学系统的对称性理论 l a g r a n g c 方程经历l e g e n d r c 变换可化为h a m i l t o n 正则方程用正则方程描述的系 统称为h a m i l t o n 系统h a m i l t o n 系统的近代理论用非正则变量替代正则变量而发展为广 义h a m i l t o n 系统h a r o i l t o n 系统的研究成果已在非线性分析、代数拓扑和微分几何等诸 多学科中产生重要影响 本章主要介绍连续情况下的h a m i l t o n 系统的动力学方程和对称性理论，包括系统的 n o c t h c r 对称性、l i e 对称性、m e i 对称性及其导致守恒量，以及离散情况下的h a m i l t o n 系统的动力学理论 2 1 、h a m i l t o n 系统的对称性理论 2 1 1h a m i l t o n 系统的运动方程 l a g r a n g e 方程经历l e g c n d r c 变换可化为h a m i l t o n 正则方程 给定一个l a g r a n g c 函数l = l ( t ，q ，圣) 在点( f ，q ，毒) 的区域尺2 肿1 上满足连续和规则性质 三c ”( r 2 舯1 ) ，m 2 d e t ( 黑) 俾2 川) 0 ， 2 - 1 ) c 7 q s 吼 l e g c n d r c 变换 q ( f ，g ，口，p ) ：只一昙：o ， 叫5 h = 只仇- l = h ( t ，q ，p ) ， ( 2 - 2 ) 诱导出由r 2 肘1 到点( f ，q ，p ) 的象域j i i 2 肿1 的一一映射，并确定唯一非零新函数 h 锄i l t o n 函数h ( t ，q ，p ) ，它满足连续和规则性质 h c 册( j i 2 川) ，m 2 d e t ( 罢) 球z 川) o 印s p t ( 2 - 3 ) 反之，在点( f ，q ，p ) 的域j 2 肿1 上给定一个满足性质( 2 3 ) 的h a m i l t o n 函数h ( t ，q ，p ) ， 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 l e g e n d r e 逆变换 讯g ，：蟊一罢：o 识 =以口，-h=l(t，口，口)，(2-4) 诱导出由震2 肿1 到点o ，q ，口) 的象域r 2 肿1 的一一映射，并确定唯一非零新函数 一，a g m g e 函数三= l ( t ，口，口) ，它满足连续和规则性质( 2 8 ) h a m i l t o n 方程有形式 吼：i a h ，丸= 一百a h ，0 ：1 ，2 ，n ) ( 2 5 ) 印so q s 展开方程( 2 - 5 ) ，我们可以得到它的一种等价表示 吼= & o ，q ，p ) ，a = 红( ，g ，p ) 0 = 1 ，2 ，刀)( 2 - 6 ) 2 1 2h a m i l t o n 系统的n o e t h e r 对称性 引入时间、广义坐标和广义动量的群的无限小变换 广= t + a t ，z ( f ) = 吼( ，) + 吼， 贰o ) = p 。+ 瓴， ( 2 - 7 ) 或其展开形式 t = t + r 舌o ( t ，仍p ) ，q ：q ) = g ，) + 蜀q ，g ，p ) ， e ( 广) = 见( f ) + 占仉( f ，仍p ) ， ( 2 - 8 ) 其中为无限小参数，磊，晏，仇为无限小生成元 n o e t h e r 对称性是h a m i l t o n 作用量在群的无限小变换下的一种不变性相空间中力 学系统的n o e t h e r 理论指出，如果存在规范函数g n ( f ，口，p ) 使无限小生成元磊，皇，仇满 足如下的n o e t h e r 等式 p ，六一警氛一署最一日彘+ 瓯- o ( 2 - 9 ) 那么这种不变性为h a m i l t o n 力学系统的n o e t h e r 对称性 展开方程( 2 9 ) ，并且将式中包含户和不包含户的项分开，得到 第二章相空间中离散力学系统的动力学方程 见警一詈磊一筹磊一日鲁+ 警+ c 见善一嗜+ 鬻，筹一o ， 见篮一日誓+ 孕- o ( 2 - 1 0 ) “o t 瓴识 、7 如果方程( 2 1 0 ) 有解，则称相应的对称性为系统的n o e t h e r 对称性方程( 2 1 0 ) 称为 k i l l i n g 方程 由h a m i l t o n 系统的n o e t h e r 对称性可以直接导致n o e t h e r 守恒量 命题2 1 如果无限小生成元彘，六，仇满足n o e t h e r 等式( 2 - 9 ) 或者使k i l l i n g 方程 ( 2 1 0 ) 有解，则系统的n o e t h e r 对称性导致n o e t h e r 守恒量 i n = p 占s h 专o + g n = c o n s t 1 2 - 1 1 、) 2 1 3h a m i l t o n 系统的l i e 对称性 l i e 对称性是微分方程在群的无限小变换下的一种不变性 系统方程( 2 6 ) 的l i e 对称性确定方程可以表示为 x o ) ( 口，一罢) ：0 ，x 0 ) ( a + 挈) ：o ， ( 2 - 1 2 ) a p so q s 其中 n 彘知毒帆参， x ( 1 ) = x ( 。) + ( 寞一香，彘) 熹+ ( 唬一丸彘) 兰 ( 2 1 3 ) o q 3c p s 系统l i e 对称性的确定方程的另一种表示为 毒一彘= x o ( ) ， 统一吃彘= x o ( 吃) o = l ，2 ，厅) ，( 2 1 4 ) 它与方程( 2 1 2 ) 是一致的 l i e 对称性不是总能导致守恒量，在一定条件下可以直接导致h o j m a n 守恒量 命题2 2 如果无限小生成元磊，缶，仇满足l i e 对称性确定方程( 2 1 2 ) 或者( 2 - 1 4 ) ，并 且存在规范函数= z ( t ，q ，p ) 满足如下条件 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 婺+ 婺+ ：0 ， a q l 印3 d t 1 j 则系统的l i e 对称性可直接导致广义h o j m a n 守恒量 厶= 去挈+ 万：百a c u 孝3 咭掣一面d 细n s t p b t “o q sp 印； 啦 ( 2 - 1 5 ) ( 2 1 6 ) 当磊= 0 ，即取时间不变的特殊无限小变换，并且= ( r ，g ) ，则l i e 对称将直接导 致h o j m a n 守恒量 如= i 1 百o ( q , ) + i 1 百a ( 1 t r l , ) 一面d 磊= c 。r l s t po q sp 印i 武 2 1 4h a m i l t o n 系统的m e i 对称性 即 假设在经历无限小变换( 2 8 ) 后，h a m i t o n 函数日变为片，有 h = h ( f ，口，p ) = h ( t ，钐p ) + 占x ( o ( 日) + d p 2 ) ， ( 2 一1 7 ) ( 2 - 1 8 ) 定义如果用无限小变换后的函数日+ 代替变换前的，方程( 2 6 ) 的形式保持不变， o h 吼2 _ ， o p , o h 见2 _ ， o qs ( 2 1 9 ) 则称这种不变性为系统的m e i 对称性( 也称形式不变性) 利用m e i 对称性的定义，我们可得到如下的m e i 对称性判据方程 判据2 1 如果无限小生成元彘，六，r a 满足如下方程 - - x ( 。( ) 】：o ，三 x ( 。( h ) 】：o ，( 2 - 2 0 ) o p s叫5 则相应的不变性为系统的